Uno dei problemi economici importanti è determinare la strategia ottimale per sostituire le vecchie macchine, aipcraTOB e le macchine con quelle nuove. L'invecchiamento dell'attrezzatura significa la sua usura fisica e morale, a seguito della quale aumentano i costi di riparazione e manutenzione, aumentano i costi di produzione e diminuiscono

performance e valore liquido. Arriva un momento in cui è più redditizio vendere le vecchie apparecchiature e sostituirle con delle nuove piuttosto che utilizzarle a caro prezzo; Inoltre, può essere sostituito con nuove apparecchiature dello stesso tipo o nuove e più avanzate. La strategia ottimale per sostituire l'attrezzatura è determinarne la sua tempistica ottimale. Il criterio di ottimalità in questo caso può essere il profitto derivante dall'utilizzo dell'attrezzatura, che dovrebbe essere ottimizzato, o i costi operativi totali durante il periodo di tempo considerato, che dovrebbero essere ridotti al minimo.

Introduciamo la seguente notazione:

r(t)- costi annuali di manutenzione per apparecchiature obsolete T stendersi;

g(t)- valore residuo di attrezzature vetuste T stendersi;

R 0 - prezzo di acquisto delle attrezzature.

Considera il periodo N anni, entro i quali è necessario determinare il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature.

Indichiamo con L*(/) i costi ottimi ottenuti da

età dell'attrezzatura T anni per il restante N anni di ciclo di utilizzo delle apparecchiature, soggetto ad una strategia ottimale.

L'età dell'apparecchiatura viene conteggiata nella direzione del flusso del processo. Pertanto, / = 0 corrisponde al caso di utilizzo di nuove apparecchiature. In ogni fase del processo /V-stage, è necessario prendere la decisione di conservare, sostituire o riparare l'attrezzatura. L'opzione scelta dovrebbe garantire che i costi operativi totali siano ridotti al minimo durante il periodo di tempo in esame.

Si presume che la transizione dal lavoro su attrezzature di età T La preparazione per lavorare su nuove attrezzature avviene istantaneamente, ovvero la sostituzione delle vecchie attrezzature e il passaggio al lavoro su nuove attrezzature rientrano in un unico periodo.

Esempio 4.2

L'attrezzatura viene utilizzata per cinque anni e successivamente viene venduta. All'inizio di ogni anno potrai decidere se tenere l'attrezzatura o sostituirla con altra nuova. Costo delle nuove attrezzature P0= 4000 rubli. Dopo T anni di funzionamento (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (valore liquido). I costi di manutenzione durante l'anno dipendono dall'età dell'apparecchiatura T e sono uguali r(t) = 600(/ + 1).

Determinare la strategia ottimale per il funzionamento delle apparecchiature in modo che i costi totali, tenendo conto dell'acquisto iniziale e della vendita finale, siano minimi.

Soluzione. Il metodo di dividere il controllo in fasi è naturale, ma nel corso degli anni, N= 5. Parametro di stato - età della macchina lu= T,,v 0 = 0 - l'auto è nuova all'inizio del primo anno di funzionamento. Il controllo ad ogni passaggio dipende da due variabili Se E Se.

Le equazioni di stato dipendono dal controllo:

Indicatore di efficienza della fase A:

(A Se costi solo per il funzionamento dell'età della macchina T, A Se la macchina viene venduta (-4000 2~"), ne viene acquistata una nuova (4000) e messa in funzione per il primo anno (600), i costi totali sono (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Sia l' (?) il costo ottimale condizionato per il funzionamento della macchina, a partire dal passo A” fino alla fine, a condizione che all'inizio del passo A” la macchina sia vecchia. Scriviamo le equazioni di Wellman per le funzioni A(r), sostituendo il problema di massimizzazione con il problema di minimizzazione:

Valore 4000 2 0+11 - costo dell'età dell'auto T anni (secondo le condizioni, l'auto viene venduta dopo cinque anni di funzionamento):

Dalla definizione delle funzioni А* (/) segue A min = А*(0).

Presentiamo una soluzione geometrica a questo problema. Tracciamo il numero del passo sull'asse x A, e lungo l'ordinata: l'età della macchina /. Punto (A - 1, /) sull'aereo corrisponde all'inizio dell'anno A - - di funzionamento della macchina, età / anni. Movimento sul grafico in funzione del controllo accettato su / o-esimo passo mostrato in Fig. 4.3.

Riso. 4.3

Lo stato di inizio funzionamento della macchina corrisponde al punto,v‘(0, 0), la fine - ai punti.5(5,/). Qualsiasi traiettoria che trasferisce il punto DA-1, /) dal punto 5 è costituita da segmenti - passaggi corrispondenti ad anni di attività. È necessario scegliere una traiettoria in cui il costo di funzionamento della macchina sarà minimo.

Sopra ogni segmento che collega i punti (A’ - 1, /) e (A, / + 1), sono scritti i controlli corrispondenti Se costi (600(/ + 1)), e sopra il segmento che collega i punti (A- 1, /) e ( A, /), - costi corrispondenti alla gestione Se(4600 - 4000 2 "). In questo modo vengono posizionati tutti i segmenti che collegano i punti su 1rafix, corrispondenti alle transizioni da qualsiasi stato ld_| allo stato s k(vedi Fig. 4.3).

Successivamente, viene eseguita l'ottimizzazione condizionale sul faff contrassegnato. Negli stati (5, /) l'auto viene venduta, il reddito ottimale condizionato derivante dalla vendita è 4000 2~‘, ma poiché la funzione obiettivo è correlata ai costi, il valore del reddito con segno meno viene posto nei cerchi di punti (5, /). Quindi, nelle fasi successive, i costi minimi vengono selezionati tra due possibili transizioni, scritte in un cerchio in un dato punto, e i controlli corrispondenti in questo passaggio sono contrassegnati con una freccia tratteggiata. In questo caso, ad ogni passo le equazioni di Wellman vengono risolte trafficicamente (Fig. 4.4).

Dopo aver effettuato l'ottimizzazione condizionale, otteniamo nel punto (0, 0) il costo minimo di funzionamento della macchina per circa cinque anni con successiva vendita: A min = 11.900 Successivamente, partendo dal punto, viene costruita la traiettoria ottimale Quindi(0, 0) lungo le frecce tratteggiate in.?. Otteniamo un insieme di punti: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), che corrisponde all'ottimo controllare U"(u c , U', U U c , U c). Modalità ottimale

L’operazione consiste nel sostituire la macchina con una nuova all’inizio del terzo anno.

Pertanto, il grafico contrassegnato (rete) consente di interpretare chiaramente il diagramma di progettazione e risolvere il problema utilizzando il metodo programmazione dinamica.

I modelli di programmazione dinamica e le procedure computazionali sono molto flessibili in termini di inclusione varie modifiche compiti. Ad esempio, si può considerare un problema simile gran numero opzioni di controllo, “riparazione”, “ importante ristrutturazione" ed ecc. Tutti questi fattori possono essere presi in considerazione da uno schema computazionale di programmazione dinamica.

strategia di programmazione dinamica ottimale

IN visione generale Il problema si pone nel modo seguente: determinare la strategia ottimale per l'utilizzo di apparecchiature per un periodo di tempo di m anni e il profitto per ogni I anni i= derivante dall'utilizzo di apparecchiature di t anni dovrebbe essere massimo.

Sono noti: r(t) - ricavi derivanti dalle vendite di prodotti fabbricati all'anno su apparecchiature invecchiate t anni, l(t) - costi annuali in base all'età delle apparecchiature t, c(t) - valore residuo delle apparecchiature invecchiate t anni, P - costo delle nuove attrezzature. L'età dell'apparecchiatura si riferisce al periodo di funzionamento dell'apparecchiatura dopo l'ultima sostituzione, espresso in anni.

Per costruire un modello matematico, i passaggi formulati di seguito vengono eseguiti in sequenza.

1. Determinazione del numero di passaggi. Il numero di passaggi è pari al numero di anni durante i quali l'apparecchiatura è in uso.

2. Determinazione degli stati del sistema. Lo stato dell'impianto è caratterizzato dall'età delle apparecchiature t; t=.

3. Definizione dei controlli. All'inizio dell'i-esimo passo, i=, è possibile selezionare uno dei due controlli: sostituire o non sostituire l'apparecchiatura. Ad ogni opzione di controllo viene assegnato un numero

uс - se l'attrezzatura non viene sostituita;

uз - se l'apparecchiatura viene sostituita.

4. Determinazione della funzione di payoff su i-esimo passo. La funzione di profitto nella fase i-esima è il profitto derivante dall'uso dell'attrezzatura entro la fine dell'i-esimo anno di attività, t=, i=.

u1= uñ - se l'apparecchiatura non viene sostituita all'inizio dell'i-esimo anno;

u2= uз - se l'apparecchiatura viene sostituita.

Pertanto, se l'attrezzatura non viene venduta, il profitto derivante dal suo utilizzo è la differenza tra il costo di produzione e i costi operativi. In caso di sostituzione dell'attrezzatura, il profitto è la differenza tra il valore residuo dell'attrezzatura e il costo della nuova attrezzatura, a cui si aggiunge la differenza tra il costo di produzione e i costi operativi per le nuove attrezzature, la cui età all'inizio dell'i -il passaggio è 0 anni.

5. Definizione della funzione di cambiamento di stato

u1 uñ - se Xi=0

u2= uз - se Xi=1

6. Elaborazione di un'equazione funzionale per i=m.

7. Elaborazione dell'equazione funzionale di base

Dove Wi(t) è il profitto derivante dall'uso di attrezzature di età t anni dalla fase i-esima (dalla fine dell'i-esimo anno) alla fine del periodo di funzionamento.

Wi+1(t+1) - profitto derivante dall'uso di attrezzature di età t+1 anno dal (i+1)esimo passaggio fino alla fine del periodo di funzionamento;

È stato quindi costruito un modello matematico del problema.

Algoritmo per la risoluzione del problema

Introduciamo la seguente notazione:

t è l'età dell'attrezzatura.

L(t) - produzione di prodotti su apparecchiature la cui età è t anni.

R(t) - costi di manutenzione delle apparecchiature.

P(t) - valore residuo delle attrezzature.

P - costo delle nuove attrezzature

Fn(t) - profitto da vecchie apparecchiature la cui età è t anni.

n-l'anno scorso.

su vecchie apparecchiature (1)

Questa è l'equazione funzionale

Modulo di input del documento

I dati possono essere inseriti utilizzando una tabella:

Tabella n. 1. Informazioni sull'immissione dei dati.

Secondo la formula

Descrizione del software e dell'hardware

Il programma è stato sviluppato nel linguaggio di programmazione Borland

Delphi 7.0 utilizzando il sistema operativo Microsoft Windows XP Professional

Durante lo sviluppo del programma, sono stati utilizzati i componenti Delphi:

Griglia di stringhe: per riempire le directory e visualizzare i risultati

Modifica: per inserire valori

Pulsante: per creare un pulsante

Etichetta: creazione di etichette per facilità d'uso

Immagine - immagini

Menu principale: menu del programma

OpenDialog: apre un dialogo

Durante lo sviluppo software Sono state inoltre utilizzate le seguenti utilità di sistema:

Programma antivirus (Dr.Web 4.44)

Programmi di archiviazione (WinRar v3.45).

Utilità di Microsoft Office ( Microsoft Word, Excel).

editor grafici (PhotoShop v CS3)

Per lo sviluppo del software è stato utilizzato un PC con le seguenti caratteristiche:

Processore: Intel Pentium® 3,00 GHz

RAM: 1 GB DDR2 PC 533

Scheda video: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Disco rigido: 200 GB

Monitor: 17" 1280x1025@75Hz

Esempio di debug

Troviamo il massimo profitto quando si sostituisce l'attrezzatura dopo 2 anni:

Secondo la formula

Conclusione: otterremo il profitto massimo di 215 unità se cambiamo l'attrezzatura alla terza dopo 2 anni.

Descrizione del programma

Il programma "Risoluzione dei problemi di sostituzione delle apparecchiature" è destinato alle imprese impegnate in qualsiasi tipo di attività che richieda l'uso di determinate attrezzature. Per una serie di motivi, l'attrezzatura si usura fisicamente, ad es. si rompe e non può essere riparato, o si verificano malfunzionamenti in cui è più facile acquistare nuove apparecchiature che riparare vecchie apparecchiature, oppure si consuma moralmente, ad es. tasso di crescita sviluppo economico Le industrie per la produzione di queste apparecchiature sono molto grandi. Pertanto, per raggiungere la "produzione del prodotto" su tali apparecchiature massimo effetto, deve essere modificato periodicamente. Questo programma calcola il numero di anni dopo i quali è necessario cambiare l'attrezzatura per ottenere il massimo profitto.

Per sviluppare il programma "Risoluzione dei problemi di sostituzione delle apparecchiature", è stato utilizzato il linguaggio di programmazione Delphi 6 Attualmente, questo ambiente di programmazione orientato agli oggetti è molto popolare, la sua base è il linguaggio Object Pascal. Ti consente di creare applicazioni di vari gradi di complessità, dai programmi semplici a quelli professionali progettati per funzionare con i database. Inoltre, la guida del programma viene presentata in pagine HTML utilizzando il programma Arachnophilia.

Tutto il lavoro con il programma si basa sull'utilizzo del menu; la sua descrizione può essere trovata nella voce di menu Aiuto/Contenuti/Lavorare con il menu.

Questo programma è stato creato durante il completamento di un progetto del corso sull'argomento "Metodi matematici" su questo argomento.

Programmazione dinamica. Problema di sostituzione dell'attrezzatura

Trova il momento ottimale per la sostituzione dell'attrezzatura. Costo iniziale dell'attrezzatura q 0 =6000 convenzionale. unità, valore di liquidazione L(t)=q 0 2 -i, costo di manutenzione delle apparecchiature di i anni per 1 anno S(t)=0,1q 0 (t+1), vita utile delle apparecchiature 5 anni. Al termine della sua vita utile, l'attrezzatura viene venduta. Risolvi il problema graficamente.

Per costruire un grafico nel software Wolfram Mathematica 6.0, inserisci

g = Traccia[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Di conseguenza, otteniamo un grafico:

Dal grafico vediamo che il periodo ottimale per la sostituzione dell'attrezzatura è il secondo anno di funzionamento.

Programmazione dinamica. Distribuzione ottimale dei fondi tra le imprese

Trova la distribuzione ottimale dei fondi per un importo di 9 unità convenzionali. unità tra quattro società. Il profitto di ciascuna impresa è in funzione dei fondi in essa investiti ed è presentato nella tabella:

Investimenti
Io impresa
II impresa
III impresa
IV impresa

Gli investimenti in ciascuna impresa sono multipli di 1 unità convenzionale. unità

Dividiamo il processo di assegnazione dei fondi alle imprese in 4 fasi: nella prima fase, y 1 fondi vengono assegnati all'impresa P 1, nella seconda - y 2 fondi all'impresa P 2, nella terza - y 3 fondi all'impresa P 3, al quarto terzo - y 4 fondi all'impresa P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Si noti che nella quarta fase di assegnazione dei fondi, l'intero saldo x 3 viene investito nell'impresa P 4, quindi y 3 = x 4.

Usiamo le equazioni di Bellman per N = 4.

Di conseguenza, otteniamo le seguenti tabelle:

Tabella 1

Tabella 2

Tabella 3

Tabella 4

Dalla Tabella 4 segue che il controllo ottimo sarà y 1 * = 3, mentre il profitto ottimo è 42. Successivamente otteniamo

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Pertanto, l'investimento più ottimale è nelle imprese P1, P2, P3 e P4 contanti rispettivamente per un importo di 4, 1,1 e 3 unità convenzionali. In questo caso, il profitto sarà massimo e ammonterà a 42 unità convenzionali. unità

Il compito della sostituzione delle apparecchiature è determinare il momento ottimale per la sostituzione delle vecchie apparecchiature (macchine, edifici di produzione, ecc.) Durante il loro funzionamento. Nel corso del tempo, i costi di produzione per riparazioni e manutenzioni correnti e importanti aumentano, la produttività del lavoro e il valore liquido diminuiscono.

Pertanto, ad un certo punto nel tempo, esiste la necessità (fattibilità economica) di sostituire le vecchie apparecchiature con quelle nuove. Il criterio di ottimalità è, di regola, il profitto derivante dal funzionamento dell'attrezzatura (problema di massimizzazione) o i costi operativi totali durante il periodo pianificato (problema di minimizzazione).

Pertanto, il compito è trovare un programma per la sostituzione delle vecchie apparecchiature con nuove apparecchiature durante il periodo di funzionamento previsto.

La caratteristica principale dell'attrezzatura è il parametro della condizione: la sua età.

Quando si compila un modello di sostituzione dinamica, il processo di sostituzione viene considerato come – stepwise, suddividendo l’intero periodo di funzionamento in n step. Il possibile controllo in ogni fase è caratterizzato da caratteristiche qualitative, ad esempio,
(risparmiare attrezzatura),
(sostituire l'attrezzatura).

Quando si risolve il problema della sostituzione dell'apparecchiatura, vengono utilizzati i seguenti dati iniziali:

– periodo di pianificazione;

– costo liquido delle attrezzature (
);

– costo della manutenzione delle apparecchiature (
);

–costo iniziale delle attrezzature ().

Le equazioni di stato del sistema dipendono dal controllo:

In effetti, se farlo -esimo passo
, quindi mantenendo l'attrezzatura
in un anno l'età dell'attrezzatura aumenterà di 1. Se l'attrezzatura viene sostituita con una nuova
, allora questo significa che all'inizio -esimo passo della sua età =0, e dopo un anno di funzionamento =1, cioè
.

Indicatore di prestazione esimo passo:

.

Permettere
– costi ottimali condizionati per il funzionamento delle apparecchiature, a partire da l'esimo passo fino alla fine, a condizione che sia all'inizio l'attrezzatura a passo è vecchia anni.

Quindi le equazioni di Bellman saranno simili a:

Soluzione geometrica al problema della sostituzione delle apparecchiature. Lo schema di calcolo per risolvere il problema della sostituzione delle apparecchiature può essere presentato sotto forma di un diagramma a due coordinate (grafico). Sull'asse delle ascisse tracceremo il numero del passo , in ordinata: l'età dell'attrezzatura . Punto
sull'aereo corrisponde all'inizio anno di funzionamento dell'età dell'apparecchiatura anni. Movimento sul grafico in base al controllo accettato Il -esimo passaggio è mostrato in figura.

Sopra ogni segmento che collega i punti
E
, vengono registrati i controlli corrispondenti
costi di manutenzione delle attrezzature e soprattutto del segmento che collega i punti
E
, annotiamo i costi corrispondenti alla sostituzione delle apparecchiature - gestione
. Pertanto, verranno contrassegnati tutti i segmenti che collegano i punti sul grafico corrispondenti alle transizioni da qualsiasi stato
in uno stato .

Soluzione ad un esempio tipico

Compito 4

Nello stabilimento di produzione TITAN l'attrezzatura è in funzione da
anni, trascorsi i quali viene venduto (si ritiene che dopo anni, le apparecchiature a causa dell’obsolescenza non sono in grado di garantire la produzione di prodotti competitivi). All'inizio di ogni anno la direzione dell'impresa decide di mantenere l'attrezzatura o di sostituirla con una nuova attrezzatura simile (in questo caso la vecchia attrezzatura viene venduta e il ricavato serve a coprire parte del costo della nuova attrezzatura). Il costo iniziale della nuova attrezzatura è
migliaia di rubli, costi di manutenzione delle attrezzature –
migliaia di rubli, e il valore liquido dell’attrezzatura –
mila rubli sono riportati in tabella. 11.

Tabella 11

Dati iniziali per l'attività di sostituzione dell'apparecchiatura

Necessario:

1. Determinare i costi totali minimi dell'impresa di produzione TITAN per il funzionamento delle apparecchiature durante il periodo in esame .

2. Determinare la strategia (programma) ottimale per il funzionamento delle apparecchiature, garantendo i costi operativi totali minimi dell'impresa di produzione TITAN durante il periodo in esame ai prezzi correnti.

3. Dare un'interpretazione economica della soluzione risultante.

1. Determiniamo i costi totali minimi dell'impresa di produzione TITAN per il funzionamento dell'attrezzatura per 5 anni. Eseguiamo l'ottimizzazione condizionale sul grafico contrassegnato (Fig. 28).

Passaggio 5 Negli stati (5, ) l'attrezzatura viene venduta, il reddito ottimale condizionato derivante dalla vendita è pari al valore liquido
, ma poiché la funzione obiettivo è correlata ai costi, allora nei circoli di punti (5, ) mettere l'importo del reddito con il segno “–”.

Stato (4,1).

Quindi, se il sistema ultimo passo era al punto (4,1), allora dovresti andare al punto (5,2) (indichiamo questa direzione con una linea tratteggiata).

Stato (4,2).

Strategia ottimale di sostituzione delle apparecchiature

Uno dei problemi economici importanti è determinare la strategia ottimale per sostituire vecchie macchine, unità e macchine con nuove.

L'invecchiamento delle apparecchiature comprende la sua usura fisica e morale, a seguito della quale aumentano i costi di produzione per la produzione di prodotti su vecchie apparecchiature, aumentano i costi di riparazione e manutenzione, la produttività e il valore liquido diminuiscono.

Arriva un momento in cui è più redditizio vendere le vecchie apparecchiature e sostituirle con delle nuove piuttosto che utilizzarle a caro prezzo; Inoltre, può essere sostituito con nuove attrezzature dello stesso tipo o nuove e più avanzate.

La strategia ottimale per la sostituzione delle apparecchiature consiste nel determinare i tempi di sostituzione ottimali. Il criterio di ottimalità in questo caso può essere il profitto derivante dall'utilizzo dell'attrezzatura, che dovrebbe essere ottimizzato, o i costi operativi totali durante il periodo di tempo considerato, che dovrebbero essere ridotti al minimo.

Introduciamo la seguente notazione: r(t) è il costo dei prodotti fabbricati in un anno su un'unità di attrezzatura di età t anni;

u(t) - costi di manutenzione annuali per apparecchiature di età t anni;

s(t) - valore residuo delle attrezzature con età t anni;

P è il prezzo di acquisto dell'attrezzatura.

Consideriamo un periodo di N anni entro il quale è necessario determinare il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature.

Indichiamo con fN(t) il reddito massimo ricevuto da attrezzature di età t anni per i restanti N anni del ciclo di utilizzo delle attrezzature, soggetto ad una strategia ottimale.

L'età dell'apparecchiatura viene conteggiata nella direzione del flusso del processo. Pertanto, t = 0 corrisponde al caso di utilizzo di nuove apparecchiature. Le fasi temporali del processo sono numerate in senso inverso rispetto all'avanzamento del processo. Pertanto, N = 1 si riferisce alla fase temporale rimanente fino al completamento del processo e N = N all'inizio del processo.

In ciascuna fase del processo N-stage è necessario decidere se conservare o sostituire le apparecchiature. L'opzione scelta dovrebbe garantire il massimo profitto.

Le equazioni funzionali basate sul principio di ottimalità hanno la forma:

La prima equazione descrive un processo a N stadi, mentre la seconda descrive un processo a uno stadio. Entrambe le equazioni sono composte da due parti: la riga superiore determina il reddito ricevuto dalla manutenzione dell'attrezzatura; inferiore: reddito ricevuto durante la sostituzione dell'attrezzatura e la continuazione del processo di lavoro su nuove attrezzature.

Nella prima equazione, la funzione r(t) - u(t) è la differenza tra il costo dei prodotti fabbricati e i costi operativi nell'ennesima fase del processo.

La funzione fN–1 (t + 1) caratterizza il profitto totale derivante da (N - 1) fasi rimanenti per apparecchiature la cui età all'inizio di queste fasi è (t + 1) anni.

Il risultato finale della prima equazione è caratterizzato come segue: la funzione s(t) - P rappresenta il costo netto di sostituzione di apparecchiature vecchie di t anni.

La funzione r(0) esprime il reddito ricevuto da nuove apparecchiature di 0 anni. Si presuppone che il passaggio dal lavoro su attrezzature vecchie di t anni al lavoro su attrezzature nuove avvenga istantaneamente, vale a dire. il periodo di sostituzione delle vecchie attrezzature e il passaggio al lavoro su nuove attrezzature si inseriscono nella stessa fase.

L'ultima funzione fN–1 rappresenta il reddito delle rimanenti fasi N - 1, prima dell'inizio delle quali l'apparecchiatura ha un anno.

Un'interpretazione simile può essere data all'equazione per un processo ad una fase. Non esiste un termine della forma f0(t + 1), poiché N assume il valore 1, 2,..., N. L'uguaglianza f0(t) = 0 segue dalla definizione della funzione fN(t).

Le equazioni sono relazioni ricorrenti che permettono di determinare il valore di fN(t) in funzione di fN–1(t + 1). La struttura di queste equazioni mostra che quando si passa da una fase del processo a quella successiva, l'età dell'attrezzatura aumenta da t a (t + 1) anni e il numero delle fasi rimanenti diminuisce da N a (N - 1) .

Il calcolo inizia utilizzando la prima equazione. Le equazioni consentono di valutare le opzioni per la sostituzione e la manutenzione delle apparecchiature al fine di accettare quella che offre i maggiori ricavi. Questi rapporti consentono non solo di scegliere una linea d'azione al momento di decidere se mantenere o sostituire l'attrezzatura, ma anche di determinare il profitto ricevuto quando si prende ciascuna di queste decisioni.

Esempio. Determinare il ciclo di sostituzione ottimale dell'attrezzatura con i seguenti dati iniziali: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), presentati nella tabella.

Soluzione. Scriviamo le equazioni nella seguente forma:

Continuiamo i calcoli finché la condizione f1(1) > f2(2) è soddisfatta, cioè V al momento l'attrezzatura deve essere sostituita, poiché l'importo del profitto ricevuto a seguito della sostituzione dell'attrezzatura è maggiore rispetto al caso di utilizzo di quella vecchia. Inseriamo i risultati del calcolo nella tabella, contrassegniamo il momento della sostituzione con un asterisco, dopodiché interrompiamo ulteriori calcoli lungo la linea.

Non devi risolvere l’equazione ogni volta, ma eseguire i calcoli in una tabella. Ad esempio, calcoliamo f4(t):

Interrompiamo ulteriori calcoli per f4(t), poiché f4(4) = 23 Sulla base dei risultati del calcolo e lungo la linea che delimita le aree decisionali per la manutenzione e la sostituzione delle apparecchiature, troviamo il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature. Per questo compito sono 4 anni.

Risposta. Per ottenere il massimo profitto dall'utilizzo delle apparecchiature in un processo in dodici fasi, il ciclo ottimale prevede la sostituzione delle apparecchiature ogni 4 anni.

Allocazione ottimale delle risorse

Sia presente una certa quantità di risorse x che deve essere distribuita tra n varie imprese, oggetti, opere, ecc. in modo da ottenere la massima efficienza complessiva dal metodo di distribuzione prescelto.

Introduciamo la seguente notazione: xi - la quantità di risorse assegnate all'impresa i-esima (i = );

gi(xi) è una funzione di utilità, in questo caso è l'ammontare del reddito derivante dall'uso della risorsa xi ricevuto dall'impresa i-esima;

fk(x) è il reddito massimo ottenibile utilizzando le risorse x delle prime k diverse imprese.

Il problema formulato può essere scritto in forma matematica:

con restrizioni:

Per risolvere il problema è necessario ottenere una relazione ricorsiva che colleghi fk(x) e fk–1(x).

Indichiamo con xk la quantità di risorsa utilizzata dal metodo k-esimo (0 ≤ xk ≤ x), quindi per i metodi (k - 1) la quantità di risorse rimanenti è pari a (x - xk). Il reddito maggiore che si ottiene utilizzando una risorsa (x - xk) dai primi metodi (k - 1) sarà fk–1(x - xk).

Per massimizzare il reddito totale del metodo k–esimo e del primo (k – 1), è necessario scegliere xk in modo tale che siano soddisfatte le seguenti relazioni:

Consideriamo compito specifico sulla distribuzione degli investimenti di capitale tra le imprese.

Distribuzione degli investimenti per utilizzo efficace potenziale aziendale

Il consiglio di amministrazione della società sta valutando le proposte per aumentare la capacità produttiva per aumentare la produzione di prodotti omogenei in quattro imprese di proprietà della società.

Per espandere la produzione, il consiglio di amministrazione stanzia fondi per un importo di 120 milioni di rubli. con discrezione di 20 milioni di rubli. L'aumento della produzione delle imprese dipende dall'importo stanziato; i suoi valori sono presentati dalle imprese e sono contenuti nella tabella.

Trovare la distribuzione dei fondi tra le imprese che garantisce il massimo aumento della produzione e non può essere effettuato più di un investimento per impresa.

Soluzione. Dividiamo la soluzione del problema in quattro fasi, a seconda del numero di imprese in cui si prevede di investire.

Le relazioni di ricorrenza saranno simili a:

per l'impresa n. 1

per tutte le altre imprese

Effettueremo la soluzione secondo relazioni di ricorrenza in quattro fasi.

1a fase. Effettuiamo investimenti solo per la prima impresa. Poi

2a fase. Assegniamo gli investimenti alla prima e alla seconda impresa. La relazione di ricorrenza per la 2a fase ha la forma

a x = 20 f2(20) = max (8 + 0,0 + 10) = max (8, 10) = 10,

a x = 40 f2(40) = massimo (16,8 + 10,20) = massimo (16, 18, 20) =20,

a x = 60 f2(60) = massimo (25,16 + 10, 8 + 20,28) = massimo (25,26, 28,28) = 28,

a x = 80 f2(80) = massimo (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = massimo (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

a x = 100 f2(100) = massimo (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = massimo (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

a x = 120 f2(120) = massimo (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) ​​= massimo (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3a fase. Stiamo finanziando la seconda fase e la terza impresa. Eseguiamo calcoli utilizzando la formula

in x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,

a x = 40 f3(40) = max (20,10 + 12,21) = max (20, 22, 21) = 22,

a x = 60 f3(60) = massimo (28,20 + 12,10 + 21,27) = massimo (28, 32, 31, 27) = 32,

a x = 80 f3(80) = massimo (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = massimo (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

a x = 100 f3(100) = massimo (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = massimo (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

a x = 120 f3(120) = massimo (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = massimo (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4a fase. Investimenti per un importo di 120 milioni di rubli. distribuiti tra il 3° stadio e la quarta impresa.

A x = 120 f4(120) = massimo (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = massimo (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Si ottengono le condizioni di controllo dal 1° al 4° stadio. Ritorniamo dalla 4a alla 1a tappa. L'aumento massimo della produzione è di 64 milioni di rubli. ottenuto al 4° stadio come 41 + 23, cioè 23 milioni di rubli. corrispondono allo stanziamento di 40 milioni di rubli. la quarta impresa (vedi Tabella 29.3). Secondo la terza fase, 41 milioni di rubli. ottenuto come 20 + 21, cioè 21 milioni di rubli. corrisponde ad uno stanziamento dedicato di 40 milioni di rubli. ad una terza società. Secondo la fase 2, 20 milioni di rubli. ricevuto con lo stanziamento di 40 milioni di rubli. alla seconda impresa.

Pertanto, gli investimenti ammontano a 120 milioni di rubli. Si consiglia di stanziare 40 milioni di rubli ciascuna alla seconda, terza e quarta impresa. ciascuno, mentre l'aumento della produzione sarà massimo e ammonterà a 64 milioni di rubli.

Ridurre al minimo i costi per la costruzione e il funzionamento delle imprese

Compito attivo posizionamento ottimale imprese manifatturiere può essere ridotto al problema dell’allocazione delle risorse secondo il criterio di minimizzazione, tenendo conto delle condizioni intere imposte alle variabili.

Lascia che ci sia una domanda per un prodotto richiesto in un determinato territorio. Esistono punti noti in cui è possibile costruire imprese produttrici questo prodotto. Sono stati calcolati i costi di costruzione e di funzionamento di tali imprese.

È necessario localizzare le imprese in modo che i costi di costruzione e funzionamento siano minimi.

Introduciamo la seguente notazione:

x è la quantità di risorse distribuite che possono essere utilizzate in n modi diversi,

xi - quantità di risorsa utilizzata secondo il metodo i (i = );

gi(xi) è una funzione di costo pari, ad esempio, al valore dei costi di produzione quando si utilizza la risorsa xi utilizzando il metodo i;

φk(x) - costo più basso, che devono essere prodotti quando si utilizza la risorsa x nei primi k modi.

È necessario ridurre al minimo il costo totale dello sviluppo della risorsa x in tutti i modi:

sotto restrizioni

Il significato economico delle variabili xi è trovare il numero di imprese consigliate per la costruzione al punto i-esimo. Per comodità di calcolo, assumeremo che sia prevista la costruzione di imprese della stessa capacità.

Consideriamo il problema specifico della localizzazione delle imprese.

Esempio. In tre quartieri della città, l'imprenditore progetta di costruire cinque imprese di uguale capacità per produrre i prodotti da forno richiesti.

È necessario localizzare le imprese in modo tale da garantire i costi totali minimi per la loro costruzione e gestione. I valori della funzione costo gi(x) sono riportati nella tabella.

IN in questo esempio gi(x) è una funzione delle spese in milioni di rubli, che caratterizza l'importo dei costi di costruzione e di funzionamento in base al numero di imprese situate nella regione i-esima;

φk(x) è l'importo minimo dei costi in milioni di rubli che devono essere sostenuti durante la costruzione e il funzionamento delle imprese nelle prime k regioni.

Soluzione. Risolviamo il problema utilizzando le relazioni di ricorrenza: per la prima regione

per altre aree

Risolveremo il problema in tre fasi.

1a fase. Se tutte le imprese venissero costruite solo nel primo distretto, allora

i costi minimi possibili in x = 5 sono 76 milioni di rubli.

2a fase. Determiniamo la strategia ottimale per localizzare le imprese solo nelle prime due regioni utilizzando la formula

Troviamo φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Calcoliamo φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = minimo (19, 21, 18) = 18.

Troviamo φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = minimo (34, 30, 28, 35) = 28.

Definiamo φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = minimo (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Calcoliamo φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = minimo (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

3a fase. Determiniamo la strategia ottimale per localizzare cinque imprese in tre distretti utilizzando la formula

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Troviamo φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

I costi minimi possibili per x = 5 sono 46 milioni di rubli.

Sono stati determinati i costi per la costruzione delle imprese dalla 1a alla 3a fase. Torniamo alla fase 1 il 3. Costi minimi a 46 milioni di rubli. al 3° stadio si ottengono come 9 + 37, cioè 9 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di un'impresa nella terza regione (vedi Tabella 29.4). Secondo la seconda fase, 37 milioni di rubli. ottenuto come 19 + 18, cioè 19 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di due imprese nella seconda regione. Secondo la prima fase, 18 milioni di rubli. corrispondono alla costruzione di due imprese nella prima regione.

Risposta. La strategia ottimale è costruire un'impresa nel terzo distretto, due imprese ciascuna nel secondo e nel primo distretto, mentre costo minimo la costruzione e il funzionamento dureranno 46 giorni. unità

Individuazione dei costi razionali nella costruzione di gasdotti e arterie di trasporto

È necessario tracciare un percorso (gasdotto, autostrada) tra due punti A e B in modo tale che i costi totali della sua costruzione siano minimi.

Soluzione. Dividiamo la distanza tra i punti A e B in passi (segmenti). Ad ogni passo possiamo spostarci verso est (lungo l'asse X) o verso nord (lungo l'asse Y). Quindi il percorso da A a B rappresenta un passaggio graduale linea spezzata, i cui segmenti sono paralleli a uno degli assi delle coordinate. I costi per la costruzione di ciascuna sezione sono noti (Fig. 29.2) in milioni di rubli.

Dividiamo la distanza da A a B in direzione est in 4 parti, in direzione nord in 3 parti. Il percorso può essere considerato come un sistema controllato, che si muove sotto l'influenza del controllo dallo stato iniziale A allo stato finale B. Lo stato di questo sistema prima dell'inizio di ogni passo sarà caratterizzato da due coordinate intere xey. Per ogni stato del sistema (punto nodale), troviamo il controllo ottimo condizionale. Viene scelto in modo tale che il costo di tutte le fasi rimanenti fino alla fine del processo sia minimo. Eseguiamo la procedura di ottimizzazione condizionale nella direzione opposta, vale a dire dal punto B al punto A.

Troviamo l'ottimizzazione condizionale dell'ultimo passaggio.