Uno dei problemi economici importanti è la determinazione strategia ottimale sostituzione di macchine vecchie, aipcraTOB e macchine con macchine nuove. L'invecchiamento dell'attrezzatura significa la sua usura fisica e morale, a seguito della quale aumentano i costi di riparazione e manutenzione, aumentano i costi di produzione e diminuiscono

performance e valore liquido. Arriva un momento in cui è più redditizio vendere le vecchie apparecchiature e sostituirle con delle nuove piuttosto che utilizzarle a caro prezzo; Inoltre, può essere sostituito con nuove attrezzature dello stesso tipo o nuove e più avanzate. La strategia ottimale per sostituire l'attrezzatura è determinarne la sua tempistica ottimale. Il criterio di ottimalità in questo caso può essere il profitto derivante dall'utilizzo dell'attrezzatura, che dovrebbe essere ottimizzato, o i costi operativi totali durante il periodo di tempo considerato, che dovrebbero essere ridotti al minimo.

Introduciamo la seguente notazione:

r(t)- costi annuali di manutenzione per apparecchiature obsolete T stendersi;

g(t)- valore residuo di attrezzature vetuste T stendersi;

R 0 - prezzo di acquisto delle attrezzature.

Considera il periodo N anni, entro i quali è necessario determinare il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature.

Indichiamo con L*(/) i costi ottimi ottenuti da

età dell'attrezzatura T anni per il restante N anni di ciclo di utilizzo delle apparecchiature, soggetto ad una strategia ottimale.

L'età dell'attrezzatura viene misurata nella direzione del flusso del processo. Pertanto, / = 0 corrisponde al caso di utilizzo di nuove apparecchiature. In ogni fase del processo /V-stage, è necessario prendere la decisione di conservare, sostituire o riparare l'attrezzatura. L'opzione scelta dovrebbe garantire che i costi operativi totali siano ridotti al minimo durante il periodo di tempo in esame.

Si presume che la transizione dal lavoro su attrezzature di età T La preparazione per lavorare su nuove attrezzature avviene istantaneamente, ovvero la sostituzione delle vecchie attrezzature e il passaggio al lavoro su nuove attrezzature rientrano in un unico periodo.

Esempio 4.2

L'attrezzatura viene utilizzata per cinque anni e successivamente viene venduta. All'inizio di ogni anno potrai decidere se tenere l'attrezzatura o sostituirla con altra nuova. Costo delle nuove attrezzature P0= 4000 rubli. Dopo T anni di funzionamento (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (valore liquido). I costi di manutenzione durante l'anno dipendono dall'età dell'apparecchiatura T e sono uguali r(t) = 600(/ + 1).

Determinare la strategia ottimale per il funzionamento delle apparecchiature in modo che i costi totali, tenendo conto dell'acquisto iniziale e della vendita finale, siano minimi.

Soluzione. Il metodo di dividere il controllo in fasi è naturale, ma nel corso degli anni, N= 5. Parametro di stato - età della macchina lu= T,,v 0 = 0 - l'auto è nuova all'inizio del primo anno di funzionamento. Il controllo ad ogni passaggio dipende da due variabili Se E Se.

Le equazioni di stato dipendono dal controllo:

Indicatore di efficienza della fase A:

(A Se costi solo per il funzionamento dell'età della macchina T, A Se la macchina viene venduta (-4000 2~"), ne viene acquistata una nuova (4000) e messa in funzione per il primo anno (600), i costi totali sono (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Sia l' (?) il costo ottimale condizionato per il funzionamento della macchina, a partire dal passo A” fino alla fine, a condizione che all'inizio del passo A” la macchina sia vecchia. Scriviamo le equazioni di Wellman per le funzioni A(r), sostituendo il problema di massimizzazione con il problema di minimizzazione:

Valore 4000 2 0+11 - costo dell'età dell'auto T anni (secondo le condizioni, l'auto viene venduta dopo cinque anni di funzionamento):

Dalla definizione delle funzioni А* (/) segue A min = А*(0).

Presentiamo una soluzione geometrica a questo problema. Tracciamo il numero del passo sull'asse x A, e lungo l'ordinata: l'età della macchina /. Punto (A - 1, /) sull'aereo corrisponde all'inizio dell'anno A - - di funzionamento della macchina, età / anni. Movimento sul grafico in funzione del controllo accettato su / o-esimo passo mostrato in Fig. 4.3.

Riso. 4.3

Lo stato di inizio funzionamento della macchina corrisponde al punto,v‘(0, 0), la fine - ai punti.5(5,/). Qualsiasi traiettoria che trasferisce il punto DA-1, /) dal punto 5 è costituita da segmenti - passaggi corrispondenti ad anni di attività. È necessario scegliere una traiettoria in cui il costo di funzionamento della macchina sarà minimo.

Sopra ogni segmento che collega i punti (A’ - 1, /) e (A, / + 1), sono scritti i controlli corrispondenti Se costi (600(/ + 1)), e sopra il segmento che collega i punti (A- 1, /) e ( A, /), - costi corrispondenti alla gestione Se(4600 - 4000 2 "). In questo modo vengono posizionati tutti i segmenti che collegano i punti su 1rafix, corrispondenti alle transizioni da qualsiasi stato ld_| allo stato s k(vedi Fig. 4.3).

Successivamente, viene eseguita l'ottimizzazione condizionale sul faff contrassegnato. Negli stati (5, /) l'auto viene venduta, il reddito ottimale condizionato derivante dalla vendita è 4000 2~‘, ma poiché la funzione obiettivo è correlata ai costi, il valore del reddito con segno meno viene posto nei cerchi di punti (5, /). Poi, nelle fasi successive, selezionano costi minimi tra due possibili transizioni, sono scritti nel cerchio di un dato punto, e i controlli corrispondenti in questo passaggio sono contrassegnati da una freccia tratteggiata. In questo caso, ad ogni passo le equazioni di Wellman vengono risolte trafficicamente (Fig. 4.4).

Dopo aver effettuato l'ottimizzazione condizionale, otteniamo nel punto (0, 0) il costo minimo di funzionamento della macchina per circa cinque anni con successiva vendita: A min = 11.900 Successivamente, partendo dal punto, viene costruita la traiettoria ottimale Quindi(0, 0) lungo le frecce tratteggiate in.?. Otteniamo un insieme di punti: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), che corrisponde all'ottimo controllare U"(u c , U', U U c , U c). Modalità ottimale

L’operazione consiste nel sostituire la macchina con una nuova all’inizio del terzo anno.

Pertanto, il grafico contrassegnato (rete) consente di interpretare chiaramente il diagramma di progettazione e risolvere il problema utilizzando il metodo programmazione dinamica.

I modelli di programmazione dinamica e le procedure computazionali sono molto flessibili in termini di inclusione varie modifiche compiti. Ad esempio, si può considerare un problema simile gran numero opzioni di controllo, “riparazione”, “ importante ristrutturazione" ed ecc. Tutti questi fattori possono essere presi in considerazione da uno schema computazionale di programmazione dinamica.

Introduzione………………...…………………...……….3

Capitolo 1. Descrizione teorica del modello sostitutivo dell'apparecchiatura…………..….4

1.1. Caratteristiche dello stato di un'entità economica e individuazione delle tendenze del suo sviluppo………………………………………..……...4

1.2. Informazioni e supporto metodologico per la modellizzazione economica……………...……...………………...4

1.2.1. Base metodologica per la risoluzione del modello………………….…………....4

1.2.2. Informazioni e supporto metodologico del metodo…………..…9

Capitolo 2. Calcolo degli indicatori del modello economico-matematico e interpretazione economica dei risultati…………….………...13

2.1. Trovare una soluzione ottima condizionale al problema…………...15

2.2. Elaborazione di un piano ottimale di sostituzione delle attrezzature…………21

Conclusione…………………..………………..24

Riferimenti……………..…..…..26

Applicazioni…………………..……………...27

Introduzione

Sono molte le aziende in tutto il mondo che utilizzano macchinari per produrre i propri prodotti. Pertanto, durante la sua attuazione, è necessario elaborare un piano ottimale per l'utilizzo e la sostituzione delle apparecchiature. Le attività di sostituzione delle apparecchiature sono considerate un processo in più fasi, caratteristico della programmazione dinamica.

Molte aziende conservano o sostituiscono le apparecchiature in base all'intuizione, senza utilizzare tecniche di programmazione dinamica. Si consiglia di utilizzare questi metodi poiché ciò consente di massimizzare chiaramente i profitti o ridurre al minimo i costi.

Lo scopo di questo lavoro è determinare i tempi ottimali per la sostituzione delle vecchie apparecchiature.

Gli obiettivi di questo lavoro sono:

· nel trovare il condizionale soluzione ottimale compiti;

· nell'elaborazione di un piano ottimale per la sostituzione delle apparecchiature.

L'invecchiamento delle apparecchiature comprende la loro usura fisica e morale. Di conseguenza, i costi di produzione aumentano, i costi di manutenzione e riparazione aumentano, la produttività del lavoro e il valore liquido diminuiscono. Il criterio di ottimalità è il profitto derivante dal funzionamento dell'attrezzatura o i costi operativi totali durante il periodo pianificato.

Il corso contiene 2 capitoli, 12 tabelle, 1 appendice, 5 disegni ed è formattato su 30 pagine.

Capitolo 1. Descrizione teorica del modello di sostituzione dell'apparecchiatura

1.1. Caratteristiche dello stato di un'entità economica e identificazione delle tendenze nel suo sviluppo

Per svolgere efficacemente la propria attività, le associazioni di produzione e le imprese devono periodicamente sostituire le attrezzature utilizzate. Questa sostituzione tiene conto delle prestazioni dell'attrezzatura utilizzata e dei costi associati alla manutenzione e alla riparazione dell'attrezzatura.

Caratteristica della programmazione dinamica è l'approccio alla risoluzione di un problema in più fasi, ciascuna delle quali è associata a una variabile controllata. Un insieme di procedure computazionali ricorrenti che si connettono varie fasi, garantisce l'ottenimento di una soluzione ammissibile del problema nel suo insieme una volta raggiunta l'ultima fase.

() (1.1)

(1.1) - Principio di ottimalità di Bellman.

(1.2)

Dove t – età dell'attrezzatura all'inizio kesimo anno ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

– controllo implementato all'inizio kesimo anno; P 0 – costo di nuove attrezzature.

(1.2) - Equazione funzionale di Bellman.

1.2. Supporto informativo e metodologico per la modellizzazione economica

1.2.1. Base metodologica per la risoluzione del modello

Nei problemi di programmazione dinamica processo economico dipende dal tempo (su più periodi (fasi) di tempo), pertanto vengono trovate una serie di soluzioni ottimali (in sequenza per ciascuna fase) che garantiscono lo sviluppo ottimale dell'intero processo nel suo insieme. I problemi di programmazione dinamica sono chiamati multi-step o multi-step. La programmazione dinamica è un apparato matematico che consente la pianificazione ottimale di processi controllati in più fasi e di processi dipendenti dal tempo. Un processo economico si dice controllato se è possibile influenzare il corso del suo sviluppo. La gestione è l’insieme delle decisioni prese in ogni fase per influenzare il corso del processo. Nei processi economici, la gestione consiste nella distribuzione e ridistribuzione dei fondi in ogni fase. Ad esempio, la produzione di prodotti da parte di qualsiasi impresa è un processo controllato, poiché è determinata da cambiamenti nella composizione delle attrezzature, dal volume delle forniture di materie prime, dall'importo del finanziamento, ecc. L'insieme delle decisioni prese all'inizio di ogni anno del periodo di pianificazione sulla fornitura all'impresa di materie prime, sulla sostituzione delle attrezzature, sugli importi dei finanziamenti, ecc. costituisce la gestione. Sembrerebbe che per ottenere il massimo volume di produzione, il modo più semplice sia investire la massima quantità possibile di fondi e utilizzarla per piena potenza attrezzatura. Ma ciò comporterebbe una rapida usura delle attrezzature e, di conseguenza, una diminuzione della produzione. Pertanto, il rilascio del prodotto deve essere pianificato in modo tale da evitare effetti indesiderati. È necessario adottare misure per garantire che l'attrezzatura venga rifornita man mano che si usura, ad es. per periodi di tempo. Quest'ultimo, sebbene comporti una diminuzione del volume iniziale della produzione, offre la possibilità di espandere la produzione in futuro. Pertanto, il processo economico di produzione può essere considerato costituito da diverse fasi (fasi), ciascuna delle quali influenza il suo sviluppo.

L'inizio di una fase (fase) di un processo controllato è considerato il momento in cui viene presa una decisione (sull'importo degli investimenti di capitale, sulla sostituzione di apparecchiature di un certo tipo, ecc.). Una fase viene solitamente intesa come un anno lavorativo.

La programmazione dinamica, utilizzando la pianificazione passo passo, consente non solo di semplificare la soluzione del problema, ma anche di risolvere quei problemi a cui non è possibile applicare i metodi dell'analisi matematica. La semplificazione della soluzione si ottiene riducendo significativamente il numero di opzioni studiate, poiché invece di risolvere un problema multivariato complesso una volta, il metodo di pianificazione passo passo prevede la risoluzione di problemi relativamente semplici più volte.

Pianificazione processo passo dopo passo, procedono dagli interessi dell'intero processo nel suo insieme, vale a dire Quando si prende una decisione in una fase particolare, è sempre necessario tenere presente l'obiettivo finale.

Supponiamo che un sistema S si trovi in ​​uno stato iniziale S 0 e sia controllabile. Pertanto, grazie all'implementazione di qualche controllo U, il sistema specificato passa dallo stato iniziale S 0 allo stato finale S k. In questo caso, la qualità di ciascuno dei controlli implementati U è caratterizzata dal corrispondente valore della funzione W(U). Il compito è trovare dall'insieme dei possibili controlli U un U* tale che la funzione W(U) assuma un valore estremo (massimo o minimo) W(U*).

I problemi di programmazione dinamica hanno un'interpretazione geometrica. Stato sistema fisico S può essere descritto da parametri numerici, ad esempio consumo di carburante e velocità, importo dell'investimento, ecc. Chiamiamo questi parametri coordinate del sistema; quindi lo stato del sistema può essere rappresentato dal punto S e la transizione da uno stato S 1 a un altro S 2 - dalla traiettoria del punto S. Controllare U significa scegliere una traiettoria specifica per spostare il punto S da S 1 a S 2 , cioè. determinazione di una certa legge di moto del punto S.

Dopo che i passaggi 1-7 sono stati completati e il modello matematico è stato compilato, iniziamo a calcolarlo.

Le fasi principali della risoluzione di un problema di programmazione dinamica:

• 1. Determinazione dell'insieme dei possibili stati Sm per l'ultimo passo.
• 2. Effettuare per ultimo l'ottimizzazione condizionale per ciascuno stato s€ Sm passo secondo la formula (1.3) e la definizione di controllo ottimo condizionato x(s), s€ Sm
• 3. Determinazione dell'insieme dei possibili stati Si per il passo i-esimo, i=2,3…,m-1.
• 4. Effettuare l'ottimizzazione condizionale del passo i-esimo, i=2,3...,m-1 per ogni stato s€ S m secondo la formula (1.4) e determinare il controllo ottimo condizionale x i (s), s € S m , i=2 ,3…,m-1.
• 5. Determinazione dello stato iniziale del sistema s 1, guadagno ottimale W1(S1) e controllo ottimo x1(S1) secondo la formula (1.4) per i=1. Questo è il guadagno ottimale per l'intero problema W* =W 1 (x 1 *).
• 6. Effettuare l'ottimizzazione incondizionata del controllo. Per effettuare l'ottimizzazione incondizionata è necessario sostituire il controllo ottimo x 1 *=x 1 (s 1) trovato al primo passo nella formula (1.2) e determinare lo stato successivo del sistema s 1 =f 1 (s 1 ,x1). Per lo stato modificato, trova il controllo ottimo x 2 *=x 2 (s 2), sostituiscilo nella formula (1.2), ecc. Per l'i-esimo stato s 1, trovare s i+1 =f i+1 (s i ,x i *) e x* i+1 (s i+1), ecc.

La programmazione dinamica segue generalmente due approcci per risolvere i problemi:

• · Programmazione dinamica top-down: un problema viene suddiviso in sottoproblemi più piccoli, questi vengono risolti e quindi combinati per risolvere il problema originale. La memorizzazione viene utilizzata per risolvere i sottoproblemi che si verificano frequentemente;
• · programmazione dinamica dal basso verso l'alto: tutte le sottoattività che saranno successivamente necessarie per risolvere il problema originale vengono calcolate in anticipo e poi utilizzate per costruire una soluzione al problema originale.

Questo metodo è migliore della programmazione top-down in termini di dimensione dello stack richiesto e numero di chiamate di funzione, ma a volte non è facile sapere in anticipo quali sottoproblemi dovremo risolvere in seguito.

Il problema della sostituzione delle apparecchiature è determinare il momento ottimale per la sostituzione delle vecchie apparecchiature. Il criterio di ottimalità è il reddito derivante dal funzionamento dell'attrezzatura (problema di massimizzazione) o i costi operativi totali (problema di minimizzazione) durante il periodo di pianificazione. Considereremo un problema di massimizzazione e il criterio di ottimalità sarà il reddito derivante dal funzionamento dell'attrezzatura.

Il principio di ottimalità di Bellman è il principio più importante della programmazione dinamica, il quale afferma che il comportamento ottimale nei problemi di programmazione dinamica ha la proprietà che qualunque sia lo stato iniziale e la soluzione (cioè il "controllo"), le decisioni successive devono costituire un comportamento ottimale rispetto al stato risultante dalla prima soluzione. Questo principio può essere espresso anche argomentando per contraddizione: se non usi nel miglior modo possibile Ciò che abbiamo adesso non saremo in grado di sfruttare al meglio ciò che potremmo avere in futuro.

Di conseguenza, se esiste una traiettoria ottimale, allora qualsiasi sua sezione rappresenta una traiettoria ottimale.

Questo principio ci permette di formulare metodo efficace risolvere un’ampia classe di problemi a più passi.

Per funzione di Bellman al momento attuale intendiamo il valore minimo del criterio di qualità al momento attuale: Se t=0, allora

Pertanto, il valore della funzione di Bellman S(x,t) determina il valore minimo del funzionale per qualsiasi stato iniziale x(t) in qualsiasi momento t. Il valore della funzione Bellman coincide invece con il valore delle cosiddette perdite di controllo correnti:

È previsto il funzionamento dell'attrezzatura N anni, ma le attrezzature tendono ad invecchiare nel tempo e a produrre profitti annuali sempre minori r(t), Dove T- età dell'attrezzatura. In questo caso, hai una scelta: all'inizio di ogni anno puoi vendere attrezzature obsolete per il prezzo S(t), che dipende anche dall'età, e acquista nuove attrezzature per il prezzo P o lasciare l'apparecchiatura in funzione. È necessario trovare il piano ottimale di sostituzione delle apparecchiature in modo che il profitto totale sia per tutti N anni era il massimo, dato che all'inizio del periodo operativo l'età dell'attrezzatura è T 0 anni.

I dati di input per questo problema sono:

r(t)- reddito derivante dalla gestione di attrezzature di un anno di età T anni;

S(t)- valore residuo delle attrezzature;

P- prezzo delle nuove attrezzature;

T 0 - età iniziale dell'attrezzatura.

Variabile di controllo attivata k L'esimo passo è una variabile logica che può assumere due valori: C - salva, Z- sostituire attrezzature all'inizio k anno. Variabile di stato del sistema attiva k-l'esimo passo è la variabile T.

Funzione fattorino F k (T) lo definiamo come il massimo profitto possibile derivante dal funzionamento delle apparecchiature nel corso degli anni k th N-esimo, se all'inizio k anno, l'età dell'attrezzatura era T anni. Applicando questo o quel controllo, trasferiamo il sistema in un nuovo stato, vale a dire se all'inizio k anno salviamo l'attrezzatura, poi all'inizio del successivo (k+1) anno, la sua età aumenterà di 1 (lo stato del sistema sarà pari a T+1), porterà profitto in un anno r(t), e il massimo profitto possibile per gli anni rimanenti (con (k+1) th N th) sarà F k+1 (t+1). Se all'inizio k anno decidiamo di sostituire l'attrezzatura, poi vendiamo la vecchia attrezzatura T anni per il prezzo S(t), acquistiamo nuove attrezzature a pagamento P e usarlo per k-anno, che porta profitto per quest'anno r(0). Torna all'inizio l'anno prossimo l'età dell'attrezzatura sarà di 1 anno e per tutti gli anni a partire da (k+1) th N-sarà il massimo profitto possibile F k+1 (1) .

Di queste due opzioni di gestione, scegli quella che porta il maggior profitto. L'equazione di Bellman ad ogni passaggio ha la forma:

Funzione Bellman per il primo passaggio ( k=n) è facile da calcolare: questo è il massimo profitto possibile solo per quest'ultimo N quinto anno:

Dopo aver calcolato il valore della funzione F N (T) secondo la formula (2), quindi puoi calcolare F n-1 (T), Poi F n-2 (T) e così via finché F 1 (T 0 ) . Funzione F 1 (T 0 ) rappresenta il massimo profitto possibile per tutti gli anni (dal 1° al N th). Questo massimo si ottiene con un certo controllo, applicando il quale durante il primo anno determiniamo l'età dell'attrezzatura entro l'inizio del secondo anno (a seconda di quale controllo è ottimale per il primo anno, sarà 1 o T 0 +1). Per una data età dell'attrezzatura, in base ai risultati ottenuti nella fase ottimizzazione condizionale, esaminiamo con quale gestione si ottiene il massimo profitto per gli anni dal 2 al N th e così via. Sul palco ottimizzazione incondizionata si riscontrano anni all'inizio dei quali l'apparecchiatura dovrebbe essere sostituita.

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Introduzione

In tutto il mondo ora ce ne sono un numero enorme varie imprese che utilizzano macchinari per produrre prodotti. Pertanto, durante la sua attuazione, è necessario elaborare un piano ottimale per la sostituzione e l'utilizzo delle attrezzature. Questo compito è considerato un processo a più fasi, caratteristico della programmazione dinamica.

In condizioni economia di mercato scegliere una strategia per sostituire l'apparecchiatura o garantirne la funzionalità impresa industriale di solito sono piuttosto complessi e per ottenere risultati accettabili a volte può non essere sufficiente solo una solida esperienza, poiché l'intuizione spesso porta a conclusioni errate. La considerazione matematica ci consente di ottenere stime corrette e facilmente calcolabili.

IN teoria economicaÈ stata sviluppata un'ampia gamma di modelli di sostituzione delle apparecchiature che ci consentono di valutare la fattibilità e le condizioni della sostituzione in modo più completo e adeguato. Questi modelli sono stati costruiti sia da specialisti stranieri che da scienziati dell'URSS e della Federazione Russa. Allo stato attuale, sembra molto importante sistematizzare questi modelli e identificare le aree della loro effettiva applicazione.

Lo scopo di questo lavoro del corsoè determinare il momento ottimale per la sostituzione delle vecchie apparecchiature.

Gli obiettivi di questo lavoro sono:

Nel trovare una soluzione ottimale condizionale al problema;

Nella stesura di un piano ottimale di sostituzione delle apparecchiature.

L'invecchiamento delle apparecchiature comprende la loro usura fisica e morale. Di conseguenza, i costi di produzione aumentano, i costi di manutenzione e riparazione delle attrezzature aumentano, la produttività del lavoro e il valore liquido diminuiscono. Il criterio di ottimalità è il profitto derivante dal funzionamento dell'attrezzatura o i costi operativi totali durante il periodo pianificato.

1. Descrizione teorica del modello di sostituzione dell'attrezzatura

1.1 Caratteristiche del modello di sostituzione dell'attrezzatura

Un importante problema economico è la sostituzione tempestiva delle attrezzature: automobili, macchine utensili, elettronica, ecc. L'invecchiamento delle attrezzature comprende usura fisica e morale e, di conseguenza, i costi di manutenzione e riparazione delle attrezzature aumentano, la produttività del lavoro diminuisce e lavorare su vecchie attrezzature non è piacevole come su quelle nuove. Di conseguenza, è necessario sapere quando e come sostituire l'attrezzatura.

Il problema della sostituzione delle apparecchiature è determinare il momento ottimale per la sostituzione delle vecchie apparecchiature. Problemi economici e matematici che risolvono questo problema, sono chiamati ottimizzazione.

I problemi di ottimizzazione vengono risolti utilizzando modelli di ottimizzazione utilizzando metodi di programmazione matematica. La struttura del modello di ottimizzazione è costituita da una funzione obiettivo, area soluzioni ammissibili e i sistemi di restrizioni che definiscono quest’area.

La funzione obiettivo è una funzione che collega l'obiettivo con le variabili controllate. L'intervallo di valori accettabili è l'area all'interno della quale vengono prese le decisioni. È limitato da un sistema di vincoli costituito da equazioni e disuguaglianze.

Un gruppo di problemi viene identificato in base al tipo di criterio di ottimalità:

Problemi di programmazione lineare. La funzione obiettivo e le funzioni nel sistema di vincoli sono funzioni lineari.

Problemi di programmazione lineare intera. A condizioni precedenti viene aggiunta una condizione per ottenere la risposta sotto forma di numeri interi.

Problemi di programmazione non lineare. La funzione obiettivo e/o le funzioni nel sistema di vincoli sono funzioni non lineari.

Problemi di programmazione quadratica. L'insieme delle soluzioni ammissibili è un poliedro convesso e la funzione obiettivo è quadratica.

Problemi di programmazione convessa. L’insieme delle soluzioni ammissibili e la funzione obiettivo sono un insieme convesso.

Problemi di programmazione stocastica. Le funzioni sono casuali.

Problemi di programmazione euristica. Eccessivamente gran numero opzioni di soluzione, portando all'impossibilità di trovare algoritmicamente l'esatto ottimo.

Problemi di programmazione dinamica. Il criterio di efficienza è espresso implicitamente attraverso equazioni che descrivono le operazioni nel tempo.

Il modello di sostituzione delle apparecchiature è un modello di ottimizzazione che possiamo collegare alla programmazione dinamica. Il metodo di programmazione dinamica si basa sul principio dell'ottimizzazione sequenziale: la soluzione del problema originale di ottimizzazione ad alta dimensionalità viene sostituita dalla soluzione di una sequenza di problemi di ottimizzazione a piccola dimensione. La condizione principale per l'applicabilità del metodo di programmazione dinamica è la possibilità di dividere il processo decisionale in una serie di fasi o fasi simili, ciascuna delle quali è pianificata separatamente, ma tenendo conto dei risultati ottenuti nelle altre fasi.

1.2 Principio di ottimalità di Bellman

programmazione matematica delle apparecchiature sostitutive

Il metodo di programmazione dinamica consiste nel costruire gradualmente il controllo ottimale. Ad ogni passaggio, viene ottimizzato il controllo solo di quel passaggio. Allo stesso tempo, in ogni fase, il controllo viene selezionato tenendo conto delle conseguenze, poiché il controllo che ottimizza la funzione obiettivo solo per un dato passaggio può portare a un effetto non ottimale dell'intero processo. La gestione di ogni fase deve essere ottimale dal punto di vista del processo nel suo complesso. Questa regola fondamentale della programmazione dinamica, formulata da Bellman, è chiamata principio di ottimalità.

Si prevede di utilizzare l'apparecchiatura per un certo periodo di tempo. Le attrezzature tendono ad invecchiare nel tempo e a generare sempre meno entrate. Allo stesso tempo, all'inizio di ogni anno è possibile vendere attrezzature obsolete per un certo prezzo, che dipende anche dall'età, e acquistare nuove attrezzature. L'età dell'apparecchiatura si riferisce al periodo di funzionamento dell'apparecchiatura dopo l'ultima sostituzione, definito in anni. È necessario trovare il piano ottimale per la sostituzione delle apparecchiature con nuove in modo che il reddito totale in tutti gli anni di funzionamento sia massimo.

Introduciamo la seguente notazione: r(t) - il costo dei prodotti fabbricati in un anno su un'unità di attrezzatura di età t anni:

u(t) -- costi di manutenzione annuali per apparecchiature di età t anni;

s(t) -- valore residuo delle attrezzature con età t anni;

P è il prezzo di acquisto dell'attrezzatura.

Consideriamo un periodo di N anni entro il quale è necessario determinare il ciclo ottimale di sostituzione delle apparecchiature.

Indichiamo con fN(t) il reddito massimo ricevuto da attrezzature di età t anni per i restanti N anni del ciclo di utilizzo delle attrezzature, soggetto ad una strategia ottimale.

L'età dell'attrezzatura viene misurata nella direzione del flusso del processo. Pertanto, t = 0 corrisponde al caso di utilizzo di nuove apparecchiature. Le fasi temporali del processo sono numerate in senso inverso rispetto all'avanzamento del processo. Pertanto, N = 1 si riferisce a una fase temporale rimanente fino al completamento del processo e N = N si riferisce all'inizio del processo (Fig. 1).

In ciascuna fase del processo N-stage è necessario decidere se conservare o sostituire le apparecchiature. L'opzione scelta dovrebbe garantire il massimo profitto.

Le equazioni funzionali basate sul principio di ottimalità sono mostrate in Fig. 2:

L'equazione 1 descrive un processo a N fasi e l'equazione 2 descrive un processo a una fase. Entrambe le equazioni sono composte da due parti: la riga superiore determina il reddito ricevuto dalla manutenzione dell'attrezzatura; inferiore: reddito ricevuto durante la sostituzione dell'attrezzatura e la continuazione del processo di lavoro su nuove attrezzature.

Nell'equazione 1, la funzione r(t) -- u(t) è la differenza tra il costo di produzione e i costi operativi per Ennesima tappa processo.

La funzione fN-1 (t + 1) caratterizza il profitto totale derivante da (N – 1) fasi rimanenti per apparecchiature la cui età all'inizio di queste fasi è (t + 1) anni.

La conclusione 1 è caratterizzata come segue: la funzione s(t) -- P rappresenta il costo netto di sostituzione di apparecchiature che hanno t anni.

La funzione r(0) esprime il reddito ricevuto da nuove apparecchiature di 0 anni. Si presuppone che il passaggio dal lavoro su attrezzature vecchie di t anni al lavoro su attrezzature nuove avvenga istantaneamente, vale a dire. il periodo di sostituzione delle vecchie attrezzature e il passaggio al lavoro su nuove attrezzature si inseriscono nella stessa fase.

L'ultima funzione fN-1 in 1 rappresenta il reddito delle restanti fasi N - 1, prima dell'inizio delle quali l'apparecchiatura ha un anno.

Un'interpretazione simile può essere data all'equazione per un processo ad una fase. Non esiste un termine della forma f0(t + 1), poiché N assume il valore 1, 2,..., N. L'uguaglianza f0(t) = 0 segue dalla definizione della funzione fN(t).

Le equazioni 1 e 2 sono relazioni ricorsive che ci permettono di determinare il valore di fN(t) in funzione di fN-1(t + 1). La struttura di queste equazioni mostra che quando si passa da una fase del processo a quella successiva, l'età dell'attrezzatura aumenta da t a (t + 1) anni e il numero delle fasi rimanenti diminuisce da N a (N - 1) .

Il calcolo inizia con l'utilizzo dell'equazione 1. Le equazioni 1 e 2 consentono di valutare le opzioni di sostituzione e manutenzione delle apparecchiature al fine di accettare quella che implica maggiori entrate. Questi rapporti consentono non solo di scegliere una linea d'azione al momento di decidere se mantenere o sostituire l'attrezzatura, ma anche di determinare il profitto ricevuto quando si prende ciascuna di queste decisioni.

2. Supporto informativo e metodologico alla modellizzazione

2.1 Supporto metodologico del modello

Nei problemi di programmazione dinamica, il processo economico dipende dal tempo (su più periodi (fasi) di tempo), pertanto si trovano una serie di soluzioni ottimali (in sequenza per ciascuna fase) che garantiscono lo sviluppo ottimale dell'intero processo nel suo insieme. I problemi di programmazione dinamica sono chiamati multi-step o multi-step. La programmazione dinamica è un apparato matematico che consente la pianificazione ottimale di processi controllati in più fasi e di processi dipendenti dal tempo. Un processo economico si dice controllato se è possibile influenzare il corso del suo sviluppo. La gestione è l’insieme delle decisioni prese in ogni fase per influenzare il corso del processo.

Nei processi economici, la gestione consiste nella distribuzione e ridistribuzione dei fondi in ogni fase. Ad esempio, la produzione di prodotti da parte di qualsiasi impresa è un processo controllato, poiché è determinata da cambiamenti nella composizione delle attrezzature, dal volume delle forniture di materie prime, dall'importo del finanziamento, ecc. L'insieme delle decisioni prese all'inizio di ogni anno del periodo di pianificazione sulla fornitura all'impresa di materie prime, sulla sostituzione delle attrezzature, sugli importi dei finanziamenti, ecc. costituisce la gestione. Sembrerebbe che per ottenere il massimo volume di produzione, il modo più semplice sia investire la massima quantità possibile di fondi e utilizzare l'attrezzatura a piena capacità. Ma ciò comporterebbe una rapida usura delle attrezzature e, di conseguenza, una diminuzione della produzione.

Pertanto, il rilascio del prodotto deve essere pianificato in modo tale da evitare effetti indesiderati. È necessario adottare misure per garantire che l'attrezzatura venga rifornita man mano che si usura, ad es. per periodi di tempo. Quest'ultimo, sebbene comporti una diminuzione del volume iniziale della produzione, offre la possibilità di espandere la produzione in futuro. Pertanto, il processo economico di produzione può essere considerato costituito da diverse fasi (fasi), ciascuna delle quali influenza il suo sviluppo.

L'inizio di una fase (fase) di un processo controllato è considerato il momento in cui viene presa una decisione (sull'importo degli investimenti di capitale, sulla sostituzione di apparecchiature di un certo tipo, ecc.). Una fase viene solitamente intesa come un anno lavorativo.

La programmazione dinamica, utilizzando la pianificazione passo passo, consente non solo di semplificare la soluzione del problema, ma anche di risolvere quei problemi a cui non è possibile applicare i metodi dell'analisi matematica. La semplificazione della soluzione si ottiene riducendo significativamente il numero di opzioni studiate, poiché invece di risolvere un problema multivariato complesso una volta, il metodo di pianificazione passo passo prevede la risoluzione di problemi relativamente semplici più volte.

Quando pianifichiamo un processo passo passo, procediamo dagli interessi dell'intero processo nel suo insieme, ad es. Quando si prende una decisione in una fase particolare, è sempre necessario tenere presente l'obiettivo finale.

Un problema di programmazione dinamica deve soddisfare due condizioni. La prima condizione è solitamente chiamata condizione di assenza di effetti collaterali, mentre la seconda è la condizione di additività della funzione obiettivo del problema.

2.2 Supporto algoritmico del modello

Durante il funzionamento e lo stoccaggio, le apparecchiature sono soggette ad usura fisica e morale. L’usura fisica è caratterizzata dalla perdita delle qualità originali dell’attrezzatura. Ciò provoca una diminuzione della precisione dell'apparecchiatura e una diminuzione della velocità del suo funzionamento. L'usura fisica delle apparecchiature è la ragione dell'aumento della percentuale di prodotti difettosi, dell'aumento dei tempi di inattività delle apparecchiature per motivi tecnici, delle spese eccessive per le spese di base e materiali ausiliari, tempi di inattività dovuti a incidenti, che alla fine portano ad un aumento dei costi di produzione. L'obsolescenza delle apparecchiature si presenta in due forme. La prima forma di obsolescenza provoca una diminuzione del costo delle apparecchiature dovuta alla riduzione del costo della loro riproduzione. La seconda forma di obsolescenza si verifica quando cambiano le caratteristiche progettuali e prestazionali delle nuove macchine, quando la macchina diventa tecnicamente obsoleta e viene sostituita da una più avanzata.

Le imprese devono costantemente adottare misure per prevenire o eliminare tempestivamente le conseguenze dell'usura delle apparecchiature vari tipi riparazioni e manutenzione di attrezzature.

L'organizzazione della manutenzione e della riparazione delle apparecchiature presso le imprese è finalizzata al mantenimento e al ripristino della funzionalità delle apparecchiature. Ma a seguito delle riparazioni, è possibile non solo ripristinare le funzioni perdute di parti e assiemi di macchine e meccanismi, ma anche modernizzarle per migliorarle caratteristiche tecniche. L'essenza della riparazione è garantire sicurezza e restauro di alta qualità caratteristiche prestazionali attrezzature sostituendo o ripristinando parti usurate e meccanismi di regolazione.

La riparazione è un insieme di operazioni per ripristinare la funzionalità, l'operatività della risorsa dell'apparecchiatura o dei suoi componenti.

Gli obiettivi dell'organizzazione dei lavori di riparazione presso l'impresa sono:

manutenzione dell'attrezzatura in condizioni di lavoro;

prevenzione dell'usura prematura di parti e componenti;

conservazione alta precisione, affidabilità e durata delle attrezzature;

riduzione dei tempi di fermo delle apparecchiature durante le riparazioni e la manutenzione;

riduzione dei costi di riparazione e manutenzione.

Il sistema di riparazione è inteso come un insieme di disposizioni e norme correlate che determinano l'organizzazione e l'attuazione dei lavori di riparazione presso l'impresa. Esistono diversi sistemi per organizzare le riparazioni delle apparecchiature. Ognuno di essi si basa su un certo principio iniziale. Riguarda, prima di tutto, la frequenza delle riparazioni e della manutenzione. I sistemi più utilizzati sono tre.

Il sistema di riparazione delle apparecchiature “failure-based” prevede la riparazione in caso di guasto delle apparecchiature. In questo sistema è piuttosto difficile prevedere i tempi di inattività e i costi di riparazione. Gli svantaggi di questo sistema includono la durata dei tempi di inattività delle apparecchiature durante le riparazioni e costi di riparazione significativi.

Sistema di riparazione post-ispezione. Quando si utilizza questo sistema, la decisione di effettuare la riparazione viene presa dopo aver ispezionato l'apparecchiatura.

I due sistemi sopra menzionati sono anche chiamati sistemi di riparazione su richiesta.

Sistema di pianificazione manutenzione preventiva(PPR). Quando si utilizza questo sistema di riparazione, viene eseguita in anticipo una serie di interventi per prevenire un'elevata usura delle apparecchiature, lunghi tempi di fermo, elevati costi di riparazione e incidenti.

Per sistema di manutenzione preventiva programmata si intende un insieme di misure organizzative e tecniche per lo studio e il controllo dell'usura di parti e componenti di macchine, nonché per la cura, la supervisione, la manutenzione e la riparazione delle apparecchiature, effettuate su base regolamentare base con l'obiettivo di manutenzione costante apparecchiature funzionanti e prevenire guasti imprevisti. Questo sistema di riparazione consente la migliore combinazione di lavoro manutenzione e manutenzione preventiva con generalmente processo produttivo in azienda.

L'essenza del sistema di manutenzione preventiva è la seguente:

controllare sistematicamente le condizioni delle apparecchiature e della conduzione riparazioni necessarie per prevenire un incidente;

la necessità di studiare l'usura di parti e assiemi e pianificare le riparazioni al fine di prevenire incidenti;

materiale obbligatorio e formazione tecnica riparazioni pianificate al fine di migliorare la qualità delle riparazioni e ridurre i tempi di fermo macchina durante le riparazioni;

creare prerequisiti affidabili per ridurre l’intensità di manodopera delle riparazioni.

La pianificazione dei lavori di riparazione viene effettuata sotto forma di un programma annuale. Il programma si basa sulla struttura del ciclo di riparazione per ciascun tipo di attrezzatura e sugli standard di intensità di manodopera per i tipi di riparazioni pianificate per ciascun tipo di attrezzatura.

Il programma annuale di riparazione è redatto per mese dell'anno pianificato Lavori di riparazione, previste dal programma, dovrebbero, se possibile, essere equamente distribuite tra trimestri e mesi dell'anno per lo stesso tipo di apparecchiature.

Così, approccio classico la manutenzione preventiva si basa su un calendario: l'apparecchiatura viene riparata a un determinato intervallo di tempo, indipendentemente dall'usura al momento. Ogni apparecchiatura ha il proprio periodo di riparazione e il proprio costo di riparazione. Nella produzione, le attrezzature sono generalmente complesse. E ogni dettaglio apparecchiature complesse il periodo di riparazione e il costo della riparazione. Se il periodo di riparazione di apparecchiature complesse coincide con il periodo di riparazione delle sue parti, i costi di riparazione vengono ridotti.

La sostituzione delle attrezzature è necessaria in un momento in cui i profitti diminuiscono e i costi di manutenzione e riparazione aumentano notevolmente.

3. Approccio multimodello per risolvere il problema della gestione del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione

Per una gestione efficace impresa manifatturiera I modelli e i metodi di ottimizzazione matematica vengono sempre più utilizzati. Il problema di un'efficace gestione aziendale e, in particolare, della gestione del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione deve essere risolto in modo completo e ad ogni livello gerarchico della gestione aziendale.

Va notato che nell'ambiente competitivo odierno, valutare le prestazioni di un'impresa rispetto agli standard del passato non funziona più. Per competere e svilupparsi con successo, le aziende devono adottare una filosofia di miglioramento continuo, ovvero un processo continuo in cui vi è una continua ricerca di modi che si riducono al miglioramento delle tecnologie operative, effettuando aggiornamenti tempestivi, riparando, sostituendo e selezionando nuove attrezzature e mirato a ridurre i costi e ad aumentare la loro produttività. Allo stesso tempo, uno degli obiettivi dell'impresa è attrarre investimenti aggiuntivi.

Per attrarre ulteriori investimenti, un’impresa deve avere attrattiva per gli investimenti. A questo proposito, si pone il problema di una gestione efficace del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione di un'impresa, la cui soluzione si riduce alla risoluzione di una serie di problemi di ottimizzazione. In generale, la risoluzione del problema della gestione efficace del processo di sostituzione delle apparecchiature aziendali è strettamente interconnessa con la risoluzione del problema dell'efficace sviluppo strategico dell'impresa.

Nella fig. La Figura 3 mostra la relazione tra gli indicatori di performance dell'impresa, dove la soluzione al problema dell'efficace sviluppo strategico dell'impresa dipende dalla soluzione al problema della gestione efficace delle risorse produttive (attrezzature) dell'impresa.

Sulla base di quanto sopra e della necessità di tenere conto di numerosi fattori, ne consegue che i problemi di gestione efficace del processo di sostituzione devono essere risolti in modo globale e passo dopo passo. Questo articolo propone un sistema di modelli e metodi per risolvere i problemi di gestione del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione di un'impresa (vedere Tabella 1).

	Attività di sostituzione delle apparecchiature
	Dato: il flusso dei costi per le apparecchiature a partire dal periodo di messa in servizio. Criterio obiettivo: minimizzare i costi medi nel periodo operativo.	MA1. modello analitico per determinare il periodo ottimale per la sostituzione delle apparecchiature in base ai costi medi.
	Dato: il flusso di entrate derivanti dai prodotti fabbricati e dai costi delle attrezzature dalla messa in servizio. Criterio obiettivo: massimizzare l'importo del profitto e del valore liquido durante il periodo operativo.	MA2. Modello analitico per determinare il periodo ottimale di sostituzione delle apparecchiature in base al reddito.	Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo della funzione obiettivo.
	Dato: il flusso di entrate e spese derivante dalla messa in servizio di un sistema di apparecchiature identiche con una determinata funzione di affidabilità. Criterio dell'obiettivo: massimizzare l'importo del profitto dall'inizio della vita utile	MA3. Modello stocastico per la sostituzione di un sistema di apparecchiature identiche con guasti	Metodi di teoria dell'affidabilità, condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo di una funzione
	Dati: flusso delle spese per le attrezzature, età iniziale delle attrezzature, periodo di funzionamento, costo delle nuove attrezzature, metodo di ammortamento, tasso di inflazione. Criterio obiettivo: minimizzare i costi durante un processo di sostituzione delle apparecchiature in più fasi.	MV1 Modello dinamico controllato del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione con guasti (o senza guasti)	Metodi di programmazione dinamica in tempo inverso
	Dati: flusso di reddito, costi delle attrezzature, età iniziale delle attrezzature, periodo di funzionamento, costo delle nuove attrezzature, metodo di ammortamento, tasso di inflazione, tasso di costo delle nuove attrezzature, prodotti, funzioni di affidabilità	MV2. Modelli previsionali di serie dinamiche MV3. Modello dinamico controllato del processo di sostituzione delle apparecchiature di produzione in caso di guasto	Metodi di calcolo del trend, media mobile, analisi di regressione. Metodi di programmazione dinamica in tempo diretto.

Problemi di classe A. Dati i dati iniziali, trovare il momento ottimale per la sostituzione delle apparecchiature. Le funzioni target sono i costi medi per il periodo di attività, l'importo del profitto e il valore liquido per il periodo di attività.

Problemi di classe B. Dati i dati iniziali, trovare strategie ottimali per sostituire le apparecchiature esistenti e nuove a lungo termine. Le funzioni obiettivo sono costi e profitti in un processo in più fasi di sostituzione delle apparecchiature.

Dato che la decisione sulla sostituzione per problemi di questa classe viene presa all'inizio di ogni anno solare di funzionamento delle apparecchiature, il compito di determinare le strategie ottimali per la sostituzione delle apparecchiature esistenti e nuove si riduce a una procedura decisionale in più fasi . Ogni passaggio viene valutato in base all'importo del profitto o all'importo delle spese, che può essere calcolato su un anno di attività. È ovvio che la soluzione a tale problema può essere effettuata utilizzando un modello dinamico controllato, poiché il loro potenziale nel riflettere adeguatamente le proprietà dei sistemi reali è superiore a quello dei modelli statici. Inoltre, a loro è applicabile il principio di ottimalità di R. Bellman: il controllo ottimo ha la proprietà che, qualunque sia lo stato iniziale del sistema in qualsiasi passaggio e il controllo scelto in questo passaggio, i passaggi di controllo successivi devono essere scelti in modo ottimale rispetto allo stato al quale arriverà il sistema al termine di questo passaggio. L'utilizzo di questo principio permette di costruire equazioni funzionali ricorrenti della programmazione dinamica rispetto a valore ottimale funzione bersaglio.

Conclusione

Il funzionamento di un'impresa in un ambiente competitivo presenta una serie di caratteristiche che influenzano le forme organizzative e giuridiche della gestione aziendale. Per risolvere con successo il problema della gestione efficace degli asset produttivi è necessario utilizzare modelli e metodi economici e matematici. Allo stesso tempo, la riflessione di tutti gli aspetti principali nel problema dell'ottimizzazione della gestione della sostituzione delle apparecchiature di produzione può essere ottenuta attraverso un approccio multi-modello, quando per risolvere il problema della gestione della sostituzione, non uno, ma diversi modelli matematici vengono utilizzati, che consentono di descrivere il processo di sostituzione con vari gradi di dettaglio. Il lavoro mostra che la sostituzione delle apparecchiature è un processo in più fasi e in questo caso la strategia di sostituzione ottimale è una soluzione al problema di ottimizzazione posto su un modello dinamico discreto controllato.

La metodologia proposta nel lavoro per determinare la strategia ottimale per la sostituzione e il funzionamento delle apparecchiature, basata su un modello dinamico controllato, è finalizzata ad aumentare l'efficienza dei processi e a gestire le risorse produttive dell'impresa. È più adatto per applicazione pratica attualmente. La formulazione proposta di problemi per determinare i tempi ottimali di sostituzione e l'approccio, in contrasto con quelli tradizionali, ci consente di risolvere il problema della scelta della strategia ottimale per sostituire le attività produttive di un'impresa su un modello dinamico controllato e discreto della sostituzione strategia utilizzando il metodo di programmazione dinamica del processo decisionale in tempo diretto, che non richiede la fissazione della durata di servizio ed è innovativo nel determinare i tempi di sostituzione attuali.

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