Эксперты египетской геометрии назывались «арпедонапти», те, кто связывают веревки. Именно затягивая веревки, они нарисовали две простейшие и наиболее важные линии в геометрии: прямую линию и круг. Во-первых, просто затягивая веревку между двумя точками, вид операции, изображение которой все еще присутствует в выражениях «рисовать линию», «рисовать перпендикуляр»; Второй, заставляя одну из двух точек поворачиваться вокруг другой, которая удерживается фиксированной. Могут ли они представить себе степень развития этих двух элементарных практик?

На самом деле практические потребности древних землемеров, возможно, вскоре вызвали необходимость таких работ, которые сегодня мы называем «квадратом и компасом», и это наиболее правильно следует назвать «кругами и прямыми». В настоящее время естественно рассматривать бумагу как естественную арену геометрии, так что мы понимаем использование квадратов и компасов в одиночку, как произвольный предел, введенный спекулятивными духами, которые предпочли несколько чисел аксиом на множество удобств, вытекающих из Множество инструментов.

Следовательно, разница между экспертом по теоретической геометрии. Таким образом, мы склонны игнорировать полностью геометрию «в поле» в пользу этого «на бумаге», что не позволяет понять, что при передаче геометрических операций от поля к бумаге они потребуют иногда совершенно разных методов и методов.

Не следует забывать о том, что точность плана гораздо важнее, чем на бумаге. Архитектор, который имеет четкое представление об общем плане и который помнит процесс, который он выполнял, чтобы пройти через него, нуждался бы в проекте. Сравнительно недавние, а также старые карты, которые неизбежно были нарисованы рудиментарными инструментами и опорами, не воспроизводят границы участка земли точно. На самом деле это невозможно, потому что даже ошибка процентного пункта - наименьшее, что может произойти в достаточно больших масштабах - породила бы абсолютную ошибку, которую вряд ли можно было бы принять на поле.

В этом случае знание формы и меры объекта, которое должно быть описано, являются фундаментальными; это будет не до специалиста по геометрии для воспроизведения на поле точности, отсутствующей на бумаге. То же самое происходит с математиком, которому точность показаний вовсе не пригодится в демонстрациях. Геометрия на бумаге заменяет точность операций на поле с геометрией психического процесса.

Напротив, от логики до материальной точности, как следствие необходимого расширения масштаба, чтобы перейти от плана к фактическому его созданию, действие затягивания веревки оставалось одной из основных операций, поскольку до тех пор, пока Древний Египет и Древняя Греция. Эта практика оставалась неизменной до настоящего времени, передаваемой только изобретением и усовершенствованием некоторых оптических инструментов. Хотя на бумаге довольно легко нарисовать перпендикуляр с помощью правителей и квадратов, то же действие на поле с той же степенью точности требует радикально разных методов.

В поле квадрат бесполезен, потому что он слишком мал по отношению к размерам форм. Даже если квадрат чрезвычайно точен, перпендикуляр, который он может нарисовать, достигнет своего самого большого или меньшего метра. Если нам нужно отметить квадрат 30 метров на сторону, мы должны продлить эту линию 30 раз. Это была бы такая неточная операция, что, вероятно, это привело бы к тем же результатам, как если бы мы измерили правильный угол примерно.

Эти размышления возвращают нас к первоначальному вопросу: какие методы использовались египетскими измерителями для рисования квадратного куска земли? Как они получили квадратный угол? Поэтому, если мы растягиваем кольцевой канат длиной 12 единиц, отмеченный в трех точках на расстоянии 3, 4 и 5, в виде треугольника с вершиной в отмеченных точках угол между кратчайшими сторонами треугольник - это прямой угол.

Неизвестно, был ли этот процесс древними землемерниками в свое время, поскольку не доказано, что древние египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником. Даже если они знают об этом или о других пифагорейских треугольниках, это обязательно означает, что они знали природу или, по крайней мере, как создать правильный угол.

Откуда взялись эти знания? Из-за отсутствия даже частичной документации и свидетелей мы можем попытаться подойти к проблеме с другой точки зрения, математической, а не исторической. Вопрос, который мы должны задать, - это то, что делает правильный угол отличным от других? Или лучше, что является особенностью угла треугольника со сторонами 3, 4 и 5?

Непосредственный ответ: в отличие от других треугольников, пифагорейские и наиболее простейшие из них, со сторонами 3, 4 и 5, могут быть сделаны, чтобы объединить их с одной стороны, а затем снова с другой. Таким образом получается симметричная конфигурация, которая полностью заполняет все свободное пространство без перекрытия или зазоров.

Никакой другой угол, но правильный имеет эту симметричную характеристику, которая становится ее собственным определением в первой полной книге геометрии, которая когда-либо достигала нашего времени, Элементы Евклида. Когда прямая линия, падающая на другую, образует равные углы, они являются правильными.

Характер квадратного угла заключается в том, что углы, возникающие в результате пересечения двух прямых, равны. Это можно сразу же продемонстрировать на бумаге, складывая бумагу вдоль одной из сходящихся линий и проверяя, что другая линия сгибается сама по себе.

Это свойство обладает «классической» геометрической конструкцией, состоящей в маркировке двух кругов, а затем объединении их перекрестков. Симметричный характер формы достаточно очевиден, и это явное доказательство равенства углов. Более того, в отличие от пифагорейского треугольника, который нуждается в дальнейшей конструкции, в этом случае форма сразу предлагает определение квадратного угла через равенство углов и в одно и то же время, строит себя.

Это все еще простые предположения. Без сомнения, этот процесс определенно проще и с большей точностью, чем первый. Можно сказать так, что мы можем только отметить перпендикуляр, проходящий через центр данного сегмента, также называемый осью отрезка. Тем не менее, нетрудно заметить, что если нам нужен перпендикуляр на одном краю, как в случае рисования квадрата, необходимо удвоить сегмент, продлевая его до того места, где мы хотим нарисовать перпендикуляр, а затем повторить Предшествующий процесс.

Необходимо отметить, что все эти методы особенно подходят для плоских земель, таких как египетская равнина. Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигателями, необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрии для изучения треугольников. Начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде. Начнем с правильного треугольника. Правый треугольник представляет собой трехгранную фигуру с одним углом, равным 90 градусам.

Угол 90 градусов называется прямым углом, и именно там правый треугольник получает свое название. Это самая длинная сторона трех сторон правого треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов, означающих «растянуть», поскольку это самая длинная сторона.

Теорема Пифагора - это утверждение, связывающее длины сторон любого правого треугольника. Для любого правого треугольника - квадрат гипотенузы. равна сумме квадратов двух других сторон. Математически это написано. Эта теорема известна во многих культурах многими именами на протяжении многих лет. Считается, что он изучил теорему во время учебы в Египте. Вероятно, египтяне знали об отношениях за тысячу лет до Пифагора.

Пифагор обобщил результат на любой правый треугольник. Существует множество различных алгебраических и геометрических доказательств теоремы. Большинство из них начинается с построения квадратов на эскизе основного правого треугольника. На рисунке вверху этой страницы мы показываем квадраты, нарисованные на трех сторонах треугольника. Квадрат - это особый случай прямоугольника, в котором все стороны равны по длине. Таким образом, для квадрата со стороной, равной а, площадь определяется следующим образом.

Начнем с правого треугольника, на котором мы построили квадраты с двух сторон, один красный и один синий. Мы собираемся разбить кусочки этих двух квадратов и перенести их в область серого квадрата на гипотенузе. Мы не потеряли ни одного материала во время операции. Поэтому, если мы сможем точно заполнить квадрат гипотенузы, мы показали, что области равны.

Что он делает? Первый шаг поворачивает треугольник вниз на синий квадрат. Это разрезает синий квадрат на три части, два треугольника и красный прямоугольник. Два треугольника точно такого же размера, как и исходный треугольник. «Нижняя» первоначального треугольника точно соответствует вертикальной стороне квадрата, так как стороны квадрата равны. Красный прямоугольник имеет свои вертикальные стороны, равные основанию исходного треугольника, а его горизонтальные стороны равны разности между «нижней» стороной и «вертикальной» стороной исходного треугольника.

Используя терминологию с рисунка вверху этой страницы, размеры красного прямоугольника. Следующий шаг - переместить красный прямоугольник над красным квадратом. Прямоугольник торчит сверху красной площади, а два треугольника остаются на синем квадрате. Следующий шаг - переместить один из синих треугольников вертикально в квадрат гипотенузы. Он точно соответствует стороне квадрата гипотенузы, потому что стороны квадрата равны. Следующий шаг - переместить другой синий треугольник в квадрат гипотенузы.

Следующий шаг - скопировать форму исходного треугольника влево в красную область. Треугольник разрезает красную область на три части, два треугольника и небольшой желтый квадрат. Оригинальный треугольник точно соответствует этому региону по двум причинам; вертикальные стороны идентичны, а горизонтальная сторона красной области равна длине красного квадрата плюс горизонтальная длина красного прямоугольника, который мы перемещали. Горизонтальная длина красной области.