Главная Проектирование Вычитание натуральных чисел. Уменьшаемое, вычитаемое, разность

Вычитание натуральных чисел. Уменьшаемое, вычитаемое, разность

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять - это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание - это взаимопротивоположные действия.

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 - это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание - это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример. Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

Если из числа нужно вычесть число :

Значит, что число нужно представить в виде двух слагаемых и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть - значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа вычитаем число , только если не меньше, чем . Результатом будет новое число .

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 - это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность - это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны - это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа и .

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков - неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого - это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого - это и есть вычитание.

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач - задачи на сравнение.

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

Петя взял 4, Маша - 3, всего они взяли яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму - это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

А теперь вычтем из 140 число 60 . Имеем 140−60=(100+40)−60 . Так как 60 больше, чем 40 , то вычитание нужно проводить следующим образом: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

Отнимем от 10 432 число 300 . Раскладываем уменьшаемое по разрядам и дальше применяем свойство вычитания числа из суммы трех и большего количества чисел:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300= 10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

В заключении этого пункта вычислим разность 231 112−7 000 . Имеем
231 112−7 000= (200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000= 200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

Все свелось к нахождению разности 30 000−7 000 . Так как 30 000=20 000+10 000 , то 30 000−7 000= (20 000+10 000)−7 000= 20 000+(10 000−7 000)= 20 000+3 000=23 000 . Воспользуемся этим результатом и закончим вычисления:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2= 224 112 .

Вычитание произвольных натуральных чисел.

Осталось рассмотреть вычитание натуральных чисел, когда вычитаемое раскладывается в сумму разрядных слагаемых. В этом случае вычитание проводится следующим образом: после представления вычитаемого в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа необходимое количество раз. Причем сначала удобнее вычитать единицы, затем – десятки, далее – сотни и т.д.

Для примера вычислим разность 45−32 . Раскладываем вычитаемое 32 по разрядам: 32=30+2 . Имеем 45−32=45−(30+2) . Для удобства в скобках переставим слагаемые местами 45−(30+2)=45−(2+30) (это мы можем делать в силу переместительного свойства сложения). Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45−(2+30)=(45−2)−30 . Осталось вычислить разность 45−2 , после чего от полученного результата отнять число 30 . Выполнение этих действий не вызовет затруднений, если Вы хорошо усвоили материал предыдущих пунктов. Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Тогда (45−2)−30=43−30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)= (45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30= (40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Немного усложним пример. Вычтем из числа 85 число 18 . Раскладываем по разрядам число 18 , при этом получаем 18=10+8 . Меняем местами слагаемые: 10+8=8+10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

Вычисляем разность в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5= ((70+10)−8)+5= (70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

Тогда (85−8)−10=77−10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Отнимем от числа 23 555 число 715 . Так как 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , то 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555−(5+(10+700))= (23 555−5)−(10+700) .

Вычислим разность в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5= 20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0= 20 000+3 000+500+50=23 550 .

Тогда (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

Опять вычисляем разность в скобках:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10= 20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

Имеем
(23 550−10)−700= 23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

Вычтем из 3 000 число 700 и этот результат подставим в последнюю сумму: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2 000+(1 000−700)= 2 000+300=2 300 , тогда 20 000+(3 000−700)+500+40= 20 000+2 300+500+40=22 840 .

В заключение этого пункта необходимо отметить, что для вычитания двух натуральных чисел удобно использовать специальный метод, который получил название вычитание столбиком .

Вычитание натуральных чисел на координатном луче.

Посмотрим, что представляет собой вычитание натуральных чисел с точки зрения геометрии. Для этого нам понадобится . Для удобства будем считать, что он расположен горизонтально и вправо.

Вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче можно истолковать следующим образом. Находим точку, координатной которой является уменьшаемое a . Теперь из этой точки в направлении точки O последовательно друг за другом будем откладывать единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Эти действия нас приведут в точку на координатном луче, координата которой равна разности a−b . Другими словами вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче представляет собой перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , при этом мы попадаем в точку с координатой a−b .

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует вычитание на координатном луче из натурального числа 6 натурального числа 4 . После всех необходимых действий мы попадаем в точку с координатой 2 , и убеждаемся, что 6−4=2 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением.

Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением, о которой мы уже упоминали в первом пункте этой статьи. Там мы выяснили, что если c+b=a , то a−b=c и a−c=b . Также достаточно легко показать справедливость следующих обратных утверждений: если a−b=c , то c+b=a ; если a−c=b , то b+c=a . Покажем справедливость первого из них (для второго можно провести аналогичные рассуждения).

Пусть мы из a имеющихся предметов отложили в сторону b предметов, после чего у нас осталось c предметов. Этому действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство a−b=c . Если после этого мы вернем отложенные b предметов на место (добавим их к c предметам), то понятно, что у нас окажется исходное количество предметов, то есть, a . Тогда, обратившись к смыслу сложения натуральных чисел, можно говорить о справедливости равенства c+b=a .

Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее осуществить проверку результата вычитания посредством сложения: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому . Если же получится число, не равное уменьшаемому, то это будет свидетельствовать о том, что при вычитании где-то была допущена ошибка.

Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.

Пример.

Из натурального числа 50 было вычтено натуральное число 42 1 024−11=1 024−(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

Теперь выполняем проверку результата вычитания: 1 013+11=(1 000+10+3)+(10+1)= 1 000+10+10+3+1= 1 000+20+4=1 024 . Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно.

Ответ:

1 024−11=1 023 .

Проверка результата вычитания натуральных чисел вычитанием.

Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность, при этом должно получиться число, равное вычитаемому . Если же получается число, отличное от вычитаемого, то где-то была допущена ошибка.

Немного поясним озвученное правило, позволяющее осуществлять проверку результата вычитания натуральных чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим все яблоки в сторону, то у нас останется только c груш, при этом имеем a−b=c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a−c=b .

Пример.

От натурального числа 543 было отнято натуральное число 343 , в результате было получено число 200 . Выполните проверку полученного результата.

Решение.

Конечно же, проверить результат вычитания можно с помощью сложения: 200+343=543 . Так как полученное число равно уменьшаемому, то вычитание было проведено правильно.

Также можно выполнить проверку вычитания натуральных чисел с помощью вычитания. Для этого от уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543−200=(500+43)−200= (500−200)+43=30+43=343 . Это число равно вычитаемому, поэтому вычитание выполнено верно.

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Тема: «Вычитание натуральных чисел».

Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Цели урока :

1. закрепление свойства вычитания;

2. решение задач, в которых используется действие вычитания.

3. проверить знания учащихся по следующим темам:

А. решение задач, в которых используется действие вычитания.

Б. вычитание суммы из числа, и вычитание из суммы число.

4. развивать познавательные интересы учащихся, самостоятельность мышления, умение ориентироваться в тексте задачи, речь;

Задачи урока:

1. Образовательные:

Обобщить знания по теме "Вычитание натуральных чисел";

Закрепить умение применять свойства вычитания в процессе выполнения заданий;

Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Вычитание натуральных чисел».

2. Развивающие:

Работать над развитием понятийного аппарата;

Развивать познавательную активность;

Развивать культуру учебной деятельности;

Развивать осмысленное отношение к своей деятельности;

Развивать умение выделять главное;

Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности;

Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.

3.Воспитательные:

Воспитывать ответственное отношение к учению;

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

Воспитывать аккуратность;

Воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

Собрать тетради с домашним заданием . Записать в тетрадях число, классная работа, тему урока.

II. Актуализация опорных знаний.

Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы.

а) Какое действие называется вычитанием? (действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое)

б) Как называются числа при вычитании? (уменьшаемое, вычитаемое и разность)

в) Какое число называется уменьшаемым? (число, из которого вычитают)

г) Какое число называется вычитаемым? (число, которое вычитают)

д) Какое число называется разностью? (результат вычитания)

е) Как узнать, насколько одно число больше другого? (нужно найти их разность)

ж) Сколько существует свойств вычитания? Сформулируйте их, приведите пример.

Рассмотреть пример: 64 – (5 + 4) =

Как можно получить результат?

К доске выходят двое учащихся и записывают 2 способа решения данного примера.

I способ: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. II способ: (64–4) – 5 = 55

Учитель приводит высказывание Джордж а По́лиа : « Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! !»

Сегодня на уроке мы продолжим с вами изучение темы "Вычитание натуральных чисел" и разберем задачи, в которых используется действие вычитания.

I I I. Решение задач. Работа с учебником .

Все задачи данного урока можно разделить на 2 группы:

1) № 247, 263.

2) 249, 250, 286, 291.

Шестеро учащихся по очереди решают задачи у доски, остальные учащиеся решают данные задачи в тетрадях.

Задача № 247.

Точка C лежит на отрезке AB . Найдите длину отрезка AC , если AB =38 см, а CB =29 см.

Задача № 263.

Длина отрезка AB равна 37 см. Точки C и D лежат на отрезке AB , причем точка D лежит между точками C и B . Найдите длину отрезка CD , если

а) A С=12 см, BD =17 см; б) AD =26 см, CB =18 см.

Задача № 249.

Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй - 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый.

Задача № 250.

С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. с первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого?

Задача № 286.

От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем ее осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески?

Задача № 291.

Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров?

IV. Физкультминутка для пальцев рук, глаз и спины (Слайд 11 ).

V. Самостоятельная работа (15 минут). (Слайд 12)

Вариант I

свойства вычитания :

а) (6571 +3455) – 2571; в) 3457 – (2457 + 349);

б) (2397 +6831) – 6831; г) 9522 – (3989 + 4522).

2) Модель телебашни состоит из трёх блоков. Высота нижнего блока 1 м 35 см, среднего – на 45 см короче нижнего. Какова высота верхнего блока, если высота модели 4 м?

3) Выполните вычитание:

а) 8003565440 – 6989128416; б) 9000551000 – 8797496.

Вариант II

1) Выполните действия наиболее простым способом, используя свойства вычитания :

а) (6574 + 3359) – 2359; в) 5456 – (2456 + 728);

б) (1234 +2587) – 1234; г) 8289 – (2623 + 3289).

2) Доспехи средневекового рыцаря весят 27 кг 500 г, а меч на 18 кг 400 г легче. Сколько весит щит, если полное вооружение рыцаря весит 50 кг?