Trigonometrik identifikatsiyalar Bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi oʻrtasida bogʻlanishni oʻrnatuvchi tengliklar, bu funksiyalardan istalgan birini topishga imkon beradi, agar boshqasi maʼlum boʻlsa.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu o'ziga xoslik shuni aytadiki, bir burchak sinusining kvadrati va bir burchakning kosinus kvadrati yig'indisi birga teng, bu amalda bir burchakning sinusini uning kosinasi ma'lum bo'lganda va aksincha hisoblash imkonini beradi. .

Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda bu o'ziga xoslik juda tez-tez ishlatiladi, bu sizga bir burchakning kosinus va sinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirishga, shuningdek, teskari tartibda almashtirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi.

Sinus va kosinus orqali tangens va kotangensni topish

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu o'ziga xosliklar sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan hosil bo'ladi. Axir, agar qarasangiz, ta'rifga ko'ra, y ning ordinatasi sinus, x ning abssissasi esa kosinusdir. Keyin tangens nisbatga teng bo'ladi \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), va nisbati \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent bo'ladi.

Qo'shamizki, faqat shunday burchaklar uchun trigonometrik funksiyalar ma'noga ega bo'lgan \alpha uchun identifikatsiyalar amalga oshiriladi, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Masalan: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) dan farq qiluvchi \alfa burchaklar uchun amal qiladi \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dan boshqa \alpha burchak uchun z butun sondir.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu identifikatsiya faqat dan farq qiladigan \alpha burchaklar uchun amal qiladi \frac(\pi)(2) z. Aks holda, kotangens yoki tangens aniqlanmaydi.

Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, biz buni olamiz tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Demak, bundan kelib chiqadi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kotangensi o'zaro o'zaro sonlardir.

Tangens va kosinus, kotangens va sinus o'rtasidagi munosabatlar

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha va 1 burchak tangensi kvadratining yig'indisi bu burchak kosinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiyadan boshqa barcha \alpha uchun amal qiladi \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1 ning yig'indisi va burchak kotangentining kvadrati \alpha , berilgan burchak sinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya \pi z dan boshqa har qanday \alpha uchun amal qiladi.

Trigonometrik identifikatorlardan foydalangan holda muammolarni hal qilish misollari

1-misol

\sin \alpha va tg \alpha if ni toping \cos \alpha=-\frac12 va \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Yechimni ko'rsatish

Yechim

\sin \alpha va \cos \alpha funktsiyalari formula bilan bog'langan \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Ushbu formulani almashtirish \cos \alpha = -\ frac12, biz olamiz:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \o'ng)^2 = 1

Bu tenglamaning 2 ta yechimi bor:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Shart bo'yicha \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ikkinchi chorakda sinus ijobiy, shuning uchun \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ni topish uchun formuladan foydalanamiz tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2-misol

Agar va boʻlsa, \cos \alpha va ctg \alpha ni toping \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Yechimni ko'rsatish

Yechim

Formulaga almashtirish \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 shartli raqam \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), olamiz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu tenglama ikkita yechimga ega \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Shart bo'yicha \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Ikkinchi chorakda kosinus salbiy, shuning uchun \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha ni topish uchun formuladan foydalanamiz ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Biz tegishli qiymatlarni bilamiz.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

2-misol Shaxsni isbotlash

O'ng tarafdagi ifodani o'zgartirib, bu o'ziga xoslikni isbotlaymiz.

1-usul.

Shunday qilib

2-usul.

Avvalo, ctg ga e'tibor bering α =/= 0; aks holda tg ifodasi ma'noga ega bo'lmaydi α = 1/ctg α . Lekin agar ctg α =/= 0, u holda radikal ifodaning pay va maxraji ctg ga ko'paytirilishi mumkin α kasr qiymatini o'zgartirmasdan. Demak,

tg identifikatorlaridan foydalanish α ctg α = 1 va 1+ ctg 2 α = kosek 2 α , olamiz

Shunday qilib Q.E.D.

Izoh. Tasdiqlangan shaxsning chap tomoniga e'tibor qaratish lozim (gunoh α ) barcha qiymatlar uchun aniqlanadi α , va to'g'ri - faqat qachon α =/= π / 2 n.

Shuning uchun, faqat qachon hammasiga ruxsat beriladi qiymatlar α Umuman olganda, bu iboralar bir-biriga ekvivalent emas.

3-misol Shaxsni isbotlash

gunoh (3/2 π + α ) + chunki ( π - α ) = cos (2 π + α )-3sin( π / 2 - α )

Ushbu identifikatsiyaning chap va o'ng qismlarini qisqartirish formulalari yordamida o'zgartiramiz:

gunoh (3/2 π + α ) + chunki ( π - α ) = - cos α - chunki α = - 2 cos α ;

chunki (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = cos α - 3cos α = - 2 cos α .

Demak, bu shaxsning har ikki qismidagi ifodalar bir xil shaklga keltiriladi. Shunday qilib, shaxs isbotlangan.

4-misol Shaxsni isbotlash

gunoh 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 gunoh 2 α chunki 2 α .

Keling, chap va o'ng qismlar o'rtasidagi farqni ko'rsatamiz. bu identifikatsiya nolga teng.

(gunoh 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 gunoh 2 α chunki 2 α ) = (4-gunoh α +2sin2 α chunki 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (2-gunoh α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Shunday qilib, shaxs isbotlangan.

5-misol Shaxsni isbotlash

Bu identifikatsiyani mutanosiblik sifatida ko'rish mumkin. Ammo a / b = c / d nisbatining to'g'riligini isbotlash uchun uning ekstremal shartlari mahsuloti ekanligini ko'rsatish kifoya. e'lon uning o'rta hadlari ko'paytmasiga teng mil. avv. Shunday qilib, biz bu holatda qilamiz. Keling, buni ko'rsataylik (1 - gunoh α ) (1+ gunoh α ) = cos α cos α .

Darhaqiqat, (1 - gunoh α ) (1 + gunoh α ) = 1-sin 2 α = cos2 α .

"Trigonometrik identifikatsiyalar". 10-sinf

“Matematik haqiqat, nima bo'lishidan qat'iy nazar
Parijdami yoki Tuluzadami, xuddi shunday
B. Paskal

Dars turi: Ko'nikma va malakalarni shakllantirish darsi.

Umumiy uslubiy yo'nalish darsi.

faoliyat maqsadi : o'rganilayotgan tushunchalar va algoritmlar strukturasini qurish bilan bog'liq bo'lgan o'quvchilarning yangi harakat uslubiga qobiliyatini shakllantirish.

Dars maqsadlari:

didaktik : ifodalarni soddalashtirish va trigonometrik o'xshashliklarni isbotlash uchun ilgari olingan bilim, ko'nikma va malakalarni qo'llashni o'rgatish.

rivojlanmoqda: mantiqiy fikrlashni, xotirani, kognitiv qiziqishni rivojlantirish, matematik nutqni shakllantirishni davom ettirish, tahlil qilish va taqqoslash qobiliyatini rivojlantirish.

tarbiyaviy: matematik tushunchalar bir-biridan ajralgan holda emas, balki barcha bo‘g‘inlari o‘zaro bog‘langan ma’lum bilimlar tizimini ifodalashini ko‘rsatish, qayd qilishda estetik ko‘nikmalarni shakllantirishni, nazorat qilish va o‘z-o‘zini nazorat qilish malakalarini davom ettirish.

Trigonometriyadagi muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz ko'plab formulalarga ishonchingiz komil bo'lishi kerak. Trigonometrik formulalarni eslab qolish kerak. Ammo bu ularni yoddan yodlash kerakligini anglatmaydi, asosiysi formulalarning o'zini emas, balki ularni chiqarish algoritmlarini eslab qolishdir. Agar siz sina, cosa, tga, ctga, sin nisbati funktsiyalarining ta'riflari va asosiy xususiyatlarini aniq bilsangiz, har qanday trigonometrik formulani juda tez olish mumkin. 2 a+ cos 2 a =1 va boshqalar.

Maktabda trigonometrik formulalarni o'rganish hayotingiz davomida sinus va kosinuslarni hisoblashingiz uchun emas, balki miyangiz ishlash qobiliyatini egallashi uchundir. ( . slayd 2 )

“ Yo'llar miyada yog' kabi to'plangan bilim emas; yo'llar aqliy mushaklarga aylanadigan yo'llardir», - deb yozgan ingliz faylasufi va sotsiologi G. Speser.

Biz aqliy mushaklarni pompalaymiz va mashq qilamiz. Shuning uchun biz asosiy trigonometrik formulalarni takrorlaymiz.TEST (4-slayd) (5-slayd)

Biz formulalarni takrorladik, endi ikkita do'stga yordam bera olamiz, keling ularni Islom va Muhammad deb ataymiz.

Juda murakkab trigonometrik ifodani o'zgartirgandan so'ngA ular quyidagi ifodalarni oldi:(6-slayd)

(7-slayd) Har biri o'z javobini himoya qildi. Qaysi biri to'g'ri ekanligini qanday aniqlash mumkin? Biz Peter bilan do'st bo'lgan Artyomga murojaat qildik"Aflotun mening do'stim, lekin haqiqat azizdir": Artyom o‘zaro kelishmovchilikni hal qilishning bir qancha yo‘llarini aytdi va taklif qildi. Va haqiqatni aniqlashning qanday usullarini taklif qila olasiz?Haqiqatni aniqlash usullarini taklif qiling (Slayd 8):

1) A ni o‘zgartirish, soddalashtirish P va A Bilan , ya'ni. bir ifodaga olib keldi

2) A P - A Bilan = 0

3) …..

Ya'ni, ikkalasi ham to'g'ri edi. Va ularning javoblari barcha mumkin bo'lgan qiymatlar uchun tengdira va b .

Bunday iboralar nima deb ataladi?Identifikatsiyalar. Siz qanday shaxslarni bilasiz?

Identifikatsiya , mantiq, falsafa va matematikaning asosiy tushunchasi; ilmiy nazariyalar tillarida aniqlovchi munosabatlar, qonunlar va teoremalarni shakllantirish uchun ishlatiladi.

O'ziga xoslik - tenglikni, ob'ektning, hodisaning o'zi bilan bir xilligini yoki bir nechta ob'ektlarning tengligini ifodalovchi falsafiy kategoriya.

Matematikada shaxs unga kiritilgan o'zgaruvchilarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun amal qiladigan tenglikdir.(9-slayd)

Dars mavzusi : "Trigonometrik identifikatsiyalar".

Maqsadlar: yo'llarni toping.

Doskada ikki kishi ishlaydi.

№ 2. Shaxsni isbotlang.

P.h. \u003d L.h.

Shaxs isbotlangan.

№ 3. Shaxsni isbotlang:

1 usul:

2 yo'l:

Shaxsni isbotlash usullari.

shaxsning o'ng tomoni. Agar oxirida biz chap tomonni olsak, unda shaxs tasdiqlangan deb hisoblanadi.

Ekvivalent transformatsiyalarni bajaringshaxsning chap va o'ng tomonlari. Agar natijada bir xil natijaga erishsak, u holda shaxs isbotlangan hisoblanadi.

Identifikatsiyaning o'ng tomonidan chap tomonni ayirib tashlang.

O'ng tomonni identifikatsiyaning chap tomonidan olib tashlang. Biz farq bo'yicha ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Va agar oxirida biz nolga erishsak, unda shaxs tasdiqlangan deb hisoblanadi.

Shuni ham yodda tutish kerakki, identifikatsiya faqat o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari uchun amal qiladi.

Nima uchun trigonometrik identifikatsiyalarni isbotlay olish kerak? Imtihonda C1 vazifasi trigonometrik tenglamalardir!

465-467-son qarori

Shunday qilib, keling, darsni yakunlaylik. (Slayd 10)

Darsning mavzusi nima edi?

Shaxsni tasdiqlashning qanday usullarini bilasiz?

1. Chapdan o'ngga yoki o'ngdan chapga aylantiring.
2. Chap va o'ng qismlarni bir xil ifodaga aylantirish.
3. Chap va o'ng qismlar orasidagi farqni tuzish va bu farqning nolga tengligini isbotlash.

Buning uchun qanday formulalar qo'llaniladi?

1. Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari.
2. 6 ta trigonometrik birlik.

Darsni aks ettirish. (11-slayd)

Jumlalarni davom ettiring:

– Bugun darsda men o'rgandim ...
Bugun darsda men o'rgandim ...
- Bugun darsda men takrorladim ...
Bugun men sinfda uchrashdim ...
Bugun darsim menga yoqdi...

Uy vazifasi. №№465-467 (12-slayd)

Ijodiy vazifa: Matematikaning mashhur o'ziga xosliklari haqida taqdimot tayyorlang. (Masalan, Eyler identifikatori.)(Slayd

Trigonometrik identifikatsiyalar Bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi oʻrtasida bogʻlanishni oʻrnatuvchi tengliklar, bu funksiyalardan istalgan birini topishga imkon beradi, agar boshqasi maʼlum boʻlsa.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Sinus va kosinus o'rtasidagi bog'liqlik

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

Bu o'ziga xoslik shuni aytadiki, bir burchak sinusining kvadrati va bir burchakning kosinus kvadrati yig'indisi birga teng, bu amalda bir burchakning sinusini uning kosinasi ma'lum bo'lganda va aksincha hisoblash imkonini beradi. .

Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda bu o'ziga xoslik juda tez-tez ishlatiladi, bu sizga bir burchakning kosinus va sinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirishga, shuningdek, teskari tartibda almashtirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi.

Sinus va kosinus orqali tangens va kotangensni topish

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

Bu o'ziga xosliklar sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan hosil bo'ladi. Axir, agar qarasangiz, ta'rifi bo'yicha ordinata \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), va nisbati \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- kotangent bo'ladi.

Qo'shamizki, faqat shunday burchaklar uchun trigonometrik funksiyalar ma'noga ega bo'lgan \(\alfa \) , identifikatorlari bo'ladi.

Masalan: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) burchaklar uchun amal qiladi \(\alpha \) dan farqli boʻlgan \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) va \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- burchak uchun \(\alpha \) dan boshqa \(\pi z \) , \(z \) - butun son.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Bu identifikatsiya faqat \(\dfrac(\pi)(2) z \) dan farq qiluvchi \(\alfa \) burchaklar uchun amal qiladi. Aks holda, kotangens yoki tangens aniqlanmaydi.

Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, biz \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) va \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) ni olamiz. Demak, bundan kelib chiqadi \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kotangensi o'zaro o'zaro sonlardir.

Tangens va kosinus, kotangens va sinus o'rtasidagi munosabatlar

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alfa) \)- burchakning kvadrat tangensining yig'indisi \(\alpha \) va \(\alpha \) , bundan tashqari \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alfa) \)- summa \(\alpha \) , berilgan burchak sinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya \(\pi z \) dan boshqa har qanday \(\alpha \) uchun amal qiladi.

Brauzeringizda Javascript o'chirib qo'yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruv elementlari yoqilgan bo'lishi kerak!

Identifikatsiya misollari:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

Lekin \(\frac(x^2)(x)=x\) ifodasi faqat \(x≠0\) shartidagi identifikatsiyadir (aks holda chap tomon mavjud emas).

Shaxsni qanday isbotlash mumkin?

Retsept juda oddiy:

Shaxsni isbotlash uchun uning o'ng va chap qismlari teng ekanligini isbotlash kerak, ya'ni. uni "ifoda" = "bir xil ifoda" ko'rinishiga qisqartiring.

Masalan,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Buni amalga oshirish uchun siz:

1. Faqat o'ng tomonni yoki faqat chap tomonni aylantiring.
2. Ikkala qismni bir vaqtning o'zida aylantiring.
3. Har qanday to'g'ri matematik o'zgarishlardan foydalaning (masalan, o'xshashlarni bering; qavslarni oching; belgini o'zgartirish orqali atamalarni bir qismdan ikkinchisiga o'tkazing; chap va o'ng qismlarni bir xil son yoki nolga teng bo'lmagan ifodaga ko'paytirish yoki bo'lish va h.k.). ).
4. Har qanday matematik formuladan foydalaning.

Bu shaxsni tasdiqlashda eng ko'p qo'llaniladigan to'rtinchi nuqta, shuning uchun bilishingiz, eslab qolishingiz va ishlatishingiz kerak bo'lgan hamma narsa.

Misol . Trigonometrik identifikatsiyani isbotlang \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
Yechim :

Misol . Bu ifodani isbotlang \(\ frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) identifikatsiyadir.
Yechim :

Misol . Trigonometrik identifikatsiyani isbotlang \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
Yechim :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		Bu erda biz faqat o'ng tomonni o'zgartiramiz, uni chapga kamaytirishga harakat qilamiz. Biz chap tomonni o'zgarishsiz qoldiramiz. Biz eslaymiz.
\(1-tg^2 t=\)		Endi keling, kasrda muddatga bo'linish qilaylik (ya'ni qarama-qarshi yo'nalishda amal qiling): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b) )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		Biz o'ng tarafdagi birinchi kasrni bekor qilamiz va ikkinchisiga amal qilamiz: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\).
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		Xo'sh, kosinusga bo'lingan sinus bir xil burchakka teng: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Misol . Trigonometrik o'ziga xoslikni isbotlang \(=ctg(p+t)-1\)
Yechim :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(p+t)-1\)		Bu erda ikkala qismni ham o'zgartiramiz: - chapda: biz \(\cos⁡2t\) ni ikki burchakli formulaga muvofiq aylantiramiz; - va o'ngda \(ctg(p+t)\) tomonidan .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Endi biz faqat chap tomon bilan ishlaymiz. Numeratorda biz foydalanamiz , maxrajda biz qavs ichidagi sinusdan foydalanamiz.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		Kasrni \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\) ga kamaytiring.
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Biz kasr atamasini hadga ajratamiz, uni ikkita alohida kasrga aylantiramiz.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		Birinchi kasr , ikkinchisi esa birga teng.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Chap tomon o'ng tomonga teng, o'ziga xoslik isbotlangan.

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa juda oddiy, lekin siz barcha formulalar va xususiyatlarni bilishingiz kerak.

Asosiy trigonometrik o'ziga xoslikni qanday isbotlash mumkin

\(\sin^2x+\cos^2x=1\) formulasini olishning ikkita oson usuli. Siz faqat Pifagor teoremasini va sinus va kosinus ta'rifini bilishingiz kerak.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar:

Savol: Shaxsda nimani o'zgartirish kerakligini qanday aniqlash mumkin - chap tomon, o'ng tomon yoki ikkalasi birgalikda?
Javob: Hech qanday farq yo'q - har qanday holatda siz bir xil natijaga erishasiz. Masalan, uchinchi misolda biz osongina chap tomondan \(1-tg^2 t\) o'ng tomonni olishimiz mumkin edi. \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(Buni o'zingiz qilishga harakat qiling). Yoki ikkalasini ham o'zgartiring, shunda ular "o'rtada uchrashadilar", biron bir joyda \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). Shuning uchun, siz o'zingiz uchun qulay bo'lgan har qanday usulda isbotlashingiz mumkin. Qaysi yo'lni ko'rsangiz, o'sha yo'ldan boring. Asosiysi, "qonuniy" o'zgartirish, ya'ni keyingi o'zgartirishni qaysi mulk, qoida yoki formula asosida amalga oshirayotganingizni tushunishdir.