Oddiy kasrlar.

Algebraik kasrlarni qo'shish

Eslab qoling!

Siz faqat bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishingiz mumkin!

Konversiyasiz kasrlarni qo'sha olmaysiz

Siz kasrlarni qo'shishingiz mumkin

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shganda:

  1. birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning soniga qo'shiladi;
  2. maxraj bir xil bo'lib qoladi.

Keling, algebraik kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala kasrning maxraji "2a" bo'lgani uchun, bu kasrlarni qo'shish mumkinligini anglatadi.

Birinchi kasrning ayiruvchisi bilan ikkinchi kasrning payini qo‘shamiz va maxrajni bir xilda qoldiraylik. Olingan hisoblagichga kasrlarni qo'shganda, biz shunga o'xshashlarni keltiramiz.

Algebraik kasrlarni ayirish

O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni ayirishda:

  1. Ikkinchi kasrning soni birinchi kasrning sonidan ayiriladi.
  2. maxraj bir xil bo'lib qoladi.

Muhim!

Ayirilayotgan kasrning butun hisobini qavs ichiga kiritishni unutmang.

Aks holda ayirib ketayotgan kasrning qavslarini ochishda belgilarda xatoga yo'l qo'yasiz.

Keling, algebraik kasrlarni ayirish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala algebraik kasrning maxraji "2c" bo'lganligi sababli, bu kasrlarni ayirish mumkin degan ma'noni anglatadi.

"(a - b)" ikkinchi kasrning sonini "(a + d)" birinchi kasrning sonidan ayirish. Ayirilayotgan kasrning sanoqchisini qavs ichiga olishni unutmang. Qavslarni ochishda qavslarni ochish qoidasidan foydalanamiz.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Siz algebraik kasrlarni qo'shishingiz kerak.

Bu shaklda kasrlarni qo'shib bo'lmaydi, chunki ular turli xil maxrajlarga ega.

Algebraik kasrlarni qo'shishdan oldin ular bo'lishi kerak umumiy maxrajga keltiring.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalari oddiy kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidalariga juda o'xshaydi. .

Natijada, biz kasrlarning oldingi maxrajlarining har biriga qoldiqsiz bo'linadigan ko'phadni olishimiz kerak.

Kimga algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish quyidagilarni qilishingiz kerak.

  1. Biz raqamli koeffitsientlar bilan ishlaymiz. Biz barcha raqamli koeffitsientlar uchun LCM (eng kichik umumiy karra) ni aniqlaymiz.
  2. Biz polinomlar bilan ishlaymiz. Biz barcha turli xil polinomlarni eng katta kuchlarda aniqlaymiz.
  3. Raqamli koeffitsient va eng katta darajalardagi barcha turli xil polinomlarning mahsuloti umumiy maxraj bo'ladi.
  4. Umumiy maxrajni olish uchun har bir algebraik kasrni nimaga ko'paytirish kerakligini aniqlang.

Keling, misolimizga qaytaylik.

Ikkala kasrning "15a" va "3" maxrajlarini ko'rib chiqing va ular uchun umumiy maxrajni toping.

  1. Biz raqamli koeffitsientlar bilan ishlaymiz. LCMni toping (eng kichik umumiy ko'paytma har bir son koeffitsientiga qoldiqsiz bo'linadigan son). "15" va "3" uchun "15".
  2. Polinomlar bilan ishlaymiz. Barcha ko'phadlarni eng katta darajalarda sanab o'tish kerak. "15a" va "5" denominatorlarida faqat mavjud
    bitta monomial - "a".
  3. Keling, 1-bosqichdan LCMni "15" va 2-bosqichdan monomial "a" ni ko'paytiramiz. Biz "15a" ni olamiz. Bu umumiy maxraj bo'ladi.
  4. Har bir kasr uchun biz o'zimizga savol beramiz: ""15a" ni olish uchun bu kasrning maxrajini nimaga ko'paytirishimiz kerak?"

Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik. Bu kasr allaqachon "15a" ning denominatoriga ega, ya'ni uni hech narsa bilan ko'paytirish kerak emas.

Keling, ikkinchi kasrni ko'rib chiqaylik. Keling, savol beraylik: ""15a" ni olish uchun "3" ni ko'paytirish uchun nima kerak?" Javob: "5a".

Kasrni umumiy maxrajga keltirishda "5a" ga ko'paytiriladi. ham hisoblagich, ham maxraj.

Algebraik kasrni umumiy maxrajga kamaytirish uchun qisqartirilgan yozuv "uylar" yordamida yozilishi mumkin.

Buning uchun umumiy maxrajni yodda tuting. Yuqoridagi "uydagi" har bir kasrning tepasida biz har bir kasrni ko'paytiradigan narsalarni yozamiz.


Endi kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, kasrlarni qo'shish mumkin.

Keling, har xil maxrajli kasrlarni ayirish misolini ko'rib chiqaylik.

Ikkala kasrning “(x − y)” va “(x + y)” maxrajlarini ko‘rib chiqing va ular uchun umumiy maxrajni toping.

Bizda "(x - y)" va "(x + y)" maxrajlarida ikki xil polinom mavjud. Ularning mahsuloti umumiy maxraj bo'ladi, ya'ni. “(x − y)(x + y)” umumiy maxrajdir.


Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish

Ba'zi misollarda algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish kerak.

Keling, algebraik kasrlarni qo'shish misolini ko'rib chiqaylik, bu erda kvadratlar farqi formulasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi.

Birinchi algebraik kasrda maxraj "(p 2 - 36)" dir. Shubhasiz, unga kvadratlar farqi formulasini qo'llash mumkin.

“(p 2 - 36)” ko‘phadni ko‘phadlar ko‘paytmasiga ajratgandan so‘ng
“(p + 6)(p - 6)” “(p + 6)” ko‘phadning kasrlarda takrorlanishi aniq. Bu kasrlarning umumiy maxraji "(p + 6) (p - 6)" ko'phadlarning ko'paytmasi bo'lishini anglatadi.

Algebraik kasrlarni qo'shish (ayirish) algoritmi

1. Barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltiring; agar ular boshidanoq bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, u holda algoritmning bu bosqichi o'tkazib yuboriladi.
2. Olingan kasrlarni bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing (ayiring).

1-misol. Quyidagi amallarni bajaring:

A) ; .

b) ; V) Yechim.

Bu yerda berilgan algebraik kasrlarning har bir jufti uchun umumiy maxraj yuqorida “Algebraik kasrlarning asosiy xossalari” darsida topilgan. Yuqoridagi misolga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:
Yuqoridagi algoritmdagi eng qiyin narsa, albatta, birinchi qadamdir: umumiy maxrajni topish va kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish. 1-misolda siz bu qiyinchilikni sezmagan bo'lishingiz mumkin, chunki biz 2-§ dan tayyor natijalardan foydalanganmiz.

Umumiy maxrajni topish qoidasini ishlab chiqish uchun 1-misolni tahlil qilaylik.

Kasrlar va umumiy maxraj uchun 15 raqami - u 3 ga ham, 5 ga ham bo'linadi va ularning umumiy karrali (hatto eng kichik umumiy ko'paytmasi ham) hisoblanadi.
Kasrlar uchun umumiy maxraj monomialdir. U ikkalasiga ham, ga ham bo'linadi, ya'ni kasrlarning maxrajlari bo'lib xizmat qiluvchi ikkala monomiyaga bo'linadi. E'tibor bering: 12 raqami 4 va 6 sonlarining eng kichik umumiy karrali hisoblanadi. O'zgaruvchi ko'rsatkichi 2 bo'lgan birinchi kasrning maxrajida, ko'rsatkichi 3 ga teng bo'lgan ikkinchi kasrning maxrajida ko'rinadi. Bu eng katta qiymat ko'rsatkichning 3 qismi umumiy maxrajda ko'rinadi. Kasrlar va umumiy maxraj uchun mahsulot hisoblanadi
- maxrajga ham, maxrajga ham bo‘linadi.
Umumiy maxrajni topishda, tabiiyki, barcha berilgan maxrajlarni faktorlarga ajratish kerak (agar bu shartda tayyorlanmagan bo'lsa). Va keyin siz bosqichma-bosqich ishlashingiz kerak: raqamli koeffitsientlar uchun eng kichik umumiy ko'paytmani toping (biz butun son koeffitsientlari haqida gapiramiz), har bir bir necha marta sodir bo'lgan harf koeffitsienti uchun eng katta ko'rsatkichni aniqlang, bularning barchasini bitta mahsulotga to'plang.

Endi siz mos keladigan algoritmni loyihalashingiz mumkin.

    Bir nechta algebraik kasrlar uchun umumiy maxrajni topish algoritmi

    Barcha maxrajlarni (sonli koeffitsientlar, o'zgaruvchilarning darajalari, binomiallar, trinomiallar) koeffitsienti.

    Birinchi bosqichda tuzilgan faktorizatsiyalarda mavjud sonli koeffitsientlarning eng kichik umumiy karralini toping.

    Uchinchi bosqichda olingan mahsulotga ikkinchi bosqichda topilgan raqamli koeffitsientni qo'shing; yakuniy natija umumiy maxrajdir.

Izoh. Aslida, ikkita algebraik kasr uchun xohlagancha umumiy maxrajlarni topishingiz mumkin. Masalan, kasrlar uchun Va umumiy maxraj 30 raqami, 60 raqami va hatto monomial bo'lishi mumkin . Gap shundaki, 30 va 60 va 3 yoki 5 ga bo'linishi mumkin. Kasrlar uchun Va umumiy maxraj, yuqorida topilgan monomiydan tashqari , balki Va . Monomial nima ko'ra yaxshiroq , Qanaqasiga ? Bu oddiyroq (tashqi ko'rinishda). U ba'zan hatto umumiy maxraj emas, balki eng past umumiy maxraj deb ataladi. Shunday qilib, berilgan algoritm bir necha algebraik kasrlarning eng oddiy umumiy maxrajini topish algoritmi, eng kichik umumiy maxrajni topish algoritmidir.

Keling, 1-misolga qaytaylik, a. Algebraik kasrlarni va ni qo'shish uchun faqat umumiy maxrajni (15 raqami) topish emas, balki kasrlarni umumiy maxrajga keltirish imkonini beradigan har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topish kerak edi. Kasr uchun bunday qo'shimcha omil 5 raqami (ushbu kasrning soni va maxraji qo'shimcha ravishda 5 ga ko'paytiriladi), kasr uchun - 3 raqami (ushbu kasrning hisoblagichi va maxraji qo'shimcha ravishda 3 ga ko'paytiriladi). Qo'shimcha omil umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo'lish qismidir.

Odatda quyidagi belgi qo'llaniladi:

Keling, 1.6-misolga qaytaylik. Kasrlarning umumiy maxraji monomialdir. Birinchi kasr uchun qo'shimcha koeffitsient teng (chunki ), ikkinchi kasr uchun u 2 ga teng (chunki ). Demak, 1.6-misolning yechimi quyidagicha yozilishi mumkin:

.

Yuqorida bir nechta algebraik kasrlar uchun umumiy maxrajni topish algoritmi tuzilgan. Ammo tajriba shuni ko'rsatadiki, bu algoritm talabalar uchun har doim ham tushunarli emas, shuning uchun biz biroz o'zgartirilgan formulani beramiz.

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidasi

    Barcha maxrajlarni faktor qiling.

    Birinchi maxrajdan uning barcha omillari ko'paytmasini yozing, qolgan maxrajlardan etishmayotgan ko'paytmalarni ushbu mahsulotga qo'shing. Olingan mahsulot umumiy (yangi) maxraj bo'ladi.

    Har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni toping: bular yangi maxrajda bo'lgan, lekin eski maxrajda bo'lmagan omillarning mahsuloti bo'ladi.

    Har bir kasr uchun yangi hisob toping: bu eski hisoblagichning mahsuloti va qo'shimcha omil bo'ladi.

    Har bir kasrni yangi son va yangi (umumiy) maxraj bilan yozing.

2-misol. Ifodani soddalashtiring .

b) ; V)
Birinchi bosqich. Umumiy maxraj va qo‘shimcha omillarni topamiz.
Bizda ... bor

Birinchi maxrajni to‘liq olamiz, ikkinchisidan esa birinchi maxrajda bo‘lmagan ko‘rsatkichni qo‘shamiz. Keling, umumiy maxrajni olaylik.

Yozuvlarni jadval shaklida joylashtirish qulay:

Denominatorlar

Umumiy maxraj

Qo'shimcha multiplikatorlar

Ikkinchi bosqich.
Keling, transformatsiyalarni bajaramiz:

Agar sizda biroz tajriba bo'lsa, siz birinchi bosqichni o'tkazib yuborishingiz va uni ikkinchi bosqich bilan bir vaqtda bajarishingiz mumkin.
Xulosa qilib, keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik (qiziquvchilar uchun).

3-misol. Ifodani soddalashtiring

b) ; V) Birinchi bosqich.
Keling, barcha maxrajlarni faktorlarga ajratamiz:

Biz birinchi maxrajni to'liq olamiz, ikkinchisidan etishmayotgan omillarni olamiz va (yoki), uchinchisidan etishmayotgan omilni olamiz (chunki uchinchi maxrajda omil mavjud ).

Denominatorlar

Umumiy maxraj

Qo'shimcha multiplikatorlar

maxrajlari har xil bo‘lgan oddiy kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidasi asosida algebraik kasrlar bilan amallarni (qo‘shish va ayirish) bajarish qobiliyatini shakllantirish;

  • o'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni ko'rib chiqish va mashq qilish.

    • Uskunalar: Ko'rgazmali material.

    Bilimlarni yangilash uchun vazifalar:

    1) +; 2) -;

    3) + ; 4) +; 5) -.

    1) maxrajlari har xil bo`lgan oddiy kasrlarni qo`shish va ayirish algoritmi.

    Turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun quyidagilar kerak:

    1. Ushbu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiring.
    2. Olingan kasrlarni qo'shish yoki ayirish.

    2) Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish algoritmi.

    1. Har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz: bu umumiy (yangi) maxrajda bo'lgan, lekin eski maxrajda bo'lmagan omillarning mahsuloti bo'ladi.

    3) O'z-o'zini tekshirish bilan mustaqil ishlash standartlari:

    3) Fikrlash bosqichi uchun karta.

    1. Bu mavzu men uchun tushunarli.
    2. Men har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni qanday topishni bilaman.
    3. Men har bir kasr uchun yangi hisoblagichlarni topa olaman.
    4. Mustaqil ishlaganimda hammasi yaxshi bo'ldi.
    5. Mustaqil ishda yo‘l qo‘ygan xato sababini tushuna oldim.
    6. Sinfdagi ishimdan mamnunman.

    Darslar davomida

    1. Faoliyat uchun o'z taqdirini o'zi belgilash.

    Bosqich maqsadlari:

    1. Talabalarni o'quv faoliyatiga jalb qilish: "Algebraik ifodalar" mamlakat bo'ylab sayohatni davom ettirish.
    2. Dars mazmunini aniqlash: algebraik kasrlar bilan ishlashni davom ettirish.

    1-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Xayrli tong, yigitlar! Biz "Algebraik ifodalar" mamlakati bo'ylab qiziqarli sayohatimizni davom ettiramiz.

    Oldingi darslarda biz mamlakatning qaysi "aholisi" bilan tanishdik? (Algebraik ifodalar bilan.)

    Bizga tanish algebraik ifodalar bilan nima qilishimiz mumkin? (Qo'shish va ayirish.)

    Biz qo'shish va ayirishni allaqachon bilgan algebraik kasrlarning o'ziga xos xususiyati nimada? (Maxraji bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shamiz va ayiramiz.)

    To'g'ri. Lekin hammamiz yaxshi tushunamizki, bir xil maxrajga ega algebraik kasrlar bilan amallarni bajarish malakalari yetarli emas. Sizningcha, yana nima qilishni o'rganishimiz kerak? (Maxraji har xil bo'lgan kasrlar bilan amallarni bajaring.)

    Juda qoyil! Keyin sayohatimizni davom ettiramizmi? (Ha!)

    2. Bilimlarni yangilash va faoliyatdagi qiyinchiliklarni qayd etish.

    Bosqich maqsadlari:

    1. Bir xil maxrajli kasrlar bilan amallarni bajarish, aqliy hisoblash usullari haqidagi bilimlarni yangilash.
    2. Qiyinchilikni yozib oling.

    2-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Doskada kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish uchun bir nechta misollar mavjud:

    5) -=-==.

    Talabalardan o'zlarining yechimlarini baland ovozda aytishlari so'raladi.

    Birinchi misolda, bolalar bir xil maxrajlarga ega algebraik kasrlar bilan harakatlarni bajarish algoritmini eslab, to'g'ri javobni osongina berishadi.

    2-misolga izoh berilgan boʻlsa, oʻqituvchi asosiy eʼtiborni 2-misolga qaratadi:

    Bolalar, qarang, 2-misolda nima qiziq? (Biz nafaqat bir xil maxrajlarga ega bo'lgan algebraik kasrlar bilan operatsiyalarni bajardik, balki olingan algebraik kasrni ham kamaytirdik: biz qavslardan minus belgisini oldik va hisoblagich va maxrajda biz bir xil omillarni oldik, natijada natijani qisqartirdik. .)

    Kasrning asosiy xususiyati nafaqat oddiy kasrlarga, balki algebraik kasrlarga ham tegishli ekanligini unutmaganingiz juda yaxshi!

    Quyidagi uchta misolning yechimini hamma uchun kim izohlaydi?

    Katta ehtimol bilan 3-misolni bemalol yecha oladigan talaba topiladi.

    3-misolni nimadan foydalandingiz? (Menga har xil maxrajli oddiy kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi yordam berdi.)

    Siz aniq qanday harakat qildingiz? (Men algebraik kasrlarni eng kichik umumiy maxraj 15 ga qisqartirdim va keyin ularni qo'shdim.)

    Ajoyib! Oxirgi ikkita misol bilan qanday ishlaymiz?

    Keyingi ikkita misolga kelsak, yigitlar (har biri o'zi uchun) yuzaga kelgan qiyinchilikni tuzatadi.

    Talabalarning so'zlari quyidagicha:

    Menga 4–5-misollarni to‘ldirish qiyin, chunki mening oldimda “bir xil” maxrajlar bilan emas, algebraik kasrlar turibdi va bu turli maxrajlar o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga oladi (4-raqam), 5-sonda esa to‘g‘ridan-to‘g‘ri ifodalar mavjud. denominatorlar!..”

    4–5-topshiriqlarga javob olinmadi.

    3. Qiyinchiliklarning joylashuvi va sabablarini aniqlash va faoliyat uchun maqsadlarni belgilash.

    Bosqich maqsadlari:

    1. O'quv faoliyatida qiyinchilik tug'dirgan vazifaning o'ziga xos xususiyatini yozing.
    2. Darsning maqsadi va mavzusini shakllantirish.

    3-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Yigitlar? Qiyinchilik qaerdan paydo bo'ldi? (4–5-misollarda.)

    Nega ularni hal qilishda qarorni muhokama qilishga va javob berishga tayyor emassiz? (Chunki bu topshiriqlarda taklif qilingan algebraik kasrlar turli xil maxrajlarga ega va biz bir xil maxrajga ega algebraik kasrlar bilan amallarni bajarish algoritmi bilan tanishmiz.

    Yana nima qilishimiz kerak? (Turli maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish usullarini o'rganishingiz kerak.)

    Gaplaringa qo'shilaman. Bugungi darsimiz mavzusini qanday shakllantirishimiz mumkin? (Maxraji har xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish.)

    Dars mavzusi daftarlarga yoziladi.

    4. Qiyinchilikdan chiqish uchun loyihani qurish.

    Bosqichning maqsadi:

    1. Bolalarning yangi harakat uslubini qurish.
    2. Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish algoritmini aniqlash.

    4-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Bugun darsda o'z oldimizga qanday maqsad qo'yamiz? (Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirishni o‘rganing.)

    Qanday bo'lish kerak? (Buning uchun biz algebraik kasrlar bilan keyingi ishlash uchun algoritm yaratishimiz kerak.)

    Dars maqsadiga erishish uchun nimani o'ylab topishimiz kerak? (Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish algoritmi, shundan keyin biz bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish uchun odatiy qoida bo'yicha ishlashimiz mumkin.)

    Ishni guruhlarga bo'lish mumkin; har bir guruhga qog'oz varag'i va marker beriladi. Talabalar algoritmning o'z versiyalarini qadamlar ro'yxati shaklida taklif qilishlari mumkin. Ishga 5 daqiqa vaqt ajratiladi. Guruhlar algoritm yoki qoida uchun o‘z variantlarini joylashtiradilar, so‘ngra har bir variant tahlil qilinadi.

    Katta ehtimol bilan, talabalardan biri, albatta, o'z algoritmini turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish algoritmiga o'xshatadi: birinchi navbatda, ular tegishli qo'shimcha omillardan foydalangan holda kasrlarni umumiy maxrajga keltiradilar, keyin esa qo'shadilar va ayiradilar. maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlar hosil bo‘ladi.

    Keyinchalik, bitta variant ko'rsatiladi. Bu shunday bo'lishi mumkin:

    1. Biz barcha maxrajlarni hisobga olamiz.
    2. Birinchi maxrajdan uning barcha omillari ko'paytmasini yozamiz, qolgan maxrajlardan esa etishmayotgan ko'paytmalarni ushbu mahsulotga belgilaymiz. Olingan mahsulot umumiy (yangi) maxraj bo'ladi.
    3. Keling, har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz: bular yangi maxrajda bo'lgan, lekin eski maxrajda bo'lmagan omillarning mahsuloti bo'ladi.
    4. Keling, har bir kasr uchun yangi hisob topamiz: bu eski hisoblagichning ko'paytmasi va qo'shimcha omil bo'ladi.
    5. Keling, har bir kasrni yangi son va umumiy (yangi) maxraj bilan yozamiz.

    Keling, hal qilinmagan taklif qilingan vazifalarni bajarish uchun qoidamizni qo'llaylik. Har bir topshiriq (4, 5) sinfdagi bir necha o‘quvchilar tomonidan birma-bir aytiladi va o‘qituvchi yechimini doskaga yozib qo‘yadi.

    Siz va men shunchaki dahomiz! Biz turli xil maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmini tuzdik. Birgalikdagi sa'y-harakatlar orqali biz qiyinchilikni bartaraf etdik, chunki endi oldimizda noma'lum "Algebraik kasrlar" mamlakatiga haqiqiy "yo'lboshchi" (algoritm) bor!

    5. Tashqi nutqda birlamchi konsolidatsiya.

    Bosqichning maqsadi:

    1. Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish qobiliyatini o'rgatish.
    2. Qoida-algoritmning o'rganilayotgan mazmunini tashqi nutqda talaffuz qilishni tashkil qilish.

    5-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Bolalar, biz hammamiz yaxshi bilamizki, "hudud xaritasi"ni ko'rish va bilish sayohat emas. Algebraik kasrlar dunyosiga chuqurroq kirib borish uchun nima qilishimiz kerak? (Yangi algoritmimizni mustahkamlash uchun misollarni yechishimiz va umuman misollarni echishni mashq qilishimiz kerak.)

    Juda to'gri. Shuning uchun men tadqiqotimizni boshlashni taklif qilaman.

    Talaba o'z yechimining rejasini og'zaki bayon qiladi, agar ba'zi bir noto'g'ri bo'lsa, o'qituvchi tuzatadi.

    Bu taxminan shunday eshitiladi:

    Biz 2 ga ham, 5 ga ham bo'linadigan raqamni tanlashimiz kerak. Bu raqam 10. Keyin o'zgaruvchilarni kerakli darajada tanlaymiz. Shunday qilib, bizning yangi maxrajimiz 10xy bo'ladi. Biz qo'shimcha multiplikatorlarni tanlaymiz. Birinchi kasrga: 5y, ikkinchisiga: 2x. Tanlangan qo'shimcha omillarni har bir eski hisoblagichga ko'paytiramiz. Biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni olamiz va bizga allaqachon tanish bo'lgan qoida bo'yicha ayirishni bajaramiz.

    Men mamnunman. Va endi bizning katta jamoamiz juftlarga bo'linadi va biz qiziqarli yo'limizni davom ettiramiz.

    № 133 (a, d). Talabalar juft bo‘lib ishlaydilar, bir-birlari bilan yechimini muhokama qiladilar:

    a) +=+= =;

    d) +=+= =.

    6. O'z-o'zini tekshirish bilan mustaqil ishlash.

    Bosqich maqsadlari:

    1. Mustaqil ishlarni bajarish.
    2. Tayyor o'z-o'zini tekshirish standarti yordamida o'z-o'zini sinovdan o'tkazing.
    3. Talabalar qiyinchiliklarni qayd etadilar, xatolar sabablarini aniqlaydilar va xatolarni tuzatadilar.

    6-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Men sizning ishingizni diqqat bilan kuzatdim va har biringiz mustaqil ravishda yo'llar haqida o'ylashga va bugungi mavzuimiz bo'yicha misollar yechimini topishga tayyormiz, degan xulosaga keldim. Shuning uchun men sizga bir oz mustaqil ish taklif qilaman, uni tugatgandan so'ng sizga to'g'ri echim va javob bilan standart taklif qilinadi.

    № 134 (a, b): variantlarga muvofiq ishni bajarish.

    Ish tugagandan so'ng, standart tekshiruv o'tkaziladi. Yechimlarni tekshirishda o‘quvchilar to‘g‘ri yechim uchun “+”, “?” belgisini qo‘yadilar. to'g'ri qaror emas. Xatoga yo‘l qo‘ygan o‘quvchilar topshiriqni noto‘g‘ri bajarganlik sababini tushuntirishlari tavsiya etiladi.

    Xatolar tahlil qilinadi va tuzatiladi.

    Xo'sh, yo'lda qanday qiyinchiliklarga duch keldingiz? (Men minus belgisi qo'yilgan qavslarni kengaytirishda xatoga yo'l qo'ydim.)

    Buning sababi nimada? (Faqat ehtiyotsizlik tufayli, lekin kelajakda ehtiyotkor bo'laman!)

    Yana nima qiyin tuyuldi? (Kasrlar uchun qo'shimcha omillarni topish men uchun qiyin bo'lganmi?)

    Kelajakda bunday muammo yuzaga kelmasligi uchun, albatta, algoritmning 3-bandini batafsil o'rganishingiz kerak!

    Boshqa qiyinchiliklar bo'lganmi? (Va men shunchaki bunday shartlarni keltirmadim).

    Va buni tuzatish mumkin. Yangi algoritm yordamida hamma narsani qilganingizdan so'ng, siz uzoq vaqt oldin o'rgangan materialingizni eslab qolishingiz kerak. Xususan, o'xshash atamalarni olib kelish yoki kasrlarni qisqartirish va hokazo.

    7. Yangi bilimlarni bilimlar tizimiga kiritish.

    Bosqichning maqsadi: darsda o'rganilgan turli xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish algoritmini takrorlash va mustahkamlash.

    8. Darsni aks ettirish.

    Bosqichning maqsadi: yangi tarkibni yozib olish, o'z faoliyatini baholash.

    8-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

    Dars boshida qanday maqsadni qo'ydik? (Turli maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirishni o‘rganing.)

    Maqsadga erishish uchun nima qildik? (Maxraji har xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish algoritmi.)

    Buning uchun yana nimadan foydalandik? (Biz maxrajlarni faktorlarga ajratdik, koeffitsientlar uchun LCMni va hisoblagichlar uchun qo'shimcha omillarni tanladik.)

    Endi rangli qalam yoki flomaster olib, haqiqatiga rozi bo'lgan gaplarni "+" belgisi bilan belgilang:

    Har bir talaba iboralar bilan kartaga ega. Bolalar belgilab, o'qituvchiga ko'rsatadilar.

    Juda qoyil!

    Uyga vazifa: 4-band (darslik); No 126, 127 (muammolar kitobi).

    TURLI maxrajli ALGebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish.

    Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish maxrajlari har xil bo‘lgan oddiy kasrlarni qo‘shish va ayirish uchun qo‘llaniladigan bir xil algoritm yordamida amalga oshiriladi: birinchidan, kasrlar mos keladigan qo‘shimcha omillar yordamida umumiy maxrajga keltiriladi.
    tel, so'ngra 3-§ dan qoida bo'yicha bir xil maxrajli hosil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish.

    Algebraik kasrlarni qo'shish (ayirish) algoritmi

    1-misol. Quyidagi amallarni bajaring:

    Yechim. Bu yerda berilgan algebraik kasrlarning har bir jufti uchun umumiy maxraj yuqorida, 2-§ dagi misolda topilgan. Yuqoridagi misolga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

    Yuqoridagi algoritmdagi eng qiyin narsa, albatta, birinchi qadamdir: umumiy maxrajni topish va kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirish. 1-misolda siz bu qiyinchilikni sezmagan bo'lishingiz mumkin, chunki biz 2-§ dan tayyor natijalardan foydalanganmiz.

    Umumiy maxrajni topish qoidasini ishlab chiqish uchun 1-misolni tahlil qilaylik.
    Kasrlar uchun umumiy maxraj 15 raqami bo'lib, u 3 ga ham, 5 ga ham bo'linadi va ularning umumiy ko'pligi (hatto eng kichik umumiy ko'p bo'ladi).
    Kasrlar uchun umumiy maxraj monomial 12b 3 hisoblanadi. U 4b 2 va 6b 3 ga bo'linadi, ya'ni kasrlarning maxraji bo'lib xizmat qiluvchi ikkala monomiyaga ham bo'linadi.

    E'tibor bering, 12 raqami 4 va 6 sonlarining eng kichik umumiy karrali hisoblanadi. b o'zgaruvchisi 2 darajali birinchi kasrning maxrajiga, maxrajga kiritilgan.
    ikkinchi kasr - ko'rsatkich 3 bilan. Ko'rsatkich 3 ning bu eng yuqori qiymati umumiy maxrajda paydo bo'ladi.
    Kasrlar uchun


    umumiy maxraj ko'paytma (x + y)(x - y) - u ham x + y maxrajga, ham x-y maxrajga bo'linadi.

    Umumiy maxrajni topishda, tabiiyki, barcha berilgan maxrajlarni faktorlarga ajratish kerak (agar bu shartda tayyorlanmagan bo'lsa). Va keyin siz bosqichma-bosqich ishlashingiz kerak: raqamli koeffitsientlar uchun eng kichik umumiy ko'paytmani toping (biz butun son koeffitsientlari haqida gapiramiz), har bir bir necha marta sodir bo'lgan harf koeffitsienti uchun eng katta ko'rsatkichni aniqlang, bularning barchasini bitta mahsulotga to'plang.

    Endi siz mos keladigan algoritmni loyihalashingiz mumkin.

    Bir nechta algebraik kasrlar uchun umumiy maxrajni topish algoritmi


    Davom etishdan oldin, ushbu algoritmni 1-misoldagi algebraik kasrlar uchun umumiy maxraj mantiqiy asosiga qo'llashga harakat qiling.
    Izoh. Aslida, ikkita algebraik kasr uchun xohlagancha umumiy maxrajlarni topishingiz mumkin. Masalan, kasrlar uchun umumiy
    maxraj 30 raqami yoki 60 raqami yoki hatto monomial 15a2b bo'lishi mumkin. Gap shundaki, 30, 60 va 15a 2 b ni 3 yoki 5 ga bo'lish mumkin.
    kasrlar -
    umumiy maxraj, yuqorida topilgan 12b monomialdan tashqari, 24b 3 va 48a 2 b 4 bo'lishi mumkin. Nima uchun monomial 12b 3 24b 3 dan, 48a 2 b 4 dan yaxshiroq? Bu oddiyroq (tashqi ko'rinishda). U ba'zan hatto umumiy maxraj emas, balki eng past umumiy maxraj deb ataladi. Shunday qilib, berilgan algoritm algoritmdir
    bir necha algebraik kasrlarning eng oddiy umumiy maxrajini topish, eng kichik umumiy maxrajni topish algoritmi.

    Keling, 1-misolga qaytaylik, a. Algebraik kasrlarni qo'shish uchun nafaqat umumiy maxrajni (15 raqami), balki kasrlarni umumiy maxrajga keltirish imkonini beradigan har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topish kerak edi. Kasr uchun bunday qo'shimcha multi-
    rezident - 5 raqami (bu kasrning soni va maxraji qo'shimcha ravishda 5 ga ko'paytiriladi), kasr uchun raqam 3 ga teng (bu kasrning soni va maxraji qo'shimcha ravishda 3 ga ko'paytiriladi).

    Qo'shimcha omil umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo'lish qismidir.
    Odatda quyidagi belgi qo'llaniladi:


    Keling, 1.6-misolga qaytaylik. Kasrlar uchun umumiy maxraj monomial 12b 3 dir. Birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3b ga teng (12b 3: 4b 2 = 3 b bo'lgani uchun), ikkinchi kasr uchun u 2 ga teng (12b 3: 6b 3 = 2). Demak, 1.6-misolning yechimi quyidagicha yozilishi mumkin:


    Yuqorida bir nechta algebraik kasrlar uchun umumiy maxrajni topish algoritmi tuzilgan. Ammo tajriba shuni ko'rsatadiki, bu algoritm talabalar uchun har doim ham tushunarli emas, shuning uchun biz biroz o'zgartirilgan formulani beramiz.

    Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish qoidasi

    2-misol. Ifodani soddalashtiring

    Yechim.
    Birinchi bosqich. Umumiy maxraj va qo‘shimcha omillarni topamiz.

    Bizda ... bor
    4a 2 - 1 = (2a - 1) (2a + 1),
    2a 2 + a = a (2a + 1).
    Birinchi maxrajni to‘liq holda olamiz, ikkinchisidan esa birinchi maxrajda bo‘lmagan a koeffitsientini qo‘shamiz. Keling, umumiy maxrajni olaylik

    a(2a - 1) (2a +1).

    Yozuvlarni jadval shaklida joylashtirish qulay:


    Ikkinchi bosqich.
    Keling, transformatsiyalarni bajaramiz:

    Agar sizda biroz tajriba bo'lsa, siz birinchi bosqichni o'tkazib yuborishingiz va uni ikkinchi bosqich bilan bir vaqtda bajarishingiz mumkin.

    Xulosa qilib, keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik (qiziquvchilar uchun).

    3-misol . Ifodani soddalashtiring

    Yechim.
    Birinchi bosqich.
    Keling, barcha maxrajlarni faktorlarga ajratamiz:

    1) 2a 4 + 4a 3 b + 2a 2 b 2 = 2a 2 (a 2 + 2ab + b 2) = 2a 2 (a + b) 2;

    2) 3ab 2 - 3 uchun = For (b 2 - a 2) = For (b - a) (b + a);

    3) 6a 4 -6a 3 b = 6a 3 (a-b).

    Biz birinchi maxrajni to'liq olamiz, ikkinchisidan etishmayotgan 3 va b - a (yoki a - b) koeffitsientini olamiz, uchinchidan a ko'rsatkichini olamiz (chunki uchinchi maxrajda a 3 koeffitsienti mavjud).

    Algebraik kasrlar


    E'tibor bering, agar qo'shimcha omil "-" belgisiga ega bo'lsa, u odatda butun kasrdan oldin qo'yiladi, ya'ni ikkinchi kasrdan oldin belgini o'zgartirish kerak bo'ladi.

    Ikkinchi bosqich.
    Keling, transformatsiyalarni bajaramiz:

    E'tibor bering, 3-misolda berilgan ifodani olingan algebraik kasr bilan almashtirish o'zgaruvchilarning maqbul qiymatlari uchun bir xil o'zgarishdir. Bunday holda, a va b o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari qabul qilinadi, bundan tashqari a = 0, a = b, a = - b (bularda
    hollarda, maxrajlar nolga tushadi).

    Qo'shimcha materiallar
    Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

    "Integral" onlayn-do'konida rivojlanish va o'quv qo'llanmalari
    Darslik uchun qo'llanma Muravin G.K.    Makarychev Yu.N tomonidan darslik uchun qo'llanma.

    Algebraik kasr nima?

    Algebraik kasr quyidagi shaklning ifodasidir: $\frac(P)(Q)$.

    Qayerda:
    P - algebraik kasrning soni.
    Q - algebraik kasrning maxraji.

    Mana algebraik kasrlarga misollar:

    $\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

    Algebraik kasrlarning asosiy xossalari

    Mulk 1.
    Kasrning soni ham, maxraji ham bir xil songa ko'paytirilishi mumkin (monomiy yoki ko'phad). Natijada, biz bir xil kasrni olamiz, lekin boshqa shaklda taqdim etiladi.

    Ushbu transformatsiya boshqacha nomlanadi bir xil. U algebraik (va nafaqat) ifodani soddaroq shaklga keltirish uchun ishlatiladi va bu ifoda bilan ishlash qulayroq bo'ladi.

    $\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.


    Biz pay va maxrajni monomial $3b$ ga ko'paytirdik. Natijada, biz asl qismga o'xshash kasrni oldik.

    $\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.


    Agar kerak bo'lsa, algebraik kasr tub songa ko'paytirilishi mumkin. Bu misolda biz pay va maxrajni 2 raqamiga ko'paytirdik. Va yana asl kasrga o'xshash kasr oldik.

    Mulk 2.
    Kasrning soni ham, maxraji ham bir xil songa bo'linishi mumkin (monomiy yoki ko'phad). Natijada, biz bir xil kasrni olamiz, lekin boshqa shaklda taqdim etiladi.

    Ko'paytirishda bo'lgani kabi, kasrni soddaroq ko'rinishda taqdim etish va u bilan ishlashni osonlashtirish uchun bu o'ziga xoslik o'zgarishi qo'llaniladi.

    O'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish

    Agar algebraik kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lsa, ular oddiy kasrlar kabi qo'shiladi (faqat sanoqlar qo'shiladi, maxraj esa umumiy bo'lib qoladi).

    Umumiy qoida:

    $\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.


    Misol.

    Ifodani soddalashtiring:

    $\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.


    Yechim.

    Biz yuqorida tavsiflangan kasrlarni qo'shish qoidasidan foydalanamiz, ya'ni sonlarni qo'shamiz va umumiy maxrajni yozamiz.

    $\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.


    Keling, hisoblagich bilan ishlaylik.

    $(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
    $2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.


    Natijada biz kasrni olamiz:

    $\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.


    Bolalar, yechimni tugatishdan oldin, natijani yanada soddalashtirish mumkinmi yoki yo'qligini tekshiring. Axir, bu o'zgartirishning butun nuqtasi - ifodani soddalashtirish.
    Agar siz diqqat bilan qarasangiz, natijada olingan fraktsiyani yanada soddalashtirish mumkinligini tushunishingiz mumkin.

    $\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

    Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

    Turli xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shganda, oddiy kasrlar bilan ishlashda bo'lgani kabi harakat qilish kerak. Avval siz kasrni umumiy maxrajga kamaytirishingiz kerak, so'ngra biz ko'rib chiqqan umumiy qoidaga muvofiq kasrlarning sonlarini qo'shishingiz yoki ayirishingiz kerak.

    Misol.
    Hisoblash:

    $\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.


    Yechim.
    Keling, bu kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. Ushbu misolda umumiy maxraj $12b^3$ monomialdir.
    Keyin.

    $\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
    \frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.


    Eng qiyin qismi kasrlar uchun umumiy maxrajni topishdir. Ba'zi hollarda bu oson ish emas.
    Umumiy maxrajni topishda siz qoidalarga amal qilishingiz mumkin:
    1. Agar ikkala maxraj qavssiz monomiya bo‘lsa, u holda avval songa, keyin esa o‘zgaruvchiga umumiy maxrajni tanlagan ma’qul. Bizning misolimizda bu raqam 12, o'zgaruvchisi esa $b^3$.
    2. Agar maxraj murakkabroq ifoda bo'lsa, masalan, $x + 1$, $x +y$ va shunga o'xshash bo'lsa, unda maxrajni maxrajlar ko'paytmasi shaklida tanlash yaxshidir, masalan, $. (x + y) (x - y) $. Bunday maxraj $x + y$ va $x - y$ ga ham bo'linadi.

    Eslab qoling!
    Ikki algebraik kasr uchun siz xohlagancha umumiy maxrajlarni tanlashingiz mumkin. Ammo hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun siz eng oddiyini tanlashingiz kerak.