Bu darsda har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish masalalari ko‘rib chiqiladi. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish 8-sinf kursining eng muhim va qiyin mavzularidan biridir. Bundan tashqari, bu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida paydo bo'ladi. Darsning bir qismi sifatida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek, bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.
Keling, oddiy kasrlar uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.
1-misol. Kasrlarni qo'shish: .
Yechim:
Kasrlarni qo'shish qoidasini eslaylik. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Oddiy kasrlar uchun umumiy maxraj eng kichik umumiy karra Asl maxrajlarning (LCM).
Ta'rif
Ikkala songa ham bo'linadigan eng kichik natural son.
LCM ni topish uchun siz maxrajlarni tub omillarga ajratishingiz kerak, so'ngra ikkala maxrajni kengaytirishga kiritilgan barcha asosiy omillarni tanlashingiz kerak.
; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .
Umumiy maxrajni topgandan so'ng, har bir kasr uchun qo'shimcha koeffitsientni topishingiz kerak (aslida umumiy maxrajni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'ling).
Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.
Biz olamiz: 
.
Javob:.
Keling, har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqaylik.
2-misol. Kasrlarni qo'shish: .
Yechim:
Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshash. Bu kasrlarning umumiy maxrajini topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.
.
Javob:.
Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:
1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.
2. Kasrlarning har biri uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).
3. Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiring.
4. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.
Keling, maxraji harfli ifodalarni o'z ichiga olgan kasrlarga misolni ko'rib chiqaylik.
3-misol. Kasrlarni qo'shish: .
Yechim:
Ikkala maxrajdagi harf ifodalari bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, ushbu misolning yechimi quyidagicha ko'rinadi:.
Javob:.
4-misol. Kasrlarni ayirish: .
Yechim:
Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga qo'sha olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda umumiy maxraj sifatida ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini olishingiz kerak.
Javob:.
Umuman olganda, bunday misollarni yechishda eng qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdir.
Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.
5-misol. Soddalashtiring: .
Yechim:
Umumiy maxrajni topishda, avvalo, asl kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).
Ushbu alohida holatda:
Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: 
.
Biz qo'shimcha omillarni aniqlaymiz va ushbu misolni hal qilamiz:
Javob:.
Endi maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rnatamiz.
6-misol. Soddalashtiring: .
Yechim:
Javob:.
7-misol. Soddalashtiring: .
Yechim:
.
Javob:.
Keling, ikkita emas, balki uchta kasr qo'shilgan misolni ko'rib chiqaylik (axir, ko'proq sonli kasrlar uchun qo'shish va ayirish qoidalari bir xil bo'lib qoladi).
8-misol. Soddalashtiring: .
§ 87. Kasrlarni qo‘shish.
Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlar (termalar) atamalar birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indi) birlashtirilishidan iborat bo'lgan harakatdir.
Biz uchta holatni ketma-ket ko'rib chiqamiz:
1. O`xshash maxrajli kasrlarni qo`shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.
1. O`xshash maxrajli kasrlarni qo`shish.
Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5.
Keling, AB segmentini olaylik (17-rasm), uni bitta qilib olib, 5 teng qismga bo'lamiz, keyin bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga teng bo'ladi va bir xil CD segmentining bir qismi teng bo'ladi. 2/5 AB.
Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu shartlarni va hosil bo’lgan yig’indini ko’rib chiqsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.
Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish kerak:
6/8 + 3/8 oraliq havolani yozib bo'lmadi; Biz buni aniqlik uchun bu erda yozdik.
Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajni belgilash kerak.
Keling, misolni ko'rib chiqaylik (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):
3. Aralash sonlarni qo`shish.
Raqamlarni qo'shamiz: 2 3/8 + 3 5/6.
Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:
Endi biz butun son va kasr qismlarni ketma-ket qo'shamiz:
§ 88. Kasrlarni ayirish.
Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu harakat, uning yordamida ikkita had va ulardan biri yig'indisi berilganda, boshqa bir muddat topiladi. Keling, uchta holatni ketma-ket ko'rib chiqaylik:
1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.
1. O‘xshash maxrajli kasrlarni ayirish.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
13 / 15 - 4 / 15
Keling, AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; keyin bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.
Biz 13/15 dan 4/15 kasrni ayirishimiz kerak. Chizmada bu ED segmentini AD segmentidan olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish orqali olingan, lekin maxraj o'zgarmagan.
Demak, maxrajlari o‘xshash bo‘lgan kasrlarni ayirish uchun ayirma sonini ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish.
Misol. 3/4 - 5/8
Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:
Oraliq havola 6/8 - 5/8 aniqlik uchun bu erda yozilgan, ammo bundan buyon o'tkazib yuborilishi mumkin.
Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, so‘ngra ayirma sonidan kichik sonni ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga belgi qo‘yish kerak.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
3. Aralash sonlarni ayirish.
Misol. 10 3/4 - 7 2/3.
Minuendning kasr qismlarini kamaytiramiz va eng kichik umumiy maxrajga olib chiqamiz:
Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayirishning kasr qismi minuendning kasr qismidan kattaroq bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda minuendning butun qismidan bitta birlik olib, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lish va minuendning kasr qismiga qo'shish kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:
§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.
Kasrlarni ko'paytirishni o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:
1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasrini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko`paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytmani) butun songa (koeffitsientga) ko'paytirish deganda bir xil hadlar yig'indisini hosil qilish tushuniladi, bunda har bir a'zo ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'ladi.
Bu shuni anglatadiki, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, unda buni quyidagicha qilish mumkin:
Natijani osonlik bilan oldik, chunki harakat bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Demak,
Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun son tarkibidagi birliklar soniga ko'p marta oshirishga tengdir. Va kasrni ko'paytirishga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi
yoki uning maxrajini kamaytirish orqali 
, u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.
Bu erdan biz qoidani olamiz:
Kasrni butun songa ko'paytirish uchun siz payni butun songa ko'paytirasiz va maxrajni bir xil qoldirasiz yoki iloji bo'lsa, maxrajni shu songa bo'lib, hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirasiz.
Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:
2. Berilgan sonning kasrini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Ushbu muammolarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu erda ham ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usulini kiritamiz.
Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Men bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?
Vazifa 2. Poezd A va B shaharlari orasidagi 300 km ga teng masofani bosib o'tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?
Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Hammasi bo'lib nechta g'ishtli uy bor?
Bu ma'lum bir raqamning bir qismini topishda duch keladigan ko'plab muammolardan ba'zilari. Ular odatda berilgan sonning ulushini topish masalalari deb ataladi.
Muammoning yechimi 1. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Bu shuni anglatadiki, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:
Muammoni hal qilish 2. Muammoning mohiyati shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. Avval 300 ning 1/3 qismini hisoblaymiz; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:
300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).
300 ning uchdan ikki qismini topish uchun siz olingan koeffitsientni ikki barobarga oshirishingiz kerak, ya'ni 2 ga ko'paytiring:
100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).
Muammoni hal qilish 3. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'ishtli uylar sonini aniqlashingiz kerak. Keling, avval 400 ning 1/4 qismini topamiz,
400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).
400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:
100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).
Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani olishimiz mumkin:
Berilgan sondan kasrning qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va hosil bo'lgan qismni uning soniga ko'paytirish kerak.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
Avvalroq (§ 26) butun sonlarni ko'paytirish deganda bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) tushunilishi kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatishi aniqlandi.
Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.
Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirishga duch kelamiz: 9 2 / 3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.
Shu sababli, biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishimiz kerak bo'ladi, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berish kerak.
Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko'paytmani) kasrga (ko'paytma) ko'paytirish ko'paytmaning ushbu qismini topishni anglatadi.
Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanishini tushunish oson.
Ammo endi qiziqarli va muhim savol tug'iladi: nega teng sonlar yig'indisini topish va sonning ulushini topish kabi bir xil ko'rinadigan amallar arifmetikada bir xil "ko'paytirish" so'zi bilan ataladi?
Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.
Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?
Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.
Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 metri qancha turadi?”
Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.
Siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan yana bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.
Bu masalalar bir xil mazmunga ega bo'lganligi va faqat sonlari bilan farq qilganligi sababli, ularni yechishda qo'llaniladigan amallarni bir xil so'z - ko'paytirish deb ataymiz.
Butun sonni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?
Keling, oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:
Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.
50 ning 1/4 qismi 50/4;
50 sonining 3/4 qismi .
Shuning uchun.
Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 =?
12 sonining 1/8 qismi 12/8,
12 sonining 5/8 qismi .
Demak,
Bu erdan biz qoidani olamiz:
Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani hisoblagich qilish va bu kasrning maxrajini maxraj sifatida imzolash kerak.
Keling, bu qoidani harflar yordamida yozamiz:
Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.
Shuni yodda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar, Masalan:
4. Kasrni kasrga ko`paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytma) omildagi kasrni topish kerak.
Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.
Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?
Misol keltiraylik: 3/4 ni 5/7 ga ko'paytiramiz. Bu siz 3/4 ning 5/7 qismini topishingiz kerakligini anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 ni topamiz
3/4 sonining 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:
5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:
Shunday qilib,
Yana bir misol: 5/8 ni 4/9 ga ko'paytirish.
5/8 ning 1/9 qismi,
5/8 sonining 4/9 qismi .
Shunday qilib, 
Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:
Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchiga, ikkinchi ko‘paytmani esa ko‘paytmaga aylantirish kerak.
Ushbu qoida umumiy shaklda quyidagicha yozilishi mumkin:
Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytma yoki koeffitsient yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiramiz: 2 1/2 va 3 1/5. Keling, ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin olingan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytiramiz:
Qoida. Aralash raqamlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak va keyin ularni kasrlarni kasrlarga ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirishingiz kerak.
Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:
6. Qiziqish tushunchasi. Masalalarni yechishda va turli amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun nafaqat har qanday, balki tabiiy bo'linishlarga ham imkon beradi. Misol uchun, siz rublning yuzdan birini (1/100) olishingiz mumkin, u kopek bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 kopek, yoki o'n kopek bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 kopekni, yarim rublni, ya'ni 50 kopekni (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin. ular amalda buni olmaydilar, masalan, rublning 2/7 qismini, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.
Og'irlik birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linishlarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1/13 kabi kasrlari keng tarqalgan emas.
Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlikdir va o'nli bo'linishlarga ruxsat beradi.
Ammo shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash juda ko'p turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzinchi" bo'linishdir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalariga tegishli bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
1. Kitoblar narxi oldingi narxdan 12/100 ga arzonlashdi.
Misol. Kitobning oldingi narxi 10 rubl edi. 1 rublga kamaydi. 20 tiyin
2. Omonat kassalari omonatchilarga yil davomida omonat uchun qo‘yilgan mablag‘ning 2/100 qismini to‘laydi.
Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.
3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.
MISOL Maktabda atigi 1200 nafar o‘quvchi bo‘lgan, shundan 60 nafari bitirgan.
Sonning yuzdan bir qismi foiz deyiladi.
"Foiz" so'zi lotin tilidan olingan bo'lib, uning ildizi "tsent" yuz degan ma'noni anglatadi. Predlog (pro centum) bilan birgalikda bu so'z "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Ushbu iboraning ma'nosi shundan kelib chiqadiki, dastlab qadimgi Rimda foizlar qarzdorning qarz beruvchiga "har bir yuz uchun" to'lagan puliga berilgan nom edi. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deylik).
Masalan, o‘tgan oyda zavod o‘zi ishlab chiqargan barcha mahsulotning 1/100 qismini nuqsonli deb aytish o‘rniga, o‘tgan oyda zavod bir foiz nuqson ishlab chiqarganini aytamiz. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.
Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:
1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.
2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo‘yilgan summadan yiliga 2 foiz to‘laydi.
3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni barcha maktab o‘quvchilarining 5 foizini tashkil etdi.
Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga % belgisini yozish odatiy holdir.
Biroq, esda tutingki, hisob-kitoblarda% belgisi odatda yozilmaydi, uni muammo bayonotida va yakuniy natijada yozish mumkin; Hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, bu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozish kerak.
Siz ko'rsatilgan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:
Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:
7. Berilgan sonning foizini topish.
Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin o'tinlari bor edi?
Ushbu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib berilgan o'tinning faqat bir qismini tashkil etdi va bu qism 30/100 fraktsiyasida ifodalanadi. Bu degani, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni yechish uchun 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish masalalari sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi.).
Bu 200 ning 30% 60 ga teng degan ma'noni anglatadi.
Bu masalada uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu qisqartirishni boshidanoq amalga oshirish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmagan bo'lardi.
Vazifa 2. Oromgohda turli yoshdagi 300 nafar bola bor edi. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% ni tashkil etdi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?
Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni 11 yoshli, keyin 12 yosh va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini ketma-ket toping.
Bu shuni anglatadiki, bu erda siz sonning ulushini uch marta topishingiz kerak bo'ladi. Keling, buni qilaylik:
1) 11 yoshli nechta bola bor edi?
2) 12 yoshli nechta bola bor edi?
3) 13 yoshli nechta bola bor edi?
Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:
63 + 183 + 54 = 300
Shuni ham ta'kidlash kerakki, muammo bayonida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu shuni ko'rsatadiki, lagerdagi bolalarning umumiy soni 100% deb qabul qilingan.
3 a d a h a 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Buning 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini xonadon va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejalgan. Muammoda ko'rsatilgan ehtiyojlarga qancha pul sarflangan?
Bu masalani hal qilish uchun 1200 ning 5 marta qismini topish kerak.
1) Oziq-ovqat uchun qancha pul sarflangan? Muammo shundaki, bu xarajat umumiy daromadning 65%, ya'ni 1200 sonining 65/100 qismini tashkil qiladi.
2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'ladingiz? Avvalgisiga o'xshab, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:
3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?
4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflandi?
5) Ishchi qancha pul tejagan?
Tekshirish uchun ushbu 5 ta savolda topilgan raqamlarni qo'shish foydali bo'ladi. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida berilgan foiz raqamlarini qo'shib tekshirish oson.
Biz uchta muammoni hal qildik. Garchi bu muammolar turli ishlar bilan bog'liq bo'lsa-da (maktabga o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchi xarajatlari), ular bir xil tarzda hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha masalalarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.
§ 90. Kasrlarning bo'linishi.
Kasrlarning bo'linishini o'rganar ekanmiz, biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:
1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Berilgan kasrdan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.
Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish ikki omil (dividend) va ushbu ko'rsatkichlardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan harakatdir.
Butun sonni butun songa bo‘lish masalasini butun sonlar bo‘limida ko‘rib chiqdik. U erda biz ikkita bo'linish holatiga duch keldik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va 1 qoldiq). Shuning uchun biz butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emasligini aytishimiz mumkin, chunki dividend har doim ham butun songa bo'linuvchining mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirishni kiritgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).
Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish 12 ga mahsuloti 7 ga teng bo'lgan sonni topishni anglatadi. Bunday raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.
Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz hisoblagichi dividendga va maxraji bo'luvchiga teng bo'lgan kasrni yaratishingiz kerak.
2. Kasrni butun songa bo‘lish.
6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3); 3 ga ko'paytirilsa, berilgan mahsulot 6/7 ni beradigan ikkinchi omilni topish talab qilinadi. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Demak, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.
Biz allaqachon bilamizki, kasrni kamaytirish uning numeratorini kamaytirish yoki uning maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:
Bunday holda, raqam 6 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamni 3 marta kamaytirish kerak.
Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:
Bunga asoslanib, qoidani tuzish mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(agar iloji bo'lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
5 ni 1/2 ga bo'lish kerak bo'lsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan keyin ko'paytma 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasrdir. , va sonni ko'paytirishda to'g'ri kasrning mahsuloti ko'paytirilayotgan mahsulotdan kichik bo'lishi kerak. Buni aniqroq qilish uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , bu x 1/2 = 5 degan ma'noni anglatadi.
Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , agar 1/2 ga ko'paytirilsa, 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismi. X 5 ga va butun songa teng X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 = 10.
Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Keling, tekshiramiz: 
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz 6 ni 2/3 ga bo'lishni xohlaysiz. Keling, avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).
19-rasm
6 birlikka teng AB segmentini chizamiz va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajratamiz. Har bir birlikda butun AB segmentining uchdan uch qismi (3/3) 6 marta kattaroqdir, ya'ni. e. 18/3. Kichik qavslar yordamida biz 2 ta 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Demak, 2/3 kasr 6 birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 butun birlikdan 9 marta kam. Demak,
Faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz bu natijani qanday olish mumkin? Keling, shunday fikr yuritamiz: biz 6 ni 2/3 ga bo'lishimiz kerak, ya'ni 6 ning 2/3 qismi necha marta bor degan savolga javob berishimiz kerak. Keling, avval bilib olaylik: 6 ning 1/3 qismi necha marta bor? Butun birlikda uchdan 3, 6 birlikda esa 6 barobar ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu 1/3 ni b birliklarda 18 marta, 2/3 esa b birliklarida 18 marta emas, balki yarmini ko'p, ya'ni 18: 2 = 9 ekanligini anglatadi. Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz quyidagilarni bajardik.
Bu yerdan butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagich qilib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.
Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:
Ushbu qoidani to'liq aniq qilish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.
Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:
4. Kasrni kasrga bo'lish.
Aytaylik, 3/4 ni 3/8 ga bo'lish kerak. Bo'linish natijasida hosil bo'lgan raqam nimani anglatadi? Bu 3/8 kasr 3/4 kasrda necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).
AB segmentini olib, uni bitta qilib olib, uni 4 ta teng qismga ajratamiz va shunday 3 qismni belgilaymiz. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta asl segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Shunday 3 ta segmentni yoylar bilan bog‘laymiz, u holda AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo‘ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment aniq 2 marta 3/4 ga teng segmentda joylashgan; Bu shuni anglatadiki, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, 15/16 ni 3/32 ga bo'lish kerak:
Biz shunday fikr yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 noma'lum raqam X 15/16
Noma'lum raqamning 1/32 qismi X bu,
32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .
Demak,
Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirilishi kerak va birinchi kasrning maxraji ikkinchisining soniga ko'paytirilishi va birinchi ko'paytiruvchining soni bo'lishi kerak. ikkinchisi esa maxraj.
Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:
Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
Aralash sonlarni bo'lishda avvalo noto'g'ri kasrlarga aylantirilishi kerak, so'ngra hosil bo'lgan kasrlarni kasrlarga bo'lish qoidalariga muvofiq bo'lish kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Keling, aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiramiz:
Endi ajratamiz:
Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasidan foydalanib bo'lishingiz kerak.
6. Berilgan kasrdan sonni topish.
Har xil kasr muammolari orasida ba'zida noma'lum sonning ba'zi bir qismining qiymati berilgan va siz bu raqamni topishingiz kerak bo'lganlar mavjud. Bu turdagi masala berilgan sonning ulushini topish masalasiga teskari masala bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilingan. Agar biz ushbu turdagi muammolarni hal qilishga murojaat qilsak, bu fikr yanada aniqroq bo'ladi.
Vazifa 1. Birinchi kuni shishachilar 50 ta oynani oynaladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?
Yechim. Muammo shundaki, 50 ta oynali derazalar uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'p derazalar mavjud, ya'ni.
Uyda 150 ta deraza bor edi.
Vazifa 2. Do'konda 1500 kg un sotilgan, bu do'konda mavjud bo'lgan umumiy unning 3/8 qismini tashkil qiladi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?
Yechim. Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; Bu shuni anglatadiki, ushbu zaxiraning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:
1500: 3 = 500 (bu zahiraning 1/8 qismi).
Shubhasiz, butun ta'minot 8 barobar ko'p bo'ladi. Demak,
500 8 = 4000 (kg).
Do'kondagi unning dastlabki zaxirasi 4000 kg edi.
Ushbu muammoni ko'rib chiqib, quyidagi qoidani chiqarish mumkin.
Uning ulushining berilgan qiymatidan raqamni topish uchun bu qiymatni kasrning numeratoriga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.
Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday muammolar, ayniqsa oxirgisidan aniq ko'rinib turibdiki, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'linish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).
Biroq, kasrlarni bo'linishni o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bitta harakat bilan, ya'ni: kasrga bo'lish bilan hal qilish mumkin.
Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:
Kelajakda sonni uning kasr qismidan topish masalalarini bir amal – bo‘lish bilan yechamiz.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.
Ushbu masalalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini biladigan raqamni topishingiz kerak bo'ladi.
Vazifa 1. Shu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'yganman? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)
Muammoning mohiyati shundaki, men omonat kassasiga ma'lum miqdorda pul qo'ydim va u erda bir yil turdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil etadi. Qancha pul kiritdim?
Binobarin, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi masalalar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:
Bu omonat kassasiga 3000 rubl kiritilganligini anglatadi.
Vazifa 2. Baliqchilar ikki haftada 512 tonna baliq yetishtirib, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?
Muammoning shartlaridan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Rejaga ko'ra qancha tonna baliq tayyorlash kerakligini bilmaymiz. Bu raqamni topish muammoning yechimi bo'ladi.
Bunday muammolar bo'linish yo'li bilan hal qilinadi:
Demak, reja bo‘yicha 800 tonna baliq tayyorlash kerak.
Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tib ketayotgan konduktordan yo'lning qancha qismini bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?
Muammoli sharoitlardan ko'rinib turibdiki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'nalishning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:
§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.
Keling, 2/3 kasrni olamiz va maxraj o'rniga hisoblagichni almashtiramiz, biz 3/2 ni olamiz. Biz bu kasrning teskari qismini oldik.
Berilgan kasrga teskari kasrni olish uchun maxraj o‘rniga uning hisobini, ayiruvchi o‘rniga esa maxrajini qo‘yish kerak. Shu tarzda biz har qanday kasrning o'zaro qismini olishimiz mumkin. Masalan:
3/4, teskari 4/3; 5/6, teskari 6/5
Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo'lish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.
Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki shunchaki 2 bo'ladi. Berilgan kasrning teskari qismini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:
1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5
O'zaro kasrlarni topishda biz butun sonlarni ham uchratganimiz uchun, keyin biz o'zaro kasrlar haqida emas, balki o'zaro sonlar haqida gapiramiz.
Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun buni oddiygina hal qilish mumkin: siz hisoblagich o'rniga maxrajni qo'yishingiz kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning teskarisini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Bu 7 ning teskarisi 1/7 bo'lishini anglatadi, chunki 7 = 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 bo'ladi, chunki 10 = 10/1
Bu fikr boshqacha ifodalanishi mumkin: berilgan sonning o'zaro nisbati bittani berilgan songa bo'lish yo'li bilan olinadi. Bu gap nafaqat butun sonlar, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Aslida, agar biz 5/9 kasrning teskarisini yozishimiz kerak bo'lsa, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.
Endi bir narsani ta'kidlab o'tamiz mulk Biz uchun foydali bo'lgan o'zaro raqamlar: o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Aslida:
Bu xususiyatdan foydalanib, o'zaro sonlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. Aytaylik, 8 ning teskarisini topishimiz kerak.
Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, 7/12 ga teskari bo'lgan boshqa raqamni topamiz va uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1: 7/12 yoki X = 12 / 7 .
Biz kasrlarni bo'lish haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun bu erda o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.
6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:
Ifodaga alohida e'tibor bering va uni berilgan bilan solishtiring: .
Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida oladigan bo'lsak, u qaerdan kelib chiqqanligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham bir xil narsa sodir bo'ladi. Shuning uchun aytishimiz mumkin bir sonni boshqasiga bo'lish dividendni bo'luvchining teskari soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.
Quyida keltirgan misollarimiz bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.
O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish
Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish
MOQ tushunchasi
Kasrlarni bir xil maxrajga qisqartirish
Butun son va kasrni qanday qo'shish kerak
1 O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish
Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun siz ularning sonlarini qo'shishingiz kerak, lekin maxrajni bir xil qoldiring, masalan:
Bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning hisobini ayirish kerak va maxrajni bir xil qoldirish kerak, masalan:
Aralash kasrlarni qo'shish uchun siz ularning butun qismlarini alohida qo'shishingiz kerak, keyin esa ularning kasr qismlarini qo'shishingiz va natijani aralash kasr sifatida yozishingiz kerak,
Agar kasr qismlarni qo'shganda, siz noto'g'ri kasrga ega bo'lsangiz, undan butun qismni tanlang va uni butun qismga qo'shing, masalan:
2 maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish va ayirish
Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun avval ularni bir xil maxrajga kamaytirishingiz kerak, so'ngra ushbu maqolaning boshida ko'rsatilgandek davom etishingiz kerak. Bir nechta kasrlarning umumiy maxraji LCM (eng kichik umumiy karrali) hisoblanadi. Har bir kasrning numeratori uchun LCMni ushbu kasrning maxrajiga bo'lish orqali qo'shimcha omillar topiladi. MOQ nima ekanligini tushunganimizdan so'ng, misolni keyinroq ko'rib chiqamiz.
3 Eng kichik umumiy karrali (LCM)
Ikki sonning eng kichik umumiy karrali (LCM) har ikkala songa qoldiq qoldirmasdan boʻlinadigan eng kichik natural sondir. Ba'zan LCMni og'zaki ravishda topish mumkin, lekin ko'pincha, ayniqsa katta raqamlar bilan ishlaganda, quyidagi algoritmdan foydalanib, LCMni yozma ravishda topishingiz kerak:
Bir nechta raqamlarning LCM ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:
- Bu raqamlarni tub omillarga aylantiring
- Eng katta kengaytmani oling va bu raqamlarni mahsulot sifatida yozing
- Boshqa kengaytmalardagi eng katta kengaytmada ko'rinmaydigan (yoki unda kamroq uchraydigan) raqamlarni tanlang va ularni mahsulotga qo'shing.
- Mahsulotdagi barcha raqamlarni ko'paytiring, bu LCM bo'ladi.
Masalan, 28 va 21 raqamlarining LCM ni topamiz:
4Kasrlarni bir xil maxrajga keltirish
Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qaytaylik.
Kasrlarni ikkala maxrajning LCM ga teng bo'lgan bir xil maxrajga keltirganimizda, biz bu kasrlarning sonlarini ko'paytirishimiz kerak. qo'shimcha multiplikatorlar. Siz ularni LCM ni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'lish orqali topishingiz mumkin, masalan:
Shunday qilib, kasrlarni bir ko'rsatkichga qisqartirish uchun avval ushbu kasrlarning maxrajlarining LCM ni (ya'ni ikkala maxrajga bo'linadigan eng kichik sonni) topish kerak, so'ngra kasrlarning numeratorlariga qo'shimcha omillar qo'yish kerak. Siz ularni umumiy maxrajni (CLD) mos keladigan kasrning maxrajiga bo'lish orqali topishingiz mumkin. Keyin har bir kasrning payini qo'shimcha omilga ko'paytirishingiz kerak va LCMni maxraj sifatida qo'yishingiz kerak.
5 Butun son va kasrni qanday qo'shish kerak
Butun son va kasrni qo'shish uchun bu raqamni kasrdan oldin qo'shishingiz kerak, masalan, aralash kasr hosil bo'ladi.
Dars mazmuniO'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish
Kasrlarni qo'shishning ikki turi mavjud:
- O'xshash maxrajli kasrlarni qo'shish
- Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish
Birinchidan, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Masalan, kasrlarni va ni qo'shamiz. Numeratorlarni qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:
To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:
2-misol. Kasrlarni qo'shing va .
Javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Vazifaning oxiri kelganda, noto'g'ri fraktsiyalardan xalos bo'lish odatiy holdir. Noto'g'ri fraktsiyadan qutulish uchun uning butun qismini tanlashingiz kerak. Bizning holatda, butun qism osongina ajratiladi - ikkitasini ikkitaga bo'lish birga teng:
Ikki qismga bo'lingan pizza haqida eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsaga ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa olasiz:
3-misol. Kasrlarni qo'shing va .
Shunga qaramay, biz sonlarni qo'shamiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz:
Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, osongina tushunish mumkin. Agar siz pizzaga ko'proq pizza qo'shsangiz, siz pizza olasiz:
4-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Bu misol avvalgilari bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Numeratorlar qo'shilishi va maxraj o'zgarishsiz qolishi kerak:
Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz va ko'proq pitsa qo'shsangiz, siz 1 ta to'liq pitsa va yana ko'proq pitsa olasiz.
Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:
- Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning hisoblarini qo'shish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shish
Keling, har xil maxrajli kasrlarni qo'shishni o'rganamiz. Kasrlarni qo'shishda kasrlarning maxrajlari bir xil bo'lishi kerak. Lekin ular har doim ham bir xil emas.
Masalan, kasrlarni qo'shish mumkin, chunki ularning maxrajlari bir xil.
Ammo kasrlarni darhol qo'shib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.
Kasrlarni bir xil maxrajga kamaytirishning bir necha usullari mavjud. Bugun biz ulardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz, chunki boshqa usullar yangi boshlanuvchilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin.
Bu usulning mohiyati shundan iboratki, avval ikkala kasrning maxrajlarining LKM i izlanadi. Keyin LCM birinchi qo'shimcha omilni olish uchun birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi. Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi - LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi.
Keyin kasrlarning sonlari va maxrajlari ularning qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiriladi. Ushbu harakatlar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz.
1-misol. Kasrlarni qo'shamiz va
Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining eng kichik umumiy karralini topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 2 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 6 ga teng.
LCM (2 va 3) = 6
Endi kasr va ga qaytaylik. Birinchidan, LCMni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling va birinchi qo'shimcha omilni oling. LCM - 6 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 6 ni 3 ga bo'ling, biz 2 ni olamiz.
Olingan 2 raqami birinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni birinchi kasrga yozamiz. Buni amalga oshirish uchun kasr ustiga kichik qiyshiq chiziq qo'ying va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozing:
Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. Biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz va ikkinchi qo'shimcha omilni olamiz. LCM - 6 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 2. 6 ni 2 ga bo'ling, biz 3 ni olamiz.
Olingan 3 raqami ikkinchi qo'shimcha ko'paytiruvchidir. Biz uni ikkinchi kasrga yozamiz. Shunga qaramay, biz ikkinchi kasr ustidan kichik qiyshiq chiziq qilamiz va uning ustida joylashgan qo'shimcha omilni yozamiz:
Endi bizda qo'shimcha qilish uchun hamma narsa tayyor. Kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:
Biz nimaga erishganimizga diqqat bilan qarang. Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz bunday kasrlarni qanday qo'shishni allaqachon bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:
Bu misolni to'ldiradi. Qo'shish uchun chiqadi.
Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsaga pitsa qo'shsangiz, siz bitta pitsa va yana oltidan bir qismini olasiz:
Kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Kasrlarni va umumiy maxrajni qisqartirib, kasrlarni va ni oldik. Bu ikki kasr bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi. Yagona farq shundaki, bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi).
Birinchi rasm kasrni (oltitadan to'rttasini), ikkinchisi esa kasrni (oltitadan uchtasini) ifodalaydi. Ushbu qismlarni qo'shib, biz (oltitadan etti dona) olamiz. Bu kasr noto'g'ri, shuning uchun biz uning butun qismini ta'kidladik. Natijada biz (bitta butun pitsa va boshqa oltinchi pitsa) oldik.
E'tibor bering, biz ushbu misolni juda batafsil tasvirlab berdik. Ta'lim muassasalarida bunday batafsil yozish odat tusiga kirmagan. Siz ikkala maxrajning va ularga qo'shimcha omillarning LCM ni tezda topa olishingiz, shuningdek, topilgan qo'shimcha omillarni o'zingizning hisoblagichlaringiz va maxrajlaringiz bilan tezda ko'paytirishingiz kerak. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni quyidagicha yozishimiz kerak edi:
Ammo tanganing boshqa tomoni ham bor. Agar siz matematikani o'rganishning birinchi bosqichlarida batafsil qayd qilmasangiz, unda bunday savollar paydo bo'la boshlaydi. “Bu raqam qayerdan keladi?”, “Nima uchun kasrlar birdan butunlay boshqa kasrlarga aylanadi? «.
Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishni osonlashtirish uchun siz quyidagi bosqichma-bosqich ko'rsatmalardan foydalanishingiz mumkin:
- Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping;
- LCM ni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling;
- Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalariga ko'paytirish;
- Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shing;
- Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang;
2-misol. Ifodaning qiymatini toping 
.
Keling, yuqorida keltirilgan ko'rsatmalardan foydalanamiz.
1-qadam. Kasrlar maxrajlarining LKM ni toping
Ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Kasrlarning maxrajlari 2, 3 va 4 sonlaridir
2-qadam. LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling va har bir kasr uchun qo'shimcha omil oling
LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 2. 12 ni 2 ga bo'lamiz, biz 6 ga erishamiz. Biz birinchi qo'shimcha koeffitsientni oldik 6. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:
Endi biz LCMni ikkinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ga erishamiz. Ikkinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 4. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:
Endi biz LCMni uchinchi kasrning maxrajiga ajratamiz. LCM - 12 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 3. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:
3-qadam. Kasrlarning son va maxrajlarini qo'shimcha ko'paytmalari bilan ko'paytiring
Numeratorlar va maxrajlarni qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiramiz:
Qadam 4. Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shing
Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Qolgan narsa bu kasrlarni qo'shishdir. Uni qo'shing:
Qo'shish bir qatorga to'g'ri kelmadi, shuning uchun biz qolgan ifodani keyingi qatorga o'tkazdik. Bu matematikada ruxsat etiladi. Ifoda bir satrga to`g`ri kelmasa, u keyingi qatorga o`tkaziladi va birinchi qatorning oxiriga va yangi qatorning boshiga tenglik belgisini (=) qo`yish kerak bo`ladi. Ikkinchi qatordagi tenglik belgisi bu birinchi qatordagi ifodaning davomi ekanligini ko'rsatadi.
Qadam 5. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini tanlang
Bizning javobimiz noto'g'ri kasr bo'lib chiqdi. Biz uning butun bir qismini ta'kidlashimiz kerak. Biz ta'kidlaymiz:
Javob oldik
O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
Kasrlarni ayirishning ikki turi mavjud:
- O'xshash maxrajli kasrlarni ayirish
- Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish
Birinchidan, keling, o'xshash maxrajli kasrlarni qanday ayirishni o'rganamiz. Bu erda hamma narsa oddiy. Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish kerak, lekin maxrajni bir xil qoldirish kerak.
Masalan, ifoda qiymatini topamiz. Bu misolni yechish uchun birinchi kasr sonidan ikkinchi kasrning payini ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak. Keling, buni qilaylik:
To'rt qismga bo'lingan pitsani eslasak, bu misolni osongina tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:
2-misol. Ifodaning qiymatini toping.
Shunga qaramay, birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning hisobini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring:
Bu misolni uch qismga bo'lingan pitssani eslasak, oson tushunish mumkin. Agar siz pitsadan pitsalarni kesib tashlasangiz, siz pizza olasiz:
3-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Ushbu misol oldingi misollar bilan bir xil tarzda hal qilinadi. Birinchi kasrning hisoblagichidan qolgan kasrlarning sonlarini ayirish kerak:
Ko'rib turganingizdek, bir xil maxrajli kasrlarni ayirishda murakkab narsa yo'q. Buning uchun quyidagi qoidalarni tushunish kifoya:
- Bir kasrdan ikkinchi kasrni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrni ayirish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak;
- Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, unda siz uning butun qismini ajratib ko'rsatishingiz kerak.
Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish
Masalan, kasrni kasrdan ayirish mumkin, chunki kasrlar bir xil maxrajga ega. Ammo kasrdan kasrni ayirib bo'lmaydi, chunki bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega. Bunday hollarda kasrlarni bir xil (umumiy) maxrajga keltirish kerak.
Umumiy maxraj biz turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shganda qo‘llagan printsip asosida topiladi. Avvalo, ikkala kasrning maxrajlarining LKM ni toping. Keyin LCM birinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va birinchi qo'shimcha omil olinadi, bu birinchi kasrning ustiga yoziladi. Xuddi shunday, LCM ikkinchi kasrning maxrajiga bo'linadi va ikkinchi qo'shimcha omil olinadi, bu ikkinchi kasrning ustiga yoziladi.
Keyin kasrlar qo'shimcha omillarga ko'paytiriladi. Ushbu amallar natijasida turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylantiriladi. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz.
1-misol. Ifodaning ma'nosini toping:
Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.
Avval ikkala kasrning maxrajlarining LCM ni topamiz. Birinchi kasrning maxraji 3 soni, ikkinchi kasrning maxraji 4 soni. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga teng.
LCM (3 va 4) = 12
Endi kasrlarga qaytaylik va
Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. Buning uchun LCM ni birinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 3. 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz. Birinchi kasrning ustiga to'rttasini yozing:
Ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 12 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 4. 12 ni 4 ga bo'lamiz, biz 3 ni olamiz. Ikkinchi kasrning ustiga uchtani yozing:
Endi biz ayirish uchun tayyormiz. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:
Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni oxirigacha olaylik:
Javob oldik
Keling, yechimimizni chizma yordamida tasvirlashga harakat qilaylik. Agar siz pitsadan pizza kessangiz, siz pizza olasiz
Bu yechimning batafsil versiyasi. Agar biz maktabda bo'lganimizda, bu misolni qisqaroq hal qilishimiz kerak edi. Bunday yechim quyidagicha ko'rinadi:
Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishni rasm yordamida ham tasvirlash mumkin. Ushbu kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirib, biz kasrlarni oldik va . Bu kasrlar bir xil pizza bo'laklari bilan ifodalanadi, ammo bu safar ular teng ulushlarga bo'linadi (bir xil maxrajga qisqartiriladi):
Birinchi rasmda kasr (o'n ikkitadan sakkizta bo'lak), ikkinchi rasmda esa kasr (o'n ikki qismdan uchtasi) ko'rsatilgan. Sakkiz qismdan uchta bo'lakni kesib, biz o'n ikkitadan beshta bo'lak olamiz. Kasr bu besh qismni tasvirlaydi.
2-misol. Ifodaning qiymatini toping 
Bu kasrlar turli xil maxrajlarga ega, shuning uchun avval ularni bir xil (umumiy) maxrajga kamaytirish kerak.
Bu kasrlarning maxrajlarining LKM ni topamiz.
Kasrlarning maxrajlari 10, 3 va 5 sonlaridir. Bu sonlarning eng kichik umumiy karrali 30 ga teng.
LCM(10, 3, 5) = 30
Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omillarni topamiz. Buning uchun LCMni har bir kasrning maxrajiga bo'ling.
Birinchi kasr uchun qo'shimcha ko'paytma topilsin. LCM - 30 raqami, birinchi kasrning maxraji esa 10. 30 ni 10 ga bo'ling, biz birinchi qo'shimcha koeffitsient 3 ni olamiz. Uni birinchi kasrning ustiga yozamiz:
Endi biz ikkinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCM ni ikkinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, ikkinchi kasrning maxraji esa 3. 30 ni 3 ga bo'ling, biz ikkinchi qo'shimcha koeffitsient 10 ni olamiz. Uni ikkinchi kasrning ustiga yozamiz:
Endi uchinchi kasr uchun qo'shimcha omil topamiz. LCMni uchinchi kasrning maxrajiga bo'ling. LCM - 30 raqami, uchinchi kasrning maxraji esa 5. 30 ni 5 ga bo'ling, biz uchinchi qo'shimcha koeffitsientni olamiz 6. Uni uchinchi kasrning ustiga yozamiz:
Endi hamma narsa ayirish uchun tayyor. Kasrlarni qo'shimcha omillarga ko'paytirish qoladi:
Biz maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bir xil (umumiy) maxrajga ega bo'lgan kasrlarga aylanadi degan xulosaga keldik. Va biz allaqachon bunday kasrlarni qanday ayirishni bilamiz. Keling, ushbu misolni tugatamiz.
Misolning davomi bir qatorga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun biz davomini keyingi qatorga o'tkazamiz. Yangi qatordagi tenglik belgisini (=) unutmang:
Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi va hamma narsa bizga mos keladigan ko'rinadi, lekin bu juda og'ir va xunuk. Biz buni oddiyroq qilishimiz kerak. Nima qilish mumkin? Ushbu fraktsiyani qisqartirishingiz mumkin.
Kasrni kamaytirish uchun uning payini va maxrajini 20 va 30 raqamlarining (GCD) ga bo'lish kerak.
Shunday qilib, biz 20 va 30 raqamlarining gcd ni topamiz:
Endi biz misolimizga qaytamiz va kasrning soni va maxrajini topilgan gcd ga, ya'ni 10 ga bo'lamiz.
Javob oldik
Kasrni songa ko'paytirish
Kasrni songa ko'paytirish uchun berilgan kasrning payini shu songa ko'paytirish va maxrajni bir xil qoldirish kerak.
1-misol. Kasrni 1 raqamiga ko'paytiring.
Kasrning sonini 1 raqamiga ko'paytiring
Yozishni yarim 1 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz bir marta pitsa iste'mol qilsangiz, siz pizza olasiz
Ko'paytirish qonunlaridan shuni bilamizki, agar ko'paytma va omil almashtirilsa, ko'paytma o'zgarmaydi. Agar ifoda quyidagicha yozilsa, u holda mahsulot baribir ga teng bo'ladi. Yana butun son va kasrni ko'paytirish qoidasi ishlaydi:
Bu belgini bittaning yarmini olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar 1 ta butun pitsa bo'lsa va biz uning yarmini olsak, unda bizda pitsa bo'ladi:
2-misol. Ifodaning qiymatini toping
Kasrning sonini 4 ga ko'paytiring
Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:
Ifoda ikki chorakni 4 marta olish deb tushunish mumkin. Misol uchun, agar siz 4 ta pitsa olsangiz, ikkita butun pitsa olasiz
Va agar biz ko'paytma va ko'paytmani almashtirsak, biz ifodani olamiz. Shuningdek, u 2 ga teng bo'ladi. Bu iborani to'rtta butun pitsadan ikkita pitsa olish sifatida tushunish mumkin:
Kasrlarni ko'paytirish
Kasrlarni ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak. Agar javob noto'g'ri kasr bo'lib chiqsa, uning butun qismini ajratib ko'rsatish kerak.
1-misol. Ifodaning qiymatini toping.
Javob oldik. Ushbu fraktsiyani kamaytirish tavsiya etiladi. Kasrni 2 ga kamaytirish mumkin. Keyin yakuniy yechim quyidagi shaklni oladi:
Bu iborani yarim pitsadan pitsa olish deb tushunish mumkin. Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:
Bu yarmidan uchdan ikki qismini qanday olish mumkin? Avval siz bu yarmini uchta teng qismga bo'lishingiz kerak:
Va bu uchta bo'lakdan ikkitasini oling:
Biz pizza tayyorlaymiz. Uch qismga bo'lingan pizza qanday ko'rinishini eslang:
Ushbu pizzaning bir bo'lagi va biz olgan ikkita bo'lak bir xil o'lchamlarga ega bo'ladi:
Boshqacha qilib aytganda, biz bir xil o'lchamdagi pizza haqida gapiramiz. Shuning uchun ifodaning qiymati
2-misol. Ifodaning qiymatini toping
Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:
Javob noto'g'ri kasr edi. Keling, uning butun qismini ajratib ko'rsatamiz:
3-misol. Ifodaning qiymatini toping
Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga, birinchi kasrning maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring:
Javob oddiy kasr bo'lib chiqdi, lekin qisqartirilsa yaxshi bo'lardi. Ushbu kasrni kamaytirish uchun siz ushbu kasrning payini va maxrajini 105 va 450 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga (GCD) bo'lishingiz kerak.
Shunday qilib, 105 va 450 raqamlarining gcd ni topamiz:
Endi javobimizning sonini va maxrajini hozir topgan gcd ga, ya'ni 15 ga bo'lamiz.
Butun sonni kasr shaklida ifodalash
Har qanday butun sonni kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin. Bu beshning ma'nosini o'zgartirmaydi, chunki ibora "besh soni birga bo'lingan" degan ma'noni anglatadi va bu, biz bilganimizdek, beshga teng:
O'zaro raqamlar
Endi biz matematikadan juda qiziq mavzu bilan tanishamiz. Bu "teskari raqamlar" deb ataladi.
Ta'rif. Raqamga teskaria ga ko'paytirilganda bu raqama birini beradi.
Keling, ushbu ta'rifda o'zgaruvchi o'rniga almashtiraylik a 5 raqami va ta'rifni o'qishga harakat qiling:
Raqamga teskari 5 ga ko'paytirilganda bu raqam 5 birini beradi.
5 ga ko'paytirilganda bitta bo'ladigan sonni topish mumkinmi? Bu mumkin ekan. Keling, beshni kasr sifatida tasavvur qilaylik:
Keyin bu kasrni o'z-o'zidan ko'paytiring, faqat pay va maxrajni almashtiring. Boshqacha qilib aytganda, kasrni o'ziga ko'paytiramiz, faqat teskari:
Buning natijasida nima bo'ladi? Agar biz ushbu misolni hal qilishda davom etsak, biz bittasini olamiz:
Bu 5 raqamining teskarisi raqam ekanligini anglatadi, chunki 5 ni ko'paytirganda bitta bo'ladi.
Raqamning o'zaro nisbati boshqa har qanday butun son uchun ham topilishi mumkin.
Boshqa har qanday kasrning teskarisini ham topishingiz mumkin. Buning uchun uni ag'daring.
Kasrni songa bo'lish
Aytaylik, bizda yarim pitsa bor:
Keling, uni ikkiga teng taqsimlaymiz. Har bir kishi qancha pitsa oladi?
Ko'rinib turibdiki, pitsaning yarmini bo'lingandan so'ng, ikkita teng bo'lak olingan, ularning har biri pizza tashkil qiladi. Shunday qilib, hamma pizza oladi.
Kasrlarni bo'lish o'zaro nisbatlar yordamida amalga oshiriladi. O'zaro raqamlar bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirishga imkon beradi.
Kasrni songa bo'lish uchun kasrni bo'luvchining teskari qismiga ko'paytirish kerak.
Ushbu qoidadan foydalanib, biz pitsaning yarmini ikki qismga bo'linishini yozamiz.
Shunday qilib, kasrni 2 raqamiga bo'lishingiz kerak. Bu erda dividend kasr va bo'luvchi 2 raqamidir.
Kasrni 2 raqamiga bo'lish uchun bu kasrni bo'luvchining o'zaro nisbati bilan ko'paytirish kerak 2. Bo'luvchi 2 ning o'zaro qismi kasrdir. Shunday qilib, siz ko'paytirishingiz kerak
Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidalari juda oddiy.
Keling, har xil maxrajli kasrlarni bosqichma-bosqich qo'shish qoidalarini ko'rib chiqaylik:
1. Maxrajlarning LCM (eng kichik umumiy karrali) ni toping. Olingan LCM kasrlarning umumiy maxraji bo'ladi;
2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring;
3. Umumiy maxrajga qisqartirilgan kasrlarni qo‘shing.
Oddiy misoldan foydalanib, biz har xil maxrajli kasrlarni qo'shish qoidalarini qo'llashni o'rganamiz.
Misol
Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishga misol.
Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shing:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Biz bosqichma-bosqich qaror qilamiz.
1. Maxrajlarning LCM (eng kichik umumiy karrali) ni toping.
12 raqami 6 ga bo'linadi.
Bundan xulosa qilamizki, 12 6 va 12 sonlarining eng kichik umumiy karrali.
Javob: 6 va 12 raqamlari soni 12 ga teng:
LCM(6, 12) = 12
Olingan LCM 1/6 va 5/12 ikkita kasrning umumiy maxraji bo'ladi.
2. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.
Bizning misolimizda faqat birinchi kasrni umumiy maxraj 12 ga kamaytirish kerak, chunki ikkinchi kasr allaqachon 12 ga teng.
12 ning umumiy maxrajini birinchi kasrning maxrajiga ajrating:
2 qo'shimcha multiplikatorga ega.
Birinchi kasrning (1/6) soni va maxrajini qo'shimcha 2 koeffitsientiga ko'paytiring.