Agar siz Yagona davlat imtihonidan yoki matematikadan kirish imtihonidan muammoni hal qilish jarayonida siz maktabda o'rgangan standart usullardan foydalanib faktorlarga ajratib bo'lmaydigan polinom olgan bo'lsangiz, nima qilish kerak? Ushbu maqolada matematika o'qituvchisi sizga bitta samarali usul haqida gapirib beradi, uni o'rganish maktab o'quv dasturi doirasidan tashqarida, lekin uning yordamida ko'phadni faktoring qilish qiyin emas. Ushbu maqolani oxirigacha o'qing va ilova qilingan video darslikni tomosha qiling. Olingan bilimlar imtihonda sizga yordam beradi.

Ko'phadni bo'lish usuli yordamida ko'paytmalarga ajratish

Agar siz ikkinchi darajadan kattaroq polinom olgan bo'lsangiz va bu ko'phad nolga teng bo'ladigan o'zgaruvchining qiymatini taxmin qila olgan bo'lsangiz (masalan, bu qiymat ga teng), biling! Bu ko'phadni ga bo'lish mumkin.

Misol uchun, to'rtinchi darajali ko'phadning yo'qolishini ko'rish oson. Bu shuni anglatadiki, uni ga qoldiqsiz bo'lish mumkin va shu bilan uchinchi darajali ko'phadni olish mumkin (birga kam). Ya'ni, uni quyidagi shaklda taqdim eting:

Qayerda A, B, C Va D- ba'zi raqamlar. Qavslarni kengaytiramiz:

Xuddi shu darajalar uchun koeffitsientlar bir xil bo'lishi kerakligi sababli biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, biz oldik:

Keling, davom etaylik. Uchinchi darajali ko'phad yana ga bo'linishini ko'rish uchun bir nechta kichik butun sonlarni ko'rish kifoya. Natijada ikkinchi darajali polinom (birga kam). Keyin yangi yozuvga o'ting:

Qayerda E, F Va G- ba'zi raqamlar. Qavslarni yana ochamiz va quyidagi ifodaga kelamiz:

Shunga qaramay, bir xil darajalar uchun koeffitsientlarning tengligi shartidan biz quyidagilarni olamiz:

Keyin biz olamiz:

Ya'ni, asl ko'phadni quyidagicha faktorlarga ajratish mumkin:

Printsipial jihatdan, agar xohlasangiz, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, natija quyidagi shaklda ham ifodalanishi mumkin:

Bu yerda polinomlarni faktor qilishning oddiy va samarali usuli. Esingizda bo'lsin, imtihon yoki matematika tanlovida sizga foydali bo'lishi mumkin. Ushbu usuldan qanday foydalanishni o'rganganingizni tekshiring. Quyidagi vazifani o'zingiz hal qilishga harakat qiling.

Ko‘phadni ko‘paytiring:

Javoblaringizni izohlarda yozing.

Sergey Valerievich tomonidan tayyorlangan material

Onlayn kalkulyator.
Binomning kvadratini ajratib olish va kvadrat trinomiyani koeffitsientlarga ajratish.

Bu matematika dasturi kvadrat binomni kvadrat trinomdan farqlaydi, ya'ni. kabi transformatsiyani amalga oshiradi:
\(ax^2+bx+c \o'ngga a(x+p)^2+q \) va kvadratik uchburchakni faktorlarga ajratadi: \(ax^2+bx+c \o'ngga a(x+n)(x+m) \)

Bular. Muammolar \(p, q\) va \(n, m\) raqamlarini topishga toʻgʻri keladi.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki uni hal qilish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu dastur umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda va ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin.

Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Kvadrat trinomiyani kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomni kiritish qoidalari
Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.

Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va boshqalar.
Raqamlar butun yoki kasr sonlar sifatida kiritilishi mumkin.

Bundan tashqari, kasr raqamlari nafaqat o'nli kasr shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham kiritilishi mumkin.
O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlarda kasr qismini butun qismdan nuqta yoki vergul bilan ajratish mumkin.

Masalan, o'nli kasrlarni quyidagicha kiritishingiz mumkin: 2,5x - 3,5x^2
Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.

Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas. /
Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: &
Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi:
Kirish: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Natija: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Ifodani kiritishda qavslardan foydalanishingiz mumkin
. Bunday holda, yechishda kiritilgan ifoda birinchi navbatda soddalashtiriladi.

Masalan: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Batafsil yechimga misol$$ ax^2+bx+c \o'nggarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\chap( \frac(1)(2) \o'ng)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\chap (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \o'ng)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \o'ng)^2 \o'ng)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\chap(x+\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) $$ Javob:$2x^2+2x-4 = 2\chap(x+\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizatsiya.$$ ax^2+bx+c \o'ngga a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\chap(x^2+x-2 \o'ng) = $$
$$ 2 \chap(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \o'ng) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \o'ng) -1 \chap(x +2 \o'ng) ) \o'ng) = $$ $$ 2 \left(x -1 \o'ng) \left(x +2 \o'ng) $$ Javob:$2x^2+2x-4 = 2 \chap(x -1 \o'ng) \chap(x +2 \o'ng) $$

Qaror qiling

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Kvadrat trinomdan binom kvadratini ajratib olish

Agar kvadrat trinomial ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q ko‘rinishida ifodalansa, bu yerda p va q haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda dan deymiz. kvadrat trinomial, binomialning kvadrati ta'kidlangan.

2x 2 +12x+14 trinomialdan binom kvadratini chiqaramiz.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Buning uchun 6x ni 2*3*x ko‘paytmasi sifatida tasavvur qiling, so‘ngra 3 2 ni qo‘shing va ayiring. Biz olamiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Bu. Biz kvadrat trinomiyadan kvadrat binomni ajratib oling, va buni ko'rsatdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrat uchburchakni koeffitsientga ajratish

Agar 2 +bx+c kvadrat uch a’zoli aks a(x+n)(x+m) ko‘rinishida ifodalansa, bu yerda n va m haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda amal bajarilgan deyiladi. kvadratik uch a’zoni koeffitsientlarga ajratish.

Keling, ushbu transformatsiya qanday amalga oshirilganligini misol bilan ko'rsatamiz.

2x 2 +4x-6 kvadrat uch a’zoni koeffitsientlarga ajratamiz.

Qavslar ichidan a koeffitsientini olamiz, ya'ni. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Qavs ichidagi ifodani o'zgartiramiz.
Buning uchun 2x ni 3x-1x farqi, -3 ni esa -1*3 deb tasavvur qiling. Biz olamiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Bu. Biz kvadratik uch a’zoni faktorlarga ajratdi, va buni ko'rsatdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

E'tibor bering, kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratish faqat ushbu uch a'zoga mos keladigan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lgan taqdirdagina mumkin.
Bular. bizning holimizda 2x 2 +4x-6 =0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, 2x 2 +4x-6 trinomiyasini koeffitsientga ajratish mumkin. Faktorizatsiya jarayonida biz 2x 2 + 4x-6 = 0 tenglamaning ikkita ildizi 1 va -3 ekanligini aniqladik, chunki bu qiymatlar bilan 2(x-1)(x+3)=0 tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi.

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonining tezislari va Yagona davlat imtihonlari testlari Onlayn o'yinlar, boshqotirmalar Funksiyalarning grafiklarini tuzish Rus tilining imlo lug'ati Rus tilining yoshlar slengi lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta ta'lim muassasalari katalogi Rossiya universitetlari ro'yxati vazifalari

Tenglamani faktoringlash - bu ko'paytirilganda boshlang'ich tenglamaga olib keladigan atamalar yoki iboralarni topish jarayoni. Faktoring asosiy algebraik masalalarni yechish uchun foydali ko'nikma bo'lib, kvadrat tenglamalar va boshqa ko'phadlar bilan ishlashda deyarli zarur bo'ladi. Faktoring algebraik tenglamalarni echishni osonlashtirish uchun ularni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Faktoring muayyan mumkin bo'lgan javoblarni tenglamani qo'lda yechishdan ko'ra tezroq yo'q qilishga yordam beradi.

Qadamlar

Faktoring raqamlari va asosiy algebraik ifodalar

1. Faktoring raqamlari. Faktoring tushunchasi oddiy, lekin amalda faktoring qiyin bo'lishi mumkin (agar murakkab tenglama berilgan bo'lsa). Shunday qilib, birinchi navbatda, misol sifatida raqamlar yordamida faktoring tushunchasini ko'rib chiqamiz, oddiy tenglamalar bilan davom etamiz va keyin murakkab tenglamalarga o'tamiz. Berilgan sonning omillari - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 12 sonining omillari sonlar: 1, 12, 2, 6, 3, 4, chunki 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Xuddi shunday, siz sonning omillarini uning bo'luvchilari, ya'ni son bo'linadigan raqamlar deb hisoblashingiz mumkin.
   • 60 sonining barcha omillarini toping. Biz 60 raqamini tez-tez ishlatamiz (masalan, soatda 60 daqiqa, daqiqada 60 soniya va hokazo) va bu raqam juda ko'p sonli omillarga ega.
     • 60 ko'paytiruvchi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 va 60.

2. Eslab qoling: koeffitsient (son) va o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda shartlari ham faktorlarga ajratilishi mumkin. Buning uchun o'zgaruvchining koeffitsientlarini toping. Tenglamalar shartlarini faktorga kiritishni bilgan holda, siz ushbu tenglamani osongina soddalashtirishingiz mumkin.

   • Masalan, 12x atamasi 12 va x ning ko'paytmasi sifatida yozilishi mumkin. Shuningdek, 12x ni 3(4x), 2(6x) va boshqalar sifatida yozishingiz mumkin, siz uchun eng mos bo'lgan omillarga 12 ta bo'linadi.
     • Siz ketma-ket 12 marta bir necha marta shug'ullanishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, siz 3(4x) yoki 2(6x) da to'xtamasligingiz kerak; kengaytirishni davom ettiring: 3(2(2x)) yoki 2(3(2x)) (aniq 3(4x)=3(2(2x)) va hokazo.)

3. Ko‘paytirishning distributiv xususiyatini omilli algebraik tenglamalarga qo‘llang. Raqamlar va ifoda atamalarini (o'zgaruvchilari bo'lgan koeffitsientlar) koeffitsientga qanday kiritishni bilgan holda, siz oddiy algebraik tenglamalarni son va ifoda hadining umumiy omilini topib soddalashtirishingiz mumkin. Odatda, tenglamani soddalashtirish uchun siz eng katta umumiy omilni (GCD) topishingiz kerak. Bu soddalashtirish ko‘paytirishning distributiv xususiyati tufayli mumkin: har qanday a, b, c sonlar uchun a(b+c) = ab+ac tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

   • Misol. 12x + 6 tenglamani koeffitsientga kiriting. Birinchidan, 12x va 6 ning gcd ni toping. 6 12x va 6 ni bo'luvchi eng katta sondir, shuning uchun bu tenglamani: 6(2x+1) bilan ko'paytiring.
   • Bu jarayon manfiy va kasr hadlari bo'lgan tenglamalar uchun ham amal qiladi. Masalan, x/2+4 ni 1/2(x+8); masalan, -7x+(-21) ni -7(x+3) ga koeffitsient qilish mumkin.

   Kvadrat tenglamalarni faktoring

   1. Tenglama kvadrat shaklda berilganligiga ishonch hosil qiling (ax 2 + bx + c = 0). Kvadrat tenglamalar ko'rinishga ega: ax 2 + bx + c = 0, bu erda a, b, c - 0 dan boshqa raqamli koeffitsientlar. Agar sizga bitta o'zgaruvchili (x) tenglama berilgan bo'lsa va bu tenglamada bir yoki bir nechta hadlar mavjud bo'lsa. ikkinchi tartibli o'zgaruvchi bilan tenglamaning barcha shartlarini tenglamaning bir tomoniga ko'chirishingiz va uni nolga tenglashtirishingiz mumkin.

      • Masalan, tenglama berilgan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Buni kvadrat tenglama bo'lgan x 2 + 6x + 9 = 0 tenglamasiga aylantirish mumkin.
      • Katta tartibli o'zgaruvchan x bo'lgan tenglamalar, masalan, x 3, x 4 va boshqalar. kvadrat tenglamalar emas. Bular kubik tenglamalar, to'rtinchi tartibli tenglamalar va boshqalar (agar bunday tenglamalarni x o'zgaruvchisi 2 ga ko'tarilgan kvadrat tenglamalarga soddalashtirish mumkin bo'lmasa).

   2. a = 1 bo'lgan kvadrat tenglamalar (x+d)(x+e) ga kengaytiriladi, bu erda d*e=c va d+e=b. Agar sizga berilgan kvadrat tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa: x 2 + bx + c = 0 (ya'ni, x 2 koeffitsienti 1), unda bunday tenglamani yuqoridagi omillarga kengaytirish mumkin (lekin kafolatlanmaydi). Buni amalga oshirish uchun siz ko'paytirilganda "c" ni va qo'shilganda "b" ni beradigan ikkita raqamni topishingiz kerak. Ushbu ikkita raqamni (d va e) topganingizdan so'ng, ularni quyidagi ifodaga almashtiring: (x+d)(x+e), qavslarni ochishda dastlabki tenglamaga olib keladi.

      • Masalan, x 2 + 5x + 6 = 0 kvadrat tenglama berilgan. 3*2=6 va 3+2=5, shuning uchun siz bu tenglamani (x+3)(x+2) koeffitsientiga kiritishingiz mumkin.
      • Salbiy shartlar uchun faktorizatsiya jarayoniga quyidagi kichik o'zgarishlarni kiriting:
        • Agar kvadrat tenglama x 2 -bx+c ko'rinishga ega bo'lsa, u holda u quyidagicha kengayadi: (x-_)(x-_).
        • Agar kvadrat tenglama x 2 -bx-c ko'rinishga ega bo'lsa, u holda u quyidagicha kengayadi: (x+_)(x-_).
      • Eslatma: Bo'shliqlar kasr yoki o'nli kasrlar bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 tenglama (x+10)(x+1/2) ga kengaytiriladi.

   3. Sinov va xato orqali faktorizatsiya. To'g'ri yechim topmaguningizcha, oddiy kvadrat tenglamalarni mumkin bo'lgan echimlarga raqamlarni oddiygina almashtirish orqali faktorlarga ajratish mumkin. Agar tenglama ax 2 +bx+c ko'rinishga ega bo'lsa, bu erda a>1, mumkin bo'lgan yechimlar (dx +/- _)(ex +/- _) ko'rinishida yoziladi, bu erda d va e nolga teng bo'lmagan son koeffitsientlardir. , bu ko'paytirilganda a beradi. D yoki e (yoki ikkala koeffitsient) 1 ga teng bo'lishi mumkin. Agar ikkala koeffitsient 1 ga teng bo'lsa, yuqorida tavsiflangan usuldan foydalaning.

      • Misol uchun, 3x 2 - 8x + 4 tenglama berilgan. Bu erda 3 faqat ikkita omilga (3 va 1) ega, shuning uchun mumkin bo'lgan echimlar (3x +/- _) (x +/- _) shaklida yoziladi. Bunda bo'shliqlar o'rniga -2 ni qo'yib, to'g'ri javobni topasiz: -2*3x=-6x va -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x va -2*-2=4, ya'ni qavslarni ochishda bunday kengayish dastlabki tenglamaning shartlariga olib keladi.

Nima bo'ldi faktorizatsiya? Bu noqulay va murakkab misolni oddiy va yoqimli misolga aylantirishning bir usuli.) Juda kuchli texnika! U boshlang'ich va oliy matematikada har qadamda topiladi.

Matematik tilda bunday o'zgarishlar ifodalarning bir xil o'zgarishi deyiladi. Bilmaganlar uchun havolani ko'ring. U erda juda oz, oddiy va foydali.) Har qanday identifikatsiya o'zgarishining ma'nosi iborani yozib olishdir. boshqa shaklda mohiyatini saqlab qolgan holda.

Ma'nosi faktorizatsiya juda oddiy va tushunarli. Nomining o'zidan. Siz ko'paytiruvchi nima ekanligini unutishingiz (yoki bilmasligingiz) mumkin, lekin bu so'z "ko'paytirish" so'zidan kelib chiqqanligini tushuna olasizmi?) Faktoring quyidagilarni anglatadi: biror narsani biror narsaga ko‘paytirish shaklidagi ifodani ifodalaydi. Meni matematika va rus tili kechirsin...) Hammasi shu.

Masalan, siz 12 raqamini kengaytirishingiz kerak. Siz ishonch bilan yozishingiz mumkin:

Shunday qilib, biz 12 raqamini 3 ni 4 ga ko'paytirish sifatida taqdim etdik. E'tibor bering, o'ngdagi raqamlar (3 va 4) chapdagidan (1 va 2) butunlay farq qiladi. Ammo biz 12 va 3 4 ni juda yaxshi tushunamiz xuddi shu narsa. Transformatsiyadan 12 raqamining mohiyati o'zgarmagan.

12 ni boshqacha ajratish mumkinmi? Osonlik bilan!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.........

Parchalanish imkoniyatlari cheksizdir.

Raqamlarni faktoring qilish foydali narsadir. Bu, masalan, ildizlar bilan ishlashda juda ko'p yordam beradi. Lekin algebraik ifodalarni faktoring qilish nafaqat foydali, balki foydali zarur! Misol uchun:

Soddalashtiring:

Ifodani faktorga kiritishni bilmaganlar bir chetga suyanadi. Qanday qilib biladiganlar - soddalashtiring va oling:

Effekt ajoyib, to'g'rimi?) Aytgancha, yechim juda oddiy. Quyida o'zingiz ko'rasiz. Yoki, masalan, bu vazifa:

Tenglamani yeching:

x 5 - x 4 = 0

Aytgancha, bu aql bilan hal qilinadi. Faktorizatsiyadan foydalanish. Quyida biz ushbu misolni hal qilamiz. Javob: x 1 = 0; x 2 = 1.

Yoki xuddi shu narsa, lekin kattalar uchun):

Tenglamani yeching:

Ushbu misollarda men ko'rsatdim asosiy maqsad faktorizatsiya: kasrli ifodalarni soddalashtirish va ayrim turdagi tenglamalarni yechish. Bu erda eslash kerak bo'lgan asosiy qoida:

Agar oldimizda qo'rqinchli kasr ifodasi bo'lsa, biz sanoqchi va maxrajni faktorlarga ajratishga harakat qilishimiz mumkin. Ko'pincha kasr qisqartiriladi va soddalashtiriladi.

Agar oldimizda tenglama bo'lsa, o'ng tomonda nol va chap tomonda - nima ekanligini tushunmayapman, biz chap tomonni faktorlarga ajratishga harakat qilishimiz mumkin. Ba'zan yordam beradi).

Faktorlarga ajratishning asosiy usullari.

Mana, ular eng mashhur usullar:

4. Kvadrat uchburchakning kengayishi.

Ushbu usullarni eslab qolish kerak. Aynan shu tartibda. Murakkab misollar tekshiriladi barcha mumkin bo'lgan parchalanish usullari uchun. Va chalkashmaslik uchun tartibda tekshirish yaxshidir ... Shunday qilib, tartibda boshlaylik.)

1. Qavs ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqarish.

Oddiy va ishonchli usul. Undan hech qanday yomon narsa kelmaydi! Bu yaxshi yoki umuman yo'q.) Shuning uchun u birinchi bo'lib keladi. Keling, buni aniqlaylik.

Qoidani hamma biladi (men ishonaman!)

a(b+c) = ab+ac

Yoki umuman olganda:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Barcha tengliklar chapdan o'ngga va aksincha, o'ngdan chapga ishlaydi. Siz yozishingiz mumkin:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Qavslar ichidan umumiy omilni olib tashlashning butun mohiyati shundan iborat.

Chap tomonda A - umumiy multiplikator barcha shartlar uchun. Mavjud hamma narsaga ko'paytiriladi). O'ng tomonda eng ko'p A allaqachon joylashgan qavslar tashqarisida.

Usulning amaliy qo'llanilishini misollar yordamida ko'rib chiqamiz. Avvaliga variant oddiy, hatto ibtidoiy.) Lekin bu variantda men har qanday faktorizatsiya uchun juda muhim nuqtalarni (yashil rangda) belgilayman.

Faktorizatsiya:

ah+9x

Qaysi umumiy multiplikator ikkala shartda ham paydo bo'ladimi? X, albatta! Biz uni qavslardan olib tashlaymiz. Keling, buni qilaylik. Biz darhol X ni qavs tashqarisiga yozamiz:

ax+9x=x(

Qavslar ichida esa bo'linish natijasini yozamiz har bir muddat aynan shu haqida X. Tartibda; ... uchun:

Bo'ldi shu. Albatta, bunchalik batafsil tasvirlashning hojati yo'q, bu aql bilan amalga oshiriladi. Lekin nima ekanligini tushunish tavsiya etiladi). Biz xotiraga yozamiz:

Umumiy omilni qavslar tashqarisiga yozamiz. Qavslar ichida barcha atamalarni shu umumiy omilga bo'lish natijalarini yozamiz. Tartibda; ... uchun.

Shunday qilib, biz ifodani kengaytirdik ah+9x multiplikatorlar orqali. Uni x ga ko'paytirishga aylantirdi (a+9). Shuni ta'kidlaymanki, asl iborada ko'payish ham bor edi, hatto ikkitasi: a·x va 9·x. Lekin u faktorizatsiya qilinmagan! Chunki bu iborada koʻpaytirishdan tashqari qoʻshish, “+” belgisi ham bor edi! Va ifodada x(a+9) Ko'paytirishdan boshqa hech narsa yo'q!

Qanaqasiga!? - Men odamlarning g'azablangan ovozini eshitaman - Va qavs ichida!?)

Ha, qavslar ichida qo'shimcha mavjud. Ammo hiyla shundaki, qavslar ochilmagan bo'lsa-da, biz ularni ko'rib chiqamiz bitta harf kabi. Va biz barcha harakatlarni qavslar bilan to'liq bajaramiz, xuddi bitta harf bilan. Shu ma'noda, ifodada x(a+9) Ko'paytirishdan boshqa hech narsa yo'q. Bu faktorizatsiyaning butun nuqtasidir.

Aytgancha, biz hamma narsani to'g'ri bajarganimizni qandaydir tarzda tekshirish mumkinmi? Osonlik bilan! Qavsga qo'ygan narsangizni (x) ko'paytirish va u ishlaganligini ko'rish kifoya original ifoda? Agar u ishlayotgan bo'lsa, hamma narsa ajoyib!)

x(a+9)=ax+9x

Bu ishladi.)

Ushbu ibtidoiy misolda hech qanday muammo yo'q. Ammo bir nechta atamalar bo'lsa va hatto turli belgilar bilan ... Qisqasi, har uchinchi o'quvchi aralashadi). Shuning uchun:

Agar kerak bo'lsa, teskari ko'paytirish orqali faktorizatsiyani tekshiring.

Faktorizatsiya:

3ax+9x

Biz umumiy omilni qidirmoqdamiz. Xo'sh, X bilan hamma narsa aniq, uni olib tashlash mumkin. Yana bormi umumiy omil? Ha! Bu uchta. Siz ifodani shunday yozishingiz mumkin:

3ax+3 3x

Bu erda umumiy omil bo'lishi darhol aniq bo'ladi 3x. Mana biz uni chiqaramiz:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Yoymoq.

Agar siz uni olib tashlasangiz nima bo'ladi faqat x? Hech qanday maxsus narsa yo'q:

3ax+9x=x(3a+9)

Bu ham faktorizatsiya bo'ladi. Ammo bu qiziqarli jarayonda imkoniyat mavjud bo'lganda hamma narsani cheklash odat tusiga kiradi. Bu erda qavs ichida uchta qo'yish imkoniyati mavjud. Bu shunday bo'ladi:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Xuddi shu narsa, faqat bitta qo'shimcha harakat bilan.) Esda tuting:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarganda, biz chiqarishga harakat qilamiz maksimal umumiy multiplikator.

Qiziqni davom ettiramizmi?)

Ifodani omil sifatida ko'rsating:

3ax+9x-8a-24

Biz nimani olib ketamiz? Uch, X? Yo'q... Olmaysiz. Sizga shuni eslatamanki, siz faqat olib tashlashingiz mumkin umumiy multiplikator, ya'ni hammasida ifoda shartlari. Shuning uchun u umumiy. Bu erda bunday multiplikator yo'q ... Nima, siz uni kengaytirishingiz shart emas!? Ha, biz juda xursand bo'ldik... Tanishing:

2. Guruhlash.

Aslida, guruhlashni mustaqil faktorizatsiya usuli deb atash qiyin. Bu, aksincha, murakkab misoldan chiqishning bir yo'li.) Hamma narsa amalga oshishi uchun shartlarni guruhlashingiz kerak. Buni faqat misol orqali ko'rsatish mumkin. Shunday qilib, bizda quyidagi ifoda bor:

3ax+9x-8a-24

Ko'rinib turibdiki, ba'zi umumiy harflar va raqamlar mavjud. Lekin... General barcha shartlarda bo'lish uchun multiplikator yo'q. Yuragini yo'qotmaylik va ifodani qismlarga ajrating. Keling, guruhlashamiz. Har bir parcha umumiy omilga ega bo'lishi uchun olib tashlash kerak bo'lgan narsa bor. Uni qanday buzamiz? Ha, biz faqat qavs qo'yamiz.

Eslatib o‘taman, qavslar istalgan joyga va xohlagancha joylashtirilishi mumkin. Faqat misolning mohiyati o'zgarmagan. Masalan, siz buni qilishingiz mumkin:

3ax+9x-8a-24=(3ah+9x)-(8a+24)

Iltimos, ikkinchi qavslarga e'tibor bering! Ulardan oldin minus belgisi va 8a Va 24 ijobiy aylandi! Agar tekshirish uchun biz qavslarni qayta ochsak, belgilar o'zgaradi va biz olamiz original ifoda. Bular. qavs ichidagi ifodaning mohiyati o'zgarmagan.

Ammo agar siz qavslarni belgining o'zgarishini hisobga olmagan holda kiritgan bo'lsangiz, masalan:

3ax+9x-8a-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

xato bo'lardi. O'ngda - allaqachon boshqa ifoda. Qavslarni oching va hamma narsa ko'rinadi. Siz boshqa qaror qabul qilishingiz shart emas, ha...)

Ammo faktorizatsiyaga qaytaylik. Keling, birinchi qavslarni ko'rib chiqaylik (3ax+9x) va biz o'ylaymizki, olib tashlashimiz mumkin bo'lgan biror narsa bormi? Xo'sh, biz yuqorida bu misolni hal qildik, biz buni olamiz 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Keling, ikkinchi qavslarni o'rganamiz, u erda sakkiztasini qo'shishimiz mumkin:

(8a+24)=8(a+3)

Bizning butun ifodamiz quyidagicha bo'ladi:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorlanganmi? Yo'q. Parchalanish natijasi bo'lishi kerak faqat ko'paytirish Ammo bizda minus belgisi hamma narsani buzadi. Lekin... Har ikki atama ham umumiy omilga ega! Bu (a+3). Men butun qavslar xuddi bitta harfdan iborat, deb bejiz aytmadim. Bu shuni anglatadiki, bu qavslar qavslardan chiqarilishi mumkin. Ha, xuddi shunday eshitiladi.)

Biz yuqorida tavsiflanganidek qilamiz. Biz umumiy omilni yozamiz (a+3), ikkinchi qavsga atamalarni bo'lish natijalarini yozamiz (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Hammasi! O'ng tomonda ko'paytirishdan boshqa hech narsa yo'q! Bu faktorizatsiya muvaffaqiyatli yakunlanganligini anglatadi!) Mana:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Keling, guruhning mohiyatini qisqacha takrorlaymiz.

Agar ifoda bo'lmasa umumiy uchun multiplikator hamma atamalar, biz ifodani qavs ichiga ajratamiz, shunda qavs ichida umumiy omil bo'ladi edi. Biz uni olib tashlaymiz va nima bo'lishini ko'ramiz. Agar omadingiz bo'lsa va qavs ichida mutlaqo bir xil iboralar qolsa, biz bu qavslarni qavs ichidan chiqaramiz.

Men guruhlash ijodiy jarayon ekanligini qo'shimcha qilaman). Har doim ham birinchi marta ishlamaydi. Hammasi joyida; shu bo'ladi. Ba'zan siz shartlarni almashtirishingiz va muvaffaqiyatli bo'lguningizcha turli guruhlash variantlarini ko'rib chiqishingiz kerak. Bu erda asosiy narsa yurakni yo'qotmaslikdir!)

Misollar.

Endi bilim bilan boyitib, qiyin misollarni yecha olasiz.) Dars boshida shulardan uchtasi...

Soddalashtiring:

Aslida, biz bu misolni allaqachon hal qildik. O'zimiz bilmagan holda.) Sizga eslatib o'taman: agar bizga dahshatli kasr berilsa, biz son va maxrajni ko'paytirishga harakat qilamiz. Boshqa soddalashtirish variantlari shunchaki yo'q.

Xo'sh, bu erda maxraj kengaytirilgan emas, lekin hisoblagich ... Biz allaqachon dars davomida raqamni kengaytirdik! Shunga o'xshash:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Kengayish natijasini kasr soniga yozamiz:

Kasrlarni kamaytirish qoidasiga ko'ra (kasrning asosiy xususiyati) biz (bir vaqtning o'zida!) sanoq va maxrajni bir xil songa yoki ifodaga bo'lishimiz mumkin. Bundan kasr o'zgarmaydi. Shunday qilib, son va maxrajni ifoda bilan ajratamiz (3x-8). Va u erda va u erda bizni olamiz. Soddalashtirishning yakuniy natijasi:

Ayniqsa, ta'kidlashni istardim: kasrni kamaytirish faqat va faqat hisob va maxrajda ifodalarni ko'paytirishdan tashqari mumkin bo'ladi. hech narsa mavjud emas. Shuning uchun yig'indining (farqning) ga aylanishi ko'paytirish soddalashtirish uchun juda muhimdir. Albatta, ifodalar bo'lsa har xil, keyin hech narsa kamaymaydi. Bu sodir bo'ladi. Ammo faktorizatsiya imkoniyat beradi. Bu parchalanishsiz imkoniyat shunchaki mavjud emas.

Tenglama bilan misol:

Tenglamani yeching:

x 5 - x 4 = 0

Biz umumiy omilni chiqaramiz x 4 qavs ichidan. Biz olamiz:

x 4 (x-1)=0

Omillar mahsuloti nolga teng ekanligini tushunamiz keyin va faqat keyin, ularning har biri nolga teng bo'lganda. Agar shubhangiz bo'lsa, menga ko'paytirilganda nolga teng bo'lgan bir nechta noldan farqli raqamlarni toping.) Shunday qilib, birinchi navbatda birinchi omilni yozamiz:

Bunday tenglik bilan ikkinchi omil bizni qiziqtirmaydi. Har kim bo'lishi mumkin, lekin oxir-oqibat u nolga teng bo'ladi. Nol to'rtinchi darajaga qaysi raqamni beradi? Faqat nol! Va boshqasi yo'q ... Shuning uchun:

Biz birinchi omilni aniqladik va bitta ildizni topdik. Keling, ikkinchi omilni ko'rib chiqaylik. Endi biz birinchi omilga ahamiyat bermaymiz.):

Bu erda biz yechim topdik: x 1 = 0; x 2 = 1. Bu ildizlarning har biri bizning tenglamamizga mos keladi.

Juda muhim eslatma. E'tibor bering, biz tenglamani hal qildik parcha-parcha! Har bir omil nolga teng edi, boshqa omillardan qat'iy nazar. Aytgancha, agar bunday tenglamada biznikiga o'xshash ikkita emas, balki uchta, beshta, siz xohlaganingizcha ko'p bo'lsa, biz hal qilamiz. aynan bir xil. Bo'lak-bo'lak. Masalan:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Qavslarni ochgan va hamma narsani ko'paytirgan har bir kishi bu tenglamada abadiy qoladi.) To'g'ri o'quvchi chap tomonda ko'paytirishdan boshqa hech narsa yo'qligini va o'ngda noldan boshqa hech narsa yo'qligini darhol ko'radi. Va u barcha qavslarni nolga tenglashtirishni boshlaydi (o'z fikrida!). Va u (10 soniya ichida!) to'g'ri echimni oladi: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Ajoyib, to'g'rimi?) Bunday oqlangan yechim tenglamaning chap tomoni bo'lsa mumkin faktorlashtirilgan. Maslahat oldingizmi?)

Xo'sh, kattalar uchun oxirgi misol):

Tenglamani yeching:

Bu avvalgisiga biroz o'xshaydi, shunday emasmi?) Albatta. Yettinchi sinfda algebra, sinuslar, logarifmlar va boshqa narsalarni harflar ostida yashirish mumkinligini eslash vaqti keldi! Faktoring butun matematikada ishlaydi.

Biz umumiy omilni chiqaramiz lg 4 x qavs ichidan. Biz olamiz:

log 4 x=0

Bu bitta ildiz. Keling, ikkinchi omilni ko'rib chiqaylik.

Mana yakuniy javob: x 1 = 1; x 2 = 10.

Umid qilamanki, siz kasrlarni soddalashtirish va tenglamalarni echishda faktoringning kuchini tushundingiz.)

Bu darsda biz umumiy faktoring va guruhlash haqida bilib oldik. Qisqartirilgan ko'paytirish va kvadrat trinomiya uchun formulalar bilan shug'ullanish qoladi.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Katta sonni faktoring qilish oson ish emas. Ko'pchilik to'rt yoki besh xonali raqamlarni aniqlashda qiynaladi. Jarayonni osonlashtirish uchun ikkita ustun ustiga raqamni yozing.

• 6552 sonini koeffitsientlarga ajratamiz.

Berilgan sonni qoldiq qoldirmasdan, berilgan sonni bo‘luvchi eng kichik tub bo‘luvchiga (1 dan boshqa) bo‘ling. Ushbu bo'luvchini chap ustunga yozing va bo'linish natijasini o'ng ustunga yozing. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, juft sonlarni koeffitsient qilish oson, chunki ularning eng kichik tub koeffitsienti har doim 2 bo'ladi (toq sonlar har xil eng kichik tub omillarga ega).

• Bizning misolimizda 6552 juft son, shuning uchun 2 uning eng kichik tub koeffitsientidir. 6552 ÷ 2 = 3276. Chap ustunga 2 va o'ng ustunga 3276 yozing.

Keyin, o'ng ustundagi sonni qoldiq qoldirmasdan, sonni ajratadigan eng kichik tub omilga (1 dan tashqari) bo'ling.

• Ushbu bo'luvchini chap ustunga yozing va o'ng ustunga bo'linish natijasini yozing (o'ng ustunda 1lar qolmaguncha bu jarayonni davom ettiring).

Bizning misolimizda: 3276 ÷ 2 = 1638. Chap ustunga 2, o'ng ustunga 1638 yozing Keyingi: 1638 ÷ 2 = 819. Chap ustunga 2 va o'ng ustunga 819 yozing. Sizda toq raqam bor; Bunday raqamlar uchun eng kichik tub bo'luvchini topish qiyinroq.

• Agar siz toq sonni olsangiz, uni eng kichik tub toq sonlarga bo'lib ko'ring: 3, 5, 7, 11.
• Bizning misolimizda siz toq raqamni oldingiz 819. Uni 3 ga bo'ling: 819 ÷ 3 = 273. Chap ustunga 3 va o'ng ustunga 273 yozing.

Faktorlarni qidirayotganda, topilgan eng katta omilning kvadrat ildizigacha bo'lgan barcha tub sonlarni sinab ko'ring. Agar hech qanday bo'luvchi raqamni butunga bo'lmasa, sizda tub son bo'lishi mumkin va hisoblashni to'xtatishingiz mumkin.

• O'ng ustunda 1 qolmaguningizcha raqamlarni tub omillarga bo'lish jarayonini davom ettiring (agar siz o'ng ustunda tub sonni olsangiz, 1 ni olish uchun uni o'ziga bo'ling).
  • Keling, misolimizda hisob-kitoblarni davom ettiramiz:
  • 3 ga bo'linadi: 273 ÷ 3 = 91. Qoldiq yo'q. Chap ustunga 3 va o'ng ustunga 91 yozing.
  • 3 ga bo'linadi. 91 qoldiq bilan 3 ga bo'linadi, shuning uchun 5 ga bo'linadi. 91 qoldiq bilan 5 ga bo'linadi, shuning uchun 7 ga bo'linadi: 91 ÷ 7 = 13. Qoldiq yo'q. Chap ustunga 7 va o'ng ustunga 13 yozing.

7 ga bo'linadi. 13 ga qoldiq bilan 7 ga bo'linadi, shuning uchun 11 ga bo'linadi. 13 11 ga qoldiq bilan bo'linadi, shuning uchun 13 ga bo'linadi: 13 ÷ 13 = 1. Qoldiq yo'q. Chap ustunga 13 va o'ng ustunga 1 yozing. Chap ustunda asl sonning asosiy omillari ko'rsatilgan.

• Boshqacha qilib aytganda, chap ustundagi barcha raqamlarni ko'paytirganda, siz ustunlar ustida yozilgan raqamni olasiz. Agar bir xil omil omillar ro'yxatida bir necha marta paydo bo'lsa, uni ko'rsatish uchun ko'rsatkichlardan foydalaning. Bizning misolimizda, ko'paytiruvchilar ro'yxatida 2 4 marta paydo bo'ladi; bu omillarni 2*2*2*2 emas, balki 2 4 deb yozing.