Ta'rif. Prizma ko'pburchak bo'lib, uning barcha uchlari ikkita parallel tekislikda joylashgan va shu ikki tekislikda prizmaning ikkita yuzi yotadi, ular mos ravishda parallel tomonlari bo'lgan teng ko'pburchaklar va bu tekisliklarda yotmaydigan barcha qirralar paralleldir.

Ikki teng yuzlar deyiladi prizma asoslari(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmaning boshqa barcha yuzlari deyiladi yon yuzlar(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Barcha yon yuzlar hosil bo'ladi prizmaning lateral yuzasi .

Prizmaning barcha lateral yuzlari parallelogrammdir .

Poydevorda yotmaydigan qirralar prizmaning lateral qirralari deyiladi ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma diagonali uchlari prizmaning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchi boʻlgan segment (AD 1).

Prizma asoslarini bir vaqtning o'zida tutashtiruvchi va ikkala asosga perpendikulyar bo'lgan segment uzunligi deyiladi. prizma balandligi .

Belgilash:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Birinchi, o'tish tartibida bir asosning uchlari, so'ngra bir xil tartibda boshqasining uchlari ko'rsatiladi; har bir yon chekkaning uchlari bir xil harflar bilan belgilanadi, faqat bitta asosda yotgan cho'qqilar belgilanadi. indekssiz harflar bilan, ikkinchisida esa indeks bilan)

Prizma nomi uning asosida yotgan shakldagi burchaklar soni bilan bog'liq, masalan, 1-rasmda asosda beshburchak bor, shuning uchun prizma deyiladi. beshburchak prizma. Lekin chunki bunday prizmaning 7 ta yuzi bor, keyin u yettitaedr(2 yuz - prizma asoslari, 5 yuz - parallelogrammalar, - uning yon yuzlari)

To'g'ri prizmalar orasida alohida turi ajralib turadi: muntazam prizmalar.

To'g'ri prizma deyiladi to'g'ri, uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa.

Parallelepiped

To'rtburchak parallelepiped- asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped.

Xususiyatlar va teoremalar:

,

bu erda d - kvadratning diagonali;
a - kvadratning tomoni.

Prizma g'oyasi quyidagicha ifodalanadi:

• turli me'moriy tuzilmalar;
• bolalar o'yinchoqlari;
• qadoqlash qutilari;
• dizayner buyumlari va boshqalar.

Prizmaning umumiy va lateral yuzasining maydoni

S to'liq = S tomoni + 2S asosiy,

Qayerda S to'la- umumiy sirt maydoni, S tomoni- lateral sirt maydoni, S asosi- tayanch maydoni

To'g'ri prizmaning yon yuzasi maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng..

S tomoni= P asosiy * h,

Qayerda S tomoni-to'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni;

P asosiy - to'g'ri prizma asosining perimetri,

h - to'g'ri prizmaning balandligi, yon chetiga teng.

Prizma hajmi

Prizmaning hajmi poydevor maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng.

Prizmaning lateral yuzasi maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz stereometriyadagi bir guruh muammolarni tahlil qilamiz. Keling, jismlarning kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik - prizma va silindr. Hozirgi vaqtda ushbu maqola stereometriyadagi vazifalar turlarini ko'rib chiqish bilan bog'liq barcha maqolalar seriyasini to'ldiradi.

Agar vazifalar bankida yangilari paydo bo'lsa, unda, albatta, kelajakda blogga qo'shimchalar bo'ladi. Ammo imtihonning bir qismi sifatida qisqa javob bilan barcha muammolarni qanday hal qilishni o'rganishingiz uchun allaqachon mavjud bo'lgan narsa etarli. Kelgusi yillar uchun etarli material bo'ladi (matematika dasturi statik).

Taqdim etilgan vazifalar prizma maydonini hisoblashni o'z ichiga oladi. Shuni ta'kidlaymanki, biz quyida to'g'ri prizmani (va shunga mos ravishda to'g'ri silindrni) ko'rib chiqamiz.

Hech qanday formulani bilmasdan, biz prizmaning lateral yuzasi uning barcha lateral yuzlari ekanligini tushunamiz. To'g'ri prizma to'rtburchaklar yon yuzlariga ega.

Bunday prizmaning lateral yuzasining maydoni uning barcha lateral yuzlari (ya'ni to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Agar silindr yozilgan oddiy prizma haqida gapiradigan bo'lsak, bu prizmaning barcha yuzlari TENG to'rtburchaklar ekanligi aniq.

Rasmiy ravishda, muntazam prizmaning lateral sirt maydoni quyidagicha aks ettirilishi mumkin:

27064. Baza radiusi va balandligi 1 ga teng bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning yon sirtini toping.

Ushbu prizmaning lateral yuzasi teng maydonga ega to'rtta to'rtburchakdan iborat. Yuzning balandligi 1 ga, prizma poydevorining cheti 2 ga teng (bular silindrning ikkita radiusi), shuning uchun yon yuzning maydoni teng:

Yon sirt maydoni:

73023. Baza radiusi √0,12 va balandligi 3 ga teng bo‘lgan silindr atrofida aylana chizilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Berilgan prizmaning lateral yuzasining maydoni uchta lateral yuzlarning (to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Yon yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi uch. Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):

Bizda radiusi √0,12 bo'lgan doira chizilgan muntazam uchburchak bor. AOC to'g'ri burchakli uchburchakdan AC ni topishimiz mumkin. Va keyin AD (AD = 2AC). Tangensning ta'rifi bo'yicha:

Bu AD = 2AC = 1,2 degan ma'noni anglatadi, shuning uchun lateral sirt maydoni tengdir:

27066. Baza radiusi √75 va balandligi 1 ga teng bo‘lgan silindr atrofida aylana chizilgan muntazam olti burchakli prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Kerakli maydon barcha yon yuzlarning maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam olti burchakli prizma teng to'rtburchaklar bo'lgan lateral yuzlarga ega.

Yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi ma'lum, u 1 ga teng.

Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):

Bizda muntazam olti burchakli radiusi √75 aylana chizilgan.

ABO to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Biz OB oyog'ini bilamiz (bu silindrning radiusi). AOB burchagini ham aniqlashimiz mumkin, u 300 ga teng (AOC uchburchagi teng yonli, OB bissektrisa).

To'g'ri burchakli uchburchakda tangens ta'rifidan foydalanamiz:

AC = 2AB, chunki OB medianadir, ya'ni AC ni ikkiga bo'ladi, bu AC = 10 degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, yon yuzaning maydoni 1∙10=10 va yon yuzaning maydoni:

76485. Baza radiusi 8√3 va balandligi 6 ga teng silindrga chizilgan muntazam uchburchak prizmaning yon sirtini toping.

Uchta teng o'lchamdagi yuzlarning (to'rtburchaklar) ko'rsatilgan prizmasining lateral yuzasining maydoni. Maydonni topish uchun siz prizma poydevorining chetining uzunligini bilishingiz kerak (biz balandlikni bilamiz). Agar proyeksiyani (yuqori ko'rinish) ko'rib chiqsak, bizda aylana ichiga yozilgan muntazam uchburchak bor. Bu uchburchakning yon tomoni radiusda quyidagicha ifodalanadi:

Ushbu munosabatlarning tafsilotlari. Shunday qilib, teng bo'ladi

Keyin yon yuzning maydoni: 24∙6=144. Va kerakli maydon:

245354. Baza radiusi 2 bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning lateral yuzasi 48 ga teng. Silindrning balandligini toping.

Bu oddiy. Bizda teng maydonning to'rtta yon yuzi bor, shuning uchun bitta yuzning maydoni 48: 4 = 12. Tsilindr asosining radiusi 2 bo'lganligi sababli, prizma asosining cheti erta 4 bo'ladi - bu silindrning diametriga teng (bu ikki radius). Biz yuzning maydoni va bir chetini bilamiz, ikkinchisi balandligi 12: 4 = 3 ga teng bo'ladi.

27065. Baza radiusi √3 va balandligi 2 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.

Hurmat bilan, Aleksandr.

Ta'rif.

Bu olti burchakli bo'lib, uning asoslari ikkita teng kvadrat va yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.

Yon qovurg'a- ikkita qo'shni yon yuzning umumiy tomoni

Prizma balandligi- bu prizma asoslariga perpendikulyar segment

Prizma diagonali- bir yuzga tegishli bo'lmagan asoslarning ikkita uchini bog'lovchi segment

Diagonal tekislik- prizma diagonali va uning lateral qirralari orqali o'tadigan tekislik

Diagonal qism- prizma va diagonal tekislikning kesishish chegaralari. Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir

Perpendikulyar kesma (ortogonal kesma)- bu prizma va uning lateral qirralariga perpendikulyar chizilgan tekislikning kesishishi.

Muntazam to'rtburchak prizmaning elementlari

Rasmda ikkita oddiy to'rtburchak prizma ko'rsatilgan, ular tegishli harflar bilan ko'rsatilgan:

• ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 asoslari bir-biriga teng va parallel
• Yon yuzlar AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C va CC 1 D 1 D, ularning har biri to'rtburchak
• Lateral sirt - prizmaning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi
• Umumiy sirt - barcha asoslar va yon yuzalar maydonlarining yig'indisi (yon yuza va poydevorlar maydoni yig'indisi)
• Yon qovurg'alar AA 1, BB 1, CC 1 va DD 1.
• Diagonali B 1 D
• Asosiy diagonali BD
• Diagonal kesma BB 1 D 1 D
• Perpendikulyar kesma A 2 B 2 C 2 D 2.

Muntazam to'rtburchak prizmaning xossalari

• Asoslar ikkita teng kvadratdir
• Bazalar bir-biriga parallel
• Yon tomonlari to'rtburchaklardir
• Yon qirralar bir-biriga teng
• Yon yuzlar asoslarga perpendikulyar
• Yanal qovurg'alar bir-biriga parallel va tengdir
• Barcha yon qovurg'alarga perpendikulyar va asoslarga parallel perpendikulyar kesim
• Perpendikulyar kesimning burchaklari - tekis
• Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir
• Asoslarga parallel ravishda perpendikulyar (ortogonal kesma).

Muntazam to'rtburchak prizma uchun formulalar

Muammolarni hal qilish bo'yicha ko'rsatmalar

To'g'ri prizma- prizma, uning asosida muntazam ko'pburchak yotqizilgan, yon qirralari esa asos tekisliklariga perpendikulyar. Ya'ni, oddiy to'rtburchak prizma uning bazasida joylashgan kvadrat. (yuqoridagi oddiy to'rtburchak prizmaning xususiyatlariga qarang) Eslatma. Bu geometriya masalalari (kesim stereometriya - prizma) bilan darsning bir qismidir. Bu erda hal qilish qiyin bo'lgan muammolar mavjud. Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya muammosini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Muammolarni yechishda kvadrat ildizni ajratib olish harakatini belgilash uchun belgidan foydalaniladi√ .

Vazifa.

Muntazam prizmaning diagonali asos diagonali va prizma balandligi bilan toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qiladi. Shunga ko'ra, Pifagor teoremasiga ko'ra, berilgan muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali quyidagilarga teng bo'ladi:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 sm

Javob: 22 sm

Vazifa

Yechim.
Muntazam to'rtburchak prizmaning asosi kvadrat bo'lganligi sababli, Pifagor teoremasidan foydalanib, asosning tomonini (a bilan belgilanadi) topamiz:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Yon yuzning balandligi (h bilan belgilanadi) keyin teng bo'ladi:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Umumiy sirt maydoni lateral yuzaning yig'indisiga va taglik maydonining ikki barobariga teng bo'ladi

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Javob: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Fazoviy geometriyada prizma bilan bog'liq muammolarni hal qilishda muammo ko'pincha ushbu hajmli raqamlarni tashkil etuvchi tomonlar yoki yuzlarning maydonini hisoblashda paydo bo'ladi. Ushbu maqola prizma asosining maydoni va uning lateral yuzasini aniqlash masalasiga bag'ishlangan.

Prizma shakli

U yoki bu turdagi prizmaning asos maydoni va yuzasi uchun formulalarni ko'rib chiqishga o'tishdan oldin, biz qanday shakl haqida gapirayotganimizni tushunishingiz kerak.

Geometriyada prizma bir-biriga teng bo'lgan ikkita parallel ko'pburchak va bir nechta to'rtburchaklar yoki parallelogrammalardan tashkil topgan fazoviy figuradir. Ikkinchisining soni har doim bitta ko'pburchakning uchlari soniga teng. Misol uchun, agar figura ikkita parallel n-gon tomonidan tuzilgan bo'lsa, u holda parallelogrammlar soni n bo'ladi.

N-gonlarni bog'laydigan parallelogrammalar prizmaning yon tomonlari deb ataladi va ularning umumiy maydoni shaklning lateral yuzasining maydonidir. N-gonlarning o'zi bazalar deb ataladi.

Yuqoridagi rasmda qog'ozdan yasalgan prizma misoli ko'rsatilgan. Sariq to'rtburchak uning yuqori asosidir. Rasm ikkinchi shunga o'xshash asosda joylashgan. Qizil va yashil to'rtburchaklar yon yuzlardir.

Prizmalarning qanday turlari mavjud?

Prizmalarning bir necha turlari mavjud. Ularning barchasi bir-biridan faqat ikkita parametrda farqlanadi:

• asosni tashkil etuvchi n-gon turi;
• n-gon va yon yuzlar orasidagi burchak.

Masalan, asoslari uchburchaklar bo'lsa, prizma uchburchak deb ataladi, agar u avvalgi rasmdagi kabi to'rtburchak bo'lsa, unda bu shakl to'rtburchaklar prizma deb ataladi va hokazo. Bundan tashqari, n-gon konveks yoki botiq bo'lishi mumkin, keyin bu xususiyat prizma nomiga ham qo'shiladi.

Yon yuzalar va poydevor orasidagi burchak tekis, o'tkir yoki o'tkir bo'lishi mumkin. Birinchi holda, ular to'rtburchaklar prizma haqida, ikkinchisida - eğimli yoki qiyshiq prizma haqida gapirishadi.

Muntazam prizmalar figuralarning maxsus turi sifatida tasniflanadi. Ular boshqa prizmalar orasida eng yuqori simmetriyaga ega. U to'g'ri to'rtburchak va asosi muntazam n-burchak bo'lsagina muntazam bo'ladi. Quyidagi rasmda n-gon tomonlarining soni uchdan sakkiztagacha o'zgarib turadigan muntazam prizmalar to'plami ko'rsatilgan.

Prizma yuzasi

Ko'rib chiqilayotgan ixtiyoriy turdagi figuraning yuzasi deganda prizma yuzlariga tegishli barcha nuqtalar to'plami tushuniladi. Prizma sirtini uning rivojlanishini tekshirish orqali o'rganish qulay. Quyida uchburchak prizma uchun bunday rivojlanishning namunasi keltirilgan.

Ko'rinib turibdiki, butun sirt ikkita uchburchak va uchta to'rtburchakdan iborat.

Umumiy prizma bo'lsa, uning yuzasi ikkita n burchakli asos va n ta to'rtburchakdan iborat bo'ladi.

Keling, har xil turdagi prizmalarning sirt maydonini hisoblash masalasini batafsil ko'rib chiqaylik.

Muntazam prizmaning asos maydoni

Prizmalar bilan ishlashda eng oddiy muammo bu oddiy figuraning asosining maydonini topish muammosi. U barcha burchaklari va yon uzunliklari bir xil bo'lgan n-burchak tomonidan tuzilganligi sababli, uni har doim burchaklari va tomonlari ma'lum bo'lgan bir xil uchburchaklarga bo'lish mumkin. Uchburchaklarning umumiy maydoni n-gonning maydoni bo'ladi.

Prizma (asos) sirtining bir qismini aniqlashning yana bir usuli - bu taniqli formuladan foydalanish. Bu shunday ko'rinadi:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Ya'ni, n-burchakning S n maydoni uning a tomonining uzunligi haqidagi bilimlar asosida yagona aniqlanadi. Formuladan foydalangan holda hisoblashda ba'zi qiyinchiliklar kotangentni hisoblash bo'lishi mumkin, ayniqsa n>4 (n≤4 uchun kotangent qiymatlari jadval ma'lumotlari). Ushbu trigonometrik funktsiyani aniqlash uchun kalkulyatordan foydalanish tavsiya etiladi.

Geometrik muammoni qo'yishda ehtiyot bo'lish kerak, chunki prizma poydevorining maydonini topishingiz kerak bo'lishi mumkin. Keyin formuladan olingan qiymat ikkiga ko'paytirilishi kerak.

Uchburchak prizmaning asos maydoni

Uchburchak prizma misolidan foydalanib, ushbu rasmning poydevorining maydonini qanday topish mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Keling, birinchi navbatda oddiy holatni ko'rib chiqaylik - oddiy prizma. Baza maydoni yuqoridagi paragrafda keltirilgan formuladan foydalanib hisoblab chiqiladi, unga n = 3 ni almashtirish kerak; Biz olamiz:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Bir asosning maydonini olish uchun teng qirrali uchburchakning a tomoni uzunligining o'ziga xos qiymatlarini ifodaga almashtirish qoladi.

Endi asosi ixtiyoriy uchburchak bo'lgan prizma bor deb faraz qilaylik. Uning ikki tomoni a va b va ular orasidagi burchak a ma'lum. Bu raqam quyida ko'rsatilgan.

Bu holda uchburchak prizma asosining maydonini qanday topish mumkin? Shuni esda tutish kerakki, har qanday uchburchakning maydoni tomonning ko'paytmasining yarmiga va bu tomonga tushirilgan balandlikka teng. Rasmda h balandligi b tomoniga chizilgan. Uzunligi h alfa burchak sinusining ko'paytmasiga va a tomon uzunligiga to'g'ri keladi. Keyin butun uchburchakning maydoni:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(a)

Bu ko'rsatilgan uchburchak prizmaning asosiy maydoni.

Yon yuza

Biz prizma asosining maydonini qanday topishni ko'rib chiqdik. Bu raqamning lateral yuzasi doimo parallelogrammalardan iborat. To'g'ri prizmalar uchun parallelogrammalar to'rtburchaklar bo'ladi, shuning uchun ularning umumiy maydonini hisoblash oson:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Bu erda b - yon chetining uzunligi, a i - i-to'rtburchakning yon tomonining uzunligi, bu n-gon tomonning uzunligiga to'g'ri keladi. Muntazam n-burchak prizmasida oddiy ifodani olamiz:

Agar prizma qiya bo'lsa, uning lateral yuzasining maydonini aniqlash uchun perpendikulyar kesish kerak, uning perimetri P sr ni hisoblab chiqing va uni lateral qirrasining uzunligiga ko'paytiring.

Yuqoridagi rasmda eğimli beshburchak prizma uchun bu kesish qanday amalga oshirilishi kerakligi ko'rsatilgan.

Turli xil prizmalar bir-biridan farq qiladi. Shu bilan birga, ularning umumiy jihatlari juda ko'p. Prizma poydevorining maydonini topish uchun siz uning qaysi turiga ega ekanligini tushunishingiz kerak.

Umumiy nazariya

Prizma - tomonlari parallelogramm shakliga ega bo'lgan har qanday ko'pburchak. Bundan tashqari, uning asosi har qanday ko'pburchak bo'lishi mumkin - uchburchakdan n-burchakgacha. Bundan tashqari, prizmaning asoslari har doim bir-biriga teng. Yon yuzlarga taalluqli bo'lmagan narsa shundaki, ular kattaligi sezilarli darajada farq qilishi mumkin.

Muammolarni hal qilishda nafaqat prizma poydevorining maydoniga duch keladi. Bu lateral sirtni, ya'ni asos bo'lmagan barcha yuzlarni bilishni talab qilishi mumkin. To'liq sirt prizmani tashkil etuvchi barcha yuzlarning birlashuvi bo'ladi.

Ba'zida muammolar balandlik bilan bog'liq. U asoslarga perpendikulyar. Ko'pburchakning diagonali - bir yuzga tegishli bo'lmagan har qanday ikkita cho'qqini juft qilib bog'laydigan segment.

Shuni ta'kidlash kerakki, to'g'ri yoki eğimli prizmaning asosiy maydoni ular va yon tomonlar orasidagi burchakka bog'liq emas. Agar ularning yuqori va pastki yuzlarida bir xil raqamlar bo'lsa, unda ularning maydonlari teng bo'ladi.

Uchburchak prizma

Uning tagida uchta uchli figura, ya'ni uchburchak bor. Ma'lumki, u boshqacha bo'lishi mumkin. Agar shunday bo'lsa, uning maydoni oyoqlarning yarmi mahsuloti bilan aniqlanganligini esga olish kifoya.

Matematik belgi quyidagicha ko'rinadi: S = ½ av.

Umumiy asosning maydonini bilish uchun formulalar foydalidir: Heron va yon tomonning yarmi unga chizilgan balandlik bo'yicha olinadi.

Birinchi formulani quyidagicha yozish kerak: S = √(r (r-a) (r-v) (r-s)). Bu belgi yarim perimetrni (p) o'z ichiga oladi, ya'ni uch tomonning yig'indisi ikkiga bo'linadi.

Ikkinchidan: S = ½ n a * a.

Agar siz muntazam bo'lgan uchburchak prizma asosining maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, u holda uchburchak teng tomonli bo'lib chiqadi. Buning uchun formula mavjud: S = ¼ a 2 * √3.

To'rtburchak prizma

Uning asosi har qanday ma'lum to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchaklar yoki kvadrat, parallelepiped yoki romb bo'lishi mumkin. Har bir holatda, prizma poydevorining maydonini hisoblash uchun sizga o'zingizning formulangiz kerak bo'ladi.

Agar asos to'rtburchak bo'lsa, u holda uning maydoni quyidagicha aniqlanadi: S = ab, bu erda a, b to'rtburchakning tomonlari.

To'rtburchak prizma haqida gap ketganda, oddiy prizma asosining maydoni kvadrat formulasi yordamida hisoblanadi. Chunki poydevorda aynan o'zi yotadi. S = a 2.

Agar asos parallelepiped bo'lsa, quyidagi tenglik kerak bo'ladi: S = a * n a. Shunday bo'ladiki, parallelepipedning yon tomoni va burchaklaridan biri berilgan. Keyin, balandlikni hisoblash uchun siz qo'shimcha formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi: n a = b * sin A. Bundan tashqari, A burchagi "b" tomoniga ulashgan va n balandligi bu burchakka qarama-qarshidir.

Agar prizma tagida romb mavjud bo'lsa, uning maydonini aniqlash uchun parallelogramm bilan bir xil formula kerak bo'ladi (chunki bu uning alohida holati). Ammo siz buni ham ishlatishingiz mumkin: S = ½ d 1 d 2. Bu erda d 1 va d 2 rombning ikkita diagonali.

Muntazam beshburchak prizma

Bu holat ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lishni o'z ichiga oladi, ularning maydonlarini aniqlash osonroq. Garchi raqamlar turli xil sonli uchlarga ega bo'lishi mumkin bo'lsa-da.

Prizma asosi muntazam beshburchak boʻlgani uchun uni beshta teng yonli uchburchakka boʻlish mumkin. Keyin prizma poydevorining maydoni bitta uchburchakning maydoniga teng (formulani yuqorida ko'rish mumkin), beshga ko'paytiriladi.

Muntazam olti burchakli prizma

Beshburchak prizma uchun tavsiflangan printsipdan foydalanib, poydevorning olti burchakli qismini 6 ta teng yonli uchburchakka bo'lish mumkin. Bunday prizmaning asos maydonining formulasi avvalgisiga o'xshaydi. Faqat uni oltiga ko'paytirish kerak.

Formula quyidagicha ko'rinadi: S = 3/2 a 2 * √3.

Vazifalar

№ 1. Muntazam to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa, uning diagonali 22 sm, ko'pburchakning balandligi 14 sm prizma poydevori va butun sirtini hisoblang.

Yechim. Prizmaning asosi kvadratdir, lekin uning tomoni noma'lum. Uning qiymatini prizma diagonali (d) va balandligi (h) bilan bog'liq bo'lgan kvadrat (x) diagonalidan topishingiz mumkin. x 2 = d 2 - n 2. Boshqa tomondan, bu "x" segmenti oyoqlari kvadrat tomoniga teng bo'lgan uchburchakdagi gipotenuzadir. Ya'ni, x 2 = a 2 + a 2. Shunday qilib, a 2 = (d 2 - n 2)/2 ekanligi ma'lum bo'ladi.

d o'rniga 22 raqamini qo'ying va "n" ni uning qiymati bilan almashtiring - 14, kvadratning tomoni 12 sm ekanligi ma'lum bo'ldi, endi faqat taglikning maydonini toping: 12 * 12 = 144 sm 2.

Butun sirtning maydonini bilish uchun siz taglik maydonini ikki baravar qo'shishingiz va yon maydonni to'rt barobar oshirishingiz kerak. Ikkinchisini to'rtburchaklar formulasi yordamida osongina topish mumkin: ko'pburchakning balandligi va poydevorning yon tomonini ko'paytiring. Ya'ni, 14 va 12, bu raqam 168 sm 2 ga teng bo'ladi. Prizmaning umumiy sirt maydoni 960 sm 2 ga aylanadi.

Javob. Prizma asosining maydoni 144 sm 2. Butun sirt 960 sm 2 ni tashkil qiladi.

No 2. Berilgan Bazada tomoni 6 sm bo'lgan uchburchak mavjud bo'lib, bu holda yon yuzning diagonali 10 sm bo'ladi: tayanch va yon sirt.

Yechim. Prizma muntazam bo'lgani uchun uning asosi teng tomonli uchburchakdir. Shuning uchun uning maydoni 6 kvadratga, ¼ ga ko'paytiriladi va kvadrat ildiz 3 ga aylanadi. Oddiy hisoblash natijaga olib keladi: 9√3 sm 2. Bu prizmaning bir asosining maydoni.

Barcha yon yuzlar bir xil va tomonlari 6 va 10 sm bo'lgan to'rtburchaklardir, ularning maydonlarini hisoblash uchun bu raqamlarni ko'paytirish kifoya. Keyin ularni uchga ko'paytiring, chunki prizma aynan shuncha yon yuzga ega. Keyin yaraning lateral yuzasi maydoni 180 sm 2 ga aylanadi.

Javob. Maydonlari: asosi - 9√3 sm 2, prizmaning lateral yuzasi - 180 sm 2.