Piramida. Kesilgan piramida
Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy uchli uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .
Yanal qovurg'a piramidaning yon yuzining asosga tegishli bo'lmagan tomoni Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha lateral qirralari bir-biriga teng, barcha lateral yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . Diagonal qism piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi.
Yon sirt maydoni piramida barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Umumiy sirt maydoni barcha yon yuzlar va asosning maydonlari yig'indisi deyiladi.
Teoremalar
1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng darajada qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.
2. Agar piramidaning barcha yon qirralari teng uzunliklarga ega bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.
3. Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiya qilinadi.
Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun to'g'ri formula:
Qayerda V- hajm;
S asosi- tayanch maydoni;
H- piramidaning balandligi.
Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri:
Qayerda p- bazaning perimetri;
h a- apotema;
H- balandligi;
S to'la
S tomoni
S asosi- tayanch maydoni;
V- oddiy piramidaning hajmi.
Kesilgan piramida piramidaning asosi va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi (17-rasm). Oddiy kesilgan piramida muntazam piramidaning asos va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.
Sabablari kesilgan piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoidlar. Balandligi kesilgan piramidaning asoslari orasidagi masofa. Diagonal kesilgan piramida - uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. Diagonal qism - kesilgan piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tadigan tekislik bilan kesmasi.
Kesilgan piramida uchun quyidagi formulalar amal qiladi:
(4)
Qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;
S to'la- umumiy sirt maydoni;
S tomoni- lateral sirt maydoni;
H- balandligi;
V- kesilgan piramidaning hajmi.
Oddiy kesilgan piramida uchun formula to'g'ri:
Qayerda p 1 , p 2 – tayanchlarning perimetrlari;
h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.
1-misol. Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi ikki burchakli burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).
 |
Piramida muntazamdir, ya'ni poydevorda teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak piramidaning yon yuzining asos tekisligiga moyillik burchagidir. Chiziqli burchak burchakdir a ikki perpendikulyar orasida: va hokazo. Piramidaning tepasi uchburchakning markazida (aylana va uchburchakning chizilgan doirasi markazida) proyeksiyalangan. ABC). Yon qirraning egilish burchagi (masalan S.B.) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun S.B. bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO Va O.B.. Segmentning uzunligi bo'lsin BD 3 ga teng A. Nuqta HAQIDA chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: 
Biz topamiz: 
Javob:
2-misol. Oddiy kesilgan to'rtburchak piramidaning hajmini toping, agar uning asoslari diagonallari sm va sm ga teng, balandligi esa 4 sm.
Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Poydevorlarning maydonini topish uchun siz ularning diagonallarini bilib, asosiy kvadratlarning tomonlarini topishingiz kerak. Poydevorlarning tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm ga teng, bu asoslarning maydonlarini anglatadi va barcha ma'lumotlarni formulaga almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:
Javob: 112 sm 3.
3-misol. Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesilgan piramidaning yon yuzining maydonini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).
Bu piramidaning yon tomoni teng yonli trapesiyadir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shartga ko'ra berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Biz uni qayerdan topamiz A 1 E nuqtadan perpendikulyar A 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar A 1 boshiga AC. A 1 E= 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topmoq DE Yuqori ko'rinishni ko'rsatadigan qo'shimcha chizma tuzamiz (20-rasm). Nuqta HAQIDA– yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan KELISHDIKMI– aylanaga chizilgan radius va 
OM- radius aylana ichiga chizilgan:
MK = DE.
dan Pifagor teoremasiga ko'ra
Yon yuz maydoni: 
Javob:
4-misol. Piramidaning negizida teng yonli trapetsiya yotadi, uning asoslari A Va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapezoidning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.
Piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta HAQIDA- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asos tekisligiga. Tekis figuraning ortogonal proyeksiyasi maydoni haqidagi teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Xuddi shunday degani 
Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Keling, trapesiya chizamiz A B C D alohida (22-rasm). Nuqta HAQIDA– trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazi.
Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasidan bizda mavjud
- 29.05.2016
Tebranish zanjiri - induktor, kondansatör va elektr energiyasi manbasini o'z ichiga olgan elektr zanjiri. Sxema elementlari ketma-ket ulanganda tebranish zanjiri ketma-ket, parallel ulanganda esa parallel deyiladi. Tebranish sxemasi erkin elektromagnit tebranishlar sodir bo'lishi mumkin bo'lgan eng oddiy tizimdir. Zanjirning rezonans chastotasi Tomson formulasi bilan aniqlanadi: ƒ = 1/(2p√(LC)) ... uchun.
- 20.09.2014
Qabul qilgich DV diapazonidagi (150 kHz…300 kHz) signallarni qabul qilish uchun mo'ljallangan. Qabul qilgichning asosiy xususiyati antenna bo'lib, u an'anaviy magnit antennaga qaraganda yuqori indüktansga ega. Bu sozlash kondensatorining sig'imini 4...20 pF oralig'ida ishlatish imkonini beradi, shuningdek, bunday qabul qiluvchining qabul qilinadigan sezgirligi va RF yo'lida bir oz o'sishi bor. Qabul qilgich naushniklar (naushniklar) uchun ishlaydi, quvvatlanadi...
- 24.09.2014
Ushbu qurilma tanklardagi suyuqlik darajasini kuzatish uchun mo'ljallangan, suyuqlik belgilangan darajaga ko'tarilishi bilanoq, suyuqlik darajasi kritik darajaga yetganda, qurilma uzluksiz ovozli signalni chiqarishni boshlaydi; intervalgacha signal. Ko'rsatkich 2 ta generatordan iborat bo'lib, ular E sensor elementi tomonidan boshqariladi. U tankga ... gacha bo'lgan darajada joylashtiriladi.
- 22.09.2014
KR1016VI1 raqamli ko'p dasturli taymer ILC3-5\7 indikatori bilan ishlashga mo'ljallangan. U joriy vaqtni soat va daqiqalarda, haftaning kuni va nazorat kanali raqamini (9 signal) hisoblash va ko'rsatishni ta'minlaydi. Budilnik sxemasi rasmda ko'rsatilgan. Mikrosxema soatli. 32768 Gts chastotada Q1 rezonatori. oziq-ovqat manfiy, umumiy ortiqcha ...
Ushbu darsda biz kesilgan piramidani ko'rib chiqamiz, oddiy kesilgan piramida bilan tanishamiz va ularning xususiyatlarini o'rganamiz.
Uchburchakli piramida misolida n-burchakli piramida tushunchasini eslaylik. ABC uchburchagi berilgan. Uchburchak tekisligidan tashqarida uchburchakning uchlari bilan bog'langan P nuqta olinadi. Hosil boʻlgan koʻp yuzli sirt piramida deb ataladi (1-rasm).
Guruch. 1. Uchburchakli piramida
Piramida asosining tekisligiga parallel bo'lgan tekislik bilan piramidani kesamiz. Bu tekisliklar orasida olingan figuraga kesilgan piramida deyiladi (2-rasm).
Guruch. 2. Kesilgan piramida
Muhim elementlar:
Yuqori tayanch;
ABC pastki bazasi;
Yon yuz;
Agar PH asl piramidaning balandligi bo'lsa, u holda u kesilgan piramidaning balandligidir.
Kesilgan piramidaning xususiyatlari uni qurish usulidan, ya'ni asoslar tekisliklarining parallelligidan kelib chiqadi:
Kesilgan piramidaning barcha lateral yuzlari trapezoidlardir. Masalan, chetini ko'rib chiqing. U parallel tekisliklar xususiyatiga ega (tekisliklar parallel bo'lgani uchun ular dastlabki AVR piramidasining yon yuzini parallel to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesib tashlaydi), lekin ayni paytda ular parallel emas. Shubhasiz, to'rtburchak trapezoiddir, xuddi kesilgan piramidaning barcha lateral yuzlari kabi.
Bazalarning nisbati barcha trapezoidlar uchun bir xil:
Bizda bir xil o'xshashlik koeffitsientiga ega bo'lgan bir nechta juft o'xshash uchburchaklar mavjud. Masalan, uchburchaklar va RAB tekisliklarning parallelligi va o'xshashlik koeffitsienti tufayli o'xshashdir:
Shu bilan birga, uchburchaklar va RVS o'xshashlik koeffitsienti bilan o'xshash:
Shubhasiz, o'xshash uchburchaklarning barcha uch juftligi uchun o'xshashlik koeffitsientlari tengdir, shuning uchun asoslarning nisbati barcha trapezoidlar uchun bir xil.
Muntazam kesilgan piramida - oddiy piramidani asosiga parallel tekislik bilan kesish natijasida olingan kesilgan piramida (3-rasm).
Guruch. 3. Muntazam kesilgan piramida
Ta'rif.
Piramida regulyar deyiladi, agar uning asosi muntazam n-burchak bo'lsa va uning cho'qqisi shu n-burchakning markaziga (chizilgan va chegaralangan doira markazi) proyeksiyalangan bo'lsa.
Bunday holda, piramidaning tagida kvadrat mavjud va tepasi uning diagonallarining kesishish nuqtasida proyeksiyalanadi. Olingan muntazam to'rtburchakli kesilgan piramida ABCD pastki asosga va yuqori asosga ega. Dastlabki piramidaning balandligi RO, kesilgan piramidasi (4-rasm).
Guruch. 4. Muntazam to'rtburchaklar kesilgan piramida
Ta'rif.
Kesilgan piramidaning balandligi bir asosning istalgan nuqtasidan ikkinchi asos tekisligiga chizilgan perpendikulyardir.
Dastlabki piramidaning apotemisi RM (M - AB ning o'rtasi), kesilgan piramidaning apotemisi (4-rasm).
Ta'rif.
Kesilgan piramidaning apothemi har qanday yon yuzning balandligidir.
Ko'rinib turibdiki, kesilgan piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng, ya'ni yon yuzlari teng yon tomonli trapesiyadir.
Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotema perimetrlari yig'indisining yarmiga teng.
Isbot (muntazam to'rtburchakli kesilgan piramida uchun - 4-rasm):
Shunday qilib, biz isbotlashimiz kerak:
Bu erda yon yuzaning maydoni yon yuzlar - trapezoidlar maydonlarining yig'indisidan iborat bo'ladi. Trapezoidlar bir xil bo'lgani uchun bizda quyidagilar mavjud:
Teng yonli trapesiyaning maydoni asoslar yig'indisining yarmiga ko'paytiriladi va apotem - trapesiya balandligi; Bizda ... bor:
Q.E.D.
n burchakli piramida uchun:
Bu erda n - piramidaning yon yuzlari soni, a va b - trapetsiyaning asoslari va apotema.
Muntazam kesilgan to'rtburchak piramida asosining yon tomonlari 
3 sm va 9 sm ga teng, balandligi - 4 sm lateral yuzaning maydonini toping.
Guruch. 5. 1-muammo uchun rasm
Yechim. Keling, shartni ko'rsatamiz:
Savol beruvchi: , ,
O nuqta orqali pastki asosning ikki tomoniga parallel MN to'g'ri chiziq o'tkazamiz va xuddi shunday nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz (6-rasm). Kesilgan piramidaning asoslaridagi kvadratlar va konstruktsiyalar parallel bo'lganligi sababli, biz yon yuzlarga teng trapetsiya olamiz. Bundan tashqari, uning tomoni yon yuzlarning yuqori va pastki qirralarining o'rtasidan o'tadi va kesilgan piramidaning apothemi bo'ladi.
Guruch. 6. Qo'shimcha konstruktsiyalar
Olingan trapesiyani ko'rib chiqamiz (6-rasm). Bu trapetsiyada ustki asos, pastki poydevor va balandlik ma'lum. Berilgan kesilgan piramidaning apothemi bo'lgan tomonni topishingiz kerak. MN ga perpendikulyar chizamiz. Nuqtadan biz perpendikulyar NQ ni tushiramiz. Biz kattaroq taglik uch santimetr () bo'laklarga bo'linganligini topamiz. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing, undagi oyoqlari ma'lum, bu Misr uchburchagi, Pifagor teoremasidan foydalanib, biz gipotenuzaning uzunligini aniqlaymiz: 5 sm.
Endi piramidaning lateral yuzasi maydonini aniqlash uchun barcha elementlar mavjud:
Piramida asosga parallel tekislik bilan kesishadi. Uchburchak piramida misolidan foydalanib, piramidaning lateral qirralari va balandligi shu tekislik bilan proporsional qismlarga bo'linishini isbotlang.
Isbot. Keling, misol qilib keltiramiz:
Guruch. 7. 2-muammo uchun rasm
RABC piramidasi berilgan. PO - piramidaning balandligi. Piramida tekislik bilan kesiladi, kesilgan piramida olinadi va. Nuqta - RO balandligining kesilgan piramida asosi tekisligi bilan kesishish nuqtasi. Buni isbotlash kerak:
Yechimning kaliti parallel tekisliklarning xossasidir. Ikki parallel tekislik istalgan uchinchi tekislikni shunday kesib o'tadiki, kesishish chiziqlari parallel bo'ladi. Bu yerdan: . Tegishli chiziqlarning parallelligi to'rt juft o'xshash uchburchaklar mavjudligini anglatadi:
Uchburchaklarning o'xshashligidan tegishli tomonlarning mutanosibligi kelib chiqadi. Muhim xususiyat shundaki, bu uchburchaklarning o'xshashlik koeffitsientlari bir xil:
Q.E.D.
Poydevorining balandligi va yon tomoniga ega bo'lgan muntazam uchburchakli RABC piramidasi ABC asosiga parallel PH balandligining o'rtasidan o'tadigan tekislik bilan kesiladi. Olingan kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini toping.
Yechim. Keling, misol qilib keltiramiz:
Guruch. 8. 3-muammo uchun rasm
ACB - muntazam uchburchak, H - bu uchburchakning markazi (chizilgan va chegaralangan doiralarning markazi). RM - berilgan piramidaning apothemidir. - kesilgan piramidaning apothemi. Parallel tekisliklarning xususiyatiga ko'ra (ikkita parallel tekislik har qanday uchinchi tekislikni kesib tashlaydi, shunda kesishish chiziqlari parallel bo'ladi), bizda bir xil o'xshashlik koeffitsientiga ega bo'lgan bir nechta juft o'xshash uchburchaklar mavjud. Xususan, biz munosabatlarga qiziqamiz:
Keling, NM ni topamiz. Bu asosga yozilgan doiraning radiusi, biz mos formulani bilamiz:
Endi PHM to'g'ri burchakli uchburchagidan Pifagor teoremasidan foydalanib, biz RM - asl piramidaning apothemini topamiz:
Dastlabki nisbatdan:
Endi biz kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydonini topish uchun barcha elementlarni bilamiz:
Shunday qilib, biz kesilgan piramida va muntazam kesilgan piramida tushunchalari bilan tanishdik, asosiy ta'riflarni berdik, xossalarini ko'rib chiqdik va lateral sirt maydoni bo'yicha teoremani isbotladik. Keyingi dars muammoni hal qilishga qaratilgan.
Adabiyotlar ro'yxati
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometriya. 10-11-sinflar: umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik (asosiy va ixtisoslashtirilgan darajalar) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal.
- Sharygin I. F. Geometriya. 10-11-sinflar: Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometriya. 10-sinf: Matematika fanini chuqurlashtirilgan va ixtisoslashtirilgan umumta’lim muassasalari uchun darslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 b.: kasal.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Uy vazifasi
piramida asosi va unga parallel boʻlgan kesimdan hosil boʻlgan koʻpburchakdir. Aytishimiz mumkinki, kesilgan piramida tepasi kesilgan piramidadir. Bu raqam juda ko'p o'ziga xos xususiyatlarga ega:
- Piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir;
- Muntazam kesilgan piramidaning lateral qirralari bir xil uzunlikda va bir xil burchak ostida poydevorga moyil;
- Asoslari o'xshash ko'pburchaklar;
- Oddiy kesilgan piramidada yuzlar bir xil yon yonli trapezoidlar bo'lib, ularning maydoni tengdir. Ular, shuningdek, bir burchak ostida poydevorga moyil.
Kesilgan piramidaning lateral sirtining formulasi uning tomonlari maydonlarining yig'indisidir: 
Kesilgan piramidaning tomonlari trapezoidlar bo'lganligi sababli, parametrlarni hisoblash uchun siz formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi. trapezoid maydoni. Oddiy kesilgan piramida uchun siz maydonni hisoblash uchun boshqa formulani qo'llashingiz mumkin. Uning barcha tomonlari, yuzlari va poydevoridagi burchaklari teng bo'lganligi sababli, biz asos va apotemaning perimetrlarini qo'llashimiz mumkin, shuningdek, maydonni asosdagi burchak orqali chiqarishimiz mumkin.
Agar oddiy kesilgan piramidadagi shartlarga ko'ra, apotem (tomon balandligi) va poydevorning yon tomonlari uzunligi berilgan bo'lsa, u holda maydonni perimetrlar yig'indisining yarim mahsuloti orqali hisoblash mumkin. asoslar va apotema:
Keling, kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Muntazam beshburchakli piramida berilgan. Apotema l= 5 sm, katta taglikdagi chekka uzunligi a= 6 sm, qirrasi esa kichikroq poydevorda b= 4 sm Kesilgan piramidaning maydonini hisoblang.
Birinchidan, asoslarning perimetrlarini topamiz. Bizga beshburchakli piramida berilganligi sababli, asoslar beshburchaklar ekanligini tushunamiz. Bu shuni anglatadiki, asoslar beshta bir xil tomonlari bo'lgan raqamni o'z ichiga oladi. Kattaroq asosning perimetrini topamiz:
Xuddi shu tarzda biz kichikroq poydevorning perimetrini topamiz:
Endi biz oddiy kesilgan piramidaning maydonini hisoblashimiz mumkin. Ma'lumotlarni formulaga almashtiring:
Shunday qilib, biz perimetrlar va apotem orqali muntazam kesilgan piramidaning maydonini hisobladik.
Oddiy piramidaning lateral sirt maydonini hisoblashning yana bir usuli - bu formula asosdagi burchaklar va shu asoslar maydoni orqali.
Keling, hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Ushbu formula faqat oddiy kesilgan piramidaga tegishli ekanligini eslaymiz.
Muntazam to'rtburchak piramida berilsin. Pastki poydevorning cheti a = 6 sm, yuqori poydevorning cheti esa b = 4 sm. Oddiy kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini toping.
Birinchidan, asoslar maydonini hisoblaylik. Piramida muntazam bo'lgani uchun, asoslarning barcha qirralari bir-biriga teng. Baza to'rtburchak ekanligini hisobga olsak, hisoblash kerak bo'lishini tushunamiz kvadrat maydoni. Bu kenglik va uzunlik mahsulotidir, lekin kvadratga aylantirilganda bu qiymatlar bir xil bo'ladi. Kattaroq bazaning maydonini topamiz: 
Endi biz lateral sirt maydonini hisoblash uchun topilgan qiymatlardan foydalanamiz. 
Bir nechta oddiy formulalarni bilib, biz har xil qiymatlardan foydalangan holda kesilgan piramidaning lateral trapesiya maydonini osongina hisoblab chiqdik.