Ushbu matematik dastur yordamida siz kvadrat tenglamani yechish.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki hal qilish jarayonini ikki shaklda ko'rsatadi:
- diskriminantdan foydalanish
- Vyeta teoremasidan foydalanish (agar iloji bo'lsa).

Bundan tashqari, javob taxminiy emas, balki aniq ko'rsatiladi.
Masalan, \(81x^2-16x-1=0\) tenglamasi uchun javob quyidagi shaklda ko'rsatiladi:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ va bu kabi emas: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ushbu dastur umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda va ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin.

Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar kvadrat polinomni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomni kiritish qoidalari
Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.

Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va hokazo.
Raqamlar butun yoki kasr sonlar sifatida kiritilishi mumkin.

Bundan tashqari, kasr raqamlari nafaqat o'nli kasr shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham kiritilishi mumkin.
O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlarda kasr qismini butun qismdan nuqta yoki vergul bilan ajratish mumkin.

Masalan, o'nli kasrlarni quyidagicha kiritishingiz mumkin: 2,5x - 3,5x^2
Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.

Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas. /
Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: &
Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi:
Kirish: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Natija: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Ifodani kiritishda. Bunda kvadrat tenglamani yechishda birinchi navbatda kiritilgan ifoda soddalashtiriladi.
Masalan: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Qaror qiling

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar siz yechimdagi xatolikni sezdi, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Kvadrat tenglama va uning ildizlari. Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Har bir tenglama
\(-x^2+6x+1,4=0, \to'rt 8x^2-7x=0, \to'rtlik x^2-\frac(4)(9)=0 \)
o'xshaydi
\(ax^2+bx+c=0, \)
bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - sonlar.
Birinchi tenglamada a = -1, b = 6 va c = 1,4, ikkinchisida a = 8, b = -7 va c = 0, uchinchisida a = 1, b = 0 va c = 4/9. Bunday tenglamalar deyiladi kvadrat tenglamalar.

Ta'rif.
Kvadrat tenglama ax 2 +bx+c=0 ko'rinishdagi tenglama deyiladi, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar va \(a \neq 0 \).

a, b va c raqamlari kvadrat tenglamaning koeffitsientlari. a soni birinchi koeffitsient, b soni ikkinchi koeffitsient, c soni esa erkin atama deyiladi.

ax 2 +bx+c=0 ko'rinishdagi tenglamalarning har birida, bu erda \(a \neq 0 \), x o'zgaruvchining eng katta kuchi kvadratdir. Shuning uchun nom: kvadrat tenglama.

E'tibor bering, kvadrat tenglama ikkinchi darajali tenglama deb ham ataladi, chunki uning chap tomoni ikkinchi darajali ko'phaddir.

X 2 koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi berilgan kvadrat tenglama. Masalan, berilgan kvadrat tenglamalar tenglamalardir
\(x^2-11x+30=0, \to'rtlik x^2-6x=0, \to'rtlik x^2-8=0 \)

Agar kvadrat tenglamada ax 2 +bx+c=0 hech bo'lmaganda b yoki c koeffitsientlaridan biri nolga teng bo'lsa, bunday tenglama deyiladi. to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Demak, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 tenglamalar toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalardir. Ularning birinchisida b=0, ikkinchisida c=0, uchinchisida b=0 va c=0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uch turi mavjud:
1) ax 2 +c=0, bu erda \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, bu erda \(b \neq 0 \);
3) bolta 2 =0.

Keling, ushbu turlarning har birining tenglamalarini echishni ko'rib chiqaylik.

\(c \neq 0 \) uchun ax 2 +c=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechish uchun uning bo'sh hadini o'ng tomonga o'tkazing va tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'ling:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \O'ng strelka x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Chunki \(c \neq 0 \), keyin \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Agar \(-\frac(c)(a)>0\), u holda tenglamaning ikkita ildizi bor.

Agar \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani \(b \neq 0 \) ko'paytiruvchi bilan yechish va tenglamani olish
\(x(ax+b)=0 \O'ngga \chap\( \begin(massiv)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(massiv) \o'ng. \O'ngga \chap\( \boshlang) (massiv)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(massiv) \o'ng.

Demak, \(b \neq 0 \) uchun ax 2 +bx=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama har doim ikkita ildizga ega bo'ladi.

ax 2 =0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama x 2 =0 tenglamaga ekvivalent va shuning uchun bitta ildiz 0 ga ega.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Keling, noma'lumlarning koeffitsientlari ham, erkin hadlari ham nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yechamiz va natijada ildizlar formulasini olamiz. Bu formuladan keyin har qanday kvadrat tenglamani yechish uchun foydalanish mumkin.

ax 2 +bx+c=0 kvadrat tenglamani yeching

Ikkala tomonni a ga bo'lib, ekvivalent qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Keling, binomialning kvadratini tanlab, bu tenglamani o'zgartiramiz:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\o'ng)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \O'ng strelka \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \left(\frac(b)(2a)\o'ng)^ 2 - \frac(c)(a) \O'ng strelka \) \(\chap(x+\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \O'ngga \chap(x+\frac(b)(2a)\o'ng)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \O'ngga \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \O'ng strelka x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \O'ng strelka \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikal ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” lotincha – diskriminator). U D harfi bilan belgilanadi, ya'ni.
\(D = b^2-4ac\)

Endi diskriminant yozuvidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qayta yozamiz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), bu erda \(D= b^2-4ac \)

Ko'rinib turibdiki:
1) Agar D>0 bo'lsa, kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi.
2) Agar D=0 boʻlsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega boʻladi \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Agar D Shunday qilib, diskriminantning qiymatiga qarab, kvadrat tenglama ikkita ildizga (D > 0 uchun), bitta ildizga (D = 0 uchun) ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday ildizga ega bo'lmasligi mumkin (D uchun Kvadrat tenglamani bu yordamida yechishda. formula bo'yicha quyidagi yo'lni bajarish tavsiya etiladi:
1) diskriminantni hisoblang va uni nolga solishtiring;
2) diskriminant musbat yoki nolga teng bo'lsa, u holda diskriminant manfiy bo'lsa, ildiz formulasidan foydalaning, unda ildizlar yo'qligini yozing;

Vyeta teoremasi

Berilgan ax 2 -7x+10=0 kvadrat tenglamaning ildizlari 2 va 5. Ildizlarning yig‘indisi 7, ko‘paytmasi 10. Ko‘ramizki, ildizlar yig‘indisi ikkinchi koeffitsientga teskarisi bilan olingan. belgisi, ildizlarning hosilasi esa erkin terminga teng. Ildizlari bo'lgan har qanday qisqartirilgan kvadrat tenglama bu xususiyatga ega.

Yuqoridagi kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.

Bular. Vyeta teoremasi x 2 +px+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari quyidagi xossaga ega ekanligini aytadi:
\(\left\( \begin(massiv)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(massiv) \o'ng. \)

Kirish darajasi

Kvadrat tenglamalar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadrat" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama majburiy ravishda o'zgaruvchining (o'sha x) kvadratini o'z ichiga olishi kerak va uchinchi (yoki katta) darajaga xes bo'lmasligi kerak.

Ko'p tenglamalarni yechish kvadrat tenglamalarni yechishga to'g'ri keladi.

Keling, bu boshqa tenglama emas, balki kvadrat tenglama ekanligini aniqlashni o'rganamiz.

1-misol.

Keling, maxrajdan qutulib, tenglamaning har bir hadini ga ko'paytiramiz

Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va shartlarni X ning darajalarining kamayish tartibida joylashtiramiz

Endi biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu tenglama kvadratikdir!

2-misol.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Bu tenglama, garchi dastlab unda bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol.

Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:

Qo'rqinchlimi? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirsak, biz oddiy kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni ko'ramiz:

4-misol.

U borga o'xshaydi, lekin keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz:

Qarang, u qisqartirildi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik, qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

Misollar:

Javoblar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat emas;
4. kvadrat emas;
5. kvadrat emas;
6. kvadrat;
7. kvadrat emas;
8. kvadrat.

Matematiklar shartli ravishda barcha kvadrat tenglamalarni quyidagi turlarga ajratadilar:

• To‘liq kvadrat tenglamalar- koeffitsientlari va, shuningdek, erkin c termini nolga teng bo'lmagan tenglamalar (misoldagi kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida berilgan- bu koeffitsient bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki qisqartirilgan!)

• Tugallanmagan kvadrat tenglamalar- koeffitsienti va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglamalar:

  Ular to'liq emas, chunki ularda biron bir element etishmayapti. Lekin tenglama har doim x kvadratini o'z ichiga olishi kerak!!! Aks holda, u endi kvadrat tenglama emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.

Nega ular bunday bo'linish bilan kelishdi? X kvadrati borga o'xshaydi va yaxshi. Bu bo'linish yechim usullari bilan aniqlanadi. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishga e'tibor qarataylik - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning turlari mavjud:

1. , bu tenglamada koeffitsient teng.
2. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
3. , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

1. i. Kvadrat ildizni qanday olishni bilganimiz uchun, keling, ushbu tenglamadan ifodalaymiz

Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi, shuning uchun: agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.

Va agar bo'lsa, biz ikkita ildiz olamiz. Bu formulalarni yodlab olishning hojati yo'q. Asosiysi, siz bundan kam bo'lmasligini bilishingiz va doimo yodda tutishingiz kerak.

Keling, ba'zi misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani yeching

Endi chap va o'ng tomondan ildizni olish qoladi. Axir, ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgili ildizlar haqida hech qachon unutmang!!!

6-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

7-misol:

Tenglamani yeching

Oh! Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildiz yo'q!

Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi bilan kelishdi - (bo'sh to'plam). Va javobni quyidagicha yozish mumkin:

Javob:

Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarmadik.
8-misol:

Tenglamani yeching

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Shunday qilib,

Bu tenglamaning ikkita ildizi bor.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (garchi ularning barchasi oddiy bo'lsa-da, to'g'rimi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Biz bu erda misollar bilan cheklanamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish

Sizga eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erdagi tenglamaning tenglamasidir

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish ularga qaraganda biroz qiyinroq (birozgina).

Eslab qoling Har qanday kvadrat tenglamani diskriminant yordamida yechish mumkin! Hatto to'liq emas.

Boshqa usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'zlashtiring.

1. Kvadrat tenglamalarni diskriminant yordamida yechish.

Ushbu usul yordamida kvadrat tenglamalarni echish juda oddiy, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.

Agar tenglamaning ildizi bo'lsa, siz qadamga alohida e'tibor berishingiz kerak. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini bildiradi.

• Agar bo'lsa, unda qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama faqat ildizga ega bo'ladi.
• Agar, biz qadamda diskriminantning ildizini ajratib ololmaymiz. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani yeching

1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu tenglamaning ikkita ildizi borligini anglatadi.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Demak, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Diskriminantni topamiz:

Bu biz diskriminantning ildizini ajratib ololmasligimizni anglatadi. Tenglamaning ildizlari yo'q.

Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob: ildizlari yo'q

2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish.

Esingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglama turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):

Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:

Ildizlar yig'indisi berilgan kvadrat tenglama teng, ildizlarning hosilasi esa teng.

12-misol:

Tenglamani yeching

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki .

Tenglamaning ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:

Va mahsulot teng:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani yeching

Javob:

14-misol:

Tenglamani yeching

Tenglama berilgan, ya'ni:

Javob:

KVADRAT TENGLAMALAR. O'RTA DARAJA

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda - noma'lum, - ba'zi sonlar va.

Raqam eng yuqori yoki deyiladi birinchi koeffitsient kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, A - bepul a'zo.

Nega? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lib qolsa, chunki yo'qoladi.

Bu holda va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu kafedrada tenglama to'liq emas deb ataladi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq bo'ladi.

Har xil turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqaylik - ular oddiyroq.

Quyidagi turdagi tenglamalarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

I., bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.

II. , bu tenglamada koeffitsient teng.

III. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.

Keling, ushbu kichik turlarning har birining echimini ko'rib chiqaylik.

Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:

Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:

agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;

agar bizda ikkita ildiz bo'lsa

Bu formulalarni yodlab olishning hojati yo'q. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlar haqida hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama

ildizlari yo'q.

Muammoning yechimi yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.

Javob:

Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Javob:

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:

Demak, bu kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor: va.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va ildizlarini topamiz:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari:

1. Diskriminant

Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liq emas.

Ildizlar formulasida diskriminantdan ildizni payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilsa bo'ladi? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.

• Agar, tenglamaning ildizlari bo'lsa:
• Agar tenglama bir xil ildizlarga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.

• Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizi yo'qligini ko'rsatadi.

Nima uchun turli xil ildizlar soni mumkin? Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiyaning grafigi parabola:

Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda, . Demak, kvadrat tenglamaning ildizlari abscissa o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtalardir. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola cho'qqisi o'qda yotganida) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.

Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar bo'lsa, pastga yo'naltiriladi.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob: .

Javob:

Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

Javob: .

2. Vyeta teoremasi

Vyeta teoremasidan foydalanish juda oson: ko‘paytmasi tenglamaning erkin muddatiga teng bo‘lgan, yig‘indisi esa qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo‘lgan bir juft sonni tanlash kifoya.

Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki . Boshqa koeffitsientlar: ; .

Tenglama ildizlarining yig'indisi:

Va mahsulot teng:

Ko'paytmasi teng bo'lgan juft sonlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdori teng;
• Va. Miqdor teng.

va tizimning yechimi:

Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.

Javob: ; .

2-misol:

Yechim:

Keling, mahsulotda keladigan raqamlar juftligini tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:

va: ular jami beradi.

va: ular jami beradi. Olish uchun taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirish kifoya: va, albatta, mahsulot.

Javob:

3-misol:

Yechim:

Tenglamaning erkin muddati manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti manfiy sondir. Bu faqat ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsa mumkin. Shuning uchun ildizlarning yig'indisi ga teng ularning modullaridagi farqlar.

Keling, mahsulotda keladigan va farqi teng bo'lgan raqamlar juftlarini tanlaylik:

va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos kelmaydi;

va: - mos. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli moduli kichikroq ildiz manfiy bo'lishi kerak: . Biz tekshiramiz:

Javob:

4-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Erkin atama manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bir ildizi salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lganda mumkin.

Keling, mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda manfiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:

Javob:

5-misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Tenglama berilgan, ya'ni:

Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun, bu ikkala ildizning ham minus belgisi borligini anglatadi.

Mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:

Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.

Javob:

Qabul qiling, bu yomon diskriminantni sanash o'rniga, ildizlarni og'zaki ravishda topish juda qulay. Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.

Ammo ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun Vyeta teoremasi kerak. Undan foydalanishdan foyda olish uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolni hal qiling. Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi:

Mustaqil ish uchun vazifalar yechimlari:

1-topshiriq. ((x)^(2))-8x+12=0

Vyeta teoremasiga ko'ra:

Odatdagidek, tanlovni parcha bilan boshlaymiz:

Miqdori tufayli mos emas;

: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.

Javob: ; .

Vazifa 2.

Va yana bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi teng bo'lishi kerak va mahsulot teng bo'lishi kerak.

Ammo bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).

Javob: ; .

Vazifa 3.

Hmm... Bu qayerda?

Barcha shartlarni bir qismga ko'chirishingiz kerak:

Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.

Yaxshi, to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vyeta teoremasi faqat berilgan tenglamalarda amal qiladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani berishingiz kerak. Agar siz etakchilik qila olmasangiz, bu fikrdan voz keching va boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglamani berish etakchi koeffitsientni tenglashtirishni anglatadi:

Ajoyib. Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsulotga teng bo'ladi.

Bu erda tanlash pirog kabi oson: axir, bu asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).

Javob: ; .

Vazifa 4.

Bepul a'zo salbiy. Buning nimasi alohida? Va haqiqat shundaki, ildizlar turli belgilarga ega bo'ladi. Va endi, tanlov paytida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullaridagi farqni tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.

Demak, ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Vietaning teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.

Javob: ; .

Vazifa 5.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani keltiring:

Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus kattaroq ildizga ega bo'ladi.

Javob: ; .

Xulosa qilib beraman:

1. Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
2. Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmagan bo'lsa yoki erkin terminning mos omillar jufti topilmasa, unda butun ildizlar yo'q va siz uni boshqa usulda (masalan, diskriminant orqali) echishingiz kerak.

3. To'liq kvadratni tanlash usuli

Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indining kvadrati yoki farq - u holda o'zgaruvchilar almashtirilgandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida taqdim etilishi mumkin.

Masalan:

1-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

2-misol:

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Javob:

Umuman olganda, transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu quyidagicha: .

Sizga hech narsani eslatmayaptimi? Bu kamsituvchi narsa! Aynan shu tarzda biz diskriminant formulasini oldik.

KVADRAT TENGLAMALAR. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Kvadrat tenglama- bu ko'rinishdagi tenglama, bu erda - noma'lum, - kvadrat tenglama koeffitsientlari, - erkin muddat.

To‘liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni: .

Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:

• koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: ,
• agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
• agar va bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: .

1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Noma'lumni ifodalaymiz: ,

2) ifoda belgisini tekshiring:

• agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
• bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :

1) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz: ,

2) Komillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega: .

2. Qayerda ko`rinishdagi to`liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

2.1. Diskriminant yordamida yechim

1) Tenglamani standart shaklga keltiramiz: ,

2) Diskriminantni formuladan foydalanib hisoblaymiz: , bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u quyidagi formula bo'yicha topiladi:
• bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.

2.2. Vieta teoremasi yordamida yechim

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (bu erdagi shakl tenglamasi) teng, ildizlarning ko'paytmasi esa teng, ya'ni. , A.

2.3. To'liq kvadratni tanlash usuli bilan yechim

“Tenglamalarni yechish” mavzusini davom ettirsak, ushbu maqoladagi material sizni kvadrat tenglamalar bilan tanishtiradi.

Keling, hamma narsani batafsil ko'rib chiqaylik: kvadrat tenglamaning mohiyati va yozuvi, unga qo'shilgan atamalarni aniqlang, to'liq bo'lmagan va to'liq tenglamalarni echish sxemasini tahlil qiling, ildizlar va diskriminant formulasi bilan tanishing, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'lanishlarni o'rnating, va, albatta, biz amaliy misollarga vizual yechim beramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrat tenglama, uning turlari

Ta'rif 1

Kvadrat tenglama deb yozilgan tenglama hisoblanadi a x 2 + b x + c = 0, Qayerda x– o‘zgaruvchi, a, b va c- ba'zi raqamlar, esa a nol emas.

Ko'pincha kvadrat tenglamalar ikkinchi darajali tenglamalar deb ham ataladi, chunki mohiyatan kvadrat tenglama ikkinchi darajali algebraik tenglamadir.

Berilgan ta'rifni ko'rsatish uchun misol keltiramiz: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 va boshqalar. Bular kvadrat tenglamalar.

Ta'rif 2

a, b va raqamlari c kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c = 0, koeffitsient bo'lganda a birinchi, yoki katta yoki x 2 da koeffitsient, b - ikkinchi koeffitsient yoki koeffitsient deb ataladi. x, A c bepul a'zo deb ataladi.

Masalan, kvadrat tenglamada 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 etakchi koeffitsient 6, ikkinchi koeffitsient − 2 , va erkin muddat ga teng − 11 . Keling, koeffitsientlar qachon ekanligiga e'tibor qaratamiz b va/yoki c salbiy bo'lsa, shaklning qisqa shakli ishlatiladi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, emas 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Keling, bu jihatni ham aniqlaylik: agar koeffitsientlar a va/yoki b teng 1 yoki − 1 , keyin ular kvadrat tenglamani yozishda aniq ishtirok etmasligi mumkin, bu ko'rsatilgan sonli koeffitsientlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada y 2 − y + 7 = 0 etakchi koeffitsient 1, ikkinchi koeffitsient − 1 .

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Birinchi koeffitsientning qiymatidan kelib chiqib, kvadrat tenglamalar kichraytirilgan va kamaytirilmaganga bo'linadi.

Ta'rif 3

Qisqartirilgan kvadrat tenglama- kvadrat tenglama bo'lib, unda etakchi koeffitsient 1 ga teng. Etakchi koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglama kamaytirilmaydi.

Misollar keltiramiz: kvadrat tenglamalar x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, ularning har birida yetakchi koeffitsient 1 ga teng.

9 x 2 − x − 2 = 0- qisqartirilmagan kvadrat tenglama, bu erda birinchi koeffitsient boshqacha 1 .

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamani ikkala tomonni birinchi koeffitsientga (ekvivalent o'zgartirish) bo'lish orqali qisqartirilgan tenglamaga aylantirish mumkin. O'zgartirilgan tenglama berilgan qisqartirilmagan tenglama bilan bir xil ildizlarga ega bo'ladi yoki umuman ildizga ega bo'lmaydi.

Muayyan misolni ko'rib chiqish bizga qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tishni aniq ko'rsatishga imkon beradi.

1-misol

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 tenglamasi berilgan . Dastlabki tenglamani qisqartirilgan shaklga aylantirish kerak.

Yechim

Yuqoridagi sxema bo'yicha biz dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 6 ga bo'lamiz. Keyin biz olamiz: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, va bu xuddi shunday: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 va yana: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Bu yerdan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Shunday qilib, berilgan tenglamaga tenglama olinadi.

Javob: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglamalar

Keling, kvadrat tenglamaning ta'rifiga murojaat qilaylik. Unda biz buni belgilab berdik a ≠ 0. Xuddi shunday shart tenglama uchun ham zarur a x 2 + b x + c = 0 dan beri aniq kvadrat edi a = 0 u mohiyatan chiziqli tenglamaga aylanadi b x + c = 0.

Koeffitsientlar bo'lganda b Va c nolga teng (bu alohida va birgalikda mumkin), kvadrat tenglama to'liq emas deb ataladi.

Ta'rif 4

Tugallanmagan kvadrat tenglama- shunday kvadrat tenglama a x 2 + b x + c = 0, bu erda koeffitsientlardan kamida bittasi b Va c(yoki ikkalasi) nolga teng.

To‘liq kvadrat tenglama– barcha sonli koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglama.

Keling, nima uchun kvadrat tenglamalar turlari aynan shu nomlar bilan berilganligini muhokama qilaylik.

b = 0 bo'lganda, kvadrat tenglama shaklni oladi a x 2 + 0 x + c = 0, bu bilan bir xil a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi a x 2 + b x + 0 = 0, bu ekvivalent a x 2 + b x = 0. At b = 0 Va c = 0 tenglama shaklini oladi a x 2 = 0. Biz olgan tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonida na x o‘zgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Aslida, bu fakt ushbu turdagi tenglamaga nom berdi - to'liq emas.

Masalan, x 2 + 3 x + 4 = 0 va - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 to'liq kvadrat tenglamalar; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Yuqorida keltirilgan ta'rif to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning quyidagi turlarini ajratish imkonini beradi:

• a x 2 = 0, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi b = 0 va c = 0;
• a · x 2 + c = 0 da b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 da c = 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning har bir turining yechimini ketma-ket ko'rib chiqamiz.

a x 2 =0 tenglamaning yechimi

Yuqorida aytib o'tilganidek, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi b Va c, nolga teng. Tenglama a x 2 = 0 ekvivalent tenglamaga aylantirilishi mumkin x 2 = 0, biz dastlabki tenglamaning ikkala tomonini songa bo'lish orqali olamiz a, nolga teng emas. Ko'rinib turibdiki, tenglamaning ildizi x 2 = 0 bu nolga teng, chunki 0 2 = 0 . Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, uni daraja xususiyatlari bilan izohlash mumkin: har qanday raqam uchun p, nolga teng emas, tengsizlik to'g'ri p 2 > 0, undan qachon degani kelib chiqadi p ≠ 0 tenglik p 2 = 0 hech qachon erishilmaydi.

Ta'rif 5

Shunday qilib, a x 2 = 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama uchun bitta ildiz mavjud x = 0.

2-misol

Masalan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz − 3 x 2 = 0. Bu tenglamaga teng x 2 = 0, uning yagona ildizi x = 0, keyin asl tenglama bitta ildizga ega - nolga teng.

Qisqacha aytganda, yechim quyidagicha yoziladi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 tenglamani yechish

Keyingi qatorda toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar yechimi joylashgan, bunda b = 0, c ≠ 0, yaʼni koʻrinishdagi tenglamalar. a x 2 + c = 0. Keling, bu tenglamani hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ko‘chirish, ishorasini qarama-qarshi tomonga o‘zgartirish va tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish orqali o‘zgartiramiz:

• transfer c o'ng tomonga, bu tenglamani beradi a x 2 = - c;
• tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling a, biz x = - c a bilan yakunlaymiz.

Bizning o'zgarishlarimiz shunga mos ravishda ekvivalentdir, natijada olingan tenglama ham asl tenglamaga tengdir va bu fakt tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. Qadriyatlar nimadan a Va c ifodaning qiymati - c a bog'liq: u minus belgisiga ega bo'lishi mumkin (masalan, agar a = 1 Va c = 2, keyin - c a = - 2 1 = - 2) yoki ortiqcha belgisi (masalan, agar a = - 2 Va c = 6, keyin - c a = - 6 - 2 = 3); u nolga teng emas, chunki c ≠ 0. Keling, vaziyatlarda batafsilroq to'xtalib o'tamiz - c a< 0 и - c a > 0 .

Bunday holatda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p p 2 = - c a tengligi to'g'ri bo'lishi mumkin emas.

- c a > 0 bo'lganda hamma narsa boshqacha bo'ladi: kvadrat ildizni eslang va x 2 = - c a tenglamaning ildizi - c a soni bo'lishi aniq bo'ladi, chunki - c a 2 = - c a. - - c a soni ham x 2 = - c a tenglamaning ildizi ekanligini tushunish qiyin emas: haqiqatdan ham, - - c a 2 = - c a.

Tenglama boshqa ildizlarga ega bo'lmaydi. Buni qarama-qarshilik usuli yordamida ko'rsatishimiz mumkin. Boshlash uchun, keling, yuqorida topilgan ildizlar uchun belgilarni belgilaymiz x 1 Va − x 1. Faraz qilaylik, x 2 = - c a tenglamaning ham ildizi bor x 2, bu ildizlardan farq qiladi x 1 Va − x 1. Biz buni tenglamaga almashtirish orqali bilamiz x uning ildizlari, biz tenglamani adolatli sonli tenglikka aylantiramiz.

uchun x 1 Va − x 1 yozamiz: x 1 2 = - c a , va uchun x 2- x 2 2 = - c a . Raqamli tengliklarning xususiyatlariga asoslanib, biz bir to'g'ri tenglik atamasini boshqasidan atama bo'yicha ayiramiz, bu bizga beradi: x 1 2 − x 2 2 = 0. Oxirgi tenglikni qayta yozish uchun raqamlar bilan amallar xossalaridan foydalanamiz (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ma'lumki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar raqamlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi x 1 - x 2 = 0 va/yoki x 1 + x 2 = 0, bu bir xil x 2 = x 1 va/yoki x 2 = − x 1. Aniq qarama-qarshilik paydo bo'ldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan edi x 2 dan farq qiladi x 1 Va − x 1. Demak, tenglamaning x = - c a va x = - - c a dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotladik.

Keling, yuqoridagi barcha dalillarni umumlashtiramiz.

Ta'rif 6

Tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + c = 0 x 2 = - c a tenglamaga ekvivalentdir, bu:

• - c a da ildizlari bo'lmaydi< 0 ;
• ikkita ildizga ega bo'ladi x = - c a va x = - - c a uchun - c a > 0.

Keling, tenglamalarni echishga misollar keltiraylik a x 2 + c = 0.

3-misol

Kvadrat tenglama berilgan 9 x 2 + 7 = 0. Buning yechimini topish kerak.

Yechim

Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, shunda tenglama ko'rinishga ega bo'ladi 9 x 2 = − 7.
Olingan tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 9 , biz x 2 = - 7 9 ga kelamiz. O'ng tomonda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, ya'ni: berilgan tenglamaning ildizlari yo'q. Keyin asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari bo'lmaydi.

Javob: tenglama 9 x 2 + 7 = 0 ildizlari yo'q.

4-misol

Tenglamani yechish kerak − x 2 + 36 = 0.

Yechim

Keling, 36 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: − x 2 = − 36.
Keling, ikkala qismni ham ajratamiz − 1 , olamiz x 2 = 36. O'ng tomonda ijobiy raqam bor, undan xulosa qilishimiz mumkin x = 36 yoki x = - 36.
Keling, ildizni chiqaramiz va yakuniy natijani yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama − x 2 + 36 = 0 ikkita ildizga ega x=6 yoki x = − 6.

Javob: x=6 yoki x = − 6.

a x 2 +b x=0 tenglamaning yechimi

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning uchinchi turini tahlil qilaylik, qachon c = 0. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning yechimini topish a x 2 + b x = 0, faktorizatsiya usulidan foydalanamiz. Qavslar ichidan umumiy ko‘paytuvchini olib, tenglamaning chap tomonidagi ko‘phadni faktorlarga ajratamiz. x. Ushbu qadam dastlabki to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani ekvivalentiga aylantirish imkonini beradi x (a x + b) = 0. Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalar to'plamiga tengdir x = 0 Va a x + b = 0. Tenglama a x + b = 0 chiziqli va uning ildizi: x = - b a.

Ta'rif 7

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 + b x = 0 ikkita ildizga ega bo'ladi x = 0 Va x = - b a.

Keling, materialni misol bilan mustahkamlaymiz.

5-misol

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 tenglamaning yechimini topish kerak.

Yechim

Biz olib chiqamiz x qavslar tashqarisida x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 tenglamani olamiz. Bu tenglama tenglamalarga teng x = 0 va 2 3 x - 2 2 7 = 0. Endi olingan chiziqli tenglamani yechish kerak: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Tenglamaning yechimini quyidagicha qisqacha yozing:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 yoki 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 yoki x = 3 3 7

Javob: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalar yechimlarini topish uchun ildiz formulasi mavjud:

Ta'rif 8

x = - b ± D 2 · a, bu erda D = b 2 - 4 a c– kvadrat tenglamaning diskriminanti.

X = - b ± D 2 · a ni yozish mohiyatan x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a ekanligini bildiradi.

Ushbu formula qanday olinganligini va uni qanday qo'llashni tushunish foydali bo'ladi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Keling, kvadrat tenglamani yechish vazifasiga duch kelamiz a x 2 + b x + c = 0. Keling, bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• tenglamaning ikkala tomonini songa bo'ling a, noldan farq qilib, quyidagi kvadrat tenglamani olamiz: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Olingan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni tanlaymiz:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Shundan so'ng, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Endi ishorani teskarisiga o'zgartirib, oxirgi ikki atamani o'ng tomonga o'tkazish mumkin, shundan so'ng biz quyidagilarni olamiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Nihoyat, oxirgi tenglikning o'ng tomonida yozilgan ifodani o'zgartiramiz:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Shunday qilib, biz dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lgan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamasiga erishamiz. a x 2 + b x + c = 0.

Bunday tenglamalarning yechimini oldingi paragraflarda ko‘rib chiqdik (to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalarni yechish). Olingan tajriba x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 bilan< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 bo'lganda, tenglama x + b 2 · a 2 = 0, keyin x + b 2 · a = 0 bo'ladi.

Bu yerdan yagona ildiz x = - b 2 · a aniq;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yoki x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , bu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yoki x = - b 2 · a - b 2 - 4 bilan bir xil · a · c 4 · a 2, ya'ni. tenglama ikkita ildizga ega.

X + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (demak, asl tenglama) ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi b ifodaning belgisiga bog'liq degan xulosaga kelish mumkin. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o'ng tomonda yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchining belgisi bilan beriladi, (maxraj 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ifoda belgisi b 2 − 4 a c. Bu ifoda b 2 − 4 a c nomi berilgan - kvadrat tenglamaning diskriminanti va uning belgisi sifatida D harfi aniqlanadi. Bu erda siz diskriminantning mohiyatini yozishingiz mumkin - uning qiymati va belgisiga asoslanib, ular kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladimi yoki yo'qmi degan xulosaga kelishlari mumkin, agar shunday bo'lsa, ildizlar soni qancha - bir yoki ikkita.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 tenglamasiga qaytaylik. Uni diskriminant belgilaridan foydalanib qayta yozamiz: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Keling, xulosalarimizni yana bir bor shakllantiramiz:

Ta'rif 9

• da D< 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
• da D=0 tenglama bitta ildizga ega x = - b 2 · a ;
• da D > 0 tenglama ikkita ildizga ega: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 yoki x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikallarning xossalariga asoslanib, bu ildizlarni quyidagicha yozish mumkin: x = - b 2 · a + D 2 · a yoki - b 2 · a - D 2 · a. Va, biz modullarni ochib, kasrlarni umumiy maxrajga keltirsak, biz quyidagilarga erishamiz: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Shunday qilib, bizning fikrimiz natijasi kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani chiqarish edi:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formula bo'yicha hisoblanadi D = b 2 - 4 a c.

Ushbu formulalar diskriminant noldan katta bo'lganda ikkala haqiqiy ildizni aniqlash imkonini beradi. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formulani qo'llash kvadrat tenglamaning yagona yechimi bilan bir xil ildizni beradi. Diskriminant manfiy bo'lgan holatda, kvadrat ildiz formulasidan foydalanishga harakat qilsak, bizni haqiqiy sonlar doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sonning kvadrat ildizini olish zarurati bilan duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, lekin biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan aniqlangan bir juft murakkab konjugat ildizlar mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Kvadrat tenglamani darhol ildiz formulasidan foydalanib yechish mumkin, lekin bu odatda murakkab ildizlarni topish zarur bo'lganda amalga oshiriladi.

Ko'pgina hollarda, bu odatda kvadrat tenglamaning murakkab emas, balki haqiqiy ildizlarini qidirishni anglatadi. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishdan oldin, avval diskriminantni aniqlash va uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish optimal bo'ladi (aks holda biz tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelamiz), keyin esa hisoblashni davom ettiramiz. ildizlarning qiymati.

Yuqoridagi mulohazalar kvadrat tenglamani yechish algoritmini shakllantirish imkonini beradi.

Ta'rif 10

Kvadrat tenglamani yechish uchun a x 2 + b x + c = 0, zarur:

• formula bo'yicha D = b 2 - 4 a c diskriminant qiymatini toping;
• da D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 uchun x = - b 2 · a formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini toping;
• D > 0 uchun x = - b ± D 2 · a formuladan foydalanib kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini aniqlang.

E'tibor bering, diskriminant nolga teng bo'lganda, siz x = - b ± D 2 · a formulasidan foydalanishingiz mumkin, u x = - b 2 · a formulasi bilan bir xil natijani beradi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Keling, diskriminantning turli qiymatlari uchun misollar keltiraylik.

6-misol

Biz tenglamaning ildizlarini topishimiz kerak x 2 + 2 x − 6 = 0.

Yechim

Kvadrat tenglamaning sonli koeffitsientlarini yozamiz: a = 1, b = 2 va c = - 6. Keyinchalik biz algoritmga muvofiq davom etamiz, ya'ni. Diskriminantni hisoblashni boshlaylik, buning uchun a, b koeffitsientlarini almashtiramiz. Va c diskriminant formulasiga: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

Shunday qilib, biz D > 0 ni olamiz, ya'ni dastlabki tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.
Ularni topish uchun x = - b ± D 2 · a ildiz formulasidan foydalanamiz va tegishli qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: x = - 2 ± 28 2 · 1. Keling, koeffitsientni ildiz belgisidan olib, kasrni kamaytirib, hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 yoki x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 yoki x = - 1 - 7

Javob: x = - 1 + 7​​, x = - 1 - 7.

7-misol

Kvadrat tenglamani yechish kerak − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Yechim

Diskriminantni aniqlaymiz: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantning bu qiymati bilan dastlabki tenglama x = - b 2 · a formulasi bilan aniqlangan faqat bitta ildizga ega bo'ladi.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Javob: x = 3,5.

8-misol

Tenglamani yechish kerak 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Yechim

Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari: a = 5, b = 6 va c = 2 bo'ladi. Diskriminantni topish uchun biz ushbu qiymatlardan foydalanamiz: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Hisoblangan diskriminant manfiy, shuning uchun dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar vazifa murakkab ildizlarni ko'rsatish bo'lsa, biz murakkab raqamlar bilan amallarni bajarib, ildiz formulasini qo'llaymiz:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 yoki x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i yoki x = - 3 5 - 1 5 · i.

Javob: haqiqiy ildizlar yo'q; murakkab ildizlar quyidagicha: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Maktab o'quv dasturida murakkab ildizlarni izlash bo'yicha standart talab yo'q, shuning uchun agar yechim davomida diskriminant manfiy deb aniqlansa, darhol haqiqiy ildizlar yo'qligi haqida javob yoziladi.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Ildiz formulasi x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a c) ixchamroq bo'lgan boshqa formulani olish imkonini beradi, bu esa x uchun teng koeffitsientli (yoki koeffitsientli) kvadrat tenglamalarning echimlarini topishga imkon beradi. shaklning 2 n, masalan, 2 3 yoki 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Keling, ushbu formula qanday olinganligini ko'rsatamiz.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 kvadrat tenglamaning yechimini topish vazifasi bilan duch kelamiz. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) diskriminantni aniqlaymiz va keyin ildiz formulasidan foydalanamiz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

n 2 − a · c ifodasi D 1 deb belgilansin (ba’zan u D “ deb ham ko‘rsatiladi). Shunda ikkinchi koeffitsienti 2 · n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

x = - n ± D 1 a, bu erda D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1 yoki D 1 = D 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtdan bir qismidir. Shubhasiz, D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil, ya'ni D 1 belgisi kvadrat tenglamaning ildizlari mavjudligi yoki yo'qligining ko'rsatkichi sifatida ham xizmat qilishi mumkin.

Ta'rif 11

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamaning yechimini topish uchun quyidagilar zarur:

• D 1 = n 2 - a · c ni toping;
• D 1 da< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 bo'lganda, x = - n a formuladan foydalanib, tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
• D 1 > 0 uchun x = - n ± D 1 a formulasi yordamida ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.

9-misol

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 kvadrat tenglamani yechish kerak.

Yechim

Berilgan tenglamaning ikkinchi koeffitsientini 2 · (− 3) shaklida ifodalashimiz mumkin. Keyin berilgan kvadrat tenglamani 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 shaklida qayta yozamiz, bu erda a = 5, n = - 3 va c = - 32.

Diskriminantning to‘rtinchi qismini hisoblaymiz: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Olingan qiymat musbat, ya'ni tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasi yordamida aniqlaymiz:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 yoki x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 yoki x = - 2

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalangan holda hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin edi, ammo bu holda yechim qiyinroq bo'ladi.

Javob: x = 3 1 5 yoki x = - 2.

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan asl tenglamaning shaklini optimallashtirish mumkin, bu esa ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradi.

Masalan, 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 kvadrat tenglamani yechish 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 dan ko‘ra qulayroq ekanligi aniq.

Ko'pincha kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali amalga oshiriladi. Misol uchun, yuqorida biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish natijasida olingan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 tenglamasining soddalashtirilgan tasvirini ko'rsatdik.

Bunday o'zgartirish kvadrat tenglamaning koeffitsientlari o'zaro tub sonlar bo'lmaganda mumkin. Keyin biz odatda tenglamaning ikkala tomonini uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining eng katta umumiy bo'luvchisiga ajratamiz.

Misol tariqasida biz 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 kvadrat tenglamadan foydalanamiz. Keling, uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining GCD ni aniqlaymiz: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo'lib, 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tenglamani olamiz.

Kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish orqali siz odatda kasr koeffitsientlaridan qutulasiz. Bunday holda, ular uning koeffitsientlarining maxrajlarining eng kichik umumiy karrali bilan ko'paytiriladi. Masalan, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 kvadrat tenglamaning har bir qismi LCM (6, 3, 1) = 6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq x 2 + 4 x ko'rinishida yoziladi. − 18 = 0.

Va nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsientidagi minusdan tenglamaning har bir a'zosining belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lamiz, bunga ikkala tomonni - 1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali erishiladi. Masalan, − 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 kvadrat tenglamadan siz uning soddalashtirilgan 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 versiyasiga o'tishingiz mumkin.

Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi bog'liqlik

Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan kvadrat tenglamalarning ildizlari formulasi x = - b ± D 2 · a tenglamaning ildizlarini uning sonli koeffitsientlari orqali ifodalaydi. Ushbu formulaga asoslanib, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi boshqa bog'liqliklarni ko'rsatish imkoniyatiga egamiz.

Eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar Vyeta teoremasi:

x 1 + x 2 = - b a va x 2 = c a.

Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi qarama-qarshi ishorali ikkinchi koeffitsient bo‘lib, ildizlarning ko‘paytmasi erkin hadga teng bo‘ladi. Masalan, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning ko‘rinishiga qarab, uning ildizlari yig‘indisi 7 3 ga, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22 3 ga teng ekanligini darhol aniqlash mumkin.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa bir qancha bog'lanishlarni ham topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini koeffitsientlar bilan ifodalash mumkin:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bibliografik tavsif: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari // Yosh olim. 2016 yil. 6.1-son. B. 17-20..02.2019).



Bizning loyihamiz kvadrat tenglamalarni yechish usullari haqida. Loyihaning maqsadi: kvadrat tenglamalarni maktab o'quv dasturiga kiritilmagan usullar bilan echishni o'rganish. Vazifa: kvadrat tenglamalarni echishning barcha mumkin bo'lgan usullarini toping va ulardan qanday foydalanishni o'zingiz o'rganing va bu usullarni sinfdoshlaringizga tanishtiring.

“Kvadrat tenglamalar” nima?

Kvadrat tenglama- shakl tenglamasi bolta2 + bx + c = 0, Qayerda a, b, c- ba'zi raqamlar ( a ≠ 0), x- noma'lum.

a, b, c sonlari kvadrat tenglamaning koeffitsientlari deyiladi.

• a birinchi koeffitsient deb ataladi;
• b ikkinchi koeffitsient deb ataladi;
• c - bepul a'zo.

Kvadrat tenglamalarni birinchi bo‘lib kim “ixtiro qilgan”?

Chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechishning ba'zi algebraik usullari 4000 yil oldin Qadimgi Bobilda ma'lum bo'lgan. Miloddan avvalgi 1800-1600 yillarga oid qadimgi Bobil gil lavhalarining topilishi kvadrat tenglamalarni o'rganishning dastlabki dalillarini beradi. Xuddi shu planshetlarda kvadrat tenglamalarning ma'lum turlarini echish usullari mavjud.

Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni echish zarurati, hatto qadimgi davrlarda ham, er uchastkalari maydonlarini topish va harbiy xarakterdagi qazish ishlari bilan bog'liq muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq edi. astronomiya va matematikaning rivojlanishi kabi.

Bobil matnlarida bayon etilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday erishganligi noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari faqat retseptlar ko'rinishidagi yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmagan. Bobilda algebra fanining yuqori darajada rivojlanganligiga qaramay, mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari mavjud emas.

Miloddan avvalgi IV asrdagi Bobil matematiklari. musbat ildizli tenglamalarni yechishda kvadrat to‘ldiruvchi usulidan foydalangan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida Evklid umumiyroq geometrik yechim usulini ishlab chiqdi. Manfiy ildizli tenglamalar yechimini algebraik formula ko‘rinishida topgan birinchi matematik hind olimi bo‘lgan. Brahmagupta(Hindiston, milodiy 7-asr).

Brahmagupta bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:

ax2 + bx = c, a>0

Ushbu tenglamadagi koeffitsientlar ham manfiy bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga o'xshaydi.

Hindistonda qiyin muammolarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan edi. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, bilimdon kishi jamoat yig‘ilishlarida algebraik masalalarni taklif qilish va yechish orqali o‘z shon-shuhratini ortda qoldiradi”. Muammolar ko'pincha she'riy shaklda taqdim etilgan.

Algebraik risolada Al-Xorazmiy chiziqli va kvadrat tenglamalarning tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:

1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni ax2 = bx.

2) "Kvadratchalar raqamlarga teng", ya'ni ax2 = c.

3) "Ildizlar songa teng", ya'ni ax2 = c.

4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni ax2 + c = bx.

5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni ax2 + bx = c.

6) "Ildiz va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni bx + c == ax2.

Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan Al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirilmas emas, qo‘shiladi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-mukabal usullaridan foydalangan holda belgilab beradi. Uning qarori, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Bu sof ritorik ekanligini hisobga olmaganda, masalan, birinchi turdagi toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamani yechishda Al-Xorazmiy XVII asrgacha boʻlgan barcha matematiklar singari, nol yechimni hisobga olmaganini taʼkidlash lozim. Ehtimol, chunki aniq amaliy jihatdan bu vazifalarda muhim emas. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda Al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida yechish qoidalarini, soʻngra ularning geometrik isbotlarini belgilaydi.

Yevropada Al-Xorazmiy modeli bo‘yicha kvadrat tenglamalarni yechish shakllari birinchi marta 1202 yilda yozilgan “Abakus kitobi”da bayon etilgan. Italiyalik matematik Leonard Fibonachchi. Muallif mustaqil ravishda muammolarni hal qilishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi.

Bu kitob nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo'shdi. Bu kitobdagi ko‘plab masalalar 14-17-asrlarning deyarli barcha Yevropa darsliklarida qo‘llanilgan. Belgilar va b, c koeffitsientlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun x2 + bx = s yagona kanonik ko'rinishga qisqartirilgan kvadrat tenglamalarni echishning umumiy qoidasi 1544 yilda Evropada tuzilgan. M. Shtifel.

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yechish formulasini olish Vietdan mavjud, ammo Viet faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiyalik matematiklar Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilar qatorida. Ijobiylardan tashqari, salbiy ildizlar ham hisobga olinadi. Faqat 17-asrda. sa'y-harakatlari tufayli Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlar tomonidan kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy shaklga ega.

Kvadrat tenglamalarni yechishning bir qancha usullarini ko‘rib chiqamiz.

Maktab o'quv dasturidan kvadrat tenglamalarni echishning standart usullari:

1. Tenglamaning chap tomonini faktoring.
2. To'liq kvadratni tanlash usuli.
3. Kvadrat tenglamalarni formula yordamida yechish.
4. Kvadrat tenglamaning grafik yechimi.
5. Vyeta teoremasi yordamida tenglamalarni yechish.

Keling, Vyeta teoremasi yordamida qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalarni yechish haqida batafsil to'xtalib o'tamiz.

Eslatib o'tamiz, yuqoridagi kvadrat tenglamalarni yechish uchun ko'paytmasi erkin hadga, yig'indisi esa qarama-qarshi ishorali ikkinchi koeffitsientga teng bo'lgan ikkita sonni topish kifoya.

Misol.x 2 -5x+6=0

Ko'paytmasi 6 va yig'indisi 5 bo'lgan sonlarni topishingiz kerak. Bu raqamlar 3 va 2 bo'ladi.

Javob: x 1 =2, x 2 =3.

Ammo birinchi koeffitsienti birga teng bo'lmagan tenglamalar uchun bu usuldan foydalanishingiz mumkin.

Misol.3x 2 +2x-5=0

Birinchi koeffitsientni oling va uni erkin hadga ko'paytiring: x 2 +2x-15=0

Ushbu tenglamaning ildizlari hosilasi - 15 ga, yig'indisi esa - 2 ga teng bo'lgan raqamlar bo'ladi. Bu raqamlar 5 va 3 ga teng. Asl tenglamaning ildizlarini topish uchun hosil bo'lgan ildizlarni birinchi koeffitsientga bo'ling.

Javob: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. “Otish” usuli yordamida tenglamalarni yechish.

Ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik, bu erda a≠0.

Ikkala tomonni a ga ko'paytirib, a 2 x 2 + abx + ac = 0 tenglamasini olamiz.

ax = y bo'lsin, bundan x = y/a; keyin berilganga ekvivalent y 2 + by + ac = 0 tenglamaga kelamiz. Biz Viet teoremasidan foydalanib, 1 va 2 uchun ildizlarini topamiz.

Biz nihoyat x 1 = y 1 / a va x 2 = y 2 / a ni olamiz.

Bu usul yordamida a koeffitsienti erkin atamaga ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlangan" kabi, shuning uchun u "otish" usuli deb ataladi. Bu usul tenglamaning ildizlarini Vyeta teoremasi yordamida osongina topish mumkin bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.

Misol.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Keling, 2 koeffitsientini bo'sh muddatga "tashlaymiz" va almashtirishni amalga oshiramiz, biz y 2 - 11y + 30 = 0 tenglamasini olamiz.

Vietaning teskari teoremasiga ko'ra

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3;

Javob: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrat tenglama koeffitsientlarining xossalari.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 berilsin.

1. Agar a+ b + c = 0 (ya'ni tenglama koeffitsientlari yig'indisi nolga teng bo'lsa), u holda x 1 = 1.

2. Agar a - b + c = 0 yoki b = a + c bo'lsa, x 1 = - 1 bo'ladi.

Misol.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) bo'lgani uchun x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Javob: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Misol.132x 2 + 247x + 115 = 0

Chunki a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), keyin x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Javob: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrat tenglama koeffitsientlarining boshqa xossalari ham mavjud. lekin ulardan foydalanish ancha murakkab.

8. Kvadrat tenglamalarni nomogramma yordamida yechish.

1-rasm. Nomogramma

Bu to'plamning 83-betida joylashgan eski va hozirda unutilgan kvadrat tenglamalarni echish usuli: Bradis V.M. To'rt xonali matematik jadvallar. - M., Ta'lim, 1990 y.

XXII jadval. Tenglamani yechish uchun nomogramma z 2 + pz + q = 0. Bu nomogramma kvadrat tenglamani yechmasdan, uning koeffitsientlaridan tenglamaning ildizlarini aniqlash imkonini beradi.

Nomogrammaning egri chiziqli shkalasi formulalar bo'yicha qurilgan (1-rasm):

Ishonish OS = p, ED = q, OE = a(barchasi sm), 1-rasmdan uchburchaklarning o'xshashligi SAN Va CDF nisbatini olamiz

almashtirishlar va soddalashtirishlardan keyin tenglamani beradi z 2 + pz + q = 0, va xat z egri masshtabdagi istalgan nuqtaning belgisini bildiradi.

Guruch. 2 Kvadrat tenglamalarni nomogramma yordamida yechish

Misollar.

1) tenglama uchun z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma z 1 = 8,0 va z 2 = 1,0 ildizlarni beradi

Javob: 8.0; 1.0.

2) Nomogramma yordamida tenglamani yechamiz

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Ushbu tenglamaning koeffitsientlarini 2 ga ajratsak, z 2 - 4,5z + 1 = 0 tenglamani olamiz.

Nomogramma z 1 = 4 va z 2 = 0,5 ildizlarni beradi.

Javob: 4; 0,5.

9. Kvadrat tenglamalarni yechishning geometrik usuli.

Misol.X 2 + 10x = 39.

Asl nusxada bu masala quyidagicha tuzilgan: "Kvadrat va o'nta ildiz 39 ga teng."

X tomoni bo'lgan kvadratni ko'rib chiqaylik, uning yon tomonlarida to'rtburchaklar qurilgan, shunda ularning har birining boshqa tomoni 2,5 ga teng, shuning uchun har birining maydoni 2,5x. Keyin olingan raqam yangi ABCD kvadratiga to'ldiriladi, burchaklarida to'rtta teng kvadrat quriladi, ularning har birining tomoni 2,5 va maydoni 6,25 ga teng.

Guruch. 3 x 2 + 10x = 39 tenglamani echishning grafik usuli

ABCD kvadratining S maydonini quyidagi maydonlarning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin: asl kvadrat x 2, to'rtta to'rtburchak (4∙2,5x = 10x) va to'rtta qo'shimcha kvadrat (6,25∙4 = 25), ya'ni. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x ni 39 raqami bilan almashtirsak, biz S = 39+ 25 = 64 ni olamiz, ya'ni kvadratning tomoni ABCD, ya'ni. segment AB = 8. Asl kvadratning kerakli tomoni x uchun biz olamiz

10. Bezout teoremasi yordamida tenglamalarni yechish.

Bezout teoremasi. P(x) ko‘phadni x - a binomiga bo‘lishning qolgan qismi P(a) ga teng (ya’ni P(x) ning x = a dagi qiymati).

Agar a soni P(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, bu ko’phad x -a ga qoldiqsiz bo’linadi.

Misol.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, a: ±1,±3, a =1, 1-4+3=0. P(x) ni (x-1) ga bo'ling: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, yoki x-3=0, x=3; Javob: x1 =2, x2 =3.

Xulosa: Kvadrat tenglamalarni tez va oqilona yechish qobiliyati kasrli ratsional tenglamalar, yuqori quvvatli tenglamalar, bikvadrat tenglamalar va o‘rta maktabda trigonometrik, ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar kabi murakkabroq tenglamalarni yechish uchun zarurdir. Kvadrat tenglamalarni echishning barcha topilgan usullarini o'rganib chiqib, biz sinfdoshlarimizga standart usullardan tashqari, uzatish usuli (6) va tenglamalarni koeffitsientlar (7) xususiyatidan foydalangan holda echishni maslahat berishimiz mumkin, chunki ular qulayroqdir. tushunishga.

Adabiyot:

1. Bradis V.M. To'rt xonali matematik jadvallar. - M., Ta'lim, 1990 y.
2. Algebra 8-sinf: 8-sinf uchun darslik. umumiy ta'lim muassasalar Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovskiy 15-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. - M.: Ta'lim, 2015 yil
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi. O'qituvchilar uchun qo'llanma. / Ed. V.N. Yoshroq. - M.: Ta'lim, 1964 yil.

Kopyevskaya qishloq o'rta maktabi

Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 ta usuli

Rahbar: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematika o'qituvchisi

Kopevo qishlog'i, 2007 yil

1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi

1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar

1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan

1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar

1.4 Al-Xorazmiyning kvadrat tenglamalari

1.5 Evropada XIII - XVII asrlarda kvadrat tenglamalar

1.6 Vyeta teoremasi haqida

2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Xulosa

Adabiyot

1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi

1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar

Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni echish zarurati, hatto qadimgi davrlarda ham, er uchastkalari maydonlarini topish va harbiy xarakterdagi qazish ishlari bilan bog'liq muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq edi. astronomiya va matematikaning rivojlanishi kabi. Kvadrat tenglamalar miloddan avvalgi 2000-yillarda yechilgan. e. Bobilliklar.

Zamonaviy algebraik yozuvlardan foydalangan holda aytishimiz mumkinki, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar mavjud:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Bobil matnlarida bayon etilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday erishganligi noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari faqat retseptlar ko'rinishidagi yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmagan.

Bobilda algebra fanining yuqori darajada rivojlanganligiga qaramay, mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari mavjud emas.

1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.

Diofantning arifmetikasida algebraning tizimli taqdimoti mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalar tuzish yo'li bilan echilgan tizimli muammolar qatorini o'z ichiga oladi.

Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.

Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.

Muammo 11."Ikkita sonni toping, chunki ularning yig'indisi 20 va mahsuloti 96"

Diofant quyidagi sabablarni keltirib chiqaradi: masala shartlaridan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning ko'paytmasi 96 ga emas, balki 100 ga teng bo'lar edi. Shunday qilib, ulardan biri dan ko'p bo'ladi. ularning summasining yarmi, ya'ni. 10 + x, ikkinchisi kamroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x .

Demak, tenglama:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Bu yerdan x = 2. Kerakli raqamlardan biri ga teng 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.

Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum qilib tanlab yechsak, u holda tenglama yechimiga kelamiz.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ko'rinib turibdiki, kerakli sonlarning yarim farqini noma'lum sifatida tanlab, Diophantus yechimni soddalashtiradi; u masalani to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).

1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamalar bo'yicha masalalar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattiam" astronomik risolasida allaqachon topilgan. Boshqa bir hind olimi Braxmagupta (7-asr) bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:

oh 2 + b x = c, a > 0. (1)

(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno A, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga o'xshaydi.

Qadimgi Hindistonda qiyin masalalarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, bilimdon kishi jamoat yig‘ilishlarida, algebra masalalarini taklif qilish va yechishda boshqasining shon-shuhratini ortda qoldiradi”. Muammolar ko'pincha she'riy shaklda taqdim etilgan.

Bu XII asrning mashhur hind matematigining muammolaridan biridir. Bhaskarlar.

Muammo 13.

"Bir to'da maymunlar va tok bo'ylab o'n ikkita ...

Rasmiylar ovqatlanib, zavqlanishdi. Ular sakrashni, osishni boshladilar ...

Maydonda ular bor, sakkizinchi qism. Qancha maymun bor edi?

Men kliringda zavqlanardim. Ayting-chi, bu paketdami?

Bxaskara yechimi kvadrat tenglamalarning ildizlari ikki qiymatli ekanligini bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).

13-masalaga mos keladigan tenglama:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara niqob ostida yozadi:

x 2 - 64x = -768

va, bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun ikkala tomonga ham qo'shiladi 32 2 , keyin olinadi:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Al - Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar

Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalarning tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:

1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadratchalar raqamlarga teng", ya'ni. ax 2 = c.

3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.

4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadratchalar va ildizlar raqamlarga teng", ya'ni. oh 2 + bx = s.

6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni. bx + c = bolta 2.

Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirilmas emas, qo‘shiladi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda belgilab beradi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Bu sof ritorik ekanligini aytmasa ham, shuni ta'kidlash kerakki, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishda

al-Xorazmiy 17-asrgacha boʻlgan barcha matematiklar kabi nol yechimni hisobga olmaydi, ehtimol aniq amaliy masalalarda buning ahamiyati yoʻq. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy ularni yechish qoidalarini alohida sonli misollar, soʻngra geometrik isbotlar yordamida belgilaydi.

Muammo 14.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping" (x 2 + 21 = 10x tenglamaning ildizini nazarda tutadi).

Muallifning yechimi shunday bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, nima qoladi, 4. 4 dan ildizni oling, siz 2 ni olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz. , siz 3 ni olasiz, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.

Al-Xorazmiy risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifini tizimli ravishda bayon qilib, ularni yechish formulalari berilgan.

1.5 Yevropadagi kvadrat tenglamalar XIII - XVII bb

Kvadrat tenglamalarni Yevropada al-Xorazmiy yoʻnalishi boʻyicha yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202-yilda yozilgan “Abakus kitobi”da keltirilgan. Islom mamlakatlarida ham, qadimgi Yunonistonda ham matematikaning ta’sirini aks ettiruvchi bu hajmli asar o‘zining to‘liqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammolarni hal qilishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" ning ko'plab muammolari 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklarida ishlatilgan. va qisman XVIII.

Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni echishning umumiy qoidasi:

x 2 + bx = c,

koeffitsient belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b , Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yechish formulasini olish Vietdan mavjud, ammo Viet faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. Ijobiylardan tashqari, salbiy ildizlar ham hisobga olinadi. Faqat 17-asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.

1.6 Vyeta teoremasi haqida

Kvadrat tenglama koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Vyeta nomi bilan atalgan bo'lib, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirgan: “Agar B + D, ga ko'paytiriladi A - A 2 , teng BD, Bu A teng IN va teng D ».

Vyetani tushunish uchun biz buni eslashimiz kerak A, har qanday unli harf singari, noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar IN, D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida yuqoridagi Vieta formulasi: agar mavjud bo'lsa

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar bilan ifodalab, Viet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyetning ramziyligi hali ham zamonaviy shakldan uzoqdir. U manfiy raqamlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.

2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.