Bu darsda kasr chiziqli funksiyani ko’rib chiqamiz, kasr chiziqli funksiya, modul, parametr yordamida masalalar yechamiz.

Mavzu: Takrorlash

Dars: Kasr chiziqli funksiya

1. Chiziqli kasr funksiya tushunchasi va grafigi

Ta'rifi:

Shaklning funktsiyasi:

Masalan:

Bu chiziqli kasr funksiyaning grafigi giperbola ekanligini isbotlaylik.

Keling, hisoblagichdagi qavslardan ikkitasini chiqaramiz va olamiz:

Bizda ham ayiruvchi, ham maxrajda x mavjud. Endi biz ifodani hisoblagichda paydo bo'lishi uchun aylantiramiz:

Endi kasr hadini had bo'yicha qisqartiramiz:

Shubhasiz, bu funktsiyaning grafigi giperboladir.

Biz isbotlashning ikkinchi usulini taklif qilishimiz mumkin, ya'ni hisoblagichni ustundagi maxrajga bo'lish:

Qabul qilingan:

2. Chiziqli kasr funksiya grafigini chizish

Chiziqli kasr funksiyaning grafigini osonlik bilan qurish, xususan, giperbolaning simmetriya markazini topish muhim ahamiyatga ega. Keling, muammoni hal qilaylik.

1-misol – funksiya grafigini chizing:

Biz allaqachon ushbu funktsiyani o'zgartirdik va oldik:

Ushbu grafikni qurish uchun biz o'qlarni yoki giperbolaning o'zini siljitmaymiz. Biz doimiy ishorali intervallar mavjudligidan foydalanib, funktsiya grafiklarini qurish uchun standart usuldan foydalanamiz.

Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Birinchidan, berilgan funktsiyani ko'rib chiqamiz.

Shunday qilib, bizda doimiy belgining uchta oralig'i bor: eng o'ngda () funktsiya ortiqcha belgisiga ega, keyin barcha ildizlar birinchi darajaga ega bo'lganligi sababli belgilar o'zgaradi. Demak, oraliqda funksiya manfiy, intervalda funksiya musbat.

ODZning ildizlari va sinish nuqtalari yaqinida grafikning eskizini quramiz. Bizda: bir nuqtada funktsiyaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgarganligi sababli, egri chiziq avval o'qdan yuqorida, so'ngra noldan o'tadi va keyin x o'qi ostida joylashgan. Kasrning maxraji amalda nolga teng bo'lsa, demak, argumentning qiymati uchga moyil bo'lsa, kasrning qiymati cheksizlikka intiladi. Bunday holda, argument chap tomonda uchlikka yaqinlashganda, funktsiya manfiy va minus cheksizlikka moyil bo'ladi, o'ngda funktsiya musbat va ortiqcha cheksizlikni qoldiradi.

Endi biz cheksizlikdagi nuqtalar yaqinida, ya'ni argument plyus yoki minus cheksizlikka moyil bo'lganda, funksiya grafigining eskizini quramiz. Bunday holda, doimiy shartlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bizda ... bor:

Shunday qilib, biz gorizontal va vertikal asimptotaga ega bo'lamiz, giperbolaning markazi (3;2) nuqtadir. Keling, misol qilib keltiramiz:

Guruch. 1. Giperbolaning grafigi, masalan, 1

3. Modulli kasr chiziqli funksiya, uning grafigi

Kasrli chiziqli funksiya bilan bog'liq muammolar modul yoki parametr mavjudligi bilan murakkablashishi mumkin. Masalan, funktsiya grafigini yaratish uchun siz quyidagi algoritmga amal qilishingiz kerak:

Guruch. 2. Algoritm uchun rasm

Olingan grafikda x o'qidan yuqorida va x o'qidan pastda joylashgan shoxchalar mavjud.

1. Belgilangan modulni qo'llang. Bunday holda, grafikning x o'qi ustida joylashgan qismlari o'zgarishsiz qoladi va o'qdan pastda joylashganlar x o'qiga nisbatan aks ettiriladi. Biz olamiz:

Guruch. 3. Algoritm uchun rasm

2-misol – funktsiyani chizing:

Guruch. 4. Funksiya grafigi, masalan, 2

4. Parametrli chiziqli kasr tenglamani yechish

Quyidagi vazifani ko'rib chiqing - funktsiyaning grafigini tuzing. Buning uchun siz quyidagi algoritmga amal qilishingiz kerak:

1. Submodul funksiyaning grafigini tuzing

Faraz qilaylik, biz quyidagi grafikni olamiz:

Guruch. 5. Algoritm uchun rasm

1. Belgilangan modulni qo'llang. Buni qanday qilishni tushunish uchun modulni kengaytiramiz.

Shunday qilib, manfiy bo'lmagan argument qiymatlari bo'lgan funktsiya qiymatlari uchun hech qanday o'zgarishlar bo'lmaydi. Ikkinchi tenglamaga kelsak, biz bilamizki, u y o'qiga nisbatan simmetrik xaritalash orqali olinadi. Bizda funktsiyaning grafigi mavjud:

Guruch. 6. Algoritm uchun rasm

3-misol – funksiya grafigini tuzing:

Algoritmga ko'ra, avval siz submodulyar funktsiyaning grafigini qurishingiz kerak, biz uni allaqachon qurganmiz (1-rasmga qarang).

Guruch. 7. Funksiya grafigi, masalan, 3

4-misol - parametrli tenglamaning ildizlari sonini toping:

Eslatib o'tamiz, tenglamani parametr bilan echish parametrning barcha qiymatlarini ko'rib chiqish va ularning har biri uchun javobni ko'rsatishni anglatadi. Biz metodologiyaga muvofiq harakat qilamiz. Birinchidan, biz funktsiyaning grafigini quramiz, biz buni oldingi misolda allaqachon qilganmiz (7-rasmga qarang). Keyinchalik, har xil a uchun chiziqlar oilasi bilan grafikni ajratib olishingiz, kesishish nuqtalarini topishingiz va javobni yozishingiz kerak.

Grafikga qarab, biz javobni yozamiz: qachon va tenglama ikkita yechimga ega; tenglama bitta yechimga ega bo'lganda; tenglamaning yechimlari bo'lmaganda.

y = funksiya va uning grafigi.

MAQSADLAR:

1) y = funksiyaning ta rifini kiriting;

2) Agrapher dasturi yordamida y = funksiya grafigini qurishni o‘rgatish;

3) funktsiya grafiklarining o'zgartirish xususiyatlaridan foydalangan holda y = funksiya grafiklarining eskizlarini qurish qobiliyatini rivojlantirish;

I. Yangi material – kengaytirilgan suhbat.

U: y = formulalar bilan aniqlangan funksiyalarni ko'rib chiqamiz; y = ; y =.

Ushbu formulalarning o'ng tomonida qanday ifodalar yozilgan?

D: Bu formulalarning o‘ng tomonlari ratsional kasr ko‘rinishiga ega bo‘lib, bunda ayiruvchi birinchi darajali binomi yoki noldan boshqa son, maxraji esa birinchi darajali binomdir.

U: Bunday funktsiyalar odatda shakl formulasi bilan belgilanadi

a) c = 0 yoki c) = bo'lgan holatlarni ko'rib chiqing.

(Agar ikkinchi holatda o'quvchilar qiyinchiliklarga duch kelsa, siz ulardan ifoda etishni so'rashingiz kerak Bilan berilgan nisbatdan kelib chiqib, natijada olingan ifodani (1) formulaga almashtiring.

D1: Agar c = 0 bo'lsa, y = x + b chiziqli funktsiyadir.

D2: Agar = bo'lsa, u holda c = bo'ladi. Qiymatni almashtirish Bilan (1) formulada biz quyidagilarni olamiz:

Ya'ni, y = chiziqli funktsiyadir.

Y: y = ko'rinishdagi formula bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan funksiya, bu erda x harfi mustaqilni bildiradi

Bu o'zgaruvchi va a, b, c va d harflari ixtiyoriy sonlar, c0 va ad esa 0 ga teng, chiziqli kasr funksiyasi deyiladi.

Chiziqli kasr funksiyaning grafigi giperbola ekanligini ko'rsatamiz.

1-misol. y = funksiyaning grafigini tuzamiz. Keling, butun qismni kasrdan ajratamiz.

Bizda: = = = 1 + .

y = +1 funksiya grafigini y = funksiya grafigidan ikkita parallel tarjima yordamida olish mumkin: X o'qi bo'ylab 2 birlik o'ngga siljish va Y yo'nalishi bo'yicha 1 birlik yuqoriga siljish. Ushbu siljishlar bilan y = giperbolaning asimptotalari siljiydi: to'g'ri chiziq x = 0 (ya'ni Y o'qi) o'ngga 2 birlik, y = 0 (ya'ni X o'qi) bir birlik. yuqoriga. Grafik tuzishdan oldin koordinata tekisligida nuqtali chiziq bilan asimptotalarni chizamiz: x = 2 va y = 1 to'g'ri chiziqlar (1a-rasm). Giperbola ikkita shoxdan iborat ekanligini hisobga olib, ularning har birini qurish uchun Agrapher dasturi yordamida ikkita jadval tuzamiz: biri x>2 uchun, ikkinchisi esa x uchun.<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
da	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
da	7	4	3	2,5	2	1,6

Birinchi jadvalda koordinatalari qayd etilgan koordinata tekisligidagi nuqtalarni (Agrapher dasturi yordamida) belgilaymiz va ularni silliq uzluksiz chiziq bilan tutamiz. Biz giperbolaning bitta novdasini olamiz. Xuddi shunday, ikkinchi jadval yordamida biz giperbolaning ikkinchi shoxini olamiz (1b-rasm).

2-misol. y = - funksiyaning grafigini quramiz, 2x + 10 binomi x + 3 ga bo'linib, kasrning butun qismini ajratamiz. = 2 + ni olamiz. Shuning uchun y = -2.

y = --2 funksiya grafigini y = - funksiya grafigidan ikkita parallel tarjima yordamida olish mumkin: 3 birlik chapga siljish va 2 birlik pastga siljish. Giperbolaning asimptotalari x = -3 va y = -2 to'g'ri chiziqlardir. X uchun (Agrapher dasturi yordamida) jadvallar tuzamiz<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
da	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
da	2	0	-1	-1,2	-1,5

Koordinata tekisligida nuqtalarni qurish (Agrapher dasturi yordamida) va ular orqali giperbolaning shoxlarini chizish orqali y = - funksiyaning grafigini olamiz (2-rasm).

U: Chiziqli kasr funksiyaning grafigi nima?

D: Har qanday chiziqli kasr funksiyaning grafigi giperboladir.

T: Chiziqli kasr funksiya grafigi qanday tuziladi?

D: kasr chiziqli funksiya grafigi koordinata o'qlari bo'ylab parallel translatsiyalar yordamida y = funktsiya grafigidan olinadi, kasr chiziqli funktsiyaning giperbolasi shoxlari nuqtaga nisbatan simmetrik (-. To'g'ri chiziq x =). giperbolaning vertikal asimptotasi deyiladi y = to'g'ri chiziq gorizontal asimptota deb ataladi.

T: Chiziqli kasr funksiyani aniqlash sohasi nima?

T: Chiziqli kasr funktsiyasi qiymatlari diapazoni qanday?

D: E(y) =.

T: Funktsiyada nol bormi?

D: Agar x = 0 bo'lsa, f(0) = , d. Ya'ni, funktsiya nolga ega - A nuqtasi.

T: Chiziqli kasr funksiya grafigining X o'qi bilan kesishgan nuqtalari bormi?

D: Agar y = 0 bo'lsa, u holda x = -. Bu shuni anglatadiki, agar a bo'lsa, u holda X o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalarga ega. Agar a = 0, b bo'lsa, chiziqli kasr funksiya grafigida abscissa o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q.

U: Agar bc-ad > 0 boʻlsa, funksiya butun taʼrif sohasi oraligʻida kamayadi va agar bc-ad boʻlsa, butun taʼrif sohasi oraligʻida ortadi.< 0. Но это немонотонная функция.

Savol: Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini ko'rsatish mumkinmi?

D: Funktsiya eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas.

T: Chiziqli kasr funksiya grafigining asimptotalari qanday chiziqlardan iborat?

D: Vertikal asimptota to'g'ri chiziq x = -; gorizontal asimptota esa y = to'g'ri chiziqdir.

(Talabalar chiziqli kasr funktsiyasining barcha umumlashtiruvchi xulosalari, ta'riflari va xususiyatlarini daftarga yozadilar)

II. Konsolidatsiya.

Chiziqli kasr funktsiyalarining grafiklarini qurishda va "o'qishda" Agrapher dasturining xususiyatlaridan foydalaniladi.

III. O'quv mustaqil ish.

1. Giperbolaning markazini, asimptotalarini toping va funksiya grafigini tuzing:

a) y = b) y = c) y = ; d) y =; e) y =; e) y =;

g) y = h) y = -

Har bir talaba o'z tezligida ishlaydi. Agar kerak bo'lsa, o'qituvchi savollar berish orqali yordam beradi, ularga javoblar talabaga topshiriqni to'g'ri bajarishga yordam beradi.

y = va y = funktsiyalarning xossalarini va bu funksiyalar grafiklarining xususiyatlarini o'rganish bo'yicha laboratoriya va amaliy ishlar.

MAQSADLAR: 1) Agrapher dasturi yordamida y = va y = funksiyalarning grafiklarini qurish malakalarini rivojlantirishni davom ettirish;

2) funksiyalarning "grafiklarini o'qish" ko'nikmalarini va kasr chiziqli funktsiyalarni turli xil o'zgartirishlar paytida grafiklardagi o'zgarishlarni "bashorat qilish" qobiliyatini mustahkamlash.

I. Kasr chiziqli funksiya xossalarini differentsial takrorlash.

Har bir o'quvchiga karta beriladi - topshiriqlari bo'lgan chop etish. Barcha konstruktsiyalar Agrapher dasturi yordamida amalga oshiriladi. Har bir topshiriqning natijalari darhol muhokama qilinadi.

Har bir talaba o'z-o'zini nazorat qilishdan foydalanib, topshiriqni bajarishda olingan natijalarni moslashtirishi va o'qituvchi yoki talaba maslahatchisidan yordam so'rashi mumkin.

X argumentning f(x) =6 qiymatini toping; f(x) =-2,5.

3. y funksiyaning grafigini tuzing = Nuqta shu funksiya grafigiga tegishli ekanligini aniqlang: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?

4. y = funksiyaning grafigini tuzing, y>0 va qaysi y bo‘lgan oraliqlarni toping.<0.

5. y = funksiyaning grafigini chizing. Funksiya sohasi va diapazonini toping.

6. Giperbolaning asimptotalarini - y = - funksiya grafigini ko'rsating. Grafik yarating.

7. y = funksiyaning grafigini chizing. Funktsiyaning nollarini toping.

II. Laboratoriya va amaliy ishlar.

Har bir o'quvchiga 2 ta karta beriladi: 1-karta "Ko'rsatmalar" unga muvofiq reja bilan ish olib borilmoqda va topshiriq va 2-karta bilan matn " Funktsional tadqiqot natijalari ”.

1. Belgilangan funktsiyaning grafigini tuzing.
2. Funktsiya sohasini toping.
3. Funktsiya diapazonini toping.
4. Giperbolaning asimptotalarini ko'rsating.
5. Funksiyaning nollarini toping (f(x) = 0).
6. Giperbolaning X o'qi bilan kesishish nuqtasini toping (y = 0).

7. Quyidagi oraliqlarni toping: a) y<0; б) y>0.

8. Funksiyaning ortish (kamayish) oraliqlarini ko‘rsating.

I variant.

Agrapher dasturidan foydalanib, funktsiyaning grafigini tuzing va uning xususiyatlarini o'rganing:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

Bu darsda kasr chiziqli funksiyani ko’rib chiqamiz, kasr chiziqli funksiya, modul, parametr yordamida masalalar yechamiz.

Mavzu: Takrorlash

Dars: Kasr chiziqli funksiya

Ta'rifi:

Shaklning funktsiyasi:

Masalan:

Bu chiziqli kasr funksiyaning grafigi giperbola ekanligini isbotlaylik.

Keling, hisoblagichdagi qavslardan ikkitasini chiqaramiz va olamiz:

Bizda ham ayiruvchi, ham maxrajda x mavjud. Endi biz ifodani hisoblagichda paydo bo'lishi uchun aylantiramiz:

Endi kasr hadini had bo'yicha qisqartiramiz:

Shubhasiz, bu funktsiyaning grafigi giperboladir.

Biz isbotlashning ikkinchi usulini taklif qilishimiz mumkin, ya'ni hisoblagichni ustundagi maxrajga bo'lish:

Qabul qilingan:

Chiziqli kasr funksiyaning grafigini osonlik bilan qurish, xususan, giperbolaning simmetriya markazini topish muhim ahamiyatga ega. Keling, muammoni hal qilaylik.

1-misol – funksiya grafigini chizing:

Biz allaqachon ushbu funktsiyani o'zgartirdik va oldik:

Ushbu grafikni qurish uchun biz o'qlarni yoki giperbolaning o'zini siljitmaymiz. Biz doimiy ishorali intervallar mavjudligidan foydalanib, funktsiya grafiklarini qurish uchun standart usuldan foydalanamiz.

Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Birinchidan, berilgan funktsiyani ko'rib chiqamiz.

Shunday qilib, bizda doimiy belgining uchta oralig'i bor: eng o'ngda () funktsiya ortiqcha belgisiga ega, keyin barcha ildizlar birinchi darajaga ega bo'lganligi sababli belgilar o'zgaradi. Demak, oraliqda funksiya manfiy, intervalda funksiya musbat.

ODZning ildizlari va sinish nuqtalari yaqinida grafikning eskizini quramiz. Bizda: bir nuqtada funktsiyaning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgarganligi sababli, egri chiziq avval o'qdan yuqorida, so'ngra noldan o'tadi va keyin x o'qi ostida joylashgan. Kasrning maxraji amalda nolga teng bo'lsa, demak, argumentning qiymati uchga moyil bo'lsa, kasrning qiymati cheksizlikka intiladi. Bunday holda, argument chap tomonda uchlikka yaqinlashganda, funktsiya manfiy va minus cheksizlikka moyil bo'ladi, o'ngda funktsiya musbat va ortiqcha cheksizlikni qoldiradi.

Endi biz cheksizlikdagi nuqtalar yaqinida funksiya grafigining eskizini quramiz, ya'ni. argument ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lganda. Bunday holda, doimiy shartlarni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bizda ... bor:

Shunday qilib, biz gorizontal va vertikal asimptotaga ega bo'lamiz, giperbolaning markazi (3;2) nuqtadir. Keling, misol qilib keltiramiz:

Guruch. 1. Giperbolaning grafigi, masalan, 1

Kasrli chiziqli funksiya bilan bog'liq muammolar modul yoki parametr mavjudligi bilan murakkablashishi mumkin. Masalan, funktsiya grafigini yaratish uchun siz quyidagi algoritmga amal qilishingiz kerak:

Guruch. 2. Algoritm uchun rasm

Olingan grafikda x o'qidan yuqorida va x o'qidan pastda joylashgan shoxchalar mavjud.

1. Belgilangan modulni qo'llang. Bunday holda, grafikning x o'qi ustida joylashgan qismlari o'zgarishsiz qoladi va o'qdan pastda joylashganlar x o'qiga nisbatan aks ettiriladi. Biz olamiz:

Guruch. 3. Algoritm uchun rasm

2-misol – funktsiyani chizing:

Guruch. 4. Funksiya grafigi, masalan, 2

Quyidagi vazifani ko'rib chiqing - funktsiyaning grafigini tuzing. Buning uchun siz quyidagi algoritmga amal qilishingiz kerak:

1. Submodul funksiyaning grafigini tuzing

Faraz qilaylik, biz quyidagi grafikni olamiz:

Guruch. 5. Algoritm uchun rasm

1. Belgilangan modulni qo'llang. Buni qanday qilishni tushunish uchun modulni kengaytiramiz.

Shunday qilib, manfiy bo'lmagan argument qiymatlari bo'lgan funktsiya qiymatlari uchun hech qanday o'zgarishlar bo'lmaydi. Ikkinchi tenglamaga kelsak, biz bilamizki, u y o'qiga nisbatan simmetrik xaritalash orqali olinadi. Bizda funktsiyaning grafigi mavjud:

Guruch. 6. Algoritm uchun rasm

3-misol – funksiya grafigini tuzing:

Algoritmga ko'ra, avval siz submodulyar funktsiyaning grafigini qurishingiz kerak, biz uni allaqachon qurganmiz (1-rasmga qarang).

Guruch. 7. Funksiya grafigi, masalan, 3

4-misol - parametrli tenglamaning ildizlari sonini toping:

Eslatib o'tamiz, tenglamani parametr bilan echish parametrning barcha qiymatlarini ko'rib chiqish va ularning har biri uchun javobni ko'rsatishni anglatadi. Biz metodologiyaga muvofiq harakat qilamiz. Birinchidan, biz funktsiyaning grafigini quramiz, biz buni oldingi misolda allaqachon qilganmiz (7-rasmga qarang). Keyinchalik, har xil a uchun chiziqlar oilasi bilan grafikni ajratib olishingiz, kesishish nuqtalarini topishingiz va javobni yozishingiz kerak.

Grafikga qarab, biz javobni yozamiz: qachon va tenglama ikkita yechimga ega; tenglama bitta yechimga ega bo'lganda; tenglamaning yechimlari bo'lmaganda.

bolta +b
Kasr chiziqli funktsiya shaklning funktsiyasidir y = --- ,
cx +d

Qayerda x- o'zgaruvchan, a,b,c,d- ba'zi raqamlar va c ≠ 0, reklama -miloddan avvalgi ≠ 0.

Kasr chiziqli funksiyaning xossalari:

Chiziqli kasr funksiyaning grafigi giperbola bo'lib, uni koordinata o'qlari bo'ylab parallel translatsiyalar yordamida y = k/x giperbolasidan olish mumkin. Buning uchun kasr chiziqli funktsiya formulasi quyidagi shaklda taqdim etilishi kerak:

k
y = n + ---
x–m

Qayerda n- giperbola o'ngga yoki chapga siljigan birliklar soni; m– giperbola yuqoriga yoki pastga harakatlanadigan birliklar soni. Bunda giperbolaning asimptotalari x = m, y = n to'g'ri chiziqlarga o'tkaziladi.

Asimptota - bu to'g'ri chiziq bo'lib, egri chiziqning nuqtalari cheksizlikka yaqinlashganda (quyidagi rasmga qarang).

Parallel o'tkazmalarga kelsak, oldingi bo'limlarga qarang.

1-misol. Giperbolaning asimptotalarini topamiz va funksiya grafigini tuzamiz:

x + 8
y = ---
x – 2

Yechim:

k
Kasrni n + --- shaklida ifodalaymiz
x–m

Buning uchun x+ 8 ni quyidagi shaklda yozamiz: x – 2 + 10 (ya'ni 8 -2 + 10 sifatida ifodalanadi).

x+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Nima uchun ibora bu shaklni oldi? Javob oddiy: qo'shishni bajaring (har ikkala shartni umumiy maxrajga qisqartiring) va siz avvalgi ifodaga qaytasiz. Ya'ni, bu berilgan ifodani o'zgartirish natijasidir.

Shunday qilib, biz barcha kerakli qiymatlarni oldik:

k = 10, m = 2, n = 1.

Shunday qilib, biz giperbolamizning asimptotalarini topdik (x = m, y = n ekanligiga asoslanib):

Ya'ni, giperbolaning bir asimptoti o'qga parallel ravishda o'tadi y uning o'ng tomonida 2 birlik masofada va ikkinchi asimptota o'qga parallel ravishda harakat qiladi. x uning ustidagi 1 birlik masofada.

Keling, ushbu funktsiyaning grafigini tuzamiz. Buning uchun biz quyidagilarni bajaramiz:

1) koordinata tekisligiga nuqtali chiziq bilan asimptotalarni - x = 2 chiziq va y = 1 chiziqni chizamiz.

2) giperbola ikkita shoxdan iborat bo'lganligi sababli, bu shoxlarni qurish uchun ikkita jadval tuzamiz: biri x uchun<2, другую для x>2.

Birinchidan, birinchi variant uchun x qiymatlarini tanlaymiz (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Biz o'zboshimchalik bilan boshqa qiymatlarni tanlaymiz x(masalan, -2, -1, 0 va 1). Tegishli qiymatlarni hisoblang y. Olingan barcha hisob-kitoblarning natijalari jadvalga kiritilgan:

Endi x>2 varianti uchun jadval tuzamiz:

1. Kasr chiziqli funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasrli ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki koʻphadning boʻlimi sifatida ifodalanishi mumkin boʻlgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. shaklning funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiy). Chiziqli kasr funktsiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafigidan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. Mutlaq qiymatdagi x ning cheksiz o'sishi bilan y = 1/x funksiya mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari ham abscissaga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap tomon esa pastdan. Giperbolaning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar uning deyiladi asimptotlar.

1-misol.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Yechim.

Butun qismni tanlaymiz: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi o‘zgartirishlar orqali olinganligini ko‘rish oson: 3 birlik segmentga o‘ngga siljish, Oy o‘qi bo‘ylab 7 marta cho‘zish va 2 ga siljish. birlik segmentlari yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) "butun qism" ni ta'kidlab, shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin. Binobarin, barcha kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Har qanday ixtiyoriy kasr-chiziqli funktsiyaning grafigini qurish uchun ushbu funktsiyani aniqlaydigan kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan to'g'ri chiziqlar - x = -d/c va y = a/c giperbolaning asimptotalarini topish kifoya qiladi.

2-misol.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, x = -1 da. Demak, x = -1 to'g'ri chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun x argumenti mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini aniqlaylik.

Buning uchun kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga moyil bo'ladi. Bu gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziq ekanligini anglatadi.

3-misol.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: chapga 1 birlikka siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va quyidagi oʻzgartirishlar. Oy o'qi bo'ylab yuqoriga 2 birlik segmentlar.

Domen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir oralig'ida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) yoki y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funksiya ikki darajali ko‘phadning birinchisidan yuqori bo‘linmasini ifodalasa, uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo‘ladi va ba’zan uni to‘g‘ri qurish qiyin bo‘lishi mumkin. , barcha tafsilotlari bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishtirganlarga o'xshash usullardan foydalanish kifoya.

Kasr to'g'ri kasr bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafiklarini tuzish

Kasrli ratsional funktsiyaning grafiklarini qurishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz.

4-misol.

y = 1/x 2 funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

y = 1/x 2 grafigini qurish uchun y = x 2 funksiyaning grafigidan foydalanamiz va grafiklarni “bo‘lish” texnikasidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Bu erda biz chiziqli funktsiyaga faktorizatsiya, qisqartirish va qisqartirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir. Grafikni qurishdan oldin, keling, butun qismini ajratib ko'rsatib, ifodani yana o'zgartiramiz:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr ratsional funktsiya formulasida butun son qismini ajratib olish grafiklarni qurishda asosiylaridan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni. y = 1 to'g'ri chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol.

y = x/(x 2 + 1) funksiyani ko'rib chiqamiz va uning eng katta qiymatini aniq topishga harakat qilamiz, ya'ni. grafikning o'ng yarmidagi eng yuqori nuqta. Ushbu grafikni to'g'ri tuzish uchun bugungi bilim etarli emas. Shubhasiz, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarilishi" mumkin emas, chunki maxraj tezda hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tenglamasini yechishimiz kerak. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Bu bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi. Funksiyaning eng katta qiymatini topish uchun A = x/(x 2 + 1) tenglama qaysi eng katta A bo‘yicha yechimga ega bo‘lishini aniqlash kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga almashtiramiz: Ax 2 – x + A = 0. Bu tenglama 1 – 4A 2 ≥ 0 bo‘lganda yechimga ega. Bu yerdan A = 1/2 eng katta qiymatni topamiz.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Hali ham savollaringiz bormi? Funksiyalarni qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.