Trapezoid to'rtburchakning maxsus turi bo'lib, unda ikkita qarama-qarshi tomoni bir-biriga parallel, qolgan ikkitasi esa parallel emas. Har xil haqiqiy ob'ektlar trapezoidal shaklga ega, shuning uchun kundalik yoki maktab muammolarini hal qilish uchun bunday geometrik shaklning perimetrini hisoblashingiz kerak bo'lishi mumkin.
Trapetsiya geometriyasi
Trapezoid (yunoncha "trapesiya" - jadval) - bu to'rtta segment bilan chegaralangan tekislikdagi rasm, ulardan ikkitasi parallel va ikkitasi yo'q. Parallel segmentlar trapetsiyaning asoslari, parallel bo'lmagan segmentlar esa shaklning tomonlari deb ataladi. Yon tomonlari va ularning moyillik burchaklari trapezoidning turini aniqlaydi, ular masshtabli, teng yonli yoki to'rtburchaklar bo'lishi mumkin. Poydevorlar va yon tomonlardan tashqari, trapezoid yana ikkita elementga ega:
- balandlik - shaklning parallel asoslari orasidagi masofa;
- o'rta chiziq - tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.
Bu geometrik figura real hayotda keng tarqalgan.
Haqiqatda trapezoid
Kundalik hayotda ko'plab haqiqiy narsalar trapezoidal shaklga ega. Trapezoidlarni inson faoliyatining quyidagi sohalarida osongina topishingiz mumkin:
- ichki dizayn va dekoratsiya - divanlar, stol usti, devorlar, gilamlar, to'xtatilgan shiftlar;
- landshaft dizayni - maysazorlar va sun'iy suv omborlari chegaralari, dekorativ elementlarning shakllari;
- moda - kiyim-kechak, poyabzal va aksessuarlar shakli;
- arxitektura - derazalar, devorlar, qurilish poydevori;
- ishlab chiqarish - turli xil mahsulotlar va ehtiyot qismlar.
Trapezoidlarning bunday keng qo'llanilishi bilan mutaxassislar ko'pincha geometrik shaklning perimetrini hisoblashlari kerak.
Trapezoid perimetri
Shaklning perimetri - bu n-burchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi sifatida hisoblangan raqamli xarakteristika. Trapezoid to'rtburchakdir va umuman uning barcha tomonlari turli uzunliklarga ega, shuning uchun perimetr quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
P = a + b + c + d,
Bu erda a va c - rasmning asoslari, b va d - uning tomonlari.
Trapetsiya perimetrini hisoblashda biz balandlikni bilishimiz shart bo'lmasa-da, kalkulyator kodi ushbu o'zgaruvchini kiritishni talab qiladi. Balandlik hisob-kitoblarga ta'sir qilmagani uchun onlayn kalkulyatorimizdan foydalanganda siz noldan katta bo'lgan istalgan balandlik qiymatini kiritishingiz mumkin. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Haqiqiy hayot misollari
Ro'molcha
Aytaylik, sizda trapezoid shaklidagi sharf bor va siz uni chekka bilan kesishni xohlaysiz. Qo'shimcha material sotib olmaslik yoki ikki marta do'konga bormaslik uchun siz sharfning perimetrini bilishingiz kerak bo'ladi. Sizning isosceles sharfingiz quyidagi parametrlarga ega bo'lsin: a = 120 sm, b = 60 sm, c = 100 sm, d = 60 sm Biz ushbu ma'lumotlarni onlayn shaklga kiritamiz va javobni shaklda olamiz:
Shunday qilib, ro'molning perimetri 340 sm ni tashkil qiladi va bu uni tugatish uchun to'g'ridan-to'g'ri to'siqning uzunligi.
Nishablar
Masalan, siz trapezoidal shaklga ega bo'lgan nostandart metall-plastmassa derazalar uchun qiyaliklarni yasashga qaror qildingiz. Bunday derazalar binolarni loyihalashda keng qo'llaniladi, bir nechta shamlardan kompozitsiyani yaratadi. Ko'pincha bunday derazalar to'rtburchaklar trapezoid shaklida amalga oshiriladi. Keling, bunday oynaning yonbag'irlarini qilish uchun qancha material kerakligini bilib olaylik. Standart oynada quyidagi parametrlar mavjud a = 140 sm, b = 20 sm, c = 180 sm, d = 50 sm Biz ushbu ma'lumotlardan foydalanamiz va natijani shaklda olamiz
Shuning uchun, trapezoidal oynaning perimetri 390 sm ni tashkil qiladi va yamaqlar hosil qilish uchun aynan qancha plastik panellarni sotib olishingiz kerak bo'ladi.
Xulosa
Trapezoid kundalik hayotda mashhur figura bo'lib, uning parametrlarini aniqlash eng kutilmagan vaziyatlarda kerak bo'lishi mumkin. Trapezoidal perimetrlarni hisoblash ko'plab mutaxassislar uchun zarur: muhandislar va me'morlardan dizaynerlar va mexaniklarga. Bizning onlayn kalkulyatorlar katalogimiz har qanday geometrik shakllar va jismlar uchun hisob-kitoblarni amalga oshirish imkonini beradi.
Matematikada to'rtburchaklarning bir nechta turlari ma'lum: kvadrat, to'rtburchak, romb, parallelogramm. Ular orasida trapezoid bor - ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi esa parallel bo'lmagan qavariq to'rtburchaklar turi. Parallel qarama-qarshi tomonlari asoslar, qolgan ikkitasi esa trapetsiyaning yon tomonlari deyiladi. Yonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment o'rta chiziq deb ataladi. Trapezoidlarning bir nechta turlari mavjud: teng yonli, to'rtburchaklar, egri chiziqli. Har bir trapezoid turi uchun maydonni topish uchun formulalar mavjud.
Trapezoidning maydoni
Trapezoidning maydonini topish uchun siz uning asoslari uzunligini va balandligini bilishingiz kerak. Trapetsiyaning balandligi asoslarga perpendikulyar bo'lgan segmentdir. Yuqori asos a, pastki asos b, balandligi h bo'lsin. Keyin S maydonini formuladan foydalanib hisoblashingiz mumkin:
S = ½ * (a+b) * h
bular. asoslar yig'indisining yarmini balandlikka ko'paytiring.
Agar balandlik va markaziy chiziq ma'lum bo'lsa, trapezoidning maydonini hisoblash ham mumkin bo'ladi. O'rta chiziqni belgilaymiz - m. Keyin
Keling, murakkabroq masalani hal qilaylik: trapetsiyaning to'rt tomonining uzunliklari ma'lum - a, b, c, d. Keyin maydon quyidagi formula yordamida topiladi:
Agar diagonallarning uzunliklari va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, u holda maydon quyidagicha qidiriladi:
S = ½ * d1 * d2 * sin a
Bu erda 1 va 2 indeksli d diagonaldir. Ushbu formulada burchakning sinusi hisoblashda berilgan.
a va b asoslarning ma'lum uzunliklari va pastki poydevordagi ikkita burchakni hisobga olgan holda, maydon quyidagicha hisoblanadi:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin a * sin b / sin(a + b))
Teng yonli trapesiyaning maydoni
Teng yonli trapesiya trapesiyaning alohida holatidir. Uning farqi shundaki, bunday trapezoid ikki qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtalaridan o'tadigan simmetriya o'qi bo'lgan qavariq to'rtburchakdir. Uning tomonlari teng.
Izoskelli trapezoidning maydonini topishning bir necha yo'li mavjud.
- Uch tomonning uzunligi bo'ylab. Bunday holda, tomonlarning uzunligi bir-biriga to'g'ri keladi, shuning uchun ular bitta qiymat bilan belgilanadi - c, va a va b - asoslarning uzunligi:
- Agar ustki poydevorning uzunligi, yon tomoni va pastki poydevoridagi burchak ma'lum bo'lsa, maydon quyidagicha hisoblanadi:
S = c * sin a * (a + c * cos a)
Bu erda a - yuqori asos, c - yon.
- Agar yuqori poydevor o'rniga pastki qismining uzunligi ma'lum bo'lsa - b, maydon quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
S = c * sin a * (b – c * cos a)
- Agar ikkita asos va pastki poydevordagi burchak ma'lum bo'lsa, maydon burchakning tangensi orqali hisoblanadi:
S = ½ * (b2 – a2) * tan a
- Maydoni diagonallar va ular orasidagi burchak orqali ham hisoblanadi. Bunday holda, diagonallar uzunligi teng, shuning uchun biz har birini pastki belgilarsiz d harfi bilan belgilaymiz:
S = ½ * d2 * sin a
- Yonning uzunligini, o'rta chiziqni va pastki poydevordagi burchakni bilib, trapezoidning maydonini hisoblaylik.
Yon tomoni c, o'rta chizig'i m va burchak a bo'lsin, keyin:
S = m * c * sin a
Ba'zan siz radiusi r bo'lgan teng yonli trapezoidga aylana yozishingiz mumkin.
Ma'lumki, aylana har qanday trapetsiyaga chizilgan bo'lishi mumkin, agar asoslar uzunliklari yig'indisi uning tomonlari uzunliklari yig'indisiga teng bo'lsa. Keyin maydonni chizilgan doira radiusi va pastki poydevordagi burchak orqali topish mumkin:
S = 4r2 / sin a
Xuddi shu hisoblash chizilgan doiraning D diametri yordamida amalga oshiriladi (Aytgancha, u trapezoidning balandligiga to'g'ri keladi):
Asos va burchakni bilib, teng yonli trapezoidning maydoni quyidagicha hisoblanadi:
S = a * b / sin a
(bu va keyingi formulalar faqat aylanasi chizilgan trapezoidlar uchun amal qiladi).
Doira asoslari va radiusidan foydalanib, maydon quyidagicha topiladi:
Agar faqat asoslar ma'lum bo'lsa, maydon quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Poydevorlar va yon chiziq orqali trapezoidning chizilgan doira bilan maydoni va asoslari va o'rta chizig'i orqali - m quyidagicha hisoblanadi:
To'rtburchak trapezoidning maydoni
Agar tomonlardan biri poydevorga perpendikulyar bo'lsa, trapezoid to'rtburchaklar deyiladi. Bunday holda, yon tomonning uzunligi trapezoidning balandligiga to'g'ri keladi.
To'rtburchak trapezoid kvadrat va uchburchakdan iborat. Har bir raqamning maydonini topib, natijalarni qo'shing va rasmning umumiy maydonini oling.
Shuningdek, trapezoidning maydonini hisoblash uchun umumiy formulalar to'rtburchaklar trapezoidning maydonini hisoblash uchun javob beradi.
- Agar poydevor uzunligi va balandligi (yoki perpendikulyar yon tomoni) ma'lum bo'lsa, maydon quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
S = (a + b) * h / 2
Yon tomoni c h (balandlik) vazifasini bajarishi mumkin. Keyin formula quyidagicha ko'rinadi:
S = (a + b) * c / 2
- Maydonni hisoblashning yana bir usuli - markaz chizig'ining uzunligini balandlikka ko'paytirish:
yoki lateral perpendikulyar tomonning uzunligi bo'yicha:
- Hisoblashning keyingi usuli - diagonallarning yarmi mahsuloti va ular orasidagi burchakning sinuslari:
S = ½ * d1 * d2 * sin a
Agar diagonallar perpendikulyar bo'lsa, formula quyidagicha soddalashtiriladi:
S = ½ * d1 * d2
- Hisoblashning yana bir usuli - yarim perimetr (ikki qarama-qarshi tomonning uzunliklarining yig'indisi) va chizilgan doira radiusi.
Ushbu formula asoslar uchun amal qiladi. Agar tomonlarning uzunliklarini olsak, ulardan biri radiusning ikki barobariga teng bo'ladi. Formula quyidagicha ko'rinadi:
S = (2r + c) * r
- Agar aylana trapezoidga chizilgan bo'lsa, maydon xuddi shu tarzda hisoblanadi:
bu erda m - markaziy chiziqning uzunligi.
Egri trapezoidning maydoni
Egri chiziqli trapetsiya segment, x o'qi va x = a, x = b to'g'ri chiziqlarda aniqlangan manfiy bo'lmagan uzluksiz funktsiya y = f(x) grafigi bilan chegaralangan tekis figuradir. Asosan, uning ikkita tomoni bir-biriga parallel (asoslari), uchinchi tomoni asoslarga perpendikulyar, to'rtinchisi esa funktsiya grafigiga mos keladigan egri chiziqdir.
Egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida integral orqali topiladi:
Har xil turdagi trapezoidlarning maydonlari shu tarzda hisoblanadi. Ammo, tomonlarning xususiyatlariga qo'shimcha ravishda, trapezoidlar burchaklarning bir xil xususiyatlariga ega. Barcha mavjud to'rtburchaklar singari, trapezoidning ichki burchaklarining yig'indisi 360 daraja. Va yon tomonga ulashgan burchaklar yig'indisi 180 daraja.
Geometriya darslarida o'zini ishonchli his qilish va muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun formulalarni o'rganishning o'zi etarli emas. Ularni birinchi navbatda tushunish kerak. Qo'rqish va undan ham ko'proq formulalardan nafratlanish samarasizdir. Ushbu maqolada trapezoidning maydonini topishning turli usullari mavjud tilda tahlil qilinadi. Tegishli qoidalar va teoremalarni yaxshiroq tushunish uchun biz uning xususiyatlariga biroz e'tibor qaratamiz. Bu sizga qoidalar qanday ishlashini va qanday hollarda ma'lum formulalar qo'llanilishi kerakligini tushunishga yordam beradi.
Trapetsiyani aniqlash
Umuman olganda, bu qanday raqam? Trapetsiya - bu to'rtta burchakli va ikkita parallel tomoni bo'lgan ko'pburchak. Trapezoidning qolgan ikki tomoni turli burchaklarda qiya bo'lishi mumkin. Uning parallel tomonlari asoslar deb ataladi va parallel bo'lmagan tomonlar uchun "tomonlar" yoki "kalçalar" nomi ishlatiladi. Bunday raqamlar kundalik hayotda juda keng tarqalgan. Trapezoidning konturlarini kiyim-kechak, interyer buyumlari, mebellar, idish-tovoqlar va boshqalarning siluetlarida ko'rish mumkin. Har xil turdagi trapezoidlar mavjud: skalen, teng qirrali va to'rtburchaklar. Biz ularning turlari va xususiyatlarini keyinroq maqolada batafsil ko'rib chiqamiz.
Trapetsiyaning xossalari
Keling, ushbu raqamning xususiyatlariga qisqacha to'xtalib o'tamiz. Har qanday tomonga ulashgan burchaklar yig'indisi har doim 180 ° ga teng. Shuni ta'kidlash kerakki, trapetsiyaning barcha burchaklari 360 ° ga teng. Trapezoidda o'rta chiziq tushunchasi mavjud. Agar siz tomonlarning o'rta nuqtalarini segment bilan bog'lasangiz, bu o'rta chiziq bo'ladi. U m bilan belgilanadi. O'rta chiziq muhim xususiyatlarga ega: u har doim asoslarga parallel (biz eslaymizki, asoslar ham bir-biriga parallel) va ularning yarmi yig'indisiga teng:
Bu ta'rifni o'rganish va tushunish kerak, chunki u ko'p muammolarni hal qilishning kalitidir!
Trapezoid bilan siz har doim balandlikni poydevorga tushirishingiz mumkin. Balandlik perpendikulyar bo'lib, ko'pincha h belgisi bilan belgilanadi, u bir asosning istalgan nuqtasidan boshqa asosga yoki uning kengaytmasiga tortiladi. O'rta chiziq va balandlik trapezoidning maydonini topishga yordam beradi. Bunday muammolar maktab geometriya kursida eng ko'p uchraydi va muntazam ravishda test va imtihon ishlari orasida paydo bo'ladi.
Trapezoid maydoni uchun eng oddiy formulalar
Keling, trapezoidning maydonini topish uchun ishlatiladigan ikkita eng mashhur va oddiy formulalarni ko'rib chiqaylik. Siz izlayotgan narsani osongina topish uchun balandlikni asoslar yig'indisining yarmiga ko'paytirish kifoya:
S = h*(a + b)/2.
Bu formulada a, b trapetsiya asoslarini, h - balandligini bildiradi. Idrok etish qulayligi uchun ushbu maqolada ko'payish belgilari formulalarda (*) belgisi bilan belgilanadi, garchi rasmiy ma'lumotnomalarda ko'paytirish belgisi odatda o'tkazib yuborilgan.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Berilgan: ikkita asosi 10 va 14 sm ga teng trapetsiya, balandligi 7 sm.
Keling, ushbu muammoning echimini ko'rib chiqaylik. Bu formuladan foydalanib, siz avval asoslarning yarim yig'indisini topishingiz kerak: (10+14)/2 = 12. Demak, yarim yig'indi 12 sm ga teng. Endi biz yarim yig'indini balandlikka ko'paytiramiz: 12*7 = 84. Biz izlayotgan narsa topildi. Javob: Trapetsiyaning maydoni 84 kvadrat metrni tashkil qiladi. sm.
Ikkinchi mashhur formulada aytilishicha: trapezoidning maydoni o'rta chiziq va trapezoidning balandligi mahsulotiga teng. Ya'ni, aslida o'rta chiziqning oldingi kontseptsiyasidan kelib chiqadi: S=m*h.
Hisoblash uchun diagonallardan foydalanish
Trapetsiya maydonini topishning yana bir usuli aslida unchalik murakkab emas. U diagonallari bilan bog'langan. Ushbu formuladan foydalanib, maydonni topish uchun siz uning diagonallarining yarim mahsulotini (d 1 d 2) ular orasidagi burchakning sinusiga ko'paytirishingiz kerak:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Keling, ushbu usulning qo'llanilishini ko'rsatadigan masalani ko'rib chiqaylik. Berilgan: diagonallarning uzunligi mos ravishda 8 va 13 sm ga teng bo'lgan trapesiya, diagonallar orasidagi burchak a 30 °. Trapetsiya maydonini toping.
Yechim. Yuqoridagi formuladan foydalanib, kerakli narsani hisoblash oson. Ma'lumki, sin 30 ° 0,5 ga teng. Demak, S = 8*13*0,5=52. Javob: maydoni 52 kvadrat metr. sm.
Teng yonli trapesiya maydonini topish
Trapezoid ikki yon tomonli bo'lishi mumkin. Uning tomonlari bir xil va poydevoridagi burchaklar teng, bu rasmda yaxshi ko'rsatilgan. Izoskelli trapezoid oddiy kabi bir xil xususiyatlarga ega, shuningdek, bir qator maxsus xususiyatlarga ega. Aylana teng yonli trapezoid atrofida chizilgan bo'lishi mumkin va uning ichiga doira chizilgan bo'lishi mumkin.
Bunday raqamning maydonini hisoblashning qanday usullari mavjud? Quyidagi usul juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi. Uni ishlatish uchun siz trapezoidning tagidagi burchakning sinus (sin) va kosinus (cos) qiymatlarini bilishingiz kerak. Ularni hisoblash uchun sizga Bradis jadvallari yoki muhandislik kalkulyatori kerak bo'ladi. Mana formula:
S= c*gunoh a*(a - c*cos a),
Qayerda Bilan- lateral son, a- pastki poydevordagi burchak.
Teng yonli trapezoidning diagonallari teng uzunlikdagi. Buning teskarisi ham to'g'ri: trapezoidning diagonallari teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi. Shunday qilib, trapezoidning maydonini topishga yordam beradigan quyidagi formula - diagonallar kvadratining yarim mahsuloti va ular orasidagi burchak sinusi: S = ½ d 2 sin a.
To'rtburchak trapesiyaning maydonini topish
To'rtburchak trapetsiyaning alohida holati ma'lum. Bu trapezoid bo'lib, uning bir tomoni (uning soni) asoslarga to'g'ri burchak ostida ulanadi. Oddiy trapezoidning xususiyatlariga ega. Bundan tashqari, u juda qiziqarli xususiyatga ega. Bunday trapetsiyaning diagonallari kvadratlari farqi uning asoslari kvadratlari farqiga teng. Buning uchun maydonni hisoblash uchun ilgari tasvirlangan barcha usullar qo'llaniladi.
Biz zukkolikdan foydalanamiz
Muayyan formulalarni unutib qo'ysangiz, yordam beradigan bitta hiyla bor. Keling, trapezoid nima ekanligini batafsil ko'rib chiqaylik. Agar biz uni aqliy ravishda qismlarga ajratsak, biz tanish va tushunarli geometrik shakllarni olamiz: kvadrat yoki to'rtburchak va uchburchak (bir yoki ikkita). Agar trapezoidning balandligi va tomonlari ma'lum bo'lsa, siz uchburchak va to'rtburchaklar maydoni uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin va keyin barcha olingan qiymatlarni qo'shishingiz mumkin.
Buni quyidagi misol bilan tushuntirib beraylik. To'rtburchak trapezoid berilgan. Burchak C = 45 °, A, D burchaklari 90 °. Trapezoidning yuqori poydevori 20 sm, balandligi 16 sm, siz rasmning maydonini hisoblashingiz kerak.
Bu raqam to'rtburchak (agar ikkita burchak 90 ° ga teng bo'lsa) va uchburchakdan iboratligi aniq. Trapezoid to'rtburchak bo'lgani uchun, uning balandligi uning tomoniga teng, ya'ni 16 sm, biz tomonlari mos ravishda 20 va 16 sm. Endi burchagi 45 ° bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqing. Biz bilamizki, uning bir tomoni 16 sm, chunki bu tomon ham trapetsiyaning balandligi (va biz balandlikning asosga to'g'ri burchak ostida tushishini bilamiz), shuning uchun uchburchakning ikkinchi burchagi 90 ° dir. Demak, uchburchakning qolgan burchagi 45° ga teng. Buning natijasi shundaki, biz ikkita teng tomonli to'g'ri teng yonli uchburchakni olamiz. Bu shuni anglatadiki, uchburchakning boshqa tomoni balandlikka teng, ya'ni 16 sm, faqat uchburchak va to'rtburchakning maydonini hisoblash va olingan qiymatlarni qo'shishdir.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uning oyoqlari ko'paytmasining yarmiga teng: S = (16 * 16)/2 = 128. To'rtburchakning maydoni uning kengligi va uzunligining mahsulotiga teng: S = 20*16 = 320. Biz kerakli narsani topdik: trapezoidning maydoni S = 128 + 320 = 448 kv. Yuqoridagi formulalar yordamida o'zingizni osongina ikki marta tekshirishingiz mumkin, javob bir xil bo'ladi.
Biz Peak formulasidan foydalanamiz
Va nihoyat, biz trapezoidning maydonini topishga yordam beradigan yana bir original formulani taqdim etamiz. U Pick formulasi deb ataladi. Trapezoid shashka qog'ozga chizilganda foydalanish qulay. Shunga o'xshash muammolar ko'pincha GIA materiallarida uchraydi. Bu shunday ko'rinadi:
S = M/2 + N - 1,
bu formulada M - tugunlar soni, ya'ni. shakl chiziqlarining hujayra chiziqlari bilan trapezoid chegaralaridagi kesishmalari (rasmdagi to'q sariq nuqta), N - rasm ichidagi tugunlar soni (ko'k nuqta). Noto'g'ri ko'pburchakning maydonini topishda undan foydalanish eng qulaydir. Biroq, ishlatiladigan texnikalar arsenali qanchalik katta bo'lsa, xatolar shunchalik kam bo'ladi va natijalar yaxshi bo'ladi.
Albatta, taqdim etilgan ma'lumotlar trapezoidning turlari va xususiyatlarini, shuningdek uning maydonini topish usullarini to'liq tugatmaydi. Ushbu maqola uning eng muhim xususiyatlari haqida umumiy ma'lumot beradi. Geometrik masalalarni yechishda asta-sekinlik bilan harakat qilish, oson formulalar va masalalardan boshlash, tushunishni izchil mustahkamlash va murakkablikning boshqa darajasiga o'tish muhimdir.
Birgalikda to'plangan eng keng tarqalgan formulalar o'quvchilarga trapezoidning maydonini hisoblashning turli usullarini o'rganishga va ushbu mavzu bo'yicha testlar va topshiriqlarga yaxshiroq tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.
VA . Endi biz trapezoidning maydonini qanday topish kerakligi haqidagi savolni ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin. Kundalik hayotda bu vazifa juda kam uchraydi, lekin ba'zida, masalan, zamonaviy kvartiralarni qurishda tobora ko'proq foydalaniladigan trapezoid shaklidagi xonaning maydonini topish kerak bo'ladi. ta'mirlash loyihalarini loyihalash.
Trapetsiya to'rtta kesishuvchi segmentlardan hosil bo'lgan geometrik figura bo'lib, ulardan ikkitasi bir-biriga parallel va trapetsiyaning asoslari deb ataladi. Qolgan ikkita segment trapetsiyaning yon tomonlari deb ataladi. Bundan tashqari, bizga keyinroq yana bir ta'rif kerak bo'ladi. Bu trapezoidning o'rta chizig'i bo'lib, u tomonlarning o'rta nuqtalarini va trapetsiya balandligini bog'laydigan segment bo'lib, u asoslar orasidagi masofaga teng.
Uchburchaklar singari, trapetsiyaning ham tomonlari uzunligi bir xil bo'lgan teng yonli (teng yonli) trapetsiya va tomonlardan biri asoslari bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan to'rtburchaklar trapesiya shaklida maxsus turlari mavjud.
Trapetsiyalar bir nechta qiziqarli xususiyatlarga ega:
- Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslar yig'indisining yarmiga teng va ularga parallel.
- Izoscellar trapesiyalari teng tomonlarga va ularning asoslari bilan hosil qiladigan burchaklariga ega.
- Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalari va uning diagonallarining kesishish nuqtasi bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan.
- Agar trapetsiya tomonlarining yig'indisi asoslari yig'indisiga teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
- Agar trapetsiyaning har qanday poydevoridagi tomonlari hosil qilgan burchaklar yig’indisi 90 ga teng bo’lsa, asoslarning o’rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentning uzunligi ularning yarim farqiga teng bo’ladi.
- Teng yonli trapesiyani aylana bilan tasvirlash mumkin. Va aksincha. Agar trapezoid aylanaga to'g'ri keladigan bo'lsa, u bir xil yon tomonli bo'ladi.
- Teng yonli trapesiya asoslarining oʻrta nuqtalaridan oʻtuvchi segment uning asoslariga perpendikulyar boʻladi va simmetriya oʻqini ifodalaydi.
Trapezoidning maydonini qanday topish mumkin.
Trapezoidning maydoni uning asoslari yig'indisining yarmiga uning balandligiga ko'paytirilishiga teng bo'ladi. Formula shaklida bu ifoda sifatida yoziladi:
Bu erda S - trapetsiyaning maydoni, a, b - trapetsiya asoslarining har birining uzunligi, h - trapetsiyaning balandligi.
Siz ushbu formulani quyidagicha tushunishingiz va eslab qolishingiz mumkin. Quyidagi rasmdan kelib chiqqan holda, markaziy chiziqdan foydalanib, trapezoidni to'rtburchakga aylantirish mumkin, uning uzunligi asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'ladi.
Bundan tashqari, har qanday trapezoidni oddiyroq raqamlarga ajratishingiz mumkin: to'rtburchaklar va bir yoki ikkita uchburchaklar va agar siz uchun osonroq bo'lsa, trapezoidning maydonini uning tarkibiy qismlarining maydonlari yig'indisi sifatida toping.
Uning maydonini hisoblash uchun yana bir oddiy formula mavjud. Unga ko'ra, trapetsiyaning maydoni uning o'rta chizig'ining trapetsiya balandligiga ko'paytmasiga teng va quyidagi ko'rinishda yoziladi: S = m * h, bu erda S - maydon, m - uzunligi. o'rta chiziq, h - trapetsiya balandligi. Ushbu formula kundalik muammolardan ko'ra matematika muammolari uchun ko'proq mos keladi, chunki haqiqiy sharoitda siz dastlabki hisob-kitoblarsiz markaz chizig'ining uzunligini bila olmaysiz. Va siz faqat tagliklar va tomonlarning uzunligini bilib olasiz.
Bunday holda, trapezoidning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
Bu erda S - maydon, a, b - asoslar, c, d - trapetsiya tomonlari.
Trapezoid maydonini topishning yana bir qancha usullari mavjud. Biroq, ular oxirgi formula kabi noqulaydir, ya'ni ular ustida to'xtashning ma'nosi yo'q. Shuning uchun, maqoladagi birinchi formuladan foydalanishni tavsiya qilamiz va har doim aniq natijalarga erishishingizni tilaymiz.
O'tgan yilgi Yagona davlat imtihoni va davlat imtihonining amaliyoti shuni ko'rsatadiki, geometriya muammolari ko'plab maktab o'quvchilari uchun qiyinchilik tug'diradi. Agar siz barcha kerakli formulalarni eslab qolsangiz va muammolarni hal qilishni mashq qilsangiz, ular bilan osongina engishingiz mumkin.
Ushbu maqolada siz trapezoidning maydonini topish formulalarini, shuningdek, echimlar bilan bog'liq muammolar misollarini ko'rasiz. Sertifikatlash imtihonlari yoki olimpiadalarda siz KIMlarda xuddi shunday narsalarni uchratishingiz mumkin. Shuning uchun ularga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'ling.
Trapezoid haqida nimani bilishingiz kerak?
Boshlash uchun, keling, buni eslaylik trapezoid qarama-qarshi tomonlari, asoslari deb ham ataladigan to'rtburchaklar deb ataladi, qolgan ikkitasi parallel emas.
Trapezoidda balandlik (poydevorga perpendikulyar) ham tushirilishi mumkin. O'rta chiziq chizilgan - bu asoslarga parallel va ularning yig'indisining yarmiga teng bo'lgan to'g'ri chiziq. Shuningdek, kesishishi mumkin bo'lgan o'tkir va o'tkir burchaklarni hosil qiluvchi diagonallar. Yoki, ba'zi hollarda, to'g'ri burchak ostida. Bundan tashqari, agar trapezoid teng yonli bo'lsa, unda aylana yozilishi mumkin. Va uning atrofidagi doirani tasvirlab bering.
Trapetsiya maydoni formulalari
Birinchidan, trapezoidning maydonini topish uchun standart formulalarni ko'rib chiqaylik. Quyida biz izossellar va egri chiziqli trapezoidlar maydonini hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, sizda a va b asoslari bo'lgan trapezoid borligini tasavvur qiling, unda h balandligi kattaroq poydevorga tushiriladi. Bu holda raqamning maydonini hisoblash armutni otish kabi osondir. Siz shunchaki asoslar uzunligi yig'indisini ikkiga bo'lishingiz va natijani balandlikka ko'paytirishingiz kerak: S = 1/2(a + b)*h.
Yana bir holatni olaylik: deylik, trapetsiyada balandlikdan tashqari o'rta chiziq m bor. Biz o'rta chiziq uzunligini topish formulasini bilamiz: m = 1/2 (a + b). Shunday qilib, biz haqli ravishda trapezoidning maydoni formulasini quyidagi shaklga soddalashtirishimiz mumkin: S = m*h. Boshqacha qilib aytganda, trapezoidning maydonini topish uchun markaziy chiziqni balandlikka ko'paytirish kerak.
Yana bir variantni ko‘rib chiqamiz: trapetsiyada d 1 va d 2 diagonallari mavjud bo‘lib, ular a to‘g‘ri burchak ostida kesishmaydi. Bunday trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz diagonallar mahsulotini ikkiga bo'lishingiz va natijani ular orasidagi burchakning gunohiga ko'paytirishingiz kerak: S= 1/2d 1 d 2 *sina.
Endi trapetsiya maydonini topish formulasini ko'rib chiqing, agar u haqida uning barcha tomonlari uzunligidan boshqa hech narsa ma'lum bo'lmasa: a, b, c va d. Bu og'ir va murakkab formuladir, ammo uni eslab qolishingiz foydali bo'ladi: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Aytgancha, yuqoridagi misollar to'rtburchaklar trapezoidning maydoni uchun formula kerak bo'lganda ham to'g'ri keladi. Bu trapezoid bo'lib, uning tomoni poydevorlarga to'g'ri burchak ostida ulanadi.
Izossellar trapesiya
Tomonlari teng bo'lgan trapetsiyaga teng yon tomonlilar deyiladi. Biz teng yonli trapezoidning maydoni uchun formulaning bir nechta variantlarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi variant: radiusi r bo'lgan aylana teng yonli trapezoid ichiga chizilgan va yon va kattaroq asos o'tkir burchak a ni hosil qilgan holda. Aylana trapetsiyaga chizilishi mumkin, agar uning asoslari uzunliklari yig'indisi tomonlarning uzunliklari yig'indisiga teng bo'lsa.
Teng yonli trapezoidning maydoni quyidagicha hisoblanadi: chizilgan doira radiusi kvadratini to'rtga ko'paytiring va barchasini sina bilan bo'ling: S = 4r 2 / sina. Yana bir maydon formulasi katta poydevor va yon tomon o'rtasidagi burchak 30 0 bo'lgan variant uchun alohida holatdir: S = 8r2.
Ikkinchi variant: bu safar biz teng yonli trapesiyani olamiz, unda qo'shimcha ravishda d 1 va d 2 diagonallari, shuningdek h balandligi chiziladi. Agar trapezoidning diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lsa, balandlik asoslar yig'indisining yarmiga teng: h = 1/2 (a + b). Buni bilib, sizga allaqachon tanish bo'lgan trapezoidning maydoni formulasini ushbu shaklga aylantirish oson: S = h 2.
Egri trapezoidning maydoni uchun formula
Keling, egri trapezoid nima ekanligini aniqlashdan boshlaylik. X o'qida berilgan segment doirasida ishorasini o'zgartirmaydigan uzluksiz va manfiy bo'lmagan f funktsiyaning koordinata o'qi va grafigini tasavvur qiling. Egri chiziqli trapetsiya y = f(x) funksiyaning grafigi - tepada, x o'qi pastda (segment) va yon tomonlarida - a va b nuqtalar orasiga chizilgan to'g'ri chiziqlar va grafigidan hosil bo'ladi. funktsiyasi.
Yuqoridagi usullar yordamida bunday nostandart raqamning maydonini hisoblash mumkin emas. Bu erda siz matematik tahlilni qo'llashingiz va integraldan foydalanishingiz kerak. Ya'ni: Nyuton-Leybnits formulasi - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Ushbu formulada F tanlangan segmentdagi funksiyamizning antiderivatividir. Va egri chiziqli trapezoidning maydoni ma'lum bir segmentdagi antiderivativning o'sishiga to'g'ri keladi.
Namuna muammolar
Ushbu formulalarning barchasini boshingizda tushunishni osonlashtirish uchun trapezoidning maydonini topish bo'yicha ba'zi muammolar misollari keltirilgan. Agar siz avval muammolarni o'zingiz hal qilishga urinib ko'rsangiz yaxshi bo'ladi va shundan keyingina olingan javobni tayyor echim bilan solishtiring.
№1 vazifa: Trapezoid berilgan. Uning kattaroq asosi 11 sm, kichiki 4 sm. Trapetsiyaning diagonallari bor, biri 12 sm uzunlikda, ikkinchisi 9 sm.
Yechish: AMRS trapetsiyasini qurish. MC diagonaliga parallel bo‘ladigan va AC to‘g‘ri chiziqni X nuqtada kesib o‘tadigan P cho‘qqisi orqali RX to‘g‘ri chiziq o‘tkazing. APH uchburchakka ega bo‘lasiz.
Ushbu manipulyatsiyalar natijasida olingan ikkita raqamni ko'rib chiqamiz: uchburchak APX va parallelogram CMRX.
Paralelogramma tufayli biz PX = MC = 12 sm va CX = MR = 4 sm ekanligini bilib olamiz. ARX uchburchakning AX tomonini qaerdan hisoblashimiz mumkin: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 sm.
APX uchburchagi to'g'ri burchakli ekanligini ham isbotlashimiz mumkin (buning uchun Pifagor teoremasini qo'llang - AX 2 = AP 2 + PX 2). Va uning maydonini hisoblang: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 sm 2.
Keyinchalik, AMP va PCX uchburchaklari maydoni teng ekanligini isbotlashingiz kerak bo'ladi. MR va CX tomonlarning tengligi asos bo'ladi (yuqorida allaqachon tasdiqlangan). Va shuningdek, siz bu tomonlarga tushiradigan balandliklar - ular AMRS trapezoidining balandligiga teng.
Bularning barchasi S AMPC = S APX = 54 sm 2 deb aytishga imkon beradi.
Vazifa №2: KRMS trapetsiyasi berilgan. Uning yon tomonlarida O va E nuqtalari bor, OE va KS esa parallel. ORME va OKSE trapetsiyalarining maydonlari 1:5 nisbatda ekanligi ham ma’lum. RM = a va KS = b. OEni topishingiz kerak.
Yechish: M nuqta orqali RK ga parallel chiziq o‘tkazing va uning OE bilan kesishgan nuqtasini T deb belgilang. A - E nuqta orqali RK ga parallel o‘tkazilgan chiziqning KS asosi bilan kesishgan nuqtasi.
Yana bitta belgini kiritamiz - OE = x. Shuningdek, TME uchburchagi uchun h 1 balandligi va AEC uchburchagi uchun h 2 balandligi (siz bu uchburchaklarning o'xshashligini mustaqil ravishda isbotlashingiz mumkin).
Biz b > a deb faraz qilamiz. ORME va OKSE trapetsiyalarining maydonlari 1:5 nisbatda, bu bizga quyidagi tenglamani yaratish huquqini beradi: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. O'zgartiramiz va olamiz: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
TME va AEC uchburchaklari o'xshash bo'lgani uchun bizda h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) mavjud. Keling, ikkala yozuvni birlashtirib, olamiz: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Shunday qilib, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Xulosa
Geometriya fanlarning eng osoni emas, lekin siz imtihon savollarini albatta engishingiz mumkin. Tayyorgarlikda biroz qat'iyat ko'rsatish kifoya. Va, albatta, barcha kerakli formulalarni eslang.
Imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish va materialni qayta ko'rib chiqishda ulardan foydalanishingiz uchun biz trapezoidning maydonini hisoblash uchun barcha formulalarni bir joyda to'plashga harakat qildik.
Ijtimoiy tarmoqlardagi sinfdoshlar va do'stlaringizga ushbu maqola haqida aytib berishga ishonch hosil qiling. Yagona davlat imtihonlari va davlat imtihonlari uchun ko'proq yaxshi baholar bo'lsin!
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.