Salom, aziz do'stlar! Biz funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq vazifalarni ko'rib chiqishda davom etamiz. Funktsiyaning maksimal (minimal) qiymatini topish va funksiyaning maksimal (minimal) nuqtalarini topish masalalarini hal qilish uchun zarur bo'lgan uni tavsiya qilaman.

Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish uchun logarifmlar bilan bog'liq masalalar. Ushbu maqolada biz uchta masalani ko'rib chiqamiz, ularda savol funktsiyalarning maksimal (minimal) nuqtalarini topishga qaratilgan va berilgan funktsiya natural logarifmani o'z ichiga oladi.

Nazariy nuqta:

Logarifmning ta'rifiga ko'ra, logarifm belgisi ostidagi ifoda noldan katta bo'lishi kerak. *Buni nafaqat ushbu masalalarda, balki logarifmaga ega tenglama va tengsizliklarni yechishda ham hisobga olish kerak.

Funksiyaning maksimal (minimal) nuqtalarini topish algoritmi:

1. Funktsiyaning hosilasini hisoblang.

2. Uni nolga tenglashtiramiz va tenglamani yechamiz.

3. Olingan ildizlarni raqamlar qatoriga belgilaymiz.*Biz hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarni ham belgilaymiz. Funktsiyaning ortishi yoki kamayishi oraliqlarini olamiz.

4. Ushbu intervallarda hosila belgilarini aniqlang (ulardan ixtiyoriy qiymatlarni hosilaga almashtirish).

5. Biz xulosa chiqaramiz.

y = ln (x–11)–5x+2 funksiyaning maksimal nuqtasini toping

Keling, darhol x–11>0 (logarifm ta'rifi bo'yicha), ya'ni x > 11 ni yozamiz.

Funktsiyani (11;∞) oraliqda ko'rib chiqamiz.

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

X = 11 nuqta funktsiyani aniqlash sohasiga kiritilmagan va unda hosila mavjud emas. Raqamlar o'qida ikkita nuqta 11 va 11,2 ni belgilaymiz. Topilgan hosilaga (11;11,2) va (11,2;+∞) oraliqlardan ixtiyoriy qiymatlarni qo‘yish orqali funksiya hosilasining belgilarini aniqlaymiz va rasmda funksiyaning harakatini tasvirlaymiz. :

Shunday qilib, x = 11.2 nuqtada, funktsiyaning hosilasi ishorani ijobiydan salbiyga o'zgartiradi, ya'ni bu kerakli maksimal nuqtadir.

Javob: 11.2

O'zingiz qaror qiling:

y=ln (x+5)–2x+9 funksiyaning maksimal nuqtasini toping.

y=4x– ln (x+5)+8 funksiyaning minimal nuqtasini toping

Darhol x+5>0 (logarifm xossasi bo'yicha), ya'ni x>–5 ni yozamiz.

Funksiyani (– 5;+∞) oraliqda ko‘rib chiqamiz.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

nuqta x = –5 funktsiyani aniqlash sohasiga kirmaydi va hosila unda mavjud emas. Raqamlar o'qida ikkita nuqtani belgilang–5 va –4,75. Topilgan hosilaga (–5;–4,75) va (–4,75;+∞) oraliqlardan ixtiyoriy qiymatlarni qo’yish orqali funksiya hosilasining belgilarini aniqlaymiz va rasmda funksiyaning harakatini tasvirlaymiz:

Shunday qilib, x = -4.75 nuqtada funktsiyaning hosilasi ishorani manfiydan musbatga o'zgartiradi, ya'ni bu kerakli minimal nuqtadir.

Javob: – 4,75

O'zingiz qaror qiling:

y=2x–ln (x+3)+7 funksiyaning minimal nuqtasini toping.

y = x 2 –34x+140lnx–10 funksiyaning maksimal nuqtasini toping

Logarifmning xossasiga ko'ra, uning belgisi ostidagi ifoda noldan katta, ya'ni x > 0 ga teng.

Funktsiyani (0; +∞) oraliqda ko'rib chiqamiz.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Keling, hosilaning nollarini topamiz:

Kvadrat tenglamani yechish natijasida hosil bo‘ladi: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.

nuqta x = 0 funktsiyani aniqlash sohasiga kirmaydi va hosila unda mavjud emas. 0, 7 sonlar o'qida uchta nuqtani belgilaymiz va 10.

O'q o'qi oraliqlarga bo'linadi: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Olingan intervallardan ixtiyoriy qiymatlarni topilgan hosilaga almashtirish orqali funksiya hosilasining belgilarini aniqlaymiz va rasmda funktsiyaning harakatini tasvirlaymiz:

Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Funksiyaning ekstremumi nima va ekstremum uchun zarur shart nima?

Funksiyaning ekstremumlari funksiyaning maksimal va minimumi hisoblanadi.

Funksiyaning maksimal va minimumi (ekstremum) uchun zarur shart quyidagilar: agar f(x) funksiya x = a nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada hosila nolga teng, cheksiz yoki yo‘q. mavjud.

Bu shart zarur, ammo etarli emas. X = a nuqtadagi hosila nolga, cheksizlikka o'tishi mumkin yoki bu nuqtada ekstremumga ega bo'lmagan holda mavjud bo'lmasligi mumkin.

Funksiyaning ekstremum (maksimal yoki minimal) uchun yetarli shart nima?

Birinchi shart:

Agar x = a nuqtaga yetarlicha yaqinlikda f?(x) hosilasi a ning chap tomonida musbat va a ning o‘ng tomonida manfiy bo‘lsa, u holda x = a nuqtada f(x) funksiyaga ega bo‘ladi. maksimal

Agar x = a nuqtaga yetarlicha yaqinlikda f?(x) hosilasi a ning chap tomonida manfiy va a ning o‘ng tomonida musbat bo‘lsa, u holda x = a nuqtada f(x) funksiyaga ega bo‘ladi. minimal bu erda f(x) funksiya uzluksiz bo'lishi sharti bilan.

Buning o'rniga, siz funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shartdan foydalanishingiz mumkin:

x = a nuqtada birinchi hosila f?(x) yo'qolsin; agar ikkinchi hosila f??(a) manfiy bo’lsa, f(x) funksiya x = a nuqtada maksimalga, musbat bo’lsa, minimalga ega bo’ladi.

Funksiyaning kritik nuqtasi nima va uni qanday topish mumkin?

Bu funksiya ekstremumga (ya'ni maksimal yoki minimal) ega bo'lgan funktsiya argumentining qiymati. Uni topish uchun sizga kerak hosilasini toping f?(x) funksiyasi va uni nolga tenglashtirib, tenglamani yeching f?(x) = 0. Ushbu tenglamaning ildizlari, shuningdek, ushbu funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik nuqtalar, ya'ni ekstremum bo'lishi mumkin bo'lgan argumentning qiymatlari. Ularni ko'rish orqali osongina aniqlash mumkin hosilaviy grafik: bizni funktsiya grafigi abscissa o'qi (Ox o'qi) bilan kesishadigan argumentning qiymatlari va grafik uzilishlarga duchor bo'lgan qiymatlari bilan qiziqamiz.

Masalan, topamiz parabolaning ekstremumi.

Funktsiya y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktsiyaning hosilasi: y?(x) = 6x + 2

Tenglamani yeching: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bunda kritik nuqta x0=-1/3 ga teng. Funktsiya aynan shu argument qiymatiga ega ekstremum. Unga toping, topilgan raqamni ifodadagi “x” o‘rniga funksiya o‘rniga qo‘ying:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Funktsiyaning maksimal va minimumini qanday aniqlash mumkin, ya'ni. uning eng katta va eng kichik qiymatlari?

Agar x0 kritik nuqtadan o'tayotganda hosilaning belgisi "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgarmasa, x0 bo'ladi. maksimal nuqta; agar hosilaning belgisi minusdan plyusga o'zgarmasa, x0 bo'ladi minimal nuqta; agar belgi o'zgarmasa, u holda x0 nuqtada na maksimal, na minimal bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misol uchun:

Kritik nuqtaning chap tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = -1

X = -1 da hosilaning qiymati y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 bo'ladi (ya'ni belgisi "minus").

Endi biz kritik nuqtaning o'ng tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = 1

X = 1 bo'lsa, lotinning qiymati y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 bo'ladi (ya'ni, belgi "ortiqcha").

Ko'rib turganingizdek, lotin kritik nuqtadan o'tganda belgisini minusdan plyusga o'zgartirdi. Bu shuni anglatadiki, x0 kritik qiymatida biz minimal nuqtaga egamiz.

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati intervalda(segmentda) xuddi shu protsedura yordamida topiladi, faqat, ehtimol, barcha muhim nuqtalar belgilangan oraliqda yotmasligini hisobga olgan holda. Intervaldan tashqarida bo'lgan tanqidiy fikrlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlash kerak. Agar interval ichida faqat bitta kritik nuqta bo'lsa, u maksimal yoki minimalga ega bo'ladi. Bunday holda, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlash uchun biz oraliq oxiridagi funktsiya qiymatlarini ham hisobga olamiz.

Masalan, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

intervallarda:

Demak, funktsiyaning hosilasi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 tenglamani yechamiz

cos (x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2p.

Biz oraliqda kritik nuqtalarni topamiz [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2p*2 = -11,163 (intervalga kiritilmagan)

x = -arccos(0,16667) – 2p*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2p*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2p*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2p*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2p*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2p*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2p*2 = 11,163 (intervalga kiritilmagan)

Argumentning kritik qiymatlarida funktsiya qiymatlarini topamiz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Ko'rinib turibdiki, intervalda [-9; 9] funksiya x = -4.88 da eng katta qiymatga ega:

x = -4,88, y = 5,398,

va eng kichigi - x = 4,88 da:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6 oraliqda; -3] bizda faqat bitta muhim nuqta bor: x = -4,88. Funksiyaning x = -4,88 da qiymati y = 5,398 ga teng.

Funktsiyaning oraliq oxiridagi qiymatini toping:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6 oraliqda; -3] funksiyaning eng katta qiymatiga egamiz

y = 5,398 da x = -4,88

eng kichik qiymat -

x = -3 da y = 1,077

Funksiya grafigining burilish nuqtalari qanday topiladi va qavariq va botiq tomonlari aniqlanadi?

y = f(x) chizig'ining barcha burilish nuqtalarini topish uchun siz ikkinchi hosilani topishingiz, uni nolga tenglashtirishingiz (tenglamani yechish) va ikkinchi hosila nolga teng bo'lgan x ning barcha qiymatlarini sinab ko'rishingiz kerak, cheksiz yoki mavjud emas. Agar ushbu qiymatlardan biri orqali o'tayotganda ikkinchi hosila ishorani o'zgartirsa, u holda funktsiya grafigida bu nuqtada burilish mavjud. Agar u o'zgarmasa, demak, burish yo'q.

f tenglamaning ildizlari? (x) = 0, shuningdek, funktsiyaning mumkin bo'lgan uzilish nuqtalari va ikkinchi hosila, funktsiyani aniqlash sohasini bir qator intervallarga bo'linadi. Ularning har bir intervalidagi qavariqlik ikkinchi hosilaning belgisi bilan aniqlanadi. Agar o'rganilayotgan oraliqdagi nuqtadagi ikkinchi hosila musbat bo'lsa, u holda y = f(x) chiziq yuqoriga botiq, manfiy bo'lsa, pastga.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremalini qanday topish mumkin?

F(x,y) funksiyaning spetsifikatsiya sohasida differensiallanuvchi ekstremalini topish uchun quyidagilar kerak:

1) kritik nuqtalarni toping va buning uchun - tenglamalar tizimini eching

fx? (x, y) = 0, f? (x,y) = 0

2) har bir kritik nuqta uchun P0(a;b) farqning belgisi o'zgarmaganligini tekshirib ko'ring.

barcha nuqtalar uchun (x;y) P0 ga etarlicha yaqin. Agar farq ijobiy bo'lib qolsa, u holda P0 nuqtasida bizda minimal, salbiy bo'lsa, bizda maksimal bo'ladi. Agar farq o'z belgisini saqlab qolmasa, u holda P0 nuqtasida ekstremum yo'q.

Ko'proq argumentlar uchun funksiyaning ekstremallari xuddi shunday aniqlanadi.

Banderos guruhining rasmiy sayti nima?
Rus tilida so'zlashuvchi hip-hop san'atkorlarining veb-saytlari: mad-a.ru - MAD-A rap ijrochisining rasmiy veb-sayti (fotosuratlar, musiqa, tarjimai hol); st1m.ru - rap ijrochisi St1mning rasmiy veb-sayti (musiqa, video, fotosuratlar, konsertlar haqida ma'lumot, yangiliklar, forum); all1.ru - ijodiy birlashmaning rasmiy sayti

Qanday hollarda yo'l harakati politsiyasi inspektori transport vositasini to'xtatish huquqiga ega?
“Politsiya to‘g‘risida”gi Qonunning 13-moddasi 20-bandi qoidalariga asosan, yo‘l harakati politsiyasi inspektori transport vositasini (keyingi o‘rinlarda transport vositasi deb yuritiladi) to‘xtatib qo‘yish huquqiga ega, agar bu transport vositasiga yuklangan vazifalarni bajarish uchun zarur bo‘lsa. politsiya yo'l harakati xavfsizligini ta'minlash va boshqa hollarda (quyida to'liq ro'yxatga qarang). Agar inspektor ingl

Ish daftaringizni ish beruvchi tomonidan qasddan yo'qotishdan qanday himoya qilish kerak
Mehnat daftarchasini ish beruvchi tomonidan qasddan yo'qotishdan (buzilishdan) himoya qilish uchun korxona xodimiga mehnat daftarchasining nusxasini har qanday qonuniy yo'l bilan olish tavsiya etiladi, masalan, qarz olish uchun ariza berish bahonasida, va xavfsiz joyda saqlang. Agar vijdonsiz ish beruvchi xodimni o'z korxonasida ish bilan ta'minlash faktlarini qasddan yo'q qilsa (mehnat qonunchiligi buzilishini aniqlamaslik uchun

Internetdagi barcha telefonlar uchun yordam ma'lumotlarini qayerdan topishingiz mumkin?
Internetdagi "Yellow Pages" veb-saytlari: yellow-pages.ru - "Yellow Pages" onlayn ma'lumot jurnali; ypag.ru - MDHning sariq sahifalari; yellowpages.rin.ru - sariq sahifalar

Radianda necha daraja bor?
1 yoy daqiqasi (1′) = 60 yoy soniyasi (60″) 1 burchak darajasi (1°) = 60 yoy daqiqasi (60′) = 3600 yoy soniyasi (3600″) 1 radian ≈ 57,295779513° ≈prim 57°17

Musiqa san'atning bir turi. Maxsus tashkil etilgan tovushlar musiqada kayfiyat va his-tuyg'ularni etkazish vositasi bo'lib xizmat qiladi. Musiqaning asosiy elementlari va ifodali vositalari quyidagilardir: ohang, ritm, metr, temp, dinamika, tembr, garmoniya, asbobsozlik va boshqalar. Musiqa bolada badiiy didni rivojlantirishning juda yaxshi vositasidir. Musiqa sizning kayfiyatingizga ta'sir qilishi mumkin

2005 yilda Formula 1 Gran-prisiga qaysi davlatlar mezbonlik qilgan?
2005 yilda Jahon chempionati 19 ta Gran-pridan iborat bo'lib, ular quyidagi mamlakatlarda bo'lib o'tdi: Avstraliya, Malayziya, Bahrayn, San-Marino, Ispaniya, Monako, Kanada, AQSh, Frantsiya, Buyuk Britaniya, Germaniya, Vengriya, Turkiya, Italiya, Belgiya, Braziliya, Yaponiya, Xitoy. Yevropa Gran-prisi Germaniyada (Nyurburg) bo'lib o'tdi. Batafsil http:/ veb-saytida.

Alokaziya nima
Alocasia (Alocasia) Araceae oilasi. Vatan Janubiy Amerika. Issiqxona sharoitlarini (namlik va issiqlik) yaxshi ko'radigan noyob o'simlik va shuning uchun bog'bonlar orasida keng qo'llanilmaydi. Alokaziya - chiroyli yopiq o'simlik bo'lib, katta o'q shaklidagi oval (yoki yurak shaklidagi) barglari bo'lib, ulardan 6-7 tadan ko'p bo'lmagan. Eng keng tarqalgan

"Biz allaqachon bu gulni hidladik" iborasi nimani anglatadi?
"Biz allaqachon bu gulni hidladik" iborasi taniqli frazeologik birlik bilan bir xil ma'noda qo'llaniladi "Bir rake ikki marta qadam qo'ying", ya'ni. allaqachon tanish bo'lgan noxush vaziyatga duch keling. Bu ibora Ilya Ilfning "Yosh xonimlar" (1929) felyetonida quyida keltirilgan.

Panna kotta retseptini qayerdan topish mumkin
Panna kotta krem ​​va jelatindan tayyorlangan nozik, jozibali desert bo'lib, Italiyada, Emilia-Romagna mintaqasida tayyorlanadi. Shirinning nomi so'zma-so'z "qaynatilgan qaymoq" yoki "qaynatilgan krem" deb tarjima qilinadi, lekin aslida u turli xil qo'shimchalarsiz yoki qo'shilgan krem ​​pudingidir.

90 gradusning kosinusu nimaga teng?
Kosinus trigonometrik funktsiyalardan biri bo'lib, cos bilan belgilanadi. To'g'ri burchakli uchburchakda o'tkir burchakning kosinasi bu burchakdan chiqadigan oyoqning (qo'shni oyoq) tez-tez uchraydigan burchaklar uchun kosinuslarning qiymatlariga (p - pi, √ - kvadrat ildiz) nisbatiga teng

Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari

Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremal oraliqlarini topish ham mustaqil vazifa, ham boshqa vazifalarning muhim qismidir, xususan, to'liq funktsiyani o'rganish. Funktsiyaning ortishi, kamayishi va ekstremalligi haqida dastlabki ma'lumotlar keltirilgan hosila haqidagi nazariy bob, men buni oldindan o'rganish uchun tavsiya qilaman (yoki takrorlash)– shuningdek, quyidagi material juda asoslangan, chunki asosan hosila, ushbu maqolaning uyg'un davomi bo'lish. Garchi vaqt qisqa bo'lsa ham, bugungi darsdan misollarni rasmiy ravishda ishlatish ham mumkin.

Va bugun havoda kamdan-kam yakdillik ruhi bor va men hozir bo'lganlarning barchasi istak bilan yonayotganini bevosita his qilaman. funktsiyani hosilasi yordamida tadqiq qilishni o'rganing. Shuning uchun, oqilona, ​​yaxshi, abadiy atamalar darhol monitor ekranlarida paydo bo'ladi.

Nima uchun? Buning sabablaridan biri eng amaliy: ma'lum bir vazifada sizdan odatda nima talab qilinishi aniq bo'lishi uchun!

Funktsiyaning monotonligi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremal nuqtalari

Keling, ba'zi funktsiyalarni ko'rib chiqaylik. Oddiy qilib aytganda, biz u deb taxmin qilamiz uzluksiz butun son qatorida:

Har holda, keling, mumkin bo'lgan illyuziyalardan darhol xalos bo'laylik, ayniqsa yaqinda tanish bo'lgan o'quvchilar uchun. funksiyaning doimiy ishorali intervallari. Endi biz QIZIQMAGAN, funktsiya grafigi o'qga nisbatan qanday joylashganligi (yuqorida, pastda, o'q kesishgan joyda). Ishonchli bo'lish uchun, o'qlarni aqliy ravishda o'chiring va bitta grafik qoldiring. Chunki qiziqish shu yerda.

Funktsiya ortadi oraliqda, agar bu oraliqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun munosabat bilan bog'langan bo'lsa, tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning katta qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi. Namoyish funktsiyasi intervalgacha o'sib boradi.

Xuddi shunday, funktsiya kamayadi oraliqda, agar berilgan oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun , tengsizlik to'g'ri bo'lsa. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "yuqoridan pastga" ketadi. Bizning funktsiyamiz vaqt oralig'ida kamayadi .

Agar funktsiya oraliqda ortib yoki kamaysa, u chaqiriladi qat'iy monoton bu oraliqda. Monotoniya nima? Buni tom ma'noda qabul qiling - monotoniya.

Siz ham belgilashingiz mumkin kamaymaydigan funktsiyasi (birinchi ta'rifda bo'shashgan holat) va oshmaydigan funktsiya (2-ta'rifda yumshatilgan holat). Intervaldagi kamaymaydigan yoki ortib bormaydigan funksiya berilgan oraliqdagi monoton funksiya deyiladi. (qat'iy monotonlik - bu "oddiy" monotonlikning alohida holati).

Nazariya, shuningdek, funktsiyaning o'sishini / kamayishini aniqlashning boshqa yondashuvlarini, shu jumladan yarim oraliqlar, segmentlar bo'yicha ko'rib chiqadi, ammo sizning boshingizga yog'-moy-moyni quymaslik uchun biz kategoriyali ta'riflar bilan ochiq intervallar bilan ishlashga rozi bo'lamiz. - bu aniqroq va ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun etarli.

Shunday qilib, mening maqolalarimda "funktsiyaning monotonligi" so'zi deyarli har doim yashirin bo'ladi intervallar qattiq monotonlik(qat'iy oshirish yoki qat'iy kamaytiruvchi funktsiya).

Bir nuqtaning qo'shnisi. O'quvchilar qo'lidan kelganicha qochib ketishadi va dahshat ichida burchaklarga yashirinib olishadi. ...Garchi postdan keyin Cauchy chegaralari Ehtimol, ular endi yashirmaydilar, lekin biroz titraydi =) Xavotir olmang, endi matematik tahlil teoremalarining isboti bo'lmaydi - ta'riflarni yanada aniqroq shakllantirish uchun menga atrof-muhit kerak edi. ekstremal nuqtalar. Keling, eslaylik:

Bir nuqtaning qo'shnisi berilgan nuqtani o'z ichiga olgan interval deyiladi va qulaylik uchun interval ko'pincha simmetrik deb hisoblanadi. Masalan, nuqta va uning standart qo'shnisi:

Aslida, ta'riflar:

Nuqta deyiladi qat'iy maksimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, hamma uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Bizning aniq misolimizda bu nuqta.

Nuqta deyiladi qat'iy minimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, hamma uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Chizmada "a" nuqtasi mavjud.

Eslatma : mahalla simmetriyasi talabi umuman kerak emas. Bundan tashqari, muhim ahamiyatga ega mavjudligi haqiqati belgilangan shartlarga javob beradigan qo'shni (mayda yoki mikroskopik).

Nuqtalar chaqiriladi qat'iy ekstremal nuqtalar yoki shunchaki ekstremal nuqtalar funktsiyalari. Ya'ni, bu maksimal ball va minimal ball uchun umumlashtirilgan atama.

"Ekstremal" so'zini qanday tushunamiz? Ha, xuddi monotonlik kabi. Rolikli kosterlarning ekstremal nuqtalari.

Monotonlik holatida bo'lgani kabi, bo'sh postulatlar mavjud va ular nazariy jihatdan yanada keng tarqalgan (bu, albatta, ko'rib chiqilgan qat'iy holatlarga tegishli!):

Nuqta deyiladi maksimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday hamma uchun
Nuqta deyiladi minimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday hamma uchun bu mahallaning qadriyatlari, tengsizlik mavjud.

E'tibor bering, oxirgi ikkita ta'rifga ko'ra, doimiy funktsiyaning har qanday nuqtasi (yoki funktsiyaning "tekis qismi") ham maksimal, ham minimal nuqta hisoblanadi! Aytgancha, funktsiya o'smaydigan va kamaymaydigan, ya'ni monotonikdir. Biroq, biz bu mulohazalarni nazariyotchilarga qoldiramiz, chunki amalda biz deyarli har doim an'anaviy "tepaliklar" va "bo'shliqlar" (chizmaga qarang) noyob "tepalik shohi" yoki "botqoq malikasi" bilan o'ylaymiz. Turli xil bo'lib, u paydo bo'ladi maslahat, yuqoriga yoki pastga yo'naltirilgan, masalan, nuqtadagi funktsiyaning minimumi.

Oh, va qirollik haqida gapirganda:
– ma’nosi deyiladi maksimal funktsiyalari;
– ma’nosi deyiladi minimal funktsiyalari.

Umumiy ism - ekstremal funktsiyalari.

Iltimos, so'zlaringiz bilan ehtiyot bo'ling!

Ekstremal nuqtalar- bu "X" qiymatlari.
Ekstremal- "o'yin" ma'nosi.

! Eslatma : ba'zan sanab o'tilgan atamalar to'g'ridan-to'g'ri O'ZI funksiyasining grafigida joylashgan "X-Y" nuqtalariga ishora qiladi.

Funktsiya nechta ekstremalga ega bo'lishi mumkin?

Yo'q, 1, 2, 3, ... va hokazo. cheksiz. Masalan, sinus cheksiz ko'p minimal va maksimallarga ega.

MUHIM!"Maksimum funktsiya" atamasi bir xil emas"funktsiyaning maksimal qiymati" atamasi. Qiymat faqat mahalliy mahallada maksimal ekanligini va yuqori chap tomonda "salqinroq o'rtoqlar" borligini payqash oson. Xuddi shunday, "funktsiyaning minimal qiymati" "funksiyaning minimal qiymati" bilan bir xil emas va chizmada biz qiymat faqat ma'lum bir sohada minimal ekanligini ko'ramiz. Shu munosabat bilan ekstremal nuqtalar ham deyiladi mahalliy ekstremal nuqtalar, va ekstremal - mahalliy ekstremallar. Ular yaqin atrofda yurishadi va sayr qilishadi global birodarlar. Shunday qilib, har qanday parabola o'z cho'qqisiga ega global minimal yoki global maksimal. Bundan tashqari, men ekstremallarning turlarini ajratmayman va tushuntirish umumiy ta'lim maqsadlarida ko'proq aytiladi - "mahalliy" / "global" qo'shimcha sifatlar sizni ajablantirmasligi kerak.

Keling, nazariyaga qisqa ekskursiyamizni sinovdan o'tkazish bilan sarhisob qilaylik: "funktsiyaning monotonlik intervallari va ekstremum nuqtalarini topish" vazifasi nimani anglatadi?

So'z sizni topishga undaydi:

– ortib boruvchi/kamayuvchi funksiya oraliqlari (kamayuvchi, o‘smaydigan ko‘rinish kamroq bo‘ladi);

- maksimal va/yoki minimal ball (mavjud bo'lsa). Muvaffaqiyatsizlikka yo'l qo'ymaslik uchun minimal/maksimallarni o'zlari topish yaxshidir ;-)

Bularning barchasini qanday aniqlash mumkin? Hosila funksiyasidan foydalanish!

O'sish, pasayish oraliqlarini qanday topish mumkin,
funktsiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallari?

Ko'pgina qoidalar, aslida, allaqachon ma'lum va tushunilgan hosila ma'nosi haqida dars.

Tangens hosilasi funksiyasi ortib borayotgani haqidagi quvnoq yangiliklarni keltiradi ta'rif sohasi.

Kotangent va uning hosilasi bilan vaziyat butunlay teskari.

Arksinus oraliqda ortadi - bu erda hosila ijobiy: .
Funktsiya aniqlanganda, lekin farqlanmaydi. Biroq, kritik nuqtada o'ng qo'l hosilasi va o'ng qo'l tangensi, boshqa chekkasida esa ularning chap qo'ldoshlari mavjud.

O'ylaymanki, yoy kosinusu va uning hosilasi uchun shunga o'xshash fikr yuritish siz uchun unchalik qiyin bo'lmaydi.

Yuqoridagi barcha holatlar, ularning aksariyati jadvalli hosilalar, Men sizga eslatib o'taman, dan to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring hosilaviy ta'riflar.

Nima uchun funktsiyani hosilasi yordamida o'rganish kerak?

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini yaxshiroq tushunish uchun: qayerda "pastdan yuqoriga", "yuqoridan pastga", minimal va maksimallarga (agar u umuman yetib borsa) qayerda boradi. Hamma funksiyalar ham unchalik oddiy emas – aksariyat hollarda bizda ma’lum funksiyaning grafigi haqida umuman tasavvurga ega emasmiz.

Keyinchalik mazmunli misollarga o'tish va ko'rib chiqish vaqti keldi funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini topish algoritmi:

1-misol

Funksiyaning ortish/kamayish oraliqlarini va ekstremallarini toping

Yechim:

1) Birinchi qadam - topish funktsiya sohasi, shuningdek, tanaffus nuqtalariga e'tibor bering (agar ular mavjud bo'lsa). Bunda funksiya butun son qatorida uzluksiz bo'lib, bu harakat ma'lum darajada formaldir. Ammo bir qator hollarda, bu erda jiddiy ehtiroslar paydo bo'ladi, shuning uchun keling, ushbu paragrafni mensimasdan ko'rib chiqaylik.

2) Algoritmning ikkinchi nuqtasi tufayli

ekstremum uchun zaruriy shart:

Agar nuqtada ekstremum bo'lsa, u holda qiymat mavjud emas.

Oxiridan adashdingizmi? “X moduli” funksiyasining ekstremumi .

Shart zarur, lekin yetarli emas, va buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Demak, funktsiya nuqtada maksimal yoki minimumga yetishi hali tenglikdan kelib chiqmaydi. Yuqorida klassik misol allaqachon ta'kidlangan - bu kubik parabola va uning tanqidiy nuqtasi.

Qanday bo'lmasin, ekstremum uchun zaruriy shart shubhali nuqtalarni topish zarurligini taqozo etadi. Buning uchun hosilani toping va tenglamani yeching:

Birinchi maqolaning boshida Funktsiya grafiklari haqida Men sizga misol yordamida parabolani qanday tez qurishni aytdim : “...birinchi hosilani olib, uni nolga tenglashtiramiz: ...Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan...”. Endi, menimcha, nima uchun parabolaning cho'qqisi aynan shu nuqtada joylashganligini hamma tushunadi =) Umuman olganda, biz bu erda shunga o'xshash misoldan boshlashimiz kerak, lekin bu juda oddiy (hatto qo'g'irchoqlar uchun ham). Bundan tashqari, darsning oxirida analog mavjud funktsiyaning hosilasi. Shunday qilib, darajani oshiramiz:

2-misol

Funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Dars oxirida muammoning to'liq yechimi va taxminiy yakuniy namunasi.

Kasr-ratsional funktsiyalar bilan uchrashishning uzoq kutilgan vaqti keldi:

3-misol

Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganing

Bitta va bir xil vazifani qanday o'zgaruvchan tarzda qayta shakllantirish mumkinligiga e'tibor bering.

Yechim:

1) Funktsiya nuqtalarda cheksiz uzilishlarga duchor bo'ladi.

2) Biz tanqidiy nuqtalarni aniqlaymiz. Birinchi hosilani topamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Keling, tenglamani yechamiz. Kasr, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa, u nolga teng:

Shunday qilib, biz uchta muhim nuqtani olamiz:

3) Biz BARCHA aniqlangan nuqtalarni raqamlar chizig'ida va interval usuli DORIVATIV belgilarini aniqlaymiz:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, siz intervalda biron bir nuqtani olishingiz va undagi lotin qiymatini hisoblashingiz kerak va uning belgisini aniqlang. Hatto hisoblash emas, balki og'zaki "baholash" foydaliroqdir. Masalan, intervalga tegishli nuqtani olaylik va almashtirishni bajaramiz: .

Ikkita "plyus" va bitta "minus" "minus" ni beradi, shuning uchun hosila butun intervalda manfiy degan ma'noni anglatadi.

Harakat, siz tushunganingizdek, oltita intervalning har biri uchun bajarilishi kerak. Aytgancha, hisob koeffitsienti va maxraj har qanday oraliqdagi har qanday nuqta uchun qat'iy ijobiy ekanligini unutmang, bu vazifani sezilarli darajada osonlashtiradi.

Shunday qilib, hosila bizga FUNKSIYAning O'ZI ga ortishini aytdi va ga kamayadi. Bir xil turdagi intervallarni qo'shish belgisi bilan birlashtirish qulay.

Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi:
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi:

Nima uchun ikkinchi qiymatni qayta hisoblashingiz shart emasligini o'ylab ko'ring ;-)

Nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmaydi, shuning uchun funktsiyada NO EXTREMUM yo'q - u ham kamayadi, ham kamayib boraveradi.

! Keling, bir muhim fikrni takrorlaylik: nuqtalar tanqidiy hisoblanmaydi - ular funksiyani o'z ichiga oladi aniqlanmagan. Shunga ko'ra, bu erda Printsipial jihatdan hech qanday ekstremal bo'lishi mumkin emas(hatto hosila belgisini o'zgartirsa ham).

Javob: funksiya bilan ortadi Funksiyaning maksimal qiymatiga erishilganda quyidagiga kamayadi: , va nuqtada - minimal: .

O'rnatilgan monotonlik intervallari va ekstremallarni bilish asimptotlar allaqachon funktsiya grafigining ko'rinishi haqida juda yaxshi fikr beradi. O'rtacha tayyorgarlikka ega odam funktsiya grafigida ikkita vertikal asimptota va qiya asimptota borligini og'zaki aniqlashga qodir. Mana bizning qahramonimiz:

Tadqiqot natijalarini ushbu funktsiya grafigi bilan bog'lashga yana bir bor urinib ko'ring.
Kritik nuqtada ekstremum yo'q, lekin bor burilish nuqtasi(bu, qoida tariqasida, shunga o'xshash holatlarda sodir bo'ladi).

4-misol

Funksiyaning ekstremal qismini toping

5-misol

Funksiyaning monotonlik intervallarini, maksimal va minimallarini toping

…bu deyarli qandaydir “kubdagi X” bayramiga o‘xshaydi....
Xo'sh, galereyada kim buning uchun ichishni taklif qildi? =)

Har bir topshiriqning o'ziga xos muhim nuanslari va texnik nozikliklari bor, ular dars oxirida sharhlanadi.

Salom! Kelgusi Yagona Davlat imtihoniga yuqori sifatli tizimli tayyorgarlik va ilm-fan granitini silliqlashda tirishqoqlik bilan erishaylik!!! INXabar oxirida tanlov topshirig'i bor, birinchi bo'ling! Ushbu bo'limdagi maqolalardan birida siz va men, unda funktsiyaning grafigi berilgan va ekstremallar, o'sish (kamayish) intervallari va boshqalarga oid turli savollar ko'tarilgan.

Ushbu maqolada biz matematika bo'yicha Yagona davlat imtihoniga kiritilgan muammolarni ko'rib chiqamiz, unda funktsiya hosilasining grafigi berilgan va quyidagi savollar beriladi:

1. Berilgan segmentning qaysi nuqtasida funksiya eng katta (yoki eng kichik) qiymatni oladi.

2. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning maksimal (yoki minimal) nuqtalari sonini toping.

3. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping.

4. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning ekstremum nuqtasini toping.

5. Funksiyaning ortishi (yoki kamayishi) oraliqlarini toping va javobda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig‘indisini ko‘rsating.

6. Funksiyaning ortishi (yoki kamayishi) oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarning eng kattasining uzunligini ko'rsating.

7. Funksiya grafigining tangensi y = kx + b ko'rinishdagi chiziqqa parallel yoki to'g'ri keladigan nuqtalar sonini toping.

8. Funksiya grafigining tangensi abscissa o‘qiga parallel yoki unga to‘g‘ri keladigan nuqtaning abssissasini toping.

Boshqa savollar ham bo'lishi mumkin, ammo agar tushunsangiz va ular sizga hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi (havolalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni taqdim etadigan maqolalarga havolalar berilgan, ularni takrorlashni tavsiya etaman).

Asosiy ma'lumotlar (qisqacha):

1. Ortib boruvchi intervallardagi hosila ijobiy belgiga ega.

Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum nuqtadagi hosila ijobiy qiymatga ega bo'lsa, u holda bu oraliqdagi funktsiya grafigi ortadi.

2. Kamayuvchi oraliqlarda hosila manfiy belgiga ega.

Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum nuqtadagi hosila manfiy qiymatga ega bo'lsa, u holda funktsiya grafigi bu oraliqda kamayadi.

3. X nuqtadagi hosila shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.

4. Funksiyaning ekstremum (maksimal-minimal) nuqtalarida hosila nolga teng. Bu nuqtada funksiya grafigining tangensi x o'qiga parallel bo'ladi.

Buni aniq tushunish va yodda tutish kerak !!!

Loyqa grafik ko'p odamlarni "chalkashtirib yuboradi". Ba'zi odamlar beixtiyor uni funktsiyaning grafigi deb xato qilishadi. Shuning uchun, bunday binolarda, grafik berilganligini ko'rsangiz, darhol e'tiboringizni berilgan shartga qarating: funktsiya grafigiga yoki funktsiya hosilasi grafigiga?

Agar bu funktsiya hosilasining grafigi bo'lsa, uni funktsiyaning o'zini "aks etishi" sifatida ko'rib chiqing, bu sizga ushbu funktsiya haqida ma'lumot beradi.

Vazifani ko'rib chiqing:

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–2;21) oraliqda aniqlanadi.

Biz quyidagi savollarga javob beramiz:

1. Funktsiya segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X) eng katta qiymatni oladi.

Berilgan oraliqda funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi, ya'ni bu oraliqdagi funktsiya kamayadi (u intervalning chap chegarasidan o'ngga kamayadi). Shunday qilib, funksiyaning eng katta qiymati segmentning chap chegarasida, ya'ni 7-bandda erishiladi.

Javob: 7

2. Funktsiya segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X)

Ushbu hosilaviy grafikdan biz quyidagilarni aytishimiz mumkin. Berilgan oraliqda funktsiyaning hosilasi musbat bo'ladi, ya'ni bu oraliqdagi funktsiya ortib boradi (u intervalning chap chegarasidan o'ngga ortadi). Shunday qilib, funksiyaning eng kichik qiymati segmentning chap chegarasida, ya'ni x = 3 nuqtasida erishiladi.

Javob: 3

3. Funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping f(X)

Maksimal nuqtalar lotin belgisi ijobiydan salbiyga o'zgargan nuqtalarga to'g'ri keladi. Keling, belgi qayerda shu tarzda o'zgarishini ko'rib chiqaylik.

(3;6) segmentida hosila ijobiy, (6;16) segmentida manfiy.

(16;18) segmentida hosila ijobiy, (18;20) segmentida manfiy.

Shunday qilib, berilgan segmentda funksiya ikkita maksimal nuqtaga ega x = 6 va x = 18.

Javob: 2

4. Funksiyaning minimal nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli.

Minimal ballar lotin belgisi manfiydan musbatga o'tadigan nuqtalarga to'g'ri keladi. Bizning hosilamiz (0;3) oraliqda manfiy, (3;4) oraliqda esa musbat.

Shunday qilib, segmentda funksiya faqat bitta minimal x = 3 nuqtaga ega.

*Javobni yozishda ehtiyot bo'ling - x qiymati emas, balki ballar soni qayd etiladi;

Javob: 1

5. Funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli.

Iltimos, nimani topishingiz kerakligini ko'rib chiqing miqdori ekstremum nuqtalar (bular maksimal va minimal nuqtalar).

Ekstremum nuqtalar hosila belgisi o'zgargan nuqtalarga to'g'ri keladi (musbatdan salbiyga yoki aksincha). Shartda berilgan grafikda bu funksiyaning nollari. Hosil 3, 6, 16, 18 nuqtalarda yo‘qoladi.

Shunday qilib, funksiya segmentda 4 ta ekstremum nuqtaga ega.

Javob: 4

6. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X)

Bu funktsiyani oshirish intervallari f(X) uning hosilasi musbat bo'lgan intervallarga, ya'ni (3;6) va (16;18) oraliqlarga mos keladi. E'tibor bering, intervalning chegaralari unga kiritilmagan (dumaloq qavslar - chegaralar intervalga kiritilmagan, kvadrat qavslar - kiritilgan). Bu intervallar 4, 5, 17 butun son nuqtalarini o'z ichiga oladi. Ularning yig'indisi: 4 + 5 + 17 = 26

Javob: 26

7. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X) berilgan oraliqda. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Funktsiyani kamaytirish intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan intervallarga mos keladi. Bu masalada bu intervallar (–2;3), (6;16), (18:21).

Bu intervallar quyidagi butun nuqtalarni o'z ichiga oladi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ularning yig'indisi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Javob: 140

*Shartga e'tibor bering: chegaralar intervalga kiritilganmi yoki yo'qmi. Agar chegaralar kiritilgan bo'lsa, u holda hal qilish jarayonida ko'rib chiqilgan oraliqlarda bu chegaralar ham hisobga olinishi kerak.

8. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X)

Funktsiyaning ortishi intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi musbat bo'lgan intervallarga to'g'ri keladi. Biz ularni allaqachon ko'rsatdik: (3; 6) va (16: 18). Ulardan eng kattasi interval (3;6), uzunligi 3 ga teng.

Javob: 3

9. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X). Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.

Funktsiyani kamaytirish intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan intervallarga mos keladi. Biz ularni allaqachon ko'rsatganmiz; bular (–2;3), (6;16), (18;21) oraliqlar, ularning uzunligi mos ravishda 5, 10, 3.

Eng kattasining uzunligi 10 ga teng.

Javob: 10

10. Funksiya grafigiga teginish nuqtalari sonini toping f(X) y = 2x + 3 to'g'ri chiziqqa parallel yoki unga to'g'ri keladi.

Hosilning tangens nuqtasidagi qiymati tangensning qiyaligiga teng. Tangens y = 2x + 3 to'g'ri chiziqqa parallel yoki unga to'g'ri kelganligi sababli, ularning burchak koeffitsientlari 2 ga teng. Demak, y'(x 0) = 2 bo'lgan nuqtalar sonini topish kerak. Geometrik jihatdan bu hosilaviy grafikning to'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqtalari soniga to'g'ri keladi y = 2. Bu oraliqda 4 ta shunday nuqta mavjud.

Javob: 4

11. Funksiyaning ekstremum nuqtasini toping f(X), segmentga tegishli.

Funksiyaning ekstremum nuqtasi uning hosilasi nolga teng boʻlgan nuqta boʻlib, shu nuqtaga yaqin joyda hosila belgisi oʻzgaradi (musbatdan manfiyga yoki aksincha). Segmentda hosilaviy grafik x o'qini kesib o'tadi, lotin belgisi manfiydan musbatga o'zgaradi. Demak, x = 3 nuqta ekstremum nuqtadir.

Javob: 3

12. y = f (x) grafigining tangenslari abtsissa o'qiga parallel yoki u bilan mos keladigan nuqtalarning abssissalarini toping. Javobingizda ularning eng kattasini ko'rsating.

y = f (x) grafigining tangensi abscissa o'qiga parallel bo'lishi yoki unga to'g'ri kelishi mumkin, faqat hosila nolga teng bo'lgan nuqtalarda (bular ekstremum nuqtalar yoki hosila yaqin bo'lgan statsionar nuqtalar bo'lishi mumkin). belgisini o'zgartirmang). Bu grafik 3, 6, 16,18 nuqtalarda hosila nolga teng ekanligini ko‘rsatadi. Eng kattasi - 18.

Fikringizni quyidagicha tuzishingiz mumkin:

Hosilning tangens nuqtasidagi qiymati tangensning qiyaligiga teng. Tangens x o'qiga parallel yoki unga to'g'ri kelganligi sababli, uning qiyaligi 0 ga teng (haqiqatan ham, nol graduslik burchakning tangensi nolga teng). Shuning uchun biz qiyalik nolga teng bo'lgan nuqtani qidiramiz va shuning uchun hosila nolga teng. Hosila uning grafigi x o'qini kesishgan nuqtada nolga teng va bular 3, 6, 16,18 nuqtalardir.

Javob: 18

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–8;4) oraliqda aniqlanadi. Funktsiya [–7;–3] segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X) eng kichik qiymatni oladi.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–7;14) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping f(X), [–6;9] segmentiga tegishli.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–18;6) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning minimal nuqtalari sonini toping f(X), [–13;1] segmentiga tegishli.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–11; –11) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli [–10; –10].

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–7;4) oraliqda aniqlanadi. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–5;7) oraliqda aniqlanadi. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–11;3) oraliqda aniqlanadi. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X). Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.

F Rasmda grafik ko'rsatilgan

Muammoning shartlari bir xil (biz ko'rib chiqdik). Uch sonning yig'indisini toping:

1. f (x) funksiyaning ekstremal kvadratlari yig’indisi.

2. f (x) funktsiyasining maksimal nuqtalari yig'indisi va minimal nuqtalari yig'indisining kvadratlari orasidagi farq.

3. y = –3x + 5 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan f (x) ga teglar soni.

Birinchi bo'lib to'g'ri javob bergan kishi 150 rubl miqdoridagi rag'batlantiruvchi mukofotga ega bo'ladi. Javoblaringizni izohlarda yozing. Agar bu sizning blogdagi birinchi sharhingiz bo'lsa, u darhol paydo bo'lmaydi, lekin birozdan keyin (xavotir olmang, sharh yozilgan vaqt qayd etiladi).

Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitsix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Funktsiya va uning xususiyatlarini o'rganish zamonaviy matematikaning asosiy boblaridan birini egallaydi. Har qanday funktsiyaning asosiy komponenti nafaqat uning xossalarini, balki ushbu funktsiya hosilasi parametrlarini ham tasvirlaydigan grafiklardir. Keling, ushbu qiyin mavzuni tushunaylik. Xo'sh, funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini topishning eng yaxshi usuli qanday?

Funktsiya: ta'rif

Qaysidir ma'noda boshqa miqdorning qiymatlariga bog'liq bo'lgan har qanday o'zgaruvchini funktsiya deb atash mumkin. Masalan, f(x 2) funktsiyasi kvadratik bo'lib, butun x to'plamining qiymatlarini aniqlaydi. Aytaylik, x = 9, u holda bizning funktsiyamizning qiymati 9 2 = 81 ga teng bo'ladi.

Funktsiyalar juda ko'p turli xil bo'ladi: mantiqiy, vektor, logarifmik, trigonometrik, raqamli va boshqalar. Ularni Lakroix, Lagranj, Leybnits, Bernulli kabi buyuk aql egalari o'rgandilar. Ularning asarlari funktsiyalarni o'rganishning zamonaviy usullarida asosiy tayanch bo'lib xizmat qiladi. Minimal nuqtalarni topishdan oldin, funktsiya va uning hosilasining ma'nosini tushunish juda muhimdir.

Hosil va uning roli

Barcha funktsiyalar o'z o'zgaruvchilariga bog'liq, ya'ni ular istalgan vaqtda o'z qiymatini o'zgartirishi mumkin. Grafikda bu ordinat o'qi bo'ylab tushadigan yoki ko'tariladigan egri chiziq sifatida tasvirlanadi (bu vertikal grafik bo'ylab "y" raqamlarining butun to'plami). Demak, funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash aynan shu "tebranishlar" bilan bog'liq. Keling, bu munosabatlar nima ekanligini tushuntiramiz.

Har qanday funktsiyaning hosilasi uning asosiy xarakteristikalarini o'rganish va funktsiya qanchalik tez o'zgarishini (ya'ni, "x" o'zgaruvchisiga qarab uning qiymatini o'zgartirishini) hisoblash uchun grafiklanadi. Funksiya oshgan paytda uning hosilasi grafigi ham ortadi, lekin istalgan soniyada funktsiya pasayishni boshlashi mumkin, keyin esa hosilaning grafigi kamayadi. Tuzama minus belgisidan ortiqcha ishoraga o'tadigan nuqtalar minimal nuqtalar deb ataladi. Minimal ballarni qanday topishni bilish uchun siz yaxshiroq tushunishingiz kerak

lotinni qanday hisoblash mumkin?

Ta'rif va funktsiyalar bir nechta tushunchalarni nazarda tutadi. Umuman olganda, hosila ta'rifining o'zi quyidagicha ifodalanishi mumkin: bu funktsiyaning o'zgarish tezligini ko'rsatadigan miqdor.

Uni aniqlashning matematik usuli ko'plab talabalar uchun murakkab ko'rinadi, lekin aslida hamma narsa ancha sodda. Har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun standart rejaga amal qilish kifoya. Quyida biz funktsiyaning minimal nuqtasini differentsiallash qoidalarini qo'llamasdan va hosilalar jadvalini yodlamasdan qanday topish mumkinligini tasvirlaymiz.

1. Grafik yordamida funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz funktsiyaning o'zini tasvirlashingiz kerak, so'ngra uning ustida bir nuqtani olishingiz kerak (rasmdagi A nuqtasi abscissa o'qiga vertikal ravishda chiziq torting (nuqta x 0) va A nuqtaga teginish chiziladi). funksiya grafigi. X o'qi va tangens ma'lum bir burchakni hosil qiladi. Funksiya qanchalik tez ortishi qiymatini hisoblash uchun bu burchakning tangensini hisoblash kerak a.
2. Ma’lum bo‘lishicha, x o‘qining tangensi bilan yo‘nalishi orasidagi burchak tangensi funksiyaning A nuqtaga ega bo‘lgan kichik maydondagi hosilasi hisoblanadi. Bu usul hosilani aniqlashning geometrik usuli hisoblanadi.

Funktsiyani o'rganish usullari

Maktab matematika dasturida funksiyaning minimal nuqtasini ikki usulda topish mumkin. Biz allaqachon grafik yordamida birinchi usulni muhokama qildik, lekin lotinning raqamli qiymatini qanday aniqlash mumkin? Buni amalga oshirish uchun lotinning xususiyatlarini tavsiflovchi va "x" kabi o'zgaruvchilarni raqamlarga aylantirishga yordam beradigan bir nechta formulalarni o'rganishingiz kerak bo'ladi. Quyidagi usul universaldir, shuning uchun uni deyarli barcha turdagi funktsiyalarga (ham geometrik, ham logarifmik) qo'llash mumkin.

1. Funksiyani hosila funksiyaga tenglashtirish, so‘ngra differensiallash qoidalari yordamida ifodani soddalashtirish kerak.
2. Ba'zi hollarda, "x" o'zgaruvchisi bo'luvchida bo'lgan funksiya berilganda, undan "0" nuqtasini hisobga olmaganda, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlash kerak (oddiy sababga ko'ra matematikada hech qachon nolga bo'linadi).
3. Shundan so'ng, siz funktsiyaning asl shaklini butun ifodani nolga tenglashtirib, oddiy tenglamaga aylantirishingiz kerak. Masalan, agar funktsiya quyidagicha ko'rinishda bo'lsa: f(x) = 2x 3 +38x, u holda differensiallanish qoidalariga ko'ra uning hosilasi f"(x) = 3x 2 +1 ga teng bo'ladi. Keyin bu ifodani o'zgartiramiz. quyidagi ko'rinishdagi tenglama: 3x 2 +1 = 0 .
4. Tenglamani yechish va "x" nuqtalarini topgandan so'ng, siz ularni x o'qi bo'yicha chizishingiz va belgilangan nuqtalar orasidagi ushbu bo'limlardagi hosila ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlashingiz kerak. Belgilangandan so'ng, funktsiya qaysi nuqtada kamayishni boshlashi, ya'ni belgini minusdan teskarisiga o'zgartirishi aniq bo'ladi. Aynan shu tarzda siz minimal va maksimal nuqtalarni topishingiz mumkin.

Farqlash qoidalari

Funktsiyani va uning hosilasini o'rganishda eng asosiy komponent bu differentsiallash qoidalarini bilishdir. Faqat ularning yordami bilan siz og'ir ifodalarni va katta murakkab funktsiyalarni o'zgartirishingiz mumkin. Keling, ular bilan tanishamiz, ularning ko'pi bor, lekin ularning barchasi kuch va logarifmik funktsiyalarning tabiiy xususiyatlari tufayli juda oddiy.

1. Har qanday doimiyning hosilasi nolga teng (f(x) = 0). Ya'ni f(x) = x 5 + x - 160 hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Ikki hadning yig'indisining hosilasi: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logarifmik funktsiyaning hosilasi: (log a d)" = d/ln a*d. Bu formula logarifmlarning barcha turlariga tegishli.
4. Quvvatning hosilasi: (x n)"= n*x n-1. Masalan, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinusoidal funktsiyaning hosilasi: (sin a)" = cos a. Agar a burchakning sinasi 0,5 bo'lsa, uning hosilasi √3/2 bo'ladi.

Ekstremal nuqtalar

Biz allaqachon minimal nuqtalarni qanday topishni muhokama qildik, ammo tushuncha va funktsiyalar mavjud. Agar minimal funktsiya minus belgisidan plyusga o'tadigan nuqtalarni bildirsa, u holda maksimal nuqtalar x o'qidagi nuqtalar bo'lib, bunda funktsiya hosilasi ortiqcha dan teskari - minusga o'zgaradi.

Yuqorida tavsiflangan usul yordamida siz maksimal nuqtalarni topishingiz mumkin, ammo ular funktsiya pasayishni boshlagan joylarni ko'rsatishini hisobga olishingiz kerak, ya'ni lotin noldan kichik bo'ladi.

Matematikada ikkala tushunchani umumlashtirish, ularni "ekstrema nuqtalari" iborasi bilan almashtirish odatiy holdir. Agar topshiriq sizdan ushbu nuqtalarni aniqlashni so'rasa, bu siz berilgan funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz va minimal va maksimal nuqtalarni topishingiz kerakligini anglatadi.