Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin
Keling, integral hisoblarning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz - tekislik figurasining maydonini hisoblash uchun aniq integraldan qanday foydalanish. Nihoyat, oliy matematikadan ma'no izlayotganlar - topsinlar. Siz hech qachon bilmaysiz. Haqiqiy hayotda siz elementar funktsiyalardan foydalangan holda dacha uchastkasini taxmin qilishingiz va aniq integral yordamida uning maydonini topishingiz kerak bo'ladi.
Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:
1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.
2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar.
Aslida, figuraning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida unchalik ko'p ma'lumot kerak emas. "Aniq integral yordamida maydonni hisoblash" vazifasi har doim chizmani qurishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ancha dolzarb masala bo'ladi. Shu munosabat bilan, asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqidagi xotirangizni yangilash va hech bo'lmaganda to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qurish uchun foydalidir. Buni uslubiy material va grafiklarning geometrik o'zgarishlariga oid maqola yordamida (ko'pchilik uchun bu zarur) amalga oshirish mumkin.
Darhaqiqat, hamma maktabdan beri aniq integral yordamida maydonni topish vazifasi bilan tanish edi va biz maktab o'quv dasturidan uzoqqa bormaymiz. Bu maqola umuman bo'lmagan bo'lishi mumkin edi, lekin haqiqat shundaki, muammo 100 ta holatdan 99 tasida, ya'ni talaba nafratlangan maktabdan azob chekayotganda va oliy matematika kursini ishtiyoq bilan o'zlashtirganda yuzaga keladi.
Ushbu seminarning materiallari sodda, batafsil va minimal nazariya bilan taqdim etilgan.
Egri trapezoiddan boshlaylik.
Egri chiziqli trapezoid o‘q, to‘g‘ri chiziqlar va shu oraliqda ishorasini o‘zgartirmaydigan oraliqda uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan tekis figuradir. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas x o'qi:
Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan aniq integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechimlarga misollar Aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.
Ya'ni, aniq integral (agar mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ma'lum bir raqamning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qning ustida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar rasm chizishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
1-misol
Bu odatiy topshiriq bayonoti. Qarorda birinchi va eng muhim nuqta - chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma tuzilishi kerak TO'G'RI.
Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha to'g'ri chiziqlarni (agar mavjud bo'lsa) qurish yaxshiroq va faqat Keyin– parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funksiyalarning grafiklarini tuzish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtadan-nuqta qurilish texnikasini mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimiz uchun juda foydali materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish mumkin.
Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizmani chizamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):
Men egri trapesiyani soya qilmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:
Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:
Javob:
Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi 
, ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar.
Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
Chiziqlar, , va o'qlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?
3-misol
Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Keling, rasm chizamiz: 
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda: 
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping.
Yechim: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni chiziqlarning kesishish nuqtalari ko'proq qiziqtiradi. Parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..
Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Turli grafiklar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.
Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz: 
Yana takror aytamanki, nuqtaviy qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi: Agar segmentda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya , keyin ushbu funktsiyalarning grafiklari va chiziqlari bilan chegaralangan raqamning maydoni , , formula yordamida topilishi mumkin: 
Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda va taxminan aytganda, Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam yuqoridagi parabola va pastdagi to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Tegishli formula bo'yicha segmentda:
Javob:
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-sonli oddiy misolga qarang) formulaning alohida holatidir. 
. Chunki o'q tenglama bilan belgilanadi va funktsiyaning grafigi joylashgan yuqori emas keyin boltalar 
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... noto'g'ri raqamning maydoni topildi, sizning kamtarin xizmatkoringiz bir necha marta mana shu tarzda buzildi. Mana haqiqiy hayotiy holat:
7-misol
, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.
Yechim: Birinchidan, rasm chizamiz: 
...Eh, chizma ahmoq chiqdi, lekin hamma narsa o'qiladiganga o'xshaydi.
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangda(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan figuraning maydonini topishingiz kerak bo'lgan "nosozlik" paydo bo'ladi!
Ushbu misol, shuningdek, ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblashda foydalidir. Haqiqatan ham:
1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqning grafigi mavjud;
2) Eksa ustidagi segmentda giperbolaning grafigi joylashgan.
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
Keling, boshqa mazmunli vazifaga o'tamiz.
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz: 
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan amalga oshirilishiga kafolat qayerda bo'lsa, shunday bo'lishi mumkin ... Yoki ildiz. Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak-chi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
To'g'ri chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz: 
,
Haqiqatan ham, .
Keyingi yechim arzimas, asosiysi almashtirishda chalkashmaslik va bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas;
Segmentda 
, mos keladigan formula bo'yicha: 
Javob: 
Xo'sh, darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,
Yechim: Keling, ushbu rasmni chizmada tasvirlaymiz. 
Jin ursin, men jadvalga imzo qo'yishni unutibman va afsuski, rasmni qayta tiklashni xohlamadim. Rasm chizish kuni emas, qisqasi, bugun kun =)
Nuqtama-nuqta qurish uchun sinusoidning ko'rinishini bilish kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funktsiya grafigi eksa ustida joylashgan, shuning uchun:
Vazifa No 3. Chizma tuzing va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang
Amaliy masalalarni yechishda integralni qo'llash
Hududni hisoblash
Uzluksiz manfiy bo'lmagan f(x) funksiyaning aniq integrali son jihatdan teng y = f(x) egri chizig'i, O x o'qi va x = a va x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoni. Shunga ko'ra, maydon formulasi quyidagicha yoziladi:
Keling, tekislik figuralarining maydonlarini hisoblashning ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.
Vazifa No 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 chiziqlar bilan chegaralangan maydonni hisoblang.
Yechim. Keling, maydonini hisoblashimiz kerak bo'lgan figurani quraylik.
y = x 2 + 1 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va parabola O y o'qiga nisbatan bir birlik yuqoriga siljigan parabola (1-rasm).
1-rasm. y = x 2 + 1 funksiya grafigi
Vazifa No 2. 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda y = x 2 – 1, y = 0 chiziqlari bilan chegaralangan maydonni hisoblang.
 |
Yechim. Bu funksiyaning grafigi yuqoriga yo'naltirilgan shoxlardan iborat parabola bo'lib, parabola O y o'qiga nisbatan bir birlik pastga siljigan (2-rasm).
2-rasm. y = x 2 – 1 funksiya grafigi
Vazifa No 3. Chizma tuzing va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang
y = 8 + 2x – x 2 va y = 2x – 4.
Yechim. Bu ikki chiziqning birinchisi parabola bo'lib, shoxlari pastga yo'naltirilgan, chunki x 2 koeffitsienti manfiy, ikkinchi chiziq esa ikkala koordinata o'qini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.
Parabolani qurish uchun uning uchi koordinatalarini topamiz: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – cho‘qqining abssissasi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 - uning ordinatasi, N(1;9) - tepasi.
Endi tenglamalar tizimini yechish orqali parabola va to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz:
Chap tomonlari teng bo'lgan tenglamaning o'ng tomonlarini tenglashtirish.
Biz 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 yoki x 2 – 12 = 0 ni olamiz, buning natijasida 
.
Demak, nuqtalar parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalaridir (1-rasm).
3-rasm y = 8 + 2x – x 2 va y = 2x – 4 funksiyalar grafiklari
y = 2x – 4 to'g'ri chiziq quramiz. U koordinata o'qlaridagi (0;-4), (2;0) nuqtalardan o'tadi.
Parabolani qurish uchun siz uning 0x o'qi bilan kesishgan nuqtalaridan, ya'ni 8 + 2x – x 2 = 0 yoki x 2 – 2x – 8 = 0 tenglamaning ildizlaridan ham foydalanishingiz mumkin. Vieta teoremasidan foydalanish oson. uning ildizlarini topish uchun: x 1 = 2, x 2 = 4.
3-rasmda ushbu chiziqlar bilan chegaralangan shakl (parabolik segment M 1 N M 2) ko'rsatilgan.
Muammoning ikkinchi qismi bu raqamning maydonini topishdir. Uning maydonini formula bo'yicha aniq integral yordamida topish mumkin 
.
Ushbu shartga nisbatan biz integralni olamiz: 
2 Aylanish jismining hajmini hisoblash
y = f(x) egri chizig'ining O x o'qi atrofida aylanishidan olingan jismning hajmi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
O y o'qi atrofida aylanayotganda formula quyidagicha ko'rinadi:
Vazifa № 4. O x o'qi atrofida x = 0 x = 3 to'g'ri chiziqlar va y = egri chizig'i bilan chegaralangan egri trapetsiyaning aylanishidan olingan jismning hajmini aniqlang.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (4-rasm).
4-rasm. y = funksiyaning grafigi
Kerakli hajm 
Vazifa № 5. O y o'qi atrofida y = x 2 egri chiziq va y = 0 va y = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri trapetsiyaning aylanishidan olingan jismning hajmini hisoblang.
Yechim. Bizda ... bor:
Ko'rib chiqish savollari
Misol 1 . Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 va x = 2
Shakl quramiz (rasmga qarang) Ikkita A(4;0) va B(0;2) nuqtalar yordamida x + 2y – 4 = 0 to'g'ri chiziq quramiz. y ni x orqali ifodalab, y = -0,5x + 2 ni olamiz. (1) formuladan foydalanib, bu erda f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2 ni topamiz.
S = = [-0,25=11,25 kv. birliklar
2-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 va y = 0.
Yechim. Keling, rasmni tuzamiz.
x – 2y + 4 = 0 to'g'ri chiziq quramiz: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y – 5 = 0 to'g'ri chiziq quramiz: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Tenglamalar tizimini yechish orqali chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Kerakli maydonni hisoblash uchun AMC uchburchagini ikkita AMN va NMC uchburchaklariga ajratamiz, chunki x A dan N ga o'tganda maydon to'g'ri chiziq bilan, x N dan C ga o'tganda esa to'g'ri chiziq bilan chegaralanadi.
AMN uchburchagi uchun bizda: ; y = 0,5x + 2, ya'ni f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC uchburchak uchun bizda: y = - x + 5, ya'ni f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Har bir uchburchakning maydonini hisoblab, natijalarni qo'shib, biz topamiz:
kv. birliklar
kv. birliklar
9 + 4, 5 = 13,5 kv. birliklar Tekshiring: = 0,5AC = 0,5 kv. birliklar
3-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Bunday holda, siz y = x parabola bilan chegaralangan egri trapezoidning maydonini hisoblashingiz kerak. 2 , x = 2 va x = 3 to'g'ri chiziqlar va Ox o'qi (rasmga qarang) (1) formuladan foydalanib, egri chiziqli trapezoidning maydonini topamiz
= = 6 kv. birliklar
4-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = - x 2 + 4 va y = 0
Keling, rasmni tuzamiz. Kerakli maydon y = - x parabola orasiga o'ralgan 2 + 4 va Ox o'qi.
Parabolaning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. y = 0 deb faraz qilsak, biz x = topamiz, chunki bu raqam Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun, biz Oy o'qining o'ng tomonida joylashgan figuraning maydonini hisoblaymiz va olingan natijani ikki barobarga oshiramiz: = +4x]sq. birliklar 2 = 2 kv. birliklar
5-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Bu erda siz parabolaning yuqori novdasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblashingiz kerak. 2 = x, Ox o'qi va to'g'ri chiziqlar x = 1 va x = 4 (rasmga qarang)
Formula (1) ga ko'ra, f(x) = a = 1 va b = 4 bo'lsa, bizda = (= kv. birliklar mavjud.
6-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Kerakli maydon sinusoidning yarim to'lqini va Ox o'qi bilan cheklangan (rasmga qarang).
Bizda - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. birliklar
7-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y = - 6x, y = 0 va x = 4.
Shakl Ox o'qi ostida joylashgan (rasmga qarang).
Shuning uchun uning maydonini (3) formuladan foydalanib topamiz.
= =
8-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = va x = 2. Nuqtalardan y = egri chizig'ini tuzing (rasmga qarang). Shunday qilib, (4) formuladan foydalanib, rasmning maydonini topamiz.
9-misol .
X 2 + y 2 = r 2 .
Bu erda siz x doira bilan o'ralgan maydonni hisoblashingiz kerak 2 + y 2 = r 2 , ya'ni radiusi r bo'lgan aylananing maydoni, markazi boshlang'ichda. 0 dan integrasiya chegaralarini olib, bu sohaning to‘rtinchi qismini topamiz
oldin; bizda ... bor: 1 = = [
Demak, 1 =
10-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang: y= x 2 va y = 2x
Bu raqam y = x parabola bilan chegaralangan 2 va to'g'ri chiziq y = 2x (rasmga qarang) Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini yechamiz: x 2 – 2x = 0 x = 0 va x = 2
Hududni topish uchun (5) formuladan foydalanib, biz olamiz
= funktsiya grafigi y = x 2 + 2 joylashgan eksa ustidaOX, Shunung uchun:
Javob: .
Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi
,
ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechimlarga misollar. Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javobning haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, biz rasmdagi hujayralar sonini "ko'z bilan" hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta bo'ladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar biz, aytaylik, javobni olgan bo'lsak, aniq: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xato qilinganligi aniq - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lsa, unda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang xy = 4, x = 2, x= 4 va eksa OX.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Agar kavisli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostidaOX?
3-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y = e-x, x= 1 va koordinata o'qlari.
Yechim: Keling, rasm chizamiz:
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay eksa ostida joylashgan OX , keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Ushbu holatda:
.
Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormaslik kerak:
1) Agar sizdan geometrik ma'nosiz oddiygina aniq integralni yechish so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.
2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.
Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun biz eng oddiy maktab muammolaridan yanada mazmunli misollarga o'tamiz.
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y = 2x – x 2 , y = -x.
Yechim: Avval siz rasm chizishingiz kerak. Hudud masalalari chizmasini qurishda bizni eng ko'p chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz y = 2x – x 2 va tekis y = -x. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:
Bu integratsiyaning pastki chegarasi degan ma'noni anglatadi a= 0, integratsiyaning yuqori chegarasi b= 3. Chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ko'pincha foydaliroq va tezroq bo'ladi va integratsiya chegaralari "o'z-o'zidan" aniq bo'ladi. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki batafsil konstruktsiya integratsiya chegaralarini ochib bermasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Keling, vazifamizga qaytaylik: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:
Yana takror aytamizki, nuqtali qurishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik" aniqlanadi.
Va endi ish formulasi:
Agar segmentda [ a; b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) dan katta yoki teng ba'zi doimiy funktsiya g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
Bu erda siz endi raqam qaerda joylashganligi haqida o'ylashingiz shart emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin Qaysi grafik YUQORroq ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.
Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun 2 dan. x – x 2 ayirish kerak - x.
Tugallangan yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:
Istalgan raqam parabola bilan cheklangan y = 2x – x 2 tepada va tekis y = -x quyida.
2-segmentda x – x 2 ≥ -x. Tegishli formula bo'yicha:
Javob: .
Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-misolga qarang) formulaning alohida holatidir.
.
Chunki eksa OX tenglama bilan berilgan y= 0, va funksiya grafigi g(x) eksa ostida joylashgan OX, Bu
.
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol
5-misol
6-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping
Aniq integral yordamida maydonni hisoblash bilan bog'liq masalalarni yechishda ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri bajarilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, lekin ehtiyotsizlik tufayli... Noto'g'ri raqamning maydoni topildi.
7-misol
Avval rasm chizamiz:
Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangda(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli odamlar ko'pincha yashil rangga bo'yalgan raqamning maydonini topish kerak deb qaror qilishadi!
Ushbu misol ham foydalidir, chunki u ikkita aniq integral yordamida figuraning maydonini hisoblaydi. Haqiqatan ham:
1) segmentda [-1; 1] eksa ustida OX grafik tekis joylashgan y = x+1;
2) eksa ustidagi segmentda OX giperbolaning grafigi joylashgan y = (2/x).
Hududlar qo'shilishi mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:
Javob:
8-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Keling, tenglamalarni "maktab" shaklida taqdim qilaylik
va nuqtama-nuqta chizmasini tuzing:
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": b = 1.
Lekin pastki chegara nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin bu nima?
Balkim, a=(-1/3)? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin a=(-1/4). Agar grafikni noto'g'ri tuzgan bo'lsak-chi?
Bunday hollarda siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va integratsiya chegaralarini analitik tarzda aniqlab olishingiz kerak.
Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz
Buning uchun tenglamani yechamiz:
.
Demak, a=(-1/3).
Keyingi yechim ahamiyatsiz. Asosiysi, almashtirish va belgilarda adashmaslik. Bu erda hisob-kitoblar eng oddiy emas. Segmentda
, 
,
tegishli formula bo'yicha:
Javob: 
Darsni yakunlash uchun keling, yana ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqaylik.
9-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang
Yechish: Keling, ushbu figurani chizmada tasvirlaymiz.
Nuqtama-nuqta chizmasini qurish uchun siz sinusoidning ko'rinishini bilishingiz kerak. Umuman olganda, barcha elementar funktsiyalarning grafiklarini, shuningdek, ba'zi sinus qiymatlarini bilish foydalidir. Ularni qiymatlar jadvalida topish mumkin trigonometrik funktsiyalar. Ba'zi hollarda (masalan, bu holda) sxematik chizmani qurish mumkin, unda integratsiyaning grafiklari va chegaralari tubdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.
Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartlardan kelib chiqadi:
- "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Keling, qo'shimcha qaror qabul qilaylik:
Segmentda funksiya grafigi y= gunoh 3 x eksa ustida joylashgan OX, Shunung uchun:
(1) Sinuslar va kosinuslar qanday qilib toq kuchlarda integratsiyalashganligini darsda ko'rishingiz mumkin Trigonometrik funksiyalarning integrallari. Biz bitta sinusni siqib chiqaramiz.
(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyani shaklda ishlatamiz
(3) O'zgaruvchini o'zgartiramiz t=cos x, keyin: o'qdan yuqorida joylashgan, shuning uchun:
.
.
Eslatma: tangens kubining integrali qanday olinganiga e'tibor bering, bu erda asosiy trigonometrik o'ziga xoslikning natijasi ishlatiladi;
.
Ox o'qi bilan chegaralangan egri trapesiyani, y=f(x) egri chiziqni va ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqamiz: x=a va x=b (85-rasm). Keling, x ning ixtiyoriy qiymatini olaylik (faqat a emas va b emas). Unga h = dx ortishini beramiz va ko'rib chiqilayotgan egri chiziqqa tegishli AB va CD to'g'ri chiziqlar, Ox o'qi va BD yoyi bilan chegaralangan chiziqni ko'rib chiqamiz. Biz bu chiziqni elementar chiziq deb ataymiz. Elementar chiziqning maydoni ACQB to'rtburchaklar maydonidan BQD egri chiziqli uchburchak bilan farq qiladi va ikkinchisining maydoni tomonlari BQ = = h= bo'lgan BQDM to'rtburchaklar maydonidan kichikdir. dx) QD=Ay va hAy = Ay dx ga teng maydon. h tomoni kamayishi bilan Du tomoni ham kamayadi va h bilan bir vaqtda nolga intiladi. Shuning uchun BQDM maydoni ikkinchi tartibli cheksiz kichikdir. Elementar chiziqning maydoni - bu maydonning o'sishi va AB-AC ==/(x) dx> ga teng bo'lgan ACQB to'rtburchaklar maydoni - bu maydonning differentsialidir. Shunday qilib, biz uning differentsialini integrallash orqali maydonning o'zini topamiz. Ko'rib chiqilayotgan rasm ichida l mustaqil o'zgaruvchisi: a dan b ga o'zgaradi, shuning uchun kerakli maydon 5 5= \f(x) dx ga teng bo'ladi. (I) 1-misol. y - 1 -x* parabola, X =--Fj-, x = 1 to'g'ri chiziqlar va O* o'qi bilan chegaralangan maydonni hisoblaymiz (86-rasm). rasmda. 87. rasm. 86. 1 Bu yerda f(x) = 1 - l?, integrasiya chegaralari a = - va £ = 1, shuning uchun J [*-t]\- -fl -- G -1-±L_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2-misol. Sinusoid y = sinXy, Ox o'qi va to'g'ri chiziq bilan chegaralangan maydonni hisoblaymiz (87-rasm). (I) formulasini qo'llagan holda A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf ni olamiz 3-misol. Sinusoidning yoyi bilan chegaralangan maydonni hisoblang ^u = sin jc, o'ralgan. Ox o'qi bilan ikkita qo'shni kesishgan nuqta o'rtasida (masalan, koordinata va abscissa i nuqta o'rtasida). E'tibor bering, geometrik nuqtai nazardan, bu maydon oldingi misolning ikki barobariga teng bo'lishi aniq. Biroq, hisob-kitoblarni bajaramiz: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Darhaqiqat, bizning taxminimiz to'g'ri bo'lib chiqdi. 4-misol. Bir davrda sinusoid va Ox o'qi bilan chegaralangan maydonni hisoblang (88-rasm). Dastlabki hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, maydon 2-misoldagidan to'rt barobar katta bo'ladi. Biroq, hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz “i G,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - ni olamiz. (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu natija aniqlashtirishni talab qiladi. Masalaning mohiyatini oydinlashtirish uchun bir xil sinusoid y = sin l: va Ox o'qi bilan chegaralangan maydonni l dan 2i gacha bo'lgan oraliqda ham hisoblaymiz. (I) formuladan foydalanib, 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 ni olamiz. Shunday qilib, biz bu soha salbiy bo'lib chiqdi. Uni 3-mashqda hisoblangan maydon bilan solishtirsak, ularning mutlaq qiymatlari bir xil, ammo belgilari boshqacha ekanligini aniqlaymiz. Agar biz V xossani qo'llasak (XI bob, 4-bandga qarang), biz 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu misolda sodir bo'lgan voqea tasodif emas. Har doim Ox o'qi ostida joylashgan maydon, mustaqil o'zgaruvchi chapdan o'ngga o'zgarishi sharti bilan, integrallar yordamida hisoblanganda olinadi. Ushbu kursda biz har doim belgilarsiz hududlarni ko'rib chiqamiz. Shuning uchun, hozirgina muhokama qilingan misoldagi javob quyidagicha bo'ladi: kerakli maydon 2 + |-2| = 4. 5-misol. Rasmda ko'rsatilgan BAB maydonini hisoblaymiz. 89. Bu maydon Ox o'qi, y = - xr parabola va y - = -x+\ to'g'ri chiziq bilan chegaralangan. Egri chiziqli trapezoidning maydoni OABning kerakli maydoni ikki qismdan iborat: OAM va MAV. A nuqta parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi bo'lgani uchun uning koordinatalarini 3 2 Y = mx tenglamalar tizimini yechish orqali topamiz. (faqat A nuqtaning abtsissasini topishimiz kerak). Tizimni yechishda biz l ni topamiz; = ~. Shuning uchun maydonni qismlarga, birinchi kvadratga hisoblash kerak. OAM va keyin pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)