Avval berilgan aylanaga tashqi A nuqtadan chizilgan AC sekantini ko'rib chiqamiz (288-rasm). Xuddi shu nuqtadan biz tangens ATni chizamiz. Biz A nuqta va aylananing tashqi qismi bilan unga eng yaqin kesishgan nuqta orasidagi segmentni sekant deb ataymiz (288-rasmda AB segmenti), ikkita kesishish nuqtasidan uzoqroqdagi AC segmenti esa oddiygina. sekant. A dan tangens nuqtasiga teguvchi segment qisqacha tangens deb ham ataladi. Keyin adolatli bo'ladi
Teorema. Sekant va uning tashqi qismining mahsuloti tangensning kvadratiga teng.
Isbot. Keling, nuqtalarni bog'laymiz. ACT va BT A uchburchaklari o'xshashdir, chunki A cho'qqisidagi burchak umumiy va ACT burchaklari tengdir, chunki ularning ikkalasi ham bir xil yoy televizorining yarmi bilan o'lchanadi. Shunday qilib, biz kerakli natijani olamiz:
Tangens bir xil nuqtadan chizilgan sekant va uning tashqi qismi orasidagi geometrik o'rtachaga teng.
Natija. Berilgan A nuqtadan o'tkazilgan har qanday sekant uchun uning uzunligi va tashqi qismining ko'paytmasi doimiy bo'ladi:
Keling, ichki nuqtada kesishgan akkordlarni ko'rib chiqaylik. Bayonot haqiqatdir:
Agar ikkita akkord kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining mahsuloti ikkinchisining segmentlari ko'paytmasiga teng bo'ladi (akkord kesishish nuqtasi bilan bo'lingan segmentlarni anglatadi).
Shunday qilib, rasmda. 289 ta AB va CD akkordlari M nuqtada kesishadi va biz boshqacha qilib aytganda,
Berilgan M nuqta uchun u orqali o'tadigan har qanday akkordni ajratadigan segmentlarning ko'paytmasi doimiydir.
Buni isbotlash uchun MBC va MAD uchburchaklari o'xshashligini ta'kidlaymiz: CMV va DMA burchaklari vertikal, MAD va MCB burchaklari bir xil yoyga tayanadi. Bu erdan topamiz
Q.E.D.
Agar berilgan M nuqta markazdan l masofada joylashgan bo'lsa, u orqali diametrni o'tkazib, uni akkordlardan biri sifatida ko'rib chiqsak, biz diametrli segmentlarning, shuning uchun boshqa har qanday akkordning ko'paytmasi teng ekanligini topamiz. M dan o'tuvchi minimal yarim akkordning kvadratiga (belgilangan diametrga perpendikulyar).
Akkord segmentlari ko'paytmasining doimiyligi haqidagi teorema va sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasining konstantligi haqidagi teorema bir xil bayonotning ikkita holatidir aylananing ichki nuqtasi. Endi biz tsiklik to'rtburchaklarni ajratib turadigan yana bir xususiyatni belgilashimiz mumkin:
Har qanday tsiklik to'rtburchakda diagonallari kesishish nuqtasiga bo'lingan kesilgan mahsulotlar tengdir.
Shartning zarurligi aniq, chunki diagonallar chegaralangan doiraning akkordlari bo'ladi. Bu holat ham etarli ekanligini ko'rsatish mumkin.
§ 11. Doiradagi proportsional segmentlar.
1. Ko'prik trussi aylana yoyi bilan chegaralangan (38-rasm); truss balandligi MK= h= 3 m; AMB oralig'ining yoy radiusi R = 8,5 m ko'prikning AB oralig'ining uzunligini hisoblang.
2. Yarim tsilindrga o'xshash tonozli podvalda har biri eng yaqin devordan bir xil masofada joylashgan ikkita ustunni qo'yish kerak. Pastki qismdagi podvalning kengligi 4 m va raflar orasidagi masofa 2 m bo'lsa, raflarning balandligini aniqlang.
3. 1) Aylanadagi nuqtadan diametrga perpendikulyar chizilgan. Uning uzunligini diametrli segmentlarning quyidagi uzunliklari bilan aniqlang: 1) 12 sm va 3 sm; 2) 16 sm va 9 sm, 3) 2 m va 5 dm.
2) Diametrli nuqtadan aylana bilan kesishgan joyga perpendikulyar chizilgan. Ushbu perpendikulyarning uzunligini aniqlang, agar diametri 40 sm bo'lsa va chizilgan perpendikulyar diametrning uchlaridan biridan 8 sm bo'lsa.
4. Diametri segmentlarga bo'linadi: AC = 8 dm va CB = 5 m va C nuqtadan unga shunday uzunlikdagi perpendikulyar CD tortiladi. CD ga teng bo'lganda D nuqtaning aylanaga nisbatan o'rnini ko'rsating: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.
5. DIA-yarim doira; CD AB diametriga perpendikulyar. Majburiy:
1) agar AD = 25 va CD =10 bo'lsa, JB ni aniqlang;
2) AB ni aniqlang, agar AD: DB= 4: 9 va CD=30;
3) AD ni aniqlang, agar CD=3AD va radius bo'lsa r;
4) AB = 50 va CD = 15 bo'lsa, ADni aniqlang.
6. 1) Aylanadagi nuqtadan radius 34 sm ga teng tushirilgan perpendikulyar uni 8:9 nisbatda (markazdan boshlab) ajratadi. Perpendikulyar uzunligini aniqlang.
2) BDC akkorda ODA radiusiga perpendikulyar. OA = 25 sm va AD = 10 sm bo'lsa, BC ni aniqlang.
3) Ikki konsentrik aylana hosil qilgan halqaning kengligi 8 dm; kattaroq aylananing kichikiga teginish akkordi 4 m ga teng aylanalarning radiuslarini aniqlang.
7. Segmentlarni taqqoslashdan foydalanib, ikkita teng bo'lmagan sonning o'rtacha arifmetik qiymati ularning geometrik o'rtacha qiymatidan katta ekanligini isbotlang.
8. 3 sm va 5 sm segmentlar orasida o'rtacha proporsional bo'lgan segmentni tuzing.
9. Quyidagiga teng segmentni tuzing: √15 ; √10; √6; √3.
10.ADB diametri; AC akkord; CD diametrga perpendikulyar. AC akkordni aniqlang: 1) AB = 2 m va AD = 0,5 m bo'lsa; 2) agar AD = 4 sm va DB = 5 sm bo'lsa; 3) agar AB=20 m va DB= 15 m bo'lsa.
11. AB diametri; AC akkord; AD - uning AB diametriga proyeksiyasi. Majburiy:
1) AB = 18 sm va AC = 12 sm bo'lsa, ADni aniqlang;
2) AC=12 m va AD=4 m bo'lsa, radiusni aniqlang;
3) agar AC = 24 sm va DB = 7 / 9 AD bo'lsa, JB ni aniqlang.
12. AB diametri; AC akkord; AD - uning AB diametriga proyeksiyasi. Majburiy:
1) AB = 35 sm va AC = 5AD bo'lsa, AC ni aniqlang;
2) radius bo'lsa, o'zgaruvchan tokni aniqlang r va AC=DB.
13. Ikki akkord aylana ichida kesishadi. Bir akkordning segmentlari 24 sm va 14 sm; boshqa akkordning segmentlaridan biri 28 sm ga teng, uning ikkinchi segmentini aniqlang.
14. Ko'prik trussi aylana yoyi bilan chegaralangan (38-rasm); ko'prik uzunligi AB = 6 m, balandligi A = 1,2 m yoyning radiusini aniqlang (OM = R).
15. Ikkita AB va CD segmentlari M nuqtada kesishadi, shunda MA = 7 sm, MB = 21 sm,
MC = 3 sm va MD = 16 sm A, B, C va D nuqtalari bir xil doirada yotadimi?
16. Mayatnik uzunligi MA = l= 1 m (39-rasm), uning ko'tarilish balandligi, a burchak bilan og'ishda, CA = h= 10 sm B nuqtaning MA dan BC masofasini toping (BC = X).
17. Temir yo'lning kengligini o'tkazish b= AB joyida 1,524 m (40-rasm) yaxlitlash amalga oshirildi; ma'lum bo'ldiki; bu BC = A= 42,4 m Egrilik radiusini aniqlang OA = R.
18. AMB akkordi M nuqta atrofida shunday aylantiriladiki, MA segmenti 2 1/2 marta ortdi. MB segmenti qanday o'zgargan?
19. 1) Kesishgan ikkita akkorddan biri 48 sm va 3 sm boʻlaklarga, ikkinchisi esa yarmiga boʻlingan. Ikkinchi akkordning uzunligini aniqlang.
2) Kesishgan ikkita akkorddan biri 12 m va 18 m, ikkinchisi esa 3:8 nisbatda bo'lingan. Ikkinchi akkordning uzunligini aniqlang.
20. Kesishgan ikkita akkordning birinchisi 32 sm, ikkinchi akkordning segmentlari teng.
12 sm va 16 sm birinchi akkordning segmentlarini aniqlang.
21. ABC sekant tashqi A nuqta atrofida shunday aylantiriladiki, uning tashqi AB segmenti uch marta qisqaradi. Sekant uzunligi qanday o'zgargan?
22. ADB va AEC aylanani kesib o‘tuvchi ikkita to‘g‘ri chiziq bo‘lsin: birinchisi D va B nuqtalarida, ikkinchisi E va C nuqtalarida. Majburiy:
1) AD = 5 sm, DB = 15 sm va AC = 25 sm bo'lsa, AE ni aniqlang;
2) AB = 24 m, AC = 16 m va EK = 10 m bo'lsa, BD ni aniqlang;
3) AB+AC = 50 m va AD: AE = 3:7 bo‘lsa, AB va AC ni aniqlang.
23. Doira radiusi 7 sm. Markazdan 9 sm uzoqda joylashgan nuqtadan aylanani yarmiga bo'ladigan sekant chiziladi. Ushbu sekantning uzunligini aniqlang.
24. MAB va MCD bir xil aylananing ikkita sekantidir. Majburiy:
1) CD ni aniqlang, agar MV = 1 m, MD = 15 dm va CD = MA bo'lsa;
2) MA = 18 sm, AB = 12 sm va MC bo'lsa, MDni aniqlang: CD = 5:7;
3) AB = MS, MA = 20 va CD = 11 bo'lsa, AB ni aniqlang.
25. Ikki akkord bir-birini kesib o'tguncha uzaytiriladi. Agar akkordlar teng bo'lsa, hosil bo'lgan kengaytmalarning uzunligini aniqlang A Va b, va ularning davomi kabi aloqador t:p.
26. Aylanaga bir nuqtadan sekant va tangens chizilgan. Agar sekantning tashqi va ichki segmentlari mos ravishda quyidagi sonlar bilan ifodalansa, tangens uzunligini aniqlang: 1) 4 va 5; 2) 2,25 va 1,75; 3) 1 va 2.
27. Tangens 20 sm, xuddi shu nuqtadan chizilgan eng uzun sekant 50 sm aylana radiusini aniqlang.
28. Sekant tashqi segmentidan 2 1/4 marta katta. Xuddi shu nuqtadan chizilgan tangensdan necha marta katta?
29. Ikkita kesishuvchi aylananing umumiy xordasi cho'ziladi va davomi bo'yicha olingan nuqtadan ularga teglar o'tkaziladi. Ularning teng ekanligini isbotlang.
30. A burchakning bir tomonida quyidagi segmentlar birin-ketin yotqiziladi: AB = 6 sm va BC = 8 sm; boshqa tomonda esa AD = 10 sm boʻlak bor, B, C va D nuqtalari orqali aylana chizilgan. AD chizig'i bu doiraga tegadimi yoki yo'qligini aniqlang, agar bo'lmasa, D nuqtasi birinchi (A dan sanab) yoki kesishishning ikkinchi nuqtasi bo'ladimi.
31. Bo'lsin: AB-tangensi va ACD-sekantasi bir xil aylana. Majburiy:
1) CD ni aniqlang, agar AB = 2 sm va AD = 4 sm;
2) AD ni aniqlang, agar AC:CD = 4:5 va AB = 12 sm;
3) AB = CD va AC = bo'lsa, AB ni aniqlang A.
32. 1) Yerdan 4 km balandlikka ko‘tarilayotgan (erning radiusi = 6370 km) shardan qancha masofani ko‘rish mumkin (41-rasm)?
2) Elbrus tog'i (Kavkazda) dengiz sathidan 5600 m balandlikda bu tog'ning tepasidan qancha masofani ko'rish mumkin?
3) M - yer yuzasidan A metr balandlikdagi kuzatuv punkti (42-rasm); yerning radiusi R, MT= d ko'rinadigan eng katta masofadir. Buni isbotlang d= √2R h+ h 2
Izoh. Chunki h 2R ga nisbatan kichikligi tufayli 2 h natijaga deyarli ta'sir qilmaydi, keyin siz taxminiy formuladan foydalanishingiz mumkin d≈ √2R h .
33. 1) Bir nuqtadan keladigan tangens va sekant chiziqlar mos ravishda 20 sm va 40 sm ga teng; sekant markazdan 8 sm uzoqlikda joylashgan aylananing radiusini aniqlang.
2) markazdan teginish va sekant chiqadigan nuqtagacha bo'lgan masofani aniqlang, agar ular mos ravishda 4 sm va 8 sm ga teng bo'lsa va sekant markazdan chiqariladi.
12 sm.
34. 1) Umumiy nuqtadan aylanaga teg va sekant chiziladi. Tangens uzunligini aniqlang, agar u sekantning tashqi segmentidan 5 sm katta va ichki segmentdan bir xil miqdorda kichik bo'lsa.
2) Bir nuqtadan aylanaga sekant va tangens chizilgan. Sekant ga teng A, va uning ichki segmenti tashqi segmentdan tangens uzunligi bo'yicha kattaroqdir. Tangensni aniqlang.
36. Bir nuqtadan bir aylanaga teginish va sekant chizilgan. Tangens sekantning ichki va tashqi segmentlaridan mos ravishda 2 sm va 4 sm ga kattaroqdir, sekantning uzunligini aniqlang.
36. Bir nuqtadan aylanaga teginish va sekant chizilgan. Tangens sekantning ichki segmentidan 20 sm kichik va tashqi segmentdan 8 sm katta bo'lsa, ularning uzunligini aniqlang.
37. 1) Aylanaga bir nuqtadan sekant va tangens chizilgan. Ularning yig'indisi 30 sm, sekantning ichki segmenti esa tangensdan 2 sm kam. Sekant va tangensni aniqlang.
2) Bir nuqtadan aylanaga sekant va tangens chizilgan. Ularning yig'indisi 15 sm, sekantning tashqi segmenti esa tangensdan 2 sm kamroq. Sekant va tangensni aniqlang.
38. AB segmenti BC masofaga cho'zilgan. Doiralar diametrlarda bo'lgani kabi AB va ACda ham qurilgan. AC segmentiga B nuqtada kattaroq aylana bilan kesishmaguncha BD perpendikulyar chiziladi. C nuqtadan kichikroq doiraga tangens CK chiziladi. CD = SC ekanligini isbotlang.
39. Berilgan aylanaga ikkita parallel tangens va ularni kesishuvchi uchinchi tangens chiziladi. Radius uchinchi tangens segmentlari orasidagi o'rtacha proportsionaldir. isbotlash.
40. Bir-biridan 15 dm masofada joylashgan ikkita parallel chiziq berilgan; ular orasidan biridan 3 dm masofada M nuqta berilgan. M nuqta orqali ikkala parallelga teguvchi aylana chizilgan. Markaz va M nuqtaning ushbu parallellardan biriga proyeksiyalari orasidagi masofani aniqlang.
41. Radiusli aylanada r balandligi va asosi yig‘indisi aylananing diametriga teng bo‘lgan teng yonli uchburchak chizilgan. Balandlikni aniqlang.
42. Teng yonli uchburchak atrofida aylana radiusini aniqlang: 1) asosi 16 sm, balandligi 4 sm bo lsa; 2) yon tomoni 12 dm va balandligi 9 dm bo'lsa; 3) yon tomoni 15 m, poydevori 18 m bo'lsa.
43. Teng yonli uchburchakda asosi 48 dm, yon tomoni 30 dm. Cheklangan va chizilgan doiralarning radiuslarini va ularning markazlari orasidagi masofani aniqlang.
44. Radius r, bu yoyning akkordi ga teng A. Ikki yoyning akkordasini aniqlang.
45. Doira radiusi 8 dm; AB akkordi 12 dm. A nuqta orqali tangens o'tkaziladi va B nuqtadan tangensga parallel bo'lgan BC akkord mavjud. Samolyotning tangensi va akkordi orasidagi masofani aniqlang.
46. A nuqta MN chizig'idan masofaga olib tashlanadi Bilan. Berilgan radius r aylana shunday tasvirlanganki, u A nuqtadan o'tadi va MN chizig'iga tegadi. Olingan teginish nuqtasi va berilgan A nuqta orasidagi masofani aniqlang.
Orqaga Oldinga
Diqqat! Slaydlarni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Maqsad: o'rganish motivatsiyasini oshirish; hisoblash qobiliyatini, aql-zakovatini va jamoada ishlash qobiliyatini rivojlantirish.
Darsning borishi
Bilimlarni yangilash. Bugun biz doiralar haqida gapirishni davom ettiramiz. Aylana ta'rifini eslatib o'taman: aylana nima deb ataladi?
Doira tekislikning bir nuqtasidan ma'lum masofada joylashgan barcha nuqtalardan tashkil topgan chiziq aylana markazi deb ataladi.
Slaydda doira ko'rsatilgan, uning markazi belgilangan - O nuqta, ikkita segment chizilgan: OA va SV. OA segmenti aylananing markazini aylanadagi nuqta bilan bog'laydi. U RADIUS deb ataladi (lotincha radiusda - "g'ildirakda gapirdi"). CB segmenti aylananing ikkita nuqtasini bog'laydi va uning markazidan o'tadi. Bu aylananing diametri (yunon tilidan "diametri" deb tarjima qilingan).
Bizga aylana akkordining ta'rifi ham kerak bo'ladi - bu doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment (rasmda - DE akkordi).
Keling, savolni bilib olaylik to'g'ri chiziq va aylananing o'zaro o'rni haqida.
Keyingi savol va u asosiy bo'ladi: kesishuvchi akkordlar, sekantlar va tangenslarning xossalarini toping.
Siz ushbu xususiyatlarni matematika darslarida isbotlaysiz va bizning vazifamiz bu xususiyatlarni muammolarni hal qilishda qanday qo'llashni o'rganishdir, chunki ular imtihonlarda ham Yagona davlat imtihonida ham, Davlat imtihonida ham keng qo'llaniladi.
Jamoalar uchun topshiriq.
- P nuqtada kesishuvchi CM va NF akkordlarning xossasini chizing va yozing.
- Tangens KM va sekant KF xossalarini chizing va yozing.
- KM va MF sekantlarning xossalarini chizing va yozing.
Rasmdagi ma'lumotlardan foydalanib, x ni toping. Slayd 5–6
Kim tezroq bo'lsa, to'g'riroq. Shundan so'ng barcha muammolarning yechimlarini muhokama qilish va tekshirish. Javob berganlar o'z jamoasi uchun mukofot ballarini oladilar.
Xo'sh, endi jiddiyroq muammolarni hal qilishga o'tamiz. Sizning e'tiboringizga uchta blokni taqdim etamiz: kesishuvchi akkordlar, tangens va sekant, ikkita sekant. Har bir blokdan bitta muammoning yechimini batafsil tahlil qilamiz.
(Eritma № 4, № 7, № 12 batafsil eslatmalar bilan tahlil qilinadi)
2. Muammoni hal qilish bo'yicha seminar
a) Kesishgan akkordlar
1. E – AB va CD akkordlarining kesishish nuqtasi. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. CD toping.
Yechim:
2. E – AB va CD akkordlarining kesishish nuqtasi. AB=17, CD=18, ED=2CE. AE va BE ni toping.
Yechim:
3. E – AB va CD akkordlarining kesishish nuqtasi. AB=10, CD=11, BE=CE+1. CE ni toping.
Yechim:
4. E - AB va CD akkordlarining kesishish nuqtasi. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. CD toping.
Yechim:
b) Tangens va sekant
5. Bir nuqtadan aylanaga teginish va sekant chizilgan. Tangens 6, sekant 18. Sekantning ichki segmentini aniqlang.
Yechim:
6. Bir nuqtadan aylanaga teginish va sekant chizilgan. Tangensni toping, agar u sekantning ichki segmentidan 4 ga kichik va tashqi segmentdan 4 ga katta ekanligi ma'lum bo'lsa.
Yechim:
7. Bir nuqtadan aylanaga teginish va sekant chizilgan. Agar uning ichki segmenti tashqi segment bilan 3:1 nisbatda bog‘langanligi va tangens uzunligi 12 ga teng ekanligi ma’lum bo‘lsa, sekantni toping.
Yechim:
8. Bir nuqtadan aylanaga teginish va sekant chizilgan. Agar uning ichki segmenti 12, tangens uzunligi 8 ekanligi ma'lum bo'lsa, sekantning tashqi segmentini toping.
Yechim:
9. Bir nuqtadan chiqadigan tangens va sekant mos ravishda 12 va 24 ga teng, agar sekant markazdan 12 masofada joylashgan bo'lsa, aylana radiusini aniqlang.
Yechim:
c) Ikki sekant
10. Bir nuqtadan ichki segmentlari mos ravishda 8 va 16 ga teng bo'lgan aylanaga ikkita sekant tortiladi. Ikkinchi sekantning tashqi segmenti birinchisining tashqi segmentidan 1 ga kam. Har bir sekantning uzunligini toping.
Yechim:
11. Bir nuqtadan aylanaga ikkita sekant chizilgan. Birinchi sekantning tashqi segmenti uning ichki qismi bilan 1:3 nisbatda bog'langan. Ikkinchi sekantning tashqi segmenti birinchisining tashqi segmentidan 1 ga kam va uning ichki segmenti bilan 1:8 nisbatda bog'liq. Har bir sekantning uzunligini toping.
Yechim:
12. Doiradan tashqarida, markazidan 7 masofada joylashgan A nuqta orqali aylanani B va C nuqtalarda kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Agar AB = 3, BC bo'lsa, aylana radiusining uzunligini toping. = 5.
Yechim:
13. A nuqtadan aylanaga uzunligi 12 sm bo‘lgan sekant va uning ichki segmentining komponenti bo‘lgan tangens chiziladi. Tangens uzunligini toping.
Yechim:
- 10,5; 17,5
- 12;18
3. Bilimlarni mustahkamlash
Quyidagi bekatlarga tashrif buyurib, intellekt labirintlari bo‘ylab qisqa sayohatga chiqish uchun yetarli bilimga ega ekanligingizga ishonaman:
- O'ylab ko'ring!
- Qaror qiling!
- Menga javob bering!
Siz stantsiyada 6 daqiqadan ko'proq vaqt qolishingiz mumkin. Muammoni har bir to'g'ri hal qilish uchun jamoa rag'batlantiruvchi ball oladi.
Jamoalarga marshrut varaqlari beriladi:
Yo'nalish varaqasi
| Stansiya | Muammo raqamlari | Qaror belgisi |
| Qaror qiling! | №1, №3 | |
| O'ylab ko'ring! | №5, №8 | |
| Menga javob bering! | №10, №11 |
Men sizni xafa qilmoqchiman darsimiz natijalari:
Yangi bilimlarga qo'shimcha ravishda, umid qilamanki, siz bir-biringizni yaxshiroq bilib oldingiz va jamoada ishlash tajribasiga ega bo'ldingiz. Sizningcha, olingan bilim hayotning biron bir joyida qo'llaniladimi?
Shoir G. Longfello ham matematik edi. Shuning uchun bo'lsa kerak, u o'zining "Kawang" romanida qo'llagan matematik tushunchalarni bezatgan yorqin tasvirlar ba'zi teoremalarni va ularning hayotga tatbiq etilishini ta'minlaydi. Biz romanda quyidagi muammoni o'qiymiz:
“Suv sathidan bir qarich baland ko‘tarilgan nilufar yangi shamol ostida ko‘l yuzasiga avvalgi joyidan ikki tirsakcha tegdi; shundan kelib chiqib, ko‘lning chuqurligini aniqlash kerak edi” (1 oraliq 10 dyuymga, 2 tirsak 21 dyuymga teng).
Va bu masala kesishuvchi akkordlar xossasi asosida hal qilinadi. Rasmga qarang va ko'l qanchalik chuqurligi aniq bo'ladi.
Yechim:
Mulk 1 . Agar aylananing AB va CD akkordlari S nuqtada kesishsa, u holda AS BS = CS DS, ya'ni DS/BS = AS/CS bo'ladi.
Isbot. Avval ASD va CSB uchburchaklari o'xshashligini isbotlaylik.
DCB va DAB chizilgan burchaklari bir xil yoyga o'xshab tengdir.
ASD va BSC burchaklari vertikalga teng.
Ko'rsatilgan burchaklarning tengligidan kelib chiqadiki, ASD va CSB uchburchaklari o'xshash. Uchburchaklarning o'xshashligidan mutanosiblik kelib chiqadi
DS/BS = AS/CS yoki AS BS = CS DS,
Q.E.D.
Xossa 2. Agar P nuqtadan aylanaga mos ravishda A, B va C, D nuqtalarda aylanani kesib o'tuvchi ikkita sekant o'tkazilsa, u holda AP/CP = DP/BP.
Isbot. A va C aylana P nuqtaga eng yaqin bo'lgan sekantlarning kesishish nuqtalari bo'lsin. PAD va PCB uchburchaklari o'xshash. Ularning P cho'qqisida umumiy burchak bor va B va D burchaklari bir xil yoyga tayangan holda, chizilganlarga teng. Uchburchaklarning o'xshashligidan AP / CP = DP / BP nisbati kelib chiqadi, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.
Uchburchakning burchak bissektrisa xossasi
Uchburchakning burchak bissektrisasi qarama-qarshi tomonni boshqa ikki tomoniga proportsional bo'laklarga ajratadi.
Isbot. CD ABC uchburchakning bissektrisasi bo'lsin. Agar ABC uchburchagi asosi AB bo'lgan teng yon tomonli bo'lsa, bissektrisaning ko'rsatilgan xossasi aniq bo'ladi, chunki bu holda bissektrisa ham mediana hisoblanadi. AC BC ga teng bo'lmagan umumiy holatni ko'rib chiqaylik. CD chiziqqa A va B cho'qqilardan AF va BE perpendikulyarlarini tushiramiz. ACF va VSE to'g'ri burchakli uchburchaklar o'xshashdir, chunki ular C uchida teng o'tkir burchaklarga ega.
Uchburchaklarning o'xshashligidan tomonlarning mutanosibligi quyidagicha: AC/BC = AF/BE. ADF va BDE to'g'ri burchakli uchburchaklar ham o'xshashdir. Ularning D cho'qqidagi burchaklari vertikal burchaklarga teng. O'xshashlikdan quyidagicha: AF/BE = AD/BD. Bu tenglikni oldingi bilan solishtirib, biz quyidagilarga erishamiz: AC/BC = AD/BD yoki AC/AD = BC/BD, ya'ni AD va BD AC va BC tomonlariga proportsionaldir.