Ushbu maqola haqida oddiy kasrlar. Bu erda biz umumiy kasr tushunchasini kiritamiz, bu bizni oddiy kasrning ta'rifiga olib keladi. Keyinchalik biz oddiy kasrlar uchun qabul qilingan belgi haqida to'xtalib o'tamiz va kasrlarga misollar keltiramiz, keling, kasrning numeratori va maxraji haqida gapiraylik. Shundan so'ng biz to'g'ri va noto'g'ri, musbat va manfiy kasrlarning ta'riflarini beramiz, shuningdek, kasr sonlarning koordinata nuridagi o'rnini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib, biz kasrlar bilan asosiy operatsiyalarni sanab o'tamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Butun ulushlar

Avval tanishtiramiz ulush tushunchasi.

Faraz qilaylik, bizda bir nechta mutlaqo bir xil (ya'ni teng) qismlardan tashkil topgan ob'ekt bor. Aniqlik uchun, masalan, bir nechta teng qismlarga bo'lingan olma yoki bir nechta teng bo'laklardan iborat apelsinni tasavvur qilishingiz mumkin. Butun ob'ektni tashkil etuvchi bu teng qismlarning har biri deyiladi butunning qismlari yoki shunchaki aktsiyalar.

E'tibor bering, aktsiyalar har xil. Keling, buni tushuntirib beraylik. Keling, ikkita olma olamiz. Birinchi olmani ikkita teng qismga, ikkinchisini esa 6 ta teng qismga bo'ling. Birinchi olmaning ulushi ikkinchi olmaning ulushidan farq qilishi aniq.

Butun ob'ektni tashkil etuvchi aktsiyalar soniga qarab, bu aksiyalar o'z nomlariga ega. Keling, buni tartibga solaylik zarbalarning nomlari. Agar ob'ekt ikki qismdan iborat bo'lsa, ularning istalgani butun ob'ektning ikkinchi ulushi deyiladi; agar ob'ekt uch qismdan iborat bo'lsa, u holda ularning har qanday qismi uchinchi qism deb ataladi va hokazo.

Ikkinchi ulushning maxsus nomi bor - yarmi. Uchdan bir qismi chaqiriladi uchinchi, va chorak qismi - chorak.

Qisqartirish uchun quyidagilar kiritildi: belgilarni urish. Ikkinchi ulush yoki 1/2, uchinchi ulush yoki 1/3 sifatida belgilanadi; to'rtdan biri - yoqtirish yoki 1/4, va hokazo. E'tibor bering, gorizontal chiziqli yozuv ko'proq ishlatiladi. Materialni mustahkamlash uchun yana bir misol keltiraylik: yozuv butunning bir yuz oltmish ettinchi qismini bildiradi.

Hissa tushunchasi tabiiy ravishda ob'ektlardan miqdorlarga qadar tarqaladi. Masalan, uzunlik o'lchovlaridan biri metrdir. Bir metrdan qisqaroq uzunliklarni o'lchash uchun metrning fraktsiyalaridan foydalanish mumkin. Shunday qilib, masalan, yarim metr yoki metrning o'ndan yoki mingdan bir qismidan foydalanishingiz mumkin. Boshqa miqdorlarning ulushlari ham xuddi shunday qo'llaniladi.

Oddiy kasrlar, ta'rifi va kasrlarga misollar

Biz foydalanadigan aktsiyalar sonini tavsiflash uchun oddiy kasrlar. Keling, oddiy kasrlarning ta'rifiga yaqinlashishga imkon beradigan misol keltiraylik.

Apelsin 12 qismdan iborat bo'lsin. Bu holda har bir ulush butun apelsinning o'n ikkidan birini anglatadi, ya'ni. Ikki zarbani deb, uchta zarbani kabi va hokazo, 12 zarbani deb belgilaymiz. Berilgan yozuvlarning har biri oddiy kasr deyiladi.

Keling, bir general beraylik oddiy kasrlarning ta'rifi.

Oddiy kasrlarning ovozli ta'rifi bizga berishga imkon beradi oddiy kasrlarga misollar: 5/10, , 21/1, 9/4,. Va bu erda yozuvlar oddiy kasrlarning berilgan ta'rifiga to'g'ri kelmaydi, ya'ni ular oddiy kasrlar emas.

Numerator va maxraj

Qulaylik uchun oddiy kasrlar ajratiladi sanoqchi va maxraj.

Ta'rif.

Numerator oddiy kasr (m/n) natural son m.

Ta'rif.

Denominator oddiy kasr (m/n) natural son n.

Demak, pay kasr chizig'idan yuqorida (qiyshiq chiziqning chap tomonida), maxraj esa kasr chizig'idan pastda (qiyshiq chiziqning o'ng tomonida) joylashgan. Masalan, 17/29 oddiy kasrni olaylik, bu kasrning ayiruvchisi 17 soni, maxraji esa 29 raqamidir.

Oddiy kasrning soni va maxrajidagi ma'noni muhokama qilish qoladi. Kasrning maxraji bir ob'ektning nechta qismdan iboratligini, hisoblagich esa, o'z navbatida, bunday qismlarning sonini ko'rsatadi. Masalan, 12/5 kasrning 5 maxraji bitta ob'ekt beshta aksiyadan iborat ekanligini, 12 soni esa 12 ta shunday hissa olinganligini bildiradi.

1 maxrajli kasr sifatida natural son

Oddiy kasrning maxraji birga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, ob'ektni bo'linmas deb hisoblashimiz mumkin, boshqacha aytganda, u bir butun narsani ifodalaydi. Bunday kasrning soni qancha butun ob'ektlar olinganligini ko'rsatadi. Demak, m/1 ko`rinishdagi oddiy kasr m natural son ma`nosiga ega. m/1=m tengligining to‘g‘riligini ana shunday asosladik.

Oxirgi tenglikni quyidagicha qayta yozamiz: m=m/1. Bu tenglik har qanday natural son m ni oddiy kasr sifatida ifodalash imkonini beradi. Masalan, 4 soni 4/1 kasr, 103 498 soni esa 103 498/1 kasrga teng.

Shunday qilib, har qanday natural son m maxraji 1 bo‘lgan oddiy kasr sifatida m/1 ko‘rinishda, m/1 ko‘rinishdagi istalgan oddiy kasr esa m natural son bilan almashtirilishi mumkin..

Bo'lish belgisi sifatida kasr satri

Asl ob'ektni n ta hissa ko'rinishida ifodalash n ta teng qismga bo'linishdan boshqa narsa emas. Ob'ekt n ta aktsiyaga bo'lingandan so'ng, biz uni n kishiga teng taqsimlashimiz mumkin - har biriga bittadan ulush beriladi.

Agar bizda dastlab m ta bir xil ob'ektlar bo'lsa, ularning har biri n ta ulushga bo'lingan bo'lsa, u holda biz bu m ob'ektni n ta odam o'rtasida teng taqsimlashimiz mumkin va har bir kishiga har bir m ob'ektdan bittadan ulush berishimiz mumkin. Bunday holda, har bir kishi 1/n m ulushga ega bo'ladi va m 1/n ulush m/n oddiy kasrni beradi. Shunday qilib, m/n umumiy kasrdan m buyumning n kishiga bo‘linishini ko‘rsatish mumkin.

Shunday qilib, biz oddiy kasrlar va bo'linish o'rtasida aniq bog'lanishga erishdik (naturiy sonlarni bo'lishning umumiy g'oyasiga qarang). Bu bog'lanish quyidagicha ifodalanadi: kasr chizig'ini bo'linish belgisi sifatida tushunish mumkin, ya'ni m/n=m:n.

Oddiy kasrdan foydalanib, butun bo'linishni bajarib bo'lmaydigan ikkita natural sonni bo'lish natijasini yozishingiz mumkin. Masalan, 5 ta olmani 8 kishiga bo'lish natijasini 5/8 deb yozish mumkin, ya'ni har bir kishi olmaning sakkizdan besh qismini oladi: 5:8 = 5/8.

Teng va tengsiz kasrlar, kasrlarni solishtirish

Bu juda tabiiy harakat kasrlarni solishtirish, chunki apelsinning 1/12 qismi 5/12 dan farq qilishi va olmaning 1/6 qismi bu olmaning boshqa 1/6 qismi bilan bir xil ekanligi aniq.

Ikki oddiy kasrni solishtirish natijasida natijalardan biri olinadi: kasrlar teng yoki teng emas. Birinchi holda bizda bor teng umumiy kasrlar, ikkinchisida esa - teng bo'lmagan oddiy kasrlar. Teng va teng bo'lmagan oddiy kasrlarga ta'rif beramiz.

Ta'rif.

teng, a·d=b·c tenglik to'g'ri bo'lsa.

Ta'rif.

Ikki oddiy kasr a/b va c/d teng emas, a·d=b·c tenglik bajarilmasa.

Teng kasrlarga misollar keltiramiz. Masalan, 1/2 oddiy kasr 2/4 kasrga teng, chunki 1·4=2·2 (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni ko'paytirish qoidalari va misollariga qarang). Aniqlik uchun siz ikkita bir xil olmani tasavvur qilishingiz mumkin, birinchisi yarmiga, ikkinchisi esa 4 qismga bo'linadi. Ko'rinib turibdiki, olmaning to'rtdan ikki qismi 1/2 ulushga teng. Teng oddiy kasrlarga boshqa misollar: 4/7 va 36/63 kasrlar va 81/50 va 1620/1000 kasrlar juftligi.

Lekin oddiy kasrlar 4/13 va 5/14 teng emas, chunki 4·14=56 va 13·5=65, ya'ni 4·14≠13·5. Teng bo'lmagan oddiy kasrlarning boshqa misollari 17/7 va 6/4 kasrlardir.

Agar ikkita oddiy kasrni solishtirganda, ular teng emasligi aniqlansa, siz ushbu oddiy kasrlardan qaysi birini topishingiz kerak bo'lishi mumkin. Ozroq har xil va qaysi biri - Ko'proq. Buni bilish uchun oddiy kasrlarni solishtirish qoidasi qo'llaniladi, uning mohiyati taqqoslangan kasrlarni umumiy maxrajga olib kelish va keyin hisoblagichlarni solishtirishdir. Ushbu mavzu bo'yicha batafsil ma'lumot kasrlarni taqqoslash maqolasida to'plangan: qoidalar, misollar, echimlar.

Kasr sonlar

Har bir kasr belgidir kasr son. Ya'ni, kasr - bu kasr sonning "qobig'i", uning ko'rinishi va barcha semantik yuk kasr sonida mavjud. Biroq, qisqalik va qulaylik uchun kasr va kasr son tushunchalari birlashtirilib, oddiygina kasr deb ataladi. Bu o‘rinda mashhur maqolni ifodalash o‘rinlidir: kasr deymiz – kasr son deymiz, kasr son deymiz – kasrni nazarda tutamiz.

Koordinata nuridagi kasrlar

Oddiy kasrlarga mos keladigan barcha kasr sonlarning o'ziga xos joyi bor, ya'ni kasrlar va koordinata nurining nuqtalari o'rtasida birma-bir moslik mavjud.

Koordinata nurida m/n kasrga mos keladigan nuqtaga o’tish uchun koordinata boshidan musbat yo’nalishda uzunligi birlik segmentning 1/n qismiga teng bo’lgan m segmentni ajratib qo’yish kerak. Bunday segmentlarni birlik segmentni n ta teng qismga bo'lish yo'li bilan olish mumkin, bu har doim kompas va chizg'ich yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, koordinata nurida 14/10 kasrga mos keladigan M nuqtani ko'rsatamiz. Uchlari O nuqtada va unga eng yaqin nuqtada kichik chiziqcha bilan belgilangan segment uzunligi birlik segmentining 1/10 qismini tashkil qiladi. Koordinatasi 14/10 bo'lgan nuqta koordinatadan 14 ta bunday segmentlar masofasida chiqariladi.

Teng kasrlar bir xil kasr songa to'g'ri keladi, ya'ni teng kasrlar koordinata nuridagi bir xil nuqtaning koordinatalaridir. Masalan, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatalari koordinata nurining bir nuqtasiga to'g'ri keladi, chunki barcha yozilgan kasrlar tengdir (u birlik segmentining yarmi masofasida joylashgan). kelib chiqishidan ijobiy tomonga).

Gorizontal va o'ngga yo'naltirilgan koordinatali nurda koordinatasi katta kasr bo'lgan nuqta koordinatasi kichik kasr bo'lgan nuqtaning o'ng tomonida joylashgan. Xuddi shunday, kichikroq koordinatali nuqta koordinatasi kattaroq nuqtaning chap tomonida joylashgan.

To'g'ri va noto'g'ri kasrlar, ta'riflar, misollar

Oddiy kasrlar orasida bor to'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Bu bo'linish hisoblagich va maxrajni taqqoslashga asoslangan.

To'g'ri va noto'g'ri oddiy kasrlarni aniqlaylik.

Ta'rif.

To'g'ri kasr soni maxrajdan kichik bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m bo'lsa

Ta'rif.

Noto'g'ri kasr maxrajdan katta yoki teng bo'lgan oddiy kasr, ya'ni m≥n bo'lsa, oddiy kasr noto'g'ri bo'ladi.

To'g'ri kasrlarga misollar: 1/4, , 32,765/909,003. Haqiqatan ham, yozma oddiy kasrlarning har birida hisoblagich maxrajdan kichikdir (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni taqqoslash maqolasiga qarang), shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha to'g'ri.

Noto'g'ri kasrlarga misollar: 9/9, 23/4, . Haqiqatan ham, yozilgan oddiy kasrlarning birinchi qismining soni maxrajga teng, qolgan kasrlarda esa maxrajdan katta bo'ladi.

Kasrlarni bitta bilan solishtirishga asoslangan to'g'ri va noto'g'ri kasrlarning ta'riflari ham mavjud.

Ta'rif.

to'g'ri, agar u bittadan kam bo'lsa.

Ta'rif.

Oddiy kasr deyiladi noto'g'ri, agar u birga teng yoki 1 dan katta bo'lsa.

Shunday qilib, 7/11 oddiy kasr to'g'ri, chunki 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 va 27/27=1.

Keling, maxrajidan katta yoki unga teng bo'lgan oddiy kasrlar qanday qilib bunday nomga loyiq ekanligi haqida o'ylab ko'raylik - "noto'g'ri".

Masalan, 9/9 noto'g'ri kasrni olaylik. Bu kasr to'qqiz qismdan iborat ob'ektdan to'qqiz qism olinganligini anglatadi. Ya'ni, mavjud to'qqiz qismdan biz butun ob'ektni yaratishimiz mumkin. Ya'ni, 9/9 noto'g'ri kasr mohiyatan butun ob'ektni beradi, ya'ni 9/9 = 1. Umuman olganda, ayiruvchiga teng bo'lgan noo'rin kasrlar bir butun ob'ektni bildiradi va bunday kasr 1 natural raqami bilan almashtirilishi mumkin.

Endi 7/3 va 12/4 noto'g'ri kasrlarni ko'rib chiqing. Ko'rinib turibdiki, ushbu etti uchinchi qismdan biz ikkita butun ob'ektni tuzishimiz mumkin (bitta butun ob'ekt 3 qismdan iborat, keyin ikkita butun ob'ektni yaratish uchun bizga 3 + 3 = 6 qism kerak bo'ladi) va hali ham uchdan bir qism qoladi. . Ya'ni, noto'g'ri kasr 7/3 mohiyatan 2 ob'ektni va shuningdek, bunday ob'ektning 1/3 qismini bildiradi. Va o'n ikki chorak qismdan biz uchta butun ob'ektni yasashimiz mumkin (har biri to'rt qismdan iborat uchta ob'ekt). Ya'ni, 12/4 kasr mohiyatan 3 ta butun ob'ektni bildiradi.

Ko'rib chiqilgan misollar bizni quyidagi xulosaga olib keladi: noto'g'ri kasrlarni natural sonlar bilan, hisoblagich maxrajga teng bo'linganda (masalan, 9/9=1 va 12/4=3) yoki yig'indi bilan almashtirilishi mumkin. natural son va to'g'ri kasr, agar hisoblagich maxrajga teng bo'linmasa (masalan, 7/3=2+1/3). Ehtimol, aynan shu narsa noto'g'ri kasrlarga "tartibsiz" nomini bergan.

Noto'g'ri kasrni natural son va to'g'ri kasr yig'indisi (7/3=2+1/3) sifatida ko'rsatish alohida qiziqish uyg'otadi. Bu jarayon butun qismni noto'g'ri kasrdan ajratish deb ataladi va alohida va diqqat bilan ko'rib chiqishga loyiqdir.

Shuni ham ta'kidlash joizki, noto'g'ri kasrlar va aralash sonlar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud.

Ijobiy va manfiy kasrlar

Har bir umumiy kasr musbat kasr soniga to'g'ri keladi (musbat va salbiy sonlar haqidagi maqolaga qarang). Ya'ni, oddiy kasrlar musbat kasrlar. Masalan, 1/5, 56/18, 35/144 oddiy kasrlar musbat kasrlardir. Kasrning ijobiyligini ta'kidlash kerak bo'lganda, uning oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi, masalan, +3/4, +72/34.

Agar siz oddiy kasr oldiga minus belgisini qo'ysangiz, unda bu yozuv manfiy kasr soniga to'g'ri keladi. Bunday holda, biz bu haqda gapirishimiz mumkin manfiy kasrlar. Mana manfiy kasrlarga misollar: −6/10, −65/13, −1/18.

m/n va −m/n musbat va manfiy kasrlar qarama-qarshi sonlardir. Masalan, 5/7 va -5/7 kasrlar qarama-qarshi kasrlardir.

Ijobiy kasrlar, umuman olganda, ijobiy raqamlar kabi, qo'shimchani, daromadni, har qanday qiymatning yuqoriga qarab o'zgarishini va hokazolarni bildiradi. Salbiy kasrlar xarajat, qarz yoki har qanday miqdorning pasayishiga mos keladi. Masalan, -3/4 manfiy kasr qiymati 3/4 ga teng bo'lgan qarz sifatida talqin qilinishi mumkin.

Gorizontal va o'ngga yo'nalishda manfiy kasrlar boshlang'ichning chap tomonida joylashgan. Koordinatalari musbat kasr m/n va manfiy kasr −m/n bo‘lgan koordinata chizig‘ining nuqtalari koordinata boshidan bir xil masofada, lekin O nuqtaning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan.

Bu erda 0/n ko'rinishdagi kasrlarni eslatib o'tish kerak. Bu kasrlar nol soniga teng, ya'ni 0/n=0.

Musbat kasrlar, manfiy kasrlar va 0/n kasrlar qo‘shilib ratsional sonlarni hosil qiladi.

Kasrlar bilan amallar

Biz yuqorida oddiy kasrlar bilan bitta harakatni - kasrlarni solishtirishni muhokama qildik. Yana to'rtta arifmetik funksiya aniqlangan kasrlar bilan amallar– kasrlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Kasrlar bilan amallarning umumiy mohiyati natural sonlar bilan mos keladigan amallarning mohiyatiga o'xshaydi. Keling, o'xshashlik qilaylik.

Kasrlarni ko'paytirish kasrdan kasrni topish harakati deb qarash mumkin. Aniqlik uchun bir misol keltiramiz. Aytaylik, bizda 1/6 olma bor va biz uning 2/3 qismini olishimiz kerak. Bizga kerak bo'lgan qism 1/6 va 2/3 kasrlarni ko'paytirish natijasidir. Ikki oddiy kasrni ko'paytirish natijasi oddiy kasr (maxsus holatda natural songa teng). Keyinchalik, kasrlarni ko'paytirish - qoidalar, misollar va echimlar maqolasidagi ma'lumotlarni o'rganishingizni tavsiya qilamiz.

Ma'lumotnomalar.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: 5-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Vilenkin N.Ya. va boshqalar. 6-sinf: umumta’lim muassasalari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Matematikada kasr - bu birlikning bir yoki bir nechta qismidan (kasrlaridan) tashkil topgan son. Yozish shakliga ko'ra kasrlar oddiy (misol \frac(5)(8)) va o'nlik (masalan, 123,45) ga bo'linadi.

Ta'rif. Oddiy kasr (yoki oddiy kasr)

Oddiy (oddiy) kasr m va n natural sonlar bo'lgan \pm\frac(m)(n) ko'rinishdagi son deyiladi. m raqami chaqiriladi hisoblagich bu kasr, n soni esa uning maxraj.

Gorizontal yoki qiya chiziq bo'linish belgisini bildiradi, ya'ni \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Oddiy kasrlar ikki turga bo'linadi: to'g'ri va noto'g'ri.

Ta'rif. To'g'ri va noto'g'ri kasrlar

To'g'ri Numeratori maxrajidan kichik bo'lgan kasr kasr deyiladi. Masalan, \frac(9)(11) , chunki 9

Noto'g'ri Numeratorning moduli maxraj modulidan katta yoki teng bo'lgan kasr deyiladi. Bunday kasr moduli birdan katta yoki teng bo'lgan ratsional sondir. Misol tariqasida \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) kasrlarni keltirish mumkin.

Noto'g'ri kasr bilan bir qatorda, aralash kasr (aralash son) deb ataladigan raqamning yana bir ko'rinishi mavjud. Bu oddiy kasr emas.

Ta'rif. Aralash kasr (aralash raqam)

Aralash kasr butun son va to'g'ri kasr sifatida yozilgan kasr bo'lib, bu son va kasrning yig'indisi sifatida tushuniladi. Masalan, 2\frac(5)(7)

(aralash son sifatida yozilgan) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (noto'g'ri kasr sifatida yoziladi)

Kasr faqat sonning ifodasidir. Xuddi shu raqam oddiy va o'nlik kasrlarga mos kelishi mumkin. Ikki oddiy kasrning tengligi uchun belgi hosil qilaylik.

Ta'rif. Kasrlar tengligi belgisi

Ikki kasr \frac(a)(b) va \frac(c)(d) dir teng, agar a\cdot d=b\cdot c . Masalan, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) chunki 2\cdot12=3\cdot8

Bu atributdan kasrning asosiy xossasi kelib chiqadi.

Mulk. Kasrning asosiy xossasi

Agar berilgan kasrning soni va maxraji nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, siz berilganga teng kasr olasiz.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, berilgan kasrni berilgan kasrga teng bo'lgan, lekin kichikroq hisob va maxrajli boshqa kasr bilan almashtirish mumkin. Bunday almashtirish kasrni qisqartirish deyiladi. Masalan, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (bu erda pay va maxraj avval 2 ga, keyin esa yana 2 ga bo'lingan). Kasrni faqat va faqat uning soni va maxraji o'zaro tub sonlar bo'lmasa, kamaytirish mumkin. Agar berilgan kasrning soni va maxraji o‘zaro tub bo‘lsa, kasrni qisqartirib bo‘lmaydi, masalan, \frac(3)(4) kamaytirilmas kasrdir.

Musbat kasrlar uchun qoidalar:

Ikki kasrdan bir xil maxrajlar bilan Numeratori katta bo'lgan kasr katta bo'ladi. Masalan, \frac(3)(15)

Ikki kasrdan bir xil hisoblagichlar bilan Maxraji kichikroq bo'lgan kasr katta bo'ladi. Masalan, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Ikki kasrni turli son va maxrajlar bilan solishtirish uchun ikkala kasrni ham ularning maxrajlari bir xil bo'lishi uchun aylantirish kerak. Bunday transformatsiya kasrlarni umumiy maxrajga keltirish deyiladi.

Kasrlar bilan amallar. Ushbu maqolada biz misollar, tushuntirishlar bilan hamma narsani batafsil ko'rib chiqamiz. Biz oddiy kasrlarni ko'rib chiqamiz. O'nli kasrlarni keyinroq ko'rib chiqamiz. Men hamma narsani tomosha qilishni va uni ketma-ket o'rganishni tavsiya qilaman.

1. Kasrlar yig‘indisi, kasrlar ayirmasi.

Qoida: maxrajlari teng bo'lgan kasrlarni qo'shganda, natijada kasr hosil bo'ladi - maxraji bir xil bo'lib qoladi va uning numeratori kasrlar sonining yig'indisiga teng bo'ladi.

Qoida: bir xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar orasidagi farqni hisoblashda biz kasrni olamiz - maxraj bir xil bo'lib qoladi va ikkinchi kasrning soni birinchi kasrning sonidan chiqariladi.

Maxrajlari teng boʻlgan kasrlar yigʻindisi va ayirmasining rasmiy yozuvi:

Misollar (1):

Oddiy kasrlar berilganda, hamma narsa oddiy bo'lishi aniq, lekin ular aralashgan bo'lsa-chi? Hech narsa murakkab emas ...

Variant 1– ularni oddiylarga aylantirib, keyin hisoblashingiz mumkin.

Variant 2- siz butun va kasr qismlar bilan alohida "ishlashingiz" mumkin.

Misollar (2):

Ko'proq:

Ikki aralash kasrning ayirmasi berilsa va birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning sonidan kichik bo'lsa-chi? Bundan tashqari, ikki yo'l bilan harakat qilishingiz mumkin.

Misollar (3):

*Oddiy kasrlarga aylantirildi, farqni hisobladi, hosil bo'lgan noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantirdi.

*Biz uni butun va kasr qismlarga ajratdik, uchtani oldik, keyin 3 ni 2 va 1 ning yig'indisi sifatida taqdim etdik, biri 11/11 sifatida ifodalanadi, keyin 11/11 va 7/11 o'rtasidagi farqni topdik va natijani hisobladik. . Yuqoridagi o'zgarishlarning ma'nosi - birlikni olish (tanlash) va uni bizga kerak bo'lgan maxraj bilan kasr shaklida taqdim etish, keyin biz bu kasrdan boshqasini ayirishimiz mumkin.

Yana bir misol:

Xulosa: universal yondashuv mavjud - teng maxrajli aralash kasrlarning yig'indisini (farqini) hisoblash uchun ularni har doim noto'g'ri bo'lganlarga aylantirish mumkin, keyin kerakli harakatni bajaring. Shundan so'ng, agar natija noto'g'ri kasr bo'lsa, uni aralash kasrga aylantiramiz.

Yuqorida biz maxrajlari teng bo'lgan kasrli misollarni ko'rib chiqdik. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa-chi? Bunda kasrlar bir xil maxrajga keltiriladi va belgilangan harakat bajariladi. Kasrni o'zgartirish (o'zgartirish) uchun kasrning asosiy xususiyatidan foydalaniladi.

Keling, oddiy misollarni ko'rib chiqaylik:

Ushbu misollarda biz darhol kasrlardan birini teng maxrajlarni olish uchun qanday o'zgartirish mumkinligini ko'ramiz.

Agar kasrlarni bir xil maxrajga qisqartirish usullarini belgilasak, biz buni shunday deb ataymiz BIRINCHI USUL.

Ya'ni, kasrni "baholashda" darhol ushbu yondashuv ishlay oladimi yoki yo'qligini aniqlashingiz kerak - biz kattaroq maxraj kichikroqqa bo'linishini tekshiramiz. Va agar u bo'linadigan bo'lsa, biz o'zgartirishni amalga oshiramiz - biz har ikkala kasrning maxrajlari teng bo'lishi uchun pay va maxrajni ko'paytiramiz.

Endi bu misollarga qarang:

Bu yondashuv ularga nisbatan qo'llanilmaydi. Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish usullari ham mavjud;

Ikkinchi usul.

Birinchi kasrning sonini va maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchi kasrning soni va maxrajini birinchisining maxrajiga ko‘paytiramiz:

*Aslida, biz kasrlarni maxrajlar tenglashganda shaklga keltiramiz. Keyinchalik, biz teng maxrajli kasrlarni qo'shish qoidasidan foydalanamiz.

Misol:

*Ushbu usulni universal deb atash mumkin va u doimo ishlaydi. Yagona ahvolga tushib qolgani shundaki, hisob-kitoblardan so'ng siz yanada kamaytirilishi kerak bo'lgan qismga ega bo'lishingiz mumkin.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Ko'rinib turibdiki, son va maxraj 5 ga bo'linadi:

UCHINCHI usul.

Siz maxrajlarning eng kichik umumiy karrasini (LCM) topishingiz kerak. Bu umumiy maxraj bo'ladi. Bu qanday raqam? Bu raqamlarning har biriga bo'linadigan eng kichik natural son.

Mana, ikkita raqam: 3 va 4, ularga bo'linadigan ko'p sonlar bor - bular 12, 24, 36, ... Ularning eng kichigi 12. Yoki 6 va 15, 30, 60, 90 ularga bo'linadi.... Eng kami - 30. Savol - bu eng kichik umumiy ko'paytmani qanday aniqlash mumkin?

Aniq algoritm mavjud, lekin ko'pincha bu hisob-kitoblarsiz darhol amalga oshirilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi misollarga ko'ra (3 va 4, 6 va 15) hech qanday algoritm kerak emas, biz katta raqamlarni (4 va 15) oldik, ularni ikki barobarga oshirdik va ular ikkinchi songa bo'linishini ko'rdik, lekin juft sonlar bo'lishi mumkin. boshqalar bo'lsin, masalan, 51 va 119.

Algoritm. Bir nechta sonning eng kichik umumiy karralini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

- har bir raqamni ODDIY omillarga ajrating

— ulardan KATTAsining parchalanishini yozing

- uni boshqa raqamlarning YO'QISH ko'rsatkichlariga ko'paytiring

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

50 va 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

kengayishda kattaroq bir raqam 5 yo'q

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 va 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

kengayishda kattaroq raqam ikki va uchta etishmayapti

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Ikki tub sonning eng kichik umumiy karrali ularning hosilasidir

Savol! Nima uchun eng kichik umumiy ko'paytmani topish foydali, chunki siz ikkinchi usuldan foydalanishingiz va olingan kasrni shunchaki kamaytirishingiz mumkin? Ha, bu mumkin, lekin bu har doim ham qulay emas. 48 va 72 raqamlarining maxrajiga qarang, agar siz ularni oddiygina 48∙72 = 3456 ga ko'paytirsangiz. Kichikroq raqamlar bilan ishlash yoqimliroq ekanligiga rozi bo'lasiz.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

kattaroq sonning kengayishi uch barobar etishmaydi

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Endi birinchi usuldan foydalanamiz:

*Hisob-kitoblardagi farqni ko'ring, birinchi holatda ularning minimal soni bor, lekin ikkinchisida siz qog'oz varag'ida alohida ishlashingiz kerak, hatto siz olgan kasr ham kamayishi kerak. LOCni topish ishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Ko'proq misollar:

*Ikkinchi misolda 40 va 60 ga bo'linadigan eng kichik son 120 ekanligi aniq.

NATIJA! UMUMIY HISOBIYOTLAR ALGORITMI!

— agar butun son boʻlsa, kasrlarni oddiy kasrga keltiramiz.

- biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz (birinchi maxraj boshqasiga boʻlinish-boʻlinmasligini koʻrib chiqamiz; agar u boʻlinadigan boʻlsa, bu boshqa kasrning soni va maxrajini koʻpaytiramiz; agar u boʻlinmasa, boshqa usullardan foydalanib harakat qilamiz. yuqorida ko'rsatilgan).

- maxrajlari teng bo'lgan kasrlarni qabul qilib, amallarni bajaramiz (qo'shish, ayirish).

- agar kerak bo'lsa, biz natijani kamaytiramiz.

- agar kerak bo'lsa, butun qismni tanlang.

2. Kasrlarning hosilasi.

Qoida oddiy. Kasrlarni ko'paytirishda ularning soni va maxrajlari ko'paytiriladi:

Misollar:

Vazifa. Bazaga 13 tonna sabzavot olib kelindi. Kartoshka barcha import qilinadigan sabzavotlarning ¾ qismini tashkil qiladi. Bazaga necha kilogramm kartoshka keltirildi?

Keling, qism bilan yakunlaylik.

*Iltimos, men sizga mahsulot orqali kasrning asosiy xususiyati haqida rasmiy tushuntirish berishga va'da bergan edim:

3. Kasrlarning bo‘linishi.

Kasrlarni bo'lish ularni ko'paytirishga to'g'ri keladi. Bu erda shuni yodda tutish kerakki, bo'luvchi (bo'linuvchi) bo'lgan kasr ag'dariladi va harakat ko'paytirishga o'zgaradi:

Ushbu harakatni to'rt qavatli kasr deb ataladigan shaklda yozish mumkin, chunki ":" bo'linishining o'zi ham kasr sifatida yozilishi mumkin:

Misollar:

Ana xolos! Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

Kasrlar hali ham matematikaning eng qiyin sohalaridan biri hisoblanadi. Fraksiyalarning tarixi ming yildan ko'proq vaqtga borib taqaladi. Bir butunni qismlarga bo'lish qobiliyati qadimgi Misr va Bobil hududida paydo bo'lgan. Yillar davomida kasrlar bilan bajariladigan operatsiyalar murakkablashdi va ularni yozib olish shakli o'zgardi. Har bir matematikaning ushbu sohasi bilan "munosabat"ida o'ziga xos xususiyatlarga ega edi.

Kasr nima?

Bir butunni qo'shimcha harakatlarsiz qismlarga bo'lish zarurati tug'ilganda, kasrlar paydo bo'ldi. Kasrlar tarixi utilitar muammolarni hal qilish bilan uzviy bog'liqdir. “Kasr” atamasining o‘zi arabcha ildizlarga ega bo‘lib, “buzmoq, bo‘lmoq” ma’nosini bildiruvchi so‘zdan kelib chiqqan. Qadim zamonlardan beri bu ma'noda juda oz narsa o'zgargan. Zamonaviy ta'rif quyidagicha: kasr - bu birlik qismlarining bir qismi yoki yig'indisi. Shunga ko'ra, kasrli misollar sonlarning kasrlari bilan matematik amallarning ketma-ket bajarilishini ifodalaydi.

Bugungi kunda ularni yozib olishning ikki yo'li mavjud. turli vaqtlarda paydo bo'lgan: birinchisi qadimiyroq.

Qadim zamonlardan beri kelgan

Birinchi marta ular Misr va Bobilda fraksiyalar bilan ishlay boshladilar. Ikki mamlakat matematiklarining yondashuvi jiddiy farqlarga ega edi. Biroq, boshlanish ikkala holatda ham xuddi shunday qilingan. Birinchi kasr yarim yoki 1/2 edi. Keyin chorak, uchinchi va boshqalar paydo bo'ldi. Arxeologik qazishmalarga ko'ra, fraksiyalarning kelib chiqish tarixi taxminan 5 ming yilga borib taqaladi. Birinchi marta sonning kasrlari Misr papiruslarida va Bobil loy lavhalarida uchraydi.

Qadimgi Misr

Bugungi kunda oddiy kasrlarning turlariga misrlik deb ataladigan kasrlar kiradi. Ular 1/n shaklining bir necha hadlari yig'indisini ifodalaydi. Numerator har doim bitta, maxraj esa natural sondir. Qadimgi Misrda bunday fraktsiyalar paydo bo'lganligini taxmin qilish qiyin. Hisoblashda biz barcha aktsiyalarni bunday miqdorlar ko'rinishida yozishga harakat qildik (masalan, 1/2 + 1/4 + 1/8). Faqat 2/3 va 3/4 kasrlar alohida belgilarga ega edi, qolganlari atamalarga bo'lingan; Raqamning kasrlari yig'indi sifatida taqdim etilgan maxsus jadvallar mavjud edi.

Bunday tizimga ma'lum bo'lgan eng qadimgi ma'lumot miloddan avvalgi II ming yillikning boshlariga tegishli Rhind matematik papirusida uchraydi. U kasrlar yig'indisi sifatida taqdim etilgan echimlar va javoblar bilan kasr ish varag'i va matematik muammolarni o'z ichiga oladi. Misrliklar sonning kasrlarini qo'shish, bo'lish va ko'paytirishni bilishgan. Nil vodiysidagi kasrlar ierogliflar yordamida yozilgan.

Qadimgi Misrga xos boʻlgan 1/n koʻrinishdagi sonning bir qismini hadlar yigʻindisi sifatida koʻrsatishdan nafaqat bu mamlakatda matematiklar foydalanilgan. O'rta asrlarga qadar Misr fraksiyalari Gretsiyada va boshqa mamlakatlarda ishlatilgan.

Bobilda matematikaning rivojlanishi

Bobil shohligida matematika boshqacha ko'rinardi. Bu erda kasrlarning paydo bo'lish tarixi qadimgi davlat tomonidan o'zidan oldingi Shumer-Akkad sivilizatsiyasidan meros bo'lib qolgan sanoq tizimining o'ziga xos xususiyatlari bilan bevosita bog'liq. Bobilda hisoblash texnologiyasi Misrga qaraganda qulayroq va rivojlangan edi. Bu mamlakatda matematika yanada kengroq muammolarni hal qildi.

Bobilliklarning bugungi yutuqlarini mixxat yozuvi bilan to'ldirilgan omon qolgan loy lavhalar bilan baholash mumkin. Materialning o'ziga xos xususiyatlari tufayli ular bizga ko'p miqdorda etib kelishdi. Ba'zilarning fikricha, Pifagordan oldin Bobilda ma'lum bo'lgan teorema kashf etilgan bo'lib, bu, shubhasiz, ushbu qadimgi davlatda ilm-fan rivojidan dalolat beradi.

Kasrlar: Bobildagi kasrlar tarixi

Bobildagi sanoq sistemasi jinsi kichik edi. Har bir yangi raqam avvalgisidan 60 ga farq qilar edi. Ushbu tizim zamonaviy dunyoda vaqt va burchaklarni ko'rsatish uchun saqlanib qolgan. Kasrlar ham jinsi kichik edi. Yozish uchun maxsus piktogrammalardan foydalanilgan. Misrdagi kabi, kasrli misollarda 1/2, 1/3 va 2/3 uchun alohida belgilar mavjud edi.

Bobil tuzumi davlat bilan birga yo'qolmadi. 60 raqamli tizimda yozilgan kasrlarni qadimgi va arab astronomlari va matematiklari qo'llashgan.

Qadimgi Gretsiya

Oddiy kasrlar tarixi qadimgi Yunonistonda kam boyitilgan. Hellas aholisi matematika faqat butun sonlar bilan ishlashi kerak, deb ishonishgan. Shu sababli, kasrli iboralar qadimgi yunon risolalari sahifalarida deyarli topilmagan. Biroq, pifagorchilar matematikaning ushbu sohasiga ma'lum hissa qo'shdilar. Ular kasrlarni nisbatlar yoki nisbatlar deb tushunishgan va birlik ham bo'linmas deb hisoblangan. Pifagor va uning shogirdlari kasrlarning umumiy nazariyasini qurdilar, to'rtta arifmetik amalni bajarishni, shuningdek, kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish orqali solishtirishni o'rgandilar.

Muqaddas Rim imperiyasi

Rim kasrlar tizimi "eshak" deb nomlangan og'irlik o'lchovi bilan bog'liq edi. U 12 ta aktsiyaga bo'lingan. Asning 1/12 qismi untsiya deb ataldi. Kasrlar uchun 18 ta nom bor edi. Mana ulardan ba'zilari:

yarim - yarim assa;

sextante - eshakning oltinchi qismi;

etti untsiya - yarim untsiya yoki 1/24 ass.

Bunday tizimning kamchiligi sonni maxraji 10 yoki 100 ga teng kasr shaklida ifodalashning mumkin emasligi edi.Rim matematiklari bu qiyinchilikni foizlardan foydalanib yengishgan.

Oddiy kasrlarni yozish

Antik davrda kasrlar allaqachon tanish usulda yozilgan: bir raqam ikkinchisining ustiga. Biroq, bitta muhim farq bor edi. Numerator maxraj ostida joylashgan edi. Ular kasrlarni shu tarzda yozishni dastlab qadimgi Hindistonda boshlaganlar. Zamonaviy usul arablar tomonidan qo'llanilgan. Lekin nomlari keltirilgan xalqlarning hech biri sanoqchi va maxrajni ajratish uchun gorizontal chiziqdan foydalanmagan. Bu birinchi marta Fibonachchi nomi bilan mashhur bo'lgan Pizalik Leonardoning 1202 yilda yozgan asarlarida uchraydi.

Xitoy

Agar oddiy kasrlarning paydo bo'lish tarixi Misrda boshlangan bo'lsa, o'nli kasrlar birinchi marta Xitoyda paydo bo'lgan. Osmon imperiyasida ular miloddan avvalgi 3-asrda qo'llanila boshlandi. O'nli kasrlar tarixi ularni kvadrat ildizlarni olishda qo'llashni taklif qilgan xitoylik matematik Liu Xui bilan boshlangan.

Milodiy III asrda Xitoyda og'irlik va hajmni hisoblash uchun o'nli kasrlardan foydalanila boshlandi. Asta-sekin ular matematikaga chuqurroq va chuqurroq kira boshladilar. Evropada esa o'nli kasrlar ancha keyinroq qo'llanila boshlandi.

Samarqandlik Al-Kashi

Xitoyning oʻtmishdoshlaridan qatʼi nazar, oʻnli kasrlarni qadimiy Samarqand shahridan astronom al-Koshiy kashf etgan. U 15-asrda yashab ijod qilgan. Olim o'z nazariyasini 1427 yilda nashr etilgan "Arifmetika kaliti" risolasida bayon qilgan. Al-Kashi kasrlarni yozishning yangi shaklidan foydalanishni taklif qildi. Endi butun va kasr qismlari bir qatorda yozilar edi. Samarqand astronomi ularni bir-biridan ajratish uchun vergul qo‘ymagan. U qora va qizil siyoh yordamida butun son va kasr qismini turli ranglarda yozgan. Ba'zan al-Kashi ham ajratish uchun vertikal chiziqdan foydalangan.

Evropada o'nlik kasrlar

13-asrda yevropalik matematiklarning ishlarida kasrlarning yangi turi paydo boʻla boshladi. Shuni ta'kidlash kerakki, ular al-Koshiyning asarlari, shuningdek, xitoyliklarning ixtirosi bilan yaxshi tanish emas edilar. O'nlik kasrlar Iordaniya Nemorariusning asarlarida paydo bo'lgan. Keyin ular 16-asrda trigonometrik jadvallarni o'z ichiga olgan "Matematik kanon" ni yozgan frantsuz olimi tomonidan ishlatilgan. Vieth ularda o'nli kasrlarni ishlatgan. Butun va kasr qismlarni ajratish uchun olim vertikal chiziqdan, shuningdek, turli shrift o'lchamlaridan foydalangan.

Biroq, bu faqat ilmiy foydalanishning maxsus holatlari edi. O'nlik kasrlar Evropada kundalik muammolarni hal qilish uchun biroz keyinroq qo'llanila boshlandi. Bu 16-asr oxirida golland olimi Simon Stevin tufayli sodir bo'ldi. U 1585 yilda "O'ninchi" matematik asarini nashr etdi. Unda olim o‘nli kasrlarni arifmetikada, pul tizimida hamda og‘irlik va o‘lchovlarni aniqlashda qo‘llash nazariyasini bayon qildi.

Nuqta, nuqta, vergul

Stevin ham vergul ishlatmadi. U aylana bilan o'ralgan nol yordamida kasrning ikki qismini ajratdi.

Birinchi marta vergul 1592 yilda o'nli kasrning ikki qismini ajratgan. Angliyada esa ular o'rniga nuqta ishlata boshladilar. Qo'shma Shtatlarda o'nli kasrlar hali ham shunday yoziladi.

Butun va kasr qismlarni ajratish uchun ikkala tinish belgilaridan foydalanish tashabbuskorlaridan biri Shotlandiya matematigi Jon Nepier edi. U o'z taklifini 1616-1617 yillarda bildirgan. Nemis olimi ham verguldan foydalangan

Rus tilidagi kasrlar

Rus tuprog'ida butunning qismlarga bo'linishini tushuntirgan birinchi matematik Novgorod rohib Kirik edi. 1136 yilda u "yillarni hisoblash" usulini ko'rsatgan asar yozdi. Kirik xronologiya va taqvim masalalari bilan shug'ullangan. U o‘z asarida soatning qismlarga bo‘linishini ham keltirgan: beshinchi, yigirma beshinchi va hokazo.

Butunni qismlarga bo'lish 15-17-asrlarda soliq miqdorini hisoblashda qo'llanilgan. Kasr qismlar bilan qo'shish, ayirish, bo'lish va ko'paytirish amallaridan foydalanilgan.

Rus tilida "kasr" so'zining o'zi VIII asrda paydo bo'lgan. Bu “bo‘lmoq, bo‘lmoq” fe’lidan kelib chiqqan. Ota-bobolarimiz kasrlarni nomlash uchun maxsus so'zlardan foydalanganlar. Masalan, 1/2 yarim yoki yarim, 1/4 chorak, 1/8 yarim, 1/16 yarim va hokazo.

Kasrlarning to'liq nazariyasi zamonaviydan unchalik farq qilmaydi, Leonti Filippovich Magnitskiy tomonidan 1701 yilda yozilgan arifmetika bo'yicha birinchi darslikda keltirilgan. «Arifmetika» bir necha qismdan iborat edi. Muallif kasrlar haqida "Buzilgan yoki kasrli sonlar haqida" bo'limida batafsil gapiradi. Magnitskiy "buzilgan" raqamlar va ularning turli belgilari bilan operatsiyalarni beradi.

Bugungi kunda ham kasrlar matematikaning eng qiyin bo'limlaridan biri hisoblanadi. Kasrlar tarixi ham oddiy bo'lmagan. Turli xalqlar, ba'zan bir-biridan mustaqil ravishda, ba'zan esa o'zlarining o'tmishdoshlarining tajribasini o'zlashtirgan holda, sonlarning kasrlarini joriy qilish, o'zlashtirish va ishlatish zarurati tug'ildi. Kasrlarni o'rganish har doim amaliy kuzatishlar va dolzarb muammolar tufayli rivojlangan. Nonni bo'lish, teng er uchastkalarini belgilash, soliqlarni hisoblash, vaqtni o'lchash va hokazolar kerak edi. Kasrlar va ular bilan matematik amallarni qo'llashning o'ziga xos xususiyatlari davlatdagi sanoq tizimiga va matematikaning umumiy rivojlanish darajasiga bog'liq edi. U yoki bu tarzda, ming yildan ko'proq vaqtni bosib o'tib, algebraning raqamlarning kasrlariga bag'ishlangan bo'limi shakllandi, ishlab chiqildi va bugungi kunda turli xil amaliy va nazariy ehtiyojlar uchun muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda.

Maqolada biz ko'rsatamiz kasrlarni qanday yechish kerak oddiy, tushunarli misollar yordamida. Keling, kasr nima ekanligini aniqlaymiz va ko'rib chiqamiz kasrlarni yechish!

Kontseptsiya kasrlar umumta’lim maktabining 6-sinfidan boshlab matematika kurslariga kiritiladi.

Kasrlar quyidagicha ko'rinishga ega: ±X/Y, bu erda Y - maxraj, u butunning nechta qismga bo'linganligini va X - hisoblagich bo'lib, nechta shunday qismlar olinganligini bildiradi. Aniqlik uchun tort bilan misol keltiraylik:

Birinchi holda, pirojnoe teng ravishda kesilgan va yarmi olingan, ya'ni. 1/2. Ikkinchi holda, pirojnoe 7 qismga bo'lingan, ulardan 4 tasi olingan, ya'ni. 4/7.

Agar bir sonni ikkinchisiga bo'lish qismi butun son bo'lmasa, u kasr shaklida yoziladi.

Masalan, 4:2 = 2 ifodasi butun sonni beradi, lekin 4:7 butunga bo'linmaydi, shuning uchun bu ifoda 4/7 kasr shaklida yoziladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda kasr ikki son yoki ifodaning boʻlinishini bildiruvchi va kasr qiyshiq chiziq yordamida yoziladigan ifodadir.

Numerator maxrajdan kichik bo'lsa, kasr to'g'ri bo'ladi, agar aksincha bo'lsa, u noto'g'ri kasrdir. Kasr butun sonni o'z ichiga olishi mumkin.

Masalan, 5 butun 3/4.

Ushbu yozuv butun 6 ni olish uchun to'rtning bir qismi etishmayotganligini anglatadi.

Eslamoqchi bo'lsangiz, 6-sinf uchun kasrlarni yechish, buni tushunishingiz kerak kasrlarni yechish, asosan, bir nechta oddiy narsalarni tushunishga tushadi.

• Kasr mohiyatan kasrning ifodasidir. Ya'ni, berilgan qiymat bir butunning qaysi qismi ekanligini sonli ifodasi. Misol uchun, 3/5 kasr, agar biz butun narsani 5 qismga bo'lsak va bu butunning ulushlari yoki qismlari soni uchta bo'lishini bildiradi.
• Kasr 1 dan kichik bo'lishi mumkin, masalan, 1/2 (yoki deyarli yarmi), keyin u to'g'ri. Agar kasr 1 dan katta bo'lsa, masalan, 3/2 (uch yarim yoki bir yarim), bu noto'g'ri va yechimni soddalashtirish uchun biz uchun butun qismni tanlash yaxshidir 3/2 = 1 butun 1 /2.
• Kasrlar 1, 3, 10 va hatto 100 bilan bir xil raqamlardir, faqat sonlar butun sonlar emas, balki kasrlardir. Siz ular bilan raqamlar bilan bir xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Kasrlarni hisoblash endi qiyin emas va biz buni aniq misollar bilan ko'rsatamiz.

Kasrlarni qanday yechish mumkin. Misollar.

Kasrlar uchun turli xil arifmetik amallar qo'llaniladi.

Kasrni umumiy maxrajga keltirish

Masalan, 3/4 va 4/5 kasrlarni solishtirish kerak.

Muammoni hal qilish uchun biz birinchi navbatda eng past umumiy maxrajni topamiz, ya'ni. kasrlarning har bir maxrajiga qoldiq qoldirmasdan bo'linadigan eng kichik son

Eng kichik umumiy maxraj (4,5) = 20

Keyin ikkala kasrning maxraji eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi

Javob: 15/20

Kasrlarni qo'shish va ayirish

Agar ikkita kasrning yig'indisini hisoblash zarur bo'lsa, ular birinchi navbatda umumiy maxrajga keltiriladi, so'ngra hisoblagichlar qo'shiladi, maxraj esa o'zgarishsiz qoladi. Kasrlar orasidagi farq xuddi shu tarzda hisoblab chiqiladi, yagona farq shundaki, hisoblagichlar ayiriladi.

Masalan, 1/2 va 1/3 kasrlar yig'indisini topishingiz kerak

Endi 1/2 va 1/4 kasrlar orasidagi farqni topamiz

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Bu erda kasrlarni echish qiyin emas, bu erda hamma narsa juda oddiy:

• Ko'paytirish - kasrlarning sonlari va maxrajlari birga ko'paytiriladi;
• Bo'linish - birinchi navbatda biz ikkinchi kasrning teskari qismini olamiz, ya'ni. Biz uning numeratorini va maxrajini almashtiramiz, shundan so'ng biz hosil bo'lgan kasrlarni ko'paytiramiz.

Masalan:

Bu haqida kasrlarni qanday yechish kerak, Hammasi. Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa kasrlarni yechish, agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, izohlarda yozing va biz sizga albatta javob beramiz.

Agar siz o'qituvchi bo'lsangiz, unda boshlang'ich maktab uchun taqdimotni yuklab olish (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) siz uchun foydali bo'lishi mumkin.