Maktab kursidan geometriya bo'yicha eng qiziqarli mavzulardan biri "To'rtburchaklar" (8-sinf). Bunday raqamlarning qanday turlari mavjud, ular qanday maxsus xususiyatlarga ega? To'qson graduslik burchakli to'rtburchaklarning o'ziga xos xususiyati nimada? Keling, hammasini aniqlaylik.

Qanday geometrik figuraga to'rtburchak deyiladi?

To'rt tomondan va shunga mos ravishda to'rtta burchakdan (burchakdan) iborat bo'lgan ko'pburchaklar Evklid geometriyasida to'rtburchaklar deb ataladi.

Ushbu turdagi figuraning nomining tarixi qiziq. Rus tilida "to'rtburchak" ot "to'rt burchak" iborasidan hosil bo'ladi (xuddi "uchburchak" - uchta burchak, "beshburchak" - besh burchak va boshqalar).

Biroq, lotin tilida (bu orqali ko'plab geometrik atamalar dunyoning aksariyat tillariga kelgan) u to'rtburchak deb ataladi. Bu so'z quadri (to'rt) son va latus (yon) otidan tuzilgan. Shunday qilib, qadimgi odamlar bu ko'pburchakni "to'rtburchak" deb atashgan degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Aytgancha, bu nom (bu turdagi raqamlarda burchaklar emas, balki to'rt tomonning mavjudligiga urg'u berilgan) ba'zi zamonaviy tillarda saqlanib qolgan. Masalan, ingliz tilida - to'rtburchak va frantsuzda - quadrilatère.

Bundan tashqari, aksariyat slavyan tillarida ko'rib chiqilayotgan raqam turi hali ham tomonlar emas, balki burchaklar soni bilan belgilanadi. Masalan, slovak (štvoruholník), bolgar ("chetirigalnik"), belarus ("chatyroxkutnik"), ukrain ("chotirikutnik"), chex (čtyřúhelník)da, lekin polyak tilida to'rtburchaklar soni bilan ataladi. tomonlar - czworoboczny.

Maktab o‘quv dasturida to‘rtburchakning qanday turlari o‘rganiladi?

Zamonaviy geometriyada to'rt tomonli 4 turdagi ko'pburchaklar mavjud.

Biroq, ularning ba'zilarining haddan tashqari murakkab xususiyatlari tufayli maktab o'quvchilari geometriya darslarida faqat ikkita tur bilan tanishadilar.

• Paralelogramma. Bunday to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juftlikda bir-biriga parallel va shunga mos ravishda juftlikda ham tengdir.
• Trapesiya (trapesiya yoki trapezoid). Bu to'rtburchak bir-biriga parallel bo'lgan qarama-qarshi ikki tomondan iborat. Biroq, boshqa juft tomonlarda bu xususiyat yo'q.

Maktab geometriya kursida o'rganilmagan to'rtburchaklar turlari

Yuqorida aytilganlarga qo'shimcha ravishda, maktab o'quvchilari o'zlarining murakkabligi tufayli geometriya darslarida tanishtirilmaydigan yana ikkita turdagi to'rtburchaklar mavjud.

• Deltoid (uçurtma)- ikki juft qo'shni tomonning har biri uzunligi teng bo'lgan raqam. Ushbu to'rtburchak o'z nomini tashqi ko'rinishida yunon alifbosi - "delta" harfiga juda o'xshashligi sababli oldi.
• Antiparalelogramma- bu raqam uning nomi kabi murakkab. Unda ikkita qarama-qarshi tomon teng, lekin ayni paytda ular bir-biriga parallel emas. Bundan tashqari, bu to'rtburchakning uzun qarama-qarshi tomonlari, boshqa ikkita, qisqaroq tomonning kengaytmalari kabi bir-biri bilan kesishadi.

Paralelogramma turlari

To'rtburchaklarning asosiy turlarini ko'rib chiqqandan so'ng, uning kichik turlariga e'tibor qaratish lozim. Shunday qilib, barcha parallelogrammlar, o'z navbatida, to'rt guruhga bo'linadi.

• Klassik parallelogramm.
• Romb- tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak shakl. Uning diagonallari to‘g‘ri burchak ostida kesishadi va rombni to‘rtta teng to‘g‘ri burchakli uchburchakka bo‘ladi.
• To'rtburchak. Ism o'zi uchun gapiradi. Bu to'g'ri burchakli to'rtburchak bo'lgani uchun (ularning har biri to'qson darajaga teng). Uning qarama-qarshi tomonlari nafaqat bir-biriga parallel, balki tengdir.
• Kvadrat. To'rtburchak kabi, u to'g'ri burchakli to'rtburchakdir, lekin uning barcha tomonlari tengdir. Shu tarzda, bu raqam rombga yaqin. Shunday qilib, kvadrat romb va to'rtburchaklar orasidagi xoch deb aytishimiz mumkin.

To'rtburchakning o'ziga xos xususiyatlari

Tomonlar orasidagi burchaklarning har biri to'qson darajaga teng bo'lgan raqamlarni ko'rib chiqayotganda, to'rtburchakni diqqat bilan ko'rib chiqishga arziydi. Xo'sh, uni boshqa parallelogrammalardan ajratib turadigan qanday o'ziga xos xususiyatlari bor?

Ko'rib chiqilayotgan parallelogrammni to'rtburchaklar deb da'vo qilish uchun uning diagonallari bir-biriga teng bo'lishi va burchaklarning har biri to'g'ri bo'lishi kerak. Bundan tashqari, uning diagonallari kvadrati ushbu raqamning ikkita qo'shni tomonining kvadratlari yig'indisiga mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, klassik to'rtburchak ikkita to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat bo'lib, ularda, ma'lumki, ko'rib chiqilayotgan to'rtburchakning diagonali gipotenuza vazifasini bajaradi.

Ushbu raqamning sanab o'tilgan xususiyatlarining oxirgisi ham uning maxsus xususiyatidir. Bundan tashqari, boshqalar ham bor. Masalan, to'g'ri burchak bilan o'rganilayotgan to'rtburchakning barcha tomonlari ham uning balandligidir.

Bundan tashqari, har qanday to'rtburchaklar atrofida aylana chizilgan bo'lsa, uning diametri yozilgan rasmning diagonaliga teng bo'ladi.

Ushbu to'rtburchakning boshqa xususiyatlaridan biri shundaki, u tekis va Evklid bo'lmagan geometriyada mavjud emas. Buning sababi shundaki, bunday tizimda burchaklarining yig'indisi uch yuz oltmish gradusga teng bo'lgan to'rtburchak shakllar mavjud emas.

Kvadrat va uning xususiyatlari

To'rtburchakning belgilari va xususiyatlarini tushunib, to'g'ri burchakli fanga ma'lum bo'lgan ikkinchi to'rtburchakka e'tibor qaratish lozim (bu kvadrat).

Aslida bir xil to'rtburchaklar, ammo tomonlari teng bo'lgan bu raqam barcha xususiyatlarga ega. Ammo undan farqli o'laroq, kvadrat Evklid bo'lmagan geometriyada mavjud.

Bundan tashqari, bu raqam o'ziga xos boshqa o'ziga xos xususiyatlarga ega. Masalan, kvadratning diagonallari faqat bir-biriga teng emas, balki to'g'ri burchak ostida kesishadi. Shunday qilib, romb kabi, kvadrat to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat bo'lib, ularni diagonallar ajratadi.

Bundan tashqari, bu raqam barcha to'rtburchaklar orasida eng nosimmetrikdir.

To'rtburchak burchaklarining yig'indisi nechaga teng?

Evklid geometriyasining to'rtburchaklar xususiyatlarini ko'rib chiqayotganda, ularning burchaklariga e'tibor qaratish lozim.

Shunday qilib, yuqoridagi raqamlarning har birida, to'g'ri burchakli yoki yo'qligidan qat'i nazar, ularning umumiy yig'indisi har doim bir xil - uch yuz oltmish daraja. Bu ushbu turdagi raqamning o'ziga xos ajralib turadigan xususiyati.

To'rtburchaklar perimetri

To'rtburchak burchaklarining yig'indisi nimaga teng ekanligini va ushbu turdagi raqamlarning boshqa maxsus xususiyatlarini aniqlagandan so'ng, ularning perimetri va maydonini hisoblash uchun qaysi formulalar eng yaxshi ishlatilishini aniqlashga arziydi.

Har qanday to'rtburchakning perimetrini aniqlash uchun uning barcha tomonlarini bir-biriga qo'shish kifoya.

Masalan, KLMN rasmida uning perimetri quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin: P = KL + LM + MN + KN. Agar siz bu erda raqamlarni almashtirsangiz, siz quyidagilarni olasiz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (sm).

Agar ko'rib chiqilayotgan raqam romb yoki kvadrat bo'lsa, perimetrni topish uchun siz uning tomonlaridan birining uzunligini to'rtga ko'paytirish orqali formulani soddalashtirishingiz mumkin: P = KL x 4. Masalan: 6 x 4 = 24 (sm).

Maydoni bo'lgan to'rtburchaklar uchun formulalar

Har qanday figuraning perimetrini to'rtta burchagi va yon tomoni bilan qanday topish mumkinligini aniqlagandan so'ng, uning maydonini topishning eng mashhur va oddiy usullarini ko'rib chiqishga arziydi.

To'rtburchaklarning boshqa xususiyatlari: doiralar va doiralar

To'rtburchakning xususiyatlari va xususiyatlarini Evklid geometriyasining figurasi sifatida ko'rib chiqib, uning atrofidagi doiralarni tasvirlash yoki uning ichiga doiralarni yozish qobiliyatiga e'tibor qaratish lozim:

• Agar figuraning qarama-qarshi burchaklarining yig'indilari bir yuz sakson gradus bo'lsa va juftlikda teng bo'lsa, unda bunday to'rtburchak atrofida aylana erkin tasvirlanishi mumkin.
• Ptolemey teoremasiga ko‘ra, agar aylana to‘rt tomoni bo‘lgan ko‘pburchakdan tashqarida chegaralangan bo‘lsa, uning diagonallari ko‘paytmasi berilgan rasmning qarama-qarshi tomonlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Shunday qilib, formula quyidagicha ko'rinadi: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Agar siz qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi bir-biriga teng bo'lgan to'rtburchak qursangiz, unda siz aylana chizishingiz mumkin.

To'rtburchak nima ekanligini, uning qanday turlari mavjudligini, ularning qaysi biri tomonlar o'rtasida faqat to'g'ri burchakka ega ekanligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini bilib, ushbu materialning barchasini eslab qolish kerak. Xususan, ko'pburchaklarning perimetri va maydonini topish uchun formulalar ko'rib chiqiladi. Axir, bu shakldagi raqamlar eng keng tarqalganlardan biri bo'lib, bu bilimlar haqiqiy hayotda hisob-kitoblar uchun foydali bo'lishi mumkin.

Bugun biz geometrik shaklni - to'rtburchakni ko'rib chiqamiz. Ushbu raqam nomidan allaqachon ma'lum bo'ladiki, bu raqam to'rtta burchakka ega. Ammo biz ushbu raqamning qolgan xususiyatlari va xususiyatlarini quyida ko'rib chiqamiz.

To'rtburchak nima

To'rtburchak - bu to'rtta nuqta (cho'qqi) va to'rtta segment (tomon) dan iborat bo'lgan ko'pburchak. To'rtburchakning maydoni uning diagonallari va ular orasidagi burchakning yarmiga teng.

To'rtburchak to'rtta uchli ko'pburchak bo'lib, ulardan uchtasi to'g'ri chiziqda yotmaydi.

To'rtburchaklar turlari

• Qarama-qarshi tomonlari juft boʻlib parallel boʻlgan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi.
• Qarama-qarshi tomonlari parallel, qolgan ikkitasi parallel bo'lmagan to'rtburchaklar trapetsiya deyiladi.
• Barcha to'g'ri burchakli to'rtburchak to'rtburchakdir.
• Barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak rombdir.
• Barcha tomonlari teng va barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan to'rtburchak kvadrat deyiladi.

To'rtburchak bo'lishi mumkin:

O'z-o'zini kesish

Qavariq bo'lmagan

Qavariq

O'z-o'zidan kesishgan to'rtburchak to'rtburchak bo'lib, uning har qanday tomoni kesishish nuqtasiga ega (rasmda ko'k rangda).

Qavariq bo'lmagan to'rtburchak ichki burchaklaridan biri 180 darajadan ortiq bo'lgan to'rtburchakdir (rasmda to'q sariq rangda ko'rsatilgan).

Burchaklar yig'indisi o'z-o'zidan kesishmaydigan har qanday to'rtburchak har doim 360 darajaga teng.

To'rtburchaklarning maxsus turlari

To'rtburchaklar geometrik shakllarning maxsus turlarini tashkil etuvchi qo'shimcha xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin:

• Paralelogramma
• To'rtburchak
• Kvadrat
• Trapezoid
• Deltoid
• Qarama-qarshi paralelogramma

To'rtburchak va aylana

Aylana boʻylab chizilgan toʻrtburchak (toʻrtburchak ichiga chizilgan doira).

Ta'riflangan to'rtburchakning asosiy xususiyati:

To'rtburchakni aylana bo'ylab chegaralash mumkin, agar qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'lsa.

Aylana ichiga chizilgan to'rtburchak (to'rtburchak atrofida aylana)

Yozilgan to'rtburchakning asosiy xususiyati:

To'rtburchakni aylana ichiga yozish mumkin, agar qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng bo'lsa.

To'rtburchak tomonlari uzunliklarining xossalari

To'rtburchakning har qanday ikki tomoni orasidagi farq moduli uning boshqa ikki tomonining yig'indisidan oshmaydi.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Muhim. Tengsizlik to'rtburchak tomonlarning har qanday birikmasi uchun to'g'ri. Chizma faqat idrok etish qulayligi uchun taqdim etiladi.

Har qanday to'rtburchakda uning uch tomonining uzunliklari yig'indisi to'rtinchi tomonining uzunligidan kam emas.

Muhim. Maktab o'quv dasturidagi muammolarni hal qilishda siz qat'iy tengsizlikdan foydalanishingiz mumkin (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Brauzeringizda Javascript o'chirib qo'yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!

"Doira" Biz har qanday uchburchak atrofida aylana bo'lishi mumkinligini ko'rdik. Ya'ni, har bir uchburchak uchun uchburchakning barcha uchlari "o'tiradigan" doira mavjud. Shunga o'xshash:

Savol: to'rtburchak haqida ham shunday deyish mumkinmi? Har doim to'rtburchakning barcha to'rtta uchlari "o'tiradigan" aylana bo'lishi rostmi?

Bu HAQIQAT EMAS ekan! To'rtburchakni har doim ham aylanaga yozib bo'lmaydi. Juda muhim shart mavjud:

Bizning rasmda:

.

Qarang, burchaklar va bir-biriga qarama-qarshi yotadi, ya'ni ular qarama-qarshidir. Xo'sh, burchaklar haqida nima deyish mumkin? Ular ham qarama-qarshi ko'rinadi? Burchaklarni va o'rniga burchaklarni olish mumkinmi?

Albatta qila olasiz! Asosiysi, to'rtburchakda ikkita qarama-qarshi burchak bor, ularning yig'indisi bo'ladi. Qolgan ikkita burchak ham o'z-o'zidan qo'shiladi. Menga ishonmaysizmi? Keling, ishonch hosil qilaylik. Qarang:

Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Har qanday to'rtburchakning to'rtta burchagining yig'indisi qancha ekanligini eslaysizmi? Albatta, . Ya'ni - har doim! . Lekin, → .

Sehr o'sha erda!

Shuning uchun buni juda qattiq eslang:

Agar to'rtburchak aylana ichiga chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi burchaklarining har qanday ikkitasining yig'indisi teng bo'ladi.

va aksincha:

Agar to'rtburchakda yig'indisi teng bo'lgan ikkita qarama-qarshi burchak bo'lsa, u holda to'rtburchak siklikdir.

Bularning barchasini bu erda isbotlamaymiz (agar qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalariga qarang). Ammo keling, bu ajoyib fakt nimaga olib kelishini ko'rib chiqaylik: chizilgan to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklarning yig'indisi teng.

Masalan, savol tug'iladi: parallelogramm atrofida aylana tasvirlash mumkinmi? Keling, avval "poke usuli" ni sinab ko'raylik.

Negadir bu ish bermayapti.

Endi bilimlarni qo'llaymiz:

Faraz qilaylik, biz qandaydir tarzda parallelogrammga aylana o'rnatishga muvaffaq bo'ldik. Keyin, albatta, bo'lishi kerak: , ya'ni.

Endi parallelogrammning xususiyatlarini eslaylik:

Har bir parallelogramma teng qarama-qarshi burchaklarga ega.

Shunday bo'ldi

Burchaklar haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, xuddi shu narsa, albatta.

Yozilgan → →

Paralelogramma → →

Ajoyib, to'g'rimi?

Ma’lum bo‘lishicha, agar parallelogramm aylana ichiga chizilgan bo‘lsa, uning barcha burchaklari teng, ya’ni to‘rtburchakdir!

Va ayni paytda - aylananing markazi ushbu to'rtburchakning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. Bu bonus sifatida, ta'bir joiz bo'lsa, kiritilgan.

Bu shuni anglatadiki, biz aylana ichiga chizilgan parallelogramm ekanligini bilib oldik to'rtburchak.

Endi trapezoid haqida gapiraylik. Agar trapezoid aylana ichiga chizilgan bo'lsa nima bo'ladi? Ammo shunday bo'ladi teng yonli trapezoid. Nega?

Trapetsiya aylana ichiga yozilsin. Keyin yana, lekin chiziqlarning parallelligi tufayli va.

Bu shuni anglatadiki, bizda: → → teng yonli trapesiya mavjud.

To'rtburchakdan ham osonroq, to'g'rimi? Ammo siz qat'iy eslab qolishingiz kerak - bu foydali bo'ladi:

Keling, eng ko'pini sanab o'tamiz asosiy bayonotlar aylana ichiga chizilgan to'rtburchakka teginish:

1. To'rtburchak aylana ichiga chizilgan bo'ladi, agar uning qarama-qarshi ikki burchagi yig'indisi teng bo'lsa.
2. Aylana ichiga yozilgan parallelogramma - albatta to'rtburchak aylana markazi esa diagonallarning kesishish nuqtasiga to‘g‘ri keladi
3. Aylana ichiga chizilgan trapetsiya teng yonli.

Yozilgan to'rtburchak. O'rta daraja

Ma'lumki, har bir uchburchak uchun aylana bo'ladi (biz buni "Ayralangan doira" mavzusida isbotladik). To'rtburchak haqida nima deyish mumkin? Ma'lum bo'ladiki HAR bir to'rtburchakni aylanaga yozib bo'lmaydi, va shunday teorema mavjud:

To'rtburchak aylana ichiga chizilgan bo'ladi, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng bo'lsa..

Bizning rasmimizda -

Keling, nima uchun bunday ekanligini tushunishga harakat qilaylik? Boshqacha qilib aytganda, biz endi bu teoremani isbotlaymiz. Lekin buni isbotlashdan oldin, bayonotning o'zi qanday ishlashini tushunishingiz kerak. Bayonotdagi "o'shanda va faqat keyin" so'zlarini payqadingizmi? Bunday so'zlar zararli matematiklar ikkita bayonotni bir joyga jamlaganligini anglatadi.

Keling, shifrlaymiz:

1. "Keyin" degani: Agar to'rtburchak aylana ichiga chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi burchaklarining har qanday ikkitasining yig'indisi teng bo'ladi.
2. "Faqat keyin" degani: Agar to'rtburchakda yig'indisi teng bo'lgan ikkita qarama-qarshi burchak bo'lsa, unda bunday to'rtburchakni aylana ichiga yozish mumkin.

Xuddi Elis kabi: "Men aytganimni o'ylayman" va "Men o'ylaganimni aytaman".

Keling, nima uchun 1 va 2 to'g'ri ekanligini aniqlaylik?

Birinchi 1.

To'rtburchak aylana ichiga yozilgan bo'lsin. Uning markazini belgilab, va radiuslarini chizamiz. Nima bo'ladi? Yozilgan burchak mos keladigan markaziy burchakning yarmiga teng ekanligini eslaysizmi? Esingizda bo'lsa, biz hozir foydalanamiz, agar bo'lmasa, mavzuni ko'rib chiqing "Doira. Yozilgan burchak".

Yozilgan

Yozilgan

Lekin qarang: .

Biz buni olamiz, agar - yozilgan bo'lsa, keyin

Xo'sh, bu ham qo'shilishi aniq. (siz ham hisobga olishingiz kerak).

Endi "aksincha", ya'ni 2.

Ma'lum bo'lsinki, to'rtburchakda qarama-qarshi ikki burchakning yig'indisi teng. Keling, aytaylik

Biz uning atrofidagi doirani tasvirlay olishimizni hali bilmaymiz. Ammo biz aniq bilamizki, biz uchburchak atrofida aylana tasvirlay olishimiz kafolatlanadi. Shunday qilib, qilaylik.

Agar nuqta aylanada "o'tirmasa", u muqarrar ravishda tashqarida yoki ichkarida tugaydi.

Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik.

Nuqta birinchi navbatda tashqarida bo'lsin. Keyin segment bir nuqtada aylana bilan kesishadi. Ulanamiz va. Natijada yozilgan (!) to'rtburchak.

Biz bu haqda allaqachon bilamizki, uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng, ya'ni bizning shartimizga ko'ra.

Shunday bo'lishi kerak ekan.

Lekin bunday bo'lishi mumkin emas, chunki - va vositalari uchun tashqi burchak.

Ichkarida-chi? Keling, shunga o'xshash narsalarni qilaylik. Nuqta ichkarida bo'lsin.

Keyin segmentning davomi aylanani bir nuqtada kesib o'tadi. Yana - yozilgan to'rtburchak va shartga ko'ra uni qondirish kerak, lekin - tashqi burchak uchun va anglatadi, ya'ni yana u bo'lishi mumkin emas.

Ya'ni, nuqta aylana tashqarisida ham, ichida ham bo'lishi mumkin emas - bu aylanada ekanligini anglatadi!

Butun teorema isbotlangan!

Keling, bu teorema qanday yaxshi oqibatlarga olib kelishini ko'rib chiqaylik.

Xulosa 1

Aylana ichiga chizilgan parallelogramma faqat to'rtburchak bo'lishi mumkin.

Keling, nima uchun bunday ekanligini tushunaylik. Aylana ichiga parallelogramm yozilsin. Keyin buni qilish kerak.

Ammo parallelogrammning xususiyatlaridan biz buni bilamiz.

Va xuddi shunday, tabiiyki, burchaklar va.

Shunday qilib, to'rtburchak bo'lib chiqadi - barcha burchaklar birga.

Ammo, qo'shimcha ravishda, qo'shimcha yoqimli fakt bor: to'rtburchak atrofida aylana markazi diagonallarning kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi.

Keling, nima uchun ekanligini tushunaylik. Umid qilamanki, siz diametrga bog'liq burchak to'g'ri chiziq ekanligini yaxshi eslaysiz.

Diametri,

Diametri

bu markaz ekanligini anglatadi. Bo'ldi shu.

Xulosa 2

Aylana ichiga chizilgan trapetsiya teng yon tomonli.

Trapetsiya aylanaga chizilgan bo'lsin. Keyin.

Va xuddi shunday.

Biz hamma narsani muhokama qildikmi? Unchalik emas. Aslida, yozilgan to'rtburchakni tanib olishning yana bir "maxfiy" usuli mavjud. Biz bu usulni juda qat'iy (lekin aniq) shakllantirmaymiz, lekin uni faqat nazariyaning oxirgi darajasida isbotlaymiz.

Agar to'rtburchakda rasmdagi kabi rasmni ko'rish mumkin bo'lsa (bu erda burchaklar nuqtalarning yon tomoniga "qaragan" va teng bo'lsa), unda bunday to'rtburchaklar yozilgan.

Bu juda muhim chizma - muammolarda ko'pincha burchaklar yig'indisidan ko'ra teng burchaklarni topish osonroq va.

Bizning shakllantirishimizda qat'iylik yo'qligiga qaramay, u to'g'ri va bundan tashqari, u har doim Yagona davlat imtihonlari imtihonchilari tomonidan qabul qilinadi. Siz shunday bir narsa yozishingiz kerak:

"- yozilgan" - va hamma narsa yaxshi bo'ladi!

Ushbu muhim belgini unutmang - rasmni eslab qoling va ehtimol muammoni hal qilishda sizning e'tiboringizni jalb qiladi.

Yozilgan to'rtburchak. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Agar to'rtburchak aylana ichiga chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi burchaklarining har qanday ikkitasining yig'indisi teng bo'ladi.

va aksincha:

Agar to'rtburchakda yig'indisi teng bo'lgan ikkita qarama-qarshi burchak bo'lsa, u holda to'rtburchak siklikdir.

To'rtburchak aylana ichiga, agar uning qarama-qarshi ikki burchagi yig'indisi teng bo'lsa, chizilgan.

Doira ichiga chizilgan paralelogramma- albatta to'rtburchak va aylananing markazi diagonallarning kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi.

Aylana ichiga chizilgan trapetsiya teng yon tomonli.

Qavariq to'rtburchak cho'qqilarida bir-biriga bog'langan to'rt tomondan iborat bo'lib, tomonlari bilan birga to'rtta burchak hosil qiladi, to'rtburchakning o'zi esa har doim bir tomoni yotadigan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil tekislikda joylashgan. Boshqacha qilib aytganda, butun raqam uning har qanday tomonining bir tomonida joylashgan.

Ko'rib turganingizdek, ta'rifni eslab qolish juda oson.

Asosiy xususiyatlar va turlari

To'rt burchak va tomondan tashkil topgan deyarli barcha ma'lum raqamlarni konveks to'rtburchaklar deb tasniflash mumkin. Quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin:

1. parallelogramm;
2. kvadrat;
3. to'rtburchak;
4. trapezoid;
5. romb.

Bu raqamlarning barchasini nafaqat to'rtburchak, balki qavariq ekanligi ham birlashtiradi. Faqat diagrammaga qarang:

Rasmda qavariq trapezoid ko'rsatilgan. Bu erda trapezoid bir tekislikda yoki segmentning bir tomonida ekanligini ko'rishingiz mumkin. Agar siz shunga o'xshash harakatlarni amalga oshirsangiz, boshqa barcha tomonlarda trapezoid konveks ekanligini bilib olishingiz mumkin.

Paralelogramma qavariq to'rtburchakmi?

Yuqorida parallelogrammning rasmi mavjud. Rasmdan ko'rinib turibdiki, parallelogramma ham qavariqdir. Agar siz AB, BC, CD va AD segmentlari yotadigan chiziqlarga nisbatan rasmga qarasangiz, bu chiziqlardan har doim bir xil tekislikda ekanligi ayon bo'ladi. Paralelogrammaning asosiy xarakteristikasi shundaki, qarama-qarshi burchaklar bir-biriga teng bo'lganidek, uning tomonlari juft parallel va tengdir.

Endi kvadrat yoki to'rtburchakni tasavvur qiling. Asosiy xususiyatlariga ko'ra, ular ham parallelogrammlardir, ya'ni ularning barcha tomonlari parallel juftlikda joylashgan. Faqat to'rtburchakda tomonlarning uzunligi har xil bo'lishi mumkin va burchaklari to'g'ri (90 gradusga teng), kvadrat - barcha tomonlari teng va burchaklari ham to'g'ri bo'lgan to'rtburchaklar, lekin parallelogramm, tomonlarning uzunliklari va burchaklari har xil bo'lishi mumkin.

Natijada, to'rtburchakning barcha to'rtta burchagi yig'indisi 360 darajaga teng bo'lishi kerak. Buni aniqlashning eng oson yo'li to'rtburchakka qarashdir: to'rtburchakning barcha to'rtta burchagi to'g'ri, ya'ni 90 darajaga teng. Ushbu 90 graduslik burchaklarning yig'indisi 360 gradusni beradi, boshqacha aytganda, agar siz 90 gradusni 4 marta qo'shsangiz, kerakli natijaga erishasiz.

Qavariq to'rtburchak diagonallarining xossasi

Qavariq to'rtburchakning diagonallari kesishadi. Darhaqiqat, bu hodisani vizual ravishda kuzatish mumkin:

Chapdagi rasmda konveks bo'lmagan to'rtburchak yoki to'rtburchak ko'rsatilgan. Nima bo'lganda ham. Ko'rib turganingizdek, diagonallar kesishmaydi, hech bo'lmaganda hammasi emas. O'ng tomonda qavariq to'rtburchak joylashgan. Bu erda diagonallarning kesishish xususiyati allaqachon kuzatilgan. Xuddi shu xususiyatni to'rtburchakning qavariq belgisi deb hisoblash mumkin.

To'rtburchakning boshqa xossalari va qavariq belgilari

Ushbu atama yordamida har qanday o'ziga xos xususiyat va xususiyatlarni nomlash juda qiyin. Ushbu turdagi to'rtburchaklarning har xil turlari bilan farqlash osonroq. Siz parallelogrammdan boshlashingiz mumkin. Biz allaqachon bilamizki, bu to'rtburchak shakl bo'lib, uning tomonlari parallel va juftlikda tengdir. Shu bilan birga, bu parallelogramma diagonallarining bir-birini kesish xususiyatini, shuningdek, shaklning qavariqlik belgisini ham o'z ichiga oladi: parallelogramm har doim bir xil tekislikda va uning har qanday tomoniga nisbatan bir tomonda bo'ladi. .

Shunday qilib, asosiy xususiyatlari va xususiyatlari ma'lum:

1. to'rtburchak burchaklarining yig'indisi 360 daraja;
2. Shakllarning diagonallari bir nuqtada kesishadi.

To'rtburchak. Bu raqam parallelogramma bilan bir xil xususiyat va xususiyatlarga ega, lekin ayni paytda uning barcha burchaklari 90 darajaga teng. Shuning uchun ism - to'rtburchak.

Kvadrat, bir xil parallelogramm, lekin uning burchaklari to'g'ri to'rtburchak kabi. Shu sababli, kvadrat kamdan-kam hollarda to'rtburchaklar deb ataladi. Ammo kvadratning asosiy farqlovchi xususiyati, yuqorida sanab o'tilganlarga qo'shimcha ravishda, uning barcha to'rt tomoni tengdir.

Trapezoid juda qiziq figura. Bu ham to'rtburchak, ham konveksdir. Ushbu maqolada trapezoid allaqachon chizilgan misol yordamida ko'rib chiqilgan. Uning ham konveks ekanligi aniq. Asosiy farq va shuning uchun trapezoidning belgisi shundaki, uning tomonlari uzunligi bo'yicha bir-biriga mutlaqo teng bo'lmasligi mumkin, shuningdek uning burchaklari qiymati bo'yicha. Bunday holda, rasm har doim uning har ikki uchini shaklni tashkil etuvchi segmentlar bo'ylab bog'laydigan har qanday chiziqlarga nisbatan bir xil tekislikda qoladi.

Romb ham xuddi shunday qiziqarli figuradir. Qisman rombni kvadrat deb hisoblash mumkin. Rombning belgisi shundaki, uning diagonallari nafaqat kesishadi, balki rombning burchaklarini yarmiga bo'linadi va diagonallarning o'zi to'g'ri burchak ostida kesishadi, ya'ni ular perpendikulyardir. Agar romb tomonlarining uzunliklari teng bo'lsa, u holda diagonallar kesishganda ham ikkiga bo'linadi.

Deltalar yoki qavariq romblar (rombuslar) turli tomonlar uzunligi bo'lishi mumkin. Ammo shu bilan birga, rombning asosiy xususiyatlari va xususiyatlari, shuningdek, qavariqning xususiyatlari va xususiyatlari hali ham saqlanib qolgan. Ya'ni, diagonallar burchaklarni ikkiga bo'lishlarini va to'g'ri burchak ostida kesishishini kuzatishimiz mumkin.

Bugungi vazifa konveks to'rtburchaklar nima ekanligini, ular nima ekanligini va ularning asosiy xususiyatlari va xususiyatlarini ko'rib chiqish va tushunish edi. Diqqat! Yana bir bor eslatib o'tish joizki, qavariq to'rtburchak burchaklarining yig'indisi 360 daraja. Raqamlarning perimetri, masalan, shaklni tashkil etuvchi barcha segmentlarning uzunliklari yig'indisiga teng. To'rtburchaklarning perimetri va maydonini hisoblash formulalari keyingi maqolalarda ko'rib chiqiladi.

Poligon tushunchasi

Ta'rif 1

Poligon tekislikdagi geometrik figura bo'lib, u juft bo'lib bog'langan segmentlardan iborat, qo'shnilari bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydi.

Bunday holda, segmentlar chaqiriladi ko'pburchakning tomonlari, va ularning uchlari - ko'pburchakning uchlari.

Ta'rif 2

$n$-gon uchlari $n$ boʻlgan koʻpburchakdir.

Ko'pburchaklar turlari

Ta'rif 3

Agar ko'pburchak doimo o'z tomonlari orqali o'tadigan har qanday chiziqning bir tomonida yotsa, u holda ko'pburchak deyiladi qavariq(1-rasm).

1-rasm. Qavariq ko‘pburchak

Ta'rif 4

Agar ko‘pburchak o‘zining yon tomonlaridan o‘tuvchi kamida bitta to‘g‘ri chiziqqa qarama-qarshi tomonlarda yotsa, u holda ko‘pburchak qavariq bo‘lmagan deyiladi (2-rasm).

2-rasm. Qavariq bo'lmagan ko'pburchak

Ko‘pburchak burchaklarining yig‘indisi

Keling, uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teoremani kiritaylik.

Teorema 1

Qavariq uchburchak burchaklarining yig'indisi quyidagicha aniqlanadi

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Isbot.

Bizga $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ qavariq ko'pburchak berilsin. Uning $A_1$ cho'qqisini shu ko'pburchakning barcha boshqa uchlari bilan bog'laymiz (3-rasm).

3-rasm.

Ushbu ulanish bilan biz $n-2$ uchburchaklarini olamiz. Ularning burchaklarini yig'ish orqali biz berilgan -gon burchaklarining yig'indisini olamiz. Uchburchak burchaklarining yig'indisi $(180)^0,$ ga teng bo'lganligi uchun qavariq -gon burchaklarining yig'indisi formula bilan aniqlanishini olamiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema isbotlangan.

To'rtburchak haqida tushuncha

$2$ taʼrifidan foydalanib, toʻrtburchak taʼrifini kiritish oson.

Ta'rif 5

To'rtburchak uchlari $4$ bo'lgan ko'pburchakdir (4-rasm).

4-rasm. To'rtburchak

To'rtburchak uchun qavariq to'rtburchak va qavariq bo'lmagan to'rtburchak tushunchalari xuddi shunday ta'riflangan. Qavariq to'rtburchaklarning klassik namunalari kvadrat, to'rtburchak, trapezoid, romb, parallelogrammdir (5-rasm).

Shakl 5. Qavariq to'rtburchaklar

Teorema 2

Qavariq to'rtburchak burchaklarining yig'indisi $(360)^0$ ga teng

Isbot.

$1$ teoremasiga ko'ra, biz qavariq -gon burchaklarining yig'indisi formula bilan aniqlanishini bilamiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Demak, qavariq to'rtburchak burchaklarining yig'indisi ga teng

\[\left(4-2\o'ng)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema isbotlangan.