Мы знаем, что если сложить два или несколько натуральных чисел, то в результате получим натуральное число. Если перемножать натуральные числа между собой, то в результате всегда получаются натуральные числа. А какие числа будут в результате, если из одного натурального числа вычесть другое натуральное число? Если из большего натурального числа вычесть меньшее, то результат тоже будет натуральным числом. А какое число будет, если из меньшего числа вычесть большее? Например, если из 5 вычесть 7. Результат такого действия уже не будет натуральным числом, а будет числом меньше нуля, которое мы напишем как натуральное, но со знаком «минус», так называемым, отрицательным натуральным числом. На этом уроке мы познакомимся с отрицательными числами. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел, добавляя к нему «0» и целые отрицательные числа. Новое расширенное множество будет состоять из чисел:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Эти числа называются целыми. Следовательно, результат нашего примера 5 -7 = -2 будет целым числом.

Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».

Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.

Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.

Изобразим целые числа на числовой оси.

Рисунок оси

Мы видим, что на числовой оси существует бесконечное множество чисел. Положительные и отрицательные числа разделены между собой нулем. Отрицательные целые числа, например -1, читаются как «минус единица» или «отрицательная единица».

Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.

Примеры: отметь на числовой оси +5, +6, -7, -3, -1, 0 и т.д.

При движении вправо по числовой оси числа увеличиваются, а при движении влево - уменьшаются. Если мы хотим увеличить число на 2, мы движемся вправо по координатной оси на 2 единицы. Пример: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 и т. д. И наоборот, если мы хотим уменьшить число на 3 мы будем двигаться влево на 3 единицы. Например: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; и т.д.

1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.

Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.

2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.

3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.

С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.

4. Сравни числа, поставив знак > или < , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 и 2; 0 и -5; -34 и -67; -72 и 0 и т.д.

5. Вспомни, как мы отмечали на координатном луче точки с натуральными координатами. Точки принято называть заглавными латинскими буквами. Нарисуй координатную прямую, и взяв удобный единичный отрезок, изобрази точки с координатами:

А) А(10),В(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)

6. Запиши все целые числа, расположенные между -8 и 5, между -15 и -7, между -1 и 1.

Сравнивая числа, мы должны уметь ответить на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Нарисуем координатную прямую. Изобразим на ней точки с координатами от -5 до 5. Число 3 на две единицы меньше 5, на единицу меньше 4, на 3 единица больше нуля. Число -1 на единицу меньше нуля, на 2 единицы больше -3.

7. Ответь, на сколько единиц:

3 меньше 4; -2 меньше 3; -5 меньше -4; 2 больше -1; 0 больше -5; 4 больше -1

8. Нарисуй координатную прямую. Выпиши 7 чисел, каждое из которых на 2 единицы меньше предыдущего, начиная с 6. Какое у этого ряда последнее число? Сколько может быть всего таких чисел, если количество выписываемых чисел не ограничивать?

9. Выпиши 10 чисел, каждое из которых на 3 единицы больше предыдущего начиная с (-6). Сколько таких чисел может существовать, если ряд не ограничивать десятью?

Противоположные числа.

На числовой оси для каждого положительного числа (или натурального) существует отрицательное число, расположенное слева от нуля на таком же расстоянии. Например: 3 и -3; 7 и -7; 11 и -11.

Говорят, что число -3 является противоположным числу 3, и наоборот, -3 противоположно 3.

Определение: Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком называются противоположными.

Мы знаем, что если умножить число на +1, то число не изменится. А если число умножить на (-1), что будет? У такого числа поменяется знак. Например, если 7 умножить на (-1) или отрицательную единицу, то результат будет (-7), число становится отрицательным. Если (-10) умножить на (-1), то получим (+10), т. е. получаем уже положительное число. Таким образом, мы видим, что противоположные числа получаются простым умножением исходного числа на (-1). Мы видим на числовой оси, что у каждого числа существует только одно противоположное число. Например, у (4) противоположное будет (-4), у числа (-10) – противоположное будет (+10). Попробуем найти противоположное число у нуля. Его нет. Т.е. 0 – противоположен самому себе.

А теперь посмотрим на числовой оси, что получится, если сложить 2 противоположных числа. Мы получаем, что сумма противоположных чисел равна 0.

1. Игра: пусть игровое поле разделено пополам на два поля: левое и правое. Между ними проходит разделительная черта. На поле находятся числа. Переход через черту означает умножение на (-1), иначе при переходе через разделительную черту число становится противоположным.

Пусть в левом поле находится число (5). В какое число превратится (5), если пятерка перейдет разделительную полосу 1 раз? 2 раза? 3 раза?

2. Заполни следующую таблицу:

3. Из множества пар выбери пары противоположных. Сколько таких пар ты получил?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Сложение и вычитание целых чисел.

Сложение (или знак «+») означает движение вправо на числовой оси.

1. 1+3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

Вычитание(или знак»-«) означает движение влево на числовой оси

1. 3 – 2 = 1
2. 2 – 4 = -2
3. 3 – 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 – 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 – 4 = -3

Реши следующие примеры с помощью числовой оси:

1. -3+1=
2. 2)-4-1=
3. -5-1=
4. -2-7=
5. -1+3=
6. -1-4=
7. -6+7=

В Древнем Китае при составлении уравнений коэффициенты уменьшаемых и вычитаемых записывались цифрами разного цвета. Прибыль –обозначали красной краской, а убытки – синей. Пример, продали 3 быка и купили 2 лошади. Рассмотрим другой пример: хозяйка принесла на рынок картошку и продала ее за 300 рублей, эти деньги мы прибавим к имуществу хозяйки и напишем их как +300(красное), а затем она потратила 100 рублей (эти деньги мы запишем как(-100)(синие). Таким образом, получилось, что хозяйка вернулась с рынка с прибылью в 200рублей(или +200). Иначе, числа, записанные красной краской всегда складывали, а записанные синей краской вычитали. По аналогии, будем синей краской обозначать отрицательные числа.

Таким образом, мы можем все положительные числа считать выигрышем, а отрицательные проигрышем или долгом или потерей.

Пример: -4 + 9 = +5 результат (+5) можно рассматривать как выигрыш в какой-либо игре; после того, как сначала было проиграно 4 очка, а затем выиграно 9 очков, то в результате останется выигрыш в 5 очков. Реши следующие задачи:

11. В игре в лото Петя сначала выиграл 6 очков, затем проиграл 3 очка, затем опять выиграл 2 очка, затем проиграл 5 очков. Каков результат игры у Пети?

12 (*). Мама пожила конфеты в вазочку. Маша съела 4 конфеты, Миша съел 5 конфет, Оля съела 3 конфеты. Мама положила еще в вазочку 10 конфет, и в вазочке стало 12конфет. Сколько конфет было сначала в вазочке?

13. В доме одна лестница ведет из подвала на второй этаж. Лестница состоит из двух пролетов по 15 ступенек каждый (один из подвала на первый этаж, а второй с первого этажа на второй). Петя был на первом этаже. Сначала он поднялся по лестнице на 7ступенек вверх, а затем спустился на 13 ступенек вниз. Где оказался Петя?

14. Кузнечик прыгает вдоль числовой оси. Один прыжок кузнечика составляет 3 деления на оси. Кузнечик сначала делает 3 прыжка вправо, а затем 5 прыжков влево. Где окажется кузнечик после этих прыжков, если первоначально он находился в 1)«+1»;2) «-6»;3) «0»;4) «+5»;5) «-2»;6) «+3»;7) «-1».

До сих пор мы привыкли к тому, что рассматриваемые числа отвечали на вопрос «сколько». Но отрицательные числа не могут быть ответом на вопрос «сколько». В житейском смысле отрицательные числа связаны с долгом, проигрышем, с такими действиями, как недолил, недопрыгнул, недовесил и т.д. Во всех этих случаях мы просто вычитаем долг, проигрыш, недовес. Например,

1. На вопрос « Сколько будет «тысяча без 100»?», мы из 1000 должны вычесть 100 и получим 900.
2. Выражение «3 часа без четверти» – означает, что мы должны вычесть 15 мин из 3 часов. Получим, таким образом, 2часа 45 мин.

А теперь реши следующие задачи:

15. Саша покупал 200гр. масла, но недобросовестный продавец недовесил 5 гр. Какую массу масла купил Саша?

16.На беговой дистанции в 5 км. Володя сошел с дистанции, не добежав до финиша 200м. Какое расстояние Володя пробежал?

17. Заполняя трехлитровую банку соком мама не долила 100мл сока. Сколько сока получилось в банке?

18. Кино должно начаться без двадцати минут восемь. сколько минут Во сколько часов и во сколько минут должно начаться кино?

19.У Тани было 200руб. и она должна Пете 50 руб. После того, как она отдала долг, сколько денег осталось у Тани?

20. Петя с Ваней пошли в магазин. Петя захотел купить книгу за 5 рублей. Но у него оказалось только 3 рубля, и он занял у Вани 2 рубля и купил книгу. Сколько денег оказалось после покупки у Пети?

3 - 5= -2 (из того, что у него было до покупки вычтем стоимость покупки, получим -2 рубля, то есть два рубля долга).

21. Днем температура воздуха была 3°тепла или +3°, а ночью 4° мороза или -4°. На сколько градусов понизилась температура? И на сколько градусов ночная температура меньше, чем дневная?

22. Таня договорилась встретиться с Володей без четверти семь. Во сколько часов и во сколько минут они договорились встретиться?

23. Тима с приятелем пошел в магазин покупать книгу, которая стоила 97 рублей. Но когда они пришли в магазин, то выяснилось, что книга подорожала, и стала стоить 105 рублей. Тима занял приятеля недостающую сумму, и все-таки купил книгу. Сколько денег Тима стал должен приятелю?

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое положительные и отрицательные числа

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Определение 1

Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.

Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

Определение 2

Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – 1 , 9 , 134 345 и др. Положительные рациональные числа – это, например, 7 9 , 76 2 3 , 4 , 65 и 0 , (13) = 0 , 126712 ... и так далее. К положительным иррациональным числам относится число π , число e , 9 5 , 809 , 030030003 … (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).

Приведем примеры отрицательных чисел. Это - 2 3 , − 16 , − 57 , 58 − 3 , (4) . Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.

Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения log 3 4 - 5 является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).

Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, что + 5 = 5 , + 1 2 3 = 1 2 3 , + 17 = 17 и так далее. По сути, это разные обозначения одного и того же числа.

В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.

Определение 3

Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.

Есть также определения, основанные на положении данного числа относительно нуля (вспомним, что на правой стороне координатной прямой расположены большие числа, а на левой - меньшие).

Определение 4

Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.

Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.

Отдельно остановимся на том, как правильно читать записи положительных и отрицательных чисел, хотя, как правило, с этим не возникает особых проблем. Для отрицательных чисел мы всегда озвучиваем минус, т.е. - 1 2 5 – это «минус одна целая две пятых».

В случае положительных чисел мы озвучиваем плюс только тогда, когда он явно указан в записи, т.е. + 7 – это «плюс семь». Названия математических знаков неправильно склонять по падежам. Например, верно будет прочесть фразу a = - 5 как « а равно минус пяти», а не «минусу пяти».

Основной смысл положительных и отрицательных чисел

Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.

Положительные числа, то есть те, которые больше 0 , мы рассматриваем как прибыль, прибавку, увеличение количества чего-либо, а отрицательные – недостаток, убыток, расход, долг. Приведем примеры:

У нас есть 5 любых предметов, например, яблок. Цифра 5 – положительная, она указывает на то, что у нас что-то есть, мы обладаем некоторым количеством реально существующих предметов. А как тогда рассматривать - 5 ? Оно может, например, значить, что мы должны отдать кому-то пять яблок, которых у нас в данное время нет.

Проще всего это понять на примере денег: если у нас есть 6 , 75 тыс. рублей, то наш доход положительный: нам дали денег, и они у нас есть. В то же время в кассе эти расходы указываются как - 6 , 75 , то есть для них это убыток.

На градуснике рост температуры на 4 , 5 значений можно описать как + 4 , 5 , а снижение, в свою очередь, как - 4 , 5 . В приборах, предназначенных для измерения, часто используются положительные и отрицательные числа, поскольку с помощью них удобно отображать изменения величин. Например, в термометре отрицательные числа указываются синим цветом – это падение, холод, уменьшение тепла; положительные же отмечены красным – это цвет огня, роста, увеличения тепла. Эти цвета очень часто используются для записи таких чисел, т.к. они очень наглядны – с их помощью всегда можно четко выделить приход и расход, прибыток и убыток.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Человек не может понимать

Окружающий его мир только

Логикой мозга, он должен

Ощутить его логикой сердца,

То есть эмоций.

С. В. Образцов

Могущество и красота математической мысли – в предельной четкости ее логики. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы – сопоставимы с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка.

Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения обретают эмоциональность, звучность, красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике.

По мнению академика Н. П. Бехтеревой, чтобы маленький человек освоил ему впервые встретившуюся мысль, надо добиться того, чтобы вокруг этой мысли работала вся его голова, все его органы чувств. Не случайно в некоторых странах принято таблицу умножения заучить, распевая соответствующие куплеты-считалки. Мы тоже на уроках математики собираем, сочиняем сказки, считалки, стихотворения, песенки.

Конечно, математика – наука серьезная, и учить ее надо серьезно и вдумчиво. Но и забавные стихи, песенки помогают «учению с увлечением», а значит, и успеху в учении, без которого обучение становится безрезультатным. А в поэзии допустимы вольности.

Мы прочитали, что люди в своем опыте используют различные внутренние процессы (видение, слышание, чувствование). То есть, есть люди - визуалы, аудиалы, кинестетики Тогда становится понятным, что за такими словами, как «думать», «размышлять», «понимать» у различных людей подразумеваются различные внутренние процессы. И еще, мы узнали, что есть дети «гуманитарии», которым очень трудно дается математика.

Мы провели исследование среди учащихся 5-6 классов, чтобы выяснить какие темы по математике самые « нелюбимые», а потом помочь ребятам, вызвать интерес к этим темам. Для этого создать книжку-подсказку, в которой собрать необычные «находки», которые помогут полюбить данную тему и математику в целом.

После обработки анкет выяснилось, что в 5 классе почти все учащиеся «математики» и « не любимых» тем у них нет. А вот в 6 классе очень многим ребятам математика дается с трудом, а самая трудная тема «Положительные и отрицательные числа»

И так основная цель статьи:

Сделать книжку – подсказку для учащихся 6 класса по теме «Положительные и отрицательные числа».

Гипотеза: Мы предполагаем, что прочитав стихи, сказки, придуманные одноклассниками, нарисовав рисунок, представив то, о чем говорится в стихах, сказках, сделать выводы и понятнее станет тема.

Объектом исследования мы определили учащихся 5-6 классов, а предметом отрицательные числа.

1. Провести исследование в 5-6 классах

❖ по выявлению доминирующего полушария головного мозга

❖ по выявлению «любимых» и «не любимых» тем

❖ по определению преобладающего канала получения и переработки информации

1. Собрать и проанализировать стихи и сказки об отрицательных числах

2. Сделать книжку - подсказку

Нам эта тема была очень интересна, благодаря стихам, сказкам играм, сценкам и другим нестандартным заданиям. Мы сами любим сочинять различные «запоминалки». Думаем, что сможем помочь шестиклассникам лучше разобраться в этой теме, поместив в свою книжку правила в стихах, сказках и другие «запоминалки».

Мы собрали стихи и сказки про положительные и отрицательные числа.

Придумали 3 эскиза для обложки нашей книжки, а затем выбрали ту, которая нам больше понравилась.

Ожидаемые результаты:

1. Приобретение навыков исследовательской работы.

2. Данный материал поможет учащимся 6 класса в изучении темы «Отрицательные числа»

3. Сможем пополнить свой портфолио

4. Навыки, приобретенные в ходе работы, пригодятся в жизни, так как собираемся связать свою жизнь с математикой.

ПРО ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ

Из истории терминов

Понятие об отрицательном числе возникло при решении уравнении. Каких только обидных названий не давали отрицательным числам - их называли и нелепыми, и ложными, и придуманными Просто удивительно, что после всего этого отрицательные числа продолжают служить людям! Император Ши Хуан Ди разгневался на ученых и приказал сжечь все научные книги, авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас только в отрывках, откуда и стало известно, что китайцы не знали правил знаков при умножении положительных и отрицательны чисел. Впервые их сформулировали индийские ученые.

Древнегреческий математик Диофант в III в. фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел. Вообще положительные числа трактовались как имущество, а отрицательные – как долг. Но ученые таких чисел не признавали, они считали, что «меньше чем ничто» ничего быть не может.

Итальянский ученый Леонардо Фибоначчи (XII – XIII в.) пришел к мысли, что отрицательные количества следует понимать в смысле противоположном положительным количествам. Немецкий математик Михаил Штифель впервые в 1544 г. Дал определение отрицательных чисел как чисел, меньших нуля. Великий французский математик Рене Декарт (1596 – 1650) предложил откладывать отрицательные числа на координатной прямой влево от нуля. А всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX в.

1. 2 Про любовь к математике

«И прекрасна, и сильна Математика – страна»

За высокими горами,

За синими морями,

В тридесятом царстве

Живет прекрасная страна

Ма-те-ма-ти-ка!

И стоит, в стране чудесной

Новый город со дворцом,

А в дворце златоглавом

Знаки дружно там живут,

Знаки терем стерегут,

Вместе песенку поют.

Я ночами плохо сплю,

Математику я так давно люблю.

Я и днем теперь не сплю,

Я и вечером не сплю,

Ма-те-ма-ти-ку, математику люблю.

Изучение математики многим дается нелегко и требует упорства и труда.

Очень часто можно услышать, что учащиеся не любят математику. Она им кажется недостаточно интересной и даже скучной.

Мы занимаемся по учебникам «Математика. Психология. Интеллект»

(МПИ). На уроках математики у нас часто присутствуют: сказки, сказочные герои, стихи и даже песни. И тогда в классе царит хорошее настроение, а это помогает работе на уроке.

Когда не интересно на уроке, то вроде слушаешь, а не слышишь. В результате появляются пробелы в знаниях, что обнаруживается чаще всего во время самостоятельных, контрольных работ и при выполнении работы дома.

После обработки анкет выяснилось, что в 5 классе почти все учащиеся любят математику и « не любимых» тем у них нет. А вот в 6 классе очень многим ребятам математика дается с трудом, а самая трудная тема «Положительные и отрицательные числа»

ПРО ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Сказки об отрицательных числах

Дружок! Прочитай сказку, придуманную шестиклассниками о жизни точек, обитающих на координатной прямой. Нарисуй их. Сделай выводы.

О жизни точек на координатной прямой

На координатной прямой жила-была точка А. Там же жили много точек, и у каждой был свой дом под названием «координата». Координаты были разные – положительные и отрицательные, целые и дробные. У одной точки даже была координата равная 0. Эта точка была самой важной из всех.

И вот однажды точка А решила отправиться в гости к точке М с координатой -3. От своего дома с координатой 3 она пошла вправо по координатной прямой. Миновав дома восьми точек, она решила отдохнуть и определить, где находится. Рядом была точка В, которая жила в доме с координатой 11. Точка А поняла: она пошла не в ту сторону, и подумала, что, оказывается, изменив номер своего дома на 8 номеров, она тем самым сложила эти числа и получила 3+8 =11 – номер дома точки В.

Очень интересно! – размышляла точка А. – Что же будет, если я пойду влево от точки В?

И она отправилась влево по координатной прямой. Только пройдя мимо 14 домов точек, она увидела, наконец, то, к чему стремилась, - дом точки М с координатой -3. Точка А стала рассуждать:

Я двигалась влево. Все знают, что при движении влево по координатной прямой числа уменьшаются. А если координата уменьшилась, значит, она изменилась на отрицательное число единиц. Получается, что за весь путь, который я прошла, координата изменилась на -14,получится -3.

А теперь ответь на вопросы.

1. Что значит с помощью координатной прямой к числу а прибавить число в?

2. Как изменится число, если к нему прибавить положительное число?

3. Как изменится число, если к нему прибавить отрицательное число?

На аккуратно начерченной числовой прямой собрались на совещание разные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Председателем единогласно был избран нуль. Он и стал первым держать речь: «Уважаемые числа, мы собрались здесь для того, чтобы произвести оценку нашим действиям. Я должен отметить, хотя, может, это и нескромно, что от меня ведется отсчет всех чисел, поэтому я буду давать вам оценку. Справа от меня расположены числа положительные, ничего отрицательного о них не скажешь. Слева – числа отрицательные, в жизни очень плохо быть отрицательным, но нам в математике часто без них не получить положительный ответ. Всяческого одобрения заслуживает модуль, который всегда неотрицательный.

Сидят числа и раздумывают: что стоит оценка нуля?

Королевская прогулка. 1

А если бы я не собрала Шалтая – Болтая? – спросила Алиса, когда они с Белым Королем пошли по дороге для королевских прогулок. – Ведь я не смогла бы дать вам торт: у меня ничего нет!

Ну что ж, - пожал плечами Король, - значит, у тебя стало бы еще меньше, чем ничего!

Но разве бывает меньше, чем ничего? – удивилась Алиса.

Конечно, бывает, - сказал Король. – Например, если ты кому-то должна, у тебя ведь меньше, чем ничего, правда?

Правда, - согласилась Алиса.

Вот ты и была должна мне один торт. Можно сказать, - добавил Король, что у тебя тогда стало бы минус один торт.

Минус один? – переспросила Алиса.

Это число, которое на единицу меньше нуля, - пояснил Король.

Но разве бывают числа меньше нуля? – еще больше удивилась Алиса.

Сколько угодно, - охотно отозвался Король. – Берешь любое число больше нуля, скажем пять, отнимаешь его от нуля – и пожалуйста – получаешь «минус пять», число, которое на пять меньше нуля! У таких чисел и название есть – отрицательные числа.

А как называются числа, которые больше нуля? – спросила Алиса.

Положительные, - ответил Король.

Значит, отрицательных чисел столько же, сколько положительных? – догадалась Алиса.

Ровно столько же, - подтвердил Король. – И тех и других бесконечно много!

А сам нуль – какое число, положительное или отрицательное? – спросила Алиса.

Нуль – единственное число, которое не положительное и не отрицательное, - сказал Король.

Непослушные сестренки

Жила была в Математическом царстве в Арифметическом государстве, в деревне Положительных чисел Троечка. Она договорилась, по телефону встретится со своей двоюродной сестрой Минус Троечка, которая жила в деревне Отрицательных чисел. Встретится, решили вечером в нулевом лесу. Они никогда не видели друг друга. Пошла Троечка по Координатной прямой, которую пересекала другая прямая. Эту дорогу называли перпендикулярной. Входить в этот лес строго воспрещалось. За этим следил леший «Икс». Непослушные сестренки обманули лешего и пробрались в лес, но как только они встретились, так сразу же исчезли.

Не зря же им говорили, что противоположным числам в Нулевом лесу встречаться нельзя.

3+(-3)=0 Сумма противоположных чисел равна нулю.

Сказка о нуле, положительных и отрицательных числах

В некотором царстве в некотором государстве, в тридевятом государстве, жил был царь по имени НУЛЬ. Однажды царь созвал положительные и отрицательные числа на совещание. Совещание проходило на координатной прямой. НУЛЬ сидел в середине на золотом троне, рядом с ним стояли +1 (справа) и -1 (слева)

Начал говорить первым царь:

«Совещание открывается!»

«Дорогие числа, по-моему, размышлению совещание должен открыть я, потому что от меня начинается отсчет чисел» - сказал НУЛЬ и стал держать свою речь дальше. «Так дорогие числа, отрицательные и положительные. Вправо от меня располагайтесь положительные числа, а влево отрицательные. Отрицательными в жизни быть трудно, поверьте, я уж знаю, ведь я царь по имени НУЛЬ. Я все испытал на себе, прежде чем взойти на этот золотой трон. Но в математике отрицательные числа нужны.

Большое внимание и благородство заслуживает модуль, он никогда не бывает отрицательным числом, а всегда положительным. На этом совещание закончено» - сказал НУЛЬ.

До свидания дорогие числа положительные и отрицательные.

Город Чисел

Это было очень давно. Тогда, когда в великой стране Математики в области чисел стояли два города – город Плюс и город Минус. Жили в этих городах числа. Вы догадались, конечно, что жителями города Плюс были положительные, а жителями города Минус – отрицательные числа.

Между городами проходила граница, возле которой один-одинешенек, круглым сиротой жил пограничник Ноль.

По-разному числа жили: ссорились и дружили, складывались и умножались, делились и вычитались. Самые разные были действия, самыми разными получались результаты. Одно было одинаково: если получался результат противоположный по знаку родному городу, это число должно было уйти в другой город. В городе положительных чисел было попроще: там только вычитание могло дать отрицательный результат, а вот в городе Минус Вы даже представить себе не можете сколько результатов вынуждено было покидать свой родной город

Может и не было бы всей этой истории, не появись однажды в результате какого-то действия Минус Единицы. Это была не обычная Минус Единица – она родилась с огромным зарядом умножения. Услышав однажды рядом с собой горькие вздохи она тут же подошла к группе чисел с вопросом: “Что случилось?. ” Целая группа положительных результатов тут же была ею перемножена и, изменив свой знак на минус, не ушла в город Плюс, а осталась жить в родном Минусе со своими исходными данными

Пограничник Ноль уже и удивляться перестал, что со стороны города отрицательных чисел давным-давно не появлялись ходоки, только однажды поздним вечером он почувствовал что-то неладное: к его жилищу стремительно приближалась стройная фигурка, и издалека чувствовалось ее намерение перемножиться с ним.

– Не смей этого делать! – успел закричать Ноль. – Ты с ума сошла? Ты же просто исчезнешь

– Так нужно. Я не могу теперь оставаться в городе Минус, а больше мне негде жить.

– Но что случилось?.

– Я очень долго была нужна своему городу: меняя знаки всем положительным результатам, я помогала им оставаться в Минусе и не уходить в Плюс. Меня очень многие благодарили за это, даже, наверное, любили. А сегодня, собравшись вместе, Множество многозначных чисел вынесло приговор: не считать меня числом, ведь древние греки единицу за число не считали

– Ну и пусть. Они тебе просто позавидовали. Я теперь понял, почему из вашего города так долго никто не появлялся на границе

Смотри-ка, от города Плюс идут сюда числа. Да они все отрицательные! А ну-ка покажи свое искусство, они ведь тоже не хотят уходить из родного дома

А конец сказки может прозвучать так:

Пограничник Ноль возмутился:

– Нет, друзья мои, так дальше не пойдет. Никак не закончатся ваши бесконечные споры и ссоры. Мне надоело быть отшельником. Я ведь тоже число и хочу жить вместе со всеми. Никаких Минусов и Плюсов больше не будет, а будет Город Чисел. Если же вам всем захочется место свое узнать, выстроимся по прямой: на одной половине – положительные, на другой – отрицательные числа. А я посередине между вами встану и каждому, кто сам не найдет, место его покажу

Так появилась в математике известная сегодня всем числовая ось.

Придумать продолжение истории и не забыть про счастливый конец1.

Жили в Стране математики два рыцаря, два брата, лицом похожие, а характером противоположные. Первый был злой, отрицательный. Минусом звали его братья. Второй был добрый, снисходительный, юный, положительный, и звали его Плюс. Жили они, не тужили, без драк и ссор. Но тут случился у них такой вот спор:

Надо выполнить сложенье чисел 3 и (-8)

Умножение плюс на минус и минус на минус

Совсем непросто шестиклассникам запомнить: чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак “Минус”.

А если перемножают два отрицательных числа – учить еще одно правило?

А может быть лучше так?

Плюс на минус, минус, плюс!

Умноженья не боюсь!

Перемножить модули – это же пустяк

Самое главное – не забыть про знак.

Плюс, на минус умножая,

Ставим (-) не зевая,

(+) на (+) – и плюс в ответе.

Всем пятерки будут, дети!

(-) с (-) умножу,

(+) в ответе будет тоже.

Выучи стихотворенье –

Веселей пойдет ученье!

А ведь действительно веселей!

И ошибок меньше, и скуки.

Вот еще одна подсказка

ДРУГ МОЕГО ДРУГА – МОЙ ДРУГ,

ВРАГ МОЕГО ДРУГА – МОЙ ВРАГ,

ВРАГ МОЕГО ВРАГА - МОЙ ДРУГ.

Экономическая часть

Расчёт затрат на изготовление книжки «Подсказки в стихах и сказках»

№ п\п Наименование Стоимость руб. Расход Общая стоимость материала

1. Бумага ксероксная 0,3 12 3,6

2. Бумага фотографическая 3 2 6

3. Плёнка для обложки 0,5 2 1

4. Краска для принтера 100 0,1 10

Всего: 20,6 рубля

Для сравнения: Такая же книжка в книжном магазине будет стоить приблизительно 60 рублей.

В ходе нашей исследовательской работы мы многое узнали о себе. Все исследования мы с начало проводили на себе, а потом выходили к ребятам 5-6 классов.

Мы узнали, что люди в своем опыте используют различные внутренние процессы (видение, слышание, чувствование). То есть, есть люди - визуалы, аудиалы, кинестетики теперь нам стало понятно, что за такими словами, как «думать», «размышлять», «понимать» у различных людей подразумеваются различные внутренние процессы. И еще, мы узнали, что есть дети «гуманитарии», которым очень трудно дается математика, и мы надеемся, что наша книжка поможет этим ребятам понять тему «Положительные и отрицательные числа».

Мы приобрели навыки исследовательской работы. А школьники, изучившие данный материал, смогут лучше понять и полюбить математику.

Навыки, приобретенные в ходе этой работы, пригодятся нам в жизни, так как мы в дальнейшем хотим связать свою жизнь с математикой.

2. Какие числа называют отрицательными?

А) со знаком «+»; б) со знаком «-».

х + 2,6, если: х

А) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше;

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

11. Найдите значение суммы:

12. Найдите значение выражения х + 2,6, если: х = -1,47 ___________________________

9. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

А) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше;

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

10. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

А) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше;

Б) сложить их модули; поставить перед полученным числом знак « - ».

11. Найдите значение суммы:

А) – 36 + (-54)= ; б) -23 + 23= ; в) -145 + 0 = ; г) -127,3 + (-13,9)= ;

12. Найдите значение выражения х + 2,6, если: х = -1,47 ___________________________

1. 
   

А) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

4. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо:

А) разделить модуль делимого на модуль делителя, поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) разделить модуль делимого на модуль делителя.

Тест по теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел»

1. 
   Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:

а) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

2. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо

А) перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - »;

Б) перемножить модули этих чисел.

3. Поставьте знак.

Отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

Исторический очерк

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Отрицательные формы рельефа
• Отрицательный и положительный нуль

Смотреть что такое "Отрицательные числа" в других словарях:

Отрицательные числа - действительные числа, меньшие нуля, например 2; 0,5; π и т. п. См. Число … Большая советская энциклопедия

Положительные и отрицательные числа - (величины). Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

числа отрицательные - Числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами. Тематики бухгалтерский учет … Справочник технического переводчика

ЧИСЛА, ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ - числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами … Большой бухгалтерский словарь

Целые числа - Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из… … Википедия

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… … Википедия

ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА - коэффициенты Е n в разложении Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символической записи, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 =1. При этом Е 2п+1=0, E4n положительные, E4n+2 отрицательные целые числа для всех n=0, 1, . . .; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математическая энциклопедия

Отрицательное число - Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия

История арифметики - Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

Арифметика - Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

Книги

• Математика. 5 класс. Учебная книга и практикум. В 2 частях. Часть 2. Положительные и отрицательные числа , . Учебная книга и практикум для 5 класса входят в состав УМК по математике для 5-6 классов, разработанного авторским коллективом под руководством Э. Г. Гельфман и М. А. Холодной в рамках…