เด็กๆ ที่โรงเรียนเรียนรู้กฎการลดเศษส่วนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ในบทความนี้ เราจะบอกคุณก่อนว่าการกระทำนี้หมายความว่าอย่างไร จากนั้นเราจะอธิบายวิธีแปลงเศษส่วนลดให้เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ ประเด็นต่อไปจะเป็นกฎเกณฑ์ในการลดเศษส่วน แล้วค่อยมาดูตัวอย่างกัน

"การลดเศษส่วน" หมายความว่าอย่างไร?

เราทุกคนรู้ว่าเศษส่วนธรรมดาแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: ลดได้และลดไม่ได้ จากชื่อแล้วคุณสามารถเข้าใจได้ว่าสิ่งที่ทำสัญญาได้นั้นถูกทำสัญญาและสิ่งที่ลดไม่ได้จะไม่ได้ทำสัญญา

• การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวส่วนและตัวเศษด้วยตัวหารบวก (มากกว่าหนึ่ง) ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนใหม่ที่มีตัวส่วนและตัวเศษน้อยกว่า เศษส่วนที่ได้จะเท่ากับเศษส่วนเดิม

เป็นที่น่าสังเกตว่าในหนังสือคณิตศาสตร์ที่มีภารกิจ "ลดเศษส่วน" หมายความว่าคุณต้องลดเศษส่วนดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบที่ลดไม่ได้นี้ พูดง่ายๆ ก็คือ การหารทั้งตัวส่วนและตัวเศษด้วยตัวหารร่วมที่มากที่สุดก็คือการลดลง

วิธีลดเศษส่วน กฎการลดเศษส่วน (เกรด 6)

จึงมีกฎเพียงสองข้อเท่านั้น

1. กฎข้อแรกของการลดเศษส่วนคือหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวส่วนและตัวเศษของเศษส่วนก่อน
2. กฎข้อที่สอง: หารตัวส่วนและตัวเศษด้วยตัวหารร่วมมาก จะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ในที่สุด

จะลดเศษส่วนเกินได้อย่างไร?

กฎการลดเศษส่วนจะเหมือนกับกฎการลดเศษส่วนเกิน

ในการลดเศษส่วนเกิน คุณจะต้องแยกตัวส่วนและตัวเศษให้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน จากนั้นจึงลดตัวประกอบร่วมเท่านั้น

การลดเศษส่วนผสม

กฎสำหรับการลดเศษส่วนยังใช้กับการลดเศษส่วนคละด้วย มีความแตกต่างเพียงเล็กน้อยเท่านั้น เราไม่สามารถสัมผัสทั้งส่วนได้ แต่ต้องลดเศษส่วนหรือแปลงเศษส่วนที่ผสมให้เป็นเศษส่วนเกิน จากนั้นลดขนาดแล้วแปลงเป็นเศษส่วนแท้อีกครั้ง

มีสองวิธีในการลดเศษส่วนคละ

ขั้นแรก: เขียนเศษส่วนลงในตัวประกอบเฉพาะแล้วปล่อยเศษส่วนทั้งหมดไว้ตามลำพัง

วิธีที่สอง: ขั้นแรกแปลงให้เป็นเศษส่วนเกิน เขียนลงในตัวประกอบสามัญ จากนั้นจึงลดเศษส่วน แปลงเศษส่วนเกินที่ได้รับแล้วให้เป็นเศษส่วนแท้

ตัวอย่างสามารถดูได้ในภาพด้านบน

เราหวังเป็นอย่างยิ่งว่าเราจะสามารถช่วยเหลือคุณและลูก ๆ ของคุณได้ ท้ายที่สุดแล้วพวกเขามักจะไม่ตั้งใจในชั้นเรียน ดังนั้นพวกเขาจึงต้องเรียนที่บ้านอย่างเข้มข้นมากขึ้นด้วยตัวเอง

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีลดเศษส่วน เรามาลองดูตัวอย่างกันก่อน

การลดเศษส่วนหมายถึงการหารทั้งเศษและส่วนด้วยสิ่งเดียวกัน ทั้ง 360 และ 420 ลงท้ายด้วยตัวเลข เราจึงสามารถลดเศษส่วนนี้ลง 2 ได้ ในเศษส่วนใหม่ ทั้ง 180 และ 210 ก็หารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นเราจึงลดเศษส่วนนี้ลง 2 ในตัวเลข 90 และ 105 ผลรวม ของหลักหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 3 ลงตัว เราจึงลดเศษส่วนด้วย 3 ในเศษส่วนใหม่ 30 และ 35 ลงท้ายด้วย 0 และ 5 ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งสองหารด้วย 5 ลงตัว เราจึงลด เศษส่วนคูณ 5 ผลลัพธ์เศษส่วนของหกในเจ็ดจะลดไม่ได้ นี่คือคำตอบสุดท้าย

เราสามารถได้คำตอบเดียวกันด้วยวิธีที่ต่างออกไป

ทั้ง 360 และ 420 ลงท้ายด้วย 0 ซึ่งหมายความว่าหารด้วย 10 ลงตัว เราลดเศษส่วนด้วย 10 ในเศษส่วนใหม่ ทั้งตัวเศษ 36 และตัวส่วน 42 หารด้วย 2 เราลดเศษส่วนด้วย 2 ใน เศษส่วนถัดไปทั้งเศษ 18 และส่วน 21 หารด้วย 3 ซึ่งหมายความว่าเราลดเศษส่วนด้วย 3 เรามาถึงผลลัพธ์ - หกในเจ็ด

และอีกหนึ่งวิธีแก้ปัญหา

คราวหน้าเราจะมาดูตัวอย่างการลดเศษส่วนกัน

เครื่องคิดเลขออนไลน์ทำงาน การลดเศษส่วนพีชคณิตตามกฎการลดเศษส่วน: แทนที่เศษส่วนเดิมด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน แต่มีตัวเศษและส่วนน้อยกว่าเช่น การหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนพร้อมกันด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) เครื่องคิดเลขยังแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจลำดับของการลดลง

ที่ให้ไว้:

สารละลาย:

ดำเนินการลดเศษส่วน

ตรวจสอบความเป็นไปได้ในการดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิต

1) การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

2) การลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

3) การเลือกเศษส่วนทั้งหมด

การแยกเศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดออกจากกัน

4) การแปลงเศษส่วนพีชคณิตเป็นเศษส่วนทศนิยม

การแปลงเศษส่วนพีชคณิตเป็นทศนิยม

ช่วยเหลือในการพัฒนาเว็บไซต์ของโครงการ

เรียนผู้เยี่ยมชมเว็บไซต์
หากคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา อย่าลืมเขียนเกี่ยวกับมันในความคิดเห็น สิ่งที่ขาดหายไปบนเว็บไซต์ สิ่งนี้จะช่วยให้เราเข้าใจว่าเราต้องก้าวต่อไปในทิศทางใด และผู้เยี่ยมชมรายอื่นจะสามารถรับเนื้อหาที่จำเป็นได้ในไม่ช้า
หากไซต์นั้นมีประโยชน์สำหรับคุณ ให้บริจาคไซต์ให้กับโครงการ เพียง 2 ₽และเราจะรู้ว่าเรากำลังเดินไปถูกทาง

ขอบคุณที่แวะมา!

I. ขั้นตอนการลดเศษส่วนพีชคณิตโดยใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์:

1. หากต้องการลดเศษส่วนพีชคณิต ให้ป้อนค่าของตัวเศษและส่วนของเศษส่วนในช่องที่เหมาะสม หากเศษส่วนผสมกัน ให้กรอกข้อมูลในช่องที่ตรงกับเศษส่วนทั้งหมดด้วย ถ้าเศษส่วนเป็นแบบง่าย ให้ปล่อยฟิลด์ส่วนทั้งหมดว่างไว้
2. หากต้องการระบุเศษส่วนที่เป็นลบ ให้ใส่เครื่องหมายลบบนเศษส่วนทั้งหมด
3. ขึ้นอยู่กับเศษส่วนพีชคณิตที่ระบุ ลำดับของการกระทำต่อไปนี้จะดำเนินการโดยอัตโนมัติ:

• การหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเศษและส่วนของเศษส่วน;
• ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย gcd;
• เน้นเศษส่วนทั้งหมดถ้าตัวเศษของเศษส่วนสุดท้ายมากกว่าตัวส่วน
• การแปลงเศษส่วนพีชคณิตสุดท้ายให้เป็นเศษส่วนทศนิยมปัดเศษให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด

การลดลงอาจส่งผลให้มีเศษส่วนเกิน ในกรณีนี้ ส่วนทั้งหมดของเศษส่วนเกินสุดท้ายจะถูกเน้น และเศษส่วนสุดท้ายจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนแท้

ครั้งที่สอง สำหรับการอ้างอิง:

เศษส่วนคือตัวเลขที่ประกอบด้วยหนึ่งหรือหลายส่วน (เศษส่วน) ของหน่วย เศษส่วนร่วม (เศษส่วนอย่างง่าย) เขียนเป็นตัวเลขสองตัว (ตัวเศษของเศษส่วนและตัวส่วนของเศษส่วน) คั่นด้วยแถบแนวนอน (แถบเศษส่วน) ระบุเครื่องหมายการหาร

ตัวเศษของเศษส่วนคือตัวเลขที่อยู่เหนือเส้นเศษส่วน ตัวเศษแสดงจำนวนหุ้นที่เอามาจากทั้งหมด

1. ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลขที่อยู่ต่ำกว่าเส้นเศษส่วน ตัวส่วนแสดงจำนวนส่วนที่เท่ากันทั้งหมดที่ถูกแบ่งออกเป็น, เศษส่วนอย่างง่ายคือเศษส่วนที่ไม่มีส่วนทั้งหมด เศษส่วนอย่างง่ายอาจเป็นแบบถูกหรือแบบไม่เหมาะสมก็ได้, เศษส่วนแท้คือเศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ดังนั้นเศษส่วนแท้จึงน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเศษส่วนแท้: 8/7, 11/19, 16/17.
2. หากต้องการบวก ลบ คูณ และหารเศษส่วนร่วมหรือเศษส่วนผสม ให้ใช้เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์พร้อมคำตอบโดยละเอียด

เมื่อมองแวบแรก เศษส่วนพีชคณิตดูเหมือนซับซ้อนมากและนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้อาจคิดว่าทำอะไรไม่ได้เลย การสะสมตัวแปร ตัวเลข และแม้แต่องศาทำให้เกิดความกลัว อย่างไรก็ตาม มีการใช้กฎเดียวกันนี้เพื่อลดเศษส่วนร่วม (เช่น 15/25) และเศษส่วนพีชคณิต

ขั้นตอน

การลดเศษส่วน

ทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการกับเศษส่วนอย่างง่าย การดำเนินการกับเศษส่วนสามัญและพีชคณิตจะคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วน 15/35 กัน หากต้องการลดรูปเศษส่วนนี้ คุณควรทำ หาตัวหารร่วม- ตัวเลขทั้งสองหารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้นเราสามารถแยก 5 ในตัวเศษและส่วนได้:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

ตอนนี้คุณสามารถ ลดปัจจัยร่วมนั่นคือขีดฆ่า 5 ในตัวเศษและส่วน. ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนอย่างง่าย 3/7 - ในนิพจน์พีชคณิต ปัจจัยทั่วไปจะถูกระบุในลักษณะเดียวกับปัจจัยทั่วไป ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถแยก 5 ออกจาก 15 ได้อย่างง่ายดาย - หลักการเดียวกันนี้ใช้กับนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่า เช่น 15x - 5 มาหาปัจจัยร่วมกัน ในกรณีนี้ จะเป็น 5 เนื่องจากทั้งสองพจน์ (15x และ -5) หารด้วย 5 ลงตัว เหมือนเมื่อก่อน ให้เลือกตัวประกอบร่วมแล้วย้ายมัน ซ้าย.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

หากต้องการตรวจสอบว่าทุกอย่างถูกต้องหรือไม่ เพียงคูณนิพจน์ในวงเล็บด้วย 5 ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกับตอนแรก สมาชิกที่ซับซ้อนสามารถแยกได้ในลักษณะเดียวกับสมาชิกธรรมดา หลักการเดียวกันนี้ใช้กับเศษส่วนพีชคณิตเช่นเดียวกับเศษส่วนธรรมดา นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการลดเศษส่วน พิจารณาเศษส่วนต่อไปนี้:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

โปรดทราบว่าทั้งตัวเศษ (บน) และตัวส่วน (ล่าง) มีพจน์ (x+2) จึงสามารถลดได้ในลักษณะเดียวกับตัวประกอบร่วม 5 ในเศษส่วน 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

ผลลัพธ์ที่ได้คือนิพจน์แบบง่าย: (x-3)/(x+10)

การลดเศษส่วนพีชคณิต

ค้นหาตัวประกอบร่วมในตัวเศษ ซึ่งก็คือที่ด้านบนของเศษส่วน เมื่อลดเศษส่วนพีชคณิต ขั้นตอนแรกคือการทำให้ทั้งสองด้านง่ายขึ้น เริ่มต้นด้วยตัวเศษและพยายามแยกตัวประกอบให้ได้มากที่สุด พิจารณาในส่วนนี้เศษส่วนต่อไปนี้:

9x-3 15x+6

เริ่มจากตัวเศษกันก่อน: 9x – 3 สำหรับ 9x และ -3 ตัวประกอบร่วมคือเลข 3 ลองเอา 3 ออกจากวงเล็บเหมือนที่ทำกับตัวเลขธรรมดา: 3 * (3x-1) ผลลัพธ์ของการแปลงนี้คือเศษส่วนต่อไปนี้:

3(3x-1) 15x+6

ค้นหาตัวประกอบร่วมในตัวเศษ. เรามาต่อจากตัวอย่างด้านบนแล้วเขียนตัวส่วน: 15x+6 เช่นเดิม เรามาดูกันว่าทั้งสองส่วนหารด้วยจำนวนเท่าใด และในกรณีนี้ ตัวประกอบร่วมคือ 3 ดังนั้นเราจึงเขียนได้: 3 * (5x +2) ลองเขียนเศษส่วนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3(3x-1) 3(5x+2)

ย่อเงื่อนไขเดียวกัน ในขั้นตอนนี้ คุณสามารถลดรูปเศษส่วนได้ ยกเลิกพจน์เดียวกันในตัวเศษและส่วน. ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขนี้คือ 3

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

พิจารณาว่าเศษส่วนมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด. เศษส่วนจะง่ายขึ้นโดยสิ้นเชิงเมื่อไม่มีตัวประกอบร่วมเหลืออยู่ในตัวเศษและตัวส่วน โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถยกเลิกพจน์ที่อยู่ในวงเล็บได้ ในตัวอย่างด้านบนนี้ไม่มีทางแยก x ออกจาก 3x และ 5x ได้ เนื่องจากพจน์ทั้งหมดคือ (3x -1) และ (5x + 2) ดังนั้น เศษส่วนไม่สามารถจัดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีก และคำตอบสุดท้ายมีดังนี้:

(3x-1)(5x+2)

ฝึกการลดเศษส่วนด้วยตัวเอง วิธีที่ดีที่สุดในการเรียนรู้วิธีการคือการแก้ปัญหาด้วยตนเอง คำตอบที่ถูกต้องแสดงไว้ด้านล่างตัวอย่าง

4(x+2)(x-13)(4x+8)

คำตอบ:(x=13)

2x 2 -x 5x

คำตอบ:(2x-1)/5

การเคลื่อนไหวพิเศษ

วางเครื่องหมายลบไว้นอกเศษส่วน. สมมติว่าคุณได้รับเศษส่วนต่อไปนี้:

3(x-4) 5(4-x)

โปรดสังเกตว่า (x-4) และ (4-x) "เกือบ" เหมือนกัน แต่ไม่สามารถลดได้ทันทีเนื่องจาก "กลับด้าน" อย่างไรก็ตาม (x - 4) สามารถเขียนเป็น -1 * (4 - x) ได้ เช่นเดียวกับที่ (4 + 2x) สามารถเขียนเป็น 2 * (2 + x) สิ่งนี้เรียกว่า “การกลับรายการสัญญาณ”

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

ตอนนี้คุณสามารถลดเงื่อนไขที่เหมือนกัน (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบสุดท้าย: -3/5 - เรียนรู้ที่จะรับรู้ความแตกต่างระหว่างกำลังสอง ผลต่างของกำลังสองคือเมื่อลบกำลังสองของจำนวนหนึ่งออกจากกำลังสองของอีกจำนวนหนึ่ง ดังเช่นในนิพจน์ (a 2 - b 2) ผลต่างของกำลังสองสมบูรณ์สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนได้เสมอ - ผลรวมและผลต่างของรากที่สองที่สอดคล้องกัน จากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ก 2 - ข 2 = (ก+ข)(ก-ข)

เทคนิคนี้มีประโยชน์มากเมื่อค้นหาคำศัพท์ร่วมในเศษส่วนพีชคณิต

• ตรวจสอบว่าคุณได้แยกตัวประกอบนิพจน์นี้หรือนิพจน์นั้นอย่างถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณปัจจัย - ผลลัพธ์ควรเป็นนิพจน์เดียวกัน
• หากต้องการลดรูปเศษส่วนให้สมบูรณ์ ให้แยกตัวประกอบที่ใหญ่ที่สุดเสมอ

บทความนี้ยังคงพูดถึงการแปลงเศษส่วนพีชคณิต: พิจารณาการกระทำเช่นการลดเศษส่วนพีชคณิต มานิยามคำศัพท์กัน กำหนดกฎการลด และวิเคราะห์ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ความหมายของการลดเศษส่วนพีชคณิต

ในวัสดุเกี่ยวกับเศษส่วนร่วม เราดูที่การลดลง เรากำหนดให้การลดเศษส่วนเป็นการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม

การลดเศษส่วนพีชคณิตก็มีการดำเนินการที่คล้ายกัน

คำจำกัดความ 1

การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ตรงกันข้ามกับการลดเศษส่วนสามัญ (ตัวส่วนร่วมสามารถเป็นตัวเลขได้เท่านั้น) ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตสามารถเป็นพหุนามได้ โดยเฉพาะ monomial หรือตัวเลข

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยจำนวน 3 ผลลัพธ์คือ: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. เราสามารถลดเศษส่วนเดียวกันได้ด้วยตัวแปร x และจะได้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 นอกจากนี้ยังสามารถลดเศษส่วนที่กำหนดด้วย monomial ได้อีกด้วย 3 ครั้งหรือพหุนามใดๆ x + 2 ปี, 3 x + 6 ปี , x 2 + 2 xy หรือ 3 x 2 + 6 x ย.

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนในรูปแบบที่ง่ายกว่า และดีที่สุดคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดมีการลดลงหรือไม่?

อีกครั้ง จากวัสดุที่มีเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดได้และลดไม่ได้ เศษส่วนที่ลดไม่ได้คือเศษส่วนที่ไม่มีตัวเศษและตัวส่วนร่วมนอกจาก 1

เศษส่วนพีชคณิตก็เช่นเดียวกัน: พวกมันอาจมีตัวประกอบในตัวเศษและตัวส่วนร่วมหรืออาจมีตัวประกอบร่วมกันก็ได้ การมีตัวประกอบร่วมทำให้เศษส่วนดั้งเดิมลดรูปลงได้ เมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกัน จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะปรับเศษส่วนที่กำหนดให้เหมาะสมโดยใช้วิธีการลดขนาด

ในกรณีทั่วไป เมื่อพิจารณาจากประเภทของเศษส่วนแล้ว ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าสามารถลดขนาดลงได้หรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีอยู่ของตัวประกอบร่วมระหว่างตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 3 y ชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือเลข 3

ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เราก็เข้าใจทันทีว่าสามารถลดลงได้ด้วย x หรือ y หรือ x · y และบ่อยครั้งมากที่มีตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิต เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นได้ไม่ง่ายนัก และบ่อยครั้งที่ตัวประกอบนั้นขาดหายไป

ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 ด้วย x - 1 ในขณะที่ไม่มีตัวประกอบร่วมที่ระบุในรายการ แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ไม่สามารถลดได้ เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

ดังนั้น คำถามในการกำหนดความสามารถในการลดของเศษส่วนพีชคณิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย และมักจะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนดได้ง่ายกว่าการพยายามค้นหาว่าสามารถลดได้หรือไม่ ในกรณีนี้ การแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้สามารถระบุตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนได้ หรือหาข้อสรุปเกี่ยวกับการลดไม่ได้ของเศษส่วน เราจะตรวจสอบปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิต

กฎสำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยการดำเนินการตามลำดับสองรายการ:

• การหาตัวประกอบร่วมของทั้งเศษและส่วน
• หากพบจะดำเนินการลดเศษส่วนโดยตรง

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณเห็นได้ชัดเจนทันทีว่ามีปัจจัยร่วมหรือไม่

การดำเนินการลดเศษส่วนพีชคณิตนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกันที่ไม่ได้กำหนด โดยที่ a, b, c เป็นพหุนามบางส่วน และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบ a · c b · c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยร่วม c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการลดขนาด เช่น เปลี่ยนเป็นเศษส่วนของรูปแบบ a b

ตัวอย่างทั่วไป

แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง ขอให้เราชี้แจงกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันจะเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · ปี 1 2 · x - x 2 · ปี ;

เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต เรามาดูกันว่าเศษส่วนเหล่านี้ลดลงอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนด้วยตัวเศษและส่วนจะถูกแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะแล้วตัวประกอบร่วมจะถูกยกเลิก (ถ้ามี)

เช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

ผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นกำลังได้ และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานที่เหมือนกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(ตัวเศษและส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3- หรือเพื่อความชัดเจน โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

โดยการเปรียบเทียบ การลดเศษส่วนพีชคณิตจะดำเนินการโดยที่ตัวเศษและส่วนมี monomials ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

เศษส่วนพีชคณิตจะได้รับ - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะเขียนเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลคูณของตัวประกอบและตัวแปรอย่างง่าย จากนั้นจึงดำเนินการลด:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · ก · ก · ข · ข · ค · ค · ค · ค · ค · ค · ค · z = = - 3 · 3 · ก · ก · ก 2 · ค · ค · ค · ค · ค · ค = - 9 ก 3 2 ค 6

อย่างไรก็ตาม วิธีที่มีเหตุผลมากกว่าคือเขียนคำตอบเป็นนิพจน์ที่มีพลัง:

27 · ก 5 · ข 2 · ค · z 6 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · z = - 3 3 · ก 5 · ข 2 · ค · z 2 · 3 · ก 2 · ข 2 · ค 7 · ซี = - 3 3 2 · 3 · ก 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · ก 5 - 2 1 · 1 · 1 ค 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · ก 3 2 · ค 6 = · - 9 · ก 3 2 · ค 6 .

คำตอบ:- 27 ก 5 ข 2 ค z 6 ก 2 ข 2 ค 7 z = - 9 ก 3 2 ค 6

เมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เป็นเศษส่วน จะมีวิธีดำเนินการต่อไปได้สองวิธี: หารค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้แยกกัน หรือกำจัดค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกก่อนด้วยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติบางตัว การแปลงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ "การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")

ตัวอย่างที่ 2

เศษส่วนที่กำหนดคือ 2 5 x 0, 3 x 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

เรามาลองแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไป โดยกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนออกไปก่อน - คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น บน LCM (5, 10) = 10 จากนั้นเราจะได้รับ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2

คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

เมื่อเราลดเศษส่วนพีชคณิตทั่วไป ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถเป็นได้ทั้งแบบเอกพจน์หรือพหุนาม ก็อาจเกิดปัญหาได้เมื่อตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ในทันทีเสมอไป หรือยิ่งกว่านั้น มันก็ไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อกำหนดปัจจัยร่วมหรือบันทึกข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 3

ให้เศษส่วนตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 มันจำเป็นต้องลดลง

สารละลาย

ลองแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน. เอามันออกจากวงเล็บ:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49)

เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

2 b 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7)

เห็นได้ชัดว่ามีความเป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ข 2 (ก + 7)- มาทำการลดกันเถอะ:

2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ โดยไม่มีคำอธิบายว่าเป็นลูกโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ข 2 (ก 2 + 14 ก + 49) ข 3 (ก 2 - 49) = = 2 ข 2 (ก + 7) 2 ข 3 (ก - 7) (ก + 7) = 2 (ก + 7) ข (ก - 7) = 2 ก + 14 ก - 7 ข

คำตอบ: 2 ก 2 ข 2 + 28 ก ข 2 + 98 ข 2 ก 2 ข 3 - 49 ข 3 = 2 ก + 14 ก ข - 7 ข

มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวประกอบที่เป็นตัวเลขที่มีกำลังสูงกว่าของตัวเศษและตัวส่วนออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 4

ให้เศษส่วนพีชคณิต 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 จำเป็นต้องลดถ้าเป็นไปได้

สารละลาย

เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและส่วนไม่มีตัวส่วนร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เรามาลองแปลงเศษส่วนที่กำหนดกัน ลองหาตัวประกอบ x ในตัวเศษออกมา:

1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2

ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังที่สูงกว่าของพหุนามเหล่านี้:

x 1 5 - 2 7 x 2 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10

ตอนนี้มองเห็นปัจจัยร่วมได้แล้ว เราจะดำเนินการลด:

2 7 x - 7 10 + x 2 ปี 5 x 2 ปี - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

คำตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 ปี 5 x 2 ปี - 3 1 2 = - 2 35 x .

ให้เราเน้นย้ำว่าทักษะในการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบพหุนาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter