พิจารณาสมการกำลังสอง

เรามาพิจารณารากของมันกันดีกว่า

ไม่มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเป็น -1 แต่ถ้าเรากำหนดตัวดำเนินการด้วยสูตร ฉันเป็นหน่วยจินตภาพ ดังนั้นคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้เป็น - ในเวลาเดียวกัน และ - จำนวนเชิงซ้อนโดยที่ -1 เป็นส่วนจริง, 2 หรือในกรณีที่สอง -2 เป็นส่วนจินตภาพ ส่วนจินตภาพก็เป็นจำนวนจริงเช่นกัน ส่วนจินตภาพคูณด้วยหน่วยจินตภาพหมายความว่าแล้ว จำนวนจินตภาพ.

โดยทั่วไป จำนวนเชิงซ้อนจะมีรูปแบบ

z = x + ฉัน ,

ที่ไหน เอ็กซ์, ย– จำนวนจริง – หน่วยจินตภาพ ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์จำนวนหนึ่ง เช่น ในวิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ และทฤษฎีสัญญาณ หน่วยจินตภาพจะแสดงด้วย เจ- ตัวเลขจริง x = เรื่อง(z)และ ย =ฉัน(ซ)ถูกเรียกว่า ส่วนจริงและส่วนจินตภาพตัวเลข z.การแสดงออกที่เรียกว่า รูปแบบพีชคณิตการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริงใดๆ จะเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ - จำนวนจินตภาพก็เป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน .

นิยามของเซตของจำนวนเชิงซ้อน C

นิพจน์นี้อ่านได้ดังนี้: set กับประกอบด้วยองค์ประกอบดังกล่าว xและ ยอยู่ในเซตของจำนวนจริง รและเป็นหน่วยจินตภาพ สังเกตว่า เป็นต้น

จำนวนเชิงซ้อนสองตัว และ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันเท่านั้น กล่าวคือ และ .

จำนวนและฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ การวิเคราะห์และการคำนวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ อิเล็กทรอนิกส์แอนะล็อก ในทฤษฎีและการประมวลผลสัญญาณ ในทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติและวิทยาศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ

1. เลขคณิตจำนวนเชิงซ้อน

การบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัวประกอบด้วยการบวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ กล่าวคือ

ดังนั้นผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า อย่างทั่วถึง ผันตัวเลข ซี =x+ฉัน

จำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อน z และ z * แตกต่างกันในเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ เห็นได้ชัดว่า

.

ความเท่าเทียมกันใดๆ ระหว่างนิพจน์ที่ซับซ้อนยังคงใช้ได้อยู่หากทุกจุดในความเท่าเทียมกันนี้ ฉันแทนที่ด้วย - ฉัน, เช่น. ไปที่ความเท่าเทียมกันของจำนวนคอนจูเกต ตัวเลข ฉันและ – ฉันแยกไม่ออกทางพีชคณิต เนื่องจาก .

ผลคูณ (การคูณ) ของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวสามารถคำนวณได้ดังนี้:

การหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัว:

ตัวอย่าง:

1. เครื่องบินที่ซับซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นกราฟิกได้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เรากำหนดระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในระนาบ (x, ย)

บนแกน วัวเราจะวางชิ้นส่วนจริง xมันถูกเรียกว่า แกนจริง (จริง), บนแกน เฮ้ย– ส่วนจินตภาพ ยจำนวนเชิงซ้อน มันเรียกว่า แกนจินตภาพ- ในกรณีนี้ จำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัวจะสัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบ และเรียกระนาบดังกล่าว เครื่องบินที่ซับซ้อน- จุด กระนาบเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ.

ตัวเลข xเรียกว่า แอบซิสซาจำนวนเชิงซ้อนจำนวน ย – บวช.

จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนคู่หนึ่งแสดงด้วยจุดที่อยู่รอบแกนจริงแบบสมมาตร

หากบนเครื่องบินที่เรากำหนดไว้ ระบบพิกัดเชิงขั้วแล้วตามด้วยจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวน zกำหนดโดยพิกัดเชิงขั้ว ในเวลาเดียวกัน โมดูลตัวเลข คือรัศมีเชิงขั้วของจุดและมุม - มุมเชิงขั้วหรืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน z.

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน ไม่เป็นลบเสมอ อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้ถูกกำหนดโดยเฉพาะ ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะต้องตรงตามเงื่อนไข - แต่ละจุดของระนาบเชิงซ้อนยังสอดคล้องกับค่าทั่วไปของอาร์กิวเมนต์ด้วย อาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันด้วยผลคูณของ 2π ถือว่าเท่ากัน อาร์กิวเมนต์หมายเลขศูนย์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

เห็นได้ชัดว่า

ในเวลาเดียวกัน
, .

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน zในรูปแบบ

เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.

ตัวอย่าง.

1. รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การสลายตัวใน ซีรีส์แมคคลอรินสำหรับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์จริง มีรูปแบบ:

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน zการสลายตัวก็คล้ายกัน

.

ส่วนขยายอนุกรม Maclaurin สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์จินตภาพสามารถแสดงเป็นได้

ข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่า สูตรของออยเลอร์.

สำหรับการโต้แย้งเชิงลบจะมีรูปแบบ

ด้วยการรวมนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน คุณสามารถกำหนดนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับไซน์และโคไซน์ได้

.

ใช้สูตรของออยเลอร์จากรูปตรีโกณมิติแทนจำนวนเชิงซ้อน

สามารถรับได้ บ่งชี้(เลขชี้กำลัง, ขั้ว) รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน เช่น การเป็นตัวแทนในรูปแบบ

,

ที่ไหน - พิกัดเชิงขั้วของจุดที่มีพิกัดสี่เหลี่ยม ( เอ็กซ์,ย).

คอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลังดังนี้

สำหรับรูปแบบเลขชี้กำลัง ง่ายต่อการระบุสูตรต่อไปนี้สำหรับการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อน

นั่นคือในรูปแบบเลขชี้กำลัง ผลคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนจะง่ายกว่าในรูปแบบพีชคณิต เมื่อทำการคูณ โมดูลของปัจจัยจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ กฎนี้ใช้กับปัจจัยจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยเฉพาะเมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อน zบน ฉันเวกเตอร์ zหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90

ในการหาร โมดูลัสของตัวเศษจะถูกหารด้วยโมดูลัสของตัวส่วน และอาร์กิวเมนต์ของตัวส่วนจะถูกลบออกจากอาร์กิวเมนต์ของตัวเศษ

การใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนทำให้เราสามารถรับนิพจน์สำหรับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีได้ เช่นจากตัวตน

เราสามารถเขียนสูตรของออยเลอร์ได้

เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพในนิพจน์นี้ เราจะได้นิพจน์สำหรับโคไซน์และไซน์ของผลรวมของมุม

1. พลัง ราก และลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อน

การยกจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นพลังธรรมชาติ nผลิตตามสูตร

ตัวอย่าง- มาคำนวณกัน .

ลองจินตนาการถึงตัวเลขกัน ในรูปแบบตรีโกณมิติ

’

เมื่อใช้สูตรการยกกำลังเราจะได้

โดยการใส่ค่าลงในนิพจน์ ร= 1 เราได้สิ่งที่เรียกว่า สูตรมูฟวร์ซึ่งคุณสามารถกำหนดนิพจน์สำหรับไซน์และโคไซน์ของหลายมุมได้

ราก n- กำลังที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน zมี nค่าต่าง ๆ ที่กำหนดโดยนิพจน์

ตัวอย่าง- มาหากันเถอะ

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแสดงจำนวนเชิงซ้อน () ในรูปแบบตรีโกณมิติ

.

เราได้โดยใช้สูตรคำนวณรากของจำนวนเชิงซ้อน

ลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อน z- นี่คือหมายเลข วเพื่อที่. ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนเชิงซ้อนมีค่าเป็นจำนวนอนันต์และคำนวณโดยสูตร

ประกอบด้วยส่วนจริง (โคไซน์) และส่วนจินตภาพ (ไซน์) แรงดันไฟฟ้านี้สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ความยาวได้ อืม, เฟสเริ่มต้น (มุม) หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω .

ยิ่งไปกว่านั้น หากมีการเพิ่มฟังก์ชันที่ซับซ้อนเข้าไป ส่วนจริงและส่วนจินตภาพก็จะถูกเพิ่มเข้าไปด้วย ถ้าฟังก์ชันเชิงซ้อนคูณด้วยฟังก์ชันคงที่หรือฟังก์ชันจริง ส่วนจริงและส่วนจินตภาพจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน ความแตกต่าง/การบูรณาการของฟังก์ชันที่ซับซ้อนนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่าง/การบูรณาการของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ตัวอย่างเช่น การแยกความแตกต่างระหว่างการแสดงออกถึงความเครียดที่ซับซ้อน

คือการคูณมันด้วย iω เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน f(z) และ – ส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตัวอย่าง: .

ความหมาย zแสดงด้วยจุดในระนาบ z เชิงซ้อน และค่าที่สอดคล้องกัน ว- จุดหนึ่งในระนาบเชิงซ้อน ว- เมื่อนำมาแสดง W = ฉ(z)เส้นเครื่องบิน zแปลงร่างเป็นเส้นเครื่องบิน วร่างของระนาบหนึ่งให้กลายเป็นอีกร่างหนึ่ง แต่รูปร่างของเส้นหรือร่างสามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมีนัยสำคัญ