งานหลายอย่างที่เราใช้ในการคำนวณเชิงพีชคณิตเพียงอย่างเดียวสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า “เป็นยังไงบ้าง” วาดอะไรบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันเถอะว่าบางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า เรามาเริ่มต้นกันดีไหม? เริ่มจากสมการกันก่อน!

การแก้สมการเชิงกราฟิก

ผลเฉลยกราฟิกของสมการเชิงเส้น

ดังที่คุณทราบแล้วว่ากราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรง จึงเป็นที่มาของชื่อประเภทนี้ สมการเชิงเส้นค่อนข้างง่ายในการแก้พีชคณิต - เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ไปยังอีกด้านหนึ่ง และ voila! เราพบต้นตอแล้ว ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีการทำ แบบกราฟิก

ดังนั้นคุณจะได้สมการ:

จะแก้ปัญหาอย่างไร?
ตัวเลือกที่ 1และสิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้ไปด้านหนึ่งและสิ่งที่รู้ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้:

ตอนนี้เรามาสร้างกัน คุณได้อะไร?

คุณคิดว่าอะไรคือรากของสมการของเรา? ถูกต้องแล้ว พิกัดของจุดตัดของกราฟคือ:

คำตอบของเราคือ

นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก ดังที่คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!

อย่างที่ผมบอกไปข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ใกล้เคียงกับคำตอบพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้มันด้วยวิธีอื่นได้ หากต้องการพิจารณาวิธีแก้อื่น ให้กลับไปที่สมการของเรา:

ครั้งนี้เราจะไม่ย้ายสิ่งใดจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรง เนื่องจากมีอยู่ในปัจจุบัน:

สร้าง? มาดูกัน!

แนวทางแก้ไขในครั้งนี้คืออะไร? ถูกต้องแล้ว สิ่งเดียวกัน - พิกัดของจุดตัดของกราฟ:

และอีกครั้งคำตอบของเราคือ

อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว... ตัวอย่างเช่น คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ผลเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาเริ่มแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า สมมติว่าคุณต้องค้นหารากของสมการนี้:

แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับแบบแบ่งแยกหรือตามทฤษฎีบทของ Vieta ได้แล้ว แต่หลายๆ คนกลับรู้สึกวิตกกังวลเมื่อคูณหรือยกกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างมีจำนวนจำนวนมาก และอย่างที่คุณทราบ คุณจะชนะ ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ... งั้นเราลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดรูปไปพร้อมกับแก้สมการนี้ดู

คำตอบของสมการนี้สามารถพบได้ในรูปแบบกราฟิกในรูปแบบต่างๆ ลองดูตัวเลือกต่าง ๆ แล้วคุณสามารถเลือกอันที่คุณชอบที่สุดได้

วิธีที่ 1. โดยตรง

เราเพียงแค่สร้างพาราโบลาโดยใช้สมการนี้:

เพื่อให้ดำเนินการได้รวดเร็ว ฉันจะให้คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ แก่คุณ: สะดวกในการเริ่มการก่อสร้างโดยกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:

คุณจะพูดว่า “หยุด! สูตรสำหรับนั้นคล้ายกันมากกับสูตรในการค้นหาตัวแบ่งแยก" ใช่แล้ว และนี่คือข้อเสียอย่างมากของการสร้างพาราโบลา "โดยตรง" เพื่อค้นหารากของมัน อย่างไรก็ตาม มานับจนจบกันดีกว่า แล้วฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไรให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)!

คุณนับไหม? คุณได้พิกัดอะไรสำหรับจุดยอดของพาราโบลา? ลองคิดดูด้วยกัน:

คำตอบเดียวกันเป๊ะเลยเหรอ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว แต่เพื่อสร้างพาราโบลา เราจำเป็นต้องมี... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ขวา, .

คุณรู้ไหมว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น

ดังนั้นเราจึงต้องการอีกสองจุดบนกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้ทางฝั่งตรงข้ามอย่างสมมาตร:

ลองกลับไปที่พาราโบลาของเราอีกครั้ง สำหรับกรณีของเราช่วงเวลา เราต้องการอีกสองแต้ม เพื่อเราจะได้แต้มบวก หรือแต้มลบ? จุดไหนสะดวกสำหรับคุณมากกว่ากัน? มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวก ดังนั้นฉันจะคำนวณที่ และ

ตอนนี้เรามีจุดสามจุดแล้ว เราสามารถสร้างพาราโบลาได้อย่างง่ายดายโดยสะท้อนจุดสองจุดสุดท้ายที่สัมพันธ์กับจุดยอดของมัน:

คุณคิดว่าอะไรคือคำตอบของสมการ? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.

และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันจะต้องเท่ากันด้วยหรือ.

แค่? เราแก้สมการในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อนเสร็จแล้ว ไม่เช่นนั้นจะมีมากกว่านี้!

แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ โดยคุณสามารถคำนวณรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร? เหมือนกันเหรอ? คุณเห็นไหม! ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากราฟิกง่ายๆ กัน ฉันแน่ใจว่าคุณจะต้องชอบมันมาก!

วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชั่น

ลองใช้สมการเดียวกัน: แต่เราจะเขียนให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย กล่าวคือ:

เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้ เนื่องจากการแปลงเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ

มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:

1. - กราฟเป็นพาราโบลาธรรมดา ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตรและวาดตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สร้าง? มาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ขวา! พิกัดที่ได้รับจากจุดตัดของกราฟทั้งสองและนั่นคือ:

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:

คุณพูดอะไร? เห็นด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้ามากและง่ายกว่าการค้นหารากผ่านการแยกแยะ! หากเป็นเช่นนั้น ให้ลองแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีนี้:

คุณได้อะไร? ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

กราฟแสดงว่าคำตอบคือ:

คุณจัดการหรือไม่? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้อีกหน่อยนั่นคือการแก้สมการผสมนั่นคือสมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ผลเฉลยกราฟิกของสมการผสม

ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้:

แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ได้ โดยไม่ลืมคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้มันแบบกราฟิกเหมือนที่เราทำในกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมด

คราวนี้เรามาสร้างกราฟ 2 อันต่อไปนี้:

1. - กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
2. - กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

เข้าใจไหม? ตอนนี้เริ่มสร้าง

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

มองภาพนี้ บอกฉันหน่อยว่ารากของสมการของเราคืออะไร?

ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:

ลองแทนรากของเราเข้ากับสมการ มันได้ผลเหรอ?

ถูกต้อง! เห็นด้วยการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิกเป็นเรื่องที่น่ายินดี!

ลองแก้สมการแบบกราฟิกด้วยตัวเอง:

ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปทางด้านขวาเพื่อให้ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้างอยู่ทั้งสองด้าน คุณได้รับคำใบ้หรือไม่? ดำเนินการ!

มาดูกันว่าคุณได้อะไรบ้าง:

ตามลำดับ:

1. - ลูกบาศก์พาราโบลา
2. - เส้นตรงธรรมดา

มาสร้างกันดีกว่า:

ดังที่คุณเขียนไว้นานแล้ว รากของสมการนี้คือ -

หลังจากอ่านตัวอย่างมามากมาย ฉันแน่ใจว่าคุณคงตระหนักได้ว่าการแก้สมการแบบกราฟิกนั้นง่ายและรวดเร็วเพียงใด ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีนี้

โซลูชั่นกราฟิกของระบบ

ระบบการแก้แบบกราฟิกโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟสองกราฟด้วย และจุดตัดกันของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งคือสมการหนึ่ง กราฟที่สองคืออีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:

ก่อนอื่นเรามาแปลงมันเพื่อให้ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงอยู่ทางด้านซ้ายและทางขวา - ทุกสิ่งที่เชื่อมต่อด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติของเรา:

ตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น วิธีแก้ปัญหาในกรณีของเราคืออะไร? ขวา! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! ลองคิดดูว่าทำไม? ผมขอบอกใบ้หน่อยนะครับ เรากำลังจัดการกับระบบ ในระบบก็มีทั้งสองอย่าง และ... รู้คำใบ้ไหม?

ถูกต้อง! เมื่อแก้ระบบ เราต้องดูทั้งสองพิกัด ไม่ใช่แค่แก้สมการเท่านั้น! สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือต้องจดให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าความหมายของเราอยู่ที่ไหนและความหมายอยู่ที่ไหน! คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:

และคำตอบ: และ. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รูทที่พบลงในระบบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราแก้ไขมันถูกต้องแบบกราฟิกหรือไม่?

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีสมการกำลังสองแทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียวล่ะ? ใช้ได้! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ลองแก้ไขระบบต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดบันทึกไว้เพื่อให้เราสร้างกราฟได้สะดวก:

และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ - สร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็วและนี่คือวิธีแก้ปัญหาของคุณ! เรากำลังสร้าง:

กราฟออกมาเหมือนเดิมหรือเปล่า? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปและจดคำตอบที่ระบุให้ถูกต้อง!

คุณทำทุกอย่างแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี! คุณกำลังแคร็กงานประเภทนี้เหมือนถั่วอยู่แล้ว! ถ้าเป็นเช่นนั้น เราจะให้ระบบที่ซับซ้อนกว่านี้แก่คุณ:

เรากำลังทำอะไรอยู่? ขวา! เราเขียนระบบเพื่อให้สะดวกในการสร้าง:

ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟ ให้สร้างกราฟให้ “มากขึ้น” และที่สำคัญที่สุด อย่าแปลกใจกับจำนวนจุดตัดกัน

ไปกันเลย! หายใจออกเหรอ? ตอนนี้เริ่มสร้าง!

แล้วยังไงล่ะ? สวย? คุณได้จุดตัดกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

อีกด้วย? ตอนนี้เขียนโซลูชันทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:

คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ไขปัญหานี้ได้ภายในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูสำนวน คุณไม่กลัวที่จะทำผิด แต่เพียงแค่รับมันและแก้ไขมัน! คุณเก่งมาก!

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ

คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการเชิงเส้น

หลังจากตัวอย่างที่แล้วจะทำอะไรก็ได้! ตอนนี้หายใจออก - เมื่อเทียบกับส่วนก่อน ๆ ส่วนนี้จะง่ายมาก!

เราจะเริ่มตามปกติด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นอันนี้:

ขั้นแรก เรามาดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน:

อสมการไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมไว้ในช่วงเวลา และคำตอบจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา เนื่องจากมากขึ้น มากขึ้น และอื่นๆ:

คำตอบ:

แค่นั้นแหละ! อย่างง่ายดาย? มาแก้อสมการง่ายๆ ด้วยตัวแปรสองตัวกัน:

ลองวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน

คุณได้รับกำหนดการดังกล่าวหรือไม่? ทีนี้เรามาดูอย่างละเอียดกันดีกว่าว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันอะไรบ้าง? น้อย? ซึ่งหมายความว่าเราทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? ถูกต้อง จากนั้นเราจะทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง มันง่ายมาก

คำตอบทั้งหมดของอสมการนี้จะแรเงาด้วยสีส้ม เพียงเท่านี้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัวก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง

ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงเรื่องนั้น เรามาทบทวนเนื้อหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน

ผู้เลือกปฏิบัติต้องรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)

ไม่ว่าในกรณีใด ต่อไปนี้เป็นคำเตือนเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาเริ่มธุรกิจกันดีกว่า - แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก

ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวเลือกที่ 1

เราเขียนพาราโบลาของเราเป็นฟังก์ชัน:

เมื่อใช้สูตรเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (เหมือนกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):

คุณนับไหม? คุณได้อะไร?

ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหามัน:

มาเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่งกันดีกว่า:

เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรไปยังกิ่งอื่นของพาราโบลา:

ทีนี้ กลับมาที่อสมการของเรากัน.

เราต้องการให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ:

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเราเครื่องหมายจึงน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดเราจึงแยกจุดสิ้นสุดออก - "เจาะออก"

คำตอบ:

ทางยาวใช่ไหม? ตอนนี้ ฉันจะแสดงเวอร์ชันที่เรียบง่ายของโซลูชันกราฟิกให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันแบบเดียวกัน:

ตัวเลือกที่ 2

เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:

เห็นด้วยมันเร็วกว่ามาก

ให้เราเขียนคำตอบตอนนี้:

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

พยายามแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวเองด้วยวิธีใดก็ได้:

คุณจัดการหรือไม่?

ดูว่ากราฟของฉันเป็นอย่างไร:

คำตอบ: .

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม

ทีนี้เรามาดูอสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า!

คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:

มันน่าขนลุกใช่มั้ย? จริงๆ แล้ว ฉันไม่รู้ว่าจะแก้พีชคณิตนี้อย่างไร... แต่ก็ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!

สิ่งแรกที่เราจะเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟสองอัน:

ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับแต่ละคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวเอง (ว้าว มีตัวอย่างมากมายให้แก้!)

คุณทาสีมันเหรอ? ตอนนี้สร้างกราฟสองอัน

มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?

มันเหมือนกันกับคุณหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้เรามาจัดเรียงจุดตัดกันและใช้สีเพื่อกำหนดว่ากราฟใดที่เราควรมีให้ใหญ่กว่าในทางทฤษฎี นั่นก็คือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในท้ายที่สุด:

ทีนี้มาดูกันว่ากราฟที่เราเลือกอยู่ตรงไหนสูงกว่ากราฟกัน? อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! เธอจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!

เราอยู่สูงกว่าช่วงใดของแกน? ขวา, . นี่คือคำตอบ!

ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการ ระบบใดก็ได้ และยิ่งกว่านั้น อสมการใดๆ ก็ตาม!

สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:

1. มาแสดงออกผ่าน
2. มากำหนดประเภทของฟังก์ชันกันดีกว่า
3. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กัน
4. ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
5. มาเขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และสัญญาณอสมการ)
6. ลองตรวจสอบคำตอบกัน (แทนรากลงในสมการหรือระบบ)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ “”

บทความ 2/3 ที่เหลือมีไว้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียน YouClever

เตรียมสอบ Unified State หรือ Unified State วิชาคณิตศาสตร์ ในราคา “กาแฟเดือนละแก้ว”

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน “YouClever” ได้ไม่จำกัด โปรแกรมเตรียมการ “100gia” (หนังสือแก้ปัญหา) การสอบ Unified State และ Unified State แบบทดลองใช้ไม่จำกัด ปัญหา 6,000 ข้อเกี่ยวกับการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา และบริการ YouClever และ 100gia อื่นๆ

การแสดงฟังก์ชันแบบกราฟิกช่วยให้ ประมาณแก้ความไม่เท่าเทียมกับสิ่งไม่รู้หนึ่งอย่าง และระบบความไม่เท่าเทียมกับสิ่งไม่รู้หนึ่งและสองอย่าง เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิกโดยไม่ทราบค่า, จำเป็นต้องโอนสมาชิกทั้งหมดไปเป็นส่วนหนึ่งนั่นคือ นำไปสู่:

ฉ(x) > 0 ,

และพลอตฟังก์ชัน y = f(x). หลังจากนี้คุณสามารถค้นหาโดยใช้กราฟที่สร้างขึ้น ฟังก์ชันศูนย์ซึ่งจะแบ่งแกน เอ็กซ์เป็นเวลาหลายช่วง จากนี้ เราจะกำหนดช่วงเวลา xซึ่งภายในเครื่องหมายฟังก์ชันสอดคล้องกับเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่น ค่าศูนย์ของฟังก์ชันของเรา: กและ ข(รูปที่ 30) จากนั้นจะเห็นได้ชัดจากกราฟว่าช่วงต่างๆ ภายในนั้น ฉ(x) > 0: x < กและ x> ข(ถูกเน้นด้วยลูกศรตัวหนา) เห็นได้ชัดว่าเครื่องหมาย > ที่นี่เป็นแบบมีเงื่อนไข อาจมีอย่างอื่นแทน:< , .

ในการแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมแบบกราฟิกโดยไม่ทราบค่าคุณต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดในแต่ละระบบไปยังส่วนเดียวนั่นคือ นำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบ:

และพลอตฟังก์ชัน y = f(x), ย = ก(x) , ... , ย = ชม.(x- อสมการแต่ละอย่างได้รับการแก้ไขโดยวิธีกราฟิกที่อธิบายไว้ข้างต้น หลังจากนี้คุณจะต้องค้นหา จุดตัดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดเช่น ส่วนร่วมของพวกเขา

ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:

วิธีแก้ปัญหา ก่อนอื่น เรามาพลอตฟังก์ชันกันก่อน ย = - 2 / 3 x+2 และ

ย = x 2 -1 (รูปที่ 31):

คำตอบของอสมการประการแรกคือช่วงเวลา x> 3 ระบุในรูปที่ 31 ด้วยลูกศรสีดำ คำตอบของอสมการที่สองประกอบด้วยสองช่วง: x < -1 и x> 1 ระบุในรูปที่ 31 ด้วยลูกศรสีเทา

กราฟแสดงว่าจุดตัดของคำตอบทั้งสองนี้คือช่วง x> 3. นี่คือคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด

ในการแก้ระบบของอสมการสองแบบด้วยค่าไม่ทราบสองค่าแบบกราฟิก คุณต้อง:

1) ในแต่ละข้อให้ย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปไว้ในส่วนเดียวเช่น นำมา

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

2) สร้างกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย: f(เอ็กซ์, ย) = 0 และ ก(เอ็กซ์, ย) = 0;

3) แต่ละกราฟเหล่านี้แบ่งระนาบพิกัดออกเป็นสองส่วน:

หนึ่งในนั้นคือความไม่เท่าเทียมกัน ยุติธรรมในอีกทางหนึ่ง - ไม่;ที่จะตัดสินใจ

ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแบบกราฟิกก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบ

ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งภายในจุดใดก็ได้

ส่วนของเครื่องบิน หากความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้น ณ จุดนี้แล้ว

ส่วนนี้ของระนาบพิกัดจะเป็นวิธีแก้ปัญหา ถ้าไม่ใช่ เช่นนั้น

คำตอบคือส่วนตรงข้ามของระนาบ;

4) วิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดคือจุดตัด

(พื้นที่ทั่วไป) ของส่วนต่างๆ ของระนาบพิกัด

ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการ:

วิธีแก้ปัญหา ขั้นแรก เราสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น: 5 x - 7ย= -11 และ

2x + 3ย= 10 (รูปที่ 32) เราพบระนาบครึ่งระนาบสำหรับแต่ละคน

ภายในซึ่งความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับที่สอดคล้องกัน

ยุติธรรม. เรารู้ว่าการตรวจสอบความเป็นธรรมก็เพียงพอแล้ว

ความไม่เท่าเทียมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งในภูมิภาค ในนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือใช้จุดกำเนิดของพิกัด โอ (0, 0).

แทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการของเราแทน xและ ย,

เราได้รับ: 5 0 - 7 0 = 0 > -11 ดังนั้นค่าที่ต่ำกว่า

ระนาบครึ่ง (สีเหลือง) เป็นวิธีการแก้ปัญหาของอันแรก

อสมการ; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

วิธีแก้ปัญหาของมันยังมีระนาบครึ่งล่าง (สีน้ำเงิน

สี) จุดตัดของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้ (พื้นที่สีเทอร์ควอยซ์)

คือคำตอบของระบบอสมการของเรา

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันพัฒนาการศึกษา

“วิธีการเชิงกราฟิกสำหรับการแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์”

สมบูรณ์

ครูคณิตศาสตร์

สถานศึกษาเทศบาล โรงเรียนมัธยม ลำดับที่ 62

ลีเปตสค์ 2008

การแนะนำ................................................. ....... ........................................... ............ .3

เอ็กซ์;ที่) 4

1.1. การถ่ายโอนแบบขนาน................................................ ... ........................... 5

1.2. เปลี่ยน................................................. ................................................ ...... 9

1.3. ความคล้ายคลึงกัน การบีบอัดเป็นเส้นตรง................................................. ..... ................ 13

1.4. เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบิน............................................ ....... ....................... 15

2. เทคนิคกราฟิก เครื่องบินประสานงาน ( เอ็กซ์;ก) 17

บทสรุป................................................. ........................................... 20

รายการบรรณานุกรม................................................ .................... ........ 22

การแนะนำ

ปัญหาที่เด็กนักเรียนมีเมื่อแก้สมการและความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ได้มาตรฐานนั้นเกิดจากความซับซ้อนสัมพัทธ์ของปัญหาเหล่านี้และจากข้อเท็จจริงที่ว่าโรงเรียนมักจะมุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหามาตรฐาน

เด็กนักเรียนหลายคนมองว่าพารามิเตอร์นี้เป็นตัวเลข "ปกติ" จริงๆ แล้ว ในปัญหาบางอย่าง พารามิเตอร์สามารถถือเป็นค่าคงที่ได้ แต่ค่าคงที่นี้ใช้กับค่าที่ไม่รู้จัก! ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาปัญหาสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของค่าคงที่นี้ ในปัญหาอื่นๆ อาจสะดวกที่จะประกาศสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างใดอย่างหนึ่งให้เป็นพารามิเตอร์

เด็กนักเรียนคนอื่นถือว่าพารามิเตอร์เป็นปริมาณที่ไม่รู้จักและสามารถแสดงพารามิเตอร์ในรูปของตัวแปรในคำตอบได้โดยไม่ต้องลำบากใจ เอ็กซ์

ในการสอบปลายภาคและการสอบเข้า ส่วนใหญ่จะมีปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์อยู่สองประเภท คุณสามารถแยกแยะได้ทันทีด้วยถ้อยคำ ขั้นแรก: “สำหรับค่าพารามิเตอร์แต่ละค่า ให้ค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการหรืออสมการ” ประการที่สอง: “ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ ซึ่งแต่ละค่าตรงตามเงื่อนไขบางประการสำหรับสมการหรืออสมการที่กำหนด” ดังนั้นคำตอบของปัญหาทั้งสองประเภทนี้จึงแตกต่างกันในสาระสำคัญ คำตอบสำหรับปัญหาประเภทแรกจะแสดงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์และสำหรับแต่ละค่าเหล่านี้จะมีการเขียนวิธีแก้สมการ คำตอบสำหรับปัญหาประเภทที่สองระบุค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในปัญหา

การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์สำหรับค่าคงที่ที่กำหนดของพารามิเตอร์นั้นเป็นค่าที่ไม่รู้จักเมื่อแทนที่มันลงในสมการค่าหลังจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน การแก้สมการ (อสมการ) ด้วยพารามิเตอร์ หมายถึงการค้นหาชุดของคำตอบทั้งหมดของสมการที่กำหนด (อสมการ) สำหรับแต่ละค่าที่ยอมรับได้ของพารามิเตอร์

1. เทคนิคกราฟิก เครื่องบินประสานงาน ( เอ็กซ์;ที่)

นอกจากเทคนิคการวิเคราะห์ขั้นพื้นฐานและวิธีการในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์แล้ว ยังมีวิธีใช้การตีความด้วยภาพและกราฟิกอีกด้วย

ขึ้นอยู่กับบทบาทที่กำหนดพารามิเตอร์ในปัญหา (ไม่เท่ากันหรือเท่ากับตัวแปร) เทคนิคกราฟิกหลักสองประการสามารถแยกแยะได้ตามลำดับ: วิธีแรกคือการสร้างภาพกราฟิกบนระนาบพิกัด (เอ็กซ์;ใช่)ครั้งที่สอง - ต่อไป (เอ็กซ์; ก)

บนระนาบ (x; y) ฟังก์ชัน ย =ฉ (เอ็กซ์; ก)กำหนดกลุ่มของเส้นโค้งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ก.เป็นที่ชัดเจนว่าทุกครอบครัว ฉมีคุณสมบัติบางอย่าง เราจะสนใจเป็นหลักว่าการแปลงระนาบประเภทใด (การแปลแบบขนาน การหมุน ฯลฯ) ที่สามารถใช้เพื่อย้ายจากเส้นโค้งของครอบครัวหนึ่งไปยังอีกโค้งหนึ่งได้ จะมีการกล่าวถึงย่อหน้าแยกต่างหากสำหรับการเปลี่ยนแปลงแต่ละรายการเหล่านี้ สำหรับเราแล้วดูเหมือนว่าการจำแนกประเภทนี้ช่วยให้ผู้ตัดสินใจค้นหาภาพกราฟิกที่จำเป็นได้ง่ายขึ้น โปรดทราบว่าด้วยวิธีนี้ ส่วนเชิงอุดมคติของการแก้ปัญหาไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ารูปใด (เส้นตรง วงกลม พาราโบลา ฯลฯ) ที่จะเป็นสมาชิกของกลุ่มเส้นโค้ง

แน่นอนว่าภาพลักษณ์ของครอบครัวไม่ได้เสมอไป ย =ฉ (เอ็กซ์;ก)อธิบายด้วยการแปลงอย่างง่าย ดังนั้นในสถานการณ์เช่นนี้ จึงมีประโยชน์ที่จะไม่เน้นที่ความสัมพันธ์ของเส้นโค้งในตระกูลเดียวกัน แต่เน้นที่เส้นโค้งด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถแยกแยะปัญหาประเภทอื่นได้ซึ่งแนวคิดในการแก้ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะเป็นหลักไม่ใช่ครอบครัวโดยรวม ตัวเลขใด (ตระกูลของตัวเลขเหล่านี้) ที่จะสนใจเราเป็นอันดับแรก? พวกนี้เป็นเส้นตรงและพาราโบลา ตัวเลือกนี้เกิดจากตำแหน่งพิเศษ (พื้นฐาน) ของฟังก์ชันเชิงเส้นและกำลังสองในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

เมื่อพูดถึงวิธีการแบบกราฟิก เป็นไปไม่ได้ที่จะหลีกเลี่ยงปัญหาหนึ่งที่ "เกิดจาก" การสอบแข่งขัน เรากำลังอ้างถึงคำถามเกี่ยวกับความเข้มงวดและความถูกต้องตามกฎหมายของการตัดสินใจโดยพิจารณาจากการพิจารณาอย่างเป็นรูปธรรม ไม่ต้องสงสัยเลยว่าจากมุมมองที่เป็นทางการ ผลลัพธ์ที่ได้มาจาก "รูปภาพ" ซึ่งไม่ได้รับการสนับสนุนในเชิงวิเคราะห์นั้นไม่ได้รับอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ใคร เมื่อไร และที่ไหนจะเป็นตัวกำหนดระดับความเข้มงวดที่นักเรียนมัธยมปลายควรปฏิบัติตาม? ในความเห็นของเรา ข้อกำหนดสำหรับระดับความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนควรถูกกำหนดโดยสามัญสำนึก เราเข้าใจระดับของความเป็นส่วนตัวของมุมมองดังกล่าว นอกจากนี้ วิธีการแบบกราฟิกเป็นเพียงวิธีการหนึ่งในการสร้างความชัดเจน และการมองเห็นอาจหลอกลวงได้..gif" width="232" height="28"> มีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น

สารละลาย.เพื่อความสะดวกเราหมายถึง lg ข = ก.มาเขียนสมการที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

การสร้างกราฟของฟังก์ชัน ด้วยขอบเขตของคำจำกัดความและ (รูปที่ 1) กราฟที่ได้จะเป็นกลุ่มของเส้นตรง ย = กต้องตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น รูปนี้แสดงว่าเป็นไปตามข้อกำหนดนี้เมื่อเท่านั้น ก > 2 เช่นแอลจี ข> 2, ข> 100.

คำตอบ. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> กำหนดจำนวนวิธีแก้สมการ .

สารละลาย- เรามาพล็อตฟังก์ชัน 102" height="37" style="vertical-align:top"> กันดีกว่า

ลองพิจารณาดู เป็นเส้นตรงขนานกับแกน OX

คำตอบ..gif" width="41" height="20"> จากนั้น 3 วิธีแก้ไข

ถ้า แล้ว 2 วิธีแก้ไข;

ถ้า , 4 วิธีแก้ไข

มาดูงานชุดใหม่กันดีกว่า..gif" width="107" height="27 src=">.

สารละลาย.มาสร้างเส้นตรงกันเถอะ ที่= เอ็กซ์+1 (รูปที่ 3)..gif" width="92" height="57">

มีคำตอบเดียวซึ่งเทียบเท่ากับสมการ ( เอ็กซ์+1)2 = x + กมีหนึ่ง root..gif" width="44 height=47" height="47"> ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา โปรดทราบว่าคนที่คุ้นเคยกับอนุพันธ์สามารถรับผลลัพธ์นี้แตกต่างออกไป

ต่อไปเลื่อน “กึ่งพาราโบลา” ไปทางซ้าย เราจะแก้ไขช่วงเวลาสุดท้ายเมื่อกราฟ ที่ = เอ็กซ์+1 และมีจุดร่วมสองจุด (ตำแหน่ง III) ข้อตกลงนี้ได้รับการรับรองตามข้อกำหนด ก= 1.

เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับกลุ่ม [ เอ็กซ์ 1; เอ็กซ์ 2] ที่ไหน เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 – การแยกจุดของจุดตัดของกราฟ จะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม..gif" width="68 height=47" height="47"> จากนั้น

เมื่อ "กึ่งพาราโบลา" และเส้นตรงตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น (สอดคล้องกับกรณีนี้ ก > 1) จากนั้นคำตอบจะเป็นเซกเมนต์ [- ก; เอ็กซ์ 2"] ที่ไหน เอ็กซ์ 2" – รากที่ใหญ่ที่สุด เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 (ตำแหน่งที่ 4)

ตัวอย่างที่ 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" ความสูง="20 src="> . จากที่นี่เราได้รับ .

มาดูฟังก์ชั่นและ . ในหมู่พวกเขามีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่กำหนดกลุ่มของเส้นโค้ง ตอนนี้เราเห็นแล้วว่าการทดแทนนำมาซึ่งผลประโยชน์ที่ไม่ต้องสงสัย ในแบบคู่ขนาน เราทราบว่าในปัญหาก่อนหน้านี้ คุณไม่สามารถเคลื่อนที่แบบ "กึ่งพาราโบลา" ได้ แต่เป็นเส้นตรงโดยใช้การทดแทนที่คล้ายกัน ลองหันไปที่รูป 4. แน่นอน ถ้า abscissa ของจุดยอดของ “กึ่งพาราโบลา” มากกว่า 1 นั่นคือ –3 ก > 1, , ดังนั้นสมการจะไม่มี root..gif" width="89" height="29"> และมีลักษณะที่ซ้ำซากจำเจที่แตกต่างกัน

คำตอบ.ถ้าสมการนั้นมีรากเดียว ถ้า https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

มีวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย.เห็นได้ชัดว่าครอบครัวโดยตรง https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 ">

ความหมาย k1เราจะค้นหาโดยการแทนที่คู่ (0;0) ลงในสมการแรกของระบบ จากที่นี่ เค1 =-1/4. ความหมาย เค 2 เราได้จากการเรียกร้องจากระบบ

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> เมื่อ เค> 0 มีหนึ่งรูท จากที่นี่ k2= 1/4.

คำตอบ. .

เรามาตั้งข้อสังเกตหนึ่งกัน ในตัวอย่างบางส่วนของประเด็นนี้ เราจะต้องแก้ปัญหามาตรฐาน: สำหรับตระกูลเส้นตรง ให้ค้นหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่สอดคล้องกับโมเมนต์แทนเจนต์กับเส้นโค้ง เราจะแสดงวิธีการทำเช่นนี้ในรูปแบบทั่วไปโดยใช้อนุพันธ์

ถ้า (x0; ย 0) = จุดศูนย์กลางการหมุน ตามด้วยพิกัด (เอ็กซ์ 1; ที่ 1) จุดสัมผัสกับเส้นโค้ง ย =ฉ(x)สามารถพบได้โดยการแก้ระบบ

ความชันที่ต้องการ เคเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 6- สมการมีค่าเฉลยเฉพาะสำหรับค่าพารามิเตอร์ใด?

สารละลาย..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, ส่วนโค้ง AB

รังสีทั้งหมดที่ผ่านระหว่าง OA และ OB จะตัดส่วนโค้ง AB ที่จุดหนึ่ง และยังตัดส่วนโค้ง AB OB และ OM (แทนเจนต์) ที่จุดหนึ่งด้วย..gif" width="16" height="48 src="> เชิงมุม ค่าสัมประสิทธิ์แทนเจนต์จะเท่ากับ . หาได้ง่ายจากระบบ

ดังนั้นครอบครัวโดยตรง https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">

คำตอบ. .

ตัวอย่างที่ 7..gif" width="160" height="25 src="> มีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่?

สารละลาย..gif" width="61" height="24 src="> และลดลง โดย จุดคือจุดสูงสุด

ฟังก์ชั่นคือกลุ่มของเส้นตรงที่ผ่านจุด https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> คือส่วนโค้ง AB เส้นตรง เส้นที่จะอยู่ระหว่างเส้นตรง OA และ OB ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา..gif" width="17" height="47 src=">.

คำตอบ..gif" width="15" height="20">ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

1.3. ความคล้ายคลึงกัน การบีบอัดให้เป็นเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 8ระบบมีกี่โซลูชั่น?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> ระบบไม่มีวิธีแก้ไข สำหรับการแก้ไข ก > 0 กราฟของสมการแรกคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอด ( ก; 0), (0;-ก), (-ก;0), (0;ก)ดังนั้น สมาชิกของครอบครัวจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบโฮโมเทติก (จุดศูนย์กลางของโฮโมเทติกคือจุด O(0; 0))

ลองหันไปที่รูป 8..gif" width="80" height="25"> แต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดร่วมสองจุดกับวงกลม ซึ่งหมายความว่าระบบจะมีคำตอบแปดข้อ เมื่อวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส กล่าวคือจะมีสี่วิธีแก้ไขอีกครั้ง แน่นอนว่าระบบไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ.ถ้า ก< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, มีสี่วิธีแก้ไข ถ้า แล้วมีแปดวิธี

ตัวอย่างที่ 9- ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ซึ่งแต่ละสมการคือ https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> พิจารณาฟังก์ชัน ..jpg" width="195" height="162">

จำนวนรากจะตรงกับหมายเลข 8 เมื่อรัศมีของครึ่งวงกลมมากกว่าและน้อยกว่า นั่นคือ โปรดทราบว่ามี.

คำตอบ. หรือ .

1.4. เส้นตรงสองเส้นบนเครื่องบิน

โดยพื้นฐานแล้วแนวคิดในการแก้ปัญหาของย่อหน้านี้ขึ้นอยู่กับคำถามของการศึกษาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น: และ - เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงวิธีแก้ไขปัญหานี้ในรูปแบบทั่วไป เราจะหันไปสู่ตัวอย่างทั่วไปที่เฉพาะเจาะจงซึ่งตามความเห็นของเราจะไม่สร้างความเสียหายให้กับปัญหาทั่วไป

ตัวอย่างที่ 10ระบบ a และ b ทำเพื่ออะไร

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

ความไม่เท่าเทียมกันของระบบกำหนดครึ่งระนาบที่มีขอบเขต ที่= 2x– 1 (รูปที่ 10) เป็นเรื่องง่ายที่จะตระหนักว่าระบบผลลัพธ์ย่อมมีทางแก้ไขหากเป็นเส้นตรง อา +โดย = 5ตัดกับขอบเขตของครึ่งระนาบหรือขนานกับขอบเขตนั้น และอยู่ในครึ่งระนาบ ที่– 2x + 1 < 0.

เริ่มจากกรณีนี้กันก่อน ข = 0.แล้วก็จะเห็นว่าสมการ โอ้+ โดย = 5 กำหนดเส้นแนวตั้งที่ตัดกันอย่างชัดเจน ย = 2เอ็กซ์ - 1. อย่างไรก็ตาม ข้อความนี้จะเป็นจริงเฉพาะเมื่อ ..gif" width="43" height="20 src="> ระบบมีวิธีแก้ปัญหา ..gif" width="99" height="48"> ในกรณีนี้ เงื่อนไขสำหรับจุดตัดของเส้นทำได้ที่ เช่น ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> และ , หรือ และ , หรือและ https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− ในระนาบพิกัด xOa เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน

− พิจารณาเส้นตรงและเลือกช่วงเวลาของแกน Oa ซึ่งเส้นตรงเหล่านี้ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ก) ไม่ตัดกราฟของฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> ที่จุดหนึ่ง c) ที่จุดสองจุด d) ที่จุดสามจุดและอื่นๆ

− หากงานคือการค้นหาค่าของ x เราจะแสดง x ในรูปของ a สำหรับแต่ละช่วงเวลาที่พบของค่าของ a แยกจากกัน

มุมมองของพารามิเตอร์เป็นตัวแปรที่เท่ากันจะสะท้อนให้เห็นในวิธีการแบบกราฟิก..jpg" width="242" height="182">

คำตอบ. ก = 0 หรือ ก = 1

บทสรุป

เราหวังว่าปัญหาที่วิเคราะห์จะแสดงให้เห็นถึงประสิทธิผลของวิธีการที่เสนออย่างน่าเชื่อถือ อย่างไรก็ตาม น่าเสียดาย ขอบเขตของการประยุกต์ใช้วิธีการเหล่านี้ถูกจำกัดด้วยความยากลำบากที่สามารถพบได้เมื่อสร้างภาพกราฟิก มันแย่ขนาดนั้นเลยเหรอ? เห็นได้ชัดว่าไม่ แท้จริงแล้ว ด้วยแนวทางนี้ ค่าการสอนหลักของปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ซึ่งเป็นแบบจำลองของการวิจัยขนาดจิ๋วจะหายไปอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ข้อควรพิจารณาข้างต้นส่งถึงครู และสำหรับผู้สมัคร สูตรนี้ค่อนข้างยอมรับได้: จุดสิ้นสุดเป็นตัวกำหนดวิธีการ ยิ่งกว่านั้น ขอให้เราใช้เสรีภาพในการพูดว่าในมหาวิทยาลัยจำนวนมาก ผู้รวบรวมปัญหาการแข่งขันที่มีพารามิเตอร์ติดตามเส้นทางจากภาพไปยังเงื่อนไข

ในปัญหาเหล่านี้ เราได้พูดคุยถึงความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ที่เปิดให้เราทราบเมื่อเราวาดกราฟของฟังก์ชันที่รวมอยู่ในด้านซ้ายและด้านขวาของสมการหรืออสมการบนแผ่นกระดาษ เนื่องจากพารามิเตอร์สามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ กราฟที่แสดงหนึ่งหรือทั้งสองกราฟจะเคลื่อนที่ในลักษณะใดลักษณะหนึ่งบนระนาบ เราสามารถพูดได้ว่าได้รับกราฟทั้งตระกูลที่สอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน

ให้เราเน้นย้ำรายละเอียดสองประการอย่างยิ่ง

ประการแรก เราไม่ได้พูดถึงโซลูชันแบบ "กราฟิก" ค่า พิกัด และรากทั้งหมดได้รับการคำนวณอย่างเคร่งครัดในเชิงวิเคราะห์ เพื่อเป็นคำตอบของสมการและระบบที่เกี่ยวข้อง เช่นเดียวกับกรณีของการแตะหรือตัดกราฟ สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดด้วยตา แต่ด้วยความช่วยเหลือจากการเลือกปฏิบัติ อนุพันธ์ และเครื่องมืออื่น ๆ ที่คุณสามารถใช้ได้ รูปภาพเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น

ประการที่สอง แม้ว่าคุณจะไม่พบวิธีแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับกราฟที่แสดง แต่ความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับปัญหาจะขยายออกไปอย่างมาก คุณจะได้รับข้อมูลสำหรับการทดสอบตัวเอง และโอกาสที่จะประสบความสำเร็จจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ด้วยการทำความเข้าใจอย่างแม่นยำว่าเกิดอะไรขึ้นในปัญหาสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน คุณอาจสามารถค้นหาอัลกอริธึมวิธีแก้ไขที่ถูกต้องได้

ดังนั้นเราจะสรุปคำเหล่านี้ด้วยคำแนะนำเร่งด่วน: หากแม้ในปัญหาที่ซับซ้อนที่สุดห่างไกลที่สุดยังมีฟังก์ชันที่คุณรู้วิธีวาดกราฟอย่าลืมทำ คุณจะไม่เสียใจ

รายการบรรณานุกรม

1. Cherkasov,: คู่มือสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย [ข้อความ] /, . – อ.: AST-PRESS, 2544. – 576 หน้า

2. Gorshtein พร้อมพารามิเตอร์ [ข้อความ]: ฉบับที่ 3 ขยายและแก้ไข / , . – อ.: Ilexa, Kharkov: โรงยิม, 1999. – 336 หน้า

วิธีหนึ่งที่สะดวกที่สุดในการแก้ปัญหาอสมการกำลังสองคือวิธีกราฟิก ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก ก่อนอื่น เรามาคุยกันว่าสาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร ต่อไป เราจะนำเสนออัลกอริทึมและพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

การนำทางหน้า

สาระสำคัญของวิธีกราฟิก

เลย วิธีกราฟิกสำหรับแก้อสมการตัวแปรตัวหนึ่งไม่เพียงแต่ใช้แก้อสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังใช้แก้อสมการประเภทอื่นๆ ด้วย สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ไขอสมการถัดไป: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x) และ y=g(x) ซึ่งสอดคล้องกับด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการ สร้างกราฟในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมระบบเดียว แล้วหาว่ากราฟของฟังก์ชันใดค่าหนึ่งอยู่ช่วงใด พวกมันต่ำกว่าหรือสูงกว่าอันอื่น ช่วงเวลาเหล่านั้นอยู่ที่ไหน

• กราฟของฟังก์ชัน f เหนือกราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)>g(x) ;
• กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≥g(x) ;
• กราฟของ f ใต้กราฟของ g คือคำตอบของอสมการ f(x)
• กราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งไม่สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≤g(x)

นอกจากนี้เรายังจะบอกว่าจุดตัดของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน f และ g เป็นคำตอบของสมการ f(x)=g(x) .

ลองถ่ายโอนผลลัพธ์เหล่านี้ไปยังกรณีของเรา - เพื่อแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

เราแนะนำฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: ฟังก์ชันแรก y=a x 2 +b x+c (โดยมี f(x)=a x 2 +b x+c) สอดคล้องกับด้านซ้ายของอสมการกำลังสอง ฟังก์ชันที่สอง y=0 (โดยมี g ( x)=0 ) สอดคล้องกับด้านขวาของอสมการ กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง f คือพาราโบลาและกราฟ ฟังก์ชั่นคงที่ g – เส้นตรงที่ประจวบกับแกนแอบซิสซา Ox

ถัดไปตามวิธีการแก้อสมการแบบกราฟิกจำเป็นต้องวิเคราะห์ในช่วงเวลาใดที่กราฟของฟังก์ชันหนึ่งอยู่เหนือหรือใต้อีกฟังก์ชันหนึ่งซึ่งจะทำให้เราสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการให้กับอสมการกำลังสองได้ ในกรณีของเรา เราต้องวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน Ox

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a, b และ c อาจมีหกตัวเลือกต่อไปนี้ (สำหรับความต้องการของเรา การแสดงแผนผังก็เพียงพอแล้ว และเราไม่จำเป็นต้องพรรณนาแกน Oy เนื่องจากตำแหน่งของมันไม่ส่งผลกระทบต่อ แนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน):

ในรูปนี้ เราเห็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น และตัดแกนวัวที่จุดสองจุด โดยมีจุดหักมุมคือ x 1 และ x 2 ภาพวาดนี้สอดคล้องกับตัวเลือกเมื่อสัมประสิทธิ์ a เป็นบวก (มีหน้าที่รับผิดชอบในทิศทางขึ้นของกิ่งพาราโบลา) และเมื่อค่าเป็นบวก การแยกแยะของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 +b x+c (ในกรณีนี้ ตรีโกณมิติมีสองราก ซึ่งเราเขียนแทนด้วย x 1 และ x 2 และเราถือว่า x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

เพื่อความชัดเจน เราจะพรรณนาส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x เป็นสีแดง และส่วนที่อยู่ใต้แกน x เป็นสีน้ำเงิน


ตอนนี้เรามาดูกันว่าช่วงใดที่ตรงกับส่วนเหล่านี้ ภาพวาดต่อไปนี้จะช่วยให้คุณระบุได้ (ในอนาคตเราจะทำการเลือกที่คล้ายกันในรูปแบบของสี่เหลี่ยมทางจิตใจ):


ดังนั้นบนแกนแอบซิสซา ช่วงเวลาสองช่วง (−∞, x 1) และ (x 2 , +∞) จึงถูกเน้นด้วยสีแดง โดยมีพาราโบลาอยู่เหนือแกน Ox พวกมันประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x +c>0 และช่วงเวลา (x 1 , x 2) ถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน มีพาราโบลาอยู่ใต้แกน Ox ซึ่งแสดงถึงคำตอบของอสมการ a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

และตอนนี้โดยย่อ: สำหรับ a>0 และ D=b 2 −4 a c>0 (หรือ D"=D/4>0 สำหรับสัมประสิทธิ์คู่ b)

• วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c>0 คือ (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) หรือในรูปแบบอื่น x x2;
• วิธีแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≥0 คือ (−∞, x 1 ]∪ หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤x≤x 2 ,

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 +b x+c และ x 1


ตรงนี้เราเห็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นและสัมผัสกับแกนแอบซิสซา นั่นคือมันมีจุดร่วมจุดหนึ่งอยู่ด้วย เราแสดงว่าแอบซิสซาของจุดนี้เป็น x 0 กรณีที่นำเสนอสอดคล้องกับ a>0 (กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน) และ D=0 (ตรีโกณมิติกำลังสองมีหนึ่งราก x 0) ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2 −4·x+4 ในที่นี้ a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 และ x 0 =2

จากภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าพาราโบลาอยู่เหนือแกนวัวทุกที่ ยกเว้นจุดที่สัมผัสกัน ซึ่งก็คือ ในช่วงเวลา (−∞, x 0), (x 0, ∞) เพื่อความชัดเจน เรามาเน้นพื้นที่ในภาพวาดโดยเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า


เราได้ข้อสรุป: สำหรับ a>0 และ D=0

• วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c>0 คือ (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠x 0;
• วิธีแก้อสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c≥0 คือ (−∞, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x∈R ;
• อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≤0 มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ x=x 0 (กำหนดโดยจุดสัมผัส)

โดยที่ x 0 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c


ในกรณีนี้ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และไม่มีจุดร่วมกับแกนแอบซิสซา ที่นี่เรามีเงื่อนไข a>0 (กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน) และ D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

แน่นอนว่าพาราโบลาตั้งอยู่เหนือแกน Ox ตลอดความยาวทั้งหมด (ไม่มีช่วงใดที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน Ox และไม่มีจุดสัมผัสกัน)


ดังนั้น สำหรับ a>0 และ D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 และ a x 2 +b x+c≥0 คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และอสมการ a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

และยังมีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง ไม่ใช่ขึ้น สัมพันธ์กับแกนวัว โดยหลักการแล้ว ไม่จำเป็นต้องพิจารณาสิ่งเหล่านี้ เนื่องจากการคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วย −1 ทำให้เราได้ค่าอสมการที่เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์บวกสำหรับ x 2 แต่ก็ยังไม่เสียหายที่จะได้รับแนวคิดเกี่ยวกับกรณีเหล่านี้ เหตุผลตรงนี้คล้ายกัน ดังนั้นเราจะเขียนเฉพาะผลลัพธ์หลักเท่านั้น

อัลกอริธึมโซลูชัน

ผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้าทั้งหมดคือ อัลกอริธึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก:

มีการเขียนแผนผังบนระนาบพิกัด ซึ่งแสดงแกน Ox (ไม่จำเป็นต้องวาดแกน Oy) และภาพร่างของพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y=a·x 2 +b·x+c ในการวาดภาพร่างพาราโบลา การค้นหาสองสิ่งก็เพียงพอแล้ว:

• ประการแรก โดยค่าของสัมประสิทธิ์ a จะถูกกำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (สำหรับ a>0 - ขึ้นไป สำหรับ a<0 – вниз).
• และประการที่สอง ขึ้นอยู่กับค่าของดิสปฏิบัติของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c จะพิจารณาว่าพาราโบลาตัดแกนแอบซิสซาที่จุดสองจุด (สำหรับ D>0) แล้วแตะจุดนั้นที่จุดหนึ่งหรือไม่ (สำหรับ D= 0) หรือไม่มีจุดร่วมกับแกน Ox (ที่ D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• เมื่อการวาดภาพพร้อมแล้ว ให้ใช้ในขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม

  • เมื่อแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c>0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่พาราโบลาอยู่เหนือ abscissa
  • เมื่อแก้อสมการ a·x 2 +b·x+c≥0 จะมีการกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกนแอบซิสซา และค่าแอบซิสซาของจุดตัดกัน (หรือแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน) จะถูกเพิ่มเข้าไป พวกเขา;
  • เมื่อแก้อสมการ a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • สุดท้าย เมื่อแก้อสมการกำลังสองในรูปแบบ a·x 2 +b·x+c≤0 จะพบว่าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน Ox และเส้นแอบซิสซาของจุดตัดกัน (หรือเส้นแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน) ) ถูกเพิ่มเข้าไป;

  พวกมันคือคำตอบที่ต้องการสำหรับอสมการกำลังสอง และหากไม่มีช่วงเวลาดังกล่าวและไม่มีจุดสัมผัส แสดงว่าอสมการกำลังสองดั้งเดิมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการแก้อสมการกำลังสองบางส่วนโดยใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไข

ตัวอย่าง.

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องแก้อสมการกำลังสอง ลองใช้อัลกอริทึมจากย่อหน้าก่อนหน้ากันดีกว่า ในขั้นตอนแรก เราต้องร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 2 ซึ่งเป็นค่าบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น มาดูกันว่าพาราโบลามีจุดร่วมกับแกน x หรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะคำนวณการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง - เรามี - การเลือกปฏิบัติกลายเป็นมากกว่าศูนย์ ดังนั้น ตรีโกณมิติจึงมีรากที่แท้จริงสองประการ: และ นั่นคือ x 1 =−3 และ x 2 =1/3

จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่าพาราโบลาตัดกับแกน Ox ที่จุดสองจุดโดยมีจุดหักมุม −3 และ 1/3 เราจะพรรณนาจุดเหล่านี้ในภาพวาดเป็นจุดธรรมดา เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด จากข้อมูลที่ชี้แจงเราได้รับภาพวาดต่อไปนี้ (เหมาะกับเทมเพลตแรกจากย่อหน้าแรกของบทความ):

มาดูขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมกันดีกว่า เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ เราจึงต้องหาช่วงที่พาราโบลาอยู่ใต้แกนแอบซิสซา และเพิ่มค่าแอบซิสซาของจุดตัดกัน

จากภาพวาด จะเห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน x ในช่วงเวลา (−3, 1/3) และเราบวกจุดหักล้างของจุดตัดกันเข้าไปด้วย นั่นคือตัวเลข −3 และ 1/3 เป็นผลให้เรามาถึงช่วงตัวเลข [−3, 1/3] นี่คือวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหา สามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่า −3≤x≤1/3

คำตอบ:

[−3, 1/3] หรือ −3≤x≤1/3

ตัวอย่าง.

ค้นหาคำตอบของอสมการกำลังสอง −x 2 +16 x−63<0 .

สารละลาย.

ตามปกติเราจะเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังสองของตัวแปรเป็นลบ −1 ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ลง มาคำนวณการแบ่งแยกหรือดีกว่านั้นคือส่วนที่สี่: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1- ค่าของมันคือบวก ลองคำนวณรากของกำลังสองของตรีโกณมิติกัน: และ , x 1 =7 และ x 2 =9. ดังนั้นพาราโบลาตัดแกน Ox ที่จุดสองจุดด้วยพิกัด 7 และ 9 (อสมการดั้งเดิมนั้นเข้มงวด ดังนั้นเราจะพรรณนาจุดเหล่านี้ด้วยจุดศูนย์กลางว่าง) ตอนนี้เราสามารถวาดแผนผังได้:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองเคร่งครัดด้วยเครื่องหมาย<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าคำตอบของอสมการกำลังสองดั้งเดิมคือช่วงสองช่วง (−∞, 7) , (9, +∞)

คำตอบ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x<7 , x>9 .

เมื่อแก้สมการกำลังสอง เมื่อค่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองทางด้านซ้ายเป็นศูนย์ คุณต้องระมัดระวังในการรวมหรือแยกจุดแอบซิสซาของจุดสัมผัสออกจากคำตอบ ขึ้นอยู่กับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน หากความไม่เสมอภาคเข้มงวดก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน แต่ถ้าไม่เข้มงวดก็คือเป็น

ตัวอย่าง.

อสมการกำลังสอง 10 x 2 −14 x+4.9≤0 มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีหรือไม่

สารละลาย.

ลองพลอตฟังก์ชัน y=10 x 2 −14 x+4.9 กัน กิ่งก้านของมันชี้ขึ้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นบวก และมันแตะแกน abscissa ที่จุดนั้นด้วย abscissa 0.7 เนื่องจาก D"=(−7) 2 −10 4.9=0 โดยที่ หรือ 0.7 ในรูปแบบ ของเศษส่วนทศนิยมตามแผนผังจะเป็นดังนี้:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองด้วยเครื่องหมาย ≤ วิธีแก้จะเป็นช่วงที่พาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน Ox เช่นเดียวกับค่าแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน จากภาพวาด เห็นได้ชัดว่าไม่มีช่องว่างแม้แต่ช่องเดียวที่พาราโบลาจะอยู่ใต้แกน Ox ดังนั้นคำตอบของพาราโบลาจะเป็นเพียงค่า Abscissa ของจุดสัมผัสกันเท่านั้น ซึ่งก็คือ 0.7

คำตอบ:

อสมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ 0.7

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง –x 2 +8 x−16<0 .

สารละลาย.

เราปฏิบัติตามอัลกอริทึมในการแก้อสมการกำลังสองและเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นลบ −1 ให้เราค้นหาการแบ่งแยกของกำลังสองตรีโนเมียล –x 2 +8 x−16 เราได้ D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0แล้ว x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . ดังนั้น พาราโบลาแตะแกน Ox ที่จุดแอบซิสซา 4 มาวาดรูปกันเถอะ:

เรามองดูสัญญาณของความไม่เท่าเทียมเดิมมีอยู่<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ในกรณีของเรา สิ่งเหล่านี้คือรังสีเปิด (−∞, 4) , (4, +∞) แยกกัน เราสังเกตว่า 4 - พิกัดของจุดสัมผัส - ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก ณ จุดที่สัมผัสกัน พาราโบลาไม่ต่ำกว่าแกน Ox

คำตอบ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠4

ให้สังเกตเป็นพิเศษในกรณีที่ค่าแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสองน้อยกว่าศูนย์ ไม่จำเป็นต้องเร่งรีบและบอกว่าอสมการไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เราคุ้นเคยกับการสรุปสมการกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเชิงลบเช่นนี้) ประเด็นก็คือความไม่เท่าเทียมกันกำลังสองของ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของอสมการกำลังสอง 3 x 2 +1>0

สารละลาย.

ตามปกติเราจะเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ สัมประสิทธิ์ a คือ 3 ซึ่งเป็นบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น เราคำนวณการแบ่งแยก: D=0 2 −4·3·1=−12 เนื่องจากค่าจำแนกเป็นลบ พาราโบลาจึงไม่มีจุดร่วมกับแกน Ox ข้อมูลที่ได้รับเพียงพอสำหรับกราฟแผนผัง:

เราแก้อสมการกำลังสองเคร่งครัดด้วยเครื่องหมาย > วิธีแก้จะเป็นทุกช่วงที่พาราโบลาอยู่เหนือแกนอ็อกซ์ ในกรณีของเรา พาราโบลาอยู่เหนือแกน x ตลอดความยาว ดังนั้นคำตอบที่ต้องการจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

วัว และสำหรับพวกเขาคุณต้องเพิ่ม abscissa ของจุดตัดหรือ abscissa ของจุดสัมผัสกัน แต่จากภาพวาดจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าไม่มีช่วงเวลาดังกล่าว (เนื่องจากพาราโบลาอยู่ใต้แกนแอบซิสซา) เช่นเดียวกับที่ไม่มีจุดตัดกัน เช่นเดียวกับที่ไม่มีจุดสัมผัสกัน ดังนั้น อสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ:

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือในรายการอื่น ∅

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.

แอล.เอ. คุสโตวา

ครูคณิตศาสตร์

Voronezh, MBOU Lyceum หมายเลข 5

โครงการ

“ข้อดีของวิธีกราฟิกในการแก้สมการและอสมการ”

ระดับ:

7-11

รายการ:

คณิตศาสตร์

วัตถุประสงค์การวิจัย:

หาข้อดีของวิธีการแก้สมการและอสมการเชิงกราฟิก.

สมมติฐาน:

สมการและอสมการบางสมการนั้นง่ายกว่าและสวยงามกว่าในการแก้แบบกราฟิก

ขั้นตอนการวิจัย:

เปรียบเทียบวิธีแก้ไขปัญหาเชิงวิเคราะห์และกราฟิกสมการและอสมการ.

ค้นหาว่าในกรณีใดบ้างที่วิธีการแบบกราฟิกมีข้อดี

ลองแก้สมการด้วยโมดูลัสและพารามิเตอร์

ผลการวิจัย:

1.ความงดงามของคณิตศาสตร์เป็นปัญหาเชิงปรัชญา

2.เมื่อแก้สมการและอสมการบางอย่างจะเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกใช้งานได้จริงและน่าดึงดูดที่สุด.

3. คุณสามารถใช้ความน่าดึงดูดใจของคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนได้โดยใช้วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสมการและอสมการ

“วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ได้รับความสนใจเป็นพิเศษมาตั้งแต่สมัยโบราณ

ปัจจุบันพวกเขาได้รับความสนใจมากขึ้นในอิทธิพลที่มีต่อศิลปะและอุตสาหกรรม”

ปาฟนูตี ลโววิช เชบีเชฟ

เริ่มตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 มีการพิจารณาวิธีการแก้สมการและอสมการต่างๆ รวมถึงวิธีกราฟิกด้วย คนที่คิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์แห้งๆ ผมว่าเปลี่ยนความคิดเห็นเมื่อเห็นว่าบางประเภทจะแก้ได้สวยงามแค่ไหนสมการและอสมการ ฉันขอยกตัวอย่างบางส่วนให้คุณ:

1). แก้สมการ: = .

คุณสามารถแก้มันได้ในเชิงวิเคราะห์ กล่าวคือ ยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลัง 3 ไปเรื่อยๆ

วิธีแบบกราฟิกสะดวกสำหรับสมการนี้ หากคุณต้องการระบุจำนวนคำตอบ

มักพบงานที่คล้ายกันเมื่อแก้ไขบล็อก "เรขาคณิต" ของ OGE เกรด 9

2) แก้สมการด้วยพารามิเตอร์:

││ x│- 4│= ก

ไม่ใช่ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด แต่ถ้าคุณแก้ปัญหาในเชิงวิเคราะห์ คุณจะต้องเปิดวงเล็บโมดูลสองครั้ง และสำหรับแต่ละกรณีให้พิจารณาค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ กราฟิกทุกอย่างนั้นง่ายมาก เราวาดกราฟฟังก์ชันแล้วพบว่า:

แหล่งที่มา:

โปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟิกขั้นสูง .