พีระมิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15) ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและด้านบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน (รูปที่ 16) ปิระมิดสามเหลี่ยมที่มีขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงด้านข้างของปิระมิดคือด้านของหน้าด้านข้างที่ไม่เป็นฐาน ความสูง พีระมิดคือระยะห่างจากยอดถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง . ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมด เรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิด ขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน ดังนั้น ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน

2. ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดมีความยาวเท่ากัน ยอดของปิรามิดจะยื่นออกมาที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

3. หากใบหน้าทั้งหมดในปิรามิดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน ให้ฉายส่วนบนของปิรามิดไว้ที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรที่ถูกต้องคือ:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ชม– ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ฮา– ระยะกึ่งกลาง;

ชม- ความสูง;

สเต็มเลย

ด้านเอส

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

วี– ปริมาตรของปิระมิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เรียกว่าส่วนของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิระมิด

บริเวณปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน หน้าด้านข้าง – สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนแนวทแยง คือส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 – พื้นที่ฐานบนและล่าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี– ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ สูตรถูกต้อง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

ฮา– ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60° ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

ปิรามิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าที่ฐานจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่าและใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของด้านข้างของพีระมิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นคือมุม กระหว่างสองตั้งฉาก: ฯลฯ ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมและวงกลมที่จารึกไว้ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มุมเอียงของขอบด้านข้าง (เช่น เอส.บี.) คือมุมระหว่างขอบกับส่วนที่ยื่นออกมาบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครงนั้น เอส.บี.มุมนี้จะเป็นมุม สบส- หากต้องการหาแทนเจนต์คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ โอ.บี.- ให้ความยาวของส่วน บีดีเท่ากับ 3 ก- จุด เกี่ยวกับส่วนของเส้น บีดีแบ่งออกเป็นส่วนๆ และจากที่เราพบ ดังนั้น: จากที่เราพบ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอนปกติ หากเส้นทแยงมุมของฐานเท่ากับ ซม. และ ซม. และมีความสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องค้นหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมโดยรู้เส้นทแยงมุม ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

คำตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ด้านข้างของปิรามิดนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานจะให้ตามเงื่อนไข ไม่ทราบส่วนสูงเท่านั้น เราจะพบเธอจากที่ไหน ก 1 อีตั้งฉากจากจุดหนึ่ง ก 1 บนระนาบฐานล่าง ก 1 ดี– ตั้งฉากจาก ก 1 ต่อ เครื่องปรับอากาศ. ก 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด การค้นหา เดมาสร้างภาพวาดเพิ่มเติมเพื่อแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพกึ่งกลางฐานบนและล่าง เนื่องจาก (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลง– รัศมีที่จารึกไว้ในวงกลมและ โอม– รัศมีที่เขียนไว้ในวงกลม:

เอ็มเค = DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีฐานอยู่ กและ ข (ก> ข- ใบหน้าแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบฐานของปิรามิด เจ- หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกด้านของปิรามิดเอียงไปที่ระนาบของฐานเท่ากัน จุดยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม เอสโอดีคือเส้นโครงตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม ซีเอสดีไปจนถึงระนาบของฐาน เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปเครื่องบินเราได้รับ:

หมายความเช่นเดียวกัน ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี- มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกัน เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด เกี่ยวกับ– จุดศูนย์กลางของวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ดังนั้น หรือ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

• 29.05.2016

  วงจรออสซิลเลเตอร์เป็นวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และแหล่งพลังงานไฟฟ้า เมื่อส่วนประกอบวงจรเชื่อมต่อแบบอนุกรม วงจรออสซิลเลเตอร์เรียกว่าอนุกรม และเมื่อเชื่อมต่อแบบขนานจะเรียกว่าขนาน วงจรออสซิลเลเตอร์เป็นระบบที่ง่ายที่สุดที่สามารถเกิดการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระได้ ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจรถูกกำหนดโดยสูตรที่เรียกว่าสูตรของทอมสัน: ƒ = 1/(2π√(LC)) สำหรับ ...

• 20.09.2014

  เครื่องรับได้รับการออกแบบให้รับสัญญาณในช่วง DV (150 kHz…300 kHz) คุณสมบัติหลักของเครื่องรับคือเสาอากาศซึ่งมีความเหนี่ยวนำสูงกว่าเสาอากาศแม่เหล็กทั่วไป ทำให้สามารถใช้ความจุของตัวเก็บประจุปรับค่าในช่วง 4...20 pF ได้ และตัวรับสัญญาณดังกล่าวก็มีความไวที่ยอมรับได้และเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในเส้นทาง RF ตัวรับสัญญาณใช้งานได้กับหูฟัง (headphones) มีไฟ...

• 24.09.2014

  อุปกรณ์นี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อตรวจสอบระดับของเหลวในถัง ทันทีที่ของเหลวเพิ่มขึ้นถึงระดับที่กำหนด อุปกรณ์จะเริ่มส่งเสียงสัญญาณอย่างต่อเนื่อง เมื่อระดับของเหลวถึงระดับวิกฤติ อุปกรณ์จะเริ่มส่งเสียง สัญญาณไม่ต่อเนื่อง ตัวบ่งชี้ประกอบด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 2 เครื่องซึ่งควบคุมโดยองค์ประกอบเซ็นเซอร์ E วางอยู่ในถังในระดับสูงถึง ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 เป็นตัวจับเวลาหลายโปรแกรมแบบดิจิทัลที่ออกแบบมาเพื่อทำงานกับตัวบ่งชี้ ILC3-5\7 ทำหน้าที่นับและแสดงเวลาปัจจุบันเป็นชั่วโมงและนาที วันในสัปดาห์ และควบคุมหมายเลขช่องสัญญาณ (นาฬิกาปลุก 9 ตัว) วงจรนาฬิกาปลุกดังแสดงในรูป ไมโครวงจรถูกโอเวอร์คล็อก ตัวสะท้อนเสียง Q1 ที่ 32768Hz อาหารเป็นลบ ผลรวมบวกไปที่...

ในบทนี้ เราจะดูปิรามิดที่ถูกตัดทอน ทำความคุ้นเคยกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ และศึกษาคุณสมบัติของปิรามิดนั้น

ให้เรานึกถึงแนวคิดของปิรามิด n-gonal โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดสามเหลี่ยม ให้สามเหลี่ยม ABC นอกระนาบของรูปสามเหลี่ยม จะมีจุด P เชื่อมกับจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม พื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่าปิรามิด (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ปิรามิดสามเหลี่ยม

ลองตัดปิรามิดด้วยระนาบที่ขนานกับระนาบฐานของปิรามิด ตัวเลขที่ได้รับระหว่างระนาบเหล่านี้เรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

องค์ประกอบสำคัญ:

ฐานบน;

ฐานล่าง ABC

ใบหน้าด้านข้าง;

ถ้า PH คือความสูงของปิรามิดเดิม แสดงว่ามันคือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

คุณสมบัติของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเกิดขึ้นจากวิธีการก่อสร้างนั่นคือจากความขนานของระนาบของฐาน:

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ตัวอย่างเช่น พิจารณาขอบ มันมีคุณสมบัติเป็นระนาบขนาน (เนื่องจากระนาบขนานกัน พวกเขาจึงตัดหน้าด้านข้างของปิรามิด AVR ดั้งเดิมไปตามเส้นตรงขนานกัน) แต่ในขณะเดียวกัน พวกมันก็ไม่ขนานกัน แน่นอนว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เช่นเดียวกับใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

อัตราส่วนของฐานจะเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด:

เรามีสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหลายคู่ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันเท่ากัน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมและ RAB มีความคล้ายคลึงกันเนื่องจากความขนานของระนาบ และ , ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน:

ในเวลาเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมและ RVS มีความคล้ายคลึงกันโดยมีสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน:

แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทั้งสามคู่มีค่าเท่ากัน ดังนั้นอัตราส่วนของฐานจึงเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติคือปิรามิดที่ถูกตัดทอนซึ่งได้จากการตัดปิรามิดปกติโดยมีระนาบขนานกับฐาน (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

คำนิยาม.

พีระมิดจะเรียกว่าปกติหากฐานของมันคือเอ็นกอนปกติ และจุดยอดของมันถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของเอ็นกอนนี้ (ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้)

ในกรณีนี้ จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานของปิรามิด และด้านบนจะฉายไปที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม พีระมิด ABCD ที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติที่ได้จะมีฐานล่างและฐานบน ความสูงของปิรามิดเดิมคือ RO ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือ (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ

คำนิยาม.

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากจากจุดใดๆ ของฐานหนึ่งไปยังระนาบของฐานที่สอง

ระยะกึ่งกลางของปิรามิดเดิมคือ RM (M คือจุดกึ่งกลางของ AB) เส้นกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือ (รูปที่ 4)

คำนิยาม.

ระยะกึ่งกลางของพีระมิดที่ถูกตัดทอนคือความสูงของหน้าด้านใดๆ

เห็นได้ชัดว่าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนมีค่าเท่ากันนั่นคือใบหน้าด้านข้างมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน

พิสูจน์ (สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ - รูปที่ 4):

ดังนั้นเราจึงต้องพิสูจน์:

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างที่นี่จะประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูเหมือนกัน เราจึงมี:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง ส่วนเอโพเธมคือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู เรามี:

Q.E.D.

สำหรับปิรามิด n-gonal:

โดยที่ n คือจำนวนหน้าด้านข้างของพีระมิด a และ b เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู และคือระยะกึ่งกลางของพีระมิด

ด้านข้างของฐานของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติที่ถูกตัดทอน เท่ากับ 3 ซม. และ 9 ซม. ความสูง - 4 ซม. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้าง

ข้าว. 5. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 1

สารละลาย. ให้เราอธิบายเงื่อนไข:

ถามโดย: , ,

ผ่านจุด O เราวาดเส้นตรง MN ขนานกับทั้งสองด้านของฐานล่างและในทำนองเดียวกันเราวาดเส้นตรงผ่านจุด O (รูปที่ 6) เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสและโครงสร้างที่ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นขนานกัน เราจึงได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับด้านด้านข้าง ยิ่งไปกว่านั้น ด้านข้างของมันจะผ่านตรงกลางของขอบด้านบนและด้านล่างของใบหน้าด้านข้าง และจะเป็นจุดกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ข้าว. 6. การก่อสร้างเพิ่มเติม

ลองพิจารณาผลลัพธ์สี่เหลี่ยมคางหมู (รูปที่ 6) ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ จะทราบฐานบน ฐานล่าง และความสูง คุณต้องหาด้านที่เป็นจุดกึ่งกลางของพีระมิดที่ถูกตัดทอน ลองวาดตั้งฉากกับ MN กัน จากจุดที่เราลด NQ ตั้งฉากลง เราพบว่าฐานที่ใหญ่กว่านั้นแบ่งออกเป็นส่วน ๆ สามเซนติเมตร () พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก รู้จักขาในนั้น นี่คือสามเหลี่ยมอียิปต์ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรากำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: 5 ซม.

ขณะนี้มีองค์ประกอบทั้งหมดเพื่อกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด:

พีระมิดมีระนาบขนานกับฐาน พิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมว่าขอบด้านข้างและความสูงของปิรามิดถูกแบ่งโดยระนาบนี้ออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

การพิสูจน์. มาอธิบายกัน:

ข้าว. 7. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 2

มอบปิรามิด RABC PO - ความสูงของปิรามิด ปิรามิดถูกตัดโดยเครื่องบินจะได้ปิรามิดที่ถูกตัดทอนและ จุด - จุดตัดกันของความสูงของ RO กับระนาบของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน มีความจำเป็นต้องพิสูจน์:

กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาคือคุณสมบัติของระนาบขนาน ระนาบขนานสองระนาบตัดระนาบที่สามใดๆ เพื่อให้เส้นตัดขนานกัน จากที่นี่: . ความขนานของเส้นที่เกี่ยวข้องหมายถึงการมีอยู่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่คู่:

จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามสัดส่วนของด้านที่สอดคล้องกัน คุณลักษณะที่สำคัญคือค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน:

Q.E.D.

RABC ของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีความสูงและด้านข้างของฐานจะถูกผ่าโดยระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของความสูง PH ขนานกับฐาน ABC ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนที่เกิดขึ้น

สารละลาย. มาอธิบายกัน:

ข้าว. 8. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 3

ACB เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ H คือจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมนี้ (จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจารึกและวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบ) RM คือจุดตั้งฉากของปิรามิดที่กำหนด - กึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ตามคุณสมบัติของระนาบขนาน (ระนาบขนานสองอันตัดระนาบที่สามใดๆ เพื่อให้เส้นตัดขนานกัน) เรามีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหลายคู่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันเท่ากัน เราสนใจความสัมพันธ์นี้เป็นพิเศษ:

มาหาเอ็นเอ็มกันเถอะ นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน เรารู้สูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอนนี้จากสามเหลี่ยมมุมฉาก PHM โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบ RM - เส้นกึ่งกลางของปิรามิดดั้งเดิม:

จากอัตราส่วนเริ่มต้น:

ตอนนี้เรารู้องค์ประกอบทั้งหมดสำหรับการค้นหาพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนแล้ว:

ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนและปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติให้คำจำกัดความพื้นฐานตรวจสอบคุณสมบัติและพิสูจน์ทฤษฎีบทในพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง บทเรียนต่อไปจะเน้นไปที่การแก้ปัญหา

บรรณานุกรม

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
2. Sharygin I.F. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 หน้า: ป่วย
3. อี.วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 2551. - 233 น.: ป่วย

1. Uztest.ru ()
2. Fmclass.ru ()
3. Webmath.exponenta.ru ()

การบ้าน

เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของปิรามิดและมีส่วนที่ขนานกับมัน เราสามารถพูดได้ว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือปิรามิดที่ตัดส่วนบนออก ตัวเลขนี้มีคุณสมบัติพิเศษมากมาย:

• ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
• ขอบด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะมีความยาวเท่ากันและเอียงไปที่ฐานในมุมเดียวกัน
• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน
• ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติใบหน้าจะมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเหมือนกันซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน พวกเขายังเอียงไปที่ฐานในมุมเดียว

สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือผลรวมของพื้นที่ด้านข้าง:

เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะต้องใช้สูตรในการคำนวณพารามิเตอร์ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู- สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ คุณสามารถใช้สูตรอื่นในการคำนวณพื้นที่ได้ เนื่องจากด้านข้าง ใบหน้า และมุมที่ฐานเท่ากัน เราจึงใช้เส้นรอบรูปของฐานและเส้นตั้งฉากในฐานได้ และยังหาพื้นที่ผ่านมุมที่ฐานได้ด้วย

ตามเงื่อนไขในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ ถ้าให้ค่าระยะกึ่งกลาง (ความสูงของด้าน) และความยาวของด้านข้างของฐานแล้ว พื้นที่ก็สามารถคำนวณได้จากผลคูณครึ่งของผลรวมของเส้นรอบรูปของ ฐานและระยะกึ่งกลาง:

ลองดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ให้ปิรามิดห้าเหลี่ยมปกติ ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง ล= 5 ซม. ความยาวของขอบในฐานใหญ่คือ ก= 6 ซม. และขอบอยู่ที่ฐานเล็ก ข= 4 ซม. คำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ก่อนอื่น เรามาค้นหาเส้นรอบวงของฐานกันก่อน เนื่องจากเราได้รับปิรามิดห้าเหลี่ยม เราจึงเข้าใจว่าฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าฐานจะมีรูปที่มีด้านเหมือนกันห้าด้าน ลองหาเส้นรอบวงของฐานที่ใหญ่กว่า:

ในทำนองเดียวกัน เราจะหาเส้นรอบวงของฐานที่เล็กกว่า:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติได้ แทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติผ่านเส้นรอบวงและเส้นตั้งฉาก

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติคือสูตร ผ่านมุมที่ฐานและพื้นที่ของฐานเหล่านี้เอง.

ลองดูตัวอย่างการคำนวณ เราจำได้ว่าสูตรนี้ใช้กับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเท่านั้น

ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติได้รับ ขอบของฐานด้านล่างคือ a = 6 ซม. และขอบของฐานด้านบนคือ b = 4 ซม. มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ β = 60° ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ

ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ของฐานกันก่อน เนื่องจากพีระมิดเป็นแบบปกติ ขอบฐานทั้งหมดจึงเท่ากัน เมื่อพิจารณาว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราเข้าใจว่าจำเป็นต้องคำนวณ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม- มันเป็นผลคูณของความกว้างและความยาว แต่เมื่อยกกำลังสองค่าเหล่านี้จะเท่ากัน มาหาพื้นที่ฐานที่ใหญ่กว่ากัน:


ตอนนี้เราใช้ค่าที่พบเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้าง

เมื่อรู้สูตรง่ายๆ ไม่กี่ข้อ เราก็คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้อย่างง่ายดายโดยใช้ค่าต่างๆ