พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถพบได้หลายวิธี มุมฉากซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรูปใดๆ จะเพิ่มคุณสมบัติให้กับมุมฉาก และสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว

สามเหลี่ยมมุมฉาก

อันดับแรก เรามาพูดถึงสามเหลี่ยมมุมฉากกันก่อน คุณสมบัติและคุณสมบัติของมัน สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม

สามเหลี่ยมมุมฉากต้องไม่ป้าน เพราะจากนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 องศา ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงสองในสามตรงกับด้านข้าง - ขา ด้วยเหตุผลเดียวกัน จุดตัดของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดที่มุมฉาก

ข้าว. 1. ความสูงทั้งหมดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

จุดเดียวกันจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ

พื้นที่สามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมักจะพบโดยใช้สูตรมาตรฐาน เนื่องจากครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่ลากมาที่ฐานนี้

$$S=(1\over2)*a*h$$

คุณสามารถหาพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

มีสูตรที่ซับซ้อนสำหรับการค้นหาพื้นที่ แต่ใช้น้อยมาก

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

พบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้สูตรเดียวกัน แต่ในบางกรณี สูตรเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับขาได้ สูตรมาตรฐานจะกลายเป็น:

$S=(1\over2)*a*b$ โดยที่ a และ b คือขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองแปลงสูตรที่สองกัน

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

หากเราจำได้ว่าไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีของเรา ขาอีกข้างเขียนแทนด้วยตัวอักษร f เพราะ a เป็นขาที่อยู่ติดกัน และมุมแหลมสามารถทำได้เฉพาะระหว่างขากับด้านตรงข้ามมุมฉากเท่านั้น b คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - ทุกอย่างคือ สูตรเดียวกัน.

ข้าว. 2. การสรุปผล

ซึ่งหมายความว่าเราได้ข้อสรุปแรกอย่างถูกต้อง และสามเหลี่ยมมุมฉากมีสูตรพิเศษเพียงสูตรเดียวในการค้นหาพื้นที่ หากไม่พอดีคุณสามารถใช้สูตรทั่วไปได้ นี่เป็นสองวิธีที่เป็นไปได้ในการคำนวณพื้นที่

ตัวอย่างเช่น หากเงื่อนไขของปัญหาทราบด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณอาจลองหาความสูงที่ตกลงมาบนด้านตรงข้ามมุมฉากและกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตรทั่วไป ด้วยหลักการเดียวกัน คุณสามารถหาพื้นที่ผ่านไซน์ได้ ถ้ารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา

ข้าว. 3. ความสูงที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือปัญหาใด ๆ มักจะมี 3 วิธีแก้ไขและแก้ปัญหาด้วยวิธีที่สะดวกที่สุด

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

เราได้พูดถึงสามเหลี่ยมมุมฉากและได้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากในแง่ของขา เราพูดถึงสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมแล้วบอกว่าแต่ละสูตรนี้เหมาะสำหรับการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก

แบบทดสอบหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.5. คะแนนที่ได้รับทั้งหมด: 115

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่เกือบทุกมุม ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขนี้ ตลอดจนความสามารถในการคำนวณพื้นที่ จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างไม่ต้องสงสัย ไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหาในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสถานการณ์ในชีวิตด้วย

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น สามเหลี่ยมมุมฉากคือตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันสามส่วนซึ่งประกอบเป็นมุมสามมุม (มุมแหลมสองมุมและมุมตรงหนึ่งมุม) สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปดั้งเดิม โดยมีลักษณะสำคัญหลายประการที่เป็นรากฐานของตรีโกณมิติ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างจากรูปสามเหลี่ยมทั่วไป:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก
• ขา - ส่วนที่เป็นมุมฉาก ขึ้นอยู่กับมุมที่พิจารณา ขาสามารถอยู่ติดกับมัน (สร้างมุมนี้ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก) หรือตรงข้าม (นอนอยู่ตรงข้ามมุม) ไม่มีขาสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม

มันคืออัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ: ไซน์ แทนเจนต์ และซีแคนต์ ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากในความเป็นจริง

ตัวเลขนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในความเป็นจริง สามเหลี่ยมถูกใช้ในการออกแบบและเทคโนโลยี ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปจึงต้องทำโดยวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบ ฐานของจัตุรมุขหรือปริซึมมีรูปทรงสามเหลี่ยม - ตัวเลขสามมิติที่ง่ายต่อการพบในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังเป็นตัวแทนที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก "แบน" ในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเครื่องมือช่างทำกุญแจ การวาดภาพ การก่อสร้าง และช่างไม้ ที่ใช้สร้างมุมโดยทั้งเด็กนักเรียนและวิศวกร

พื้นที่สามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นการประมาณการเชิงปริมาณของระนาบที่ล้อมรอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมธรรมดาหาได้ 5 วิธี โดยใช้สูตรของนกกระสาหรือการคำนวณโดยใช้ตัวแปรต่างๆ เช่น ฐาน ด้าน มุม และรัศมีของวงกลมที่จารึกหรือล้อมรอบ สูตรพื้นที่ที่ง่ายที่สุดจะแสดงเป็น:

โดยที่ a คือด้านของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูง

สูตรคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่า:

โดยที่ a และ b คือขา

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พารามิเตอร์สามคู่:

• สองขา;
• ขาและมุมที่อยู่ติดกัน
• ขาและมุมตรงข้าม

ในงานหรือสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน คุณจะได้รับชุดค่าผสมต่างๆ ดังนั้นเครื่องคิดเลขรูปแบบนี้จะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างชีวิตจริง

กระเบื้องเซรามิก

สมมติว่าคุณต้องการวางแนวผนังห้องครัวด้วยกระเบื้องเซรามิกซึ่งมีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อกำหนดปริมาณการใช้กระเบื้อง คุณต้องหาพื้นที่ขององค์ประกอบของการหุ้มและพื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวที่จะรับการบำบัด สมมติว่าคุณต้องดำเนินการ 7 ตารางเมตร ความยาวของขาขององค์ประกอบหนึ่งคือ 19 ซม. จากนั้นพื้นที่ของกระเบื้องจะเท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ขององค์ประกอบหนึ่งคือ 24.5 ตารางเซนติเมตรหรือ 0.01805 ตารางเมตร เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณสามารถคำนวณได้ว่าหากต้องการสร้างกำแพงให้เสร็จ 7 ตารางเมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องหันหน้าไปทาง 7 / 0.01805 = 387

งานโรงเรียน

ปัญหาของโรงเรียนในเรขาคณิต จะต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้เพียงว่าด้านหนึ่งของขาข้างหนึ่งคือ 5 ซม. และค่าของมุมตรงข้ามคือ 30 องศา เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรามีภาพประกอบแสดงด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้าน a = 5 ซม. แล้วมุมตรงข้ามของมันคือมุมอัลฟา เท่ากับ 30 องศา ป้อนข้อมูลนี้ลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับผลลัพธ์:

ดังนั้นเครื่องคิดเลขไม่เพียงแต่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนด แต่ยังกำหนดความยาวของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากตลอดจนค่าของมุมที่สอง

บทสรุป

สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมมีอยู่ในชีวิตของเราอย่างแท้จริงในทุกมุม การกำหนดพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะเป็นประโยชน์กับคุณไม่เพียง แต่ในการแก้ปัญหาการมอบหมายของโรงเรียนในเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงกิจกรรมประจำวันและในวิชาชีพด้วย

สามเหลี่ยมเป็นรูปเรขาคณิตแบนที่มีมุมหนึ่งเท่ากับ 90 ° ในเวลาเดียวกัน ในเรขาคณิต มักจะต้องคำนวณพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว วิธีการทำเช่นนี้เราจะบอกเพิ่มเติม

สูตรที่ง่ายที่สุดในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อมูลเริ่มต้น โดยที่ a และ b คือด้านของสามเหลี่ยมที่ออกมาจากมุมฉาก

นั่นคือ พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านที่ออกมาจากมุมฉาก แน่นอนว่ามีสูตรของนกกระสาที่ใช้คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมธรรมดา แต่ในการหาค่านั้น คุณต้องรู้ความยาวของสามด้าน ดังนั้น คุณจะต้องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก และนี่คือช่วงต่อเวลาพิเศษ

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้สูตรของนกกระสา

นี่เป็นสูตรที่รู้จักกันดีและเป็นสูตรดั้งเดิม แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากตามสองขาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในสูตรนี้: a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ p คือกึ่งปริมณฑล

หาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุม

หากไม่ทราบปัญหาของคุณ คุณจะไม่สามารถใช้วิธีที่ง่ายที่สุดได้ ในการกำหนดค่าคุณต้องคำนวณความยาวของขา สิ่งนี้ทำได้โดยง่ายโดยด้านตรงข้ามมุมฉากและโคไซน์ของมุมที่รวมไว้

b=c×cos(α)

เมื่อรู้ความยาวของขาข้างหนึ่งโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถคำนวณด้านที่สองที่ออกมาจากมุมฉากได้

b 2 \u003d c 2 -a 2

ในสูตรนี้ c และ a คือด้านตรงข้ามมุมฉากและขาตามลำดับ ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรแรก ในทำนองเดียวกันสามารถคำนวณขาข้างหนึ่งได้โดยพิจารณาจากวินาทีและมุม ในกรณีนี้ ด้านที่ต้องการด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับผลคูณของขาและแทนเจนต์ของมุม มีวิธีอื่นๆ ในการคำนวณพื้นที่ แต่เมื่อรู้ทฤษฎีบทและกฎพื้นฐาน คุณสามารถหาค่าที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย

หากคุณไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม แต่มีเพียงค่ามัธยฐานและมุมใดมุมหนึ่งเท่านั้น คุณสามารถคำนวณความยาวของด้านได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คุณสมบัติของค่ามัธยฐานหารสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยสอง ดังนั้น มันสามารถทำหน้าที่เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากได้ถ้ามันออกมาจากมุมแหลม ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ออกมาจากมุมฉาก

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทราบสูตรพื้นฐานและทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ โดยมีมุมและความยาวของด้านเดียวเท่านั้น

ในชั้นเรียนเรขาคณิตในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เราทุกคนได้รับการสอนเกี่ยวกับสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ภายในกรอบหลักสูตรของโรงเรียน เราได้รับเฉพาะความรู้ที่จำเป็นที่สุดและเรียนรู้วิธีคำนวณที่ใช้กันทั่วไปและเป็นมาตรฐานมากที่สุด มีวิธีที่ผิดปกติในการค้นหาค่านี้หรือไม่?

ในบทนำ ให้ระลึกว่าสามเหลี่ยมใดถือเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และยังแสดงถึงแนวคิดของพื้นที่ด้วย

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบปิด ซึ่งหนึ่งในมุมนั้นมีค่าเท่ากับ 90 0 แนวคิดเชิงปริพันธ์ในคำจำกัดความคือขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ขาเป็นสองด้านที่ทำมุมฉากที่จุดเชื่อมต่อ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉากสามารถเป็นหน้าจั่วได้ (ด้านสองด้านจะมีขนาดเท่ากัน) แต่จะไม่มีด้านเท่ากันหมด (ด้านทุกด้านมีความยาวเท่ากัน) คำจำกัดความของความสูง ค่ามัธยฐาน เวกเตอร์ และศัพท์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ จะไม่ถูกวิเคราะห์โดยละเอียด หาได้ง่ายในหนังสืออ้างอิง

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก. กฎเกี่ยวกับ .ไม่เหมือนกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ผลิตภัณฑ์ของคู่สัญญาในคำจำกัดความไม่ถูกต้อง การพูดในภาษาที่แห้งแล้ง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเข้าใจว่าเป็นคุณสมบัติของตัวเลขนี้เพื่อครอบครองส่วนหนึ่งของระนาบโดยแสดงด้วยตัวเลข ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจคุณเห็น เราจะไม่พยายามเจาะลึกลงไปในคำจำกัดความ เป้าหมายของเราไม่ใช่สิ่งนี้ มาต่อกันที่หลัก - จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? เราจะไม่ทำการคำนวณเอง แต่จะระบุเฉพาะสูตรเท่านั้น ในการทำเช่นนี้ ให้กำหนดสัญกรณ์: A, B, C - ด้านของสามเหลี่ยม, ขา - AB, BC มุม ACB เป็นเส้นตรง S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม h n n คือความสูงของสามเหลี่ยม โดยที่ nn คือด้านที่ลดระดับลง

วิธีที่ 1 วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้าทราบขนาดของขา

วิธีที่ 2 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

วิธีที่ 3 การคำนวณพื้นที่ผ่านสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เราเติมสามเหลี่ยมมุมฉากให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ถ้ารูปสามเหลี่ยม

หน้าจั่ว) หรือสี่เหลี่ยม เราได้สี่เหลี่ยมธรรมดาที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกัน 2 รูป ในกรณีนี้ ค่าของพื้นที่ของหนึ่งในนั้นจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ S ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณโดยผลคูณของด้าน เราแสดงค่านี้ด้วย M ค่าที่ต้องการของพื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของ M

วิธีที่ 4. "กางเกงพีทาโกรัส" ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียง

เราทุกคนจำสูตรของเธอได้: "ผลรวมของกำลังสองของขา ... " แต่ใช่ว่าทุกคนจะทำได้

พูดและนี่คือ "กางเกง" ความจริงก็คือว่าในขั้นต้นพีทาโกรัสศึกษาความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อระบุรูปแบบในอัตราส่วนของด้านข้างของกำลังสองแล้ว เขาก็สามารถได้สูตรที่เราทุกคนรู้จัก สามารถใช้เมื่อไม่ทราบค่าของด้านใดด้านหนึ่ง

วิธีที่ 5. วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้สูตรของนกกระสา

นอกจากนี้ยังเป็นการคำนวณที่ค่อนข้างง่าย สูตรนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงออกของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของค่าตัวเลขของด้านของมัน สำหรับการคำนวณ คุณจำเป็นต้องรู้ขนาดของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม

S = (p-AC)*(p-BC) โดยที่ p = (AB+BC+AC)*0.5

นอกเหนือจากข้างต้นแล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ อีกมากมายในการค้นหาขนาดของบุคคลลึกลับเช่นสามเหลี่ยม ในหมู่พวกเขา: การคำนวณโดยวิธีการของวงกลมที่จารึกหรือล้อมรอบ, การคำนวณโดยใช้พิกัดของจุดยอด, การใช้เวกเตอร์, ค่าสัมบูรณ์, ไซน์, แทนเจนต์