ประการแรก ลูกบอลและทรงกลมถือเป็นรูปทรงเรขาคณิต และหากลูกบอลมีรูปทรงเรขาคณิต ทรงกลมก็คือพื้นผิวของลูกบอล ตัวเลขเหล่านี้เป็นที่สนใจเมื่อหลายพันปีก่อนคริสตศักราช

ต่อมา เมื่อค้นพบว่าโลกคือลูกบอลและท้องฟ้าเป็นทรงกลมบนท้องฟ้า ทิศทางใหม่ที่น่าสนใจในเรขาคณิตก็ได้รับการพัฒนาขึ้น - เรขาคณิตบนทรงกลมหรือเรขาคณิตทรงกลม ในการจะพูดถึงขนาดและปริมาตรของลูกบอล คุณต้องนิยามมันก่อน

ลูกบอล

ทรงกลมที่มีรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ในเรขาคณิตคือวัตถุที่ถูกสร้างขึ้นโดยทุกจุดในอวกาศซึ่งมีสมบัติร่วมกัน จุดเหล่านี้ตั้งอยู่ในระยะทางไม่เกินรัศมีของลูกบอลนั่นคือเติมพื้นที่ทั้งหมดน้อยกว่ารัศมีของลูกบอลในทุกทิศทางจากศูนย์กลาง หากเราพิจารณาเฉพาะจุดที่อยู่ห่างจากศูนย์กลางของลูกบอลเท่ากัน เราจะพิจารณาพื้นผิวหรือเปลือกของลูกบอล

ฉันจะรับลูกบอลได้อย่างไร? เราสามารถตัดวงกลมออกจากกระดาษแล้วเริ่มหมุนรอบเส้นผ่านศูนย์กลางของมันเอง นั่นคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจะเป็นแกนหมุน รูปร่างที่มีรูปร่างจะเป็นลูกบอล ดังนั้นลูกบอลจึงถูกเรียกว่าร่างกายแห่งการปฏิวัติ เพราะสามารถเกิดได้ด้วยการหมุนรูปแบน-วงกลม

ลองใช้เครื่องบินแล้วตัดลูกบอลของเราด้วย เหมือนเราผ่าส้มด้วยมีด ชิ้นที่เราตัดออกจากลูกบอลเรียกว่าส่วนทรงกลม

ในสมัยกรีกโบราณ พวกเขารู้วิธีไม่เพียงแต่ทำงานกับลูกบอลและทรงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรู้วิธีคำนวณพื้นที่ผิวของลูกบอลและปริมาตรของลูกบอลอีกด้วย

ทรงกลมเป็นอีกชื่อหนึ่งสำหรับพื้นผิวของลูกบอล ทรงกลมไม่ใช่วัตถุ แต่เป็นพื้นผิวของวัตถุแห่งการปฏิวัติ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากทั้งโลกและวัตถุจำนวนมากมีรูปร่างเป็นทรงกลม เช่น หยดน้ำ การศึกษาความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตภายในทรงกลมจึงแพร่หลายมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเชื่อมต่อจุดสองจุดของทรงกลมเข้าด้วยกันด้วยเส้นตรง เส้นตรงนี้จะเรียกว่าคอร์ด และถ้าคอร์ดนี้ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลมซึ่งตรงกับจุดศูนย์กลางของลูกบอล จากนั้นคอร์ดจะเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

หากเราวาดเส้นตรงที่แตะทรงกลมเพียงจุดเดียว เส้นนี้จะเรียกว่าเส้นสัมผัสกัน นอกจากนี้ สัมผัสกันของทรงกลม ณ จุดนี้ จะตั้งฉากกับรัศมีของทรงกลมที่ลากไปยังจุดที่สัมผัสกัน

ถ้าเราขยายคอร์ดเป็นเส้นตรงในทิศทางเดียวหรืออีกทิศทางหนึ่งจากทรงกลม คอร์ดนี้จะเรียกว่าซีแคนต์ หรือเราอาจพูดแตกต่างออกไป - เส้นตัดของทรงกลมประกอบด้วยคอร์ดของมัน

ปริมาณบอล

สูตรคำนวณปริมาตรของลูกบอลคือ:

โดยที่ R คือรัศมีของลูกบอล

หากคุณต้องการค้นหาปริมาตรของส่วนทรงกลม ให้ใช้สูตร:

V seg =πh 2 (R-h/3), h คือความสูงของส่วนทรงกลม

พื้นที่ผิวของลูกบอลหรือทรงกลม

วิธีคำนวณพื้นที่ของทรงกลมหรือพื้นที่ผิวของลูกบอล (เป็นสิ่งเดียวกัน):

โดยที่ R คือรัศมีของทรงกลม

อาร์คิมิดีสชื่นชอบลูกบอลและทรงกลมมาก เขาถึงกับขอให้ทิ้งภาพวาดไว้บนหลุมศพซึ่งมีลูกบอลสลักอยู่ในทรงกระบอก อาร์คิมิดีสเชื่อว่าปริมาตรของลูกบอลและพื้นผิวของมันเท่ากับสองในสามของปริมาตรและพื้นผิวของทรงกระบอกที่ลูกบอลถูกจารึกไว้”

ลูกบอลนี่คือตัวเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจากการหมุนของครึ่งวงกลมบนแกนของเส้นผ่านศูนย์กลาง

คำนวณปริมาตรของลูกบอล

ปริมาณบอลสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

R คือรัศมีของลูกบอล

V คือปริมาตรของลูกบอล

หาปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมีเป็นเซนติเมตร

ในการคำนวณปริมาตรของลูกบอล จะใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ปริมาตรที่ต้องการของลูกบอลคือ – คือรัศมี

ดังนั้น เมื่อมีรัศมีเป็นเซนติเมตร ปริมาตรของลูกบอลจึงเท่ากับ:

วี

3.14×103

= 4186,7

ลูกบาศก์เซนติเมตร

ในเรขาคณิต ลูกบอลถูกกำหนดให้เป็นวัตถุที่แน่นอนซึ่งเป็นการรวมจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางไม่เกินจุดที่กำหนดเรียกว่ารัศมีของลูกบอล

พื้นผิวของลูกบอลเรียกว่าทรงกลม และลูกบอลนั้นถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน โดยยังคงนิ่งอยู่

วิศวกรและสถาปนิกด้านการออกแบบมักพบกับรูปทรงเรขาคณิตนี้ซึ่งมักจะต้องเผชิญ คำนวณปริมาตรของทรงกลม- ตัวอย่างเช่นในการออกแบบระบบกันสะเทือนหน้าของรถยนต์สมัยใหม่ส่วนใหญ่เรียกว่าข้อต่อลูกซึ่งคุณสามารถเดาได้ง่ายจากชื่อนั้นลูกบอลเป็นหนึ่งในองค์ประกอบหลัก

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาจึงเชื่อมต่อฮับของล้อบังคับเลี้ยวและคันโยก ว่าจะถูกต้องแค่ไหน. คำนวณปริมาณส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความทนทานของหน่วยเหล่านี้และความถูกต้องของการทำงานเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความปลอดภัยในการจราจรด้วย

ในเทคโนโลยีชิ้นส่วนต่างๆ เช่น ตลับลูกปืนเม็ดกลมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ด้วยความช่วยเหลือในการยึดแกนเข้ากับชิ้นส่วนคงที่ของส่วนประกอบและชุดประกอบต่างๆ และรับประกันการหมุน

ควรสังเกตว่าเมื่อคำนวณนักออกแบบจำเป็นต้องค้นหาปริมาตรของลูกบอล (หรือมากกว่านั้นคือลูกบอลที่วางอยู่ในกรง) ด้วยความแม่นยำสูง ในส่วนของการผลิตลูกปืนโลหะนั้นผลิตจากลวดโลหะด้วยกระบวนการที่ซับซ้อนซึ่งรวมถึงขั้นตอนการขึ้นรูป การชุบแข็ง การบดหยาบ การตกแต่ง และการทำความสะอาด

อย่างไรก็ตาม ลูกบอลเหล่านั้นที่รวมอยู่ในการออกแบบปากกาลูกลื่นทั้งหมดนั้นผลิตขึ้นโดยใช้เทคโนโลยีเดียวกันทุกประการ

บ่อยครั้งที่มีการใช้ลูกบอลในสถาปัตยกรรมซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นองค์ประกอบตกแต่งอาคารและโครงสร้างอื่น ๆ

ในกรณีส่วนใหญ่ทำจากหินแกรนิตซึ่งมักต้องใช้แรงงานคนเป็นจำนวนมาก แน่นอนว่าในการผลิตลูกบอลเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องรักษาความแม่นยำสูงเช่นเดียวกับที่ใช้ในหน่วยและกลไกต่างๆ

เกมที่น่าสนใจและเป็นที่นิยมอย่างบิลเลียดเป็นสิ่งที่คิดไม่ถึงหากไม่มีลูกบอล สำหรับการผลิตจะใช้วัสดุต่างๆ (กระดูก, หิน, โลหะ, พลาสติก) และใช้กระบวนการทางเทคโนโลยีต่างๆ

ข้อกำหนดหลักประการหนึ่งสำหรับลูกบิลเลียดคือความแข็งแรงสูงและความสามารถในการทนต่อภาระทางกลสูง (โดยหลักคือแรงกระแทก) นอกจากนี้พื้นผิวจะต้องเป็นทรงกลมเพื่อให้แน่ใจว่าพื้นผิวโต๊ะพูลจะเรียบและสม่ำเสมอ

ท้ายที่สุดไม่มีต้นคริสต์มาสหรือต้นคริสต์มาสสักต้นเดียวที่สามารถทำได้หากไม่มีรูปทรงเรขาคณิตเช่นลูกบอล การตกแต่งเหล่านี้ในกรณีส่วนใหญ่ทำจากแก้วโดยใช้วิธีการเป่าและในการผลิตสิ่งที่สำคัญที่สุดนั้นไม่ได้ให้ความสำคัญกับความแม่นยำของมิติ แต่อยู่ที่ความสวยงามของผลิตภัณฑ์

กระบวนการทางเทคโนโลยีเกือบทั้งหมดเป็นแบบอัตโนมัติและลูกบอลคริสต์มาสจะถูกบรรจุด้วยตนเองเท่านั้น

ทรงกลมเป็นหนึ่งในวัตถุทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด โดยจุดทั้งหมดบนพื้นผิวอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของภาพเท่ากัน ระยะห่างจากศูนย์กลางของทรงกลมถึงจุดใดๆ บนพื้นผิวเรียกว่ารัศมี

ปริมาณบอล

เส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลเรียกว่ารัศมีสองเท่า

วิธีหาปริมาตรของทรงกลมรอบรัศมีของมัน

ถ้าเรารู้รัศมีของทรงกลม เราก็สามารถคำนวณขนาดของทรงกลมได้อย่างง่ายดาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณลูกบาศก์ด้วยรัศมีและจำนวนสี่เท่าของ Pi หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกหารด้วยสาม สูตรในการกำหนดปริมาตรของลูกบอลตามรัศมีมีดังนี้: .
สำหรับผู้ที่ลืมไปแล้วเราจำได้ว่า Pi เป็นค่าคงที่และเท่ากับ 3.14

วิธีหาปริมาตรของทรงกลมโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง

หากทราบเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมจากเงื่อนไขของปัญหา ปริมาตรของทรงกลมจะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้: นั่นคือ

ควรคูณจำนวน Pi ด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นผ่านศูนย์กลางจากนั้นผลลัพธ์จะถูกหารด้วย 6

วิธีกำหนดมวลของลูกบอล

มวลกายคือปริมาณทางกายภาพที่บ่งบอกถึงระดับความเฉื่อยของมัน มวลของร่างกายขึ้นอยู่กับปริมาตรของพื้นที่ว่างและความหนาแน่นของวัสดุที่ใช้ประกอบ ปริมาตรของรูปร่างปกติ (เช่น ตี) คำนวณได้ไม่ยาก และหากทราบวัสดุที่ใช้ทำด้วย เป็นกลุ่มมันได้รับอนุญาตให้เป็นแบบดั้งเดิมมาก

คำแนะนำ

อันดับแรกป้อนจำนวนเงิน ตี .

วิธีการคำนวณปริมาตรของลูกบอล

ในการดำเนินการนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งของคุณ เช่น รัศมี เส้นผ่านศูนย์กลาง พื้นผิว ฯลฯ บอกฉันว่าคุณทราบเส้นผ่านศูนย์กลางหรือไม่ ตี(d) อนุญาตให้กำหนดปริมาตร (V) เป็นหนึ่งในหกของผลิตภัณฑ์โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางเพิ่มขึ้นเป็นลูกบาศก์โดยมีหมายเลข Pi: ​​V = π * d? / 6. ผ่านรัศมี ตี(r) ปริมาตรแสดงเป็นหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของ Pi ซึ่งเพิ่มเป็นสี่เท่าโดยมีรัศมีอยู่ในลูกบาศก์: V = 4 * π * r? / 3.

ที่สองนับ เป็นกลุ่มตี(m) คูณปริมาตรด้วยความหนาแน่นอันงดงามของสสาร (p): m = p * V

ถ้าเป็นวัสดุนี้ ตีไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เราก็จะต้องหาความหนาแน่นเฉลี่ย ในสูตรนี้เราแทนที่ปริมาตร ตีผ่านพารามิเตอร์ที่ทราบจึงอนุญาตให้ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางที่ทราบได้ ตีสูตร m = p * π * d? / 6 และสำหรับรัศมีหลัก m = p * 4 * π * r? / 3.

ที่สามใช้สำหรับการคำนวณ เช่น ซอฟต์แวร์เครื่องคิดเลขทั่วไปที่มาพร้อมกับระบบปฏิบัติการ Windows พื้นฐาน รุ่นแรงๆ ใดๆ ที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเริ่มต้นคือการกด win + r เพื่อเปิดกล่องโต้ตอบทั่วไปเพื่อรันโปรแกรม จากนั้นพิมพ์คำสั่ง calc แล้วคลิกตกลง

ในเมนู "เครื่องคิดเลข" ให้ขยายส่วน "มุมมอง" และเลือกบรรทัด "วิศวกร" หรือ "นักวิทยาศาสตร์" (ขึ้นอยู่กับเวอร์ชันระบบปฏิบัติการที่คุณใช้) - อินเทอร์เฟซของโหมดนี้มีปุ่มสำหรับป้อนหมายเลข Pi ด้วยปุ่มเดียว คลิก. การดำเนินการของการคูณและการหารในเครื่องคิดเลขนี้ไม่จำเป็นต้องตั้งคำถาม แต่จะถูกกำหนดเมื่อคำนวณมวล ตีจะมีปุ่มหลายปุ่มที่มีสัญลักษณ์ x^2 และ x^3

การออกแบบน้ำและสุขาภิบาล

อีเมล: [ป้องกันอีเมล]

เวลาทำงาน: จันทร์-ศุกร์ 9-00 ถึง 18-00 (ไม่รวมอาหารกลางวัน)

การคำนวณปริมาตรของทรงกลมโดยใช้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง

ทรงกลมคือวัตถุทรงเรขาคณิตที่รวบรวมจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางระยะหนึ่ง

วิธีการคำนวณปริมาตรของลูกบอล

ลักษณะทางคณิตศาสตร์หลักของลูกบอลคือรัศมี

จำนวนลูกบอลเป็นคุณลักษณะเชิงปริมาณของจำนวนนี้ในจักรวาล

สูตรคำนวณปริมาตรของลูกบอล:

วี = 4/3 * π * ร 3

วี = 1/6 * π * ง 3

r คือรัศมีของทรงกลม
d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

ดูบทความเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมด (เชิงเส้น 1D, 2D แบน และ 3D 3D)

หน้านี้เป็นเครื่องคิดเลขบนเว็บที่ง่ายที่สุดในการคำนวณปริมาตรของทรงกลมตามรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง

ร่างกายจำนวนมากที่เราพบเจอในชีวิตหรือที่เราเคยได้ยินมานั้นมีรูปร่างเป็นทรงกลม เช่น ลูกฟุตบอล หยดน้ำที่ตกลงมาระหว่างฝนตก หรือดาวเคราะห์ของเรา ในเรื่องนี้ การพิจารณาคำถามว่าจะหาปริมาตรของทรงกลมได้อย่างไร

รูปร่างลูกบอลในเรขาคณิต

ก่อนจะตอบคำถามเรื่องบอลเรามาดูร่างกายนี้ให้ละเอียดก่อน บางคนสับสนกับทรงกลม ภายนอกพวกมันคล้ายกันมาก แต่ลูกบอลคือวัตถุที่บรรจุอยู่ภายใน ในขณะที่ทรงกลมเป็นเพียงเปลือกนอกของลูกบอลที่มีความหนาเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

จากมุมมองของเรขาคณิต ลูกบอลสามารถแสดงได้ด้วยจุดต่างๆ รวมกัน และจุดที่อยู่บนพื้นผิว (ซึ่งก่อตัวเป็นทรงกลม) อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลางของรูป ระยะนี้เรียกว่ารัศมี ที่จริงแล้ว รัศมีเป็นพารามิเตอร์เดียวที่สามารถใช้เพื่ออธิบายคุณสมบัติใดๆ ของลูกบอล เช่น พื้นที่ผิวหรือปริมาตร

รูปภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างลูกบอล

หากคุณมองดูวัตถุทรงกลมที่สมบูรณ์แบบนี้อย่างใกล้ชิด คุณสามารถเดาได้ว่าจะได้มันมาจากวงกลมธรรมดาได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะหมุนรูปร่างแบนนี้รอบแกนที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน

หนึ่งในแหล่งวรรณกรรมโบราณที่มีชื่อเสียงซึ่งกล่าวถึงคุณสมบัติของภาพสามมิตินี้ในรายละเอียดที่เพียงพอคือผลงานของนักปรัชญาชาวกรีก Euclid - "องค์ประกอบ"

พื้นที่ผิวและปริมาตร

เมื่อพิจารณาถึงคำถามว่าจะหาปริมาตรของลูกบอลได้อย่างไร นอกเหนือจากค่านี้แล้ว ควรให้สูตรสำหรับพื้นที่ของมันด้วย เนื่องจากทั้งสองนิพจน์สามารถเชื่อมโยงกันได้ตามที่แสดงด้านล่าง

ดังนั้น ในการคำนวณปริมาตรของลูกบอล คุณควรใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสองสูตรต่อไปนี้:

• วี = 4/3 *พาย * R3;
• วี = 67/16 * R3

โดยที่ R คือรัศมีของรูป สูตรแรกที่ให้มานั้นแม่นยำ แต่เพื่อใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ คุณต้องใช้จำนวนตำแหน่งทศนิยมที่เหมาะสมสำหรับพาย นิพจน์ที่สองให้ผลลัพธ์ค่อนข้างดี แตกต่างจากนิพจน์แรกเพียง 0.03% สำหรับงานภาคปฏิบัติจำนวนหนึ่ง ความแม่นยำนี้ก็เกินพอแล้ว

เท่ากับค่านี้สำหรับทรงกลม กล่าวคือ แสดงโดยสูตร S = 4 * pi * R2 หากเราแสดงรัศมีจากตรงนี้แล้วแทนลงในสูตรแรกสำหรับปริมาตร เราจะได้: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * ปี่))

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาปริมาตรของลูกบอลผ่านรัศมีและพื้นที่ผิวของมัน สำนวนเหล่านี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้สำเร็จ ต่อไปในบทความเราจะยกตัวอย่างการใช้งาน

ปัญหาน้ำฝน

น้ำเมื่ออยู่ในสภาพไร้น้ำหนักจะอยู่ในรูปของหยดทรงกลม นี่เป็นเพราะการมีแรงตึงผิวซึ่งมีแนวโน้มที่จะลดพื้นที่ผิวให้เหลือน้อยที่สุด ในทางกลับกัน ลูกบอลจะมีค่าต่ำสุดในบรรดารูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดที่มีมวลเท่ากัน

ในช่วงที่มีฝนตก หยดน้ำที่ตกลงมาจะอยู่ในสภาพไร้น้ำหนัก ดังนั้นรูปร่างของมันจึงเป็นทรงกลม (ในที่นี้เราละเลยแรงต้านทานอากาศ) จำเป็นต้องกำหนดปริมาตร พื้นที่ผิว และรัศมีของหยดนี้ หากทราบว่ามีมวล 0.05 กรัม

ปริมาตรนั้นง่ายต่อการระบุ โดยหารมวลที่ทราบด้วยความหนาแน่นของ H 2 O (ρ = 1 กรัม/ซม. 3) จากนั้น V = 0.05 / 1 = 0.05 ซม. 3

เมื่อรู้วิธีหาปริมาตรของลูกบอล เราควรแสดงรัศมีจากสูตรและแทนค่าผลลัพธ์ที่ได้: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4 * 3.1416)) = 0.2285 ซม.

ตอนนี้เราแทนค่ารัศมีเป็นนิพจน์สำหรับพื้นที่ผิวของรูปเราได้: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 ซม. 2

ดังนั้นเมื่อรู้วิธีหาปริมาตรของลูกบอล เราได้รับคำตอบสำหรับคำถามทั้งหมดของปัญหา: R = 2.285 มม., S = 0.6561 ซม. 2 และ V = 0.05 ซม. 3

ก่อนที่คุณจะเริ่มศึกษาแนวคิดของลูกบอล ปริมาตรของลูกบอลคืออะไร และพิจารณาสูตรในการคำนวณพารามิเตอร์ของมัน คุณต้องจำแนวคิดของวงกลมที่ศึกษาไว้ก่อนหน้านี้ในหลักสูตรเรขาคณิต ท้ายที่สุดแล้ว การกระทำส่วนใหญ่ในพื้นที่สามมิติจะคล้ายกันหรือตามมาจากเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งปรับตามลักษณะของพิกัดที่สามและระดับที่สาม

วงกลมคืออะไร?

วงกลมคือรูปร่างบนระนาบคาร์ทีเซียน (แสดงในรูปที่ 1) คำนิยามส่วนใหญ่มักฟังดูเหมือน “ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดทั้งหมดบนระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่กำหนด (ศูนย์กลาง) ไม่เกินจำนวนจำนวนที่ไม่เป็นลบที่เรียกว่ารัศมี”

ดังที่เราเห็นจากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของรูป และเซตของจุดทุกจุดที่อยู่เต็มวงกลม เช่น A, B, C, K, E จะอยู่ไม่ไกลเกินรัศมีที่กำหนด (อย่าไปเกินวงกลมที่แสดงในรูปที่ .2)

ถ้ารัศมีเป็นศูนย์ วงกลมจะเปลี่ยนเป็นจุด

ปัญหาเกี่ยวกับความเข้าใจ

นักเรียนมักสับสนแนวคิดเหล่านี้ ง่ายต่อการจดจำด้วยการเปรียบเทียบ ห่วงที่เด็กๆ หมุนในบทเรียนพลศึกษาจะเป็นวงกลม เมื่อเข้าใจสิ่งนี้หรือจำไว้ว่าตัวอักษรตัวแรกของทั้งสองคำคือ "O" เด็ก ๆ จะเข้าใจความแตกต่างโดยจำได้

การแนะนำแนวคิดของ "ลูกบอล"

ลูกบอลคือร่างกาย (รูปที่ 3) ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกลมบางอัน "พื้นผิวทรงกลม" อะไรจะชัดเจนจากคำจำกัดความ: นี่คือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดทั้งหมดบนพื้นผิว ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่กำหนด (ศูนย์กลาง) ไม่เกินจำนวนที่ไม่เป็นลบที่เรียกว่ารัศมี อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของวงกลมและพื้นผิวทรงกลมนั้นคล้ายกัน มีเพียงช่องว่างที่พวกมันตั้งอยู่เท่านั้นที่แตกต่างกัน ถ้าเราพรรณนาลูกบอลในอวกาศสองมิติ เราจะได้วงกลมที่มีขอบเขตเป็นวงกลม (ขอบเขตของลูกบอลคือพื้นผิวทรงกลม) ในรูปเราเห็นพื้นผิวทรงกลมที่มีรัศมี OA = OB

บอลปิดและเปิด

ในปริภูมิเวกเตอร์และเมตริก จะมีการพิจารณาแนวคิดสองประการที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวทรงกลมด้วย ถ้าลูกบอลมีทรงกลมนี้อยู่ด้วย เรียกว่าปิด แต่ถ้าไม่มี แสดงว่าลูกบอลเปิดอยู่ แนวคิดเหล่านี้เป็นแนวคิด "ขั้นสูง" มากกว่า ซึ่งมีการศึกษาในสถาบันซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของบทนำสู่การวิเคราะห์ สำหรับการใช้งานที่เรียบง่ายแม้กระทั่งทุกวัน สูตรที่ศึกษาในหลักสูตร Stereometry สำหรับเกรด 10-11 ก็เพียงพอแล้ว เป็นแนวคิดเหล่านี้ที่สามารถเข้าถึงได้โดยผู้มีการศึกษาโดยเฉลี่ยเกือบทุกคนซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป

แนวคิดที่คุณต้องรู้สำหรับการคำนวณต่อไปนี้

รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง

รัศมีของลูกบอลและเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับวงกลม

รัศมีเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดใดๆ บนขอบเขตของลูกบอลกับจุดที่เป็นศูนย์กลางของลูกบอล

เส้นผ่านศูนย์กลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนขอบเขตของลูกบอลและผ่านจุดศูนย์กลาง รูปที่ 5a แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าส่วนใดเป็นรัศมีของลูกบอล และรูปที่ 5b แสดงเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม (ส่วนที่ผ่านจุด O)

ส่วนในทรงกลม (ลูกบอล)

ส่วนใดๆ ของทรงกลมก็คือวงกลม ถ้ามันผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอลจะเรียกว่าวงกลมใหญ่ (วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB) ส่วนที่เหลือจะเรียกว่าวงกลมเล็ก (วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง DC)

พื้นที่ของวงกลมเหล่านี้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ S คือการกำหนดพื้นที่ R คือรัศมี D คือเส้นผ่านศูนย์กลาง นอกจากนี้ยังมีค่าคงที่เท่ากับ 3.14 แต่อย่าสับสนว่าในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมใหญ่นั้นจะใช้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล (ทรงกลม) และเพื่อกำหนดพื้นที่นั้นจำเป็นต้องมีขนาดของรัศมีของวงกลมเล็ก

สามารถวาดส่วนดังกล่าวจำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดสองจุดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันซึ่งวางอยู่บนขอบเขตของลูกบอลได้ ตัวอย่างเช่น ดาวเคราะห์ของเรา: สองจุดที่ขั้วโลกเหนือและใต้ซึ่งเป็นปลายแกนโลกและในแง่เรขาคณิตคือปลายเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นเมอริเดียนที่ผ่านสองจุดนี้ (รูปที่ 7) . นั่นคือจำนวนวงกลมขนาดใหญ่บนทรงกลมมีแนวโน้มเป็นอนันต์

ชิ้นส่วนลูก

หากคุณตัด "ชิ้นส่วน" ออกจากทรงกลมโดยใช้ระนาบที่แน่นอน (รูปที่ 8) มันจะเรียกว่าส่วนทรงกลมหรือทรงกลม จะมีความสูง - ตั้งฉากจากศูนย์กลางของระนาบการตัดถึงพื้นผิวทรงกลม O 1 K จุด K บนพื้นผิวทรงกลมที่มีความสูงมาเรียกว่าจุดยอดของส่วนทรงกลม และวงกลมเล็กๆ ที่มีรัศมี O 1 T (ในกรณีนี้ ตามรูป เครื่องบินไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม แต่ถ้าหน้าตัดผ่านจุดศูนย์กลาง วงกลมหน้าตัดจะเป็น ใหญ่) ซึ่งเกิดขึ้นจากการตัดส่วนทรงกลมออกจะเรียกว่าฐานของชิ้นส่วนลูกบอลของเรา - ส่วนทรงกลม

หากเราเชื่อมต่อจุดฐานแต่ละจุดของส่วนที่เป็นทรงกลมเข้ากับศูนย์กลางของทรงกลม เราจะได้ตัวเลขที่เรียกว่า "ส่วนที่เป็นทรงกลม"

หากระนาบสองระนาบผ่านทรงกลมและขนานกัน ส่วนหนึ่งของทรงกลมที่ปิดอยู่ระหว่างระนาบทั้งสองจะเรียกว่าชั้นทรงกลม (รูปที่ 9 ซึ่งแสดงทรงกลมที่มีระนาบสองระนาบและมีชั้นทรงกลมแยกกัน)

พื้นผิว (ส่วนที่ไฮไลต์ในรูปที่ 9 ทางด้านขวา) ของส่วนนี้ของทรงกลมเรียกว่าเข็มขัด (อีกครั้งเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นสามารถเปรียบเทียบกับลูกโลกได้กล่าวคือเขตภูมิอากาศ - อาร์กติกเขตร้อนเขตอบอุ่น ฯลฯ) และวงกลมส่วนจะเป็นฐานชั้นทรงกลม ความสูงของชั้นเป็นส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางที่วาดตั้งฉากกับระนาบการตัดจากศูนย์กลางของฐาน นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องทรงกลมอีกด้วย มันเกิดขึ้นเมื่อเครื่องบินที่ขนานกันไม่ตัดกันทรงกลม แต่สัมผัสกันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สูตรคำนวณปริมาตรของลูกบอลและพื้นที่ผิว

ลูกบอลเกิดขึ้นจากการหมุนรอบเส้นผ่านศูนย์กลางคงที่ของครึ่งวงกลมหรือวงกลม ในการคำนวณพารามิเตอร์ต่างๆ ของวัตถุที่กำหนด ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลมากนัก

ปริมาตรของทรงกลมซึ่งเป็นสูตรการคำนวณที่ให้ไว้ข้างต้นได้มาจากการรวมเข้าด้วยกัน ลองคิดออกทีละจุด

เราพิจารณาวงกลมในระนาบสองมิติ เนื่องจากดังที่กล่าวไว้ข้างต้น มันเป็นวงกลมที่รองรับโครงสร้างของลูกบอล เราใช้เฉพาะส่วนที่สี่เท่านั้น (รูปที่ 10)

เราใช้วงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยและมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด สมการของวงกลมดังกล่าวมีดังนี้ X 2 + Y 2 = R 2 เราแสดง Y จากที่นี่: Y 2 = R 2 - X 2

โปรดทราบว่าฟังก์ชันผลลัพธ์ไม่เป็นลบ ต่อเนื่องและลดลงในส่วน X (0; R) เนื่องจากค่าของ X ในกรณีที่เราพิจารณาหนึ่งในสี่ของวงกลมนั้นมีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงค่าของ รัศมีนั่นคือถึงหนึ่ง

สิ่งต่อไปที่เราทำคือหมุนวงกลมหนึ่งในสี่รอบแกน x เป็นผลให้เราได้ซีกโลก เพื่อกำหนดปริมาณเราจะใช้วิธีการรวมเข้าด้วยกัน

เนื่องจากนี่คือปริมาตรของซีกโลกเท่านั้น เราจึงได้ผลลัพธ์เป็นสองเท่า ซึ่งเราพบว่าปริมาตรของลูกบอลเท่ากับ:

ความแตกต่างเล็กน้อย

หากคุณต้องการคำนวณปริมาตรของลูกบอลผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง โปรดจำไว้ว่ารัศมีคือครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง และแทนค่านี้ลงในสูตรด้านบน

คุณยังสามารถเข้าถึงสูตรสำหรับปริมาตรของลูกบอลผ่านพื้นที่ของพื้นผิวที่เป็นขอบ - ทรงกลม ให้เราจำไว้ว่าพื้นที่ของทรงกลมคำนวณโดยสูตร S = 4πr 2 ซึ่งเรามาถึงสูตรข้างต้นสำหรับปริมาตรของทรงกลมด้วย จากสูตรเดียวกัน คุณสามารถแสดงรัศมีได้หากข้อความปัญหามีค่าปริมาตร

ลูกบอลคือรูปร่างทางเรขาคณิตของการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมหรือครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน นอกจากนี้ ลูกบอลยังเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกลม มีวัตถุทรงกลมจริงจำนวนมากและปัญหาที่เกี่ยวข้องซึ่งจำเป็นต้องระบุปริมาตรของทรงกลม

ลูกบอลและทรงกลม

วงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เก่าแก่ที่สุด และนักวิทยาศาสตร์โบราณได้ให้ความหมายอันศักดิ์สิทธิ์แก่มัน วงกลมเป็นสัญลักษณ์ของเวลาและพื้นที่อันไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาลและการดำรงอยู่ จากข้อมูลของพีทาโกรัส วงกลมเป็นรูปร่างที่สวยที่สุด ในพื้นที่สามมิติ วงกลมจะกลายเป็นทรงกลมตามอุดมคติ จักรวาล และสวยงามราวกับวงกลม

Sphere แปลว่า "ลูกบอล" ในภาษากรีกโบราณ ทรงกลมคือพื้นผิวที่เกิดจากจุดจำนวนอนันต์ซึ่งมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของรูปนั้นเท่ากัน พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมคือลูกบอล ลูกบอลเป็นรูปทรงเรขาคณิตในอุดมคติ ซึ่งเป็นรูปร่างของวัตถุจริงจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น ในชีวิตจริง ลูกปืนใหญ่ ตลับลูกปืน หรือลูกบอลมีรูปร่างเหมือนลูกบอล โดยธรรมชาติแล้วจะเป็นหยดน้ำ มงกุฎต้นไม้หรือผลเบอร์รี่ ในอวกาศ - ดวงดาว ดาวตก หรือดาวเคราะห์

ปริมาณบอล

การกำหนดปริมาตรของรูปทรงกลมนั้นเป็นงานที่ยากเนื่องจากรูปร่างทางเรขาคณิตดังกล่าวไม่สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์หรือปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นสูตรปริมาตรที่ทราบอยู่แล้ว วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณปริมาตรของลูกบอลโดยใช้อินทิกรัลจำกัด แต่สูตรปริมาตรได้มาอย่างไรในสมัยกรีกโบราณ ในเมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเรื่องอินทิกรัลมาก่อน อาร์คิมิดีสคำนวณปริมาตรของทรงกลมโดยใช้กรวยและทรงกระบอก เนื่องจากสูตรสำหรับปริมาตรของตัวเลขเหล่านี้ถูกกำหนดโดยนักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักคณิตศาสตร์เดโมคริตุส

อาร์คิมิดีสแทนทรงกลมครึ่งหนึ่งโดยใช้กรวยและทรงกระบอกที่เหมือนกัน โดยมีรัศมีของแต่ละรูปเท่ากับความสูง R = h นักวิทยาศาสตร์โบราณจินตนาการว่ากรวยและทรงกระบอกถูกแบ่งออกเป็นทรงกระบอกขนาดเล็กจำนวนอนันต์ อาร์คิมิดีสตระหนักว่าถ้าเขาลบปริมาตรของกรวย Vk ออกจากปริมาตรของทรงกระบอก Vc เขาได้ปริมาตรของซีกโลกหนึ่ง Vsh:

0.5 Vsh = Vc - Vk

ปริมาตรของกรวยคำนวณโดยใช้สูตรง่ายๆ:

Vk = 1/3 × ดังนั้น × h

แต่เมื่อรู้ว่า ดังนั้นในกรณีนี้คือพื้นที่ของวงกลม และ h = R สูตรจึงแปลงเป็น:

Vk = 1/3 × ไพ × R × R 2 = 1/3 ไพ ​​× R 3

ปริมาตรของกระบอกสูบคำนวณโดยสูตร:

วีซี = พาย × ร 2 ×ส

แต่สมมติว่าความสูงของทรงกระบอกเท่ากับรัศมี เราจะได้:

วีซี = พาย × ร 3 .

เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ Archimedes ได้รับ:

0.5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 หรือ Vsh = 4/3 pi × R 3

คำจำกัดความสมัยใหม่ของสูตรปริมาตรของลูกบอลนั้นได้มาจากอินทิกรัลของพื้นที่ผิวทรงกลม แต่ผลลัพธ์ยังคงเหมือนเดิม

Vsh = 4/3 ไพ ​​× R 3

อาจจำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของลูกบอลทั้งในชีวิตจริงและเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงนามธรรม ในการคำนวณปริมาตรของทรงกลมโดยใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ คุณจะต้องรู้พารามิเตอร์เดียวเท่านั้นที่สามารถเลือกได้: เส้นผ่านศูนย์กลางหรือรัศมีของทรงกลม ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างจากชีวิต

ลูกปืนใหญ่

สมมติว่าคุณต้องการทราบว่าต้องใช้เหล็กหล่อเท่าใดในการหล่อลูกกระสุนปืนใหญ่ขนาด 6 ฟุต คุณรู้ไหมว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของแกนดังกล่าวคือ 9.6 เซนติเมตร ใส่ตัวเลขนี้ลงในเซลล์ "เส้นผ่านศูนย์กลาง" ของเครื่องคิดเลข แล้วคุณจะได้รับคำตอบดังนี้

ดังนั้น ในการหลอมลูกกระสุนปืนใหญ่ที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางที่กำหนด คุณจะต้องใช้เหล็กหล่อ 463 ลูกบาศก์เซนติเมตร หรือ 0.463 ลิตร

ลูกโป่ง

ขอให้คุณสงสัยว่าต้องใช้อากาศมากแค่ไหนในการพองบอลลูนให้เป็นรูปทรงทรงกลมที่สมบูรณ์แบบ คุณรู้ว่ารัศมีของลูกบอลที่เลือกคือ 10 ซม. ป้อนค่านี้ลงในเซลล์เครื่องคิดเลข "รัศมี" แล้วคุณจะได้ผลลัพธ์

ซึ่งหมายความว่าในการพองบอลลูนหนึ่งลูกคุณจะต้องมีอากาศ 4,188 ลูกบาศก์เซนติเมตรหรือ 4.18 ลิตร

บทสรุป

ความจำเป็นในการกำหนดปริมาตรของลูกบอลสามารถเกิดขึ้นได้ในหลายสถานการณ์: ตั้งแต่ปัญหาเชิงนามธรรมของโรงเรียนไปจนถึงปัญหาการวิจัยทางวิทยาศาสตร์และการผลิต หากต้องการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน ให้ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่แน่นอนและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นแก่คุณทันที