หนึ่งในหัวข้อที่น่าสนใจที่สุดในวิชาเรขาคณิตจากหลักสูตรของโรงเรียนคือ "รูปสี่เหลี่ยม" (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) ตัวเลขดังกล่าวมีประเภทใดบ้าง มีคุณสมบัติพิเศษอะไรบ้าง? อะไรพิเศษเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมเก้าสิบองศา? ลองคิดดูสิ

รูปทรงเรขาคณิตใดเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยม?

รูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสี่ด้านและจุดยอด (มุม) สี่จุดจึงเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมในเรขาคณิตแบบยุคลิด

ประวัติความเป็นมาของชื่อบุคคลประเภทนี้มีความน่าสนใจ ในภาษารัสเซียคำนาม "รูปสี่เหลี่ยม" ถูกสร้างขึ้นจากวลี "สี่มุม" (เช่นเดียวกับ "สามเหลี่ยม" - สามมุม "ห้าเหลี่ยม" - ห้ามุม ฯลฯ )

อย่างไรก็ตามในภาษาละติน (ซึ่งคำศัพท์ทางเรขาคณิตหลายคำมาสู่ภาษาส่วนใหญ่ของโลก) เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คำนี้ประกอบขึ้นจากเลขควอดรี (สี่) และคำนามลาตุส (ด้านข้าง) ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าคนโบราณเรียกรูปหลายเหลี่ยมนี้ว่า "รูปสี่เหลี่ยม" เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม ชื่อนี้ (โดยเน้นที่การมีสี่ด้านแทนที่จะเป็นมุมในรูปประเภทนี้) ได้รับการเก็บรักษาไว้ในภาษาสมัยใหม่บางภาษา ตัวอย่างเช่นในภาษาอังกฤษ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและภาษาฝรั่งเศส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

นอกจากนี้ ในภาษาสลาฟส่วนใหญ่ ประเภทของตัวเลขที่เป็นปัญหายังคงระบุด้วยจำนวนมุม ไม่ใช่ด้าน ตัวอย่างเช่น ในภาษาสโลวัก (štvoruholník) ในภาษาบัลแกเรีย ("chetirigalnik") ในภาษาเบลารุส ("chatyrokhkutnik") ในภาษายูเครน ("chotirikutnik") ในภาษาเช็ก (čtyřúhelník) แต่ในภาษาโปแลนด์ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเรียกตามจำนวน ข้าง - czworoboczny

หลักสูตรของโรงเรียนมีการศึกษารูปสี่เหลี่ยมประเภทใดบ้าง?

ในเรขาคณิตสมัยใหม่ มีรูปหลายเหลี่ยม 4 ประเภทที่มีสี่ด้าน

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากคุณสมบัติบางอย่างที่ซับซ้อนมากเกินไป เด็กนักเรียนจึงได้เรียนบทเรียนเรขาคณิตเพียงสองประเภทเท่านั้น

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน.ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าวจะขนานกันเป็นคู่ๆ ดังนั้นจึงมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ด้วย
• สี่เหลี่ยมคางหมู (สี่เหลี่ยมคางหมูหรือสี่เหลี่ยมคางหมู)รูปสี่เหลี่ยมนี้ประกอบด้วยด้านตรงข้ามสองด้านขนานกัน อย่างไรก็ตามอีกคู่หนึ่งไม่มีคุณสมบัตินี้

ประเภทของรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ได้เรียนในวิชาเรขาคณิตของโรงเรียน

นอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้น ยังมีรูปสี่เหลี่ยมอีกสองประเภทที่เด็กนักเรียนไม่ได้รู้จักในบทเรียนเรขาคณิตเนื่องจากมีความซับซ้อนเป็นพิเศษ

• เดลทอยด์ (ว่าว)- ภาพที่ด้านประชิดแต่ละคู่มีความยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้มีชื่อเนื่องจากรูปร่างหน้าตาค่อนข้างคล้ายกับตัวอักษรของอักษรกรีก - "เดลต้า"
• สี่เหลี่ยมด้านขนาน- ตัวเลขนี้ซับซ้อนพอ ๆ กับชื่อของมัน ในนั้นมีด้านตรงข้ามสองด้านเท่ากัน แต่ในขณะเดียวกันก็ไม่ขนานกัน นอกจากนี้ ด้านตรงข้ามที่ยาวของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้จะตัดกัน เช่นเดียวกับส่วนขยายของอีกสองด้านที่สั้นกว่า

ประเภทของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เมื่อจัดการกับรูปสี่เหลี่ยมประเภทหลักแล้วมันก็คุ้มค่าที่จะให้ความสนใจกับประเภทย่อยของมัน ดังนั้น สี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจึงถูกแบ่งออกเป็นสี่กลุ่มด้วย

• สี่เหลี่ยมด้านขนานแบบคลาสสิก
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน- รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก โดยแบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดเท่ากันสี่รูป
• สี่เหลี่ยมผืนผ้า.ชื่อพูดเพื่อตัวเอง เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมฉาก (แต่ละอันมีค่าเท่ากับเก้าสิบองศา) ด้านตรงข้ามไม่เพียงแต่ขนานกันเท่านั้น แต่ยังเท่ากันอีกด้วย
• สี่เหลี่ยม.เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า มันเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมฉาก แต่ทุกด้านเท่ากัน ด้วยวิธีนี้ รูปนี้จึงอยู่ใกล้กับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ดังนั้นเราจึงบอกได้ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือลูกผสมระหว่างสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส

คุณสมบัติพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อพิจารณาตัวเลขที่แต่ละมุมระหว่างด้านข้างมีค่าเท่ากับเก้าสิบองศา ควรพิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้ละเอียดยิ่งขึ้น แล้วมันมีคุณสมบัติพิเศษอะไรที่ทำให้แตกต่างจากสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นๆ?

ในการอ้างว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นทแยงมุมของมันจะต้องมีขนาดเท่ากัน และแต่ละมุมจะต้องเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ กำลังสองของเส้นทแยงมุมต้องสอดคล้องกับผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกันสองด้านของรูปนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สี่เหลี่ยมผืนผ้าคลาสสิกประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป และดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นทำหน้าที่เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติสุดท้ายที่ระบุไว้ของตัวเลขนี้ก็เป็นคุณสมบัติพิเศษเช่นกัน นอกจากนี้ยังมีคนอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ความจริงที่ว่าทุกด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ศึกษาด้วยมุมฉากก็มีความสูงเช่นกัน

นอกจากนี้ หากมีการวาดวงกลมรอบสี่เหลี่ยมใดๆ เส้นผ่านศูนย์กลางของมันจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของรูปที่เขียนไว้

คุณสมบัติอื่นๆ ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ มีลักษณะแบนและไม่มีอยู่ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในระบบดังกล่าวไม่มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสผลรวมของมุมซึ่งเท่ากับสามร้อยหกสิบองศา

สแควร์และคุณสมบัติของมัน

เมื่อเข้าใจเครื่องหมายและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วจึงควรให้ความสนใจกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่สองที่วิทยาศาสตร์รู้จักด้วยมุมฉาก (นี่คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ที่จริงแล้วเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกัน แต่มีด้านเท่ากัน รูปนี้จึงมีคุณสมบัติครบถ้วน แต่ต่างจากมันตรงที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นมีอยู่ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

นอกจากนี้ตัวเลขนี้ยังมีคุณลักษณะเด่นอื่น ๆ ของตัวเองอีกด้วย ตัวอย่างเช่น ความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เพียงเท่ากันเท่านั้น แต่ยังตัดกันเป็นมุมฉากด้วย ดังนั้น เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมจตุรัสประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อัน โดยมีเส้นทแยงมุมมาแบ่งออก

นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ยังมีความสมมาตรมากที่สุดในบรรดารูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมคืออะไร?

เมื่อพิจารณาถึงคุณลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของเรขาคณิตแบบยุคลิด ควรให้ความสนใจกับมุมของพวกมัน

ดังนั้นในแต่ละรูปข้างต้น ไม่ว่าจะมีมุมฉากหรือไม่ ผลรวมของมันจะเท่ากันเสมอ - สามร้อยหกสิบองศา นี่เป็นคุณลักษณะเด่นเฉพาะของรูปประเภทนี้

เส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยม

เมื่อทราบว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับเท่าใดและคุณสมบัติพิเศษอื่นๆ ของตัวเลขประเภทนี้ จึงควรค่าแก่การค้นหาว่าสูตรใดดีที่สุดในการคำนวณปริมณฑลและพื้นที่

ในการหาเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ คุณเพียงแค่ต้องบวกความยาวของด้านทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างเช่นในรูป KLMN สามารถคำนวณปริมณฑลได้โดยใช้สูตร: P = KL + LM + MN + KN หากคุณแทนที่ตัวเลขตรงนี้ คุณจะได้: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (ซม.)

ในกรณีที่รูปที่ต้องการเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากต้องการหาเส้นรอบวง คุณสามารถจัดสูตรให้ง่ายขึ้นโดยคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยสี่: P = KL x 4 ตัวอย่างเช่น: 6 x 4 = 24 (ซม.)

สูตรรูปสี่เหลี่ยมกับพื้นที่

เมื่อทราบวิธีค้นหาเส้นรอบวงของรูปใด ๆ ที่มีมุมทั้งสี่ด้านและด้านข้างแล้ว ก็ควรพิจารณาวิธีหาพื้นที่ที่ได้รับความนิยมและง่ายที่สุด

คุณสมบัติอื่นของรูปสี่เหลี่ยม: วงกลมและวงกลม

เมื่อพิจารณาถึงคุณสมบัติและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในรูปของเรขาคณิตแบบยุคลิดแล้ว ควรให้ความสนใจกับความสามารถในการอธิบายวงกลมรอบ ๆ หรือจารึกวงกลมไว้ข้างใน:

• ถ้าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปคือหนึ่งร้อยแปดสิบองศาและเท่ากันเป็นคู่ ก็จะสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมนั้นได้อย่างอิสระ
• ตามทฤษฎีบทของปโตเลมี ถ้าวงกลมถูกจำกัดขอบเขตไว้ด้านนอกรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ด้าน ผลคูณของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของด้านตรงข้ามของรูปที่กำหนด ดังนั้น สูตรจะมีลักษณะดังนี้: KM x LN = KL x MN + LM x KN
• หากคุณสร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยให้ผลรวมของด้านตรงข้ามเท่ากัน คุณสามารถเขียนวงกลมลงไปได้

เมื่อทราบว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคืออะไรมีประเภทใดอยู่ซึ่งมีมุมฉากระหว่างด้านข้างเท่านั้นและมีคุณสมบัติใดบ้างจึงควรจดจำเนื้อหาทั้งหมดนี้ โดยเฉพาะสูตรการหาเส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่พิจารณา ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลขของรูปทรงนี้เป็นหนึ่งในตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด และความรู้นี้สามารถเป็นประโยชน์สำหรับการคำนวณในชีวิตจริง

วันนี้เราจะพิจารณารูปทรงเรขาคณิต - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จากชื่อของรูปนี้เห็นได้ชัดเจนว่ารูปนี้มีสี่มุม แต่เราจะพิจารณาคุณลักษณะและคุณสมบัติที่เหลืออยู่ของรูปด้านล่างนี้

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคืออะไร

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดสี่จุด (จุดยอด) และสี่ส่วน (ด้าน) ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสี่จุด โดยจุดยอดสามจุดไม่ได้อยู่บนเส้นตรง

ประเภทของรูปสี่เหลี่ยม

• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามกันสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่มีด้านตรงข้ามกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมฉากทั้งหมดจะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีทุกด้านเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านเท่ากันทุกด้านและทุกมุมถูกเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถเป็น:

ตัดกันเอง

ไม่นูน

นูน

รูปสี่เหลี่ยมตัดกันเองคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านใดด้านหนึ่งมีจุดตัดกัน (สีน้ำเงินในรูป)

รูปสี่เหลี่ยมไม่นูนคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีมุมภายในด้านใดด้านหนึ่งมากกว่า 180 องศา (แสดงเป็นสีส้มในรูป)

ผลรวมของมุมรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ไม่ตัดกันเองจะมีค่าเท่ากับ 360 องศาเสมอ

รูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถมีคุณสมบัติเพิ่มเติมโดยสร้างรูปทรงเรขาคณิตประเภทพิเศษ:

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน
• สี่เหลี่ยมผืนผ้า
• สี่เหลี่ยม
• สี่เหลี่ยมคางหมู
• เดลทอยด์
• สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมและวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลม (วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่อธิบายไว้:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถถูกจำกัดขอบเขตรอบวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมถูกจารึกไว้ในวงกลม (วงกลมล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถเขียนลงในวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 องศา

คุณสมบัติของความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างสองด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไม่เกินผลรวมของอีกสองด้าน

|ก - ข| ≤ ค + ง

|ก - ค| ≤ ข + ง

|ก - ง| ≤ ข + ค

|ข - ค| ≤ ก + ง

|ข - ง| ≤ ก + ข

|ค - ง| ≤ ก + ข

สำคัญ- อสมการเป็นจริงสำหรับการรวมกันของด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ภาพวาดมีไว้เพื่อความสะดวกในการรับรู้เท่านั้น

ในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ผลรวมความยาวของด้านทั้งสามต้องไม่น้อยกว่าความยาวของด้านที่สี่.

สำคัญ- เมื่อแก้ไขปัญหาภายในหลักสูตรของโรงเรียนคุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

"วงกลม"เราได้เห็นแล้วว่าวงกลมสามารถถูกจำกัดขอบเขตรอบสามเหลี่ยมใดๆ ได้ นั่นคือ สำหรับสามเหลี่ยมทุกอันจะมีวงกลมโดยที่จุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมนั้น "นั่ง" อยู่บนนั้น แบบนี้:

คำถาม: สิ่งเดียวกันนี้สามารถพูดเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้หรือไม่? จริงหรือไม่ที่จะมีวงกลมที่จุดยอดทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะ "นั่ง" อยู่เสมอ?

ปรากฎว่านี่ไม่เป็นความจริง! รูปสี่เหลี่ยมไม่สามารถเขียนเป็นวงกลมได้เสมอไป- มีเงื่อนไขที่สำคัญมาก:

ในภาพของเรา:

.

ดูมุมต่างๆ และนอนตรงข้ามกัน ซึ่งหมายความว่ามุมทั้งสองอยู่ตรงข้ามกัน แล้วมุมล่ะ? ดูเหมือนพวกเขาจะตรงกันข้ามด้วยเหรอ? เป็นไปได้ไหมที่จะถ่ายมุมและแทนมุมและ?

แน่นอนคุณสามารถ! สิ่งสำคัญคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมที่ตรงกันข้ามกันสองมุม ซึ่งผลรวมจะเป็นดังนี้ อีกสองมุมที่เหลือก็จะรวมกันด้วยตัวมันเอง ไม่เชื่อ? มาตรวจสอบให้แน่ใจกัน ดู:

ปล่อยให้เป็น. คุณจำได้ไหมว่าผลรวมของมุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งเป็นเท่าใด? แน่นอน, . นั่นคือ - เสมอ! - แต่ → .

เวทย์มนตร์ตรงนั้น!

ดังนั้นจงจำสิ่งนี้ไว้อย่างมั่นคง:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเขียนไว้ในวงกลม ผลรวมของมุมตรงข้ามสองมุมใดๆ ก็ตามจะเท่ากับ

และในทางกลับกัน:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีมุมตรงข้ามกันสองมุมซึ่งผลรวมเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นวงกลม

เราจะไม่พิสูจน์ทั้งหมดนี้ที่นี่ (หากคุณสนใจ โปรดดูทฤษฎีในระดับต่อไป) แต่มาดูกันว่าข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้นำไปสู่อะไร: ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกจารึกไว้ ผลรวมของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น คำถามเกิดขึ้นในใจ: เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เรามาลองใช้วิธี "กระตุ้น" กันก่อน

ยังไงก็ไม่ได้ผล

ตอนนี้เรามาประยุกต์ใช้ความรู้:

สมมติว่าเราสามารถวางวงกลมลงบนสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ จะต้องมีอย่างแน่นอน: นั่นคือ

ตอนนี้เรามาจำคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน:

สี่เหลี่ยมด้านขนานทุกอันมีมุมที่ตรงข้ามกันเท่ากัน

มันกลับกลายเป็นว่า

แล้วมุมล่ะ? แน่นอนว่าสิ่งเดียวกัน

จารึกไว้ → →

สี่เหลี่ยมด้านขนาน→ →

น่าทึ่งใช่มั้ย?

ปรากฎว่าถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเขียนอยู่ในวงกลม มุมทั้งหมดจะเท่ากัน นั่นคือเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า!

และในเวลาเดียวกัน- จุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมนี้- พูดได้เลยว่านี่รวมเป็นโบนัสด้วย

นั่นหมายความว่าเราพบว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จารึกไว้ในวงกลมนั้นคือ สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

ทีนี้มาพูดถึงสี่เหลี่ยมคางหมูกัน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลม?แต่ปรากฎว่าจะมี สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว- ทำไม

ให้สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลม แล้วอีกครั้งแต่เนื่องจากความขนานของเส้นและ

ซึ่งหมายความว่าเรามี: → → สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ง่ายกว่าการใช้สี่เหลี่ยมใช่ไหม? แต่คุณต้องจำไว้อย่างมั่นคง - มันจะมีประโยชน์:

มาแสดงรายการที่สำคัญที่สุดอีกครั้ง งบหลักสัมผัสกับรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม:

1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกจารึกไว้ในวงกลมก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมที่ตรงกันข้ามสองมุมนั้นเท่ากัน
2. สี่เหลี่ยมด้านขนานที่จารึกไว้ในวงกลม - แน่นอน สี่เหลี่ยมผืนผ้าและจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม
3. สี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมนั้นมีด้านเท่ากันหมด

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ ระดับเฉลี่ย

เป็นที่ทราบกันว่าสามเหลี่ยมทุกอันจะมีวงกลมที่มีเส้นรอบวง (เราพิสูจน์สิ่งนี้ในหัวข้อ “วงกลมที่มีเส้นรอบวง”) สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน? ปรากฎว่า ไม่สามารถเขียนรูปสี่เหลี่ยมทุกอันในวงกลมได้และมีทฤษฎีบทดังกล่าว:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกจารึกไว้ในวงกลมก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากับ.

ในรูปวาดของเรา -

ลองทำความเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ก่อนที่คุณจะพิสูจน์ คุณต้องเข้าใจว่าข้อความนั้นทำงานอย่างไร คุณสังเกตเห็นคำว่า “แล้วเท่านั้น” ในข้อความนี้หรือไม่? คำพูดดังกล่าวหมายความว่านักคณิตศาสตร์ที่เป็นอันตรายได้อัดข้อความสองข้อความให้เป็นข้อความเดียว

มาถอดรหัสกัน:

1. “จากนั้น” หมายความว่า ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเขียนไว้ในวงกลม ผลรวมของมุมตรงข้ามสองมุมใดๆ ก็ตามจะเท่ากัน
2. “เมื่อนั้นเท่านั้น” หมายความว่า ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีมุมตรงข้ามกันสองมุมซึ่งผลรวมเท่ากัน ก็ให้เขียนรูปสี่เหลี่ยมนั้นไว้ในวงกลมได้

เช่นเดียวกับอลิซ: “ฉันคิดว่าสิ่งที่ฉันพูด” และ “ฉันพูดในสิ่งที่ฉันคิด”

ตอนนี้เรามาดูกันว่าเหตุใดทั้ง 1 และ 2 จึงเป็นจริง

ครั้งแรก 1.

ให้เขียนรูปสี่เหลี่ยมไว้เป็นวงกลม ลองทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางแล้ววาดรัศมีและ อะไรจะเกิดขึ้น? คุณจำได้ไหมว่ามุมที่ถูกจารึกไว้นั้นมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของมุมที่ศูนย์กลางตรงกัน หากคุณจำได้ เราจะนำไปใช้ทันที และหากไม่ ให้ดูที่หัวข้อ "วงกลม. มุมที่จารึกไว้".

จารึกไว้

จารึกไว้

แต่ดูสิ: .

เราเข้าใจได้ว่า ถ้า - ถูกจารึกไว้แล้ว

เห็นได้ชัดว่ามันเพิ่มขึ้นเช่นกัน (คุณต้องพิจารณาด้วย)

ตอนนี้ "ในทางกลับกัน" นั่นคือ 2

ปรากฎว่าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผลรวมของมุมสองมุมที่ตรงข้ามกันมีค่าเท่ากัน เอาเป็นว่าให้

เรายังไม่รู้ว่าเราจะอธิบายวงกลมรอบๆ ได้ไหม แต่เรารู้แน่ว่าเราจะสามารถอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยมได้อย่างแน่นอน เรามาทำกัน.

หากจุดไม่ "นั่ง" บนวงกลม ก็ย่อมจบลงที่ด้านนอกหรือด้านในอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

ลองพิจารณาทั้งสองกรณี

ให้ประเด็นอยู่ข้างนอกก่อน จากนั้นส่วนนั้นจะตัดวงกลม ณ จุดใดจุดหนึ่ง มาเชื่อมต่อกันและ. ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปสี่เหลี่ยม (!) ที่ถูกจารึกไว้

เรารู้อยู่แล้วว่าผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากัน ตามเงื่อนไขของเรา

ปรากฎว่ามันควรจะเป็นเช่นนั้น

แต่นี่ไม่สามารถเป็นได้เนื่องจาก - เป็นมุมภายนอกสำหรับ และ หมายถึง

แล้วข้างในล่ะ? มาทำสิ่งที่คล้ายกันกันเถอะ ปล่อยให้ประเด็นอยู่ข้างใน

จากนั้นความต่อเนื่องของส่วนจะตัดวงกลมที่จุดหนึ่ง อีกครั้ง - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกจารึกไว้และตามเงื่อนไขนั้นจะต้องได้รับการตอบสนอง แต่ - มุมภายนอกสำหรับและหมายถึงนั่นคืออีกครั้งที่ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้

นั่นคือ จุดไม่สามารถอยู่ด้านนอกหรือด้านในวงกลมได้ นั่นหมายความว่าจุดนั้นอยู่บนวงกลม!

ทฤษฎีบททั้งหมดได้รับการพิสูจน์แล้ว!

ทีนี้ลองดูว่าทฤษฎีบทนี้ให้ผลลัพธ์ที่ดีอย่างไร

ข้อพิสูจน์ 1

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่จารึกไว้ในวงกลมสามารถเป็นได้เฉพาะสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น

มาทำความเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกจารึกไว้ในวงกลม จากนั้นก็ควรจะทำ

แต่จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรารู้แบบนั้น

และเช่นเดียวกันกับมุมและ

มันกลายเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก - ทุกมุมเรียงกัน

แต่นอกจากนี้ยังมีข้อเท็จจริงที่น่ายินดีเพิ่มเติม: จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมนั้นตรงกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม

มาทำความเข้าใจว่าทำไม ฉันหวังว่าคุณจะจำได้ดีว่ามุมที่ต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นเป็นเส้นตรง

เส้นผ่านศูนย์กลาง

เส้นผ่านศูนย์กลาง

ซึ่งหมายความว่าเป็นศูนย์กลาง นั่นคือทั้งหมดที่

ข้อพิสูจน์ 2

สี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมคือหน้าจั่ว

ให้สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลม แล้ว.

และนอกจากนี้ยังมี.

เราได้พูดคุยทุกอย่างแล้วหรือยัง? ไม่เชิง. ในความเป็นจริง มีอีกวิธีหนึ่งที่ “เป็นความลับ” ในการรับรู้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกจารึกไว้ เราจะไม่กำหนดวิธีนี้อย่างเคร่งครัด (แต่ชัดเจน) แต่จะพิสูจน์ได้เฉพาะในระดับสุดท้ายของทฤษฎีเท่านั้น

หากในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถสังเกตภาพดังในรูปนี้ (นี่คือมุม "มอง" ที่ด้านข้างของจุดและเท่ากัน) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะถูกจารึกไว้

นี่เป็นการวาดภาพที่สำคัญมาก - ในปัญหามักจะหามุมที่เท่ากันได้ง่ายกว่าผลรวมของมุมและ

แม้ว่าสูตรของเราจะขาดความเข้มงวดโดยสิ้นเชิง แต่ก็ถูกต้อง และยิ่งกว่านั้น ผู้ตรวจสอบของ Unified State Exam ก็ยอมรับเสมอ คุณควรเขียนสิ่งนี้:

“ - จารึกไว้” - และทุกอย่างจะเรียบร้อย!

อย่าลืมสัญญาณสำคัญนี้ - จำภาพไว้และบางทีมันอาจจะดึงดูดสายตาคุณทันเวลาเมื่อแก้ไขปัญหา

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเขียนไว้ในวงกลม ผลรวมของมุมตรงข้ามสองมุมใดๆ ก็ตามจะเท่ากับ

และในทางกลับกัน:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีมุมตรงข้ามกันสองมุมซึ่งผลรวมเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกจารึกไว้ในวงกลมก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมสองมุมที่ตรงข้ามกันเท่ากัน

สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกจารึกไว้ในวงกลม- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอย่างแน่นอน และจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม

สี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมคือหน้าจั่ว

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนเป็นรูปที่ประกอบด้วยด้านทั้งสี่เชื่อมต่อกันที่จุดยอด โดยประกอบเป็นมุมสี่มุมพร้อมกับด้านข้าง ในขณะที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอสัมพันธ์กับเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปร่างทั้งหมดอยู่ด้านเดียวกันของด้านใดด้านหนึ่ง

อย่างที่คุณเห็นคำจำกัดความนั้นค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ

คุณสมบัติและประเภทพื้นฐาน

รูปทรงที่รู้จักเกือบทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยมุมทั้งสี่ด้านและด้านข้างสามารถจำแนกได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน สามารถแยกแยะได้ดังต่อไปนี้:

1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน;
2. สี่เหลี่ยม;
3. สี่เหลี่ยมผืนผ้า;
4. สี่เหลี่ยมคางหมู;
5. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้ไม่เพียงแต่รวมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามันนูนด้วย เพียงแค่ดูแผนภาพ:

รูปนี้แสดงสี่เหลี่ยมคางหมูนูน- จากนี้คุณจะเห็นได้ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่บนระนาบเดียวกันหรือด้านใดด้านหนึ่งของส่วน หากคุณทำการกระทำที่คล้ายกัน คุณจะพบว่าในกรณีของด้านอื่นๆ ทั้งหมด สี่เหลี่ยมคางหมูจะนูนออกมา

สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนหรือไม่?

ด้านบนเป็นภาพสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังจะเห็นได้จากรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานก็นูนออกมาเช่นกัน- หากคุณดูตัวเลขที่สัมพันธ์กับเส้นที่ส่วน AB, BC, CD และ AD อยู่ จะเห็นได้ชัดว่าเส้นเหล่านี้อยู่บนระนาบเดียวกันเสมอ ลักษณะสำคัญของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือด้านของมันขนานกันเป็นคู่และเท่ากัน เช่นเดียวกับที่มุมตรงข้ามจะเท่ากัน

ตอนนี้ ลองจินตนาการถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามคุณสมบัติพื้นฐาน พวกมันยังเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย นั่นคือด้านทั้งหมดอยู่ในคู่ขนานกัน เฉพาะในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น ความยาวของด้านจะต่างกันได้ และมุมก็ตั้งฉากกัน (เท่ากับ 90 องศา) สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านทุกด้านเท่ากันและมุมก็ตั้งฉากด้วย แต่ใน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ความยาวของด้านและมุมอาจแตกต่างกันได้

ผลรวมของมุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ควรเท่ากับ 360 องศา- วิธีที่ง่ายที่สุดในการระบุสิ่งนี้คือการดูที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมนั้นอยู่ทางขวา นั่นคือเท่ากับ 90 องศา ผลรวมของมุม 90 องศาเหล่านี้ได้ 360 องศา หรืออีกนัยหนึ่ง ถ้าคุณบวก 90 องศา 4 ครั้ง คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูน

เส้นทแยงมุมของจุดตัดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน- อันที่จริงปรากฏการณ์นี้สามารถสังเกตได้ด้วยสายตาเพียงแค่ดูรูป:

รูปด้านซ้ายแสดงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูน ตามที่ขอ. อย่างที่คุณเห็น เส้นทแยงมุมไม่ได้ตัดกัน อย่างน้อยก็ไม่ใช่ทั้งหมด ด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน ที่นี่มีคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมที่จะตัดกันอยู่แล้ว คุณสมบัติเดียวกันถือได้ว่าเป็นสัญญาณของการนูนของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

คุณสมบัติอื่นและสัญญาณของการนูนของรูปสี่เหลี่ยม

เป็นการยากมากที่จะตั้งชื่อคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะใดๆ โดยใช้คำนี้ แยกแยะได้ง่ายกว่าด้วยรูปสี่เหลี่ยมประเภทนี้ประเภทต่างๆ คุณสามารถเริ่มต้นด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรารู้อยู่แล้วว่านี่คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านขนานกันและเท่ากันเป็นคู่ ในเวลาเดียวกัน ยังรวมถึงคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อตัดกัน เช่นเดียวกับสัญลักษณ์ของความนูนของรูป: สี่เหลี่ยมด้านขนานจะอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอและอยู่ด้านเดียวกันสัมพันธ์กับสิ่งใด ๆ ด้านข้างของมัน

ดังนั้น, ทราบคุณสมบัติและคุณสมบัติหลัก:

1. ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 360 องศา
2. เส้นทแยงมุมของตัวเลขตัดกันที่จุดหนึ่ง

สี่เหลี่ยมผืนผ้า- รูปนี้มีคุณสมบัติและคุณลักษณะเหมือนกันทั้งหมดกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่ในขณะเดียวกันมุมทั้งหมดก็เท่ากับ 90 องศา ดังนั้นชื่อ - สี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมด้านขนานอันเดียวกันแต่มุมของมันตรงเหมือนสี่เหลี่ยม ด้วยเหตุนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงไม่ค่อยถูกเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ลักษณะเด่นที่สำคัญของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นอกเหนือจากที่กล่าวไปแล้วข้างต้น คือ ด้านทั้งสี่ด้านเท่ากัน

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นตัวเลขที่น่าสนใจมาก- นี่คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและนูนด้วย ในบทความนี้ ได้มีการพูดคุยถึงรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแล้วโดยใช้ตัวอย่างการวาดภาพ เห็นได้ชัดว่ามันนูนด้วย ความแตกต่างที่สำคัญและด้วยเหตุนี้จึงเป็นสัญญาณของสี่เหลี่ยมคางหมูก็คือด้านของมันอาจมีความยาวไม่เท่ากันโดยสิ้นเชิง รวมถึงค่ามุมด้วย ในกรณีนี้ รูปภาพจะยังคงอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอโดยสัมพันธ์กับเส้นใดๆ ที่เชื่อมจุดยอดสองจุดใดๆ ไปตามส่วนที่ประกอบเป็นรูปร่าง

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เป็นตัวเลขที่น่าสนใจไม่แพ้กัน- บางส่วนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของมันไม่เพียงตัดกันเท่านั้น แต่ยังแบ่งมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนครึ่งหนึ่งด้วยและเส้นทแยงมุมเองก็ตัดกันเป็นมุมฉากนั่นคือพวกมันตั้งฉากกัน หากความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน เมื่อตัดกันเส้นทแยงมุมก็จะถูกแบ่งครึ่งเช่นกัน

เดลทอยด์หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)อาจมีความยาวด้านต่างกัน แต่ในขณะเดียวกันทั้งคุณสมบัติพื้นฐานและคุณลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นเองตลอดจนลักษณะและคุณสมบัติของความนูนยังคงได้รับการเก็บรักษาไว้ นั่นคือเราสามารถสังเกตได้ว่าเส้นทแยงมุมตัดมุมและตัดกันที่มุมฉาก

ภารกิจของวันนี้คือการพิจารณาและทำความเข้าใจว่ารูปสี่เหลี่ยมนูนคืออะไร มีลักษณะอย่างไร รวมถึงลักษณะและคุณสมบัติหลัก ความสนใจ! ควรระลึกไว้อีกครั้งว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ 360 องศา ตัวอย่างเช่น เส้นรอบวงของรูปจะเท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนทั้งหมดที่สร้างรูปนั้น สูตรการคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะกล่าวถึงในบทความต่อไปนี้

แนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 1

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตในระนาบซึ่งประกอบด้วยส่วนที่ต่อกันเป็นคู่ โดยส่วนที่อยู่ติดกันไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ในกรณีนี้ เซ็กเมนต์จะถูกเรียก ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและจุดจบของพวกเขา- จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม.

คำจำกัดความ 2

$n$-gon คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $n$

ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นใดๆ ที่ลากผ่านด้านข้างเสมอ รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะถูกเรียก นูน(รูปที่ 1)

รูปที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความที่ 4

หากรูปหลายเหลี่ยมวางอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ลากผ่านด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่าไม่นูน (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม

ให้เราแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดดังนี้

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ มาเชื่อมต่อจุดยอด $A_1$ กับจุดยอดอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนี้กัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

ด้วยการเชื่อมต่อนี้ เราจะได้สามเหลี่ยม $n-2$ เมื่อรวมมุมของพวกมัน เราจะได้ผลรวมของมุมของ -gon ที่กำหนด เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ $(180)^0,$ เราจึงได้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดเรื่องรูปสี่เหลี่ยม

การใช้คำจำกัดความของ $2$ ทำให้ง่ายต่อการแนะนำคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

คำจำกัดความที่ 5

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $4$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 สี่เหลี่ยม

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบนูนและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูนจะมีความหมายคล้ายกัน ตัวอย่างคลาสสิกของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 รูปสี่เหลี่ยมนูน

ทฤษฎีบท 2

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ $(360)^0$

การพิสูจน์.

ตามทฤษฎีบท $1$ เรารู้ว่าผลรวมของมุมของเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนจึงเท่ากับ

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว