บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ลำดับจำนวน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
เลขยกกำลังและราก ฟังก์ชันและกราฟ

พวกเราวันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับความก้าวหน้าอีกประเภทหนึ่ง
หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คำนิยาม. ลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละพจน์เริ่มต้นจากวินาที จะเท่ากับผลคูณของลำดับก่อนหน้า และจำนวนคงที่บางจำนวนเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ลองกำหนดลำดับของเราแบบวนซ้ำ: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
โดยที่ b และ q เป็นตัวเลขที่กำหนดแน่นอน เลข q เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1 และ $q=2$

ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับแปด
และ $q=1$.

ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสาม
และ $q=-1$

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ
ถ้า $b_(1)>0$, $q>1$,
จากนั้นลำดับก็เพิ่มขึ้น
ถ้า $b_(1)>0$, $0 ลำดับมักจะแสดงในรูปแบบ: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำนวนองค์ประกอบมีจำกัด ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
โปรดทราบว่าถ้าลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับของกำลังสองของเทอมก็ถือเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน ในลำดับที่สอง เทอมแรกเท่ากับ $b_(1)^2$ และตัวส่วนเท่ากับ $q^2$

สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถระบุได้ในรูปแบบการวิเคราะห์ มาดูวิธีการทำเช่นนี้:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
เราสังเกตรูปแบบนี้ได้ง่าย: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$
สูตรของเราเรียกว่า "สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

กลับไปที่ตัวอย่างของเรา

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1
และ $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

ตัวอย่าง. 16,8,4,2,1,1/2… ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสิบหก และ $q=\frac(1)(2)$
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 8 และ $q=1$
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 3 และ $q=-1$
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

ตัวอย่าง. เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $
ก) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=3$. ค้นหา $b_(5)$
b) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ค้นหา n.
c) เป็นที่รู้กันว่า $q=-2, b_(6)=96$. ค้นหา $b_(1)$
d) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ค้นหาคิว

สารละลาย.
ก) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ข) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ เนื่องจาก $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
ค) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
ง) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

ตัวอย่าง. ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 192 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 192 จงหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้านี้

สารละลาย.
เรารู้ว่า: $b_(7)-b_(5)=192$ และ $b_(5)+b_(6)=192$.
เรายังรู้: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
แล้ว:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
เราได้รับระบบสมการ:
$\begin(กรณี)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(กรณี)$
การเท่ากันสมการของเราที่เราได้รับ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
เรามีวิธีแก้ปัญหาสองแบบ q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$
แทนตามลำดับในสมการที่สอง:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เราได้มา: $b_(1)=4, q=2$
ลองหาเทอมที่สิบ: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ขอให้เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองคำนวณผลรวมของพจน์ของมันกัน

ให้ค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$
ให้เราแนะนำการกำหนดสำหรับผลรวมของพจน์: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$
ในกรณีที่ $q=1$ เงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับเทอมแรก ดังนั้นจะเห็นได้ชัดว่า $S_(n)=n*b_(1)$
ตอนนี้ให้เราพิจารณากรณี $q≠1$
ลองคูณจำนวนข้างต้นด้วย q
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)++b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
บันทึก:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

เราได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัดแล้ว

ตัวอย่าง.
จงหาผลรวมของเจ็ดเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งมีเทอมแรกคือ 4 และตัวส่วนคือ 3

สารละลาย.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

ตัวอย่าง.
ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ทราบ: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

สารละลาย.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$คิว^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1,365q-1365=1,024q-1$
$341q=$1364
$q=4$.
$b_5=b_1*คิว^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พวกคุณให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ลองดูสมาชิกสามตัวติดต่อกัน: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$
เรารู้ว่า:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
แล้ว:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
หากความก้าวหน้ามีจำกัด ความเท่าเทียมกันนี้จะคงอยู่สำหรับทุกเงื่อนไข ยกเว้นเงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้าย
หากไม่ทราบล่วงหน้าว่าลำดับมีรูปแบบใด แต่ทราบแล้วว่า: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$
แล้วเราก็บอกได้อย่างปลอดภัยว่านี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับตัวเลขเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัวเท่ากับผลคูณของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของความก้าวหน้า อย่าลืมว่าเงื่อนไขนี้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อแรกและข้อสุดท้ายสำหรับความก้าวหน้าอย่างจำกัด

ลองดูที่เอกลักษณ์นี้: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ เรียกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข a และ b

โมดูลัสของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของเทอมสองเทอมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่าง.
ค้นหา x โดยที่ $x+2; 2x+2; 3x+3$ เป็นสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สารละลาย.
ลองใช้คุณสมบัติลักษณะเฉพาะ:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ และ $x_(2)=-1$.
ให้เราแทนที่คำตอบของเราตามลำดับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม:
ด้วย $x=2$ เราได้ลำดับ: 4;6;9 – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย $q=1.5$
สำหรับ $x=-1$ เราจะได้ลำดับ: 1;0;0
คำตอบ: $x=2.$

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. ค้นหาเทอมแรกที่แปดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 16;-8;4;-2….
2. ค้นหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 11,22,44….
3. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=5, q=3$. ค้นหา $b_(7)$
4. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ค้นหา n.
5. จงหาผลรวมของ 11 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3;12;48….
6. หา x โดยที่ $3x+4; 2x+4; x+5$ คือเทอมสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คณิตศาสตร์คืออะไรผู้คนควบคุมธรรมชาติและตนเอง

นักคณิตศาสตร์โซเวียตนักวิชาการ A.N. โคลโมโกรอฟ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

นอกจากปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็เป็นเรื่องปกติในการสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและมีทักษะที่ดีในการใช้งาน

บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการนำเสนอคุณสมบัติพื้นฐานของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างของการแก้ปัญหาทั่วไปมีให้ไว้ที่นี่ด้วย, ยืมมาจากงานสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์

ก่อนอื่นให้เราทราบคุณสมบัติพื้นฐานของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและนึกถึงสูตรและข้อความที่สำคัญที่สุด, ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้

คำนิยาม.ลำดับตัวเลขเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าแต่ละตัวเลขเริ่มจากวินาที เท่ากับตัวเลขก่อนหน้า คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสูตรถูกต้อง

, (1)

ที่ไหน . สูตร (1) เรียกว่าสูตรของเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และสูตร (2) แสดงถึงคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: แต่ละเทอมของความก้าวหน้าเกิดขึ้นพร้อมกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของเทอมข้างเคียง และ

บันทึก, เป็นเพราะคุณสมบัตินี้เองที่ทำให้ความก้าวหน้าที่เป็นปัญหาเรียกว่า "เรขาคณิต"

สูตรข้างต้น (1) และ (2) มีลักษณะทั่วไปดังนี้:

, (3)

เพื่อคำนวณจำนวนเงินอันดับแรก เงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้สูตร

ถ้าเราแสดงว่า แล้ว

ที่ไหน . เนื่องจาก สูตร (6) เป็นลักษณะทั่วไปของสูตร (5)

ในกรณีที่เมื่อใดและ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำลังลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เพื่อคำนวณจำนวนเงินสำหรับเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะใช้สูตรนี้

. (7)

ตัวอย่างเช่น , โดยใช้สูตร (7) ที่เราสามารถแสดงได้, อะไร

ที่ไหน . ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ได้มาจากสูตร (7) ภายใต้เงื่อนไขว่า , (ความเท่าเทียมกันครั้งแรก) และ , (ความเท่าเทียมกันที่สอง)

ทฤษฎีบท.ถ้าอย่างนั้น

การพิสูจน์. ถ้าอย่างนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต" กันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1ให้ไว้: , และ . หา .

สารละลาย.หากเราใช้สูตร (5) แล้ว

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2ช่างมัน. หา .

สารละลาย.เนื่องจาก และ เราใช้สูตร (5), (6) และรับระบบสมการ

ถ้าสมการที่สองของระบบ (9) หารด้วยสมการแรกแล้วหรือ สืบต่อจากนี้ไปว่า - ลองพิจารณาสองกรณี

1. ถ้า จากสมการแรกของระบบ (9) ที่เรามี.

2. ถ้าอย่างนั้น .

ตัวอย่างที่ 3ให้ และ . หา .

สารละลาย.จากสูตร (2) เป็นไปตามนั้น หรือ . ตั้งแต่ แล้ว หรือ .

ตามเงื่อนไข. อย่างไรก็ตาม ดังนั้น. ตั้งแต่และ ตรงนี้เรามีระบบสมการ

ถ้าสมการที่สองของระบบหารด้วยสมการแรก แล้ว หรือ

เนื่องจากสมการนี้มีรากที่เหมาะสมเฉพาะตัว ในกรณีนี้จะเป็นไปตามสมการแรกของระบบ

โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (7) ที่เราได้รับ

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4ให้ไว้: และ . หา .

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นมา.

ตั้งแต่ แล้ว หรือ

ตามสูตร (2) เราได้ ในเรื่องนี้เราได้รับจากความเท่าเทียมกัน (10) หรือ

อย่างไรก็ตามตามเงื่อนไขดังนั้น

ตัวอย่างที่ 5เป็นที่ทราบกันว่า หา .

สารละลาย. ตามทฤษฎีบท เรามีความเท่าเทียมกันสองประการ

ตั้งแต่ แล้ว หรือ . เพราะว่าแล้ว.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 6ให้ไว้: และ . หา .

สารละลาย.โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (5) ที่เราได้รับ

ตั้งแต่นั้นมา. ตั้งแต่ และ จากนั้น .

ตัวอย่างที่ 7ช่างมัน. หา .

สารละลาย.ตามสูตร (1) เราสามารถเขียนได้

ดังนั้นเราจึงมี หรือ . เป็นที่รู้กันว่า และ ดังนั้น และ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดถ้า

และ .

สารละลาย. จากสูตร (7) เป็นไปตามนี้และ - จากที่นี่และจากเงื่อนไขของปัญหาเราได้ระบบสมการ

ถ้าสมการแรกของระบบเป็นกำลังสอง, แล้วหารสมการผลลัพธ์ด้วยสมการที่สองแล้วเราก็ได้

หรือ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาค่าทั้งหมดที่ลำดับ , , เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สารละลาย.ให้ และ . ตามสูตร (2) ซึ่งกำหนดคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราสามารถเขียนได้ หรือ

จากตรงนี้เราจะได้สมการกำลังสอง, ซึ่งมีรากอยู่และ .

มาตรวจสอบกันดีกว่า: ถ้าจากนั้น และ ;

ถ้า แล้ว และในกรณีแรกที่เรามี

และ และในวินาที – และ

คำตอบ: , .ตัวอย่างที่ 10

, (11)

แก้สมการ

ที่ไหน และ .

จากสูตร (7) เป็นไปตามนี้, อะไร สารละลาย. ทางด้านซ้ายของสมการ (11) คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด โดยที่ และ ขึ้นอยู่กับ: และ- ในเรื่องนี้สมการ (11) จะอยู่ในรูปแบบ หรือ - รากที่เหมาะสม

คำตอบ: .

สมการกำลังสองคือตัวอย่างที่ 11 ปลำดับของจำนวนบวกทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ , ก– ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สารละลาย.และที่นี่ หา . เพราะ, ที่ (คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) เพราะแล้วหรือ สืบเนื่องมาจากเรื่องนี้ ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีรูปแบบ- ตามสูตร (2)แล้วเราก็เขียนลงไป

ตั้งแต่ และ จากนั้น - ในกรณีนี้คือนิพจน์ใช้แบบฟอร์มหรือ. ตามเงื่อนไข ดังนั้นจากสมการเราได้รับแนวทางแก้ไขปัญหาเฉพาะที่อยู่ระหว่างการพิจารณา, เช่น. -

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 12คำนวณผลรวม

. (12)

สารละลาย. ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน (12) ด้วย 5 แล้วได้

หากเราลบ (12) ออกจากนิพจน์ผลลัพธ์, ที่

หรือ .

ในการคำนวณเราจะแทนที่ค่าลงในสูตร (7) และรับ . ตั้งแต่นั้นมา.

คำตอบ: .

ตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ให้ไว้ในที่นี้จะเป็นประโยชน์กับผู้สมัครเมื่อเตรียมตัวสอบเข้า เพื่อศึกษาวิธีการแก้ไขปัญหาอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น, เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต, คุณสามารถใช้บทช่วยสอนจากรายการวรรณกรรมที่แนะนำ

1. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าวิทยาลัย / อ. มิ.ย. สแกนวิ – อ.: มีร์ และการศึกษา, 2556. – 608 หน้า

2. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติมของหลักสูตรของโรงเรียน – ม.: เลนันด์ / URSS, 2014. – 216 น.

3. เมดินสกี้ เอ็ม.เอ็ม. หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาที่สมบูรณ์ในด้านปัญหาและแบบฝึกหัด เล่มที่ 2: ลำดับตัวเลขและความก้าวหน้า – ม.: บรรณาธิการ, 2558 – 208 น.

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม?

หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

คำแนะนำ

10, 30, 90, 270...

คุณต้องหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สารละลาย:

ตัวเลือกที่ 1 ลองใช้คำศัพท์เฉพาะของความก้าวหน้า (เช่น 90) แล้วหารด้วยค่าก่อนหน้า (30): 90/30=3

หากทราบผลรวมของพจน์หลายพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ดังนั้นหากต้องการหาตัวส่วนของความก้าวหน้า ให้ใช้สูตรที่เหมาะสม:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q) โดยที่ Sn คือผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และ
S = b1/(1-q) โดยที่ S คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด (ผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนน้อยกว่าหนึ่ง)
ตัวอย่าง.

เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงจะเท่ากับ 1 และผลรวมของเทอมทั้งหมดจะเท่ากับ 2

จำเป็นต้องกำหนดตัวส่วนของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

แทนที่ข้อมูลจากปัญหาลงในสูตร ปรากฎว่า:
2=1/(1-q) โดยที่ – q=1/2

ความก้าวหน้าคือลำดับของตัวเลข ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่ละเทอมที่ตามมาจะได้มาโดยการคูณเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวน q ที่เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้า

คำแนะนำ

หากทราบคำศัพท์ทางเรขาคณิตสองคำที่อยู่ติดกัน b(n+1) และ b(n) เพื่อจะได้ตัวส่วน คุณต้องหารจำนวนด้วยจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่อยู่ข้างหน้า: q=b(n+1)/b (น) ตามมาจากคำจำกัดความของความก้าวหน้าและตัวส่วน เงื่อนไขที่สำคัญคือเทอมแรกและตัวส่วนของความก้าวหน้าไม่เท่ากับศูนย์ มิฉะนั้นจะถือว่าไม่มีกำหนด

ดังนั้นความสัมพันธ์ต่อไปนี้จึงถูกสร้างขึ้นระหว่างเงื่อนไขของความก้าวหน้า: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. การใช้สูตร b(n)=b1 q^(n-1) จะทำให้เทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งสามารถคำนวณตัวส่วน q และเทอม b1 ได้ นอกจากนี้ แต่ละความก้าวหน้าจะมีค่าโมดูลัสเท่ากันกับค่าเฉลี่ยของสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียง: |b(n)|=√ ซึ่งเป็นจุดที่ความก้าวหน้าได้รับ

อะนาล็อกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด y=a^x โดยที่ x เป็นเลขชี้กำลัง ส่วน a คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง ในกรณีนี้ ตัวหารของความก้าวหน้าจะตรงกับเทอมแรกและเท่ากับเลข a ค่าของฟังก์ชัน y สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเทอมที่ n ของการก้าวหน้า หากอาร์กิวเมนต์ x ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ n (ตัวนับ)

มีอยู่สำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q) สูตรนี้ใช้ได้กับ q≠1 ถ้า q=1 ผลรวมของพจน์ n พจน์แรกจะถูกคำนวณโดยสูตร S(n)=n b1 อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าจะถูกเรียกว่าเพิ่มขึ้นเมื่อ q มากกว่า 1 และ b1 เป็นบวก หากตัวหารของความก้าวหน้ามีค่าสัมบูรณ์ไม่เกินหนึ่ง ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าการลดลง

กรณีพิเศษของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด (ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ความจริงก็คือเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงจะลดลงซ้ำแล้วซ้ำอีก แต่จะไม่มีวันถึงศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก็สามารถหาผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าดังกล่าวได้ ถูกกำหนดโดยสูตร S=b1/(1-q) จำนวนพจน์ทั้งหมด n เป็นอนันต์

หากต้องการเห็นภาพว่าคุณสามารถเพิ่มจำนวนอนันต์โดยไม่ต้องมีอนันต์ได้อย่างไร ให้อบเค้ก ตัดมันออกไปครึ่งหนึ่ง จากนั้นจึงตัด 1/2 ออกครึ่งหนึ่ง และอื่นๆ ชิ้นส่วนที่คุณจะได้รับนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดโดยมีตัวส่วนของ 1/2 หากคุณรวมชิ้นส่วนทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน คุณจะได้เค้กออริจินัล

ปัญหาเรขาคณิตเป็นแบบฝึกหัดพิเศษที่ต้องใช้การคิดเชิงพื้นที่ หากคุณไม่สามารถแก้โจทย์เรขาคณิตได้ งานให้ลองปฏิบัติตามกฎด้านล่างนี้

คำแนะนำ

อ่านเงื่อนไขของงานอย่างละเอียด หากคุณจำหรือไม่เข้าใจสิ่งใด ให้อ่านใหม่อีกครั้ง

พยายามพิจารณาว่าเป็นปัญหาทางเรขาคณิตประเภทใด เช่น การคำนวณ เมื่อคุณต้องการค้นหาค่าบางอย่าง ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ต้องใช้เหตุผลแบบลอจิคัล ปัญหาเกี่ยวกับการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด งานเพิ่มเติมประเภทผสม เมื่อคุณเข้าใจประเภทของปัญหาแล้ว ให้พยายามคิดอย่างมีเหตุผล

ใช้ทฤษฎีบทที่จำเป็นสำหรับงานที่กำหนด แต่ถ้าคุณมีข้อสงสัยหรือไม่มีทางเลือกเลย ให้พยายามจำทฤษฎีที่คุณศึกษาในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

พร้อมทั้งเขียนวิธีแก้ไขปัญหาลงในแบบฟอร์มร่างด้วย พยายามใช้วิธีการที่รู้จักเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชันของคุณ

กรอกวิธีแก้ปัญหาลงในสมุดบันทึกของคุณอย่างระมัดระวังโดยไม่ต้องลบหรือขีดฆ่าและที่สำคัญที่สุด - . อาจต้องใช้เวลาและความพยายามในการแก้ปัญหาเรขาคณิตแรก อย่างไรก็ตาม ทันทีที่คุณเชี่ยวชาญกระบวนการนี้ คุณจะเริ่มคลิกงานต่างๆ เช่น ถั่ว และสนุกกับมัน!

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลข b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) โดยที่ b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละเทอมของการก้าวหน้าจะได้มาจากเทอมก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวส่วนที่ไม่ใช่ศูนย์ของความก้าวหน้า q

คำแนะนำ

ปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าส่วนใหญ่มักได้รับการแก้ไขโดยการวาดขึ้นแล้วทำตามระบบโดยคำนึงถึงเทอมแรกของความก้าวหน้า b1 และตัวส่วนของความก้าวหน้า q ในการสร้างสมการ การจำสูตรบางสูตรจะมีประโยชน์

วิธีแสดงระยะที่ n ของการก้าวหน้าผ่านเทอมแรกของการก้าวหน้าและตัวส่วนของความก้าวหน้า: b(n)=b1*q^(n-1)

ให้เราพิจารณาแยกกรณี |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคณิตศาสตร์มีความสำคัญไม่น้อยเมื่อเทียบกับเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลข b1, b2,..., b[n] ซึ่งแต่ละเทอมถัดไปจะได้มาจากการคูณตัวเลขก่อนหน้าด้วยตัวเลขคงที่ เรียกว่าตัวเลขนี้ซึ่งระบุถึงอัตราการเพิ่มหรือลดความก้าวหน้าด้วย ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและแสดงถึง

เพื่อระบุความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยสมบูรณ์ นอกเหนือจากตัวส่วนแล้ว จำเป็นต้องรู้หรือกำหนดเทอมแรกด้วย สำหรับค่าบวกของตัวส่วน การก้าวหน้าจะเป็นลำดับแบบโมโนโทนิก และหากลำดับของตัวเลขนี้ลดลงแบบโมโนโทนิก และหากเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก กรณีที่ตัวส่วนเท่ากับ 1 จะไม่ถูกพิจารณาในทางปฏิบัติ เนื่องจากเรามีลำดับของจำนวนที่เหมือนกัน และการบวกของพวกมันไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ

คำศัพท์ทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร

ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตร

มาดูวิธีแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบคลาสสิกกัน เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดที่จะเข้าใจ

ตัวอย่างที่ 1 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 27 และตัวส่วนของมันคือ 1/3 ค้นหาหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

วิธีแก้ไข: ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาลงในแบบฟอร์ม

สำหรับการคำนวณ เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

จากข้อมูลดังกล่าว เราพบเงื่อนไขที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้า

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยาก ความก้าวหน้าก็จะเป็นเช่นนี้

ตัวอย่างที่ 2 ให้สามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: 6; -12; 24. ค้นหาตัวส่วนและเทอมที่เจ็ดของมัน

วิธีแก้ไข: เราคำนวณตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามคำจำกัดความ

เราได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับซึ่งมีตัวส่วนเท่ากับ -2 เทอมที่เจ็ดคำนวณโดยใช้สูตร

วิธีนี้จะช่วยแก้ปัญหาได้

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยเงื่อนไขสองข้อ - ค้นหาระยะที่สิบของความก้าวหน้า

สารละลาย:

มาเขียนค่าที่กำหนดโดยใช้สูตรกัน

ตามกฎแล้วเราจะต้องค้นหาตัวส่วนแล้วมองหาค่าที่ต้องการ แต่สำหรับเทอมที่ 10 เราได้

สามารถรับสูตรเดียวกันได้จากการปรับเปลี่ยนอย่างง่าย ๆ ด้วยข้อมูลที่ป้อน หารเทอมที่หกของอนุกรมด้วยอีกอันหนึ่งและผลลัพธ์ที่ได้คือ

หากค่าผลลัพธ์คูณด้วยเทอมที่ 6 เราจะได้อันดับที่ 10

ดังนั้น สำหรับปัญหาดังกล่าว การใช้การแปลงอย่างง่ายอย่างรวดเร็ว คุณจะพบวิธีแก้ไขที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ

ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและผลรวมของหกเทอมแรก

สารละลาย:

ลองเขียนข้อมูลที่ให้มาในรูปแบบของระบบสมการ

แสดงตัวส่วนโดยการหารสมการที่สองด้วยสมการแรก

ลองหาเทอมแรกของการก้าวหน้าจากสมการแรกกัน

ลองคำนวณคำศัพท์ห้าคำต่อไปนี้เพื่อหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต