త్రికోణమితి గుర్తింపులు- ఇవి ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌ల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే సమానతలు, ఇది ఏదైనా ఇతర తెలిసినట్లయితే, ఈ ఫంక్షన్‌లలో దేనినైనా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

ఈ గుర్తింపు ఒక కోణం యొక్క సైన్ యొక్క స్క్వేర్ యొక్క మొత్తం మరియు ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్ ఒకదానికి సమానం అని చెబుతుంది, ఇది ఆచరణలో దాని కొసైన్ తెలిసినప్పుడు మరియు వైస్ వెర్సా ఉన్నప్పుడు ఒక కోణం యొక్క సైన్‌ను లెక్కించడం సాధ్యపడుతుంది. .

త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు, ఈ గుర్తింపు చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్ యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని ఒకదానితో భర్తీ చేయడానికి మరియు రివర్స్ క్రమంలో పునఃస్థాపన ఆపరేషన్ను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

సైన్ మరియు కొసైన్ ఉపయోగించి టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను కనుగొనడం

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ఈ గుర్తింపులు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ నిర్వచనాల నుండి ఏర్పడతాయి. అన్నింటికంటే, మీరు దానిని చూస్తే, నిర్వచనం ప్రకారం ఆర్డినేట్ y ఒక సైన్, మరియు అబ్సిస్సా x ఒక కొసైన్. అప్పుడు టాంజెంట్ నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), మరియు నిష్పత్తి \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ఒక కోటాంజెంట్ అవుతుంది.

వాటిలో చేర్చబడిన త్రికోణమితి విధులు అర్థవంతంగా ఉండే \alpha కోణాలకు మాత్రమే గుర్తింపులు ఉంటాయి, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ఉదాహరణకు: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)భిన్నంగా ఉండే \alpha కోణాలకు చెల్లుబాటు అవుతుంది \frac(\pi)(2)+\pi z, ఎ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z కాకుండా వేరే కోణం \alpha కోసం, z అనేది పూర్ణాంకం.

టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ మధ్య సంబంధం

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ఈ గుర్తింపు భిన్నమైన \alpha కోణాలకు మాత్రమే చెల్లుతుంది \frac(\pi)(2) z. లేకపోతే, కోటాంజెంట్ లేదా టాంజెంట్ నిర్ణయించబడదు.

పై పాయింట్ల ఆధారంగా, మేము దానిని పొందుతాము tg \alpha = \frac(y)(x), ఎ ctg \alpha=\frac(x)(y). దానిని అనుసరిస్తుంది tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. అందువల్ల, అవి అర్ధమయ్యే ఒకే కోణం యొక్క టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ పరస్పర విలోమ సంఖ్యలు.

టాంజెంట్ మరియు కొసైన్, కోటాంజెంట్ మరియు సైన్ మధ్య సంబంధాలు

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- కోణం \alpha మరియు 1 యొక్క టాంజెంట్ యొక్క స్క్వేర్ మొత్తం ఈ కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క విలోమ చతురస్రానికి సమానం. ఈ గుర్తింపు కాకుండా అన్ని \alphaకి చెల్లుబాటు అవుతుంది \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 యొక్క మొత్తం మరియు \alpha కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ యొక్క స్క్వేర్ ఇచ్చిన కోణం యొక్క సైన్ యొక్క విలోమ చతురస్రానికి సమానం. ఈ గుర్తింపు \pi zకి భిన్నమైన ఏదైనా \alphaకి చెల్లుబాటు అవుతుంది.

త్రికోణమితి గుర్తింపులను ఉపయోగించి సమస్యలకు పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

\sin \alpha మరియు tg \alpha if ని కనుగొనండి \cos \alpha=-\frac12మరియు \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

విధులు \sin \alpha మరియు \cos \alpha సూత్రం ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. ఈ సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం \cos \alpha = -\frac12, మేము పొందుతాము:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

ఈ సమీకరణం 2 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

షరతు ప్రకారం \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . రెండవ త్రైమాసికంలో సైన్ సానుకూలంగా ఉంది, కాబట్టి \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

టాన్ \alphaని కనుగొనడానికి, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ఉదాహరణ 2

\cos \alpha మరియు ctg \alpha ఉంటే మరియు కనుగొనండి \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

పరిష్కారం చూపండి

పరిష్కారం

సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1ఇచ్చిన సంఖ్య \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), మేము పొందుతాము \ఎడమ (\frac(\sqrt3)(2)\కుడి)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. ఈ సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

షరతు ప్రకారం \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . రెండవ త్రైమాసికంలో కొసైన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alphaని కనుగొనడానికి, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). సంబంధిత విలువలు మనకు తెలుసు.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

ఉదాహరణ 2.గుర్తింపును నిరూపించండి

వ్యక్తీకరణను కుడి వైపున మార్చడం ద్వారా మేము ఈ గుర్తింపును రుజువు చేస్తాము.

పద్ధతి 1.

అందుకే

పద్ధతి 2.

అన్నింటిలో మొదటిది, ctg అని గమనించండి α =/= 0; లేకుంటే tg అనే వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు α = 1/ctg α . కానీ ctg ఉంటే α =/= 0, అప్పుడు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క లవం మరియు హారం ctgతో గుణించవచ్చు α , భిన్నం యొక్క విలువను మార్చకుండా. అందుకే,

tg గుర్తింపులను ఉపయోగించడం α ctg α = 1 మరియు 1+ ctg 2 α = కోసెక్ 2 α , మేము పొందుతాము

అందుకే Q.E.D.

వ్యాఖ్యానించండి. నిరూపితమైన గుర్తింపు యొక్క ఎడమ వైపు అని గమనించాలి (పాపం α ) అన్ని విలువలకు నిర్వచించబడింది α , మరియు సరైనది - ఎప్పుడు మాత్రమే α =/= π / 2 n.

అందువల్ల, ఎప్పుడు మాత్రమే అన్నీ చెల్లుబాటు అయ్యేవివిలువలు α సాధారణంగా, ఈ వ్యక్తీకరణలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండవు.

ఉదాహరణ 3.గుర్తింపును నిరూపించండి

పాపం (3/2 π + α ) + కాస్ ( π - α ) = cos (2 π + α ) - 3పాపం ( π / 2 - α )

తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ గుర్తింపు యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను మారుద్దాం:

పాపం (3/2 π + α ) + కాస్ ( π - α ) = -కాస్ α -కాస్ α = - 2కోలు α ;

కాస్(2 π + α ) - 3పాపం ( π / 2 - α ) =కాస్ α - 3కోలు α = - 2కోలు α .

కాబట్టి, ఈ గుర్తింపు యొక్క రెండు భాగాలలో కనిపించే వ్యక్తీకరణలు ఒకే రూపానికి తగ్గించబడ్డాయి. ఇది గుర్తింపును రుజువు చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 4.గుర్తింపును నిరూపించండి

పాపం 4 α + ఖర్చు 4 α - 1 = - 2 పాపం 2 α ఖర్చు 2 α .

ఎడమ మరియు కుడి వైపుల మధ్య వ్యత్యాసం చూపిద్దాం. ఈ గుర్తింపు సున్నాకి సమానం.

(పాపం 4 α + ఖర్చు 4 α - 1) - (- 2 పాపం 2 α ఖర్చు 2 α ) = (పాపం 4 α + 2పాపం 2 α ఖర్చు 2 α + ఖర్చు 4 α ) - 1 =

= (పాపం 2 α + ఖర్చు 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

ఇది గుర్తింపును రుజువు చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 5.గుర్తింపును నిరూపించండి

ఈ గుర్తింపును ఒక నిష్పత్తిగా పరిగణించవచ్చు. కానీ a / b = c / d నిష్పత్తి యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించడానికి, దాని తీవ్రమైన నిబంధనల యొక్క ఉత్పత్తిని చూపడానికి సరిపోతుంది ప్రకటనదాని సగటు నిబంధనల ఉత్పత్తికి సమానం క్రీ.పూ. మేము ఈ విషయంలో కూడా అదే చేస్తాము. దానిని చూపిద్దాం (1 - పాపం α ) (1+ పాపం α ) = cos α కాస్ α .

నిజానికి, (1 - పాపం α ) (1 + పాపం α ) = 1 -పాపం 2 α = ఖర్చు 2 α .

"త్రికోణమితి గుర్తింపులు". 10వ తరగతి

“గణిత సత్యం, ఏమైనా
పారిస్‌లో లేదా టౌలౌస్‌లో ఉన్నా, ఇది ఒకటే.
బి. పాస్కల్

పాఠం రకం: నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయడంపై పాఠం.

సాధారణ పద్దతి ధోరణి యొక్క పాఠం.

కార్యాచరణ లక్ష్యం : అధ్యయనం చేయబడిన భావనలు మరియు అల్గారిథమ్‌ల నిర్మాణాన్ని నిర్మించడంతో సంబంధం ఉన్న కొత్త చర్యకు విద్యార్థుల సామర్థ్యాన్ని రూపొందించడం.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

ఉపదేశాత్మకమైన : వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు త్రికోణమితి గుర్తింపులను నిరూపించడానికి గతంలో సంపాదించిన జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాలను ఉపయోగించడం నేర్పండి.

అభివృద్ధి: తార్కిక ఆలోచన, జ్ఞాపకశక్తి, అభిజ్ఞా ఆసక్తిని అభివృద్ధి చేయండి, గణిత ప్రసంగం ఏర్పడటం కొనసాగించండి, విశ్లేషించే మరియు పోల్చే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.

విద్యా: గణిత భావనలు ఒకదానికొకటి వేరు చేయబడలేదని చూపించడానికి, ఒక నిర్దిష్ట విజ్ఞాన వ్యవస్థను సూచిస్తాయి, వీటిలో అన్ని లింకులు ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడి ఉంటాయి, గమనికలు, నియంత్రణ మరియు స్వీయ-నియంత్రణ నైపుణ్యాలను రూపొందించేటప్పుడు సౌందర్య నైపుణ్యాల ఏర్పాటును కొనసాగించడానికి.

త్రికోణమితి సమస్యలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి అనేక సూత్రాలపై నమ్మకంగా జ్ఞానం అవసరం. త్రికోణమితి సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవాలి. కానీ వారు హృదయపూర్వకంగా గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం ఉందని దీని అర్థం కాదు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే సూత్రాలను కాకుండా, వాటి ఉత్పన్నం కోసం అల్గోరిథంలు. sinα, cosα, tanα, ctgα, రిలేషన్ సిన్ ఫంక్షన్‌ల నిర్వచనాలు మరియు ప్రాథమిక లక్షణాలను మీరు దృఢంగా తెలుసుకుంటే ఏదైనా త్రికోణమితి ఫార్ములా చాలా త్వరగా పొందవచ్చు. 2 α+ ఖర్చు 2 α =1, మొదలైనవి.

పాఠశాలలో త్రికోణమితి సూత్రాలను నేర్చుకోవడం వలన మీరు మీ జీవితాంతం సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లను లెక్కించవచ్చు, కానీ మీ మెదడు పని చేసే సామర్థ్యాన్ని పొందుతుంది. ( . స్లయిడ్ 2 )

“ రోడ్లు అనేది మెదడులో కొవ్వుగా పేరుకుపోయిన జ్ఞానం కాదు; రోడ్లు మానసిక కండరాలుగా మారేవి" అని ఆంగ్ల తత్వవేత్త మరియు సామాజిక శాస్త్రవేత్త అయిన జి. స్పెసర్ రాశారు.

మేము మా మానసిక కండరాలను పంప్ చేసి శిక్షణ ఇస్తాము. కాబట్టి, మేము ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలను పునరావృతం చేస్తాము.పరీక్ష (స్లయిడ్ 4)(స్లయిడ్ 5)

మేము సూత్రాలను పునరావృతం చేసాము, ఇప్పుడు మనం ఇద్దరు స్నేహితులకు సహాయం చేయవచ్చు, వారిని ఇస్లాం మరియు మాగోమెడ్ అని పిలుద్దాం.

చాలా క్లిష్టమైన త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణను మార్చిన తర్వాతఎ వారు కింది వ్యక్తీకరణలను స్వీకరించారు:(స్లయిడ్ 6)

(స్లయిడ్ 7) ప్రతి ఒక్కరూ తమ సమాధానాన్ని సమర్థించారు. వాటిలో ఏది సరైనదో తెలుసుకోవడం ఎలా? మేము పీటర్‌తో స్నేహంగా ఉన్న ఆర్టియోమ్ వైపు తిరిగాము"ప్లేటో నా స్నేహితుడు, కానీ నిజం ప్రియమైనది": ఆర్టియోమ్ వారి వివాదాన్ని పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలను సూచించాడు. సత్యాన్ని స్థాపించడానికి మీరు ఏ మార్గాలను సూచించగలరు?వారు సత్యాన్ని స్థాపించడానికి మార్గాలను అందిస్తారు (స్లయిడ్ 8):

1) రూపాంతరం, సులభతరం A పి మరియు ఎ తో , అనగా ఒక వ్యక్తీకరణకు దారితీసింది

2) ఎ పి - ఎ తో = 0

3) …..

అంటే, రెండూ సరైనవే. మరియు వారి సమాధానాలు అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలకు సమానంగా ఉంటాయిα మరియు β .

అటువంటి వ్యక్తీకరణలను ఏమని పిలుస్తారు?గుర్తింపులు. మీకు ఏ గుర్తింపులు తెలుసు?

గుర్తింపు , తర్కం, తత్వశాస్త్రం మరియు గణితం యొక్క ప్రాథమిక భావన; సంబంధాలు, చట్టాలు మరియు సిద్ధాంతాలను నిర్వచించడానికి శాస్త్రీయ సిద్ధాంతాల భాషలలో ఉపయోగిస్తారు.

గుర్తింపు అనేది సమానత్వం, ఒక వస్తువు యొక్క సారూప్యత, దానితో ఒక దృగ్విషయం లేదా అనేక వస్తువుల సమానత్వాన్ని వ్యక్తీకరించే తాత్విక వర్గం.

గణితంలో గుర్తింపు దానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు చెల్లుబాటు అయ్యే సమానత్వం.(స్లయిడ్ 9)

పాఠం అంశం : "త్రికోణమితి గుర్తింపులు."

లక్ష్యాలు: మార్గాలను కనుగొనండి.

బోర్డులో ఇద్దరు వ్యక్తులు పనిచేస్తున్నారు.

№ 2. గుర్తింపును నిరూపించండి.

P.h.=L.h.

గుర్తింపు నిరూపించబడింది.

№ 3. గుర్తింపును నిరూపించండి:

1 మార్గం:

విధానం 2:

గుర్తింపును నిరూపించే పద్ధతులు.

గుర్తింపు యొక్క కుడి వైపు. మేము చివరకు ఎడమ వైపు వస్తే, అప్పుడు గుర్తింపు నిరూపించబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది.

సమానమైన మార్పిడులను జరుపుముగుర్తింపు యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా. మేము అదే ఫలితాన్ని పొందినట్లయితే, గుర్తింపు నిరూపించబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది.

గుర్తింపు యొక్క కుడి వైపు నుండి మేము ఎడమ వైపును తీసివేస్తాము.

గుర్తింపు యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడి వైపు తీసివేయబడుతుంది. మేము వ్యత్యాసంపై సమానమైన పరివర్తనలను చేస్తాము. మరియు చివరికి మనకు సున్నా వస్తే, అప్పుడు గుర్తింపు నిరూపించబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది.

గుర్తింపు వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతుందని కూడా గుర్తుంచుకోవాలి.

త్రికోణమితి గుర్తింపులను నిరూపించగలగడం ఎందుకు అవసరం? యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో, టాస్క్ C1 అనేది త్రికోణమితి సమీకరణాలు!

పరిష్కరించబడిన నం. 465-467

కాబట్టి, పాఠాన్ని సంగ్రహిద్దాం. (స్లయిడ్ 10)

పాఠం యొక్క అంశం ఏమిటి?

గుర్తింపును నిరూపించే ఏ పద్ధతులు మీకు తెలుసు?

1. ఎడమ నుండి కుడికి లేదా కుడి నుండి ఎడమకు మార్చండి.
2. ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఒకే వ్యక్తీకరణకు మార్చండి.
3. ఎడమ మరియు కుడి వైపుల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని కంపైల్ చేయడం మరియు ఈ వ్యత్యాసం సున్నాకి సమానమని రుజువు చేయడం.

దీని కోసం ఏ సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి?

1. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు.
2. 6 త్రికోణమితి గుర్తింపులు.

పాఠం ప్రతిబింబం. (స్లయిడ్ 11)

పదబంధాలను కొనసాగించండి:

– ఈరోజు క్లాసులో నేర్చుకున్నాను...
- ఈ రోజు నేను క్లాసులో నేర్చుకున్నాను...
- ఈ రోజు తరగతిలో నేను పునరావృతం చేసాను ...
- ఈ రోజు నేను క్లాస్‌లో కలిశాను ...
- నాకు ఈ రోజు పాఠం నచ్చింది...

హోంవర్క్. №№465-467 (స్లయిడ్ 12)

క్రియేటివ్ టాస్క్: గణితం యొక్క ప్రసిద్ధ గుర్తింపుల గురించి ప్రదర్శనను సిద్ధం చేయండి. (ఉదాహరణకు, ఆయిలర్ యొక్క గుర్తింపు.)(స్లయిడ్

త్రికోణమితి గుర్తింపులు- ఇవి ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే సమానత్వాలు, ఇది ఏదైనా ఇతర తెలిసినట్లయితే, ఈ ఫంక్షన్‌లలో దేనినైనా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

సైన్ మరియు కొసైన్ మధ్య సంబంధం

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

ఈ గుర్తింపు ఒక కోణం యొక్క సైన్ యొక్క స్క్వేర్ యొక్క మొత్తం మరియు ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క స్క్వేర్ ఒకదానికి సమానం అని చెబుతుంది, ఇది ఆచరణలో దాని కొసైన్ తెలిసినప్పుడు మరియు వైస్ వెర్సా ఉన్నప్పుడు ఒక కోణం యొక్క సైన్‌ను లెక్కించడం సాధ్యపడుతుంది. .

త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు, ఈ గుర్తింపు చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్ యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని ఒకదానితో భర్తీ చేయడానికి మరియు రివర్స్ క్రమంలో పునఃస్థాపన ఆపరేషన్ను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

సైన్ మరియు కొసైన్ ఉపయోగించి టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను కనుగొనడం

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

ఈ గుర్తింపులు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ నిర్వచనాల నుండి ఏర్పడతాయి. అన్నింటికంటే, మీరు దానిని చూస్తే, నిర్వచనం ప్రకారం ఆర్డినేట్ \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), మరియు నిష్పత్తి \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- ఒక కోటాంజెంట్ అవుతుంది.

వాటిలో చేర్చబడిన త్రికోణమితి విధులు అర్థవంతంగా ఉండే \(\alpha \) కోణాలకు మాత్రమే గుర్తింపులు , .

ఉదాహరణకు: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \)\(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) నుండి భిన్నమైన \(\alpha \) కోణాలకు చెల్లుతుంది \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- \(\ pi z \) కాకుండా ఇతర కోణం కోసం \(\alpha \) , \(z \) పూర్ణాంకం.

టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ మధ్య సంబంధం

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

\(\dfrac(\pi)(2) z \) నుండి భిన్నమైన \(\alpha \) కోణాలకు మాత్రమే ఈ గుర్తింపు చెల్లుతుంది. లేకపోతే, కోటాంజెంట్ లేదా టాంజెంట్ నిర్ణయించబడదు.

పై పాయింట్ల ఆధారంగా, మేము \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) మరియు \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . దానిని అనుసరిస్తుంది \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). అందువల్ల, అవి అర్ధమయ్యే ఒకే కోణం యొక్క టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ పరస్పర విలోమ సంఖ్యలు.

టాంజెంట్ మరియు కొసైన్, కోటాంజెంట్ మరియు సైన్ మధ్య సంబంధాలు

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- \(\alpha \) మరియు \(\alpha \) కోణం యొక్క స్క్వేర్డ్ టాంజెంట్ మొత్తం \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- మొత్తం \(\alpha \) ఇచ్చిన కోణం యొక్క సైన్ యొక్క విలోమ చతురస్రానికి సమానం. \(\pi z \) నుండి భిన్నమైన ఏదైనా \(\alpha \) కోసం ఈ గుర్తింపు చెల్లుబాటు అవుతుంది.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
గణనలను నిర్వహించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ActiveX నియంత్రణలను ప్రారంభించాలి!

గుర్తింపుల ఉదాహరణలు:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

కానీ \(\frac(x^2)(x)=x\) అనే వ్యక్తీకరణ \(x≠0\) అయితే మాత్రమే గుర్తింపుగా ఉంటుంది (లేకపోతే ఎడమ వైపు ఉండదు).

గుర్తింపును ఎలా నిరూపించాలి?

రెసిపీ చాలా సులభం:

గుర్తింపును నిరూపించడానికి, మీరు దాని కుడి మరియు ఎడమ భుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని నిరూపించాలి, అనగా. దానిని "వ్యక్తీకరణ" = "అదే వ్యక్తీకరణ" రూపానికి తగ్గించండి.

ఉదాహరణకు,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

దీన్ని చేయడానికి, మీరు వీటిని చేయవచ్చు:

1. కుడి లేదా ఎడమ వైపు మాత్రమే మార్చండి.
2. రెండు భాగాలను ఒకే సమయంలో మార్చండి.
3. ఏదైనా చెల్లుబాటు అయ్యే గణిత పరివర్తనలను ఉపయోగించండి (ఉదాహరణకు, సారూప్యమైన వాటిని ఇవ్వండి; కుండలీకరణాలను తెరవండి; పదాలను ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయండి, గుర్తును మార్చండి; ఎడమ మరియు కుడి భాగాలను సున్నాకి సమానం కాని ఒకే సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణతో గుణించండి లేదా విభజించండి, మొదలైనవి .) .
4. ఏదైనా గణిత సూత్రాలను ఉపయోగించండి.

ఇది చాలా తరచుగా ఉపయోగించే గుర్తింపులను నిరూపించేటప్పుడు ఇది నాల్గవ పాయింట్, కాబట్టి మీరు తెలుసుకోవాలి, గుర్తుంచుకోవాలి మరియు ప్రతిదీ ఉపయోగించగలగాలి.

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి గుర్తింపును నిరూపించండి \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
పరిష్కారం :

ఉదాహరణ . వ్యక్తీకరణ అని నిరూపించండి \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) అనేది ఒక గుర్తింపు.
పరిష్కారం :

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి గుర్తింపును నిరూపించండి \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
పరిష్కారం :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		ఇక్కడ మేము కుడి వైపు మాత్రమే రూపాంతరం చేస్తాము, దానిని ఎడమ వైపుకు తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. మేము ఎడమవైపును మార్చకుండా వదిలివేస్తాము. గుర్తుంచుకుందాం.
\(1-tg^2 t=\)		ఇప్పుడు భిన్నంలో టర్మ్-బై-టర్మ్ విభజన చేద్దాం (అనగా, వ్యతిరేక దిశలో వర్తించండి): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)( b)\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		కుడి వైపున మొదటి భిన్నాన్ని తగ్గించి, రెండవదానికి వర్తింపజేద్దాం: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\) .
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		సరే, కొసైన్‌తో భాగించబడిన సైన్ అదే కోణానికి సమానం: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

ఉదాహరణ . త్రికోణమితి గుర్తింపును నిరూపించండి \(=ctg(π+t)-1\)
పరిష్కారం :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		ఇక్కడ మేము రెండు భాగాలను మారుస్తాము: - ఎడమవైపు: డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములా ఉపయోగించి \(\cos⁡2t\) రూపాంతరం; - మరియు కుడివైపు \(ctg(π+t)\) ద్వారా.
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		ఇప్పుడు మేము ఎడమ వైపు మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము న్యూమరేటర్‌లో సైన్ మరియు హారంలో సైన్ ఉపయోగిస్తాము.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		భిన్నాన్ని \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\)తో తగ్గిద్దాం.
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		భిన్న పదాన్ని పదం ద్వారా విభజించండి, దానిని రెండు వేర్వేరు భిన్నాలుగా మార్చండి.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		మొదటి భిన్నం , మరియు రెండవది ఒకదానికి సమానం.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		ఎడమ వైపు కుడికి సమానం, గుర్తింపు నిరూపించబడింది.

మీరు గమనిస్తే, ప్రతిదీ చాలా సులభం, కానీ మీరు అన్ని సూత్రాలు మరియు లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి.

ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఎలా నిరూపించాలి

\(\sin^2x+\cos^2x=1\) సూత్రాన్ని పొందేందుకు రెండు సులభమైన మార్గాలు. మీరు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం మరియు సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం మాత్రమే తెలుసుకోవాలి.

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలకు సమాధానాలు:

ప్రశ్న: ఎడమ వైపు, కుడి వైపు లేదా రెండూ కలిసి గుర్తింపులో ఏది రూపాంతరం చెందాలో నిర్ణయించడం ఎలా?
సమాధానం: తేడా లేదు - ఎలాగైనా మీరు అదే ఫలితాన్ని పొందుతారు. ఉదాహరణకు, మూడవ ఉదాహరణలో మనం \(1-tg^2 t\) కుడివైపు ఎడమ వైపు నుండి సులభంగా పొందవచ్చు \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(మీరే ప్రయత్నించండి). లేదా రెండింటినీ మార్చండి, తద్వారా అవి ఎక్కడో ఒక ప్రాంతంలో "మధ్యలో కలుస్తాయి" \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). అందువల్ల, మీకు అనుకూలమైన ఏ విధంగానైనా మీరు నిరూపించవచ్చు. మీరు ఏ "మార్గం" చూసినా, దానిని అనుసరించండి. "చట్టబద్ధంగా" రూపాంతరం చెందడం మాత్రమే ప్రధాన విషయం, అంటే, మీరు తదుపరి పరివర్తనను ఏ ఆస్తి, నియమం లేదా సూత్రం ఆధారంగా చేస్తున్నారో అర్థం చేసుకోండి.