సూత్రం యొక్క ప్రధాన సారాంశం ఏమిటి?

ఈ ఫార్ములా మిమ్మల్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది ఏదైనా అతని నంబర్ ద్వారా " n" .

అయితే, మీరు మొదటి పదాన్ని కూడా తెలుసుకోవాలి a 1మరియు పురోగతి వ్యత్యాసం డి, అలాగే, ఈ పారామితులు లేకుండా మీరు నిర్దిష్ట పురోగతిని వ్రాయలేరు.

ఈ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవడం (లేదా క్రిబ్ చేయడం) సరిపోదు. మీరు దాని సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి మరియు వివిధ సమస్యలలో సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి. మరియు సరైన సమయంలో మరచిపోకూడదు, అవును...) ఎలా మర్చిపోవద్దు- నాకు తెలియదు. కానీ ఎలా గుర్తుంచుకోవాలిఅవసరమైతే, నేను ఖచ్చితంగా మీకు సలహా ఇస్తాను. పాఠాన్ని చివరి వరకు పూర్తి చేసిన వారికి.)

కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రాన్ని చూద్దాం.

సాధారణంగా ఫార్ములా అంటే ఏమిటి? మార్గం ద్వారా, మీరు దీన్ని చదవకుంటే ఒకసారి చూడండి. అక్కడ ప్రతిదీ సులభం. అది ఏమిటో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది nవ పదం.

సాధారణంగా పురోగతిని సంఖ్యల శ్రేణిగా వ్రాయవచ్చు:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని సూచిస్తుంది, a 3- మూడవ సభ్యుడు, ఒక 4- నాల్గవ, మరియు మొదలైనవి. ఐదవ టర్మ్‌పై మాకు ఆసక్తి ఉంటే, మేము పని చేస్తున్నామని చెప్పండి ఒక 5, నూట ఇరవై అయితే - సం ఒక 120.

మేము దానిని సాధారణ పరంగా ఎలా నిర్వచించవచ్చు? ఏదైనాఒక అంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం, తో ఏదైనాసంఖ్య? చాలా సింపుల్! ఇలా:

ఒక ఎన్

ఇదే అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం. n అక్షరం అన్ని సభ్యుల సంఖ్యలను ఒకేసారి దాచిపెడుతుంది: 1, 2, 3, 4, మరియు మొదలైనవి.

మరియు అలాంటి రికార్డు మనకు ఏమి ఇస్తుంది? ఒక్కసారి ఆలోచించండి, సంఖ్యకు బదులుగా వారు ఒక లేఖ రాశారు ...

ఈ సంజ్ఞామానం మాకు అంకగణిత పురోగతితో పని చేయడానికి శక్తివంతమైన సాధనాన్ని అందిస్తుంది. సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించడం ఒక ఎన్, మేము త్వరగా కనుగొనవచ్చు ఏదైనాసభ్యుడు ఏదైనాఅంకగణిత పురోగతి. మరియు ఇతర పురోగతి సమస్యల సమూహాన్ని పరిష్కరించండి. మీరు మీ కోసం మరింత చూస్తారు.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం సూత్రంలో:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;

n- సభ్యుల సంఖ్య.

ఫార్ములా ఏదైనా పురోగతి యొక్క కీలక పారామితులను కలుపుతుంది: ఒక n; a 1 ; డిమరియు n. అన్ని పురోగతి సమస్యలు ఈ పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతాయి.

nవ పదం ఫార్ములా నిర్దిష్ట పురోగతిని వ్రాయడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సమస్య పురోగతి పరిస్థితిని బట్టి నిర్దేశించబడిందని చెప్పవచ్చు:

a n = 5 + (n-1) 2.

అలాంటి సమస్య అంతంతమాత్రంగానే ఉంటుంది... సిరీస్‌గానీ, తేడాగానీ ఉండదు... కానీ, ఫార్ములాతో కండిషన్‌ను పోల్చి చూస్తే, ఈ పురోగతిలో అర్థం చేసుకోవడం సులభం. a 1 =5, మరియు d=2.

మరియు అది మరింత ఘోరంగా ఉంటుంది!) మనం అదే పరిస్థితిని తీసుకుంటే: a n = 5 + (n-1) 2,అవును, కుండలీకరణాలను తెరిచి, ఇలాంటి వాటిని తీసుకురావాలా? మేము కొత్త సూత్రాన్ని పొందుతాము:

a n = 3 + 2n.

ఈ కేవలం సాధారణ కాదు, కానీ ఒక నిర్దిష్ట పురోగతి కోసం. ఇక్కడే ఆపద పొంచి ఉంది. కొంతమంది మొదటి పదం మూడు అని అనుకుంటారు. వాస్తవానికి మొదటి పదం ఐదు అయినప్పటికీ... కొంచెం తక్కువగా మేము అలాంటి సవరించిన ఫార్ములాతో పని చేస్తాము.

పురోగతి సమస్యలలో మరొక సంజ్ఞామానం ఉంది - a n+1. ఇది, మీరు ఊహించినట్లుగా, పురోగతి యొక్క “n ప్లస్ ఫస్ట్” పదం. దీని అర్థం సరళమైనది మరియు ప్రమాదకరం కాదు.) ఇది పురోగమనం యొక్క సభ్యుడు, దీని సంఖ్య n కంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఏదైనా సమస్యలో మనం తీసుకుంటాము ఒక ఎన్ఐదవ టర్మ్ అప్పుడు a n+1ఆరో సభ్యుడిగా ఉంటారు. మరియు ఇలాంటివి.

చాలా తరచుగా హోదా a n+1పునరావృత సూత్రాలలో కనుగొనబడింది. ఈ భయానక పదానికి భయపడవద్దు!) ఇది అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని వ్యక్తీకరించడానికి ఒక మార్గం మాత్రమే మునుపటి ద్వారా.పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఈ రూపంలో మనకు అంకగణిత పురోగతిని అందించామని అనుకుందాం:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

నాల్గవ - మూడవ ద్వారా, ఐదవ - నాల్గవ ద్వారా, మరియు అందువలన న. ఇరవయ్యవ పదాన్ని మనం వెంటనే ఎలా లెక్కించగలం? ఒక 20? కానీ మార్గం లేదు!) మేము 19వ పదాన్ని కనుగొనే వరకు, మేము 20ని లెక్కించలేము. ఇది పునరావృత సూత్రం మరియు nవ పదం యొక్క సూత్రం మధ్య ప్రాథమిక వ్యత్యాసం. ద్వారా మాత్రమే పునరావృత పనులు మునుపటిపదం, మరియు nవ పదం యొక్క సూత్రం ద్వారా మొదటిమరియు అనుమతిస్తుంది వెంటనేఏదైనా సభ్యుని సంఖ్య ద్వారా కనుగొనండి. మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణిని క్రమంలో లెక్కించకుండా.

అంకగణిత పురోగతిలో, పునరావృత సూత్రాన్ని సాధారణమైనదిగా మార్చడం సులభం. ఒక జత వరుస పదాలను లెక్కించండి, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి d,అవసరమైతే, మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి a 1, సూత్రాన్ని దాని సాధారణ రూపంలో వ్రాసి, దానితో పని చేయండి. స్టేట్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్‌లో ఇటువంటి పనులు తరచుగా ఎదురవుతాయి.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఫార్ములా యొక్క అప్లికేషన్.

ముందుగా, ఫార్ములా యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనాన్ని చూద్దాం. మునుపటి పాఠం ముగింపులో ఒక సమస్య ఉంది:

అంకగణిత పురోగతి (a n) ఇవ్వబడింది. 1 =3 మరియు d=1/6 అయితే 121ని కనుగొనండి.

ఈ సమస్య ఎటువంటి సూత్రాలు లేకుండా కేవలం అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థం ఆధారంగా పరిష్కరించబడుతుంది. జోడించు మరియు జోడించు... ఒక గంట లేదా రెండు.)

మరియు సూత్రం ప్రకారం, పరిష్కారం ఒక నిమిషం కంటే తక్కువ సమయం పడుతుంది. మీరు సమయం చేసుకోవచ్చు.) నిర్ణయించుకుందాం.

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం షరతులు మొత్తం డేటాను అందిస్తాయి: a 1 =3, d=1/6.ఏది సమానమో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది n.ప్రశ్న లేదు! మనం కనుక్కోవాలి ఒక 121. కాబట్టి మేము వ్రాస్తాము:

దయచేసి శ్రద్ధ వహించండి! సూచికకు బదులుగా nఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య కనిపించింది: 121. ఇది చాలా తార్కికం.) మేము అంకగణిత పురోగతి సభ్యునిపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము సంఖ్య నూట ఇరవై ఒకటి.ఇది మాది అవుతుంది n.ఇదీ అర్థం n= 121 మేము బ్రాకెట్లలో ఫార్ములాలో మరింత ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. మేము అన్ని సంఖ్యలను ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తాము మరియు గణిస్తాము:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

అంతే. ఐదు వందల పదవ పదం మరియు వెయ్యి మరియు మూడవ పదం ఏదైనా ఒకదానిని త్వరగా కనుగొనవచ్చు. మేము బదులుగా ఉంచాము nఅక్షరం యొక్క సూచికలో కావలసిన సంఖ్య " ఒక"మరియు బ్రాకెట్లలో, మరియు మేము లెక్కిస్తాము.

నేను మీకు విషయాన్ని గుర్తు చేస్తాను: ఈ ఫార్ములా మిమ్మల్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది ఏదైనాఅంకగణిత పురోగతి పదం అతని నంబర్ ద్వారా " n" .

సమస్యను మరింత చాకచక్యంగా పరిష్కరిద్దాం. మనం ఈ క్రింది సమస్యను పరిశీలిద్దాం:

17 =-2 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి; d=-0.5.

మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, మొదటి అడుగు నేను మీకు చెప్తాను. అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయండి!అవును, అవును. మీ నోట్‌బుక్‌లో మీ చేతులతో వ్రాయండి:

a n = a 1 + (n-1)d

మరియు ఇప్పుడు, ఫార్ములా యొక్క అక్షరాలను చూస్తే, మనకు ఏ డేటా ఉంది మరియు ఏమి లేదు అని మేము అర్థం చేసుకున్నాము? అందుబాటులో ఉంది d=-0.5,పదిహేడవ సభ్యుడు ఉన్నాడు... అంతేనా? మీరు అంతే అనుకుంటే, మీరు సమస్యను పరిష్కరించలేరు, అవును...

మా దగ్గర ఇంకా నంబర్ ఉంది n! పరిస్థితిలో a 17 =-2దాచబడింది రెండు పారామితులు.ఇది పదిహేడవ పదం యొక్క విలువ (-2) మరియు దాని సంఖ్య (17) రెండూ. ఆ. n=17.ఈ "చిన్న వస్తువు" తరచుగా తల దాటి జారిపోతుంది, మరియు అది లేకుండా, ("చిన్న వస్తువు" లేకుండా, తల కాదు!) సమస్య పరిష్కరించబడదు. అయినప్పటికీ ... మరియు తల లేకుండా కూడా.)

ఇప్పుడు మనం మూర్ఖంగా మా డేటాను సూత్రంలోకి మార్చవచ్చు:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

అయ్యో, ఒక 17అది -2 అని మాకు తెలుసు. సరే, ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ప్రాథమికంగా అంతే. ఇది సూత్రం నుండి అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి మరియు దానిని లెక్కించడానికి మిగిలి ఉంది. సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: a 1 = 6.

ఈ టెక్నిక్ - ఒక సూత్రాన్ని వ్రాసి, తెలిసిన డేటాను భర్తీ చేయడం - సాధారణ పనులలో గొప్ప సహాయం. సరే, అయితే, మీరు తప్పనిసరిగా ఒక ఫార్ములా నుండి వేరియబుల్‌ని వ్యక్తపరచగలగాలి, కానీ ఏమి చేయాలి!? ఈ నైపుణ్యం లేకుండా, గణితాన్ని అస్సలు అధ్యయనం చేయలేరు ...

మరొక ప్రసిద్ధ పజిల్:

1 =2 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి; a 15 =12.

ఏం చేస్తున్నాం? మీరు ఆశ్చర్యపోతారు, మేము సూత్రాన్ని వ్రాస్తున్నాము!)

a n = a 1 + (n-1)d

మనకు తెలిసిన వాటిని పరిశీలిద్దాం: a 1 =2; a 15 =12; మరియు (నేను ప్రత్యేకంగా హైలైట్ చేస్తాను!) n=15. దీన్ని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి సంకోచించకండి:

12=2 + (15-1)డి

మేము అంకగణితాన్ని చేస్తాము.)

12=2 + 14డి

డి=10/14 = 5/7

ఇది సరైన సమాధానం.

కాబట్టి, కోసం పనులు a n, a 1మరియు డినిర్ణయించుకుంది. సంఖ్యను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకోవడమే మిగిలి ఉంది:

సంఖ్య 99 అంకగణిత పురోగతి (a n), ఇక్కడ ఒక 1 =12; d=3. ఈ సభ్యుని సంఖ్యను కనుగొనండి.

మేము nవ పదం యొక్క సూత్రంలో మనకు తెలిసిన పరిమాణాలను భర్తీ చేస్తాము:

a n = 12 + (n-1) 3

మొదటి చూపులో, ఇక్కడ రెండు తెలియని పరిమాణాలు ఉన్నాయి: a n మరియు n.కానీ ఒక ఎన్- ఇది ఒక సంఖ్యతో పురోగతిలో కొంత సభ్యుడు n... మరియు ఈ పురోగతి సభ్యుడు మాకు తెలుసు! ఇది 99. దాని నంబర్ మాకు తెలియదు. n,కాబట్టి ఈ సంఖ్యను మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మేము ఫార్ములాలో పురోగతి 99 పదాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

99 = 12 + (n-1) 3

మేము సూత్రం నుండి వ్యక్తపరుస్తాము n, మేము అనుకుంటున్నాము. మేము సమాధానం పొందుతాము: n=30.

మరియు ఇప్పుడు అదే అంశంపై సమస్య, కానీ మరింత సృజనాత్మకంగా ఉంది):

117 సంఖ్య అంకగణిత పురోగతి (a n)లో సభ్యునిగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

మళ్ళీ ఫార్ములా రాద్దాం. ఏమిటి, పారామితులు లేవా? మ్... మనకు కళ్ళు ఎందుకు ఇవ్వబడ్డాయి?) మేము పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని చూస్తామా? మనం చూస్తాం. ఇది -3.6. మీరు సురక్షితంగా వ్రాయవచ్చు: a 1 = -3.6.తేడా డిమీరు సిరీస్ నుండి నిర్ణయించగలరా? అంకగణిత పురోగతి యొక్క తేడా ఏమిటో మీకు తెలిస్తే ఇది సులభం:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

కాబట్టి, మేము సరళమైన పని చేసాము. ఇది తెలియని సంఖ్యతో వ్యవహరించడానికి మిగిలి ఉంది nమరియు అపారమయిన సంఖ్య 117. మునుపటి సమస్యలో, కనీసం ఇది ఇచ్చిన పురోగతి యొక్క పదం అని తెలిసింది. కానీ ఇక్కడ మనకు కూడా తెలియదు... ఏం చేయాలో!? సరే, ఎలా ఉండాలి, ఎలా ఉండాలి... మీ సృజనాత్మక సామర్థ్యాలను ఆన్ చేయండి!)

మేము అనుకుందాం 117, అన్నింటికంటే, మా పురోగతిలో సభ్యుడు. తెలియని నంబర్‌తో n. మరియు, మునుపటి సమస్యలో వలె, ఈ సంఖ్యను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఆ. మేము సూత్రాన్ని వ్రాస్తాము (అవును, అవును!)) మరియు మా సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

మళ్ళీ మేము సూత్రం నుండి వ్యక్తపరుస్తాముn, మేము లెక్కించి పొందుతాము:

అయ్యో! సంఖ్య తేలింది భిన్నమైన!నూట ఒకటిన్నర. మరియు పురోగతిలో భిన్న సంఖ్యలు జరగదు.మనం ఏ తీర్మానం చేయవచ్చు? అవును! సంఖ్య 117 కాదుమా పురోగతి సభ్యుడు. ఇది వంద మరియు మొదటి మరియు నూట మరియు రెండవ పదాల మధ్య ఎక్కడో ఉంది. సంఖ్య సహజంగా మారినట్లయితే, అనగా. ధనాత్మక పూర్ణాంకం, అప్పుడు సంఖ్య కనుగొనబడిన సంఖ్యతో పురోగతిలో సభ్యునిగా ఉంటుంది. మరియు మా విషయంలో, సమస్యకు సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: నం.

GIA యొక్క నిజమైన వెర్షన్ ఆధారంగా టాస్క్:

అంకగణిత పురోగతి పరిస్థితి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

a n = -4 + 6.8n

పురోగతి యొక్క మొదటి మరియు పదవ నిబంధనలను కనుగొనండి.

ఇక్కడ పురోగతి అసాధారణ రీతిలో సెట్ చేయబడింది. ఒకరకమైన ఫార్ములా... ఇది జరుగుతుంది.) అయితే, ఈ ఫార్ములా (నేను పైన వ్రాసినట్లు) - అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదానికి కూడా సూత్రం!ఆమె కూడా అనుమతిస్తుంది పురోగతిలోని ఏదైనా సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా కనుగొనండి.

మేము మొదటి సభ్యుని కోసం వెతుకుతున్నాము. ఆలోచించే వాడు. మొదటి పదం మైనస్ ఫోర్ అని తప్పుగా భావించబడింది!) ఎందుకంటే సమస్యలోని సూత్రం సవరించబడింది. దానిలోని అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం దాచబడింది.ఫర్వాలేదు, మేము ఇప్పుడు దానిని కనుగొంటాము.)

మునుపటి సమస్యల మాదిరిగానే, మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము n=1ఈ సూత్రంలోకి:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

ఇక్కడ! మొదటి పదం 2.8, -4 కాదు!

మేము అదే విధంగా పదవ పదం కోసం చూస్తాము:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

అంతే.

మరియు ఇప్పుడు, ఈ పంక్తులను చదివిన వారికి, వాగ్దానం చేసిన బోనస్.)

స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క క్లిష్ట పోరాట పరిస్థితిలో, మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఉపయోగకరమైన సూత్రాన్ని మర్చిపోయారని అనుకుందాం. నాకు ఏదో గుర్తుంది, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా అనిశ్చితంగా... లేదా nఅక్కడ, లేదా n+1, లేదా n-1...ఎలా ఉండాలి!?

ప్రశాంతత! ఈ ఫార్ములా పొందడం సులభం. ఇది చాలా కఠినమైనది కాదు, కానీ విశ్వాసం మరియు సరైన నిర్ణయం కోసం ఇది ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది!) ఒక ముగింపు చేయడానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక అర్థాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి మరియు కొన్ని నిమిషాల సమయాన్ని కలిగి ఉంటే సరిపోతుంది. మీరు కేవలం ఒక చిత్రాన్ని గీయాలి. స్పష్టత కోసం.

ఒక సంఖ్య రేఖను గీయండి మరియు దానిపై మొదటిదాన్ని గుర్తించండి. రెండవ, మూడవ, మొదలైనవి. సభ్యులు. మరియు మేము తేడాను గమనించాము డిసభ్యుల మధ్య. ఇలా:

మేము చిత్రాన్ని చూసి ఆలోచిస్తాము: రెండవ పదం దేనికి సమానం? రెండవది ఒకటి డి:

a 2 =a 1 + 1 డి

మూడవ పదం ఏమిటి? మూడవదిపదం మొదటి పదం ప్లస్‌తో సమానం రెండు డి.

a 3 =a 1 + 2 డి

మీకు అర్థమైందా? నేను బోల్డ్‌లో కొన్ని పదాలను హైలైట్ చేయడం ఏమీ కాదు. సరే, మరో అడుగు).

నాల్గవ పదం ఏమిటి? నాల్గవదిపదం మొదటి పదం ప్లస్‌తో సమానం మూడు డి.

a 4 =a 1 + 3 డి

ఇది ఖాళీల సంఖ్య అని గ్రహించాల్సిన సమయం, అనగా. డి, ఎల్లప్పుడూ మీరు వెతుకుతున్న సభ్యుల సంఖ్య కంటే ఒకటి తక్కువ n. అంటే, సంఖ్యకు n, ఖాళీల సంఖ్యరెడీ n-1.కాబట్టి, ఫార్ములా (వైవిధ్యాలు లేకుండా!):

a n = a 1 + (n-1)d

సాధారణంగా, గణితంలో అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దృశ్య చిత్రాలు చాలా సహాయకారిగా ఉంటాయి. చిత్రాలను నిర్లక్ష్యం చేయవద్దు. కానీ చిత్రాన్ని గీయడం కష్టమైతే, అప్పుడు... ఒక ఫార్ములా మాత్రమే!) అదనంగా, n వ పదం యొక్క సూత్రం గణిత శాస్త్రం యొక్క మొత్తం శక్తివంతమైన ఆర్సెనల్‌ను పరిష్కారానికి కనెక్ట్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - సమీకరణాలు, అసమానతలు, వ్యవస్థలు మొదలైనవి. మీరు సమీకరణంలో చిత్రాన్ని చొప్పించలేరు...

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు.

వేడెక్కడానికి:

1. అంకగణిత పురోగతిలో (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3ని కనుగొనండి.

సూచన: చిత్రం ప్రకారం, సమస్య 20 సెకన్లలో పరిష్కరించబడుతుంది ... ఫార్ములా ప్రకారం, ఇది మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. కానీ ఫార్ములా మాస్టరింగ్ కోసం, ఇది మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.) విభాగం 555లో, ఈ సమస్య చిత్రం మరియు ఫార్ములా రెండింటినీ ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. తేడా అనుభూతి!)

మరియు ఇది ఇకపై వేడెక్కడం కాదు.)

2. అంకగణిత పురోగతిలో (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. ఒక 3ని కనుగొనండి.

ఏమిటి, మీరు చిత్రాన్ని గీయకూడదనుకుంటున్నారా?) అయితే! ఫార్ములా ప్రకారం బెటర్, అవును...

3. అంకగణిత పురోగతి పరిస్థితి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. ఈ పురోగతి యొక్క నూట ఇరవై ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి.

ఈ పనిలో, పురోగమనం పునరావృత పద్ధతిలో పేర్కొనబడింది. కానీ నూట ఇరవై ఐదవ టర్మ్‌కు లెక్కిస్తే... అందరూ అలాంటి ఘనత సాధించలేరు.) అయితే nth term ఫార్ములా ప్రతి ఒక్కరి శక్తిలో ఉంటుంది!

4. అంకగణిత పురోగతి (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

పురోగతి యొక్క చిన్న సానుకూల పదం సంఖ్యను కనుగొనండి.

5. టాస్క్ 4 యొక్క షరతుల ప్రకారం, పురోగతి యొక్క చిన్న సానుకూల మరియు అతిపెద్ద ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

6. పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ మరియు పన్నెండవ పదాల ఉత్పత్తి -2.5, మరియు మూడవ మరియు పదకొండవ పదాల మొత్తం సున్నా. 14ని కనుగొనండి.

సులభమైన పని కాదు, అవును...) "వేలు చిట్కా" పద్ధతి ఇక్కడ పని చేయదు. మీరు సూత్రాలను వ్రాయాలి మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించాలి.

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

ఇది పని చేసిందా? బాగుంది!)

ప్రతిదీ పని చేయలేదా? జరుగుతుంది. మార్గం ద్వారా, చివరి పనిలో ఒక సూక్ష్మమైన పాయింట్ ఉంది. సమస్యను చదివేటప్పుడు జాగ్రత్త అవసరం. మరియు తర్కం.

ఈ సమస్యలన్నింటికీ పరిష్కారం సెక్షన్ 555లో వివరంగా చర్చించబడింది. మరియు నాల్గవది కోసం ఫాంటసీ యొక్క మూలకం, మరియు ఆరవది కోసం సూక్ష్మమైన పాయింట్ మరియు nవ పదం యొక్క సూత్రానికి సంబంధించిన ఏవైనా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ విధానాలు - ప్రతిదీ వివరించబడింది. నేను దానిని సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

గణితశాస్త్రంలో, ఒకదానికొకటి అనుసరించే ఏదైనా సంఖ్యల సేకరణ, ఏదో ఒక విధంగా నిర్వహించబడడాన్ని క్రమం అంటారు. ఇప్పటికే ఉన్న అన్ని సంఖ్యల శ్రేణులలో, రెండు ఆసక్తికరమైన సందర్భాలు వేరు చేయబడ్డాయి: బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాలు.

అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి?

బీజగణిత పురోగతిని తరచుగా అంకగణితం అని పిలుస్తారని వెంటనే చెప్పాలి, ఎందుకంటే దాని లక్షణాలను గణితం - అంకగణితం యొక్క శాఖ అధ్యయనం చేస్తుంది.

ఈ పురోగమనం అనేది సంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి తదుపరి సభ్యుడు ఒక నిర్దిష్ట స్థిరమైన సంఖ్యతో మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటారు. దీనిని బీజగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అంటారు. నిశ్చయత కోసం, మేము దానిని లాటిన్ అక్షరం d ద్వారా సూచిస్తాము.

అటువంటి శ్రేణికి ఉదాహరణ క్రింది విధంగా ఉంటుంది: 3, 5, 7, 9, 11 ..., ఇక్కడ మీరు 5 సంఖ్య 3 బై 2 కంటే ఎక్కువగా ఉందని, 7 5 బై 2 కంటే ఎక్కువగా ఉందని చూడవచ్చు మరియు అందువలన న. అందువలన, సమర్పించబడిన ఉదాహరణలో, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క రకాలు ఏమిటి?

ఈ క్రమం చేయబడిన సంఖ్యల శ్రేణుల స్వభావం ఎక్కువగా d సంఖ్య యొక్క సంకేతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కింది రకాల బీజగణిత పురోగమనాలు వేరు చేయబడ్డాయి:

• d సానుకూలంగా ఉన్నప్పుడు పెరుగుతుంది (d>0);
• స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు d = 0;
• d ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు తగ్గుతుంది (d<0).

మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన ఉదాహరణ పెరుగుతున్న పురోగతిని చూపుతుంది. తగ్గుతున్న క్రమానికి ఉదాహరణ క్రింది సంఖ్యల శ్రేణి: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... స్థిరమైన పురోగతి, దాని నిర్వచనం నుండి క్రింది విధంగా, ఒకే సంఖ్యల సమాహారం.

పురోగతి యొక్క nవ పదం

పరిశీలనలో ఉన్న పురోగతిలోని ప్రతి తదుపరి సంఖ్య మునుపటి దాని నుండి స్థిరమైన d ద్వారా భిన్నంగా ఉన్నందున, దాని nవ పదాన్ని సులభంగా నిర్ణయించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు d మాత్రమే కాకుండా, 1 - పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని కూడా తెలుసుకోవాలి. పునరావృత విధానాన్ని ఉపయోగించి, nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి బీజగణిత పురోగతి సూత్రాన్ని పొందవచ్చు. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: a n = a 1 + (n-1)*d. ఈ సూత్రం చాలా సులభం మరియు అకారణంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు.

ఉపయోగించడం కూడా కష్టం కాదు. ఉదాహరణకు, పైన ఇచ్చిన పురోగతిలో (d=2, a 1 =3), మేము దాని 35వ పదాన్ని నిర్వచించాము. సూత్రం ప్రకారం, ఇది సమానంగా ఉంటుంది: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

మొత్తానికి ఫార్ములా

అంకగణిత పురోగతిని అందించినప్పుడు, దాని మొదటి n పదాల మొత్తం nవ పదం యొక్క విలువను నిర్ణయించడంతో పాటు తరచుగా ఎదుర్కొనే సమస్య. బీజగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తానికి సూత్రం క్రింది రూపంలో వ్రాయబడింది: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, ఇక్కడ ∑ n 1 గుర్తు 1 నుండి nవ పదాలు సంగ్రహించబడిందని సూచిస్తుంది.

పై వ్యక్తీకరణ అదే పునరావృతం యొక్క లక్షణాలను ఆశ్రయించడం ద్వారా పొందవచ్చు, కానీ దాని చెల్లుబాటును నిరూపించడానికి సులభమైన మార్గం ఉంది. ఈ మొత్తంలో మొదటి 2 మరియు చివరి 2 నిబంధనలను వ్రాసి, వాటిని a 1, a n మరియు d సంఖ్యలలో వ్యక్తీకరిద్దాం మరియు మనకు లభిస్తుంది: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. ఇప్పుడు మనం మొదటి పదాన్ని చివరి పదానికి జోడిస్తే, అది రెండవ మరియు చివరి పదాల మొత్తానికి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటుంది, అంటే 1 +a n. అదే విధంగా, మూడవ మరియు చివరి పదాలను జోడించడం ద్వారా అదే మొత్తాన్ని పొందవచ్చని చూపవచ్చు. క్రమంలో ఒక జత సంఖ్యల విషయంలో, మేము n/2 మొత్తాలను పొందుతాము, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 1 +a nకి సమానం. అంటే, మొత్తానికి బీజగణిత పురోగమనం కోసం మేము పై సూత్రాన్ని పొందుతాము: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

జత చేయని పదాల సంఖ్య n కోసం, మీరు వివరించిన రీజనింగ్‌ను అనుసరిస్తే ఇదే ఫార్ములా పొందబడుతుంది. పురోగతి మధ్యలో ఉన్న మిగిలిన పదాన్ని జోడించాలని గుర్తుంచుకోండి.

పైన పరిచయం చేయబడిన (3, 5, 7, 9, 11 ...) సరళమైన పురోగతి యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి పై సూత్రాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో చూపిద్దాం. ఉదాహరణకు, దాని మొదటి 15 నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించడం అవసరం. ముందుగా, 15ని నిర్వచిద్దాం. nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి (మునుపటి పేరా చూడండి), మనకు లభిస్తుంది: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. ఇప్పుడు మనం దీని కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు బీజగణిత పురోగతి మొత్తం: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

ఆసక్తికరమైన చారిత్రక వాస్తవాన్ని ఉదహరించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది. అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తానికి సూత్రం మొదట కార్ల్ గాస్ (18వ శతాబ్దపు ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు)చే పొందబడింది. అతను కేవలం 10 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉన్నప్పుడు, 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనమని ఉపాధ్యాయుడు సమస్యను అడిగాడు. చిన్న గౌస్ ఈ సమస్యను కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కరించాడని, వారు మొదట మరియు చివరి నుండి సంఖ్యలను సంగ్రహించడం ద్వారా ఈ సమస్యను పరిష్కరించారని వారు చెప్పారు. జతలలో క్రమం, మీరు ఎల్లప్పుడూ 101 పొందవచ్చు మరియు 50 అటువంటి మొత్తాలు ఉన్నందున, అతను త్వరగా సమాధానం ఇచ్చాడు: 50*101 = 5050.

సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణ

బీజగణిత పురోగతి యొక్క అంశాన్ని పూర్తి చేయడానికి, మేము మరొక ఆసక్తికరమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాము, తద్వారా పరిశీలనలో ఉన్న అంశం యొక్క అవగాహనను బలోపేతం చేస్తాము. d = -3 భేదం తెలిసిన ఒక నిర్దిష్ట పురోగతిని ఇవ్వండి, అలాగే దాని 35వ పదం a 35 = -114. పురోగతి a 7 యొక్క 7వ పదాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, 1 యొక్క విలువ తెలియదు, కాబట్టి నేరుగా nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సాధ్యం కాదు. పునరావృత పద్ధతి కూడా అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఇది మానవీయంగా అమలు చేయడం కష్టం, మరియు పొరపాటు చేసే అధిక సంభావ్యత ఉంది. ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగిద్దాం: 7 మరియు 35 కోసం సూత్రాలను వ్రాయండి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: a 7 = a 1 + 6*d మరియు a 35 = a 1 + 34*d. మొదటి వ్యక్తీకరణ నుండి రెండవది తీసివేయండి, మనకు లభిస్తుంది: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. ఇది అనుసరిస్తుంది: a 7 = a 35 - 28*d. సమస్య ప్రకటన నుండి తెలిసిన డేటాను భర్తీ చేయడానికి మరియు సమాధానాన్ని వ్రాయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

రేఖాగణిత పురోగతి

వ్యాసం యొక్క అంశాన్ని మరింత పూర్తిగా బహిర్గతం చేయడానికి, మేము మరొక రకమైన పురోగతి యొక్క క్లుప్త వివరణను అందిస్తాము - రేఖాగణితం. గణితంలో, ఈ పేరు సంఖ్యల శ్రేణిగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది, దీనిలో ప్రతి తదుపరి పదం ఒక నిర్దిష్ట కారకం ద్వారా మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ కారకాన్ని r అనే అక్షరంతో సూచిస్తాం. ఇది పరిశీలనలో ఉన్న పురోగతి రకం యొక్క హారం అంటారు. ఈ సంఖ్యా క్రమం యొక్క ఉదాహరణ: 1, 5, 25, 125, ...

పై నిర్వచనం నుండి చూడగలిగినట్లుగా, బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాలు ఆలోచనలో సమానంగా ఉంటాయి. వాటి మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, మొదటిది రెండవదాని కంటే నెమ్మదిగా మారుతుంది.

రేఖాగణిత పురోగతి కూడా పెరుగుతూ, స్థిరంగా లేదా తగ్గుతూ ఉండవచ్చు. దీని రకం హారం r విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది: r>1 అయితే, r అయితే పెరుగుతున్న పురోగతి ఉంటుంది.<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

రేఖాగణిత పురోగతి సూత్రాలు

బీజగణితం విషయంలో వలె, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క సూత్రాలు దాని nవ పదాన్ని మరియు n పదాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి తగ్గించబడతాయి. క్రింద ఈ వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి:

• a n = a 1 *r (n-1) - ఈ సూత్రం రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). r = 1 అయితే, పై సూత్రం అనిశ్చితిని ఇస్తుంది, కాబట్టి దానిని ఉపయోగించలేమని గమనించడం ముఖ్యం. ఈ సందర్భంలో, n నిబంధనల మొత్తం సాధారణ ఉత్పత్తి a 1 *nకి సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, సీక్వెన్స్ 1, 5, 25, 125, ... a 1 = 1 మరియు r = 5 అని తెలుసుకుంటే, మనకు 10 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. ఫలిత విలువ రేఖాగణిత పురోగతి ఎంత త్వరగా పెరుగుతుందనే దానికి స్పష్టమైన ఉదాహరణ.

చరిత్రలో ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ప్రస్తావన చదరంగం బోర్డ్‌తో ఉన్న పురాణం, ఒక సుల్తాన్ స్నేహితుడు, అతనికి చెస్ ఆడటం నేర్పించి, అతని సేవ కోసం ధాన్యం అడిగాడు. అంతేకాకుండా, ధాన్యం మొత్తం ఈ క్రింది విధంగా ఉండాలి: ఒక ధాన్యాన్ని చదరంగం యొక్క మొదటి చతురస్రంలో ఉంచాలి, రెండవదానిపై మొదటిదాని కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ, మూడవదానిలో రెండవదాని కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ, మరియు మొదలైనవి. . సుల్తాన్ ఈ అభ్యర్థనను నెరవేర్చడానికి ఇష్టపూర్వకంగా అంగీకరించాడు, కానీ తన మాటను నిలబెట్టుకోవడానికి తన దేశంలోని అన్ని డబ్బాలను ఖాళీ చేయవలసి ఉంటుందని అతనికి తెలియదు.

కొందరు వ్యక్తులు "పురోగతి" అనే పదాన్ని ఉన్నత గణిత శాస్త్రాల నుండి చాలా క్లిష్టమైన పదంగా జాగ్రత్తగా వ్యవహరిస్తారు. ఇంతలో, సరళమైన అంకగణిత పురోగతి టాక్సీ మీటర్ యొక్క పని (అవి ఇప్పటికీ ఉనికిలో ఉన్నాయి). మరియు ఒక అంకగణిత క్రమం యొక్క సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడం (మరియు గణితంలో "సారాన్ని పొందడం" కంటే ముఖ్యమైనది ఏమీ లేదు) కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను విశ్లేషించడం ద్వారా అంత కష్టం కాదు.

గణిత సంఖ్య క్రమం

సంఖ్యా క్రమాన్ని సాధారణంగా సంఖ్యల శ్రేణి అంటారు, వీటిలో ప్రతి దాని స్వంత సంఖ్య ఉంటుంది.

a 1 శ్రేణిలో మొదటి సభ్యుడు;

మరియు 2 అనేది క్రమం యొక్క రెండవ పదం;

మరియు 7 క్రమం యొక్క ఏడవ సభ్యుడు;

మరియు n అనేది క్రమం యొక్క nవ సభ్యుడు;

అయితే, ఏ ఏకపక్ష సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలు మాకు ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. మేము మా దృష్టిని గణితశాస్త్రపరంగా స్పష్టంగా రూపొందించగల సంబంధం ద్వారా nవ పదం యొక్క విలువ దాని ఆర్డినల్ సంఖ్యకు సంబంధించిన సంఖ్యా క్రమంపై దృష్టి పెడతాము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే: n వ సంఖ్య యొక్క సంఖ్యా విలువ n యొక్క కొంత ఫంక్షన్.

a అనేది సంఖ్యా క్రమం యొక్క సభ్యుని విలువ;

n దాని క్రమ సంఖ్య;

f(n) అనేది ఒక ఫంక్షన్, ఇక్కడ సంఖ్యా శ్రేణి nలోని ఆర్డినల్ సంఖ్య ఆర్గ్యుమెంట్.

నిర్వచనం

అంకగణిత పురోగతిని సాధారణంగా సంఖ్యా క్రమం అని పిలుస్తారు, దీనిలో ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే అదే సంఖ్యతో ఎక్కువ (తక్కువ) ఉంటుంది. అంకగణిత క్రమం యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:

a n - అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రస్తుత సభ్యుని విలువ;

ఒక n+1 - తదుపరి సంఖ్య యొక్క సూత్రం;

d - వ్యత్యాసం (నిర్దిష్ట సంఖ్య).

వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉంటే (d>0), అప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న సిరీస్‌లోని ప్రతి తదుపరి సభ్యుడు మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటారని మరియు అటువంటి అంకగణిత పురోగతి పెరుగుతుందని గుర్తించడం సులభం.

దిగువ గ్రాఫ్‌లో సంఖ్యల క్రమాన్ని "పెరుగుతున్న" అని ఎందుకు పిలుస్తారో చూడటం సులభం.

వ్యత్యాసం ప్రతికూలంగా ఉన్న సందర్భాలలో (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

పేర్కొన్న సభ్యుల విలువ

కొన్నిసార్లు అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా ఏకపక్ష పదం యొక్క విలువను నిర్ణయించడం అవసరం. అంకగణిత పురోగతిలోని సభ్యులందరి విలువలను మొదటి నుండి కావలసిన వాటి వరకు వరుసగా లెక్కించడం ద్వారా ఇది చేయవచ్చు. అయితే, ఈ మార్గం ఎల్లప్పుడూ ఆమోదయోగ్యం కాదు, ఉదాహరణకు, ఐదు వేల లేదా ఎనిమిది మిలియన్ల పదం యొక్క విలువను కనుగొనడం అవసరం. సాంప్రదాయ గణనలకు చాలా సమయం పడుతుంది. అయినప్పటికీ, నిర్దిష్ట సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్దిష్ట అంకగణిత పురోగతిని అధ్యయనం చేయవచ్చు. nవ పదానికి ఫార్ములా కూడా ఉంది: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క విలువ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసంతో పురోగతి యొక్క మొదటి పదం యొక్క మొత్తంగా నిర్ణయించబడుతుంది, కావలసిన పదం యొక్క సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది, దీని ద్వారా తగ్గించబడుతుంది ఒకటి.

ఫార్ములా పురోగతిని పెంచడానికి మరియు తగ్గించడానికి సార్వత్రికమైనది.

ఇచ్చిన పదం యొక్క విలువను లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణ

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క విలువను కనుగొనడంలో క్రింది సమస్యను పరిష్కరిద్దాం.

పరిస్థితి: పారామితులతో అంకగణిత పురోగతి ఉంది:

క్రమం యొక్క మొదటి పదం 3;

సంఖ్యల శ్రేణిలో తేడా 1.2.

టాస్క్: మీరు 214 నిబంధనల విలువను కనుగొనాలి

పరిష్కారం: ఇచ్చిన పదం యొక్క విలువను నిర్ణయించడానికి, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

a(n) = a1 + d(n-1)

సమస్య స్టేట్‌మెంట్ నుండి డేటాను ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము వీటిని కలిగి ఉన్నాము:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

సమాధానం: క్రమం యొక్క 214వ పదం 258.6కి సమానం.

ఈ గణన పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి - మొత్తం పరిష్కారం 2 పంక్తుల కంటే ఎక్కువ తీసుకోదు.

ఇచ్చిన నిబంధనల సంఖ్య

చాలా తరచుగా, ఇచ్చిన అంకగణిత శ్రేణిలో, దానిలోని కొన్ని విభాగాల విలువల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, ప్రతి పదం యొక్క విలువలను లెక్కించి, ఆపై వాటిని జోడించాల్సిన అవసరం లేదు. మొత్తం కనుగొనవలసిన పదాల సంఖ్య తక్కువగా ఉంటే ఈ పద్ధతి వర్తిస్తుంది. ఇతర సందర్భాల్లో, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

1 నుండి n వరకు ఉన్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం మొదటి మరియు nవ పదాల మొత్తానికి సమానం, n అనే పదం సంఖ్యతో గుణించి రెండుతో భాగించబడుతుంది. ఫార్ములాలో nవ పదం యొక్క విలువ వ్యాసం యొక్క మునుపటి పేరా నుండి వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయబడితే, మనకు లభిస్తుంది:

గణన ఉదాహరణ

ఉదాహరణకు, కింది షరతులతో సమస్యను పరిష్కరిద్దాం:

క్రమం యొక్క మొదటి పదం సున్నా;

తేడా 0.5.

సమస్యకు 56 నుండి 101 వరకు ఉన్న సిరీస్ నిబంధనల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

పరిష్కారం. పురోగతి మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

మొదట, మా సమస్య యొక్క ఇచ్చిన షరతులను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మేము పురోగతి యొక్క 101 నిబంధనల విలువల మొత్తాన్ని నిర్ణయిస్తాము:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

సహజంగానే, 56 నుండి 101 వరకు ఉన్న పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తాన్ని తెలుసుకోవడానికి, S 101 నుండి S 55ని తీసివేయడం అవసరం.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

కాబట్టి, ఈ ఉదాహరణ కోసం అంకగణిత పురోగతి మొత్తం:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆచరణాత్మక అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణ

వ్యాసం ముగింపులో, మొదటి పేరాలో ఇవ్వబడిన అంకగణిత క్రమం యొక్క ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం - టాక్సీమీటర్ (టాక్సీ కార్ మీటర్). ఈ ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

టాక్సీలో ఎక్కడానికి (దీనిలో 3 కిమీ ప్రయాణం ఉంటుంది) 50 రూబిళ్లు ఖర్చు అవుతుంది. ప్రతి తదుపరి కిలోమీటరుకు 22 రూబిళ్లు/కిమీ చొప్పున చెల్లించబడుతుంది. ప్రయాణ దూరం 30 కి.మీ. పర్యటన ఖర్చును లెక్కించండి.

1. మొదటి 3 కిమీని విస్మరిద్దాం, దీని ధర ల్యాండింగ్ ఖర్చులో చేర్చబడుతుంది.

30 - 3 = 27 కి.మీ.

2. తదుపరి గణన అనేది అంకగణిత సంఖ్యల శ్రేణిని అన్వయించడం తప్ప మరేమీ కాదు.

సభ్యుల సంఖ్య - ప్రయాణించిన కిలోమీటర్ల సంఖ్య (మొదటి మూడు మైనస్).

సభ్యుని విలువ మొత్తం.

ఈ సమస్యలో మొదటి పదం 1 = 50 రూబిళ్లు సమానంగా ఉంటుంది.

పురోగతి వ్యత్యాసం d = 22 r.

మనకు ఆసక్తి ఉన్న సంఖ్య అంకగణిత పురోగతి యొక్క (27+1)వ పదం యొక్క విలువ - 27వ కిలోమీటర్ చివరిలో మీటర్ రీడింగ్ 27.999... = 28 కి.మీ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

ఏకపక్షంగా సుదీర్ఘ కాలానికి క్యాలెండర్ డేటా లెక్కలు నిర్దిష్ట సంఖ్యా క్రమాలను వివరించే సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఖగోళ శాస్త్రంలో, కక్ష్య యొక్క పొడవు నక్షత్రానికి ఖగోళ శరీరం యొక్క దూరంపై రేఖాగణితంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. అదనంగా, వివిధ సంఖ్యా శ్రేణులు గణాంకాలు మరియు గణితశాస్త్రంలోని ఇతర అనువర్తిత రంగాలలో విజయవంతంగా ఉపయోగించబడతాయి.

మరొక రకమైన సంఖ్యా క్రమం రేఖాగణితం

అంకగణిత పురోగతితో పోలిస్తే రేఖాగణిత పురోగమనం ఎక్కువ మార్పు రేట్లు కలిగి ఉంటుంది. రాజకీయాలు, సామాజిక శాస్త్రం మరియు వైద్యంలో, ఒక నిర్దిష్ట దృగ్విషయం యొక్క అధిక వేగాన్ని చూపించడానికి, ఉదాహరణకు, అంటువ్యాధి సమయంలో ఒక వ్యాధి, ఈ ప్రక్రియ రేఖాగణిత పురోగతిలో అభివృద్ధి చెందుతుందని వారు తరచుగా చెప్పడం యాదృచ్చికం కాదు.

రేఖాగణిత సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క N వ పదం మునుపటి దాని నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, అది కొంత స్థిరమైన సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది - హారం, ఉదాహరణకు, మొదటి పదం 1, హారం తదనుగుణంగా 2కి సమానం, అప్పుడు:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రస్తుత పదం యొక్క విలువ;

b n+1 - రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం యొక్క సూత్రం;

q అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం (స్థిరమైన సంఖ్య).

అంకగణిత పురోగతి యొక్క గ్రాఫ్ సరళ రేఖ అయితే, రేఖాగణిత పురోగతి కొద్దిగా భిన్నమైన చిత్రాన్ని చిత్రీకరిస్తుంది:

అంకగణితం విషయంలో వలె, రేఖాగణిత పురోగమనం ఏకపక్ష పదం యొక్క విలువకు సూత్రాన్ని కలిగి ఉంటుంది. రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క ఏదైనా nవ పదం మొదటి పదం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు n యొక్క శక్తికి పురోగతి యొక్క హారం ఒకటి తగ్గించబడుతుంది:

ఉదాహరణ. మేము మొదటి పదం 3కి సమానమైన రేఖాగణిత పురోగతిని కలిగి ఉన్నాము మరియు పురోగతి యొక్క హారం 1.5కి సమానం. పురోగతి యొక్క 5వ పదాన్ని కనుగొనండి

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ఇచ్చిన పదాల సంఖ్య యొక్క మొత్తం కూడా ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తం ప్రోగ్రెషన్ యొక్క nవ పదం యొక్క ఉత్పత్తి మరియు దాని హారం మరియు పురోగతి యొక్క మొదటి పదం మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం, ఇది ఒకదానితో తగ్గించబడిన హారంతో భాగించబడుతుంది:

పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి b n భర్తీ చేయబడితే, పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తం విలువ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

ఉదాహరణ. రేఖాగణిత పురోగతి 1కి సమానమైన మొదటి పదంతో ప్రారంభమవుతుంది. హారం 3కి సెట్ చేయబడింది. మొదటి ఎనిమిది పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

అంకగణిత పురోగతిపై సమస్యలు పురాతన కాలంలో ఇప్పటికే ఉన్నాయి. వారికి ఆచరణాత్మక అవసరం ఉన్నందున వారు కనిపించారు మరియు పరిష్కారం కోరారు.

ఈ విధంగా, గణిత శాస్త్రాన్ని కలిగి ఉన్న పురాతన ఈజిప్టు యొక్క పాపిరిలో ఒకటైన రిండ్ పాపిరస్ (క్రీ.పూ. 19వ శతాబ్దం) కింది పనిని కలిగి ఉంది: పది మంది వ్యక్తుల మధ్య పది కొలతల రొట్టెలను విభజించండి, ప్రతి ఒక్కరి మధ్య వ్యత్యాసం ఎనిమిదో వంతు ఉంటుంది. కొలత."

మరియు పురాతన గ్రీకుల గణిత శాస్త్రాలలో అంకగణిత పురోగతికి సంబంధించిన సొగసైన సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి. ఆ విధంగా, అలెగ్జాండ్రియా యొక్క హిప్సికల్స్ (2వ శతాబ్దం, అతను అనేక ఆసక్తికరమైన సమస్యలను సంకలనం చేసాడు మరియు పద్నాలుగో పుస్తకాన్ని యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్‌కు జోడించాడు), ఈ ఆలోచనను రూపొందించాడు: “అంకగణిత పురోగతిలో సమాన సంఖ్యలో పదాలు ఉన్నాయి, 2వ సగం నిబంధనల మొత్తం స్క్వేర్ 1/2 సభ్యుల సంఖ్యల 1వ నిబంధనల మొత్తం కంటే ఎక్కువ."

క్రమం ఒక ద్వారా సూచించబడుతుంది. క్రమం యొక్క సంఖ్యలు దాని సభ్యులుగా పిలువబడతాయి మరియు సాధారణంగా ఈ సభ్యుని క్రమ సంఖ్యను సూచించే సూచికలతో అక్షరాలతో నియమించబడతాయి (a1, a2, a3 ... చదవండి: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” మరియు మొదలైనవి).

క్రమం అనంతం లేదా పరిమితమైనది కావచ్చు.

అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి? దీని ద్వారా మనం మునుపటి పదం (n) ను అదే సంఖ్య dతో జోడించడం ద్వారా పొందినది అని అర్థం, ఇది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

ఒకవేళ డి<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, అప్పుడు ఈ పురోగతి పెరుగుతున్నదిగా పరిగణించబడుతుంది.

ఒక అంకగణిత పురోగతిని దాని మొదటి కొన్ని పదాలను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటే దానిని పరిమితం అంటారు. చాలా పెద్ద సంఖ్యలో సభ్యులతో, ఇది ఇప్పటికే అంతులేని పురోగతి.

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి క్రింది సూత్రం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది:

an =kn+b, అయితే b మరియు k కొన్ని సంఖ్యలు.

వ్యతిరేక ప్రకటన పూర్తిగా నిజం: ఒక క్రమాన్ని సారూప్య ఫార్ములా ద్వారా అందించినట్లయితే, అది ఖచ్చితంగా లక్షణాలను కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతి:

1. పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం మునుపటి పదం యొక్క అంకగణిత సగటు మరియు తదుపరిది.
2. సంభాషించు: 2వ నుండి ప్రారంభించి, ప్రతి పదం మునుపటి పదం మరియు తదుపరిది యొక్క అంకగణిత సగటు అయితే, అనగా. షరతు నెరవేరినట్లయితే, ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి. ఈ సమానత్వం కూడా పురోగతికి సంకేతం, అందుకే దీనిని సాధారణంగా పురోగమనం యొక్క లక్షణ లక్షణం అంటారు.
   అదే విధంగా, ఈ లక్షణాన్ని ప్రతిబింబించే సిద్ధాంతం నిజం: ఈ సమానత్వం 2వదితో ప్రారంభమయ్యే సీక్వెన్స్‌లోని ఏదైనా నిబంధనలకు నిజమైతే మాత్రమే క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతిగా చెప్పవచ్చు.

n + m = k + l (m, n, k పురోగమన సంఖ్యలు) అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా నాలుగు సంఖ్యల లక్షణ లక్షణాన్ని an + am = ak + al సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

అంకగణిత పురోగతిలో, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఏదైనా అవసరమైన (Nth) పదాన్ని కనుగొనవచ్చు:

ఉదాహరణకు: అంకగణిత పురోగతిలో మొదటి పదం (a1) ఇవ్వబడింది మరియు మూడుకి సమానం మరియు వ్యత్యాసం (d) నాలుగుకి సమానం. మీరు ఈ పురోగతి యొక్క నలభై-ఐదవ పదాన్ని కనుగొనాలి. a45 = 1+4(45-1)=177

ఫార్ములా an = ak + d(n - k) మీరు ఒక అంకగణిత పురోగమనం యొక్క nవ పదాన్ని దాని kth నిబంధనలలో దేని ద్వారా అయినా గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం (పరిమిత పురోగతి యొక్క 1వ n నిబంధనలు అని అర్ధం) ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:

Sn = (a1+an) n/2.

1వ పదం కూడా తెలిసినట్లయితే, గణన కోసం మరొక సూత్రం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n నిబంధనలను కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతి మొత్తం క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:

గణనల కోసం సూత్రాల ఎంపిక సమస్యల పరిస్థితులు మరియు ప్రారంభ డేటాపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

1,2,3,...,n,... వంటి ఏదైనా సంఖ్యల సహజ శ్రేణి అంకగణిత పురోగతికి సరళమైన ఉదాహరణ.

అంకగణిత పురోగతికి అదనంగా, దాని స్వంత లక్షణాలు మరియు లక్షణాలను కలిగి ఉన్న జ్యామితీయ పురోగతి కూడా ఉంది.

ప్రతి సహజ సంఖ్యకు అయితే n వాస్తవ సంఖ్యను సరిపోల్చండి ఒక ఎన్ , అప్పుడు ఇచ్చినట్లు చెప్పారు సంఖ్య క్రమం :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్ , . . . .

కాబట్టి, సంఖ్యా క్రమం సహజ వాదన యొక్క విధి.

సంఖ్య a 1 అని పిలిచారు క్రమంలో మొదటి సభ్యుడు , సంఖ్య a 2 — క్రమం యొక్క రెండవ పదం , సంఖ్య a 3 — మూడవది మరియు అందువలన న. సంఖ్య ఒక ఎన్ అని పిలిచారు క్రమంలో nవ సభ్యుడు , మరియు సహజ సంఖ్య n — అతని సంఖ్య .

ప్రక్కనే ఉన్న ఇద్దరు సభ్యుల నుండి ఒక ఎన్ మరియు ఒక ఎన్ +1 క్రమం సభ్యుడు ఒక ఎన్ +1 అని పిలిచారు తదుపరి (సంబంధిత ఒక ఎన్ ), ఎ ఒక ఎన్ — మునుపటి (సంబంధిత ఒక ఎన్ +1 ).

క్రమాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు ఏదైనా సంఖ్యతో సీక్వెన్స్ సభ్యుడిని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే పద్ధతిని పేర్కొనాలి.

తరచుగా క్రమం ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది nవ పదం సూత్రాలు , అంటే, ఒక క్రమం యొక్క సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఫార్ములా.

ఉదాహరణకు,

ధన బేసి సంఖ్యల క్రమాన్ని సూత్రం ద్వారా ఇవ్వవచ్చు

ఒక ఎన్= 2n- 1,

మరియు ఆల్టర్నేటింగ్ యొక్క క్రమం 1 మరియు -1 - సూత్రం

బి n = (-1)n +1 . ◄

క్రమాన్ని నిర్ణయించవచ్చు పునరావృత సూత్రం, అంటే, మునుపటి (ఒకరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) సభ్యుల ద్వారా కొంతమందితో ప్రారంభించి, సీక్వెన్స్‌లోని ఏదైనా సభ్యుడిని వ్యక్తీకరించే ఫార్ములా.

ఉదాహరణకు,

ఉంటే a 1 = 1 , ఎ ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ఉంటే a 1= 1, ఒక 2 = 1, ఒక ఎన్ +2 = ఒక ఎన్ + ఒక ఎన్ +1 , అప్పుడు సంఖ్యా క్రమం యొక్క మొదటి ఏడు పదాలు క్రింది విధంగా స్థాపించబడ్డాయి:

a 1 = 1,

ఒక 2 = 1,

a 3 = a 1 + ఒక 2 = 1 + 1 = 2,

ఒక 4 = ఒక 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

ఒక 5 = a 3 + ఒక 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

సీక్వెన్సులు కావచ్చు ఫైనల్ మరియు అంతులేని .

క్రమం అంటారు అంతిమ , అది పరిమిత సంఖ్యలో సభ్యులను కలిగి ఉంటే. క్రమం అంటారు అంతులేని , అది అనంతమైన అనేక మంది సభ్యులను కలిగి ఉంటే.

ఉదాహరణకు,

రెండు అంకెల సహజ సంఖ్యల క్రమం:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ఫైనల్.

ప్రధాన సంఖ్యల క్రమం:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

అంతులేని. ◄

క్రమం అంటారు పెరుగుతున్నాయి , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే.

క్రమం అంటారు తగ్గుతోంది , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే.

ఉదాహరణకు,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - పెరుగుతున్న క్రమం;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - తగ్గుతున్న క్రమం. ◄

సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ మూలకాలు తగ్గని లేదా దానికి విరుద్ధంగా పెరగని క్రమాన్ని అంటారు. మార్పులేని క్రమం .

మోనోటోనిక్ సీక్వెన్సులు, ముఖ్యంగా, సీక్వెన్స్‌లను పెంచుతున్నాయి మరియు తగ్గుతున్న సన్నివేశాలు.

అంకగణిత పురోగతి

అంకగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్య జోడించబడిన మునుపటి దానికి సమానంగా ఉండే క్రమం.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్, . . .

ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు సంబంధించిన అంకగణిత పురోగతి n షరతు నెరవేరింది:

ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + డి,

ఎక్కడ డి - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.

అందువల్ల, ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి మరియు మునుపటి నిబంధనల మధ్య వ్యత్యాసం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది:

ఒక 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = ఒక ఎన్ +1 - ఒక ఎన్ = డి.

సంఖ్య డి అని పిలిచారు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని సూచించడానికి సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకు,

ఉంటే a 1 = 3, డి = 4 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:

a 1 =3,

ఒక 2 = a 1 + డి = 3 + 4 = 7,

a 3 = ఒక 2 + డి= 7 + 4 = 11,

ఒక 4 = a 3 + డి= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + డి= 15 + 4 = 19. ◄

మొదటి పదంతో అంకగణిత పురోగతి కోసం a 1 మరియు తేడా డి ఆమె n

ఒక ఎన్ = a 1 + (n- 1)డి.

ఉదాహరణకు,

అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముప్పైవ పదాన్ని కనుగొనండి

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, డి = 3,

ఒక 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ఒక n-1 = a 1 + (n- 2)d,

ఒక ఎన్= a 1 + (n- 1)d,

ఒక ఎన్ +1 = a 1 + nd,

అప్పుడు స్పష్టంగా

ఒక ఎన్=	a n-1 + a n+1
	2

అంకగణిత పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటుకు సమానం.

a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని అంకగణిత పురోగతి యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క అంకగణిత సగటుకు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే.

ఉదాహరణకు,

ఒక ఎన్ = 2n- 7 , ఒక అంకగణిత పురోగతి.

పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:

ఒక ఎన్ = 2n- 7,

ఒక n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

అందుకే,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = ఒక ఎన్,
2		2

◄

అని గమనించండి n అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది a 1 , కానీ ఏదైనా మునుపటి ఒక కె

ఒక ఎన్ = ఒక కె + (n- కె)డి.

ఉదాహరణకు,

కోసం a 5 రాసుకోవచ్చు

ఒక 5 = a 1 + 4డి,

ఒక 5 = ఒక 2 + 3డి,

ఒక 5 = a 3 + 2డి,

ఒక 5 = ఒక 4 + డి. ◄

ఒక ఎన్ = ఒక n-k + kd,

ఒక ఎన్ = ఒక n+k - kd,

అప్పుడు స్పష్టంగా

ఒక ఎన్=	a n-k +a n+k
	2

రెండవ నుండి ప్రారంభమయ్యే అంకగణిత పురోగమనంలోని ఏదైనా సభ్యుడు, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క సమాన అంతరం ఉన్న సభ్యుల మొత్తంలో సగం మొత్తానికి సమానం.

అదనంగా, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతికి క్రింది సమానత్వం ఉంటుంది:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ఉదాహరణకు,

అంకగణిత పురోగతిలో

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ఒక 10 = a 3 + 7డి= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ఒక 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ఎందుకంటే

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ఎస్ ఎన్= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ఒక ఎన్,

మొదటి n అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు తీవ్రమైన పదాలు మరియు పదాల సంఖ్య యొక్క సగం మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:

ఇక్కడ నుండి, ప్రత్యేకించి, మీరు నిబంధనలను సంకలనం చేయవలసి వస్తే అది అనుసరిస్తుంది

ఒక కె, ఒక కె +1 , . . . , ఒక ఎన్,

అప్పుడు మునుపటి ఫార్ములా దాని నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఉదాహరణకు,

అంకగణిత పురోగతిలో 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ఎస్ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ఎస్ 10 - ఎస్ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

అంకగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు a 1 , ఒక ఎన్, డి, nమరియుఎస్ n రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:

అందువల్ల, ఈ పరిమాణాలలో మూడు విలువలు ఇవ్వబడినట్లయితే, మిగిలిన రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.

అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్. ఈ సందర్భంలో:

• ఉంటే డి > 0 , అప్పుడు అది పెరుగుతోంది;
• ఉంటే డి < 0 , అప్పుడు అది తగ్గుతోంది;
• ఉంటే డి = 0 , అప్పుడు క్రమం స్థిరంగా ఉంటుంది.

రేఖాగణిత పురోగతి

రేఖాగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి దానికి సమానం.

బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . , b n, . . .

ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం అయితే రేఖాగణిత పురోగతి n షరతు నెరవేరింది:

b n +1 = b n · q,

ఎక్కడ q ≠ 0 - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.

అందువల్ల, ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం యొక్క నిష్పత్తి మునుపటి దానికి స్థిరమైన సంఖ్య:

బి 2 / బి 1 = బి 3 / బి 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

సంఖ్య q అని పిలిచారు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం.

రేఖాగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు హారం సూచించడానికి సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకు,

ఉంటే బి 1 = 1, q = -3 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:

బి 1 = 1,

బి 2 = బి 1 · q = 1 · (-3) = -3,

బి 3 = బి 2 · q= -3 · (-3) = 9,

బి 4 = బి 3 · q= 9 · (-3) = -27,

బి 5 = బి 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

బి 1 మరియు హారం q ఆమె n సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వ పదాన్ని కనుగొనవచ్చు:

b n = బి 1 · qn -1 .

ఉదాహరణకు,

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏడవ పదాన్ని కనుగొనండి 1, 2, 4, . . .

బి 1 = 1, q = 2,

బి 7 = బి 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = బి 1 · qn -2 ,

b n = బి 1 · qn -1 ,

b n +1 = బి 1 · qn,

అప్పుడు స్పష్టంగా

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

జ్యామితీయ పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభమై, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల రేఖాగణిత సగటు (అనుపాత)కి సమానం.

సంభాషణ కూడా నిజం కాబట్టి, ఈ క్రింది ప్రకటన కలిగి ఉంది:

a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకదాని యొక్క వర్గము మిగిలిన రెండింటి యొక్క లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటే, అనగా, సంఖ్యలలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క రేఖాగణిత సగటు.

ఉదాహరణకు,

ఫార్ములా ఇచ్చిన క్రమం అని నిరూపిద్దాం b n= -3 2 n , ఒక రేఖాగణిత పురోగతి. పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

అందుకే,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ఇది కోరుకున్న ప్రకటనను రుజువు చేస్తుంది. ◄

అని గమనించండి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది బి 1 , కానీ ఏదైనా మునుపటి సభ్యుడు కూడా బి కె , దీని కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది

b n = బి కె · qn - కె.

ఉదాహరణకు,

కోసం బి 5 రాసుకోవచ్చు

బి 5 = బి 1 · q 4 ,

బి 5 = బి 2 · q 3,

బి 5 = బి 3 · q 2,

బి 5 = బి 4 · q. ◄

b n = బి కె · qn - కె,

b n = b n - కె · q k,

అప్పుడు స్పష్టంగా

b n 2 = b n - కె· b n + కె

రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క వర్గము, రెండవది నుండి మొదలవుతుంది, ఈ పురోగతి యొక్క సమాన అంతరం ఉన్న పదాల ఉత్పత్తికి సమానం.

అదనంగా, ఏదైనా రేఖాగణిత పురోగతికి సమానత్వం నిజం:

బి ఎమ్· b n= బి కె· బి ఎల్,

m+ n= కె+ ఎల్.

ఉదాహరణకు,

రేఖాగణిత పురోగతిలో

1) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = బి 5 · బి 7 ;

2) 1024 = బి 11 = బి 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = బి 4 · బి 8 ;

4) బి 2 · బి 7 = బి 4 · బి 5 , ఎందుకంటే

బి 2 · బి 7 = 2 · 64 = 128,

బి 4 · బి 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ఎస్ ఎన్= బి 1 + బి 2 + బి 3 + . . . + b n

మొదటి n హారంతో ఒక రేఖాగణిత పురోగతి సభ్యులు q ≠ 0 సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

మరియు ఎప్పుడు q = 1 - సూత్రం ప్రకారం

ఎస్ ఎన్= nb 1

మీరు నిబంధనలను సంక్షిప్తం చేయవలసి వస్తే గమనించండి

బి కె, బి కె +1 , . . . , b n,

అప్పుడు సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:

ఎస్ ఎన్- ఎస్ కె -1 = బి కె + బి కె +1 + . . . + b n = బి కె ·	1 - qn - కె +1	.
	1 - q

ఉదాహరణకు,

రేఖాగణిత పురోగతిలో 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ఎస్ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ఎస్ 10 - ఎస్ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

రేఖాగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు బి 1 , b n, q, nమరియు ఎస్ ఎన్ రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:

అందువల్ల, ఈ పరిమాణాలలో ఏదైనా మూడు విలువలు ఇచ్చినట్లయితే, మిగిలిన రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.

మొదటి పదంతో రేఖాగణిత పురోగతి కోసం బి 1 మరియు హారం q కిందివి జరుగుతాయి మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాలు :

• కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పురోగతి పెరుగుతుంది:

బి 1 > 0 మరియు q> 1;

బి 1 < 0 మరియు 0 < q< 1;

• కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పురోగతి తగ్గుతుంది:

బి 1 > 0 మరియు 0 < q< 1;

బి 1 < 0 మరియు q> 1.

ఉంటే q< 0 , అప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది: బేసి సంఖ్యలతో దాని పదాలు దాని మొదటి పదం వలె అదే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి మరియు సరి సంఖ్యలతో ఉన్న పదాలు వ్యతిరేక చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ప్రత్యామ్నాయ రేఖాగణిత పురోగమనం మోనోటోనిక్ కాదని స్పష్టమవుతుంది.

మొదటి ఉత్పత్తి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

Pn= బి 1 · బి 2 · బి 3 · . . . · b n = (బి 1 · b n) n / 2 .

ఉదాహరణకు,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి హారం మాడ్యులస్ తక్కువగా ఉన్న అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి అని పిలుస్తారు 1 , అంటే

|q| < 1 .

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి తగ్గుతున్న క్రమం కాకపోవచ్చునని గమనించండి. ఇది సందర్భానికి సరిపోతుంది

1 < q< 0 .

అటువంటి హారంతో, క్రమం ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం మొదటి వాటి మొత్తం పరిమితి లేకుండా చేరుకునే సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి n సంఖ్యలో అపరిమిత పెరుగుదలతో పురోగతి సభ్యులు n . ఈ సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ పరిమితమైనది మరియు సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

ఎస్= బి 1 + బి 2 + బి 3 + . . . =	బి 1	.
	1 - q

ఉదాహరణకు,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాల మధ్య సంబంధం

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాలు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు చూద్దాం.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . డి , ఆ

బి ఎ 1 , బి ఎ 2 , బి ఎ 3 , . . . బి డి .

ఉదాహరణకు,

1, 3, 5, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి 2 మరియు

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 7 2 . ◄

బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి q , ఆ

లాగ్ a b 1, లాగ్ a b 2, లాగ్ a b 3, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి లాగ్ aq .

ఉదాహరణకు,

2, 12, 72, . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 6 మరియు

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి lg 6 . ◄