హైపర్బోలా అనేది ఒక విమానంలోని పాయింట్ల లోకస్, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నుండి రెండు ఇవ్వబడిన పాయింట్లకు దూరాల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యులస్ F_1 మరియు F_2 అనేది స్థిరమైన విలువ (2a), ఈ పాయింట్ల మధ్య దూరం (2c) కంటే తక్కువ (Fig. 3.40, a). ఈ రేఖాగణిత నిర్వచనం వ్యక్తపరుస్తుంది హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ ప్రాపర్టీ.

హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ ప్రాపర్టీ

F_1 మరియు F_2 పాయింట్‌లను హైపర్‌బోలా యొక్క foci అంటారు, వాటి మధ్య దూరం 2c=F_1F_2 ఫోకల్ పొడవు, F_1F_2 సెగ్మెంట్ మధ్య O అనేది హైపర్‌బోలా యొక్క కేంద్రం, 2a సంఖ్య అనేది హైపర్‌బోలా యొక్క వాస్తవ అక్షం యొక్క పొడవు. హైపర్బోలా (తదనుగుణంగా, a అనేది హైపర్బోలా యొక్క నిజమైన సెమీ-యాక్సిస్). హైపర్బోలా యొక్క ఏకపక్ష బిందువు Mని దాని fociతో అనుసంధానించే F_1M మరియు F_2M విభాగాలను పాయింట్ M యొక్క ఫోకల్ రేడియాలు అంటారు. హైపర్బోలా యొక్క రెండు బిందువులను కలిపే విభాగాన్ని హైపర్బోలా యొక్క తీగ అంటారు.

e=\frac(c)(a) , ఇక్కడ c=\sqrt(a^2+b^2) , అంటారు హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత. నిర్వచనం నుండి (2a<2c) следует, что e>1 .

హైపర్బోలా యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం, దాని ఫోకల్ ప్రాపర్టీని వ్యక్తీకరించడం, దాని విశ్లేషణాత్మక నిర్వచనానికి సమానం - కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన లైన్:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

నిజానికి, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం (Fig. 3.40, b). మేము కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలంగా హైపర్బోలా యొక్క కేంద్రం Oని తీసుకుంటాము; మేము foci (ఫోకల్ యాక్సిస్) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను abscissa అక్షం వలె తీసుకుంటాము (దానిపై సానుకూల దిశ పాయింట్ F_1 నుండి పాయింట్ F_2 వరకు ఉంటుంది); అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా ఉన్న సరళ రేఖను తీసుకుందాం మరియు ఆర్డినేట్ అక్షం వలె హైపర్బోలా మధ్యలో వెళుతుంది (దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీ సరైనదిగా ఉండేలా ఆర్డినేట్ అక్షంపై దిశ ఎంచుకోబడుతుంది).

ఫోకల్ ప్రాపర్టీని వ్యక్తీకరించే రేఖాగణిత నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి హైపర్బోలా కోసం సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం. ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, మేము foci F_1(-c,0) మరియు F_2(c,0) కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయిస్తాము. హైపర్బోలాకు చెందిన ఏకపక్ష పాయింట్ M(x,y) కోసం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

ఈ సమీకరణాన్ని కోఆర్డినేట్ రూపంలో వ్రాస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాన్ని (అనగా, అహేతుకతను వదిలించుకోవడం) ఉత్పన్నం చేయడంలో ఉపయోగించిన మాదిరిగానే పరివర్తనలను చేస్తూ, మేము కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణానికి చేరుకుంటాము:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

ఇక్కడ b=\sqrt(c^2-a^2) , అనగా. ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ కానానికల్.

రివర్స్ ఆర్డర్‌లో రీజనింగ్‌ను అమలు చేయడం ద్వారా, అన్ని పాయింట్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణాన్ని (3.50) సంతృప్తిపరుస్తాయని మరియు అవి మాత్రమే హైపర్‌బోలా అని పిలువబడే పాయింట్ల స్థానానికి చెందినవని చూపవచ్చు. అందువల్ల, హైపర్బోలా యొక్క విశ్లేషణాత్మక నిర్వచనం దాని రేఖాగణిత నిర్వచనానికి సమానం.

హైపర్బోలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీ

హైపర్బోలా యొక్క డైరెక్ట్‌రిక్స్‌లు ఒకే దూరంలో ఉన్న కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా రెండు సరళ రేఖలు. a^2\!\!\not(\phantom(|))\,cదాని నుండి (Fig. 3.41, a). a=0 అయినప్పుడు, హైపర్బోలా ఒక జత ఖండన రేఖలుగా క్షీణించినప్పుడు, డైరెక్ట్‌రిక్స్‌లు సమానంగా ఉంటాయి.

విపరీతత e=1తో కూడిన హైపర్‌బోలాను సమతలంలో ఉన్న బిందువుల స్థానంగా నిర్వచించవచ్చు, వీటిలో ప్రతిదానికి ఇచ్చిన బిందువు F (ఫోకస్)కి దూరం యొక్క నిష్పత్తి d (డైరెక్ట్‌రిక్స్) దాటిపోని సరళ రేఖకు దూరం ఇచ్చిన బిందువు ద్వారా స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు విపరీతతకు సమానంగా ఉంటుంది e ( హైపర్బోలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీ) ఇక్కడ F మరియు d అనేది హైపర్బోలా యొక్క ఫోసిస్ మరియు దాని డైరెక్ట్రిక్స్‌లలో ఒకటి, కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క ఆర్డినేట్ అక్షం యొక్క ఒక వైపున ఉంది.

నిజానికి, ఉదాహరణకు, ఫోకస్ F_2 మరియు డైరెక్టిక్స్ d_2 (Fig. 3.41, a) పరిస్థితి \frac(r_2)(\rho_2)=eకోఆర్డినేట్ రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\కుడి)

అహేతుకతను వదిలించుకోవడం మరియు భర్తీ చేయడం e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, మేము కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం (3.50) వద్దకు వస్తాము. ఫోకస్ F_1 మరియు డైరెక్టిక్స్ d_1 కోసం ఇలాంటి తార్కికం నిర్వహించబడుతుంది:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right )

పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో హైపర్బోలా యొక్క సమీకరణం

ధ్రువ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ F_2r\varphi (Fig. 3.41,b)లో హైపర్బోలా యొక్క కుడి శాఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), ఇక్కడ p=\frac(p^2)(a) - హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ పారామితి.

వాస్తవానికి, హైపర్‌బోలా యొక్క సరైన ఫోకస్ F_2ని పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క పోల్‌గా ఎంచుకుందాం మరియు F_1F_2 పాయింట్‌కి చెందిన F_2 బిందువు వద్ద ప్రారంభంతో ఉన్న రేను ఎంచుకుందాం, అయితే ఇది F_1 పాయింట్‌ని కలిగి ఉండదు (Fig. 3.41,b), ధ్రువ అక్షం వలె. అప్పుడు హైపర్బోలా యొక్క కుడి శాఖకు చెందిన ఏకపక్ష బిందువు M(r,\varphi) కోసం, హైపర్బోలా యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం (ఫోకల్ ప్రాపర్టీ) ప్రకారం, మనకు F_1M-r=2a ఉంటుంది. మేము పాయింట్లు M(r,\varphi) మరియు F_1(2c,\pi) మధ్య దూరాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము (వ్యాఖ్యలు 2.8లోని పేరా 2 చూడండి):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

కాబట్టి, కోఆర్డినేట్ రూపంలో, హైపర్బోలా సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా రాడికల్, చతురస్రాన్ని వేరు చేస్తాము, 4 ద్వారా విభజించి సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము:

R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ కుడి)r=c^2-a^2.

ధ్రువ వ్యాసార్థం rని వ్యక్తపరచండి మరియు ప్రత్యామ్నాయాలు చేయండి e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi ) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

Q.E.D. ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లలో హైపర్‌బోలా మరియు దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాలు ఏకీభవించాయని గమనించండి, అయితే అవి విపరీతతలలో విభిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి అవి వేర్వేరు పంక్తులను వివరిస్తాయి ( e>1 హైపర్‌బోలా, 0\leqslant e<1 для эллипса).

హైపర్బోలా సమీకరణంలోని గుణకాల యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

అబ్సిస్సా యాక్సిస్ (హైపర్బోలా యొక్క శీర్షాలు)తో హైపర్బోలా (Fig. 3.42,a) యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి. సమీకరణంలో y=0ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము ఖండన బిందువుల అబ్సిస్సాను కనుగొంటాము: x=\pm a. కాబట్టి, శీర్షాలు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి (-a,0),\,(a,0) . శీర్షాలను కలుపుతున్న సెగ్మెంట్ పొడవు 2a. ఈ విభాగాన్ని హైపర్బోలా యొక్క నిజమైన అక్షం అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్య a అనేది హైపర్బోలా యొక్క నిజమైన సెమీ-యాక్సిస్. x=0ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు y=\pm ib వస్తుంది. పాయింట్‌లను (0,-b),\,(0,b) కలిపే y-యాక్సిస్ సెగ్మెంట్ పొడవు 2bకి సమానం. ఈ విభాగాన్ని హైపర్బోలా యొక్క ఊహాత్మక అక్షం అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్య b అనేది హైపర్బోలా యొక్క ఊహాత్మక సెమీ-యాక్సిస్. హైపర్బోలా నిజమైన అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న రేఖను కలుస్తుంది, కానీ ఊహాత్మక అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న రేఖను కలుస్తుంది.

గమనికలు 3.10.

1. సరళ రేఖలు x=\pm a,~y=\pm b కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిమితం చేస్తాయి, దాని వెలుపల హైపర్బోలా ఉంది (Fig. 3.42, a).

2. ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాలను కలిగి ఉన్న సరళ రేఖలను హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్స్ అంటారు (Fig. 3.42, a).

కోసం ఈక్విలేటరల్ హైపర్బోలాసమీకరణం ద్వారా వర్ణించబడింది (అనగా a=b కోసం), ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం ఒక చతురస్రం, దీని వికర్ణాలు లంబంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, ఈక్విలేటరల్ హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు కూడా లంబంగా ఉంటాయి మరియు వాటిని దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Ox"y" (Fig. 3.42, b) యొక్క సమన్వయ అక్షాలుగా తీసుకోవచ్చు. ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, హైపర్బోలా సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది y"=\frac(a^2)(2x")(హైపర్బోలా విలోమ అనుపాత సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరించే ప్రాథమిక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది).

నిజానికి, మనం ఒక కోణం ద్వారా కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను తిప్పుదాం \varphi=-\frac(\pi)(4)(Fig. 3.42, b). ఈ సందర్భంలో, పాత మరియు కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్స్‌లోని పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సమానత్వంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.

\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(సమలేఖనం)\కుడి \ చతుర్భుజం \ఎడమవైపుకు \ క్వాడ్ \ ఎడమ \(\!\ ప్రారంభం(సమలేఖనం చేయబడింది)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(సమలేఖనం చేయబడింది)\కుడి.

ఈ వ్యక్తీకరణలను Eqకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1ఈక్విలేటరల్ హైపర్బోలా మరియు సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం, మేము పొందుతాము

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు (కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క) హైపర్బోలా యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షాలు (హైపర్బోలా యొక్క ప్రధాన అక్షాలు అని పిలుస్తారు), మరియు దాని కేంద్రం సమరూపత యొక్క కేంద్రం.

నిజానికి, పాయింట్ M(x,y) హైపర్బోలాకు చెందినది అయితే . అప్పుడు M"(x,y) మరియు M""(-x,y), కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సంబంధించి M బిందువుకు సుష్టంగా ఉండే పాయింట్లు కూడా అదే హైపర్బోలాకు చెందినవి.

హైపర్బోలా యొక్క ఫోసిస్ ఉన్న సమరూపత యొక్క అక్షం ఫోకల్ అక్షం.

4. ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లలో హైపర్బోలా సమీకరణం నుండి r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Fig. 3.41, b చూడండి) ఫోకల్ పరామితి యొక్క రేఖాగణిత అర్థం స్పష్టం చేయబడింది - ఇది ఫోకల్ అక్షానికి లంబంగా దాని ఫోకస్ గుండా వెళుతున్న హైపర్బోలా యొక్క తీగ యొక్క సగం పొడవు (r = p వద్ద \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. విపరీతత ఇ హైపర్బోలా ఆకారాన్ని వర్ణిస్తుంది. పెద్ద e, హైపర్బోలా యొక్క విస్తృత శాఖలు మరియు e ఒకదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది, హైపర్బోలా యొక్క శాఖలు ఇరుకైనవి (Fig. 3.43, a).

నిజానికి, దాని శాఖను కలిగి ఉన్న హైపర్బోలా యొక్క అసమానతల మధ్య కోణం యొక్క విలువ \gamma ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క భుజాల నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). e=\frac(c)(a) మరియు c^2=a^2+b^2 , మనం పొందుతాము

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\ right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

పెద్ద e, పెద్ద కోణం \gamma. ఈక్విలేటరల్ హైపర్బోలా (a=b) కోసం మనకు e=\sqrt(2) మరియు \gamma=\frac(\pi)(2). e>\sqrt(2) కోణం \gamma మందంగా ఉంటుంది మరియు 1 కోసం

6. సమీకరణాల ద్వారా ఒకే కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రెండు హైపర్బోలాస్ నిర్వచించబడ్డాయి \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1మరియు అంటారు ఒకదానికొకటి లింక్ చేయబడింది. కంజుగేట్ హైపర్బోలాస్ ఒకే విధమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి (Fig. 3.43b). సంయోగ హైపర్బోలా యొక్క సమీకరణం -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1కోఆర్డినేట్ యాక్సెస్ (3.38) పేరు మార్చడం ద్వారా కానానికల్‌కి తగ్గించబడింది.

7. సమీకరణం \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1పాయింట్ O"(x_0,y_0) వద్ద కేంద్రంతో హైపర్బోలాను నిర్వచిస్తుంది, వీటిలో అక్షాలు సమన్వయ అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉంటాయి (Fig. 3.43, c). ఈ సమీకరణం సమాంతర అనువాదం (3.36) ఉపయోగించి నియమానుగుణంగా తగ్గించబడుతుంది. సమీకరణం -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1పాయింట్ O"(x_0,y_0) వద్ద కేంద్రంతో సంయోగ హైపర్బోలాను నిర్వచిస్తుంది .

పారామెట్రిక్ హైపర్బోలా సమీకరణం

కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని హైపర్‌బోలా యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

ఎక్కడ \ ఆపరేటర్ పేరు(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- హైపర్బోలిక్ కొసైన్, a \ ఆపరేటర్ పేరు(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2)హైపర్బోలిక్ సైన్.

నిజానికి, కోఆర్డినేట్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను సమీకరణంలోకి మార్చడం (3.50), మేము ప్రధాన హైపర్బోలిక్ గుర్తింపును చేరుకుంటాము \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1.

ఉదాహరణ 3.21.అతిశయోక్తిని గీయండి \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీలో. సెమీ-యాక్సెస్, ఫోకల్ లెంగ్త్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, ఫోకల్ పారామీటర్, అసింప్టోట్‌ల సమీకరణాలు మరియు డైరెక్టిక్స్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని కానానికల్‌తో పోల్చడం ద్వారా, మేము సెమీ-యాక్సెస్‌ను నిర్ణయిస్తాము: a=2 - నిజమైన సెమీ-యాక్సిస్, b=3 - హైపర్‌బోలా యొక్క ఊహాత్మక సెమీ-యాక్సిస్. మేము ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రాన్ని 2a = 4, ~ 2b = 6 తో మూలం వద్ద కేంద్రంతో నిర్మిస్తాము (Fig. 3.44). ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాలను విస్తరించడం ద్వారా మేము అసింప్టోట్లను గీస్తాము. కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సంబంధించి దాని సమరూపతను పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము హైపర్బోలాను నిర్మిస్తాము. అవసరమైతే, హైపర్బోలా యొక్క కొన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించండి. ఉదాహరణకు, హైపర్బోలా సమీకరణంలో x=4ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3)

కాబట్టి, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్లు (4;3\sqrt(3)) మరియు (4;-3\sqrt(3)) హైపర్‌బోలాకు చెందినవి. ఫోకల్ పొడవును లెక్కించడం

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

అసాధారణత e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); ఫోకల్ పరామితి p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. మేము అసింప్టోట్‌ల సమీకరణాలను కంపోజ్ చేస్తాము y=\pm\frac(b)(a)\,x, అంటే y=\pm\frac(3)(2)\,x, మరియు డైరెక్టిక్స్ సమీకరణాలు: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

గణితంలో, మీరు తరచుగా వివిధ గ్రాఫ్‌లను రూపొందించాలి. కానీ ప్రతి విద్యార్థికి ఇది అంత సులభం కాదు. ప్రతి వయోజన దీన్ని ఎలా చేయాలో అర్థం చేసుకోకపోతే పాఠశాల పిల్లల గురించి మనం ఏమి చెప్పగలం? ఇవి గణితం యొక్క ప్రాథమికాలు అని అనిపించినప్పటికీ, గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అల్గోరిథం అర్థం చేసుకోవడం. ఈ వ్యాసంలో మీరు హైపర్బోలాను ఎలా నిర్మించాలో నేర్చుకుంటారు.

సమన్వయ వ్యవస్థను నిర్మించడం

ఏదైనా గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, ముందుగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నిర్మించడం అవసరం. దీనికి ఏమి అవసరం:

1. ఒక కాగితంపై క్షితిజ సమాంతర రేఖను గీయండి. ఇది చెకర్డ్ షీట్ కావాల్సిన అవసరం ఉంది, కానీ అవసరం లేదు. సరళ రేఖ ముగింపు, కుడివైపు, బాణం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది మన X అక్షం, దీనిని అబ్సిస్సా అంటారు.
2. X అక్షం మధ్యలో లంబంగా సరళ రేఖను గీయండి. సరళ రేఖ ముగింపు, ఎగువన, బాణం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ విధంగా, మేము ఆర్డినేట్ అని పిలవబడే Y అక్షాన్ని పొందుతాము.
3. తరువాత మేము స్కేల్‌ను నంబర్ చేస్తాము. X అక్షం యొక్క కుడి వైపున మనకు ఆరోహణ క్రమంలో సానుకూల X విలువలు ఉన్నాయి - 1 మరియు అంతకంటే ఎక్కువ. ఎడమవైపు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయి. Y అక్షం ఎగువన ఆరోహణ క్రమంలో సానుకూల Y విలువలు ఉంటాయి. క్రింద - ప్రతికూల

అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ యొక్క ఖండన స్థానం కోఆర్డినేట్‌ల మూలం, అంటే సంఖ్య 0. ఇక్కడ నుండి మేము అన్ని X మరియు Y విలువలను ప్లాట్ చేస్తాము.

దిగువ చిత్రంలో ఫలిత సమన్వయ వ్యవస్థను మీరు స్పష్టంగా చూడవచ్చు. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ విమానాన్ని 4 భాగాలుగా విభజిస్తుందని కూడా మేము చూస్తాము. వాటిని వంతులు అని పిలుస్తారు మరియు చిత్రంలో చూపిన విధంగా అపసవ్య దిశలో లెక్కించబడతాయి:

ఏదైనా గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి మీకు పాయింట్లు అవసరం. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని ప్రతి పాయింట్ ఒక జత సంఖ్యల ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది (x;y). ఈ సంఖ్యలను పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు అంటారు, ఇక్కడ:

• x – పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా
• y - వరుసగా, ఆర్డినేట్

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎలా నిర్మించాలో ఇప్పుడు మనకు తెలుసు, మేము నేరుగా గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి కొనసాగవచ్చు.

అతిశయోక్తిని నిర్మించడం

హైపర్బోలా అనేది ఫార్ములా y=k/x ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, ఇక్కడ

• k అనేది ఏదైనా గుణకం, కానీ అది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు
• x - స్వతంత్ర వేరియబుల్

హైపర్బోలా 2 భాగాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి వివిధ త్రైమాసికాలలో సుష్టంగా ఉంటాయి. వాటిని హైపర్బోలా శాఖలు అంటారు. k>0 అయితే, మేము 1వ మరియు 3వ త్రైమాసికాల్లో శాఖలను నిర్మిస్తాము, అయితే k అయితే<0, тогда – во 2 и 4.

హైపర్బోలాను నిర్మించడానికి, y=3/x సూత్రం ద్వారా అందించబడిన ఫంక్షన్‌ను ఉదాహరణగా తీసుకుందాం.

1. మేము "+" గుర్తుతో గుణకం 3ని కలిగి ఉన్నందున, మా హైపర్బోలా వరుసగా 1వ మరియు 3వ త్రైమాసికంలో ఉంటుంది.
2. మేము ఏకపక్షంగా X విలువలను సెట్ చేస్తాము, దీని ఫలితంగా మేము Y విలువలను కనుగొంటాము, ఈ విధంగా మేము మా హైపర్బోలాను నిర్మిస్తాము. కానీ Xని సున్నాకి సెట్ చేయలేమని గమనించండి, ఎందుకంటే మీరు 0తో భాగించలేరని మాకు తెలుసు.
3. హైపర్బోలా 2 త్రైమాసికాలలో ఉందని మాకు తెలుసు కాబట్టి, మేము సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటాము. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, X విలువలను -6, -3, -1, 1, 3, 6కి సమానం తీసుకుందాం.
4. ఇప్పుడు మన ఆర్డినేట్‌లను లెక్కిద్దాం. దీన్ని చేయడం చాలా సులభం - మేము X యొక్క ప్రతి విలువను మా అసలు సూత్రంలోకి మారుస్తాము: y=3/-6; y=3/-3; y=3/-1; y=3/1; y=3/3; y=3/6. సాధారణ గణిత గణనలను ఉపయోగించి, మేము -0.5, -1, -3, 3, 1, 0.5కి సమానమైన Y విలువలను పొందుతాము.
5. కోఆర్డినేట్‌లతో మాకు 6 పాయింట్లు వచ్చాయి. ఇప్పుడు మేము ఈ పాయింట్లను మా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ప్లాట్ చేస్తాము మరియు దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా వాటి ద్వారా సజావుగా వక్రతలను గీయండి. కాబట్టి మేము అతిశయోక్తిని నిర్మించాము.

మీరు ఇప్పటికే చూసినట్లుగా, అతిశయోక్తిని నిర్మించడం అంత కష్టం కాదు. మీరు సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి మరియు చర్యల క్రమానికి కట్టుబడి ఉండాలి. మా చిట్కాలు మరియు సిఫార్సులను అనుసరించడం ద్వారా, మీరు హైపర్బోలాను మాత్రమే కాకుండా అనేక ఇతర గ్రాఫ్‌లను కూడా సులభంగా నిర్మించవచ్చు. ప్రయత్నించండి, సాధన చేయండి మరియు మీరు ఖచ్చితంగా విజయం సాధిస్తారు!

నిర్వచనం . హైపర్బోలా అనేది పాయింట్ల లోకస్, వీటిలో ప్రతి దాని నుండి ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల మధ్య వ్యత్యాసం, దీనిని foci అని పిలుస్తారు, ఇది స్థిరమైన విలువ.

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను తీసుకుందాం, తద్వారా foci abscissa అక్షం మీద ఉంటుంది, మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం సెగ్మెంట్ F 1 F 2ని సగానికి విభజిస్తుంది (Fig. 30). మనం F 1 F 2 = 2cని సూచిస్తాము. అప్పుడు F 1 (c; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2, MF 1 = r 1 - హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ రేడియాలు.

హైపర్బోలా నిర్వచనం ప్రకారం, r 1 – r 2 = const.

దానిని 2aతో సూచిస్తాం

అప్పుడు r 2 - r 1 = ±2a కాబట్టి:

=> కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం

హైపర్బోలా x మరియు y యొక్క సమీకరణం సమాన శక్తులలో ఉన్నందున, పాయింట్ M 0 (x 0; y 0) హైపర్బోలాపై ఉంటే, అప్పుడు పాయింట్లు M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) దానిపై కూడా పడుకోండి -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

కాబట్టి, హైపర్బోలా రెండు కోఆర్డినేట్ అక్షాల గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

y = 0 x 2 = a 2 x = ± a అయినప్పుడు. హైపర్బోలా యొక్క శీర్షాలు A 1 (a; 0) పాయింట్లుగా ఉంటాయి; A 2 (-a; 0).

. సమరూపత కారణంగా, మేము మొదటి త్రైమాసికంలో పరిశోధన చేస్తాము

1) వద్ద
y ఒక ఊహాత్మక విలువను కలిగి ఉంది, కాబట్టి, అబ్సిస్సాస్‌తో హైపర్బోలా యొక్క పాయింట్లు
ఉనికిలో లేదు

2) x = a కోసం; y = 0 A 1 (a; 0) హైపర్బోలాకు చెందినది

3) x > a కోసం; y > 0. అంతేకాకుండా, xలో అపరిమిత పెరుగుదలతో, హైపర్బోలా యొక్క శాఖ అనంతానికి వెళుతుంది.

హైపర్బోలా అనేది రెండు అనంతమైన శాఖలతో కూడిన వక్రరేఖ అని ఇది అనుసరిస్తుంది.

P 6. హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు

సమీకరణంతో కలిసి పరిశీలిద్దాం
ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం

TO వక్రరేఖ సరళ రేఖకు దిగువన ఉంటుంది (Fig. 31). పాయింట్లు N (x, Y) మరియు M (x, y) అబ్సిసాస్ ఒకేలా ఉంటాయి మరియు Y - y = MN. సెగ్మెంట్ MN యొక్క పొడవును పరిగణించండి

మేము కనుగొంటాము

కాబట్టి, పాయింట్ M, మొదటి త్రైమాసికంలో హైపర్‌బోలాతో కదులుతున్నట్లయితే, అనంతానికి దూరంగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ రేఖ నుండి దాని దూరం
తగ్గుతుంది మరియు సున్నాకి ఉంటుంది.

సమరూపత కారణంగా, సరళ రేఖకు ఒకే ఆస్తి ఉంటుంది
.

నిర్వచనం. నేరుగా దేనికి
వక్రరేఖ నిరవధికంగా చేరుకుంటుంది మరియు దీనిని అసింప్టోట్స్ అంటారు.

మరియు
కాబట్టి, హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్‌ల సమీకరణం
.

హైపర్బోలా యొక్క అసమానతలు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాల వెంట ఉన్నాయి, దాని యొక్క ఒక వైపు x అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు 2aకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మరొకటి oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు 2bకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు కేంద్రం ఇక్కడ ఉంటుంది అక్షాంశాల మూలం (Fig. 32).

P 7. హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత మరియు డైరెక్టిక్స్

r 2 – r 1 = ± 2a ది + గుర్తు హైపర్బోలా యొక్క కుడి శాఖను సూచిస్తుంది

సంకేతం - హైపర్బోలా యొక్క ఎడమ శాఖను సూచిస్తుంది

నిర్వచనం. హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత అనేది ఈ హైపర్బోలా యొక్క foci మధ్య దూరం మరియు దాని శీర్షాల మధ్య దూరానికి నిష్పత్తి.

. c > a, ε > 1 నుండి

విపరీతత పరంగా హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ రేడియాలను వ్యక్తపరుస్తాము:

నిర్వచనం . సరళ రేఖలను పిలుద్దాం
, హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ అక్షానికి లంబంగా మరియు దూరంలో ఉందిదాని కేంద్రం నుండి కుడి మరియు ఎడమ ఫోసికి సంబంధించిన హైపర్బోలాస్ డైరెక్ట్రిక్స్ ద్వారా.

టి
అతిశయోక్తి కొరకు
అందువల్ల, హైపర్బోలా యొక్క డైరెక్టిక్స్ దాని శీర్షాల మధ్య ఉన్నాయి (Fig. 33). హైపర్బోలా యొక్క ఏదైనా బిందువు యొక్క దూరాల నిష్పత్తి ఫోకస్ మరియు సంబంధిత డైరెక్టిక్స్‌కు స్థిరమైన విలువ మరియు εకి సమానం అని చూపిద్దాం.

P. 8 పారాబోలా మరియు దాని సమీకరణం

గురించి
నిర్వచనం. పారాబొలా అనేది ఇచ్చిన బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల లోకస్, దీనిని ఫోకస్ అని పిలుస్తారు మరియు ఇచ్చిన లైన్ నుండి డైరెక్ట్రిక్స్ అని పిలుస్తారు.

పారాబొలా యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయడానికి, డైరెక్టిక్స్‌కు లంబంగా F 1 ఫోకస్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను x అక్షం వలె తీసుకుంటాము మరియు x అక్షం డైరెక్టిక్స్ నుండి ఫోకస్‌కు మళ్లించబడిందని మేము ఊహిస్తాము. కోఆర్డినేట్‌ల మూలం కోసం మేము పాయింట్ F నుండి ఈ సరళ రేఖకు సెగ్మెంట్ మధ్య O ను తీసుకుంటాము, దీని పొడవు p ద్వారా సూచిస్తాము (Fig. 34). మేము p విలువను పారాబొలా యొక్క పరామితి అని పిలుస్తాము. ఫోకస్ కోఆర్డినేట్ పాయింట్
.

M (x, y) పారాబొలా యొక్క ఏకపక్ష బిందువుగా ఉండనివ్వండి.

నిర్వచనం ప్రకారం

వద్ద 2 = 2рх – పారాబొలా యొక్క కానానికల్ సమీకరణం

పారాబొలా రకాన్ని నిర్ణయించడానికి, మేము దాని సమీకరణాన్ని మారుస్తాము
ఇది ఇక్కడ నుండి అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల, పారాబొలా యొక్క శీర్షం మూలం మరియు పారాబొలా యొక్క సమరూపత అక్షం ఓహ్. సానుకూల pతో y 2 = -2px సమీకరణం xని –xతో భర్తీ చేయడం ద్వారా y 2 = 2px సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది మరియు దాని గ్రాఫ్ కనిపిస్తుంది (Fig. 35).

యు
సమీకరణం x2 = 2py అనేది పాయింట్ O (0; 0) వద్ద ఉన్న శీర్షంతో కూడిన పారాబొలా యొక్క సమీకరణం, దీని శాఖలు పైకి మళ్లించబడతాయి.

X
2 = -2ру – మూలం వద్ద కేంద్రంతో పారాబొలా యొక్క సమీకరణం, y- అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది, దీని శాఖలు క్రిందికి దర్శకత్వం వహించబడతాయి (Fig. 36).

ఒక పారాబొలా సమరూపత యొక్క ఒక అక్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

x మొదటి శక్తికి మరియు y రెండవదానికి అయితే, సమరూపత యొక్క అక్షం x.

x రెండవ శక్తికి మరియు y మొదటి శక్తికి అయితే, సమరూపత యొక్క అక్షం y అక్షం.

గమనిక 1. పారాబొలా డైరెక్ట్రిక్స్ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
.

గమనిక 2. ఒక పారాబొలా కోసం , ఆε పారాబొలా 1కి సమానం.ε = 1 .

తరగతి 10 . రెండవ ఆర్డర్ వక్రతలు.

10.1 దీర్ఘవృత్తాకారము. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ అక్షాలు, విపరీతత, గ్రాఫ్.

10.2 హైపర్బోలా. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ-యాక్సెస్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, అసింప్టోట్స్, గ్రాఫ్.

10.3 పరబోలా. కానానికల్ సమీకరణం. పారాబొలా పరామితి, గ్రాఫ్.

విమానంలో సెకండ్-ఆర్డర్ వక్రతలు పంక్తులు, దీని అవ్యక్త నిర్వచనం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ
- ఇచ్చిన వాస్తవ సంఖ్యలు,
- కర్వ్ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు. సెకండ్-ఆర్డర్ వక్రతలలో అత్యంత ముఖ్యమైన పంక్తులు దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా.

10.1 దీర్ఘవృత్తాకారము. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ అక్షాలు, విపరీతత, గ్రాఫ్.

దీర్ఘవృత్తం యొక్క నిర్వచనం.దీర్ఘవృత్తం అనేది రెండు స్థిర బిందువుల నుండి దూరాల మొత్తం
ఏదైనా పాయింట్‌కి విమానం

(అవి.). పాయింట్లు
దీర్ఘవృత్తం యొక్క foci అంటారు.

కానానికల్ దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం:
. (2)

(లేదా అక్షం
) ట్రిక్స్ ద్వారా వెళుతుంది
, మరియు మూలం పాయింట్ - సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంది
(Fig. 1). దీర్ఘవృత్తం (2) కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు మూలం (దీర్ఘవృత్తం యొక్క కేంద్రం)కి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది. శాశ్వతమైనది
,
అంటారు దీర్ఘవృత్తం యొక్క అర్ధ-అక్షాలు.

దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని సమీకరణం (2) ద్వారా అందించినట్లయితే, దీర్ఘవృత్తాకారం యొక్క foci ఇలా కనుగొనబడుతుంది.

1) ముందుగా, foci ఎక్కడ ఉందో మేము నిర్ణయిస్తాము: ప్రధాన సెమీ అక్షాలు ఉన్న కోఆర్డినేట్ అక్షం మీద foci ఉంటుంది.

2) అప్పుడు ఫోకల్ పొడవు లెక్కించబడుతుంది (ఫోసిస్ నుండి మూలానికి దూరం).

వద్ద
foci అక్షం మీద ఉంటుంది
;
;
.

వద్ద
foci అక్షం మీద ఉంటుంది
;
;
.

విపరీతత్వందీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పరిమాణం అంటారు: (వద్ద
);(వద్ద
).

ఎల్లప్పుడూ దీర్ఘవృత్తం
.

విపరీతత దీర్ఘవృత్తాకార సంపీడనం యొక్క లక్షణంగా పనిచేస్తుంది.

,
దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని (2) తరలించినట్లయితే, దీర్ఘవృత్తాకార కేంద్రం పాయింట్‌ను తాకుతుంది

.

, ఫలితంగా దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

10.2 హైపర్బోలా. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ-యాక్సెస్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, అసింప్టోట్స్, గ్రాఫ్.అతిశయోక్తి యొక్క నిర్వచనం.
ఏదైనా పాయింట్‌కి విమానం
హైపర్బోలా అనేది ప్లేన్ కర్వ్, దీనిలో రెండు స్థిర బిందువుల నుండి దూరాలలో తేడా యొక్క సంపూర్ణ విలువ
(అవి.). ఈ వక్రరేఖ పాయింట్ నుండి స్వతంత్రంగా స్థిరమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది
పాయింట్లు

హైపర్బోలా యొక్క ఫోసిస్ అంటారు.:
కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం
. (3)

లేదా
(లేదా అక్షం
) ట్రిక్స్ ద్వారా వెళుతుంది
, మరియు మూలం పాయింట్ - సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంది
.
,
అంటారు హైపర్బోలాస్ (3) కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి. శాశ్వతమైనది.

హైపర్బోలా యొక్క అర్ధ-అక్షాలు

హైపర్బోల్ యొక్క ఫోసిస్ ఇలా కనుగొనబడింది.
foci అక్షం మీద ఉంటుంది
:
అతిశయోక్తి వద్ద

హైపర్బోల్ యొక్క ఫోసిస్ ఇలా కనుగొనబడింది.
foci అక్షం మీద ఉంటుంది
:
(Fig. 2.a).

(Fig. 2.b) ఇక్కడ
.

విపరీతత్వం- ఫోకల్ పొడవు (ఫోసి నుండి మూలానికి దూరం). ఇది సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

హైపర్బోలా అనేది పరిమాణం:
);హైపర్బోలా అనేది పరిమాణం:
).

(కోసం
.

హైపర్బోల్ ఎల్లప్పుడూ ఉంటుందిహైపర్బోలాస్ యొక్క లక్షణాలు
(3) రెండు సరళ రేఖలు: .

. హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖలు పెరుగుదలతో పరిమితి లేకుండా అసిప్టోట్‌లను చేరుకుంటాయి
హైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క నిర్మాణం క్రింది విధంగా నిర్వహించబడాలి: మొదట సెమీ-యాక్సెస్ వెంట మేము కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా భుజాలతో సహాయక దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మిస్తాము; ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వ్యతిరేక శీర్షాల ద్వారా సరళ రేఖలను గీయండి, ఇవి హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు; చివరగా మేము హైపర్బోలా యొక్క శాఖలను వర్ణిస్తాము, అవి సహాయక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సంబంధిత భుజాల మధ్య బిందువులను తాకి, పెరుగుదలతో దగ్గరగా ఉంటాయి

అసింప్టోట్‌లకు (Fig. 2).
హైపర్బోలాస్ (3)ని తరలించినట్లయితే, వాటి కేంద్రం పాయింట్‌ను తాకుతుంది
,
, మరియు సెమీ అక్షాలు అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉంటాయి

,
.

, అప్పుడు ఫలిత హైపర్బోలాస్ యొక్క సమీకరణం రూపంలో వ్రాయబడుతుంది

10.3 పరబోలా. కానానికల్ సమీకరణం. పారాబొలా పరామితి, గ్రాఫ్.పారాబొలా యొక్క నిర్వచనం.
పారాబొలా అనేది ఏ బిందువుకైనా ఒక ప్లేన్ కర్వ్
ఈ వక్రరేఖ నుండి దూరం ఒక స్థిర బిందువుకు
విమానం (పారాబొలా యొక్క ఫోకస్ అని పిలుస్తారు) నుండి దూరానికి సమానంవిమానంలో స్థిరమైన సరళ రేఖకు .

(పారాబొలా యొక్క డైరెక్టిక్స్ అని పిలుస్తారు):
, (4)

ఎక్కడ కానానికల్ పారాబొలా సమీకరణం - అనే స్థిరాంకంపరామితి

పరబోలాలు.
చుక్క
పారాబొలా (4)ను పారాబొలా యొక్క శీర్షం అంటారు. అక్షం
సమరూపత యొక్క అక్షం. పారాబొలా (4) యొక్క దృష్టి బిందువు వద్ద ఉంది
, డైరెక్టిక్స్ సమీకరణం
.
పారాబోలా గ్రాఫ్‌లు (4) అర్థాలతో

మరియు
అంజీర్లో చూపబడ్డాయి. 3.a మరియు 3.b వరుసగా.
సమీకరణం
,
విమానంలో పారాబొలాను కూడా నిర్వచిస్తుంది

, దీని గొడ్డలి, పారాబొలా (4)తో పోలిస్తే,
స్థలాలను మార్చుకున్నారు.
పారాబొలా (4)ని తరలించినట్లయితే, దాని శీర్షం పాయింట్‌ను తాకుతుంది

.

, మరియు సమరూపత యొక్క అక్షం అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది

, ఫలితంగా పారాబొలా యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుందిఉదాహరణలకు వెళ్దాం.
ఉదాహరణ 1
.

. రెండవ ఆర్డర్ వక్రత సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది
. ఈ వక్రరేఖకు పేరు పెట్టండి. దాని foci మరియు అసాధారణతను కనుగొనండి. ఒక విమానంలో ఒక వక్రరేఖ మరియు దాని కేంద్రాన్ని గీయండి
పరిష్కారం. ఈ వక్రరేఖ బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు
. దీన్ని భర్తీ చేయడం ద్వారా సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు
. ఈ పరివర్తన అంటే ఇచ్చిన కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి మార్పు
కొత్త కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు
,
, దీని అక్షం
అక్షాలకు సమాంతరంగా .
వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణం దీర్ఘవృత్తం యొక్క నియమావళి సమీకరణంగా రూపాంతరం చెందుతుంది
, దాని గ్రాఫ్ అంజీర్లో చూపబడింది. 4.

ఉపాయాలు వెతుకుదాం.
, కాబట్టి ఉపాయాలు
అక్షం మీద ఉన్న దీర్ఘవృత్తం
.. సమన్వయ వ్యవస్థలో
:
.
ఎందుకంటే
, పాత కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో

foci కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది.ఉదాహరణ 2

. రెండవ-ఆర్డర్ వక్రరేఖ పేరును ఇవ్వండి మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను అందించండి. . .

పరిష్కారం. వేరియబుల్స్ ఉన్న నిబంధనల ఆధారంగా పరిపూర్ణ చతురస్రాలను ఎంచుకుందాం

ఇప్పుడు, వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
. ఈ వక్రరేఖకు పేరు పెట్టండి. దాని foci మరియు అసాధారణతను కనుగొనండి. ఒక విమానంలో ఒక వక్రరేఖ మరియు దాని కేంద్రాన్ని గీయండి
కాబట్టి, ఇచ్చిన వక్రరేఖ బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం

. పొందిన సమాచారం దాని గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి అనుమతిస్తుంది.ఉదాహరణ 3
.

. లైన్ యొక్క పేరు మరియు గ్రాఫ్ ఇవ్వండి
. ఈ వక్రరేఖకు పేరు పెట్టండి. దాని foci మరియు అసాధారణతను కనుగొనండి. ఒక విమానంలో ఒక వక్రరేఖ మరియు దాని కేంద్రాన్ని గీయండి
.

పరిష్కారం. .
ఇది బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం
అప్పటి నుండి,

, మేము ముగించాము: ఇచ్చిన సమీకరణం విమానంలో నిర్ణయిస్తుందిదీర్ఘవృత్తం యొక్క దిగువ సగం (Fig. 5).
ఉదాహరణ 4

. రెండవ ఆర్డర్ వక్రరేఖ పేరును ఇవ్వండి
.

. దాని కేంద్రీకరణలు, విపరీతతను కనుగొనండి. ఈ వక్రరేఖ యొక్క గ్రాఫ్ ఇవ్వండి.

- సెమీ-యాక్సెస్‌తో కూడిన హైపర్‌బోలా యొక్క కానానికల్ సమీకరణం , కాబట్టి ఉపాయాలు
ఫోకల్ పొడవు.
మైనస్ గుర్తు పదానికి ముందు ఉంటుంది
.

హైపర్బోలాస్ అక్షం మీద ఉంటాయి

:.

హైపర్బోలా యొక్క శాఖలు అక్షం పైన మరియు క్రింద ఉన్నాయి

- హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత.హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు: .
ఈ హైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ నిర్మాణం పైన వివరించిన విధానానికి అనుగుణంగా నిర్వహించబడుతుంది: మేము ఒక సహాయక దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మిస్తాము, హైపర్బోలా యొక్క అసమానతలను గీయండి, హైపర్బోలా యొక్క శాఖలను గీయండి (Fig. 2.b చూడండి).

ఉదాహరణ 5
. సమీకరణం ఇచ్చిన వక్రరేఖ రకాన్ని కనుగొనండి

మరియు దానిని ప్లాట్ చేయండి.
- ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రంతో హైపర్బోలా
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు.
ఎందుకంటే , మేము ముగించాము: ఇవ్వబడిన సమీకరణం సరళ రేఖకు కుడివైపున ఉన్న హైపర్బోలా యొక్క భాగాన్ని నిర్ణయిస్తుంది
.

సహాయక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో హైపర్బోలాను గీయడం మంచిది, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి పొందబడింది

షిఫ్ట్ :

, ఆపై హైపర్బోలా యొక్క కావలసిన భాగాన్ని బోల్డ్ లైన్‌తో హైలైట్ చేయండి

ఉదాహరణ 6
. వక్రరేఖ రకాన్ని కనుగొని దాని గ్రాఫ్‌ను గీయండి.
పరిష్కారం. వేరియబుల్‌తో ఉన్న నిబంధనల ఆధారంగా పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుందాం వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం.
ఇది పాయింట్ వద్ద దాని శీర్షంతో పారాబొలా యొక్క సమీకరణం
.
షిఫ్ట్ పరివర్తనను ఉపయోగించి, పారాబొలా సమీకరణం కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురాబడుతుంది

, ఇది పారాబొలా పరామితి అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. దృష్టి పెట్టండి.

వ్యవస్థలో పారాబొలాస్
కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది

, మరియు వ్యవస్థలో
వాటి సెమీ-యాక్సెస్, ఫోకల్ లెంగ్త్, విపరీతతను కనుగొని, హైపర్‌బోలా గ్రాఫ్‌లపై వాటి ఫోసిస్ స్థానాలను సూచించండి. ఇచ్చిన హైపర్బోలాస్ యొక్క అసింప్టోట్‌ల కోసం సమీకరణాలను వ్రాయండి.

3. సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన పారాబొలాస్‌ను గీయండి:
. వాటి పరామితి, ఫోకల్ పొడవును కనుగొని, పారాబొలా గ్రాఫ్‌లపై ఫోకస్ యొక్క స్థానాన్ని సూచించండి.

4. సమీకరణం
వక్రరేఖ యొక్క 2వ ఆర్డర్ భాగాన్ని నిర్వచిస్తుంది. ఈ వక్రరేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని కనుగొని, దాని పేరును వ్రాసి, దాని గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయండి మరియు అసలు సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉండే వక్రరేఖ యొక్క భాగాన్ని దానిపై హైలైట్ చేయండి.

నిర్వచనం. హైపర్బోలా అనేది y ప్లేన్‌లోని పాయింట్ల యొక్క రేఖాగణిత స్థానం, ఈ విమానం యొక్క రెండు పాయింట్ల నుండి వాటి యొక్క దూరాలలోని తేడా యొక్క సంపూర్ణ విలువ, దీనిని foci అని పిలుస్తారు, ఈ విలువ సున్నా కానట్లయితే మరియు foci మధ్య దూరం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

హైపర్బోలా యొక్క ప్రతి బిందువు నుండి foci వరకు ఉన్న దూరాలలో తేడా యొక్క మాడ్యులస్‌కు సమానమైన స్థిరమైన విలువతో foci మధ్య దూరాన్ని (షరతు ద్వారా) సూచిస్తాము. దీర్ఘవృత్తాకారంలో వలె, మేము foci ద్వారా abscissa అక్షాన్ని గీస్తాము మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా సెగ్మెంట్ మధ్యలో తీసుకుంటాము (Fig. 44 చూడండి). అటువంటి వ్యవస్థలోని foci కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది, మేము ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో హైపర్‌బోలా యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము. హైపర్బోలా యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, దాని యొక్క ఏదైనా పాయింట్ కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము లేదా

కానీ . అందువల్ల మనకు లభిస్తుంది

దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాన్ని పొందేటప్పుడు చేసిన వాటికి సమానమైన సరళీకరణల తర్వాత, మేము ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఇది సమీకరణం యొక్క పరిణామం (33).

ఈ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తం కోసం పొందిన సమీకరణం (27)తో సమానంగా ఉందని చూడటం సులభం. అయితే, సమీకరణంలో (34) వ్యత్యాసం , ఎందుకంటే హైపర్బోలా . అందువల్ల మేము ఉంచాము

అప్పుడు సమీకరణం (34) క్రింది రూపానికి తగ్గించబడుతుంది:

ఈ సమీకరణాన్ని కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం అంటారు. సమీకరణం (36), సమీకరణం (33) యొక్క పర్యవసానంగా, హైపర్బోలా యొక్క ఏదైనా బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది. హైపర్బోలాపై పడని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచవని చూపవచ్చు (36).

హైపర్బోలా దాని నియమావళి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి దాని రూపాన్ని స్థాపించండి. ఈ సమీకరణం ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క సరి అధికారాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, హైపర్బోలా సమరూపత యొక్క రెండు అక్షాలను కలిగి ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సమానంగా ఉంటుంది. కింది వాటిలో, మేము హైపర్బోలా యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షాలను హైపర్బోలా యొక్క అక్షాలు మరియు వాటి ఖండన బిందువు - హైపర్బోలా యొక్క కేంద్రం అని పిలుస్తాము. ఫోసిస్ ఉన్న హైపర్బోలా యొక్క అక్షాన్ని ఫోకల్ యాక్సిస్ అంటారు. మొదటి త్రైమాసికంలో హైపర్బోలా రూపాన్ని పరిశీలిద్దాం, ఎక్కడ

ఇక్కడ, లేకపోతే y ఊహాత్మక విలువలను తీసుకుంటుంది. x a నుండి వరకు పెరుగుతుంది, ఇది మొదటి త్రైమాసికంలో ఉన్న హైపర్బోలా యొక్క భాగం అంజీర్లో చూపబడింది. 47.

హైపర్బోలా కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సుష్టంగా ఉన్నందున, ఈ వక్రరేఖ అంజీర్‌లో చూపిన రూపాన్ని కలిగి ఉంది. 47.

ఫోకల్ యాక్సిస్‌తో హైపర్బోలా యొక్క ఖండన బిందువులను దాని శీర్షాలు అంటారు. సమీకరణంలో హైపర్‌బోలాస్‌ని ఊహిస్తే, దాని శీర్షాల అబ్సిస్సాస్‌ను మేము కనుగొంటాము: . అందువలన, హైపర్బోలా రెండు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది: . హైపర్బోలా ఆర్డినేట్ అక్షంతో కలుస్తుంది. వాస్తవానికి, సమీకరణంలో హైపర్బోలాస్ను ఉంచడం ద్వారా మనం y కోసం ఊహాత్మక విలువలను పొందుతాము: . కాబట్టి, హైపర్బోలా యొక్క ఫోకల్ అక్షాన్ని నిజమైన అక్షం అని పిలుస్తారు మరియు ఫోకల్ అక్షానికి లంబంగా ఉండే సమరూపత యొక్క అక్షాన్ని హైపర్బోలా యొక్క ఊహాత్మక అక్షం అంటారు.

నిజమైన అక్షాన్ని హైపర్బోలా యొక్క శీర్షాలను కలిపే సెగ్మెంట్ అని కూడా పిలుస్తారు మరియు దాని పొడవు 2a. పాయింట్లను కలిపే సెగ్మెంట్ (అంజీర్ 47 చూడండి), అలాగే దాని పొడవు, హైపర్బోలా యొక్క ఊహాత్మక అక్షం అని పిలుస్తారు. a మరియు b సంఖ్యలు వరుసగా హైపర్బోలా యొక్క నిజమైన మరియు ఊహాత్మక అర్ధ-అక్షాలుగా పిలువబడతాయి.

మనం ఇప్పుడు మొదటి త్రైమాసికంలో ఉన్న హైపర్బోలాను పరిశీలిద్దాం మరియు ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి తగినంత పెద్ద దూరంలో ఉన్న ఈ గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు ఏకపక్షంగా సరళ రేఖకు దగ్గరగా ఉన్నాయని చూపిద్దాం.

మూలం గుండా వెళుతుంది మరియు కోణీయ గుణకం కలిగి ఉంటుంది

ఈ ప్రయోజనం కోసం, వక్రరేఖ (37) మరియు సరళ రేఖ (38) (Fig. 48)పై వరుసగా ఒకే అబ్సిస్సా మరియు పడుకున్న రెండు పాయింట్లను పరిగణించండి మరియు ఈ పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని రూపొందించండి.

ఈ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ స్థిరమైన విలువ, మరియు హారం అపరిమిత పెరుగుదలతో నిరవధికంగా పెరుగుతుంది. అందువల్ల, వ్యత్యాసం సున్నాకి ఉంటుంది, అంటే అబ్సిస్సా నిరవధికంగా పెరుగుతున్నందున M మరియు N పాయింట్లు నిరవధికంగా దగ్గరగా వస్తాయి.

కోఆర్డినేట్ గొడ్డలికి సంబంధించి హైపర్బోలా యొక్క సమరూపత నుండి, హైపర్బోలా యొక్క పాయింట్లు మూలం నుండి అపరిమిత దూరం వద్ద ఏకపక్షంగా దగ్గరగా ఉండే మరొక సరళ రేఖను అనుసరిస్తుంది. డైరెక్ట్

హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్స్ అంటారు.

అంజీర్లో. 49 హైపర్బోలా మరియు దాని అసింప్టోట్‌ల సాపేక్ష స్థితిని చూపుతుంది. ఈ సంఖ్య హైపర్బోలా యొక్క అసింప్టోట్‌లను ఎలా నిర్మించాలో కూడా చూపుతుంది.

దీన్ని చేయడానికి, మూలం వద్ద కేంద్రం మరియు అక్షాలకు సమాంతరంగా మరియు తదనుగుణంగా సమానమైన భుజాలతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మించండి. ఈ దీర్ఘచతురస్రాన్ని ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం అంటారు. దాని ప్రతి వికర్ణాలు, రెండు దిశలలో నిరవధికంగా విస్తరించి ఉంటాయి, ఇది హైపర్బోలా యొక్క లక్షణం. హైపర్బోలాను నిర్మించే ముందు, దాని అసింప్టోట్‌లను నిర్మించాలని సిఫార్సు చేయబడింది.

హైపర్బోలా యొక్క నిజమైన అర్ధ-అక్షానికి foci మధ్య సగం దూరం యొక్క నిష్పత్తిని హైపర్బోలా యొక్క అసాధారణత అని పిలుస్తారు మరియు సాధారణంగా అక్షరంతో సూచించబడుతుంది:

హైపర్బోలా కోసం, హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది: విపరీతత హైపర్బోలా ఆకారాన్ని వర్ణిస్తుంది

నిజానికి, ఫార్ములా (35) నుండి అది అనుసరిస్తుంది. దీని నుండి హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత చిన్నదని స్పష్టమవుతుంది,

దాని అర్ధ-అక్షాల నిష్పత్తి చిన్నది. కానీ రిలేషన్ హైపర్బోలా యొక్క ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ఆకారాన్ని నిర్ణయిస్తుంది మరియు అందువల్ల హైపర్బోలా యొక్క ఆకారాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. హైపర్బోలా యొక్క తక్కువ విపరీతత, దాని ప్రధాన దీర్ఘచతురస్రం (ఫోకల్ యాక్సిస్ దిశలో) మరింత పొడుగుగా ఉంటుంది.