GJEOMETRI

Seksioni II. STEREOMETRI

§22. TOPI. SFERË.

1. Përkufizimi i një topi dhe një sfere. Elementet e topit dhe sferës.

Një plumb është një trup gjeometrik i formuar nga rrotullimi i një rrethi rreth një boshti që përmban diametrin e tij (Fig. 500).

Qendra e rrethit që rrotullohet quhet qendra e topit, rrezja e rrethit është rrezja e topit dhe diametri i rrethit është diametri i topit. Në figurën 500, pika O është qendra e topit, OA dhe OB janë rrezet e topit dhe AB është diametri i topit.

Sipërfaqja e një sfere quhet sferë.

Qendra, rrezja dhe diametri i një sfere janë gjithashtu qendra, rrezja dhe diametri i një sfere.

Të gjitha pikat e sferës janë në të njëjtën distancë, të barabartë me rrezen, nga qendra e sferës. Pikat e tjera të topit që nuk i përkasin sferës quhen pika të brendshme, dhe pika të tilla thuhet se ndodhen brenda sferës. Pikat e brendshme të topit janë nga qendra e topit në një distancë që është më e vogël se rrezja.

Kështu arrijmë në një përkufizim tjetër të sferës dhe topit.

Një sferë është një sipërfaqe që përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirë ​​që janë të barabarta nga e njëjta pikë. Kjo pikë quhet qendra e sferës, dhe distanca nga qendra e sferës në cilëndo pikë të saj quhet rreze e sferës.

Një plumb është një trup gjeometrik që përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirë ​​të vendosura në një distancë jo më të madhe se një e dhënë nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e topit dhe kjo distancë quhet rrezja e topit.

Shembull. Rrezja e sferës është 3,5 cm. Pika A vendoset brenda ose jashtë sferës nëse është larg qendrës së sferës: 1) cm, 2) cm.

Kur njerëzve u bëhet pyetja se si një sferë ndryshon nga një top, shumë thjesht ngrenë supet, duke menduar se ata janë në të vërtetë e njëjta gjë (një analogji me një rreth dhe një rreth). Në të vërtetë, a e njohim të gjithë mirë gjeometrinë nga programi shkollor dhe a mund t'i përgjigjemi menjëherë kësaj pyetjeje? Sfera ka disa ndryshime nga topi, të cilat jo vetëm nxënësit e shkollës duhet të dinë për të marrë një notë të mirë për njohuritë e tyre të demonstruara, por edhe shumë njerëz të tjerë, për shembull, puna e të cilëve lidhet drejtpërdrejt me vizatimet.

Përkufizimi

Topiështë tërësia e të gjitha pikave në hapësirë. Të gjitha këto pika janë nga qendra e trupit gjeometrik në një distancë që nuk është më e madhe se ajo e specifikuar. Vetë kjo distancë quhet rreze. Një top, si një trup gjeometrik, formohet si më poshtë: një gjysmërreth rrotullohet rreth diametrit të tij. Sa i përket sferës, kjo është sipërfaqja e topit (për shembull, një top i mbyllur e përfshin atë, një i hapur jo). Llogaritja e sipërfaqes ose vëllimit të një topi është një formulë e tërë gjeometrike që është shumë komplekse, pavarësisht nga thjeshtësia e dukshme e vetë figurës gjeometrike.

Sferë, siç u përmend më lart, është sipërfaqja e topit, guaska e saj. Të gjitha pikat në hapësirë ​​janë të barabarta nga qendra e sferës. Sa i përket rrezes së një trupi gjeometrik, quhet çdo segment, njëra pikë e të cilit është drejtpërdrejt qendra e sferës, dhe tjetra mund të vendoset në çdo pikë të sipërfaqes. Mund të themi se sfera është guaska e topit pa përmbajtje (shembuj më specifik do të jepen më poshtë). Ashtu si një top, një sferë është një trup revolucioni. Nga rruga, shumë pyesin gjithashtu se cili është ndryshimi midis një rrethi dhe një rrethi nga një sferë dhe një top. Gjithçka është e thjeshtë këtu: në rastin e parë, këto janë figura në një aeroplan, në të dytën - në hapësirë.

Krahasimi

Tashmë është thënë se sfera është sipërfaqja e topit, gjë që tashmë bën të mundur të flitet për një shenjë të rëndësishme ndryshimi. Dallimi midis dy trupave gjeometrikë vërehet edhe në disa aspekte të tjera:

• Të gjitha pikat e topit janë në të njëjtën distancë nga qendra, ndërsa trupi është i kufizuar nga sipërfaqja (një sferë që është bosh brenda). Me fjalë të tjera, sfera është e zbrazët. Zakonisht, për lehtësinë e të kuptuarit, jepet një shembull i thjeshtë me një tullumbace dhe një top bilardo. Të dyja këto objekte quhen topa, por në rastin e parë kemi të bëjmë me një sferë dhe në të dytin me një top të plotë me përmbajtjen e tij brenda.
• Një sferë ka sipërfaqen e vet, por nuk ka vëllim. Një sferë, nga ana tjetër, ka një vëllim që mund të llogaritet, ndërsa nuk ka sipërfaqe. Dikush mund të thotë se kjo është shenja kryesore e ndryshimit, por shfaqet vetëm nëse është e nevojshme të bëhen disa llogaritje (formula komplekse gjeometrike). Prandaj, ndryshimi kryesor është se sfera është e zbrazët, dhe topi është një trup me përmbajtje brenda.
• Një ndryshim tjetër qëndron në rreze. Për shembull, rrezja e një sfere nuk është vetëm distanca e pikave në qendër. Çdo segment që lidh një pikë në një sferë me qendrën e saj mund të quhet rreze. Të gjitha këto segmente janë të barabarta me njëri-tjetrin. Sa i përket topit, pikat e vendosura brenda tij janë më pak se një rreze larg qendrës (pikërisht për shkak të sferës që e kufizon).

Faqja e gjetjeve

1. Një sferë është e zbrazët, ndërsa një sferë është e ngurtë e mbushur brenda. Për shembull, një tullumbace është një sferë, një top bilardo është një top i plotë.
2. Një sferë ka një sipërfaqe dhe nuk ka vëllim, ndërsa një sferë bën të kundërtën.
3. Dallimi i tretë është matja e rrezes së dy trupave gjeometrikë.

Në kapitullin 2, do të vazhdojmë të "ndërtojmë gjeometrinë" dhe do të flasim për strukturën dhe vetitë e figurave më të rëndësishme hapësinore - një top dhe një sferë, cilindra dhe kone, prizma dhe piramida. Shumica e objekteve të krijuara nga dora e njeriut janë ndërtesa, makina, mobilje, vegla etj., etj., përbëhet nga pjesë që kanë formën e këtyre figurave.

§ 4. SFERË DHE TOPI

Pas vijave të drejta dhe planeve, sfera dhe topi janë më të thjeshtat, por shumë të rëndësishme dhe të pasura me veti të ndryshme të figurave hapësinore. Libra të tërë janë shkruar për vetitë gjeometrike të një topi dhe sipërfaqen e tij - një sferë. Disa nga këto prona ishin tashmë të njohura për gjeometritë e lashtë grekë, dhe disa u gjetën mjaft kohët e fundit, vitet e fundit. Këto veti (së bashku me ligjet e shkencës natyrore) shpjegojnë pse, për shembull, trupat qiellorë dhe vezët e peshkut kanë formën e një topi, pse batiskafët dhe topat e futbollit janë bërë në formën e një topi, pse kushinetat janë kaq të zakonshme në teknologjisë etj. Ne mund të vërtetojmë vetëm vetitë më të thjeshta të një topi. Vërtetimi i vetive të tjera, megjithëse shumë i rëndësishëm, shpesh kërkon përdorimin e metodave që nuk janë aspak elementare, megjithëse formulimet e vetive të tilla mund të jenë shumë të thjeshta: për shembull, midis të gjithë trupave që kanë një sipërfaqe të caktuar, sfera ka vëllimi më i madh.

4.1. Përkufizimet e sferës dhe sferës.

Një sferë dhe një top përcaktohen në hapësirë ​​saktësisht në të njëjtën mënyrë si një rreth dhe një rreth në një plan. Një sferë është një figurë e përbërë nga të gjitha pikat në hapësirë ​​të largëta nga një e dhënë

tregojnë për të njëjtën distancë (pozitive).

Kjo pikë quhet qendra e sferës dhe distanca quhet rreze e saj (Fig. 4.1).

Pra, një sferë me qendër O dhe rreze R është një figurë e formuar nga të gjitha pikat X të hapësirës për të cilën

Një top është një figurë e formuar nga të gjitha pikat në hapësirë ​​që janë në një distancë jo më të madhe se një distancë e caktuar (pozitive) nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e topit, dhe kjo distancë quhet rrezja e saj.

Pra, një top me qendër O dhe rreze R është një figurë e formuar nga të gjitha pikat X të hapësirës për të cilën

Ato pika X të topit me qendër O dhe rreze R për të cilat ato formojnë një sferë. Thuhet se kjo sferë e kufizon sferën e dhënë, ose se është sipërfaqja e saj.

Rreth të njëjtat pika X të topit, për të cilat themi se shtrihen brenda topit.

Rrezja e sferës (dhe topit) quhet jo vetëm distanca, por edhe çdo segment që lidh qendrën me pikën e sferës.

Topi dhe sfera janë kryesisht figura gjeometrike, dhe nëse topi është një trup gjeometrik, atëherë sfera është sipërfaqja e topit. Këto shifra ishin me interes shumë mijëra vjet më parë para Krishtit.

Më pas, kur u zbulua se Toka është një top, dhe qielli është një sferë qiellore, u zhvillua një drejtim i ri magjepsës në gjeometri - gjeometria në një sferë ose gjeometria sferike. Për të folur për madhësinë dhe vëllimin e një topi, së pari duhet ta përcaktoni atë.

Topi

Një top me rreze R me qendër në një pikë O në gjeometri quhet një trup që krijohet nga të gjitha pikat në hapësirë ​​që kanë një veti të përbashkët. Këto pika janë të vendosura në një distancë që nuk e kalon rrezen e topit, domethënë, ato mbushin të gjithë hapësirën më pak se rrezja e topit në të gjitha drejtimet nga qendra e tij. Nëse marrim parasysh vetëm ato pika që janë të barabarta nga qendra e topit, do të marrim parasysh sipërfaqen e tij ose guaskën e topit.

Si mund të marr një top? Mund të presim një rreth nga letra dhe të fillojmë ta rrotullojmë rreth diametrit të tij. Kjo do të thotë, diametri i rrethit do të jetë boshti i rrotullimit. Një figurë e arsimuar do të jetë një top. Prandaj, topi quhet edhe trupi i revolucionit. Sepse mund të formohet duke rrotulluar një figurë të sheshtë - një rreth.

Le të marrim pak aeroplan dhe të presim topin me të. Ashtu siç presim një portokall me thikë. Pjesa që kemi prerë nga topi quhet segmenti i topit.

Në Greqinë e lashtë, ata dinin se si jo vetëm të punonin me një top dhe një sferë, si me figurat gjeometrike, për shembull, t'i përdornin ato në ndërtim, por dinin gjithashtu të llogarisnin sipërfaqen e një topi dhe vëllimin e nje top.

Një sferë është një emër tjetër për sipërfaqen e një sfere. Një sferë nuk është një trup - është sipërfaqja e një trupi revolucioni. Megjithatë, meqenëse Toka dhe shumë trupa kanë një formë sferike, si një pikë uji, studimi i marrëdhënieve gjeometrike brenda sferës është bërë i përhapur.

Për shembull, nëse lidhim dy pika të sferës me njëra-tjetrën me një vijë të drejtë, atëherë kjo vijë e drejtë do të quhet akord, dhe nëse kjo kordë kalon nga qendra e sferës, e cila përkon me qendrën e topit, atëherë korda do të quhet diametri i sferës.

Nëse vizatojmë një vijë të drejtë që prek sferën vetëm në një pikë, atëherë kjo vijë do të quhet tangjente. Përveç kësaj, kjo tangjente me sferën në këtë pikë do të jetë pingul me rrezen e sferës së tërhequr në pikën tangjente.

Nëse akordin e vazhdojmë në një vijë të drejtë në një drejtim dhe tjetrin nga sfera, atëherë kjo kordë do të quhet sekant. Ose mund të thuash ndryshe - sekanti në sferë përmban akordin e tij.

Vëllimi i topit

Formula për llogaritjen e vëllimit të një topi është:

ku R është rrezja e topit.

Nëse keni nevojë të gjeni vëllimin e një segmenti sferik, përdorni formulën:

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h është lartësia e segmentit sferik.

Sipërfaqja e një topi ose sfere

Për të llogaritur sipërfaqen e një sfere ose sipërfaqen e një topi (ato janë të njëjta):

ku R është rrezja e sferës.

Arkimedi e donte shumë topin dhe sferën, madje ai kërkoi të linte një vizatim në varrin e tij, në të cilin një top është gdhendur në një cilindër. Arkimedi besonte se vëllimi i një sfere dhe sipërfaqja e saj janë të barabarta me dy të tretat e vëllimit dhe sipërfaqes së cilindrit në të cilin është gdhendur sfera.

Përkufizimi.

Sferë (sipërfaqja e topit) është mbledhja e të gjitha pikave në hapësirën tredimensionale që janë të njëjtën distancë nga një pikë e vetme, e quajtur qendra e sferës(O).

Një sferë mund të përshkruhet si një figurë tredimensionale që formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të saj me 180 ° ose një gjysmërreth rreth diametrit të tij me 360 ​​°.

Përkufizimi.

Topiështë grumbullimi i të gjitha pikave në hapësirën tredimensionale, distanca nga e cila nuk kalon një distancë të caktuar deri në një pikë të quajtur qendra e topit(O) (bashkësi e të gjitha pikave të hapësirës tredimensionale të kufizuara nga një sferë).

Një top mund të përshkruhet si një figurë tre-dimensionale, e cila formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të tij me 180 ° ose një gjysmërreth rreth diametrit të tij me 360 ​​°.

Përkufizimi. Rrezja e sferës (topit).(R) është distanca nga qendra e sferës (topit) O në çdo pikë të sferës (sipërfaqja e topit).

Përkufizimi. Diametri i sferës (topit).(D) është një segment që lidh dy pika të sferës (sipërfaqja e topit) dhe kalon nëpër qendrën e saj.

Formula. Vëllimi i topit:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Sipërfaqja e një sfere përmes rrezes ose diametrit:

S = 4π R 2 = π D 2

Ekuacioni i sferës

1. Ekuacioni i një sfere me rreze R dhe qendër në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ekuacioni i një sfere me rreze R dhe qendër në një pikë me koordinata (x 0 , y 0 , z 0) në sistemin koordinativ kartezian:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Përkufizimi. pika diametralisht të kundërta janë çdo dy pika në sipërfaqen e një topi (sfere) që lidhen me një diametër.

Vetitë themelore të një sfere dhe një topi

1. Të gjitha pikat e sferës janë njësoj të largëta nga qendra.

2. Çdo seksion i një sfere nga një rrafsh është një rreth.

3. Çdo seksion i një sfere nga një rrafsh është një rreth.

4. Sfera ka vëllimin më të madh ndër të gjitha figurat hapësinore me sipërfaqe të njëjtë.

5. Përmes çdo dy pikash diametralisht të kundërta, mund të vizatoni shumë rrathë të mëdhenj për një sferë ose rrathë për një top.

6. Nëpër çdo dy pika, përveç pikave diametralisht të kundërta, është e mundur të vizatohet vetëm një rreth i madh për një sferë ose një rreth i madh për një top.

7. Çdo dy rrathë të mëdhenj të një topi kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë që kalon nga qendra e topit dhe rrathët kryqëzohen në dy pika diametralisht të kundërta.

8. Nëse distanca ndërmjet qendrave të çdo dy topash është më e vogël se shuma e rrezeve të tyre dhe më e madhe se moduli i diferencës ndërmjet rrezeve të tyre, atëherë topa të tillë kryqëzohen, dhe një rreth formohet në rrafshin e kryqëzimit.

Rrafshi sekant, korda, sekanti i sferës dhe vetitë e tyre

Përkufizimi. Sekanti i sferaveështë një vijë e drejtë që e pret sferën në dy pika. Pikat e kryqëzimit quhen pikat e shpimit sipërfaqe ose pika hyrëse dhe dalëse në sipërfaqe.

Përkufizimi. Akord i një sfere (topi)është një segment që lidh dy pika të një sfere (sipërfaqen e një topi).

Përkufizimi. avion prerësështë rrafshi që pret sferën.

Përkufizimi. Plani diametral- ky është një aeroplan sekant që kalon nëpër qendrën e një sfere ose topi, seksioni formohet, përkatësisht rreth i madh dhe rreth i madh. Rrethi i madh dhe rrethi i madh kanë një qendër që përkon me qendrën e sferës (topit).

Çdo akord që kalon nëpër qendrën e një sfere (topi) është një diametër.

Një akord është një segment i një linje sekante.

Distanca d nga qendra e sferës në sekant është gjithmonë më e vogël se rrezja e sferës:

d< R

Distanca m midis planit të prerjes dhe qendrës së sferës është gjithmonë më e vogël se rrezja R:

m< R

Seksioni i planit të prerjes në sferë do të jetë gjithmonë rreth i vogël, dhe në top seksioni do të jetë rreth i vogël. Një rreth i vogël dhe një rreth i vogël kanë qendrat e tyre që nuk përkojnë me qendrën e sferës (topit). Rrezja r e një rrethi të tillë mund të gjendet me formulën:

r \u003d √ R 2 - m2,

Ku R është rrezja e sferës (topit), m është distanca nga qendra e topit në rrafshin prerës.

Përkufizimi. Hemisfera (hemisfera)- kjo është gjysma e sferës (topit), e cila formohet kur pritet nga një plan diametral.

Tangjent, rrafshi tangjent me sferën dhe vetitë e tyre

Përkufizimi. Tangjent me sferënështë një vijë e drejtë që prek sferën vetëm në një pikë.

Përkufizimi. Plani tangjent ndaj sferësështë një plan që prek sferën vetëm në një pikë.

Vija tangjente (aeroplani) është gjithmonë pingul me rrezen e sferës së tërhequr në pikën e kontaktit

Distanca nga qendra e sferës në vijën tangjente (aeroplani) është e barabartë me rrezen e sferës.

Përkufizimi. segmenti i topit- kjo është pjesa e topit që shkëputet nga topi me anë të një rrafshi prerës. Shtylla kurrizore e segmentit thirrni rrethin që u formua në vendin e seksionit. lartësia e segmentit h është gjatësia e pingulit të tërhequr nga mesi i bazës së segmentit në sipërfaqen e segmentit.

Formula. Sipërfaqja e jashtme e një segmenti sfere me lartësi h për sa i përket rrezes së sferës R:

S = 2π Rh