1.2. Përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm. Përkufizimi. Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet e tyre janë përkatësisht të barabartë dhe brinjët e njërit trekëndësh janë proporcionale me brinjët e ngjashme të trekëndëshit tjetër. Me fjalë të tjera, dy trekëndësha janë të ngjashëm nëse mund të shënohen me shkronjat ABC dhe A1B1C1 në mënyrë që të quhet A= A1, B= B1, C= C1 koeficienti i ngjashmërisë.

Rrëshqitja 9 nga prezantimi “Trekëndësha të ngjashëm” klasa e 8-të. Madhësia e arkivit me prezantimin është 1756 KB.

Gjeometria e klasës së 8-të

përmbledhje e prezantimeve të tjera

“Klasa e 8-të” Sheshi” – Detyra me gojë. Sheshi. Çanta me bazë katrore. Tregtar i pasur. Një katror është një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta. Sipërfaqja e një katrori. Perimetri i një katrori. Shenjat e një katrori. Detyra për punë gojore në sipërfaqen e një sheshi. Vetitë e një katrori. Sa katrorë janë paraqitur në foto? Sheshi i zi. Detyra për punë me gojë rreth perimetrit të katrorit. Sheshi është mes nesh.

“Produkti skalar në koordinata” - Vetitë e produktit skalar të vektorëve. Testi i matematikës. Pasoja. Shkëmbeni kartat. Material i ri. Teorema e Napoleonit. Vektor. Produkti me pika në koordinata dhe vetitë e tij. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës. Zgjidhje trekëndëshi. Gjeometria. Ngrohje matematikore. Le ta zgjidhim problemin. Emri i autorit të teoremës.

“Formulat e rrathëve të rrethuar dhe të brendashkruar” - Punë me tekstin shkollor. Trapezoid. Shuma e gjatësive të anëve të kundërta. Këndet e një katërkëndëshi të brendashkruar. Kulmet e trekëndëshit. Qendra e rrethit. Zgjidhni deklaratën e saktë. Mbaro fjalinë. Trekëndëshi. Rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar. Qendra e rrethit. Rretho. Pika e kryqëzimit. Shuma e këndeve të kundërta. Punë gojore. Lartësia.

"Gjeometria "Trekëndësha të ngjashëm"" - Shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Segmente proporcionale. Zgjidhja e problemeve. Dy anët e trekëndëshit lidhen me një segment jo paralel me të tretën. Anët e një trekëndëshi. Vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes. Vija e mesme e trekëndëshit. Vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes për këndet 30°, 45°, 60°. Diktim matematik. Identiteti bazë trigonometrik. Vazhdimi i anëve. Shenja e tretë e ngjashmërisë së trekëndëshave.

"Sipërfaqja e një drejtkëndëshi" klasa e 8-të - Gjeni sipërfaqen e katërkëndëshit. Vetitë e zonave. Në anën AB ndërtohet një paralelogram. ABCD dhe DСМK janë katrorë. Zona e katërkëndëshit ASKM. Brinjët e secilit prej drejtkëndëshave. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi. Njësitë matëse të sipërfaqes. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. Një shumëkëndësh përbëhet nga disa shumëkëndësha. Gjeni sipërfaqen e gjashtëkëndëshit. Gjeni sipërfaqen e sheshit. Njësitë. ABCD është një paralelogram.

"Koncepti i një vektori" - Zero vektor. Vonesa e një vektori nga një pikë e caktuar. Trapezoid isosceles. Çfarë është një vektor. Vektorët kolinearë. Dy vektorë jo zero. Dy vektorë jozero janë kolinearë. Shënoni në vizatim. Referencë historike. Drejtimi i vektorëve. Koncepti i vektorit gjeometrik. Detyrë. Paralelogrami. Vektorët. Gjatësia e vektorit. Barazia e vektorëve.

Një trekëndësh është figura më e thjeshtë e mbyllur në një plan. Kur studioni një kurs shkollor në gjeometri, vëmendje e veçantë i kushtohet konsideratës së vetive të tij. Në këtë artikull do të shqyrtojmë çështjen e shenjave të ngjashmërisë dhe barazisë së trekëndëshave.

Cilët trekëndësha quhen të ngjashëm dhe cilët janë të barabartë?

Është logjike të supozohet se dy figurat në fjalë do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën nëse kanë të njëjtat kënde dhe gjatësi anësore. Sa i përket ngjashmërisë, gjërat janë pak më të ndërlikuara. Dy trekëndësha do të jenë të ngjashëm kur secili kënd i njërit është i barabartë me këndin përkatës të tjetrit, dhe brinjët që shtrihen përballë këndeve të barabarta të të dy figurave janë proporcionale. Më poshtë është një foto që tregon dy trekëndësha të ngjashëm.

Duke përdorur këtë figurë, ne shkruajmë përkufizimin e mësipërm në formën e barazive matematikore: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, këtu një shkronjë latine do të thotë kënd, dhe dy shkronja - gjatësia anësore. Vlera r quhet koeficienti i ngjashmërisë. Është e qartë se nëse r = 1, atëherë ekzistojnë jo vetëm trekëndësha të ngjashëm, por edhe të barabartë.

Shenjat e ngjashmërisë

Duke folur për vetitë dhe barazinë e trekëndëshave, duhet të renditim tre kritere kryesore me të cilat mund të përcaktohet nëse figurat në fjalë janë të ngjashme apo jo.

Pra, dy shifra do të jenë të ngjashme me njëra-tjetrën nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:

1. Dy këndet e tyre janë të barabarta. Meqenëse shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me 180 o, barazia e dy të parëve do të thotë automatikisht se edhe i treti do të jetë i barabartë. Duke përdorur figurën e mësipërme, kjo veti mund të shkruhet si më poshtë: nëse B = G dhe A = E, atëherë ABC dhe GEF janë të ngjashme. Nëse në këtë rast të dy figurat janë të barabarta në të paktën njërën anë, atëherë mund të flasim për ekuivalencën e plotë të trekëndëshave.
2. Dy brinjët janë proporcionale dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabartë. Për shembull, BA/GE = AC/EF dhe A = E, atëherë GEF dhe ABC do të jenë të ngjashme. Vini re se këndet A dhe E shtrihen midis brinjëve proporcionale përkatëse.
3. Të tre palët janë në proporcion të ndërsjellë. E shprehur në gjuhën matematikore fitojmë: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, atëherë të ngjashme janë edhe shifrat në fjalë.

Le të theksojmë edhe një herë se për të vërtetuar ngjashmërinë mjafton të jepet ndonjë nga karakteristikat e paraqitura. Është logjike që gjithçka tjetër do të ekzekutohet në të njëjtën mënyrë.

Trekëndëshat kënddrejtë: kur janë të ngjashëm dhe kur janë të barabartë?

Duke folur për shenjat e barazisë dhe ngjashmërisë së trekëndëshave kënddrejtë, duhet të theksohet menjëherë se secili prej tyre tashmë ka një kënd të barabartë (90 o).

Fakti i fundit çon në formulimin e mëposhtëm të kritereve të ngjashmërisë të përshkruara më sipër:

1. Nëse në dy trekëndësha kënddrejtë vetëm një kënd është i barabartë, i cili nuk është i drejtë, atëherë figura të tilla janë të ngjashme me njëra-tjetrën.
2. Nëse këmbët janë proporcionale me njëra-tjetrën, atëherë edhe shifrat do të jenë të ngjashme, pasi këndi midis këmbëve është i drejtë.
3. Së fundi, proporcionaliteti i vetëm dy brinjëve për të dy trekëndëshat kënddrejtë është i mjaftueshëm për të vërtetuar ngjashmërinë e tyre. Arsyeja për këtë është se anët e këtyre figurave lidhen me njëra-tjetrën nga teorema e Pitagorës, prandaj proporcionaliteti i 2 prej tyre çon në proporcionalitet me një koeficient të ngjashëm ngjashmërie për palët e treta.

Sa i përket barazisë së trekëndëshave me kënde të drejta, është e lehtë të mbahet mend: nëse çdo dy element (një kënd i drejtë nuk llogaritet) i të dy figurave janë të barabarta, atëherë vetë figurat janë të barabarta. Për shembull, këta dy elementë mund të jenë një kënd akut dhe një këmbë, një këmbë dhe një hipotenuzë, ose një hipotenuzë dhe një kënd akut.

Vetitë e trekëndëshave të ngjashëm

Nga shenjat e konsideruara të ngjashmërisë dhe barazisë së trekëndëshave të vetive, mund të dallohen sa vijon:

1. Perimetrat e këtyre figurave lidhen me njëri-tjetrin si një koeficient ngjashmërie, domethënë P 1 / P 2 = r, ku P 1 dhe P 2 janë perimetrat e trekëndëshit 1 dhe 2, përkatësisht.
2. Zonat e figurave të ngjashme lidhen si katrori i koeficientit të ngjashmërisë, domethënë: S 1 / S 2 = r 2, ku S 1 dhe S 2 janë respektivisht sipërfaqet e trekëndëshit të 1-rë dhe të 2-të.

Të dyja këto veti mund të vërtetohen në mënyrë të pavarur. Thelbi i provës zbret në përdorimin e shënimit matematikor për ngjashmërinë midis anëve të figurave. Këtu japim vetëm provën e pronës së parë.

Le të jenë a, b, c gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi dhe a", b", c" - brinjët e të dytit. Meqenëse figurat janë të ngjashme, mund të shkruajmë: a = r * a", b = r * b", c = r * c". Tani ne i zëvendësojmë këto shprehje në lidhje me perimetrat e tyre, marrim: P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c ") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.

Shembull i zgjidhjes së problemit

Shenjat e ngjashmërisë dhe barazisë së trekëndëshave mund të përdoren për të zgjidhur probleme të ndryshme gjeometrike. Më poshtë është një shembull.

Ka dy trekëndësha. Njëra prej tyre ka brinjë të barabarta me 7,6 cm, 4,18 cm dhe 6,65 cm, dhe tjetra ka anët 3,5 cm, 2,2 cm dhe 4 cm. Është e nevojshme të përcaktohet nëse këto shifra janë të ngjashme.

Meqenëse janë dhënë vlerat e tre anëve, mund të kontrollojmë menjëherë kriterin e tretë të ngjashmërisë. Vështirësia këtu është se ju duhet të kuptoni se cilat palë duhet të merrni parasysh. Këtu duhet të përdorni një arsyetim të thjeshtë logjik: koeficientët e ngjashmërisë mund të jenë të barabartë nëse ndani anën më të vogël të një trekëndëshi me një të ngjashme për një tjetër, e kështu me radhë. Prandaj kemi: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Pasi kemi kontrolluar raportin e të gjitha anëve, mund të themi me besim se trekëndëshat janë të ngjashëm, pasi kriteri i 3-të plotësohet.

Ngjashmëria e trekëndëshave Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet e njërit janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit dhe brinjët përkatëse janë proporcionale. Koeficienti i proporcionalitetit quhet koeficienti i ngjashmërisë. Kështu, trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin A 1 B 1 C 1 nëse A = A 1, B = B 1, C = C 1 dhe ku k është koeficienti i ngjashmërisë.

Shenja e parë e ngjashmërisë Teorema. (Shenja e parë e ngjashmërisë.) Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm. Dëshmi. Leni në trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Pastaj C= C 1. Le të vërtetojmë se. Le të vendosim në rreze A 1 B 1 segmentin A 1 B ", të barabartë me AB, dhe të vizatojmë një drejtëz B "C" paralel me B 1 C 1. Trekëndëshat A 1 B "C" dhe ABC janë të barabartë ( Sipas kriterit të dytë për barazinë e trekëndëshave.

Pyetja 1 Cilët trekëndësha quhen të ngjashëm? Përgjigje: Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet e njërit janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit dhe brinjët përkatëse janë proporcionale.

Pyetja 2 Formuloni trekëndëshat. Shenja e parë e ngjashmërisë Përgjigje: Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Pyetja 3 A janë dy të ngjashëm: a) trekëndëshat barabrinjës; b) trekëndëshat dykëndësh; c) trekëndëshat kënddrejtë dykëndësh? Përgjigje: a) Po; b) jo; c) po.

Ushtrimi 4 Vizatoni një trekëndësh A’B’C’, të ngjashëm me trekëndëshin e dhënë ABC, me koeficient ngjashmërie 0,5.

Ushtrimi 5 Brinjët e trekëndëshit janë 5 cm, 8 cm dhe 10 cm Gjeni brinjët e një trekëndëshi të ngjashëm nëse koeficienti i ngjashmërisë është: a) 0,5; b) 2. Përgjigje: a) 2,5 cm, 4 cm dhe 5 cm; b) 10 cm, 16 cm dhe 20 cm.

Ushtrimi 6 A janë të ngjashëm trekëndëshat kënddrejtë nëse njëri prej tyre ka kënd 40° dhe tjetri 50°? Përgjigje: Po.

Ushtrimi 7 Dy trekëndësha janë të ngjashëm. Dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me 55° dhe 80°. Gjeni këndin më të vogël të trekëndëshit të dytë. Përgjigje: 45 o.

Ushtrimi 8 Në trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm Gjeni AC dhe B 1 C 1 Përgjigje: AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.

Ushtrimi 9 Trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m brinjët e trekëndëshave. Përgjigje: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Ushtrimi 10 Brinjët e një trekëndëshi janë në raportin 5: 3: 7. Gjeni brinjët e një trekëndëshi të ngjashëm: a) perimetri i të cilit është 45 cm; b) ana më e shkurtër është 5 cm; c) ana më e madhe është 7 cm; d) dallimi ndërmjet anëve më të mëdha dhe më të vogla është 2 cm Përgjigje: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Ushtrimi 11 Në figurë tregoni të gjithë trekëndëshat e ngjashëm. Përgjigje: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC dhe FGC; ADC dhe FEC; DBC dhe EGC.

Ushtrimi 12 Dy trekëndësha dykëndësh dykëndësh kanë kënde të barabarta ndërmjet brinjëve të tyre. Brinja dhe baza e njërit trekëndësh janë përkatësisht 17 cm dhe 10 cm, baza e tjetrit është 8 cm. Përgjigje: 13.6 cm.

Ushtrimi 13 Një katror brendashkrohet në një trekëndësh me brinjën a dhe lartësinë h të ulura në mënyrë që dy nga kulmet e tij të shtrihen në këtë anë të trekëndëshit dhe dy të tjerat në dy anët e tjera të trekëndëshit. Gjeni anën e katrorit. Përgjigje:.

Ushtrimi 14 Një romb ADEF është i gdhendur në trekëndëshin ABC kështu që këndi A është i përbashkët për ta dhe kulmi E është në anën BC. Gjeni anën e rombit nëse AB = c dhe AC = b. Përgjigje:.

Ushtrimi 15 A është e mundur të pritet një trekëndësh me një drejtëz që nuk është paralel me bazën, në mënyrë që të shkëputet një trekëndësh i ngjashëm prej tij? Në cilin rast kjo është e pamundur? Përgjigje: Po, nëse trekëndëshi nuk është barabrinjës.

Ushtrimi 16 Le të jenë AC dhe BD korda të një rrethi që kryqëzohet në pikën E. Vërtetoni se trekëndëshat ABE dhe CDE janë të ngjashëm. Vërtetim: Këndi A i trekëndëshit ABE është i barabartë me këndin D të trekëndëshit CDE, siç janë këndet e brendashkruara të nënshtruara nga i njëjti hark i një rrethi. Në mënyrë të ngjashme, këndi B është i barabartë me këndin C. Prandaj, trekëndëshat ABE dhe CDE janë të ngjashëm në aspektin e parë.

Ushtrimi 17 Në figurë, AE = 3, BE = 6, CE = 2. Gjeni DE. Përgjigje: 4.

Ushtrimi 18 Në figurë, AB = 8, BE = 6, DE = 4. Gjeni CD. Përgjigje:.

Ushtrimi 19 Në figurë, CE = 2, DE = 5, AE = 4. Gjeni BE. Përgjigje: 10.

Ushtrimi 20 Në figurë, CE = 4, CD = 10, AE = 6. Gjeni AB. Përgjigje: 15.

Ushtrimi 21 Në figurë, DL është përgjysmuesja e trekëndëshit DEF të brendashkruar në një rreth. DL pret rrethin në pikën K, i cili lidhet me segmente me kulmet E dhe F të trekëndëshit. Gjeni trekëndësha të ngjashëm. Përgjigje: DEK dhe DLF, DEK dhe ELK, DLF dhe ELK, DFK dhe DLE, DFK dhe FLK, DLE dhe FLK.

Ushtrimi 22 Një trekëndësh i mprehtë ABC është brendashkruar në një rreth, AH është lartësia e tij, AD është diametri i rrethit, i cili pret anën BC në pikën M. Pika D lidhet me kulmet B dhe C të trekëndëshit. Gjeni trekëndësha të ngjashëm. Përgjigje: ABH dhe ADC, ACH dhe ADB, ABM dhe CDM, BMD dhe AMC.

Ushtrimi 23 Vërtetoni se prodhimi i segmenteve të çdo korde të vizatuar përmes një pike të brendshme të rrethit është i barabartë me prodhimin e segmenteve të një diametri të tërhequr në të njëjtën pikë. Zgjidhje. Le të na jepet një rreth me qendër në pikën O, korda AB dhe diametër CD kryqëzohen në pikën E. Le të vërtetojmë se trekëndëshat ACE dhe DBE janë të ngjashëm. Prandaj, do të thotë

Ushtrimi 24 Në pikën e jashtme E të rrethit vizatohen dy drejtëza, duke e prerë rrethin përkatësisht në pikat A, C dhe B, D Vërtetoni se trekëndëshat ADE dhe BCE janë të ngjashëm. Vërtetim: Këndi D i trekëndëshit ADE është i barabartë me këndin C të trekëndëshit BCE, siç janë këndet e brendashkruara të nënshtruara nga i njëjti hark i një rrethi. Këndi E i këtyre trekëndëshave është i përbashkët. Prandaj, trekëndëshat ADE dhe BCE janë të ngjashëm në aspektin e parë.

Ushtrimi 25 Në pikën e jashtme E të rrethit vizatohen dy drejtëza, duke e prerë rrethin përkatësisht në pikat A, C dhe B, D Vërtetoni se AE·CE = BE·DE. Vërtetim: Trekëndëshat ADE dhe BCE janë të ngjashëm. Pra AE: DE = BE: CE. Prandaj, AE·CE = BE·DE.

Ushtrimi 26 Në figurë, AE = 9, BE = 8, CE = 24. Gjeni DE. Përgjigje: 27.

Ushtrimi 27 Në pikën e jashtme E të rrethit vizatohet një vijë e drejtë, duke e prerë rrethin në pikat A dhe B dhe një tangjente EC (C është pika e tangjences). Vërtetoni se trekëndëshat EAC dhe ECB janë të ngjashëm. Dëshmi. Trekëndëshat EAC dhe ECB ndajnë këndin E. Këndet ACE dhe CBE janë të barabarta, siç janë këndet e nënshtruara nga e njëjta kordë. Prandaj, trekëndëshat EAC dhe ECB janë të ngjashëm.

Ushtrimi 28 Në pikën e jashtme E të rrethit vizatohet një vijë e drejtë, duke e prerë rrethin në pikat A dhe B dhe një tangjente EC (C është pika e tangjences). Vërtetoni se prodhimi i segmenteve sekante AE dhe BE është i barabartë me katrorin e segmentit tangjent CE. Dëshmi. Trekëndëshat EAC dhe ECB janë të ngjashëm. Prandaj, AE: CE = CE: BE, që do të thotë AE BE = CE 2.

Ushtrimi 30 Në trekëndëshin ABC vizatohen lartësitë AA 1 dhe BB 1 Vërtetoni se trekëndëshat A 1 AC dhe B 1 BC janë të ngjashëm. Dëshmi. Trekëndëshat A 1 AC dhe B 1 BC janë trekëndësha kënddrejtë dhe kanë një kënd të përbashkët C. Prandaj, ata janë të ngjashëm në dy kënde.

Ushtrimi 31 Vërtetoni se në një trekëndësh kënddrejtë pingulja e rënë nga këndi i drejtë në hipotenuzë është mesatarja gjeometrike e projeksioneve të këmbëve mbi hipotenuzë. (Mesatarja gjeometrike e dy numrave pozitivë a dhe b është një numër pozitiv c katrori i të cilit është i barabartë me ab, d.m.th. c =). Zgjidhja: Trekëndëshat ADC dhe CDB janë të ngjashëm. Prandaj, ose CD 2 = AD BD, pra CD është mesatarja gjeometrike e AD dhe BD.

Ushtrimi 32 Në trekëndëshin ABC, pika H është pika e prerjes së lartësive, pika O është qendra e rrethit të rrethuar. Vërtetoni se gjatësia e segmentit CH është dyfishi i distancës nga pika O në drejtëzën AB. Zgjidhje: Le të jenë B 1, C 1 mesi i brinjëve AC dhe AB të trekëndëshit ABC. Trekëndëshat HBC dhe OB 1 C 1 janë të ngjashëm, BC = 2 B 1 C 1. Prandaj, CH = 2 OC 1.

Teorema 1. Shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabartë me dy kënde të një tjetri, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Dëshmi. Le të jenë ABC dhe $A_1B_1C_1$ trekëndësha me $\kënd A = \kënd A_1 ; \këndi B = \këndi B_1$, dhe për këtë arsye $\këndi C = \këndi C_1$. Le të vërtetojmë se $\trekëndësh ABC \sim \trekëndësh A_1B_1C_1$ (Fig. 1).

Le të vizatojmë në BA nga pika B segmentin $BA_2$, i barabartë me segmentin $A_1B_1$, dhe përmes pikës $A_2$ vizatojmë një drejtëz paralele me drejtëzën AC. Kjo drejtëz do të presë BC në një pikë $C_2$. Trekëndëshat $A_1B_1C_1\text( dhe )A_2BC_2$ janë të barabartë: $A_1B_1 = A_2B$ nga ndërtimi, $\këndi B = \këndi B_1$ sipas kushtit dhe $\këndi A_1 = \këndi A_2$ , pasi $\këndi A_1 = \ këndi A$ sipas kushtit dhe $\këndi A = \këndi A_2$ si këndet përkatëse. Nga Lema 1 rreth trekëndëshave të ngjashëm kemi: $\trekëndësh A_2BC_2 \sim \trekëndësh ABC$ , dhe për rrjedhojë, $\trekëndësh ABC \sim \trekëndësh A_1B_1C_1$ . Teorema është vërtetuar.

Teorema 2 dhe 3 vendosen duke përdorur një skemë të ngjashme.

Teorema 2. Shenja e dytë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht proporcionale me dy brinjët e një trekëndëshi tjetër dhe këndet ndërmjet këtyre brinjëve janë të barabartë, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Teorema 3. Shenja e tretë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Nëse tre brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me tre brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Më poshtë vijon nga teorema 1.

Përfundim 1. Në trekëndëshat e ngjashëm, brinjët e ngjashme janë proporcionale me lartësi të ngjashme, d.m.th., ato lartësi që ulen në brinjë të ngjashme.

Shembulli 1. A janë dy trekëndësha barabrinjës të ngjashëm?

Zgjidhje. Meqenëse në një trekëndësh barabrinjës çdo kënd i brendshëm është i barabartë me 60° (Pasqyra 3), atëherë dy trekëndësha barabrinjës janë të ngjashëm në mënyrën e parë.

Shembulli 2. Në trekëndëshat ABC dhe $A_1B_1C_1$ dihet se $\këndi A = \këndi A_1 ; \këndi B = \këndi B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m.$ Gjeni brinjët e panjohura të trekëndëshave.

Zgjidhje. Trekëndëshat e përcaktuar nga gjendja e problemit janë të ngjashëm sipas shenjës së parë të ngjashmërisë. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Zëvendësimi në barazi (1) të dhëna nga kushtet e problemit, marrim: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Nga barazia (2 ) le të bëjmë dy proporcione $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( nga ku )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Shembulli 3. Këndet B dhe $B_1$ të trekëndëshave ABC dhe $A_1B_1C_1$ janë të barabartë. Brinjët AB dhe BC të trekëndëshit ABC janë 2,5 herë më të mëdha se brinjët $A_1B_1$ dhe $B_1C_1$ të trekëndëshit $A_1B_1C_1$. Gjeni AC dhe $A_1C_1$ nëse shuma e tyre është 4,2 m.

Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 2 kushtet e problemit.

Nga deklarata e problemit: $$ 1) \këndi B = \këndi B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ Prandaj, $\trekëndësh ABC \sim \trekëndësh A_1B_1C_1$. Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave rrjedh $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2.5\text( , ose )AC = 2.5\bullet A_1C_1 $$ Meqenëse AC = 2.5 A 1 C 1, atëherë AC + A 1 C 1 = 2,5 A 1 C 1 + A 1 C 1 = 4,2, prej nga A 1 C 1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).

Shembulli 4. A janë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 të ngjashëm nëse AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ?

Zgjidhje. Kemi: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Prandaj, trekëndëshat janë të ngjashëm sipas kriterit të tretë .

Shembulli 5. Vërtetoni se ndërmjetësit e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë, e cila e ndan secilën mesatare në një raport 2:1, duke numëruar nga kulmi.

Zgjidhje. Konsideroni një trekëndësh arbitrar ABC. Le të shënojmë me shkronjën O pikën e prerjes së medianave të saj $AA_1\text( dhe )BB_1$ dhe të vizatojmë vijën e mesme $A_1B_1$ të këtij trekëndëshi (Fig. 3).

Segmenti $A_1B_1$ është paralel me anën AB, kështu që $\këndi 1 = \këndi2 \text( dhe ) \këndi 3 = \këndi 4 $. Rrjedhimisht, trekëndëshat AOB dhe $A_1OB_1$ janë të ngjashëm në dy kënde, dhe, për rrjedhojë, brinjët e tyre janë proporcionale: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $ $

Por $AB = 2A_1B_1$, pra $AO = 2A_1O$ dhe $BO = 2B_1O$.

Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se pika e kryqëzimit të medianave $BB_1\text( dhe )CC_1) e ndan secilën prej tyre në raportin 2:1, duke llogaritur nga kulmi, dhe, për rrjedhojë, përkon me pikën O.

Pra, të tre medianat e trekëndëshit ABC kryqëzohen në pikën O dhe e ndajnë atë në një raport 2:1, duke numëruar nga kulmi.

Komentoni. U vu re më herët se përgjysmuesit e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë, dhe përgjysmuesit pingul me brinjët e trekëndëshit kryqëzohen në një pikë. Bazuar në pohimin e fundit, konstatohet se lartësitë e trekëndëshit (ose zgjatimet e tyre) kryqëzohen në një pikë. Këto tre pika dhe pika e kryqëzimit të ndërmjetësve quhen pika të shquara të trekëndëshit.

Shembulli 6. Projektori ndriçon plotësisht ekranin A, 90 cm i lartë, i vendosur në një distancë prej 240 cm Në cilën distancë minimale në cm nga projektori duhet të vendoset ekrani B, 150 cm i lartë, në mënyrë që të ndriçohet plotësisht, nëse mbeten cilësimet e projektorit. e pandryshuar.

Zgjidhje video.