Me kërkesën tuaj!
7. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit: y=2cos(0.2x+1).
Le të zbatojmë rregullin: nëse funksioni f është periodik dhe ka një periudhë T, atëherë funksioni y=Af(kx+b) ku A, k dhe b janë konstante, dhe k≠0 është gjithashtu periodik, dhe perioda e tij është T o = T: | k|. Për ne, T=2π është periudha më e vogël pozitive e funksionit të kosinusit, k=0.2. Gjejmë T o = 2π:0.2=20π:2=10π.
9. Distanca nga pika e barabartë nga kulmet e katrorit në rrafshin e tij është 9 dm. Gjeni distancën nga kjo pikë në anët e katrorit nëse brinja e katrorit është 8 dm.
10. Zgjidheni ekuacionin: 10=|5x+5x 2 |.
Meqenëse |10|=10 dhe |-10|=10, atëherë janë të mundshme 2 raste: 1) 5x 2 +5x=10 dhe 2) 5x 2 +5x=-10. Le të ndajmë secilën nga barazitë me 5 dhe të zgjidhim ekuacionet kuadratike që rezultojnë:
1) x 2 +x-2=0, rrënjët sipas teoremës së Vietës x 1 =-2, x 2 =1. 2) x 2 +x+2=0. Diskriminuesi është negativ - nuk ka rrënjë.
11. Zgjidhe ekuacionin:
Në anën e djathtë të barazisë aplikojmë identitetin logaritmik kryesor:
Ne marrim barazi:
Zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 -3x-4=0 dhe gjejmë rrënjët: x 1 =-1, x 2 =4.
13. Zgjidheni ekuacionin dhe gjeni shumën e rrënjëve të tij në intervalin e treguar.
22. Zgjidhja e pabarazisë:
Atëherë pabarazia do të marrë formën: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Rreshti y= a x+b është pingul me drejtëzën y=2x+3 dhe kalon në pikën C(4; 5). Shkruani ekuacionin e tij. Direkty=k 1 x+b 1 dhe y=k 2 x+b 2 janë reciproke pingul nëse plotësohet kushti k 1 ∙k 2 =-1. Nga kjo rrjedh se A·2=-1. Drejtëza e dëshiruar do të duket kështu: y=(-1/2) x+b. Ne do të gjejmë vlerën e b nëse në ekuacionin e drejtëzës sonë X Dhe në Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Pastaj marrim ekuacionin: y=(-1/2)x+7.
25. Katër peshkatarë A, B, C dhe D mburreshin për kapjen e tyre:
1. D kapi më shumë se C;
2. Shuma e kapjeve A dhe B është e barabartë me shumën e kapjeve C dhe D;
3. A dhe D së bashku kapën më pak se B dhe C së bashku. Regjistroni kapjen e peshkatarëve në rend zbritës.
Ne kemi: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D Minimumi pozitiv periudhë funksione në trigonometri shënohet me f. Karakterizohet nga vlera më e vogël e numrit pozitiv T, domethënë një vlerë më e vogël e T nuk do të jetë më periudhë ohm funksione . Do t'ju duhet 1.
Ju lutemi vini re se periudhë funksioni ical nuk ka gjithmonë një minimum të saktë periudhë. Kështu, për shembull, si periudhë dhe të vazhdueshme funksione mund të ketë çdo numër pa kushte, që do të thotë se mund të mos ketë pozitivin më të vogël periudhë A. Ka edhe jo të përhershme periudhë ical funksione, të cilat nuk e kanë të saktën më të vogël periudhë A. Megjithatë, në shumicën e rasteve minimumi është i saktë periudhë në periudhë Ka ende disa funksione ical. 2.
Minimumi periudhë sinusi është i barabartë me 2?. Shihni shembullin për të vërtetuar këtë. funksione y=sin(x). Le të jetë T arbitrare periudhë ohm sine, në këtë rast sin(a+T)=sin(a) për çdo vlerë të a. Nëse a=?/2, rezulton se sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Megjithatë, sin(x)=1 vetëm në rastin kur x=?/2+2?n, ku n është një numër i plotë. Nga kjo rrjedh se T=2?n, që do të thotë se vlera më e vogël pozitive e 2?n është 2?. 3.
Minimumi i saktë periudhë kosinusi është gjithashtu i barabartë me 2?. Shihni shembullin për të vërtetuar këtë. funksione y=cos(x). Nëse T është arbitrare periudhë om kosinus, pastaj cos(a+T)=cos(a). Në rast se a=0, cos(T)=cos(0)=1. Duke pasur parasysh këtë, vlera më e vogël pozitive e T në të cilën cos(x) = 1 është 2?. 4.
Duke marrë parasysh faktin se 2? - periudhë sinus dhe kosinus, do të jetë e njëjta vlerë periudhë Ohm kotangjente, si dhe tangjente, megjithatë, jo minimale, sepse, siç dihet, minimalja është e saktë periudhë tangjentja dhe kotangjentja janë të barabarta?. Ju mund ta verifikoni këtë duke parë shembullin e mëposhtëm: pikat që u korrespondojnë numrave (x) dhe (x+?) në rrethin trigonometrik kanë vendndodhje diametralisht të kundërta. Distanca nga pika (x) në pikën (x+2?) korrespondon me gjysmë rrethi. Sipas përcaktimit të tangjentes dhe kotangjentes tg(x+?)=tgx, dhe ctg(x+?)=ctgx, që do të thotë se minimumi është i saktë periudhë kotangjentja dhe tangjentja janë të barabarta?. Një funksion periodik është një funksion që përsërit vlerat e tij pas një periudhe jo zero. Periudha e një funksioni është një numër që, kur i shtohet argumentit të një funksioni, nuk e ndryshon vlerën e funksionit. Do t'ju duhet 1.
Le të shënojmë periudhën e funksionit f(x) me numrin K. Detyra jonë është të zbulojmë këtë vlerë të K. Për ta bërë këtë, imagjinoni që funksionin f(x), duke përdorur përkufizimin e një funksioni periodik, e barazojmë f(x+K)=f(x). 2.
E zgjidhim ekuacionin që rezulton në lidhje me të panjohurën K, sikur x të ishte një konstante. Në varësi të vlerës së K, do të ketë disa opsione. 3.
Nëse K>0 – atëherë kjo është periudha e funksionit tuaj Nëse K=0 – atëherë funksioni f(x) nuk është periodik Nëse zgjidhja e ekuacionit f(x+K)=f(x). për çdo K jo të barabartë me zero, atëherë një funksion i tillë quhet aperiodik dhe gjithashtu nuk ka periodë. Video mbi temën Shënim! Këshilla të dobishme Nëse marrim parasysh pikat në një rreth, atëherë pikat x, x + 2π, x + 4π, etj. përkojnë me njëra-tjetrën. Kështu, trigonometrike funksione në një vijë të drejtë periodikisht përsërisin kuptimin e tyre. Nëse periudha është e famshme funksione, është e mundur të ndërtohet një funksion në këtë periudhë dhe të përsëritet në të tjerat. 1.
Periudha është një numër T i tillë që f(x) = f(x+T). Për të gjetur periodën, zgjidhni ekuacionin përkatës, duke zëvendësuar x dhe x+T si argument. Në këtë rast, përdoren periudhat e njohura më parë për funksionet. Për funksionet sinus dhe kosinus perioda është 2π, dhe për funksionet tangjente dhe kotangjente është π. 2.
Le të jepet funksioni f(x) = sin^2(10x). Konsideroni shprehjen sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Përdorni formulën për të zvogëluar shkallën: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Pastaj ju merrni 1 – cos 20x = 1 – cos 20 (x+T) ose cos 20x = cos (20x+20T). Duke ditur se periudha e kosinusit është 2π, 20T = 2π. Kjo do të thotë T = π/10. T është periudha minimale e saktë, dhe funksioni do të përsëritet pas 2T, dhe pas 3T, dhe në drejtimin tjetër përgjatë boshtit: -T, -2T, etj. Këshilla të dobishme Thirret një funksion, vlerat e të cilit përsëriten pas një numri të caktuar periodike. Kjo do të thotë, pavarësisht se sa perioda i shtoni vlerës së x, funksioni do të jetë i barabartë me të njëjtin numër. Çdo kërkim për funksionet periodike fillon me një kërkim për periudhën më të vogël, për të mos kryer punë të panevojshme: mjafton të studiohen të gjitha vetitë në një interval të barabartë me periudhën. 1.
Përdorni përkufizimin periodike funksione. Të gjitha vlerat x në funksione zëvendësohet me (x+T), ku T është periudha minimale funksione. Zgjidheni ekuacionin që rezulton, duke e konsideruar T si një numër të panjohur. 2.
Si rezultat, ju do të merrni një identitet të caktuar, nga ai përpiquni të zgjidhni periudhën më të vogël. Le të themi, nëse marrim barazinë sin(2T)=0.5, pra, 2T=P/6, pra T=P/12. 3.
Nëse barazia rezulton e saktë vetëm kur T = 0 ose parametri T varet nga x (të themi, fitohet barazia 2T = x), përfundoni se funksioni nuk është periodik. 4.
Për të gjetur periudhën minimale funksione që përmban vetëm një shprehje trigonometrike, përdorni rregullin. Nëse shprehja përmban sin ose cos, periudha për funksione do të jetë 2P, dhe për funksionet tg, ctg caktoni periudhën minimale P. Ju lutemi vini re se funksioni nuk duhet të ngrihet në asnjë fuqi, dhe ndryshorja nën shenjën funksione nuk duhet të shumëzohet me një numër të ndryshëm nga 1. 5.
Nëse cos ose mëkat është brenda funksione ndërtuar në një fuqi të barabartë, zvogëloni periudhën 2P përgjysmë. Grafikisht mund ta shihni si kjo: grafiku funksione, i vendosur nën boshtin x, do të reflektohet në mënyrë simetrike lart dhe për rrjedhojë funksioni do të përsëritet dy herë më shpesh. 6.
Për të gjetur periudhën minimale funksione duke pasur parasysh se këndi x është shumëzuar me ndonjë numër, veprohet si më poshtë: caktoni periodën tipike të kësaj funksione(le të themi për sepse është 2P). Pas kësaj, ndajeni atë me faktorin përpara ndryshores. Kjo do të jetë periudha minimale e dëshiruar. Ulja e periudhës është qartë e dukshme në grafik: ajo është e ngjeshur saktësisht aq herë sa këndi nën shenjën trigonometrike shumëzohet me funksione . 7.
Ju lutemi vini re se nëse x paraprihet nga një numër thyesor më i vogël se 1, periudha rritet, domethënë, grafiku, përkundrazi, shtrihet. 8.
Nëse shprehja juaj ka dy periodike funksione shumëzuar me njëra-tjetrën, gjeni periudhën minimale për secilën veç e veç. Pas kësaj, përcaktoni faktorin minimal universal për ta. Le të themi, për periudhat P dhe 2/3P, faktori minimal universal do të jetë 3P (ai është i pjesëtueshëm pa mbetje me P dhe 2/3P). Llogaritja e pagës mesatare të punonjësve është e nevojshme për të llogaritur përfitimet e përkohshme të aftësisë së kufizuar dhe për të paguar për udhëtimet e biznesit. Të ardhurat mesatare të ekspertëve llogariten në bazë të kohës aktuale të punës dhe varen nga paga, shtesat dhe shpërblimet e specifikuara në tabelën e personelit. Do t'ju duhet 1.
Për të llogaritur pagën mesatare të një punonjësi, së pari përcaktoni periudhën për të cilën duhet ta llogaritni atë. Si zakonisht, kjo periudhë është 12 muaj kalendarik. Por nëse një punonjës punon në ndërmarrje për më pak se një vit, për shembull, 10 muaj, atëherë duhet të gjeni të ardhurat mesatare për kohën që eksperti kryen funksionin e tij të punës. 2.
Tani përcaktoni shumën e pagave që i janë grumbulluar në të vërtetë për periudhën e faturimit. Për ta bërë këtë, përdorni fletëpagesat sipas të cilave punonjësit i janë dhënë të gjitha pagesat që i takojnë. Nëse është e paimagjinueshme të përdoren këto dokumente, atëherë shumëzoni pagën mujore, shpërblimet dhe shtesat me 12 (ose numrin e muajve që punonjësi ka punuar në ndërmarrje, nëse ai ka qenë i punësuar në kompani për më pak se një vit. ). 3.
Llogaritni të ardhurat tuaja mesatare ditore. Për ta bërë këtë, ndani shumën e pagave për periudhën e faturimit me numrin mesatar të ditëve në muaj (aktualisht është 29.4). Pjestoni totalin që rezulton me 12. 4.
Pas kësaj, përcaktoni numrin e orëve të punuara në të vërtetë. Për ta bërë këtë, përdorni një fletë kohore. Ky dokument duhet të plotësohet nga një kohëmatës, oficer personeli ose punonjës tjetër, përgjegjësitë e punës të të cilit përfshijnë këtë. 5.
Shumëzoni numrin e orëve të punuara në të vërtetë me të ardhurat mesatare ditore. Shuma e marrë është paga mesatare e ekspertit për vitin. Pjestoni totalin me 12. Këto do të jenë të ardhurat tuaja mesatare mujore. Kjo llogaritje përdoret për punonjësit, pagat e të cilëve varen nga koha aktuale e punës. 6.
Kur një punonjësi paguhet me pjesë, atëherë shumëzoni tarifën (e treguar në tabelën e personelit dhe e përcaktuar nga kontrata e punës) me numrin e produkteve të prodhuara (përdorni një certifikatë përfundimi të punës ose një dokument tjetër në të cilin është regjistruar). Shënim! Këshilla të dobishme Udhëzimet Ju lutemi vini re se periudhë ical nuk ka gjithmonë pozitivin më të vogël periudhë. Kështu, për shembull, si periudhë një konstante funksione mund të jetë absolutisht çdo numër, dhe mund të mos ketë pozitivin më të vogël periudhë A. Ka edhe jo të përhershme periudhë ical funksione, të cilat nuk kanë as më pak pozitive periudhë A. Megjithatë, në shumicën e rasteve më e vogla pozitive periudhë në periudhë ka ende të çuditshme. Më së paku periudhë sinusi është i barabartë me 2?. Konsideroni këtë shembull funksione y=sin(x). Le të jetë T arbitrare periudhë ohm sine, në këtë rast sin(a+T)=sin(a) për çdo vlerë të a. Nëse a=?/2, rezulton se sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Megjithatë, sin(x)=1 vetëm nëse x=?/2+2?n, ku n është një numër i plotë. Nga kjo rrjedh se T=2?n, prandaj vlera më e vogël pozitive është 2?n 2?. Më pak pozitive periudhë kosinusi është gjithashtu i barabartë me 2?. Konsideroni vërtetimin e kësaj me një shembull funksione y=cos(x). Nëse T është arbitrare periudhë om kosinus, pastaj cos(a+T)=cos(a). Në rast se a=0, cos(T)=cos(0)=1. Duke pasur parasysh këtë, vlera më e vogël pozitive e T në të cilën cos(x) = 1 është 2?. Duke marrë parasysh faktin se 2? - periudhë sinus dhe kosinus, do të jetë gjithashtu periudhë Ohm cotangent, si dhe tangjente, por jo minimale, pasi, si , pozitive më e vogël periudhë tangjentja dhe kotangjentja janë të barabarta?. Ju mund ta verifikoni këtë duke marrë parasysh sa vijon: pikat që korrespondojnë me (x) dhe (x+?) në rrethin trigonometrik kanë vendndodhje diametralisht të kundërta. Distanca nga pika (x) në pikën (x+2?) korrespondon me gjysmë rrethi. Sipas përcaktimit të tangjentës dhe kotangjentes tg(x+?)=tgx, dhe ctg(x+?)=ctgx, që do të thotë pozitivja më e vogël periudhë kotangjent dhe ?. shënim Mos i ngatërroni funksionet y=cos(x) dhe y=sin(x) - duke pasur të njëjtën periudhë, këto funksione përfaqësohen ndryshe. Këshilla të dobishme Për qartësi më të madhe, vizatoni një funksion trigonometrik për të cilin llogaritet periudha më e vogël pozitive. Burimet: Një funksion periodik është një funksion që përsërit vlerat e tij pas një periudhe jo zero. Periudha e një funksioni është një numër që, kur i shtohet një argumenti funksioni, nuk e ndryshon vlerën e funksionit. Do t'ju duhet Udhëzimet Video mbi temën shënim Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, dhe të gjitha funksionet polinomiale me një shkallë më të madhe se 2 janë aperiodike. Këshilla të dobishme Periudha e një funksioni të përbërë nga dy funksione periodike është shumëfishi më i vogël i zakonshëm i periudhave të këtyre funksioneve. Nëse marrim parasysh pikat në një rreth, atëherë pikat x, x + 2π, x + 4π, etj. përkojnë me njëra-tjetrën. Kështu, trigonometrike funksione në një vijë të drejtë periodikisht përsërisin kuptimin e tyre. Nëse dihet periudha funksione, mund të ndërtoni një funksion në këtë periudhë dhe ta përsërisni atë tek të tjerët. Udhëzimet Le të jepet funksioni f(x) = sin^2(10x). Konsideroni sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Përdorni formulën për reduktimin: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Pastaj ju merrni 1 - cos 20x = 1 - cos 20 (x+T) ose cos 20x = cos (20x+20T). Duke ditur se periudha e kosinusit është 2π, 20T = 2π. Kjo do të thotë T = π/10. T është periudha më e vogël, dhe funksioni do të përsëritet pas 2T, dhe pas 3T, dhe në anën përgjatë boshtit: -T, -2T, etj. Këshilla të dobishme Përdorni formula për të zvogëluar shkallën e një funksioni. Nëse tashmë i dini periudhat e ndonjë funksioni, përpiquni të reduktoni funksionin ekzistues në ato të njohura. Thirret një funksion, vlerat e të cilit përsëriten pas një numri të caktuar periodike. Kjo do të thotë, pavarësisht se sa perioda i shtoni vlerës së x, funksioni do të jetë i barabartë me të njëjtin numër. Çdo studim i funksioneve periodike fillon me një kërkim për periudhën më të vogël, për të mos bërë punë të panevojshme: mjafton të studiohen të gjitha vetitë në një interval të barabartë me periudhën. Udhëzimet Si rezultat, ju do të merrni një identitet të caktuar, nga i cili përpiquni të zgjidhni periudhën minimale. Për shembull, nëse marrim barazinë sin(2T)=0.5, pra, 2T=P/6, pra T=P/12. Nëse barazia rezulton e vërtetë vetëm kur T = 0 ose parametri T varet nga x (për shembull, merret barazia 2T = x), supozoni se funksioni nuk është periodik. Për të zbuluar periudhën më të shkurtër funksione që përmban vetëm një shprehje trigonometrike, përdorni . Nëse shprehja përmban sin ose cos, periudha për funksione do të jetë 2P, dhe për funksionet tg, ctg vendos periudhën më të vogël P. Ju lutemi vini re se funksioni nuk duhet të ngrihet në asnjë fuqi, dhe ndryshorja nën shenjën funksione nuk duhet të shumëzohet me një numër të ndryshëm nga 1. Nëse cos ose mëkat është brenda funksione ngritur në një fuqi të barabartë, zvogëloni periudhën 2P përgjysmë. Grafikisht mund ta shihni si kjo: funksione, nën boshtin x, do të reflektohet në mënyrë simetrike lart, kështu që funksioni do të përsëritet dy herë më shpesh. Për të gjetur periudhën më të vogël funksione duke pasur parasysh se këndi x është shumëzuar me ndonjë numër, veprohet si më poshtë: caktoni periodën standarde të kësaj funksione(për shembull, për cos është 2P). Më pas ndajeni atë përpara ndryshores. Kjo do të jetë periudha më e shkurtër e kërkuar. Ulja e periudhës është qartë e dukshme në grafik: është saktësisht aq herë sa këndi nën shenjën trigonometrike shumëzohet me funksione. Nëse shprehja juaj ka dy periodike funksione shumëzuar me njëra-tjetrën, gjeni periudhën më të vogël për secilën veç e veç. Pastaj përcaktoni faktorin më pak të zakonshëm për ta. Për shembull, për periudhat P dhe 2/3P, faktori më i vogël i përbashkët do të jetë 3P (nuk ka mbetje si në P ashtu edhe në 2/3P). Llogaritja e pagës mesatare të punonjësve është e nevojshme për llogaritjen e përfitimeve të paaftësisë së përkohshme dhe pagimin e udhëtimeve të biznesit. Fitimet mesatare të specialistëve llogariten në bazë të kohës së punuar në të vërtetë dhe varen nga paga, shtesat dhe shpërblimet e specifikuara në tabelën e personelit. Qëllimi: të përmblidhen dhe të sistemohen njohuritë e nxënësve për temën "Periodiciteti i funksioneve"; të zhvillojë aftësi në zbatimin e vetive të një funksioni periodik, gjetjen e periudhës më të vogël pozitive të një funksioni, ndërtimin e grafikëve të funksioneve periodike; nxisin interesin për të studiuar matematikë; kultivojnë vëzhgimin dhe saktësinë. Pajisjet: kompjuter, projektor multimedial, karta detyrash, rrëshqitje, orë, tabela stoli, elemente të zejeve popullore "Matematika është ajo që njerëzit përdorin për të kontrolluar natyrën dhe veten." Gjatë orëve të mësimit I. Faza organizative. Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Raportoni temën dhe objektivat e mësimit. II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë duke përdorur mostra dhe diskutojmë pikat më të vështira. III. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive. 1. Punë ballore gojore. Çështjet e teorisë. 1) Formoni një përkufizim të periudhës së funksionit y=sin(x) = sin(x+360º) tg(x+π n)=tgx, n € Z sin(x+2π n)=sinx, n € Z 5) Si të vizatoni një funksion periodik? Ushtrime me gojë. 1) Provoni marrëdhëniet e mëposhtme a) mëkat (740º) = mëkat (20º) 2. Vërtetoni se një kënd prej 540º është një nga periodat e funksionit y= cos(2x) 3. Vërtetoni se këndi 360º është një nga periodat e funksionit y=tg(x) 4. Shndërrojini këto shprehje në mënyrë që këndet e përfshira në to të mos kalojnë 90º në vlerë absolute. a) tg375º 5. Ku i keni hasur fjalët PERIUDHË, PERIODICITE? Nxënësi përgjigjet: Një periudhë në muzikë është një strukturë në të cilën paraqitet një mendim muzikor pak a shumë i plotë. Një periudhë gjeologjike është pjesë e një epoke dhe ndahet në epoka me një periudhë nga 35 deri në 90 milionë vjet. Gjysma e jetës së një lënde radioaktive. Thyesë periodike. Revista periodike janë botime të shtypura që shfaqen brenda afateve të përcaktuara rreptësisht. Sistemi periodik i Mendelejevit. 6. Në figura janë paraqitur pjesë të grafikëve të funksioneve periodike. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përgjigju: T=2; T=2; T=4; T=8. 7. Ku e keni hasur në jetën tuaj ndërtimin e elementeve përsëritëse? Përgjigja e nxënësit: Elemente stoli, art popullor. IV. Zgjidhja kolektive e problemeve. (Zgjidhja e problemeve në sllajde.) Le të shqyrtojmë një nga mënyrat për të studiuar një funksion për periodicitet. Kjo metodë shmang vështirësitë që lidhen me vërtetimin se një periudhë e caktuar është më e vogla, dhe gjithashtu eliminon nevojën për të prekur pyetje në lidhje me veprimet aritmetike mbi funksionet periodike dhe periodicitetin e një funksioni kompleks. Arsyetimi bazohet vetëm në përcaktimin e një funksioni periodik dhe në faktin vijues: nëse T është periudha e funksionit, atëherë nT(n?0) është periudha e tij. Detyra 1. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit f(x)=1+3(x+q>5) Zgjidhje: Supozojmë se periudha T e këtij funksioni. Atëherë f(x+T)=f(x) për të gjitha x € D(f), d.m.th. 1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25) Le të vendosim x=-0,25 marrim (T)=0<=>T=n, n € Z Ne kemi marrë se të gjitha periudhat e funksionit në fjalë (nëse ekzistojnë) janë ndër numrat e plotë. Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv midis këtyre numrave. Kjo 1
. Le të kontrollojmë nëse do të jetë me të vërtetë një periudhë 1
. f(x+1) =3(x+1+0.25)+1 Meqenëse (T+1)=(T) për çdo T, atëherë f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), d.m.th. 1 – periudha f. Meqenëse 1 është më i vogli nga të gjithë numrat e plotë pozitiv, atëherë T=1. Detyra 2. Tregoni se funksioni f(x)=cos 2 (x) është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore. Problemi 3. Gjeni periudhën kryesore të funksionit f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x) Le të supozojmë periudhën T të funksionit, pastaj për cilindo X raporti është i vlefshëm sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x) Nëse x=0, atëherë sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0 sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 Nëse x=-T, atëherë sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T) 5= – sin (1,5T)+5cos(0,75T) – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 Duke e shtuar atë, marrim: 10cos(0.75T)=10 2π
n, n € Z Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv nga të gjithë numrat "të dyshimtë" për periudhën dhe të kontrollojmë nëse është një pikë për f. Ky numër f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x) Kjo do të thotë se kjo është periudha kryesore e funksionit f. Problemi 4. Le të kontrollojmë nëse funksioni f(x)=sin(x) është periodik Le të jetë T periudha e funksionit f. Pastaj për çdo x mëkat|x+Т|=mëkat|x| Nëse x=0, atëherë mëkat|Т|=mëkat0, mëkat|Т|=0 Т=π n, n € Z. Le të supozojmë. Se për disa n numri π n është perioda funksioni në shqyrtim π n>0. Pastaj sin|π n+x|=sin|x| Kjo nënkupton që n duhet të jetë edhe një numër çift edhe një numër tek, por kjo është e pamundur. Prandaj, ky funksion nuk është periodik. Detyra 5. Kontrolloni nëse funksioni është periodik f(x)= Le të jetë T periudha e f, atëherë Meqenëse numëruesit janë të barabartë, atëherë emëruesit e tyre janë të barabartë Kjo do të thotë se funksioni f nuk është periodik. Puna në grupe. Detyrat për grupin 1. Detyrat për grupin 2. Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston). f(x)=cos(2x)+2sin(2x) Detyrat për grupin 3. Në fund të punës së tyre, grupet prezantojnë zgjidhjet e tyre. VI. Duke përmbledhur mësimin. Reflektimi. Mësuesi u jep nxënësve karta me vizatime dhe u kërkon të ngjyrosin një pjesë të vizatimit të parë në përputhje me masën në të cilën ata mendojnë se i kanë zotëruar metodat e studimit të një funksioni për periodicitet, dhe në një pjesë të vizatimit të dytë - në përputhje me kontribut në punën në mësim. VII. Detyre shtepie 1). Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston) b). f(x)=x 2 -2x+4 c). f(x)=2tg (3x+5) 2). Funksioni y=f(x) ka një periudhë T=2 dhe f(x)=x 2 +2x për x € [-2; 0]. Gjeni vlerën e shprehjes -2f(-3)-4f(3.5) letërsi/Udhëzimet
Udhëzimet
Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, dhe të gjitha funksionet polinomiale me një shkallë më të madhe se 2 janë aperiodike.
Periudha e një funksioni të përbërë nga 2 funksione periodike është shumëfishi më i vogël universal i periudhave të këtyre funksioneve.
Udhëzimet
Përdorni formula për të zvogëluar shkallën e një funksioni. Nëse i dini tashmë periudhat e disa funksioneve, përpiquni ta reduktoni funksionin ekzistues në ato të famshmet.
Udhëzimet
Udhëzimet
Mos i ngatërroni funksionet y=cos(x) dhe y=sin(x) - duke pasur një periudhë identike, këto funksione përshkruhen ndryshe.
Për qartësi më të madhe, vizatoni një funksion trigonometrik për të cilin llogaritet periudha minimale e saktë.
A.N. Kolmogorov
2) Emërtoni periudhën më të vogël pozitive të funksioneve y=sin(x), y=cos(x)
3). Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y=tg(x), y=ctg(x)
4) Duke përdorur një rreth, provoni korrektësinë e marrëdhënieve:
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin (-1000º) = mëkat (80º)
b) ctg530º
c) mëkat1268º
d) cos(-7363º)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
, pra sinT=0, Т=π n, n € Z. Le të supozojmë se për disa n numri π n është me të vërtetë periudha e këtij funksioni. Atëherë numri 2π n do të jetë periudha
