Kushdo që ka dëgjuar me kujdes një mësues të gjeometrisë në shkollë është shumë i njohur me atë që është trekëndëshi egjiptian. Ai ndryshon nga llojet e tjera të ngjashme me një kënd prej 90 gradë në raportin e tij të veçantë të pamjes. Kur një person dëgjon për herë të parë frazën "trekëndëshi egjiptian", në mendje vijnë fotografitë e piramidave madhështore dhe faraonëve. Por çfarë thotë historia?
Ekspertët e gjeometrisë egjiptiane quheshin “arpedonapti”, ata që lidhnin litarë. Pikërisht duke shtrënguar litarët ata vizatuan dy linjat më të thjeshta dhe më të rëndësishme në gjeometri: vijën e drejtë dhe rrethin. Së pari, thjesht duke shtrënguar një litar midis dy pikave, një lloj operacioni, imazhi i të cilit është ende i pranishëm në shprehjet "të vizatosh një vijë", "të vizatosh një pingul"; E dyta është duke bërë që njëra nga dy pikat të rrotullohet rreth tjetrës, e cila mbahet e fiksuar. A mund ta imagjinojnë shkallën e zhvillimit të këtyre dy praktikave elementare?
Siç ndodh gjithmonë, ekzistojnë disa teori në lidhje me emrin "Trekëndëshi egjiptian". Sipas njërit prej tyre, teorema e famshme e Pitagorës doli në dritë pikërisht falë kësaj figure. Në vitin 535 para Krishtit. Pitagora, pas rekomandimit të Talesit, shkoi në Egjipt për të mbushur disa boshllëqe në njohuritë e tij për matematikën dhe astronominë. Atje ai tërhoqi vëmendjen për veçoritë e punës së topografëve egjiptianë. Ata janë shumë në një mënyrë të pazakontë Ata realizuan një ndërtim me kënd të drejtë, anët e të cilit ishin të ndërlidhura me njëra-tjetrën në raport 3-4-5. Kjo seri matematikore e bëri relativisht të lehtë lidhjen e katrorëve të të tre anëve me një rregull. Pikërisht kështu lindi teorema e famshme. Dhe trekëndëshi egjiptian është pikërisht e njëjta figurë që e shtyu Pitagorën zgjidhja më e zgjuar. Sipas të dhënave të tjera historike, figurës iu dha emri nga grekët: në atë kohë ata shpesh vizitonin Egjiptin, ku mund të interesoheshin për punën e topografëve. Ekziston mundësia që, siç ndodh shpesh me zbulimet shkencore, të dyja historitë kanë ndodhur në të njëjtën kohë, kështu që është e pamundur të thuhet me siguri se kush ishte i pari që doli me emrin "trekëndëshi egjiptian". Karakteristikat e tij janë të mahnitshme dhe, natyrisht, nuk kufizohen vetëm në raportin e pamjes. Zona dhe anët e saj përfaqësohen me numra të plotë. Falë kësaj, aplikimi i teoremës së Pitagorës në të na lejon të marrim numra të plotë të katrorëve të hipotenuzës dhe këmbëve: 9-16-25. Sigurisht, kjo mund të jetë thjesht një rastësi. Por si mund ta shpjegojmë në këtë rast faktin që egjiptianët e konsideronin të shenjtë trekëndëshin “e tyre”? Ata besonin në ndërlidhjen e tij me të gjithë Universin.
Në fakt, nevojat praktike të topografëve të lashtë mund të kenë bërë së shpejti të nevojshme vepra të tilla që ne sot i quajmë "katror dhe busull", dhe ato që duhet të quhen më së miri "rrathë dhe drejt". Aktualisht është e natyrshme ta konsiderojmë letrën si arenën natyrore të gjeometrisë, kështu që ne e kuptojmë përdorimin e katrorëve dhe busullave vetëm si një kufi arbitrar të imponuar nga shpirtrat spekulativë, të cilët preferuan një numër të vogël aksiomash në krahasim me lehtësitë e shumta që rezultojnë nga një mori instrumentet.
Prandaj ndryshimi midis një eksperti teorik të gjeometrisë. Kështu, ne priremi të injorojmë plotësisht gjeometrinë "në terren" në favor të kësaj "në letër", gjë që nuk na lejon të kuptojmë se kur transferojmë operacione gjeometrike nga fusha në letër, ato ndonjëherë do të kërkojnë plotësisht metoda të ndryshme dhe metodat.
Pasi informacioni për këtë figurë të pazakontë gjeometrike u bë i disponueshëm publikisht, bota filloi të kërkonte trekëndësha të tjerë të ngjashëm me brinjë të plotë. Ishte e qartë se ato ekzistonin. Por rëndësia e pyetjes nuk ishte thjesht kryerja e llogaritjeve matematikore, por testimi i vetive "të shenjta". Egjiptianët, me gjithë pazakontësinë e tyre, nuk u konsideruan kurrë budallenj - shkencëtarët ende nuk mund të shpjegojnë se si u ndërtuan saktësisht piramidat. Dhe këtu, papritmas, një figurë e zakonshme iu atribuua një lidhje me Natyrën dhe Universin. Dhe, me të vërtetë, kuneiformi i gjetur përmban udhëzime rreth si një trekëndësh me një anë, madhësia e së cilës përshkruhet nga një numër 15-shifror. Aktualisht, trekëndëshi egjiptian, këndet e të cilit janë 90 (djathtas), 53 dhe 37 gradë, gjendet në vende krejtësisht të papritura. Për shembull, gjatë studimit të sjelljes së molekulave të ujit të zakonshëm, doli se ndryshimi shoqërohet me një ristrukturim të konfigurimit hapësinor të molekulave, në të cilin mund të shihni... të njëjtin trekëndësh egjiptian. Nëse kujtojmë se përbëhet nga tre atome, atëherë mund të flasim për tre anët e kushtëzuara. Sigurisht, nuk po flasim për një rastësi të plotë të raportit të famshëm, por numrat që rezultojnë janë shumë, shumë afër atyre të kërkuar. A është kjo arsyeja pse egjiptianët e njohën trekëndëshin e tyre "3-4-5" si një çelës simbolik dukuritë natyrore dhe sekretet e universit? Në fund të fundit, uji, siç e dini, është baza e jetës. Pa dyshim, është shumë herët për t'i dhënë fund studimit të figurës së famshme egjiptiane. Shkenca nuk nxiton kurrë në përfundime, duke kërkuar të vërtetojë supozimet e saj. Dhe ne vetëm mund të presim dhe të mahnitemi me njohuritë
Nuk duhet të harrojmë se saktësia e planit është shumë më e rëndësishme sesa në letër. Një arkitekt që ka një ide të qartë të planit të përgjithshëm dhe që kujton procesin që ndoqi për ta kaluar do të kishte nevojë për dizajnin. Hartat relativisht të reja, si dhe hartat e vjetra, të cilat në mënyrë të pashmangshme janë vizatuar me mjete dhe mbështetëse rudimentare, nuk riprodhojnë me saktësi kufijtë e një pjese toke. Në realitet kjo është e pamundur, sepse edhe një gabim në përqindje - më i vogli që mund të ndodhë në një shkallë mjaft të madhe - do të gjeneronte një gabim absolut që nuk do të kishte gjasa të pranohej në fushë.
Trekëndëshi egjiptian dhe vetitë e tij janë të njohura që nga kohërat e lashta. Kjo shifër u përdor gjerësisht në ndërtim për shënimin dhe ndërtimin e këndeve të sakta.
Historia e Trekëndëshit Egjiptian
Krijuesi i këtij dizajni gjeometrik është një nga matematikanët më të mëdhenj të antikitetit, Pitagora. Është falë kërkimit të tij matematikor që ne mund të përdorim plotësisht të gjitha vetitë e kësaj strukture gjeometrike në ndërtim.
Në këtë rast, njohja e formës dhe masës së objektit që do të përshkruhet është thelbësore; nuk do të jetë në dorën e një specialisti të gjeometrisë të riprodhojë në terren saktësinë që nuk është e disponueshme në letër. E njëjta gjë ndodh me një matematikan, për të cilin saktësia e leximeve nuk është aspak e dobishme në demonstrime. Gjeometria në letër zëvendëson saktësinë e operacioneve në terren me gjeometrinë e procesit mendor.
Përkundrazi, nga logjika në saktësinë materiale, si pasojë e zgjerimit të nevojshëm të shkallës për të kaluar nga një plan në krijimin e tij aktual, akti i shtrëngimit të një litari mbeti një nga operacionet bazë, pasi deri në Egjiptin e Lashtë dhe Greqia e lashte. Kjo praktikë ka mbetur e pandryshuar deri më sot, e transmetuar vetëm nga shpikja dhe përmirësimi i disa instrumenteve optike. Megjithëse është mjaft e lehtë të vizatoni një pingul në letër duke përdorur vizore dhe katrorë, i njëjti veprim në një fushë me të njëjtën shkallë saktësie kërkon metoda rrënjësisht të ndryshme.
Mund të supozohet se aftësitë matematikore i lejuan Pitagorës të vinte re një model në format e strukturës. Zhvillimi i mëtejshëm ngjarjet mund të imagjinohen lehtësisht. Analiza bazë dhe nxjerrja e përfundimeve krijuan një nga figurat më domethënëse në histori. Me shumë mundësi, ishte piramida e Keopsit që u zgjodh si prototip për shkak të përmasave të saj pothuajse perfekte.
Në fushë, katrori është i padobishëm sepse është shumë i vogël në raport me madhësinë e formave. Edhe nëse katrori është jashtëzakonisht i saktë, pingulja që mund të vizatojë do të arrijë metër më të madh ose më të vogël. Nëse duhet të shënojmë një katror 30 metra për anë, duhet ta zgjasim këtë vijë 30 herë. Ky do të ishte një veprim kaq i pasaktë sa që ndoshta do të jepte të njëjtat rezultate sikur të kishim matur përafërsisht këndin e saktë.
Këto reflektime na kthejnë te pyetja fillestare: cilat metoda u përdorën nga matësit egjiptianë për të vizatuar një copë tokë katrore? Si e morën këndin katror? Prandaj, nëse shtrijmë një litar unazor me gjatësi 12 njësi, të shënuar në tre pika në distancat 3, 4 dhe 5, në formën e një trekëndëshi me kulm në pikat e shënuara, këndi ndërmjet brinjëve më të shkurtra të trekëndëshit është një kënd i drejtë.
Trekëndëshi egjiptian në ndërtim
Vetitë e kësaj strukture unike gjeometrike janë se ndërtimi i saj pa përdorimin e asnjë mjeti ju lejon të ndërtoni një shtëpi me këndet e duhura në të gjitha marrëdhëniet.
E rëndësishme! Sigurisht, në mënyrë ideale, opsioni më i mirë do të ishte përdorimi i një raportuesi ose katrori.
Nuk dihet nëse ky proces është kryer nga anketuesit e lashtë në kohën e tyre, pasi nuk është vërtetuar se egjiptianët e lashtë e dinin se një trekëndësh me brinjët 3, 4 dhe 5 ishte trekëndësh kënddrejtë. Edhe nëse ata dinë për këtë ose trekëndëshat e tjerë të Pitagorës, do të thotë domosdoshmërisht se ata e dinin natyrën ose të paktën si të krijonin këndin e duhur.
Nga erdhi kjo njohuri? Për shkak të mungesës së dokumentacionit qoftë edhe të pjesshëm dhe dëshmitarëve, mund të përpiqemi t'i qasemi problemit nga një këndvështrim tjetër, matematikor dhe jo historik. Pyetja që duhet të bëjmë është se çfarë e bën një kënd të drejtë të ndryshëm nga të tjerët? Ose më mirë, cila është veçoria e këndit të një trekëndëshi me brinjë 3, 4 dhe 5?
Pra, cilësitë e trekëndëshit egjiptian ju lejojnë të bëni kënde që janë të sakta në të gjitha marrëdhëniet. Anët e strukturës kanë raportin e mëposhtëm me njëra-tjetrën:
Për të kontrolluar nëse keni vizatuar figurën e duhur, përdorni Teoremën e Pitagorës, e njohur nga shkolla.
Kujdes! Vetitë e trekëndëshit egjiptian janë të tilla që katrori i hipotenuzës është i barabartë me katrorët e dy këmbëve.
Përgjigja e menjëhershme: Ndryshe nga trekëndëshat e tjerë, Pitagora dhe më i thjeshti prej tyre, me brinjët 3, 4 dhe 5, mund të bëhen të bashkohen në njërën anë dhe pastaj përsëri në anën tjetër. Kjo rezulton në një konfigurim simetrik që plotëson plotësisht gjithçka hapesire e lire nuk ka mbivendosje apo boshllëqe.
Asnjë kënd tjetër përveç atij të duhuri nuk e ka këtë karakteristikë simetrike, e cila bëhet përkufizimi i saj në librin e parë të plotë të gjeometrisë që ka arritur ndonjëherë në kohën tonë, Elementet e Euklidit. Kur formohet një vijë e drejtë që bie mbi një tjetër kënde të barabarta, janë të sakta.
Për një kuptim më të mirë, le të marrim varësinë e mësipërme dhe të kompozojmë shembull i vogël. Le të shumëzojmë pesë me pesë. Si rezultat, marrim një hipotenuzë të barabartë me 25. Le të llogarisim katrorët e dy këmbëve. Ata do të jenë 16 dhe 9. Prandaj, shuma e tyre do të jetë njëzet e pesë.
Kjo është arsyeja pse vetitë e trekëndëshit egjiptian përdoren kaq shpesh në ndërtim. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të merrni pjesën e punës dhe të vizatoni një vijë të drejtë. Gjatësia e saj duhet të jetë gjithmonë shumëfish i 5. Pastaj duhet të shënoni një skaj dhe të matni një vijë të ndashme me 4 prej saj dhe 3 nga e dyta.
Natyra e një këndi katror është se këndet që rezultojnë nga kryqëzimi i dy drejtëzave janë të barabarta. Kjo mund të demonstrohet menjëherë në letër duke e palosur letrën përgjatë njërës prej vijave konverguese dhe duke kontrolluar që vija tjetër të paloset në vetvete.
Kjo veti ka modelin gjeometrik "klasik" të shënjimit të dy rrathëve dhe më pas kombinimit të kryqëzimeve të tyre. Natyra simetrike e formës është mjaft e dukshme, dhe kjo është dëshmi e qartë e barazisë së këndeve. Për më tepër, ndryshe nga trekëndëshi i Pitagorës, i cili ka nevojë për ndërtim të mëtejshëm, në këtë rast forma sugjeron menjëherë përcaktimin e një këndi katror përmes barazisë së këndeve dhe në të njëjtën kohë, ndërton vetveten.
Kujdes! Gjatësia e secilit segment do të jetë 4 dhe 3 cm (në vlera minimale). Kryqëzimi i këtyre vijave formon një kënd të drejtë të barabartë me 90 gradë.
Mënyra alternative për të ndërtuar një kënd të drejtë 90 gradë
Siç u përmend më lart, opsioni më i mirë Do të jetë e lehtë të marrësh një katror ose një raportor. Këto mjete ju lejojnë të me koston më të ulët kohë dhe përpjekje për të arritur përmasat e dëshiruara. Vetia kryesore e trekëndëshit egjiptian është shkathtësia e tij. Një figurë mund të ndërtohet pa pothuajse asgjë në arsenalin tuaj.
Këto janë ende supozime të thjeshta. Pa dyshim, ky proces është padyshim më i lehtë dhe më i saktë se i pari. Mund të thuhet se mund të shënojmë vetëm pingulën që kalon në qendër të një segmenti të caktuar, i quajtur edhe boshti i segmentit. Megjithatë, është e lehtë të shihet se nëse duam një pingul në një skaj, si në rastin e vizatimit të një katrori, duhet të dyfishojmë segmentin, duke e shtrirë atë deri në pikën ku duam të vizatojmë pingulën dhe më pas të përsërisim procesi i mëparshëm.
Duhet të theksohet se të gjitha këto metoda janë veçanërisht të përshtatshme për tokat e rrafshta si fusha egjiptiane. Për të kuptuar më mirë disa nga problemet që lidhen me aeroplanët dhe motorët, është e nevojshme të përdoren disa ide matematikore nga trigonometria për të studiuar trekëndëshat. Le të fillojmë me disa përkufizime dhe terminologji që do të përdorim në këtë rrëshqitje. Le të fillojmë me trekëndëshi i rregullt. Trekëndëshi kënddrejtë është një figurë trekëndore me një kënd të barabartë me 90 gradë.
E fortë në ndërtim kënd i drejtë Materialet e thjeshta të printuara ndihmojnë. Merrni ndonjë revistë apo libër. Fakti është se raporti i tyre i pamjes është gjithmonë saktësisht 90 gradë. Makinat e shtypjes punojnë me shumë saktësi. Përndryshe, rrotulla që futet në makinë do të pritet në kënde të shtrembër joproporcionale.
Një kënd prej 90 gradë quhet kënd i drejtë, ku trekëndëshi kënddrejtë merr emrin e tij. Kjo është ana më e gjatë e tre brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Fjala "hipotenuzë" vjen nga dy fjalë greke që do të thotë "të shtrihet", sepse është ana më e gjatë.
Teorema e Pitagorës është një pohim që lidh gjatësitë e brinjëve të çdo trekëndëshi kënddrejtë. Për çdo trekëndësh kënddrejtë - katrori i hipotenuzës. e barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera. Kjo është shkruar matematikisht. Kjo teoremë është njohur në shumë kultura me shumë emra gjatë viteve. Besohet se ai e mësoi teoremën gjatë studimeve në Egjipt. Egjiptianët ndoshta dinin për marrëdhënien një mijë vjet përpara Pitagorës.
Si të bëni një trekëndësh egjiptian duke përdorur një litar
Vetitë e kësaj figura gjeometrike vështirë të mbivlerësohet. Nuk është për t'u habitur që inxhinierët e lashtë dolën me shumë mënyra për ta formuar atë duke përdorur burime minimale.
Një nga më të thjeshtat është metoda e formimit të trekëndëshit egjiptian me të gjitha vetitë e tij përcjellëse duke përdorur një litar të thjeshtë. Merrni spango dhe priteni në 12 pjesë absolutisht të barabarta. Prej tyre, bëni një figurë me përmasa 3, 4 dhe 5.
Pitagora e përgjithësoi rezultatin në çdo trekëndësh kënddrejtë. Ka shumë prova të ndryshme algjebrike dhe gjeometrike të teoremës. Shumica e tyre fillojnë duke ndërtuar katrorë në një skicë të trekëndëshit bazë kënddrejtë. Në foton në krye të kësaj faqeje tregojmë katrorë të vizatuar në tre anët e një trekëndëshi. Një katror është një rast i veçantë i një drejtkëndëshi në të cilin të gjitha anët janë të barabarta në gjatësi. Kështu, për një katror me brinjë të barabartë me a, sipërfaqja përcaktohet si më poshtë.
Le të fillojmë me trekëndëshin kënddrejtë, mbi të cilin kemi ndërtuar katrorë në dy anë, një të kuqe dhe një blu. Ne do të thyejmë pjesët e këtyre dy katrorëve dhe do t'i zhvendosim në zonën gri katrore në hipotenuzë. Gjatë operacionit nuk kemi humbur asnjë material. Pra, nëse mund të plotësojmë saktësisht katrorin e hipotenuzës, kemi treguar se sipërfaqet janë të barabarta.
Si të ndërtoni një kënd prej 45, 30 dhe 60 gradë
Sigurisht, trekëndëshi egjiptian dhe vetitë e tij janë shumë të dobishme kur ndërtohet një shtëpi. Por ju ende nuk do të jeni në gjendje të bëni pa kënde të tjera. Për të marrë një kënd prej 45 gradë, merrni një kornizë ose material baguette. Pastaj e presim në një kënd prej dyzet e pesë gradë dhe bashkojmë gjysmat me njëra-tjetrën.
Çfarë po bën ai? Hapi i parë e rrotullon trekëndëshin poshtë në sheshin blu. Kjo e ndan sheshin blu në tre, dy trekëndësha dhe një drejtkëndësh të kuq. Dy trekëndëshat janë saktësisht të njëjtën madhësi me trekëndëshin origjinal. "Fundi" i trekëndëshit origjinal korrespondon saktësisht me anën vertikale të katrorit, pasi anët e katrorit janë të barabarta. Drejtkëndëshi i kuq i ka anët e tij vertikale të barabarta me bazën e trekëndëshit origjinal, dhe anët e tij horizontale të barabarta me diferencën midis anës "të poshtme" dhe anës "vertikale" të trekëndëshit origjinal.
E rëndësishme! Për të marrë pjerrësinë e dëshiruar, grisni një copë letre nga revista dhe përkuleni atë. Në këtë rast, linjat e kthesës do të kalojnë nëpër qoshe. Skajet duhet të përputhen.
Siç mund ta shihni, vetitë e figurës e bëjnë shumë më të lehtë dhe më të shpejtë ndërtimin e një konstrukti gjeometrik. Për të arritur një raport pamjeje prej 60 gradë, duhet të merrni një trekëndësh në 30º dhe të dytin po aq. Në mënyrë tipike, përmasa të tilla janë të nevojshme kur krijohen elemente të caktuara dekorative.
Duke përdorur terminologjinë nga fotografia në krye të kësaj faqeje, përmasat e drejtkëndëshit të kuq. Hapi tjetër është lëvizja e drejtkëndëshit të kuq mbi katrorin e kuq. Drejtkëndëshi del në majë të katrorit të kuq dhe dy trekëndëshat mbeten në katrorin blu. Hapi tjetër është të lëvizni një nga trekëndëshat blu vertikalisht në katrorin e hipotenuzës. Përputhet saktësisht me anën e katrorit të hipotenuzës sepse brinjët e katrorit janë të barabarta. Hapi tjetër është zhvendosja e trekëndëshit tjetër blu në katrorin e hipotenuzës.
Hapi tjetër është të kopjoni formën e trekëndëshit origjinal në të majtë në zonën e kuqe. Trekëndëshi e ndan zonën e kuqe në tre pjesë, dy trekëndësha dhe një katror të vogël të verdhë. Trekëndëshi origjinal i përshtatet këtij rajoni pikërisht për dy arsye; anët vertikale janë identike, dhe ana horizontale e zonës së kuqe është e barabartë me gjatësinë e katrorit të kuq plus gjatësinë horizontale të drejtkëndëshit të kuq që lëvizëm. Gjatësia horizontale e zonës së kuqe.
Kujdes! Një raport i pamjes 30º nevojitet për të bërë gjashtëkëndësh. Pronat e tyre janë në kërkesë në boshllëqet e zdrukthtarisë.
Rezultatet
Vetitë e trekëndëshit egjiptian janë përdorur gjerësisht në ndërtim për gati dy shekuj e gjysmë. Edhe tani, me mungesë mjetesh, ndërtuesit përdorin këtë teknikë, të zbuluar nga Pitagora, për të arritur edhe kënde të drejta.