në shtëpi Sipërfaqet e rrugëve Një progresion gjeometrik. Progresioni gjeometrik me shembuj

Një progresion gjeometrik. Progresioni gjeometrik me shembuj

Mësim dhe prezantim me temën: "Rendet e numrave. Progresioni gjeometrik"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Fuqitë dhe rrënjët Funksionet dhe grafikët

Djema, sot do të njihemi me një lloj tjetër përparimi.
Tema e mësimit të sotëm është përparimi gjeometrik.

Progresioni gjeometrik

Përkufizimi. Një sekuencë numerike në të cilën çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me prodhimin e atij të mëparshmit dhe një numër fiks quhet progresion gjeometrik.
Le të përcaktojmë sekuencën tonë në mënyrë rekursive: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ku b dhe q janë numra të caktuar të caktuar. Numri q quhet emërues i progresionit.

Shembull. 1,2,4,8,16... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një, dhe $q=2$.

Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë,
dhe $q=1$.

Shembull. 3,-3,3,-3,3... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre,
dhe $q=-1$.

Progresioni gjeometrik ka vetitë e monotonisë.
Nëse $b_(1)>0$, $q>1$,
atëherë sekuenca po rritet.
Nëse $b_(1)>0$, $0 Sekuenca zakonisht shënohet në formën: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Ashtu si në një progresion aritmetik, nëse në një progresion gjeometrik numri i elementeve është i fundëm, atëherë progresioni quhet progresion i fundëm gjeometrik.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vini re se nëse një sekuencë është një progresion gjeometrik, atëherë sekuenca e katrorëve të termave është gjithashtu një progresion gjeometrik. Në sekuencën e dytë, termi i parë është i barabartë me $b_(1)^2$, dhe emëruesi është i barabartë me $q^2$.

Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Progresioni gjeometrik mund të specifikohet edhe në formë analitike. Le të shohim se si ta bëjmë këtë:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ne e vërejmë lehtësisht modelin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula jonë quhet "formula e termit të n-të të një progresion gjeometrik".

Le të kthehemi te shembujt tanë.

Shembull. 1,2,4,8,16... Progresioni gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me një,
dhe $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Shembull. 16,8,4,2,1,1/2… Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë, dhe $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Shembull. 8,8,8,8... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tetë, dhe $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Shembull. 3,-3,3,-3,3... Një progresion gjeometrik në të cilin termi i parë është i barabartë me tre, dhe $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Shembull. Jepet një progresion gjeometrik $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Dihet se $b_(1)=6, q=3$. Gjeni $b_(5)$.
b) Dihet se $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Gjeni n.
c) Dihet se $q=-2, b_(6)=96$. Gjeni $b_(1)$.
d) Dihet se $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Gjeni q.

Zgjidhje.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, meqë $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Shembull. Diferenca midis termave të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 192, shuma e termave të pestë dhe të gjashtë të progresionit është 192. Gjeni termin e dhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje.
Ne e dimë se: $b_(7)-b_(5)=192$ dhe $b_(5)+b_(6)=192$.
Ne gjithashtu dimë: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pastaj:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Ne morëm një sistem ekuacionesh:
$\fille(rastet)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\fund(rastet)$.
Duke barazuar ekuacionet tona marrim:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Morëm dy zgjidhje q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në ekuacionin e dytë:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nuk ka zgjidhje.
Ne morëm atë: $b_(1)=4, q=2$.
Le të gjejmë termin e dhjetë: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Shuma e një progresion të fundëm gjeometrik

Le të kemi një progresion të fundëm gjeometrik. Le të llogarisim, ashtu si për një progresion aritmetik, shumën e termave të tij.

Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Le të prezantojmë emërtimin për shumën e termave të tij: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Në rastin kur $q=1$. Të gjithë termat e progresionit gjeometrik janë të barabartë me termin e parë, atëherë është e qartë se $S_(n)=n*b_(1)$.
Le të shqyrtojmë tani rastin $q≠1$.
Le të shumëzojmë shumën e mësipërme me q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Shënim:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Ne kemi marrë formulën për shumën e një progresion gjeometrik të fundëm.

Shembull.
Gjeni shumën e shtatë anëtarëve të parë të një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është 4 dhe emëruesi është 3.

Zgjidhje.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Shembull.
Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik që njihet: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Zgjidhje.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Veti karakteristike e progresionit gjeometrik

Djema, jepet një progresion gjeometrik. Le të shohim tre anëtarët e tij të njëpasnjëshëm: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Ne e dimë se:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Pastaj:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Nëse progresioni është i fundëm, atëherë kjo barazi vlen për të gjithë termat përveç të parës dhe të fundit.
Nëse paraprakisht nuk dihet se çfarë forme ka vargu, por dihet se: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Atëherë mund të themi me siguri se ky është një progresion gjeometrik.

Një sekuencë numrash është një progresion gjeometrik vetëm kur katrori i secilit anëtar është i barabartë me produktin e dy anëtarëve ngjitur të progresionit. Mos harroni se për një progresion të fundëm ky kusht nuk plotësohet për termat e parë dhe të fundit.

Le të shohim këtë identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ quhet mesatarja gjeometrike e numrave a dhe b.

Moduli i çdo termi të një progresioni gjeometrik është i barabartë me mesataren gjeometrike të dy termave fqinjë të tij.

Shembull.
Gjeni x të tillë që $x+2; 2x+2; 3x+3$ ishin tre terma të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.

Zgjidhje.
Le të përdorim vetinë karakteristike:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dhe $x_(2)=-1$.
Le t'i zëvendësojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjet tona në shprehjen origjinale:
Me $x=2$, kemi marrë sekuencën: 4;6;9 – një progresion gjeometrik me $q=1,5$.
Për $x=-1$, marrim sekuencën: 1;0;0.
Përgjigje: $x=2.$

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. Gjeni termin e tetë të parë të progresionit gjeometrik 16;-8;4;-2….
2. Gjeni termin e dhjetë të progresionit gjeometrik 11,22,44….
3. Dihet se $b_(1)=5, q=3$. Gjeni $b_(7)$.
4. Dihet se $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Gjeni n.
5. Gjeni shumën e 11 termave të parë të progresionit gjeometrik 3;12;48….
6. Gjeni x të tillë që $3x+4; 2x+4; x+5$ janë tre terma të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.

Matematika është ajo qënjerëzit kontrollojnë natyrën dhe veten.

Matematikani sovjetik, akademik A.N. Kolmogorov

Progresioni gjeometrik.

Së bashku me problemet mbi progresionet aritmetike, problemet që lidhen me konceptin e progresionit gjeometrik janë gjithashtu të zakonshme në provimet pranuese në matematikë. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të njihni vetitë e progresioneve gjeometrike dhe të keni aftësi të mira në përdorimin e tyre.

Ky artikull i kushtohet prezantimit të vetive themelore të progresionit gjeometrik. Këtu janë dhënë edhe shembuj të zgjidhjes së problemeve tipike., huazuar nga detyrat e provimeve pranuese në matematikë.

Le të vëmë re së pari vetitë themelore të progresionit gjeometrik dhe të kujtojmë formulat dhe pohimet më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi. Një sekuencë numrash quhet progresion gjeometrik nëse çdo numër, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Numri quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Për progresion gjeometrikformulat janë të vlefshme

, (1)

Ku . Formula (1) quhet formula e termit të përgjithshëm të një progresion gjeometrik, dhe formula (2) paraqet vetinë kryesore të një progresion gjeometrik: çdo term i progresionit përkon me mesataren gjeometrike të termave të tij fqinjë dhe .

Shënim, se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në fjalë quhet “gjeometrik”.

Formulat e mësipërme (1) dhe (2) janë përgjithësuar si më poshtë:

, (3)

Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion gjeometrikzbatohet formula

Nëse shënojmë , atëherë

Ku . Meqenëse, formula (6) është një përgjithësim i formulës (5).

Në rastin kur dhe progresion gjeometrikështë në rënie pafundësisht. Për të llogaritur shumënnga të gjithë termat e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, përdoret formula

. (7)

Për shembull , duke përdorur formulën (7) mund të tregojmë, Çfarë

Ku . Këto barazi janë marrë nga formula (7) me kushtin që , (barazia e parë) dhe , (barazia e dytë).

Teorema. Nese atehere

Dëshmi. Nese atehere

Teorema është vërtetuar.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni gjeometrik".

Shembulli 1. Jepet: , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Nëse zbatojmë formulën (5), atëherë

Përgjigje:.

Shembulli 2. Lëre të jetë. Gjej .

Zgjidhje. Meqenëse dhe , përdorim formulat (5), (6) dhe marrim një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i dytë i sistemit (9) pjesëtohet me të parin, pastaj ose . Nga kjo rezulton se . Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Nëse, atëherë nga ekuacioni i parë i sistemit (9) kemi.

2. Nëse , atëherë .

Shembulli 3. Le , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Nga formula (2) rrjedh se ose . Që atëherë ose .

Sipas kushtit. Megjithatë, prandaj. Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i dytë i sistemit pjesëtohet me të parin, atëherë ose .

Meqenëse, ekuacioni ka një rrënjë unike të përshtatshme. Në këtë rast, rrjedh nga ekuacioni i parë i sistemit.

Duke marrë parasysh formulën (7), marrim.

Përgjigje:.

Shembulli 4. Jepet: dhe . Gjej .

Zgjidhje. Që atëherë.

Që atëherë ose

Sipas formulës (2) kemi . Në këtë drejtim, nga barazia (10) marrim ose .

Megjithatë, sipas kushtit, pra.

Shembulli 5. Dihet se. Gjej .

Zgjidhje. Sipas teoremës, kemi dy barazi

Që atëherë ose . Sepse, atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 6. Jepet: dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5), marrim

Që atëherë. Që nga , dhe , atëherë .

Shembulli 7. Lëre të jetë. Gjej .

Zgjidhje. Sipas formulës (1) mund të shkruajmë

Prandaj, ne kemi ose . Dihet se dhe , prandaj dhe .

Përgjigje:.

Shembulli 8. Gjeni emëruesin e një progresioni të pafundëm gjeometrik në rënie nëse

Dhe .

Zgjidhje. Nga formula (7) rrjedh Dhe . Nga këtu dhe nga kushtet e problemit fitojmë një sistem ekuacionesh

Nëse ekuacioni i parë i sistemit është në katror, dhe pastaj pjesëtojeni ekuacionin që rezulton me ekuacionin e dytë, atëherë marrim

Ose .

Përgjigje:.

Shembulli 9. Gjeni të gjitha vlerat për të cilat sekuenca , , është një progresion gjeometrik.

Zgjidhje. Le , dhe . Sipas formulës (2), e cila përcakton vetinë kryesore të një progresion gjeometrik, ne mund të shkruajmë ose .

Nga këtu marrim ekuacionin kuadratik, rrënjët e të cilit janë Dhe .

Le të kontrollojmë: nëse, pastaj , dhe ; nëse , atëherë , dhe .

Në rastin e parë kemi dhe , dhe në të dytën – dhe .

Përgjigje: ,.

Shembulli 10.Zgjidhe ekuacionin

, (11)

ku dhe.

Zgjidhje. Ana e majtë e ekuacionit (11) është shuma e një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie, në të cilin dhe , subjekt i: dhe .

Nga formula (7) rrjedh, Çfarë . Në këtë drejtim, ekuacioni (11) merr formën ose . Rrënjë e përshtatshme ekuacioni kuadratik është

Përgjigje:.

Shembulli 11. P sekuenca e numrave pozitivëformon një progresion aritmetik, A - progresion gjeometrik, cfare lidhje ka me . Gjej .

Zgjidhje. Sepse sekuenca aritmetike, Kjo (vetia kryesore e progresionit aritmetik). Sepse, pastaj ose . Kjo nënkupton, që progresioni gjeometrik ka formën. Sipas formulës (2), pastaj e shkruajmë atë .

Që atëherë dhe atëherë . Në këtë rast, shprehja merr formën ose . me kusht, pra nga barazimi.ne marrim një zgjidhje unike për problemin në shqyrtim, d.m.th. .

Përgjigje:.

Shembulli 12. Llogaritni shumën

. (12)

Zgjidhje. Shumëzoni të dyja anët e barazisë (12) me 5 dhe merrni

Nëse i zbresim (12) nga shprehja që rezulton, Kjo

ose .

Për të llogaritur, ne zëvendësojmë vlerat në formulën (7) dhe marrim . Që atëherë.

Përgjigje:.

Shembujt e zgjidhjes së problemeve të dhëna këtu do të jenë të dobishëm për aplikantët kur përgatiten për provimet pranuese. Për një studim më të thellë të metodave të zgjidhjes së problemeve, lidhur me progresionin gjeometrik, Ju mund të përdorni mësime nga lista e literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e problemave në matematikë për aplikantët në kolegje / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Miri dhe Edukimi, 2013. – 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 f.

3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në problema dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. – 208 f.

Ende keni pyetje?

Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Udhëzimet

10, 30, 90, 270...

Ju duhet të gjeni emëruesin e një progresion gjeometrik.
Zgjidhja:

Opsioni 1. Le të marrim një term arbitrar të progresionit (për shembull, 90) dhe ta ndajmë atë me atë të mëparshëm (30): 90/30=3.

Nëse dihet shuma e disa termave të një progresioni gjeometrik ose shuma e të gjithë termave të një progresioni gjeometrik në rënie, atëherë për të gjetur emëruesin e progresionit, përdorni formulat e duhura:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ku Sn është shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik dhe
S = b1/(1-q), ku S është shuma e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie (shuma e të gjithë termave të progresionit me emërues më të vogël se një).
Shembull.

Termi i parë i një progresion gjeometrik në rënie është i barabartë me një, dhe shuma e të gjithë termave të tij është e barabartë me dy.

Kërkohet të përcaktohet emëruesi i këtij progresioni.
Zgjidhja:

Zëvendësoni të dhënat nga problemi në formulë. Do të rezultojë:
2=1/(1-q), prej nga – q=1/2.

Një progresion është një sekuencë numrash. Në një progresion gjeometrik, çdo term i mëpasshëm fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër të caktuar q, i quajtur emëruesi i progresionit.

Udhëzimet

Nëse njihen dy terma gjeometrikë fqinjë b(n+1) dhe b(n), për të marrë emëruesin, duhet të pjesëtoni numrin me atë më të madhin me atë që i paraprin: q=b(n+1)/b (n). Kjo rrjedh nga përkufizimi i progresionit dhe emëruesi i tij. Një kusht i rëndësishëm është që termi i parë dhe emëruesi i progresionit të mos jenë të barabartë me zero, përndryshe ai konsiderohet i papërcaktuar.

Kështu, ndërmjet termave të progresionit vendosen marrëdhëniet e mëposhtme: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Duke përdorur formulën b(n)=b1 q^(n-1), mund të llogaritet çdo term i progresionit gjeometrik në të cilin dihet emëruesi q dhe termi b1. Gjithashtu, secila nga progresionet është e barabartë në modul me mesataren e anëtarëve fqinjë: |b(n)|=√, ku progresioni e ka marrë .

Një analog i një progresion gjeometrik është funksioni më i thjeshtë eksponencial y=a^x, ku x është një eksponent, a është një numër i caktuar. Në këtë rast, emëruesi i progresionit përkon me termin e parë dhe është i barabartë me numrin a. Vlera e funksionit y mund të kuptohet si termi i n-të i progresionit nëse argumenti x merret si një numër natyror n (numërues).

Ekziston për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Kjo formulë është e vlefshme për q≠1. Nëse q=1, atëherë shuma e n termave të parë llogaritet me formulën S(n)=n b1. Nga rruga, progresioni do të quhet rritje kur q është më i madh se një dhe b1 është pozitiv. Nëse emëruesi i progresionit nuk e kalon një në vlerë absolute, progresioni do të quhet zbritës.

Një rast i veçantë i një progresion gjeometrik është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie (progresion gjeometrik pafundësisht në rënie). Fakti është se kushtet e një progresion gjeometrik në rënie do të ulen vazhdimisht, por kurrë nuk do të arrijnë zero. Përkundër kësaj, është e mundur të gjendet shuma e të gjitha termave të një progresion të tillë. Përcaktohet me formulën S=b1/(1-q). Numri i përgjithshëm i termave n është i pafund.

Për të vizualizuar se si mund të shtoni një numër të pafund numrash pa marrë pafundësi, piqni një tortë. Prisni gjysmën e tij. Pastaj prisni gjysmën e gjysmës, e kështu me radhë. Pjesët që do të merrni nuk janë gjë tjetër veçse anëtarë të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie me një emërues 1/2. Nëse shtoni të gjitha këto pjesë, ju merrni tortën origjinale.

Problemet e gjeometrisë janë një lloj i veçantë ushtrimi që kërkon të menduarit hapësinor. Nëse nuk mund të zgjidhni një gjeometrike detyrë, provoni të ndiqni rregullat e mëposhtme.

Udhëzimet

Lexoni me shumë kujdes kushtet e detyrës nëse nuk mbani mend ose nuk kuptoni diçka, rilexoni atë përsëri.

Përpiquni të përcaktoni se për çfarë lloj problemesh gjeometrike bëhet fjalë, për shembull: ato llogaritëse, kur duhet të zbuloni një sasi, problemet që përfshijnë , që kërkojnë një zinxhir logjik arsyetimi, problemet që përfshijnë ndërtimin duke përdorur një busull dhe vizore. Më shumë detyra të tipit të përzier. Pasi të keni kuptuar llojin e problemit, përpiquni të mendoni logjikisht.

Zbatoni teoremën e nevojshme për një detyrë të caktuar, por nëse keni dyshime ose nuk keni fare opsione, atëherë përpiquni të mbani mend teorinë që keni studiuar në temën përkatëse.

Shkruani gjithashtu zgjidhjen e problemit në një formë draft. Mundohuni të përdorni metoda të njohura për të kontrolluar korrektësinë e zgjidhjes suaj.

Plotësoni me kujdes zgjidhjen e problemit në fletoren tuaj, pa e fshirë apo gërryer, dhe më e rëndësishmja - Mund të duhet kohë dhe përpjekje për të zgjidhur problemet e para gjeometrike. Megjithatë, sapo ta zotëroni këtë proces, do të filloni të klikoni detyra si arra, duke e shijuar atë!

Një progresion gjeometrik është një sekuencë e numrave b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) i tillë që b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Me fjalë të tjera, çdo term i progresionit merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar atë me një emërues jozero të progresionit q.

Udhëzimet

Problemet e progresionit më së shpeshti zgjidhen duke hartuar dhe më pas duke ndjekur një sistem në lidhje me termin e parë të progresionit b1 dhe emëruesin e progresionit q. Për të krijuar ekuacione, është e dobishme të mbani mend disa formula.

Si të shprehet termi i n-të i progresionit përmes anëtarit të parë të progresionit dhe emëruesi i progresionit: b(n)=b1*q^(n-1).

Le të shqyrtojmë veçmas rastin |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Progresioni gjeometrik jo më pak e rëndësishme në matematikë në krahasim me aritmetikën. Një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash b1, b2,..., b[n], secili term i ardhshëm i të cilit fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër konstant. Ky numër, i cili gjithashtu karakterizon shkallën e rritjes ose uljes së progresionit, quhet emëruesi i progresionit gjeometrik dhe shënojnë

Për të specifikuar plotësisht një progresion gjeometrik, përveç emëruesit, është e nevojshme të njihet ose të përcaktohet termi i parë i tij. Për një vlerë pozitive të emëruesit, progresioni është një sekuencë monotone, dhe nëse kjo sekuencë numrash është monotonike në rënie dhe nëse është monotonike në rritje. Rasti kur emëruesi është i barabartë me një nuk merret parasysh në praktikë, pasi kemi një sekuencë numrash identikë dhe mbledhja e tyre nuk është me interes praktik.

Termi i përgjithshëm i progresionit gjeometrik llogaritur me formulë

Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik përcaktuar nga formula

Le të shohim zgjidhjet e problemeve klasike të progresionit gjeometrik. Le të fillojmë me ato më të thjeshtat për t'u kuptuar.

Shembulli 1. Termi i parë i një progresion gjeometrik është 27, dhe emëruesi i tij është 1/3. Gjeni gjashtë termat e parë të progresionit gjeometrik.

Zgjidhja: Le të shkruajmë kushtin problemor në formë

Për llogaritjet ne përdorim formulën për termin e n-të të një progresion gjeometrik

Bazuar në të, gjejmë termat e panjohur të progresionit

Siç mund ta shihni, llogaritja e kushteve të një progresion gjeometrik nuk është e vështirë. Vetë progresioni do të duket kështu

Shembulli 2. Janë dhënë tre termat e parë të progresionit gjeometrik: 6; -12; 24. Gjeni emëruesin dhe anëtarin e shtatë të tij.

Zgjidhje: Emëruesin e progresionit gjeomitrik e llogarisim në bazë të përcaktimit të tij

Ne kemi marrë një progresion gjeometrik të alternuar, emëruesi i të cilit është i barabartë me -2. Termi i shtatë llogaritet duke përdorur formulën

Kjo e zgjidh problemin.

Shembulli 3. Një progresion gjeometrik jepet me dy nga termat e tij . Gjeni termin e dhjetë të progresionit.

Zgjidhja:

Le të shkruajmë vlerat e dhëna duke përdorur formula

Sipas rregullave, do të na duhej të gjejmë emëruesin dhe më pas të kërkojmë vlerën e dëshiruar, por për termin e dhjetë kemi

E njëjta formulë mund të merret bazuar në manipulime të thjeshta me të dhënat hyrëse. Ndani termin e gjashtë të serisë me një tjetër, dhe si rezultat marrim