Dom Projekt Odejmowanie liczb naturalnych. Minuenda, odejmowanie, różnica

Odejmowanie liczb naturalnych. Minuenda, odejmowanie, różnica

Na tej lekcji dowiesz się, czym są operacje bezpośrednie i odwrotne w matematyce. Nauczyciel opowie o wszystkich składnikach odejmowania, a także pokaże dwa sposoby odejmowania sumy od liczby.

W życiu nieustannie spotykamy się z działaniami bezpośrednimi i przeciwstawnymi. Można nalać wody do kubka, można też wylać wodę. Możesz wejść do domu, a potem wyjść z domu. Takich przykładów jest wiele.

W matematyce również łatwo znajdziemy parę takich przeciwstawnych działań. To jest dodawanie i odejmowanie.

Ryż. 1. Ilustracja dodawania

Odejmowanie: było 5 jabłek, zabrano 2, pozostały 3. Wynikiem było odejmowanie (ryc. 2).

Ryż. 2. Odejmowanie

Oczywiste jest, że dodawanie i odejmowanie są działaniami przeciwstawnymi, zatem dodawanie i odejmowanie są działaniami wzajemnie przeciwstawnymi.

Do dodawania lub odejmowania nie bierzemy przedmiotów, które nam pomogą i nie układamy ich na jednym stosie. Rozwiązujemy taki problem abstrakcyjnie, używając liczb i przeciwnych działań.

Na przykład, aby odjąć 2 od 5, musimy zrozumieć, co pozostało.

Aby to zrobić, musimy wyobrazić sobie liczbę 5 jako sumę dwóch części.

I rozumiemy, że jeśli odejmiemy 2, pozostanie 3.

Tę samą wielkość można przedstawić i zapisać na różne sposoby. Wszystkie te metody są równoważne: . Zawsze możemy w tym przypadku skorzystać z tego, który jest dla nas wygodny. Teraz wygodnie jest nam wyobrazić sobie, że 5 to suma 3 i 2. Dlatego jeśli usuniemy, odejmiemy jedną część (2), wówczas druga (3) pozostanie.

Jak odjąć 7 od 15?

Od razu to sobie wyobrażamy. Oznacza to, że po odjęciu 7 pozostaje 8.

Staje się jasne, że odejmowanie polega na znajdowaniu nieznanego numeru rozwinięcia.

Spójrzmy jeszcze raz na przykład. Aby odjąć 2 od liczby 5, musisz przedstawić 5 jako dwa wyrazy i znaleźć nieznany wyraz. Będzie to wynik odejmowania.

Jeśli chcesz odjąć liczbę od liczby:

Oznacza to, że liczba musi być reprezentowana jako dwa wyrazy i .

Jedno określenie jest nam nieznane. Musimy go znaleźć. To jest wynik odejmowania.

Oczywiste jest, że nie można wyjąć z wazonu większej liczby jabłek niż było. Dlatego też, gdy mówimy o odejmowaniu liczb naturalnych, nie możemy odjąć większej liczby od mniejszej. Wtedy pojawią się inne liczby, nie tylko naturalne, i odjęcie większej liczby od mniejszej stanie się możliwe.

Albo oto inne rozumowanie: odejmowanie oznacza przedstawienie tego w postaci dwóch wyrazów, ale wyrazy, części, nie mogą być większe od całości.

Ale na razie zgoda jest następująca: od liczby odejmujemy liczbę , tylko jeśli nie mniejszą niż . Rezultatem będzie nowy numer.

Ryż. 3. Nazwy składników przy odejmowaniu

Słowo „różnica” jest bardzo podobne do słowa „różnica”. Właściwie, jaka jest różnica, jak różni się liczba 15 od liczby 7, 15 jabłek od 7 jabłek? Na 8 jabłek. Oznacza to, że różnica między liczbami 15 i 7 jest różnicą między nimi.

Zatem z jednej strony różnica jest wynikiem odjęcia mniejszej liczby od większej. Z drugiej strony, to jest to, jak bardzo jedna liczba różni się od drugiej, różnica między nimi.

Tata ma 36 lat, a mama jest 2 lata młodsza. Ile lat ma mama?

Odejmij 2 od 36.

To pierwszy rodzaj problemu, który rozwiązujemy za pomocą odejmowania: znamy jedną liczbę, musimy znaleźć drugą, mniejszą o znaną kwotę. Oznacza to, że od razu znamy minusend i odejmowanie, liczby i .

W klasie jest 25 osób, 14 z nich to dziewczynki. Ilu chłopców jest w klasie?

Oczywiste jest, że jest tylko 25 dziewcząt i chłopców. Jest 14 dziewcząt, nieznana liczba chłopców.

Musimy znaleźć nieznany termin. A szukanie nieznanego terminu jest już zadaniem odejmowania. Od 25 musisz odjąć 14.

W klasie jest 11 chłopców.

To drugi rodzaj problemu, gdy dodawane są dwie liczby, jedna z nich jest znana, a druga nie. Ale wynik i kwota są znane.

Znane i zaznaczone na niebiesko. Konieczne jest znalezienie nieznanego terminu. Ale szukanie nieznanego terminu to odejmowanie.

Siostra ma 12 lat, a brat 9. O ile lat siostra jest starsza od brata?

Moja siostra jest 3 lata starsza od brata.

To trzeci rodzaj zadania – zadanie porównawcze.

W wazonie było 17 jabłek. Petya wzięła 4 jabłka, Masza 3. Ile jabłek zostało w wazonie?

Rozwiązanie

Petya wzięła 4, Masza - 3, w sumie wzięli jabłka. Aby dowiedzieć się, ile pozostało, odejmij:

Jeśli napiszesz to w jednym wierszu:

Policzmy, ile jabłek pozostało za każdym razem, gdy Petya i Masza wzięli jabłka. Petya wziął 4, w lewo. Masza wzięła jeszcze 3 i wyszła.

Lub w jednej linii .

W wazonie zostało 10 jabłek.

Obie metody są równoważne, odpowiedź jest taka sama. Oznacza to, że odjęcie kwoty jest równoznaczne z odjęciem każdego składnika tej kwoty osobno.

Teraz odejmiemy od 140 numer 60 . Mamy 140−60=(100+40)−60. Ponieważ 60 ponad 40 , wówczas odejmowanie należy wykonać w następujący sposób: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

Odejmij od 10 432 numer 300 . Rozkładamy odjemnik na cyfry, a następnie stosujemy właściwość odejmowania liczby od sumy trzech lub więcej liczb:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300= 10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

Na końcu tej sekcji obliczmy różnicę 231 112−7 000 . Mamy
231 112−7 000= (200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000= 200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

Wszystko sprowadzało się do znalezienia różnicy 30 000−7 000 . Ponieważ 30 000=20 000+10 000 , wtedy 30 000–7 000 = (20 000 + 10 000) −7 000 = 20 000 + (10 000–7 000) = 20 000 + 3 000 = 23 000. Wykorzystajmy ten wynik i zakończmy obliczenia:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2= 224 112 .

Odejmowanie dowolnych liczb naturalnych.

Pozostaje rozważyć odejmowanie liczb naturalnych, gdy odejmowanie jest rozkładane na sumę wyrazów cyfrowych. W tym przypadku odejmowanie przeprowadza się w następujący sposób: po przedstawieniu odejmowania jako sumy wyrazów cyfrowych stosuje się właściwość odejmowania sumy dwóch liczb od liczby naturalnej wymaganą liczbę razy. Co więcej, wygodniej jest najpierw odjąć jednostki, potem dziesiątki, potem setki itd.

Na przykład obliczmy różnicę 45−32 . Rozwijanie odejmowania 32 według kategorii: 32=30+2 . Mamy 45−32=45−(30+2) . Dla wygody zamienimy wyrazy w nawiasach 45−(30+2)=45−(2+30) (możemy to zrobić ze względu na przemienną właściwość dodawania). Teraz zastosujemy właściwość odejmowania sumy od liczby: 45−(2+30)=(45−2)−30. Pozostaje obliczyć różnicę 45−2 , a następnie odejmij liczbę od uzyskanego wyniku 30 . Wykonanie tych kroków nie sprawi żadnych trudności, jeśli dokładnie opanowałeś materiał z poprzednich akapitów. Więc, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Wtedy (45−2)−30=43−30. Pozostaje przedstawić odjemną jako sumę wyrazów bitowych i zakończyć obliczenia: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Wygodnie jest zapisać całe rozwiązanie w postaci łańcucha równości:
45−32=45−(2+30)= (45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30= (40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

Skomplikujmy trochę przykład. Odejmij od liczby 85 numer 18 . Sortujemy liczbę na cyfry 18 , i otrzymujemy 18=10+8 . Zamień warunki: 10+8=8+10 . Teraz odejmujemy wynikową sumę terminów bitowych od liczby 85 i zastosuj właściwość odejmowania sumy od liczby: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

Obliczamy różnicę w nawiasach:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5= ((70+10)−8)+5= (70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

Wtedy (85−8)−10=77−10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na innym przykładzie.

Odejmij od liczby 23 555 numer 715 . Ponieważ 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , To 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Odejmij kwotę od liczby w następujący sposób: 23 555−(5+(10+700))= (23555−5)−(10+700) .

Obliczmy różnicę w nawiasach:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5= 20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0= 20 000+3 000+500+50=23 550 .

Następnie (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Ponownie zwracamy się do własności odejmowania liczby naturalnej od sumy: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

Ponownie obliczamy różnicę w nawiasach:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10= 20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

Mamy
(23 550−10)−700= 23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

Odejmij od 3 000 numer 700 i podstaw wynik do ostatniej sumy: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2000+(1000−700)= 2000+300=2300, następnie 20000+(3000−700)+500+40= 20000+2300+500+40=22840.

Podsumowując ten punkt, należy zauważyć, że aby odjąć dwie liczby naturalne, wygodnie jest zastosować specjalną metodę, która nazywa się odejmowaniem kolumnowym.

Odejmowanie liczb naturalnych na promieniu współrzędnych.

Zobaczmy, czym jest odejmowanie liczb naturalnych z punktu widzenia geometrii. Do tego potrzebujemy. Dla wygody założymy, że jest on umieszczony poziomo i po prawej stronie.

Odejmowanie liczby naturalnej b od liczby naturalnej a na promieniu współrzędnych można interpretować w następujący sposób. Znajdujemy punkt, którego współrzędna jest odjemną a. Teraz od tego punktu w kierunku punktu O będziemy układać segmenty jednostkowe jeden po drugim w ilości określonej przez odjęte b. Działania te doprowadzą nas do punktu na promieniu współrzędnych, którego współrzędna jest równa różnicy a−b. Innymi słowy, odejmowanie liczby naturalnej b od liczby naturalnej a na promieniu współrzędnych oznacza przesuwanie się w lewo od punktu o współrzędnych a na odległość b i dochodzimy do punktu o współrzędnych a−b.

Poniższy rysunek ilustruje odejmowanie liczby naturalnej 4 od liczby naturalnej 6 na promieniu współrzędnych. Po wszystkich niezbędnych czynnościach dochodzimy do punktu o współrzędnej 2 i upewniamy się, że 6−4=2.

Sprawdzanie wyniku odejmowania liczb naturalnych przez dodawanie.

Sprawdzanie wyniku odejmowania dwóch liczb naturalnych opiera się na związku między odejmowaniem i dodawaniem, o którym wspominaliśmy już w pierwszym akapicie tego artykułu. Tam dowiedzieliśmy się, że jeśli c+b=a, to a−b=c i a−c=b. Dość łatwo jest także wykazać prawdziwość następujących twierdzeń odwrotnych: jeśli a-b=c to c+b=a ; jeśli a-c=b to b+c=a. Wykażmy zasadność pierwszego z nich (ponieważ drugi może przeprowadzić podobne rozumowanie).

Odłóżmy b elementów z dostępnych elementów, po czym pozostanie nam c elementów. Ze względu na sens odejmowania liczb naturalnych działanie to odpowiada równości a−b=c. Jeśli następnie przywrócimy odroczone pozycje b na ich miejsce (dodamy je do pozycji c), to jasne jest, że otrzymamy pierwotną liczbę pozycji, czyli a . Następnie przechodząc do znaczenia dodawania liczb naturalnych, możemy mówić o ważności równości c+b=a.

Teraz możemy sformułować regułę, która pozwala nam sprawdzić wynik odejmowania poprzez dodawanie: musisz dodać odejmowanie do powstałej różnicy i powinieneś otrzymać liczbę równą odjemnej. Jeśli wynikiem jest liczba różna od liczby zmniejszanej, będzie to oznaczać, że gdzieś podczas odejmowania popełniono błąd.

Pozostaje tylko przeanalizować rozwiązania kilku przykładów, w których wynik odejmowania sprawdza się za pomocą dodawania.

Przykład.

Od liczby naturalnej 50 odjęto liczbę naturalną 42 1,024−11=1,024−(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

Teraz sprawdzamy wynik odejmowania: 1013+11=(1000+10+3)+(10+1)= 1000+10+10+3+1= 1000+20+4=1024. Otrzymaliśmy liczbę równą tej, która jest zmniejszana, zatem różnicę obliczono poprawnie.

Odpowiedź:

1 024−11=1 023 .

Sprawdzanie wyniku odejmowania liczb naturalnych przez odejmowanie.

Poprawność wyniku odejmowania liczb naturalnych można sprawdzić nie tylko za pomocą dodawania, ale także za pomocą odejmowania. Do tego musisz odjąć znalezioną różnicę od odejmowania i powinieneś otrzymać liczbę równą odejmowaniu. Jeśli wynikiem jest liczba inna niż odejmowana, to gdzieś popełniono błąd.

Wyjaśnijmy trochę ogłoszoną regułę, która pozwala sprawdzić wynik odejmowania liczb naturalnych przez odejmowanie. Wyobraźmy sobie, że mamy owoce, w tym b jabłka i c gruszki. Jeśli odłożymy wszystkie jabłka, zostanie nam tylko c gruszek i mamy a−b=c. Gdybyśmy odłożyli wszystkie gruszki, zostałoby nam tylko b jabłek, gdzie a−c=b.

Przykład.

Od liczby naturalnej 543 odjęto liczbę naturalną 343 i otrzymano liczbę 200. Sprawdź swój wynik.

Rozwiązanie.

Oczywiście wynik odejmowania można sprawdzić dodając: 200+343=543. Ponieważ otrzymana liczba jest równa liczbie zmniejszanej, odejmowanie zostało przeprowadzone poprawnie.

Możesz także przetestować odejmowanie liczb naturalnych za pomocą odejmowania. Aby to zrobić, odejmij różnicę 200 od minus 543, otrzymamy 543−200=(500+43)−200= (500−200)+43=30+43=343. Liczba ta jest równa odejmowaniu, więc odejmowanie jest prawidłowe.

Referencje.

Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klas I, II, III, IV szkół ogólnokształcących.
Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klasy V szkół ogólnokształcących.

Temat: „Odejmowanie liczb naturalnych”.

Typ lekcji : lekcja poszerzająca wiedzę, umiejętności i zdolności.

Cele lekcji :

1. wzmocnienie właściwości odejmowania;

2. rozwiązywanie problemów wykorzystujących działanie odejmowania.

3. Sprawdź wiedzę uczniów na następujące tematy:

A. rozwiązywanie problemów wykorzystujących działanie odejmowania.

B. odejmowanie sumy od liczby i odejmowanie liczby od sumy.

4. rozwijać zainteresowania poznawcze uczniów, samodzielne myślenie, umiejętność poruszania się w tekście problemu, mowę;

Cele lekcji:

1. Edukacyjne:

Podsumuj wiedzę na temat „Odejmowanie liczb naturalnych”;

Wzmocnij umiejętność stosowania właściwości odejmowania w procesie wykonywania zadań;

Monitorowanie poziomu wiedzy, umiejętności i zdolności uczniów na temat „Odejmowanie liczb naturalnych”.

2. Rozwojowe:

Prace nad rozwojem aparatu pojęciowego;

Rozwijaj aktywność poznawczą;

Rozwijać kulturę działań edukacyjnych;

Rozwijaj znaczące podejście do swoich działań;

Rozwiń umiejętność podkreślania najważniejszej rzeczy;

Promuj rozwój zainteresowania tematem, organizacją, odpowiedzialnością;

Rozwijaj niezależne myślenie, dostrzegaj ogólny wzór i wyciągaj uogólnione wnioski.

3. Edukacyjne:

Promuj odpowiedzialne podejście do nauki;

Pielęgnuj wolę i wytrwałość, aby osiągnąć ostateczne rezultaty;

Pielęgnuj schludność;

Pielęgnuj kulturę komunikacji.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny.

Zbieraj zeszyty z zadaniami domowymi. Zapisz w zeszytach datę, zadanie i temat lekcji.

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Uczniowie proszeni są o odpowiedź na poniższe pytania.

a) Jakie działanie nazywa się odejmowaniem? (akcja wykorzystująca sumę i jeden z terminów w celu znalezienia innego terminu)

b) Jak nazywa się liczby podczas odejmowania? (minuend, odejmowanie i różnica)

c) Jaką liczbę nazywamy odjemną? (liczba, od której należy odjąć)

d) Która liczba nazywa się odejmowaniem? (liczba, która jest odejmowana)

d) Jaką liczbę nazywamy różnicą? (wynik odejmowania)

f) Jak dowiedzieć się, o ile jedna liczba jest większa od drugiej? (musisz znaleźć różnicę)

g) Ile jest właściwości odejmowania? Sformułuj je, podaj przykład.

Rozważmy przykład: 64 – (5 + 4) =

Jak uzyskać wynik?

Dwóch uczniów podchodzi do tablicy i zapisuje 2 sposoby rozwiązania tego przykładu.

Metoda I: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. Metoda II: (64–4) – 5 = 55

Nauczyciel składa oświadczenieGeorgeAPolia: « Jeśli chcesz nauczyć się pływać, to śmiało wejdź do wody, a jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać problemy, to je rozwiązuj!!»

Dzisiaj na lekcji będziemy kontynuować naukę tematu „Odejmowanie liczb naturalnych” i analizowaćzadania wykorzystujące działanie odejmowania.

I I I. Rozwiązywanie problemów. Praca z podręcznikiem .

Wszystkie zadania w tej lekcji można podzielić na 2 grupy:

1) № 247, 263.

2) 249, 250, 286, 291.

Sześciu uczniów na zmianę rozwiązuje zadania na tablicy, pozostali uczniowie rozwiązują je w zeszytach.

Zadanie nr 247.

KropkaCleży na segmencieAB. Znajdź długość odcinkaAC, JeśliAB=38 cm, aC.B.=29cm.

Zadanie nr 263.

Długość sekcjiABrówne 37 cmCIDleżeć na segmencieABi o to chodziDleży pomiędzy punktamiCIB. Znajdź długość odcinkapłyta CD, Jeśli

A)AС=12 cm,BD=17cm; B)OGŁOSZENIE=26cm,C.B.=18cm.

Zadanie nr 249.

Jeden automat wyprodukował 1235 części, a drugi 1645 części. O ile więcej części wyprodukowała druga maszyna niż pierwsza?

Zadanie nr 250.

Z dwóch działek zebrano 96 worków ziemniaków. Z pierwszego miejsca zebrano 54 worki. O ile mniej worków ziemniaków zebrano z drugiej działki niż z pierwszej?

Zadanie nr 286.

Z motka żyłki odcięto 37 m. O ile metrów żyłki więcej zostało odciętych niż pozostało w motku, jeśli początkowo w motku było 54 m żyłki?

Zadanie nr 291.

Pociąg pasażerski składa się z 12 wagonów po 58 miejsc w każdym. Ile wolnych miejsc pozostało, jeśli w pociągu jest 667 pasażerów?

IV. Minuta wychowania fizycznego na palce, oczy i plecy (Slajd 11 ).

V. Samodzielna praca (15 minut). (slajd 12)

Opcja I

właściwości odejmowania :

a) (6571 +3455) – 2571; c) 3457 – (2457 + 349);

b) (2397 +6831) – 6831; d) 9522 – (3989 + 4522).

2) Model wieży telewizyjnej składa się z trzech bloków. Wysokość dolnego bloku wynosi 1 m 35 cm, środkowy jest o 45 cm krótszy od dolnego. Jaka jest wysokość górnego bloku, jeśli wysokość modelu wynosi 4 m?

3) Wykonaj odejmowanie:

a) 8003565440 – 6989128416; b) 9000551000 – 8797496.

Opcja II

1) Wykonaj kroki w najprostszy sposób, używającwłaściwości odejmowania :

a) (6574 + 3359) – 2359; c) 5456 – (2456 + 728);

b) (1234 +2587) – 1234; d) 8289 – (2623 + 3289).

2) Zbroja średniowiecznego rycerza waży 27 kg 500 g, a miecz jest o 18 kg 400 g lżejszy. Ile waży tarcza, jeśli pełna zbroja rycerza waży 50 kg?