V-6-2014 (wszystkie 56 prototypów z banku USE)

Umieć budować i badać najprostsze modele matematyczne (teoria prawdopodobieństwa)

1. W losowym eksperymencie rzuca się dwiema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania łącznie 8 punktów. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Liczba wyników, w których wypadnie 8 punktów w wyniku rzutu kostką, wynosi 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Każda z kostek może wypadać na sześć sposobów, więc łączna liczba wyników wynosi 6 6 = 36. Zatem prawdopodobieństwo wypadnięcia łącznie 8 punktów wynosi 5: 36=0,138…=0,14

2. W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki wypadną dokładnie raz. Rozwiązanie: Istnieją 4 możliwe wyniki eksperymentu: orło-orzeł, orło-ogon, reszka-orzeł, reszka-ogon. W dwóch przypadkach orzeł pojawia się dokładnie raz: orzeł-ogon i orzeł-orzeł. Dlatego prawdopodobieństwo, że orła wypadnie dokładnie 1 raz, wynosi 2: 4 = 0,5.

3. W mistrzostwach w gimnastyce bierze udział 20 sportowców: 8 z Rosji, 7 z USA, reszta z Chin. O kolejności występów zawodniczek decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że zawodnik, który startuje jako pierwszy, pochodzi z Chin. Rozwiązanie: Uczestniczy w mistrzostwachsportowcy z Chin. Wtedy prawdopodobieństwo, że zawodnik, który wystąpi jako pierwszy, będzie pochodził z Chin wynosi 5:20 = 0,25

4. Średnio na 1000 sprzedanych pomp ogrodowych 5 przecieka. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna losowo wybrana pompa nie przecieka. Rozwiązanie: Średnio na 1000 sprzedanych pomp ogrodowych 1000-5 = 995 nie przecieka. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że jedna z pomp wybranych losowo do kontroli nie przecieka wynosi 995: 1000 = 0,995

5. Fabryka produkuje torby. Średnio na 100 toreb jakościowych przypada osiem toreb z ukrytymi wadami. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Zgodnie z warunkiem na każde 100 + 8 = 108 toreb przypada 100 toreb jakościowych. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że zakupiona torba będzie wysokiej jakości, wynosi 100: 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. W zawodach pchnięcia kulą bierze udział 4 zawodników z Finlandii, 7 zawodników z Danii, 9 zawodników ze Szwecji i 5 zawodników z Norwegii. Kolejność, w jakiej zawodnicy rywalizują, ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni zawodnik, który weźmie udział w rywalizacji, pochodzi ze Szwecji.. Rozwiązanie : Łącznie w zawodach bierze udział 4 + 7 + 9 + 5 = 25 sportowców. Zatem prawdopodobieństwo, że zawodnik, który startuje jako ostatni będzie ze Szwecji, wynosi 9:25 = 0,36

7. Konferencja naukowa odbędzie się za 5 dni. W sumie planowanych jest 75 raportów - pierwsze trzy dni po 17 raportów, reszta jest rozdzielona równo między czwartym a piątym dniem. O kolejności raportów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że raport prof. M. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji? Rozwiązanie: W ciągu pierwszych trzech dni zostanie odczytanych 51 raportów, na ostatnie dwa dni zaplanowano 24 raporty. Dlatego na ostatni dzień zaplanowano 12 raportów. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że referat prof. M. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji wynosi 12:75 = 0,16

8. Konkurs wykonawców trwa 5 dni. W sumie ogłoszono 80 występów – po jednym z każdego kraju. Pierwszego dnia odbywa się 8 spektakli, reszta jest rozdzielona równo pomiędzy pozostałe dni. O kolejności występów decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że występ reprezentanta Rosji odbędzie się trzeciego dnia zawodów? Rozwiązanie: Zaplanowany na trzeci dzieńprzemówienia. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że występ reprezentanta z Rosji zostanie zaplanowany na trzeci dzień zawodów wynosi 18: 80 = 0,225

9. Na seminarium przyjechało 3 naukowców z Norwegii, 3 z Rosji i 4 z Hiszpanii. O kolejności raportów decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że ósmy będzie raportem naukowca z Rosji. Rozwiązanie: W sumie w seminarium bierze udział 3 + 3 + 4 = 10 naukowców, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że ósmy naukowiec będzie z Rosji wynosi 3:10 = 0,3.

10. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy mistrzostw badmintona uczestnicy są losowo dzieleni na pary w drodze losowania. Łącznie w mistrzostwach bierze udział 26 badmintonistów, w tym 10 zawodników z Rosji, w tym Rusłan Orłow. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Rusłan Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji? Rozwiązanie: W pierwszej rundzie Rusłan Orłow może grać z 26 − 1 = 25 badmintonistami, z czego 10 − 1 = 9 z Rosji. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Rusłan Orłow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji wynosi 9:25 = 0,36

11. W kolekcji biletów na biologię znajduje się tylko 55 biletów, 11 z nich zawiera pytanie dotyczące botaniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma pytanie z botaniki w losowo wybranym bilecie egzaminacyjnym. Rozwiązanie: 11: 55 = 0,2

12. W mistrzostwach w nurkowaniu rywalizuje 25 zawodników, w tym 8 skoczków z Rosji i 9 skoczków z Paragwaju. O kolejności występów decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że szósty skoczek będzie z Paragwaju.

13. Dwie fabryki produkują to samo szkło do reflektorów samochodowych. Pierwsza fabryka produkuje 30% tych okularów, druga - 70%. Pierwsza fabryka produkuje 3% wadliwych okularów, a druga - 4%. Znajdź prawdopodobieństwo, że szklanka przypadkowo kupiona w sklepie będzie uszkodzona.

Rozwiązanie. Konwertuj %% na ułamki.

Wydarzenie A - „Zakupione okulary z pierwszej fabryki”. P(A)=0,3

Wydarzenie B - „Zakup okularów z drugiej fabryki”. P(B)=0,7

Zdarzenie X - „Okna są uszkodzone”.

P(A i X) = 0,3*0,03=0,009

P(B i X) = 0,7*0,04=0,028 Zgodnie ze wzorem całkowitego prawdopodobieństwa: P = 0,009+0,028 = 0.037

14. Jeśli arcymistrz A. gra białymi, wygrywa arcymistrza B. z prawdopodobieństwem 0,52. Jeśli A. gra czarnymi, to A. bije B. z prawdopodobieństwem 0,3. Arcymistrzowie A. i B. rozgrywają dwie partie, aw drugiej zmieniają kolor pionków. Znajdź prawdopodobieństwo, że A. wygra oba razy. Rozwiązanie: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Wasia, Pietia, Kola i Łyosza rzucają losy - kto powinien rozpocząć grę. Znajdź prawdopodobieństwo, że Petya rozpocznie grę.

Rozwiązanie: Losowy eksperyment - rzucanie losów.
W tym eksperymencie elementarnym wydarzeniem jest uczestnik, który wygrywa los.
Podajemy możliwe zdarzenia elementarne:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lesha).
Będzie ich 4, tj. N=4. Wiele wskazuje na to, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe.
Zdarzeniu A= (Petya wygrał los) sprzyja tylko jedno zdarzenie podstawowe (Petya). Dlatego N(A)=1.
Wtedy P(A)=0,25 Odpowiedź: 0,25.

16. W Mistrzostwach Świata bierze udział 16 drużyn. W drodze losowania muszą zostać podzieleni na cztery grupy po cztery zespoły każda. W pudełku pomieszane są karty o numerach grup: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Kapitanowie drużyn losują po jednej karcie na raz . Jakie jest prawdopodobieństwo, że rosyjska drużyna znajdzie się w drugiej grupie? Rozwiązanie: W sumie jest 16 wyników. z numerem 2 będzie 4. Czyli 4: 16=0,25

17. Na egzaminie z geometrii student otrzymuje jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z okręgiem wpisanym, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie równoległoboczne wynosi 0,15. Nie ma pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.

= (pytanie na temat „Wpisany okrąg”),
= (pytanie na temat „Równoległobok”).
Wydarzenia oraz są niezgodne, ponieważ pod warunkiem nie ma na liście pytań związanych z tymi dwoma tematami jednocześnie.
Wydarzenie= (pytanie na jeden z tych dwóch tematów) to ich związek:.
Stosujemy wzór na dodawanie prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń:
.

18. Dwa identyczne automaty sprzedają kawę w centrum handlowym. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie zabraknie kawy do końca dnia wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo, że w obu maszynach zabraknie kawy wynosi 0,12. Znajdź prawdopodobieństwo, że do końca dnia w obu automatach pozostanie kawa.

Zdefiniujmy wydarzenia
= (kawa skończy się w pierwszym ekspresie),
= (kawa kończy się w drugim ekspresie).
Zgodnie z zadaniem oraz .
Korzystając ze wzoru na dodawanie prawdopodobieństw, znajdujemy prawdopodobieństwo zdarzenia
oraz = (kawa skończy się w co najmniej jednym ekspresie):

.
Dlatego prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia (kawa pozostanie w obu ekspresach) jest równe
.

19. Biathlonista strzela do tarczy pięć razy. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że biathlonista trafi w cele pierwsze trzy razy i nie trafi w dwa ostatnie. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

W zadaniu tym zakłada się, że wynik każdego kolejnego strzału nie zależy od poprzednich. Dlatego zdarzenia „uderzyły w pierwszy strzał”, „uderzyły w drugi strzał” itp. niezależny.
Prawdopodobieństwo każdego trafienia wynosi. Więc prawdopodobieństwo każdego chybienia wynosi. Używamy wzoru na pomnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. Otrzymujemy, że sekwencja
= (trafienie, trafienie, trafienie, pudło, pudło) ma prawdopodobieństwo
=
= . Odpowiedź: .

20. W sklepie są dwa automaty płatnicze. Każdy z nich może być wadliwy z prawdopodobieństwem 0,05, niezależnie od drugiego automatu. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden automat jest sprawny.

Ten problem zakłada również niezależność działania automatów.
Znajdź prawdopodobieństwo przeciwnego zdarzenia
= (obie maszyny są uszkodzone).
W tym celu korzystamy ze wzoru na pomnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
.
Więc prawdopodobieństwo zdarzenia= (przynajmniej jeden automat działa) jest równe. Odpowiedź: .

21. Pomieszczenie oświetla latarnia z dwoma lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna lampa nie wypali się w ciągu roku. Rozwiązanie: Oba się wypalą (zdarzenia są niezależne i korzystamy ze wzoru na iloczyn prawdopodobieństw) z prawdopodobieństwem p1=0,3⋅0,3=0,09
Zdarzenie przeciwne(NIE oba się wypali = co najmniej JEDEN się nie wypali)
nastąpi z prawdopodobieństwem p=1-p1=1-0,09=0,91
ODPOWIEDŹ: 0,91

22. Prawdopodobieństwo, że nowy czajnik wytrzyma dłużej niż rok wynosi 0,97. Prawdopodobieństwo, że potrwa to dłużej niż dwa lata, wynosi 0,89. Znajdź prawdopodobieństwo, że trwa krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.

Rozwiązanie.

Niech A = „czajnik wytrzyma więcej niż rok, ale krócej niż dwa lata”, B = „czajnik wytrzyma więcej niż dwa lata”, a następnie A + B = „czajnik wytrzyma dłużej niż rok”.

Zdarzenia A i B są połączone, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu. Prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń, polegającego na tym, że czajnik ulegnie awarii za dokładnie dwa lata - dokładnie tego samego dnia, godziny i sekundy - jest równe zeru. Następnie:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

stąd korzystając z danych z warunku otrzymujemy 0,97 = P(A) + 0,89.

Zatem dla pożądanego prawdopodobieństwa mamy: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Firma rolnicza kupuje jajka od dwóch gospodarstw domowych. 40% jaj z pierwszej fermy to jaja najwyższej kategorii, a z drugiej - 20% jaj najwyższej kategorii. W sumie 35% jaj otrzymuje najwyższą kategorię. Znajdź prawdopodobieństwo, że jajko zakupione na tej farmie będzie pochodziło z pierwszej farmy. Rozwiązanie: Wpuść pierwsze gospodarstwo rolne, które kupuje firma rolnicza jajka, w tym jaja najwyższej kategorii, aw drugiej fermie - jajka, w tym jajka najwyższej kategorii. W sumie więc agroforma kupuje jajka, w tym jajka najwyższej kategorii. Według warunku 35% jaj ma najwyższą kategorię, a następnie:

Dlatego prawdopodobieństwo, że zakupione jajo będzie pochodziło z pierwszej fermy jest równe =0,75

24. Na klawiaturze telefonu jest 10 numerów, od 0 do 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo naciśnięty numer będzie parzysty?

25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna od 10 do 19 jest podzielna przez trzy?

26. Kowboj Jan uderza muchę na ścianie z prawdopodobieństwem 0,9, jeśli strzela z rewolweru strzałowego. Jeśli John wystrzeli z niewystrzelonego rewolweru, trafi w muchę z prawdopodobieństwem 0,2. Na stole leży 10 rewolwerów, z których tylko 4 są zestrzelone. Kowboj John widzi muchę na ścianie, przypadkowo chwyta pierwszy napotkany rewolwer i strzela do muchy. Znajdź prawdopodobieństwo chybienia Jana. Rozwiązanie: Jan trafi muchę, jeśli złapie rewolwer z celownikiem i uderzy z niego, lub jeśli złapie niewystrzelony rewolwer i uderzy z niego. Zgodnie z formułą prawdopodobieństwa warunkowego prawdopodobieństwa tych zdarzeń wynoszą odpowiednio 0,4 0,9 = 0,36 i 0,6 0,2 = 0,12. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,36 + 0,12 = 0,48. Wydarzenie, za którym tęskni John, jest odwrotne. Jego prawdopodobieństwo wynosi 1 − 0,48 = 0,52.

27. W grupie turystów jest 5 osób. Z pomocą losowania wybierają dwie osoby, które muszą udać się do wioski po jedzenie. Turysta A. chciałby iść do sklepu, ale poddaje się losowaniu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A trafi do sklepu? Rozwiązanie: W sumie jest pięciu turystów, dwóch z nich jest wybieranych losowo. Prawdopodobieństwo wybrania wynosi 2:5 = 0,4. Odpowiedź: 0,4.

28. Przed rozpoczęciem meczu piłki nożnej sędzia rzuca monetą, aby ustalić, która drużyna rozpocznie mecz piłki nożnej. Drużyna Fizyków rozgrywa trzy mecze z różnymi zespołami. Znajdź prawdopodobieństwo, że w tych grach „Fizyk” wygra los dokładnie dwa razy. Rozwiązanie: Oznaczmy przez "1" stronę monety, która odpowiada za wygranie losu przez "Fizyka", druga strona monety będzie oznaczona przez "0". Następnie są trzy korzystne kombinacje: 110, 101, 011, a w sumie są 2 kombinacje 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Zatem pożądane prawdopodobieństwo to:

29. Dwukrotnie rzuca się kostką. Ile elementarnych wyników doświadczenia sprzyja zdarzeniu „A = suma punktów równa się 5”? Rozwiązanie: Suma punktów może wynosić 5 w czterech przypadkach: „3+2”, „2+3”, „1+4”, „4+1”. Odpowiedź: 4.

30. W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik OR nadejdzie (głównie za pierwszym razem, ogon za drugim). Rozwiązanie: Istnieją cztery możliwe wyniki: orła-orzeł, orł-ogon, ogon-orzeł, ogon-ogon. Korzystny jest jeden: głowa-ogona. Dlatego pożądane prawdopodobieństwo wynosi 1: 4 = 0,25. Odpowiedź: 0,25.

31. Na festiwalu rockowym występują zespoły – po jednej z każdego z deklarowanych krajów. O kolejności wykonania decyduje losowanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zespół z Danii wystąpi po zespole ze Szwecji i po zespole z Norwegii? Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części. Rozwiązanie: Łączna liczba zespołów występujących na festiwalu nie ma znaczenia dla odpowiedzi na pytanie. Obojętnie ile ich jest, dla tych krajów istnieje 6 sposobów wzajemnego układania się między mówcami (D - Dania, W - Szwecja, N - Norwegia):

L...S...N..., ...D...N...Sz..., ...Sz...N...L..., ...Sz. ..L...N..., ...N...D...W..., ...N...S...L...

Dania dwukrotnie wyprzedza Szwecję i Norwegię. Dlatego prawdopodobieństwo losowego rozmieszczenia grup w ten sposób jest równe Odpowiedź: 0,33.

32. Podczas ostrzału artyleryjskiego automat oddaje strzał do tarczy. Jeśli cel nie zostanie zniszczony, system odpala ponownie. Strzały są powtarzane aż do zniszczenia celu. Prawdopodobieństwo zniszczenia określonego celu pierwszym strzałem wynosi 0,4, a każdym kolejnym strzałem 0,6. Ile strzałów będzie potrzebnych, aby zapewnić, że prawdopodobieństwo zniszczenia celu wynosi co najmniej 0,98? Rozwiązanie: Możesz rozwiązać problem „działaniami”, obliczając prawdopodobieństwo przetrwania po serii kolejnych nietrafień: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Ostatnie prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,02, więc wystarczy pięć strzałów w cel.

33. Aby przejść do następnej rundy rozgrywek, drużyna piłkarska musi zdobyć co najmniej 4 punkty w dwóch meczach. W przypadku wygranej drużyny otrzymuje 3 punkty, w przypadku remisu - 1 punkt, w przypadku przegranej - 0 punktów. Znajdź prawdopodobieństwo, że drużyna będzie mogła awansować do następnej rundy zawodów. Weź pod uwagę, że w każdej grze prawdopodobieństwo wygranej i przegranej jest takie samo i wynosi 0,4. Rozwiązanie : Drużyna może zdobyć co najmniej 4 punkty w dwóch meczach na trzy sposoby: 3+1, 1+3, 3+3. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Każde z tych wydarzeń jest wypadkową dwóch niezależnych wydarzeń – wyniku w pierwszej i drugiej grze. Stąd mamy:

34. W pewnym mieście na 5000 urodzonych dzieci 2512 to chłopcy. Znajdź częstotliwość urodzeń dziewcząt w tym mieście. Zaokrąglij wynik do tysięcznych. Rozwiązanie: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Na pokładzie samolotu znajduje się 12 miejsc siedzących przy wyjściach awaryjnych oraz 18 miejsc za przegrodami oddzielającymi kabiny. Pozostałe siedzenia są niewygodne dla wysokiego pasażera. Pasażer V. jest wysoki. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy odprawie, przy losowym wyborze miejsca, pasażer B. dostanie wygodne miejsce, jeśli w samolocie jest 300 miejsc. Rozwiązanie : W samolocie dogodnych dla pasażera V. jest 12 + 18 = 30 miejsc, aw samolocie jest 300 miejsc. Zatem prawdopodobieństwo, że pasażer B. zajmie wygodne miejsce wynosi 30: 300 = 0,1 Odpowiedź: 0,1.

36. Na olimpiadzie na uczelni uczestnicy siedzą w trzech salach. W pierwszych dwóch, po 120 osób każda, reszta trafia do sali rezerwowej w innym budynku. Licząc okazało się, że w sumie było 250 uczestników. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał Olimpiadę w wolnym pokoju. Rozwiązanie: W sumie na widownię rezerwową wysłano 250 − 120 − 120 = 10 osób. Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczestnik napisał Olimpiadę w wolnym pokoju wynosi 10:250 = 0,04. Odpowiedź: 0,04.

37. W klasie jest 26 osób, w tym dwóch bliźniaków - Andrey i Sergey. Klasa jest losowo podzielona na dwie grupy po 13 osób. Znajdź prawdopodobieństwo, że Andrey i Sergey będą w tej samej grupie. Rozwiązanie: Niech jeden z bliźniaków będzie w jakiejś grupie. Wraz z nim w grupie znajdzie się 12 osób z 25 pozostałych kolegów z klasy. Prawdopodobieństwo, że drugi bliźniak znajdzie się wśród tych 12 osób, wynosi 12:25 = 0,48.

38. W firmie taksówkarskiej jest 50 samochodów; 27 z nich jest czarnych z żółtymi napisami po bokach, pozostałe są żółte z czarnymi napisami. Znajdź prawdopodobieństwo, że żółty samochód z czarnymi napisami przyjedzie na przypadkowe wezwanie. Rozwiązanie: 23:50=0,46

39. W grupie turystów jest 30 osób. Zostają zrzuceni helikopterem w kilku krokach do odległego obszaru, 6 osób na lot. Kolejność, w jakiej helikopter transportuje turystów, jest losowa. Znajdź prawdopodobieństwo, że turysta P. wykona pierwszy lot helikopterem. Rozwiązanie: Na pierwszy lot jest 6 miejsc, w sumie 30. Wtedy prawdopodobieństwo, że turysta P. poleci na pierwszy lot helikopterem wynosi: 6:30 = 0,2

40. Prawdopodobieństwo naprawy nowego odtwarzacza DVD w ciągu roku wynosi 0,045. W pewnym mieście na 1000 odtwarzaczy DVD sprzedanych w ciągu roku do warsztatu gwarancyjnego trafiło 51 sztuk. Czym różni się częstotliwość zdarzenia „naprawa gwarancyjna” od jej prawdopodobieństwa w tym mieście? Rozwiązanie: Częstotliwość (względna częstotliwość) zdarzenia „naprawa gwarancyjna” wynosi 51: 1000 = 0,051. Różni się od przewidywanego prawdopodobieństwa o 0,006.

41. Przy produkcji łożysk o średnicy 67 mm prawdopodobieństwo, że średnica będzie się różnić od podanej o nie więcej niż 0,01 mm, wynosi 0,965. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowe łożysko będzie miało średnicę mniejszą niż 66,99 mm lub większą niż 67,01 mm. Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami średnica łożyska będzie mieściła się w zakresie od 66,99 do 67,01 mm z prawdopodobieństwem 0,965. Dlatego pożądane prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia wynosi 1 − 0,965 = 0,035.

42. Prawdopodobieństwo, że uczeń O. poprawnie rozwiąże więcej niż 11 zadań na teście z biologii wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że O. poprawnie rozwiąże więcej niż 10 zadań, wynosi 0,74. Znajdź prawdopodobieństwo, że O. poprawnie rozwiąże dokładnie 11 zadań. Rozwiązanie: Rozważ zdarzenia A = „uczeń rozwiąże 11 zadań” i B = „uczeń rozwiąże więcej niż 11 zadań”. Ich sumą jest zdarzenie A + B = „uczeń rozwiąże więcej niż 10 zadań”. Zdarzenia A i B są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A + B) = P(A) + P(B). Następnie korzystając z danych problemu otrzymujemy: 0,74 = P(A) + 0,67, skąd P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07 Odpowiedź: 0,07.

43. Aby dostać się do Instytutu na specjalność „Lingwistyka”, kandydat musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby wejść na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych. Prawdopodobieństwo, że kandydat Z. uzyska co najmniej 70 punktów z matematyki wynosi 0,6, z języka rosyjskiego 0,8, z języka obcego 0,7, a z nauk społecznych 0,5. dwie wymienione specjalności. Rozwiązanie: Aby chociaż gdzieś się dostać, Z. musi zaliczyć zarówno język rosyjski, jak i matematykę na co najmniej 70 punktów, a do tego zaliczyć język obcy lub nauki społeczne na co najmniej 70 punktów. Pozwalać A , B , C i D - są to wydarzenia, w których Z. zalicza odpowiednio matematykę, rusycystykę, obcy i nauki społeczne z co najmniej 70 punktami. Potem od

Dla prawdopodobieństwa przybycia mamy:

44. W fabryce naczyń ceramicznych 10% produkowanych talerzy ma wadę. Podczas kontroli jakości produktu wykrywane jest 80% wadliwych płyt. Pozostałe płyty są na sprzedaż. Znajdź prawdopodobieństwo, że płyta wybrana losowo w momencie zakupu nie ma wad. Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej setnej części. Rozwiązanie : Niech fabryka wyprodukujetalerze. Do sprzedaży trafią wszystkie wysokiej jakości talerze oraz 20% niewykrytych wadliwych talerzy:talerze. Ponieważ te wysokiej jakości, prawdopodobieństwo zakupu tabliczki jakości wynosi 0,9p:0,92p=0,978 Odpowiedź: 0,978.

45. W sklepie jest trzech sprzedawców. Każdy z nich jest zajęty klientem z prawdopodobieństwem 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w losowym momencie wszyscy trzej sprzedawcy są zajęci w tym samym czasie (załóżmy, że klienci wchodzą niezależnie od siebie). Rozwiązanie : Prawdopodobieństwo wytworzenia niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Dlatego prawdopodobieństwo, że wszyscy trzej sprzedawcy są zajęci, wynosi

46. ​​​​Na podstawie opinii klientów Iwan Iwanowicz ocenił wiarygodność dwóch sklepów internetowych. Prawdopodobieństwo, że pożądany produkt zostanie dostarczony ze sklepu A wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że ten produkt zostanie dostarczony ze sklepu B wynosi 0,9. Iwan Iwanowicz zamówił towar od razu w obu sklepach. Zakładając, że sklepy internetowe działają niezależnie od siebie, ustal prawdopodobieństwo, że żaden ze sklepów nie dostarczy towaru. Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że pierwszy sklep nie dostarczy towaru wynosi 1 − 0,9 = 0,1. Prawdopodobieństwo, że drugi sklep nie dostarczy towaru wynosi 1 − 0,8 = 0,2. Ponieważ zdarzenia te są niezależne, prawdopodobieństwo ich produktu (oba sklepy nie dostarczą towaru) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,1 0,2 = 0,02

47. Codziennie z centrum dzielnicy do wsi kursuje autobus. Prawdopodobieństwo, że w poniedziałek w autobusie będzie mniej niż 20 pasażerów wynosi 0,94. Prawdopodobieństwo, że będzie mniej niż 15 pasażerów, wynosi 0,56. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba pasażerów będzie wynosić od 15 do 19. Rozwiązanie: Rozważ zdarzenia A = „w autobusie jest mniej niż 15 pasażerów” i B = „w autobusie jest od 15 do 19 pasażerów”. Ich suma to zdarzenie A + B = "mniej niż 20 pasażerów w autobusie". Zdarzenia A i B są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A + B) = P(A) + P(B). Następnie korzystając z danych problemu otrzymujemy: 0,94 = 0,56 + P(B), skąd P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Odpowiedź: 0,38.

48. Przed rozpoczęciem meczu siatkówki kapitanowie drużyn losują sporo, aby ustalić, która drużyna rozpocznie mecz piłki nożnej. Zespół Statora na zmianę gra z zespołami Rotor, Motor i Starter. Znajdź prawdopodobieństwo, że Stator rozpocznie tylko pierwszą i ostatnią grę. Rozwiązanie. Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństwa iloczynu trzech zdarzeń: „Stator” rozpoczyna pierwszą grę, nie rozpoczyna drugiej gry, rozpoczyna trzecią grę. Prawdopodobieństwo powstania niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Prawdopodobieństwo każdego z nich jest równe 0,5, stąd znajdujemy: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Odpowiedź: 0,125.

49. W Krainie Bajek są dwa rodzaje pogody: dobra i doskonała, a pogoda, która ustaliła się rano, pozostaje niezmienna przez cały dzień. Wiadomo, że z prawdopodobieństwem 0,8 jutro pogoda będzie taka sama jak dzisiaj. Dziś jest 3 lipca, pogoda w Krainie Bajek jest ładna. Sprawdź prawdopodobieństwo, że 6 lipca w Magicland będzie wspaniała pogoda. Rozwiązanie. W przypadku pogody 4, 5 i 6 lipca są 4 opcje: XXO, XOO, OXO, LLC (tutaj X to dobra pogoda, O to doskonała pogoda). Znajdźmy prawdopodobieństwa takiej pogody: P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Zdarzenia te są niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(XXO) + P(XXO) + P(XXO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Wszyscy pacjenci z podejrzeniem zapalenia wątroby otrzymują badanie krwi. Jeśli analiza wykaże zapalenie wątroby, wówczas wywoływany jest wynik analizy pozytywny . U pacjentów z zapaleniem wątroby analiza daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,9. Jeśli pacjent nie ma zapalenia wątroby, test może dać fałszywie dodatni wynik z prawdopodobieństwem 0,01. Wiadomo, że 5% pacjentów przyjętych z podejrzeniem zapalenia wątroby faktycznie ma zapalenie wątroby. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik badania pacjenta przyjętego do kliniki z podejrzeniem zapalenia wątroby będzie pozytywny. Rozwiązanie . Analiza pacjenta może być pozytywna z dwóch powodów: A) pacjent ma zapalenie wątroby, jego analiza jest prawidłowa; B) pacjent nie ma zapalenia wątroby, jego analiza jest fałszywa. Są to zdarzenia niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Mamy: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. W kieszeni Miszy były cztery słodycze - Grillage, Wiewiórka, Krowa i Jaskółka oraz klucze do mieszkania. Wyjmując klucze, Misha przypadkowo wypuścił jeden cukierek z kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo zgubienia cukierka Grillage.

52. Mechaniczny zegarek z dwunastogodzinną tarczą w pewnym momencie zepsuł się i przestał działać. Znajdź prawdopodobieństwo, że wskazówka godzinowa zostanie zamrożona, gdy osiągnie 10, ale nie osiągnie 1 godziny. Rozwiązanie: 3: 12=0,25

53. Prawdopodobieństwo uszkodzenia akumulatora wynosi 0,06. Klient w sklepie wybiera losowo opakowanie zawierające dwie takie baterie. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie baterie są dobre. Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że bateria jest dobra wynosi 0,94. Prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń (obie baterie będą dobre) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń: 0,94 0,94 \u003d 0,8836 Odpowiedź: 0,8836.

54. Linia automatyczna wytwarza baterie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia gotowej baterii wynosi 0,02. Każdy akumulator przed zapakowaniem przechodzi przez system kontroli. Prawdopodobieństwo, że system odrzuci złą baterię wynosi 0,99. Prawdopodobieństwo, że system omyłkowo odrzuci dobry akumulator wynosi 0,01. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana wyprodukowana bateria zostanie odrzucona przez system sterowania. Rozwiązanie. Sytuacja, w której bateria zostanie odrzucona może być wynikiem następujących zdarzeń: A = bateria jest naprawdę zła i została odrzucona sprawiedliwie, lub B = bateria jest dobra, ale odrzucona przez pomyłkę. Są to zdarzenia niezgodne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Mamy:

55. Rysunek przedstawia labirynt. Pająk czołga się do labiryntu w punkcie „Wejście”. Pająk nie może się odwrócić i czołgać z powrotem, dlatego na każdym rozwidleniu pająk wybiera jedną ze ścieżek, którymi jeszcze nie pełzał. Zakładając, że wybór dalszej ścieżki jest czysto losowy, ustal z jakim prawdopodobieństwem pająk dotrze do wyjścia.

Rozwiązanie.

Na każdym z czterech oznaczonych rozwidlenia pająk może wybrać ścieżkę prowadzącą do wyjścia D lub inną ścieżkę z prawdopodobieństwem 0,5. Są to zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo ich iloczynu (pająk osiąga wyjście D) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Dlatego prawdopodobieństwo dojścia do wyjścia D wynosi (0,5) 4 = 0,0625.

Przedstawione do tej pory w otwartym banku zadań USE w matematyce (mathege.ru), których rozwiązanie opiera się tylko na jednej formule, która jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.

Formułę najłatwiej zrozumieć za pomocą przykładów.
Przykład 1 W koszu znajduje się 9 czerwonych kulek i 3 niebieskie. Kulki różnią się tylko kolorem. Na chybił trafił (bez patrzenia) otrzymujemy jeden z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana w ten sposób piłka będzie niebieska?

Komentarz. W problemach z teorii prawdopodobieństwa dzieje się coś (w tym przypadku nasza akcja pociągania piłki), co może mieć inny skutek - wynik. Należy zauważyć, że wynik można oglądać na różne sposoby. Efektem jest także „wyciągnęliśmy piłkę”. Rezultatem jest „Wyciągnęliśmy niebieską piłkę”. „Wylosowaliśmy tę konkretną piłkę ze wszystkich możliwych piłek” – ten najmniej uogólniony pogląd na wynik nazywa się wynikiem elementarnym. We wzorze na obliczenie prawdopodobieństwa brane są pod uwagę wyniki elementarne.

Rozwiązanie. Teraz obliczamy prawdopodobieństwo wyboru niebieskiej kuli.
Wydarzenie A: „wybrana piłka okazała się niebieska”
Całkowita liczba wszystkich możliwych wyników: 9+3=12 (liczba wszystkich kul, które mogliśmy wylosować)
Liczba wyników korzystnych dla zdarzenia A: 3 (liczba takich wyników, w których wystąpiło zdarzenie A – czyli liczba niebieskich kulek)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Obliczmy dla tego samego problemu prawdopodobieństwo wyboru czerwonej piłki.
Całkowita liczba możliwych wyników pozostanie taka sama, 12. Liczba korzystnych wyników: 9. Pożądane prawdopodobieństwo: 9/12=3/4=0,75

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia zawsze mieści się w zakresie od 0 do 1.
Czasami w mowie potocznej (ale nie w teorii prawdopodobieństwa!) Prawdopodobieństwo zdarzeń szacuje się w procentach. Przejście od oceny matematycznej do konwersacyjnej odbywa się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) przez 100%.
Więc,
W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzeń, które nie mogą mieć miejsca, wynosi zero - nieprawdopodobne. Na przykład w naszym przykładzie byłoby to prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej piłki z kosza. (Liczba pozytywnych wyników wynosi 0, P(A)=0/12=0 jeśli liczone według wzoru)
Prawdopodobieństwo 1 ma zdarzenia, które na pewno się wydarzą, bez opcji. Na przykład prawdopodobieństwo, że „wybrana piłka będzie czerwona lub niebieska” jest dla naszego problemu. (Liczba pozytywnych wyników: 12, P(A)=12/12=1)

Przyjrzeliśmy się klasycznemu przykładowi, który ilustruje definicję prawdopodobieństwa. Wszystkie podobne problemy USE w teorii prawdopodobieństwa są rozwiązywane za pomocą tego wzoru.
Zamiast czerwonych i niebieskich kulek mogą być jabłka i gruszki, chłopcy i dziewczęta, bilety wyuczone i nienauczone, bilety zawierające i niezawierające pytania na określony temat (prototypy), wadliwe i wysokiej jakości torby lub pompy ogrodowe (prototypy). , ) - zasada pozostaje taka sama.

Różnią się nieco w sformułowaniu problemu teorii prawdopodobieństwa USE, w której należy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia określonego dnia. ( , ) Podobnie jak w poprzednich zadaniach, musisz określić, co jest wynikiem elementarnym, a następnie zastosować tę samą formułę.

Przykład 2 Konferencja trwa trzy dni. Pierwszego i drugiego dnia po 15 mówców, trzeciego dnia - 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprawozdanie prof. M. padnie trzeciego dnia, jeśli kolejność sprawozdań jest ustalana w drodze losowania?

Jaki jest tutaj podstawowy wynik? - Przypisanie raportu profesora do jednego ze wszystkich możliwych numerów seryjnych wystąpienia. W losowaniu bierze udział 15+15+20=50 osób. Tym samym raport prof. M. może otrzymać jeden z 50 numerów. Oznacza to, że istnieje tylko 50 podstawowych wyników.
Jakie są korzystne wyniki? - Te, w których okazuje się, że profesor będzie przemawiał trzeciego dnia. To znaczy ostatnich 20 numerów.
Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwo P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpowiedź: 0,4

Tutaj losowanie to ustalenie przypadkowej korespondencji między ludźmi a zamówionymi miejscami. W przykładzie 2 dopasowanie rozważano pod kątem tego, które z miejsc może zająć dana osoba. Do tej samej sytuacji można podejść z drugiej strony: która z osób z jakim prawdopodobieństwem mogłaby dostać się w dane miejsce (prototypy , , , ):

Przykład 3 W losowaniu bierze udział 5 Niemców, 8 Francuzów i 3 Estończyków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy (/drugi/siódmy/ostatni - to nie ma znaczenia) będzie Francuzem.

Liczba wyników elementarnych to liczba wszystkich możliwych osób, które mogły dostać się w dane miejsce drogą losowania. 5+8+3=16 osób.
Korzystne wyniki - Francuzi. 8 osób.
Pożądane prawdopodobieństwo: 8/16=1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5

Prototyp jest nieco inny. Są zadania dotyczące monet () i kości (), które są nieco bardziej kreatywne. Rozwiązania tych problemów można znaleźć na stronach prototypów.

Oto kilka przykładów rzucania monetą lub kostką.

Przykład 4 Kiedy rzucamy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy reszki?
Wyniki 2 - orły lub ogony. (uważa się, że moneta nigdy nie spada na krawędź) Korzystny wynik - ogony, 1.
Prawdopodobieństwo 1/2=0,5
Odpowiedź: 0,5.

Przykład 5 Co jeśli rzucimy monetą dwa razy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu przypadkach wypadnie na głowę?
Najważniejsze jest ustalenie, jakie podstawowe wyniki weźmiemy pod uwagę, rzucając dwiema monetami. Po rzuceniu dwóch monet może wystąpić jeden z następujących wyników:
1) PP - za każdym razem wyszło
2) PO - pierwszy raz reszka, drugi raz orła
3) OP - pierwszy raz orła, drugi raz reszka
4) OO - heads up za każdym razem
Nie ma innych opcji. Oznacza to, że są 4 podstawowe wyniki, z których tylko pierwszy jest korzystny, 1.
Prawdopodobieństwo: 1/4=0,25
Odpowiedź: 0,25

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa rzuty monetą wylądują na reszek?
Liczba wyników elementarnych jest taka sama, 4. Korzystne wyniki to drugi i trzeci, 2.
Prawdopodobieństwo zdobycia jednego ogona: 2/4=0,5

W takich problemach może się przydać inna formuła.
Jeśli przy jednym rzucie monetą mamy 2 możliwe wyniki, to dla dwóch rzutów wyników będzie 2 2=2 2 =4 (jak w przykładzie 5), dla trzech rzutów 2 2 2=2 3 =8, dla czterech : 2·2·2·2=2 4 =16, … dla N rzutów możliwych wyników będzie 2·2·...·2=2 N .

Możesz więc obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5 reszek z 5 rzutów monetą.
Całkowita liczba wyników elementarnych: 2 5 =32.
Korzystne wyniki: 1. (RRRRRR - wszystkie 5 razy ogony)
Prawdopodobieństwo: 1/32=0,03125

To samo dotyczy kości. Przy jednym rzucie jest 6 możliwych wyników, więc dla dwóch rzutów: 6 6=36, dla trzech 6 6 6=216 itd.

Przykład 6 Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej?

Łączne wyniki: 6, w zależności od liczby twarzy.
Korzystne: 3 wyniki. (2, 4, 6)
Prawdopodobieństwo: 3/6=0,5

Przykład 7 Rzuć dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuci 10? (w zaokrągleniu do setnych)

Istnieje 6 możliwych wyników dla jednej kości. Stąd dla dwojga, zgodnie z powyższą regułą, 6,6=36.
Jakie wyniki będą korzystne, aby w sumie wypadło 10?
10 należy rozłożyć na sumę dwóch liczb od 1 do 6. Można to zrobić na dwa sposoby: 10=6+4 i 10=5+5. Tak więc w przypadku kostek możliwe są opcje:
(6 na pierwszym i 4 na drugim)
(4 na pierwszym i 6 na drugim)
(5 na pierwszym i 5 na drugim)
W sumie 3 opcje. Pożądane prawdopodobieństwo: 3/36=1/12=0,08
Odpowiedź: 0,08

Inne rodzaje problemów B6 zostaną omówione w jednym z poniższych artykułów „Jak rozwiązać”.

Zaplanuj warsztaty dla nauczycieli matematyki instytucji edukacyjnej miasta Tuła na temat „Rozwiązywanie zadań USE w matematyce z działów: kombinatoryka, teoria prawdopodobieństwa. Metody nauczania"

Spędzanie czasu: 12 00 ; 15 00

Lokalizacja: MBOU "Liceum nr 1", pok. nr 8

I. Rozwiązywanie problemów dla prawdopodobieństwa

1. Rozwiązywanie problemów z klasyczną definicją prawdopodobieństwa

Jako nauczyciele wiemy już, że główne rodzaje zadań w USE w teorii prawdopodobieństwa oparte są na klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przypomnij sobie, co nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia?

Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby wyników faworyzujących dane zdarzenie do łącznej liczby wyników.

W naszym naukowo-metodologicznym stowarzyszeniu nauczycieli matematyki opracowano ogólny schemat rozwiązywania problemów dotyczących prawdopodobieństwa. Chciałbym wam na to zwrócić uwagę. Przy okazji podzieliliśmy się naszym doświadczeniem zawodowym, a w materiałach, które zwróciliśmy uwagę na wspólną dyskusję na temat rozwiązywania problemów, podaliśmy ten schemat. Jednak chcę to wyrazić.

Naszym zdaniem ten schemat pomaga w szybkim logicznym odłożeniu wszystkiego na półki, a potem zadanie może być znacznie łatwiejsze zarówno dla nauczyciela, jak i uczniów.

Tak więc chcę szczegółowo przeanalizować problem poniższej treści.

Chciałem z Wami porozmawiać, aby wyjaśnić chłopakom metodologię przekazywania takiego rozwiązania, podczas której chłopaki zrozumieliby to typowe zadanie, a później sami zrozumieliby te zadania.

Czym jest eksperyment losowy w tym zadaniu? Teraz musimy wyizolować elementarne zdarzenie w tym eksperymencie. Czym jest to podstawowe wydarzenie? Wymieńmy je.

Masz pytania?

Drodzy koledzy, wy też oczywiście rozważaliście problemy z prawdopodobieństwem gry w kości. Myślę, że musimy to zdemontować, ponieważ są pewne niuanse. Przeanalizujmy ten problem według schematu, który ci zaproponowaliśmy. Ponieważ na każdej ścianie sześcianu jest liczba od 1 do 6, zdarzenia elementarne to liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6. Stwierdziliśmy, że całkowita liczba zdarzeń elementarnych wynosi 6. Określmy, które wydarzenia elementarne sprzyjają wydarzeniu. Tylko dwa zdarzenia sprzyjają temu zdarzeniu - 5 i 6 (bo wynika z warunku, że wypadnie 5 i 6 punktów).

Wyjaśnij, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe. Jakie będą pytania dotyczące zadania?

Jak rozumiesz, że moneta jest symetryczna? Powiedzmy sobie wprost, czasem pewne zwroty powodują nieporozumienia. Zrozummy ten problem koncepcyjnie. Zajmijmy się tobą w tym eksperymencie, który jest opisany, jakie mogą być podstawowe wyniki. Czy możesz sobie wyobrazić, gdzie jest głowa, gdzie jest ogon? Jakie są opcje opadowe? Czy są inne wydarzenia? Jaka jest łączna liczba wydarzeń? Zgodnie z problemem wiadomo, że głowy wypadły dokładnie raz. Więc to wydarzenieelementarne zdarzenia z tych czterech faworytów OR i RO, to nie może się już zdarzyć dwa razy. Używamy wzoru, za pomocą którego znajduje się prawdopodobieństwo zdarzenia. Przypomnij sobie, że odpowiedzi w części B muszą być liczbą całkowitą lub dziesiętną.

Pokaż na tablicy interaktywnej. Czytamy zadanie. Jaki jest podstawowy wynik tego doświadczenia? Wyjaśnij, że para jest uporządkowana - to znaczy, że liczba spadła na pierwszej kości, a na drugiej. W każdym zadaniu są chwile, kiedy trzeba wybrać racjonalne metody, formy i przedstawić rozwiązanie w postaci tabel, diagramów itp. W tym problemie wygodnie jest użyć takiego stołu. Daję gotowe rozwiązanie, ale w trakcie rozwiązania okazuje się, że w tym problemie racjonalnie jest skorzystać z rozwiązania w postaci tabeli. Wyjaśnij, co oznacza tabela. Rozumiesz, dlaczego kolumny mówią 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Narysujmy kwadrat. Linie odpowiadają wynikom pierwszego rzutu - jest ich sześć, ponieważ kostka ma sześć ścian. Podobnie jak kolumny. W każdej komórce zapisujemy sumę odrzuconych punktów. Pokaż wypełnioną tabelę. Pokolorujmy komórki, w których suma jest równa ośmiu (tak jak jest to wymagane w warunku).

Uważam, że kolejny problem, po przeanalizowaniu poprzednich, można dać chłopakom do samodzielnego rozwiązania.

W poniższych problemach nie ma potrzeby zapisywania wszystkich elementarnych wyników. Wystarczy policzyć ich liczbę.

(Bez rozwiązania) Dałem chłopakom do samodzielnego rozwiązania tego problemu. Algorytm rozwiązywania problemu

1. Określ, czym jest eksperyment losowy, a co zdarzenie losowe.

2. Znajdź całkowitą liczbę zdarzeń elementarnych.

3. Znajdujemy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu określonym w stanie problemu.

4. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystając ze wzoru.

Uczniom można zadać pytanie, jeśli do sprzedaży trafiło 1000 baterii, a wśród nich 6 jest niesprawnych, to wybrana bateria jest określana jako? Co to jest w naszym zadaniu? Następnie zadaję pytanie o znalezienie tego, co jest tutaj używane jako liczbai proponuję go znaleźćnumer. Wtedy pytam, co to za wydarzenie? Ile akumulatorów sprzyja dokończeniu imprezy? Następnie, korzystając ze wzoru, obliczamy to prawdopodobieństwo.

Tutaj można zaproponować dzieciom drugie rozwiązanie. Porozmawiajmy, jaka może być ta metoda?

1. Jakie wydarzenie można teraz wziąć pod uwagę?

2. Jak znaleźć prawdopodobieństwo danego zdarzenia?

Dzieci muszą być poinformowane o tych formułach. Są następni

Zadanie ósme można zaproponować dzieciom samodzielnie, ponieważ jest ono podobne do zadania szóstego. Może być im oferowana jako samodzielna praca lub na karcie przy tablicy.

Ten problem można rozwiązać w związku z trwającą właśnie olimpiadą. Pomimo tego, że w zadaniach uczestniczą różne wydarzenia, zadania są typowe.

2. Najprostsze zasady i wzory obliczania prawdopodobieństw (zdarzenia przeciwne, suma zdarzeń, iloczyn zdarzeń)

To zadanie z kolekcji egzaminu. Umieszczamy rozwiązanie na tablicy. Jakie pytania powinniśmy postawić uczniom, aby przeanalizować ten problem.

1. Ile było karabinów maszynowych? Raz dwa automaty, to są już dwa zdarzenia. Pytam dzieci, jakie będzie wydarzenie? Jakie będzie drugie wydarzenie?

2. to prawdopodobieństwo zdarzenia. Nie musimy go obliczać, ponieważ jest podany w warunku. W zależności od stanu problemu, prawdopodobieństwo, że „kawy zabraknie w obu ekspresach” wynosi 0,12. Było wydarzenie A, było wydarzenie B. I pojawia się nowe wydarzenie? Zadaję dzieciom pytanie - co? To wydarzenie, kiedy w obu automatach zabraknie kawy. W tym przypadku w teorii prawdopodobieństwa jest to nowe zdarzenie, które nazywa się przecięciem dwóch zdarzeń A i B i jest w ten sposób oznaczone.

Użyjmy wzoru dodawania prawdopodobieństwa. Wzór jest następujący

Dajemy Ci to w materiale referencyjnym, a chłopaki mogą podać tę formułę. Pozwala znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Zapytano nas o prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, którego prawdopodobieństwo określa wzór.

Zadanie 13 posługuje się pojęciem iloczynu zdarzeń, którego wzór na znalezienie prawdopodobieństwa podany jest w Dodatku.

3. Zadania do zastosowania drzewa możliwych opcji

W zależności od stanu problemu łatwo jest sporządzić diagram i znaleźć wskazane prawdopodobieństwa.

Przy pomocy jakiego materiału teoretycznego analizowałeś rozwiązywanie tego typu problemów ze studentami? Czy korzystałeś z drzewa możliwości, czy też stosowałeś inne metody rozwiązywania takich problemów? Czy podałeś pojęcie wykresów? W piątej lub szóstej klasie chłopaki mają takie problemy, których analiza daje pojęcie wykresów.

Chciałbym Cię zapytać, czy Ty i Twoi uczniowie rozważaliście wykorzystanie drzewa możliwości przy rozwiązywaniu problemów prawdopodobieństwa? Faktem jest, że nie tylko USE ma takie zadania, ale pojawiły się raczej złożone zadania, które teraz rozwiążemy.

Porozmawiajmy z wami o metodologii rozwiązywania takich problemów - jeśli pokrywa się z moją metodologią, jak wyjaśniam chłopakom, to będzie mi łatwiej z wami pracować, jeśli nie, to pomogę wam uporać się z tym problemem.

Omówmy wydarzenia. Jakie zdarzenia w problemie 17 można zidentyfikować?

Podczas konstruowania drzewa na płaszczyźnie wyznaczany jest punkt, który nazywa się korzeniem drzewa. Następnie zaczynamy rozważać wydarzeniaoraz. Skonstruujemy odcinek (w teorii prawdopodobieństwa nazywamy go gałęzią). Zgodnie z warunkiem mówi, że pierwsza fabryka produkuje 30% telefonów komórkowych tej marki (co? Ten, który produkują), więc w tej chwili pytam studentów, jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza fabryka będzie produkowała telefony tej marki marki, tych, które produkują? Ponieważ zdarzeniem jest wydanie telefonu w pierwszej fabryce, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 30% lub 0,3. Pozostałe telefony produkowane są w drugiej fabryce - budujemy drugi segment, a prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,7.

Uczniom zadaje się pytanie - jaki typ telefonu może wyprodukować pierwsza fabryka? Z wadą lub bez. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę ma wadę? Zgodnie z warunkiem mówi się, że jest równe 0,01. Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę nie będzie miał wady? Ponieważ to zdarzenie jest przeciwne do danego, jego prawdopodobieństwo jest równe.

Wymagane jest ustalenie prawdopodobieństwa, że ​​telefon jest uszkodzony. Może pochodzić z pierwszej fabryki lub z drugiej. Następnie korzystamy ze wzoru na dodawanie prawdopodobieństw i otrzymujemy, że całe prawdopodobieństwo jest sumą prawdopodobieństw, że telefon jest wadliwy z pierwszej fabryki, a telefon z drugiej fabryki. Prawdopodobieństwo, że telefon ma wadę i został wyprodukowany w pierwszej fabryce, określa wzór na iloczyn prawdopodobieństw podany w załączniku.

4. Jedno z najtrudniejszych zadań banku USE dla prawdopodobieństwa

Przeanalizujmy na przykład nr 320199 z Banku Zadań FIPI. To jedno z najtrudniejszych zadań w B6.

Aby dostać się do instytutu na specjalność „Lingwistyka”, kandydat Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby wejść na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych.

Prawdopodobieństwo, że kandydat Z. uzyska co najmniej 70 punktów z matematyki wynosi 0,6, z języka rosyjskiego 0,8, z języka obcego 0,7, a z nauk społecznych 0,5.

Znajdź prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wejść na co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności.

Zauważ, że problem nie dotyczy tego, czy kandydat o nazwisku Z. będzie studiował jednocześnie językoznawstwo i handel i otrzyma dwa dyplomy. Tutaj musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wpisać przynajmniej jedną z tych dwóch specjalności - czyli zdobędzie wymaganą liczbę punktów.

Aby zapisać się na co najmniej jedną z dwóch specjalności, Z. musi zdobyć co najmniej 70 punktów z matematyki. I po rosyjsku. A jednak - nauki społeczne lub zagraniczne.

Prawdopodobieństwo zdobycia dla niego 70 punktów z matematyki wynosi 0,6.

Prawdopodobieństwo zdobycia punktów w matematyce i rosyjskim jest równe.

Zajmijmy się studiami zagranicznymi i społecznymi. Opcje są dla nas odpowiednie, gdy kandydat zdobył punkty z nauk społecznych, w języku obcym lub w obu. Opcja nie jest odpowiednia, gdy nie zdobywał punktów ani za język, ani za „społeczeństwo”. Oznacza to, że prawdopodobieństwo zaliczenia studiów społecznych lub zagranicznych jest równe co najmniej 70 punktom. W efekcie prawdopodobieństwo zaliczenia matematyki, rusycystyki, nauk społecznych lub obcego jest równe

To jest odpowiedź.

II . Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych

1. Liczba kombinacji i silni

Przeanalizujmy pokrótce materiał teoretyczny.

Wyrażenien ! jest odczytywany jako „en-silnik” i oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 don włącznie:n ! = 1 2 3 ...n .

Ponadto w matematyce z definicji uważa się, że 0! = 1. Takie wyrażenie jest rzadkie, ale nadal występuje w problemach teorii prawdopodobieństwa.

Definicja

Niech będą przedmioty (ołówki, słodycze, cokolwiek), z których trzeba wybrać dokładnie różne przedmioty. Wtedy liczba opcji takiego wyboru nazywa sięliczba kombinacji z żywiołów. Liczba ta jest wskazywana i obliczana zgodnie ze specjalną formułą.

Przeznaczenie

Co daje nam ta formuła? W rzeczywistości bez tego nie da się rozwiązać prawie żadnego poważnego zadania.

Dla lepszego zrozumienia przeanalizujmy kilka prostych problemów kombinatorycznych:

Zadanie

Barman posiada 6 odmian zielonej herbaty. Do ceremonii parzenia herbaty potrzebne są dokładnie 3 różne odmiany zielonej herbaty. Na ile sposobów barman może zrealizować zamówienie?

Rozwiązanie

Tutaj wszystko jest proste: jestn = 6 odmian do wyboruk = 3 odmiany. Liczbę kombinacji można znaleźć według wzoru:

Odpowiedź

Zastąp w formule. Nie możemy rozwiązać wszystkich zadań, ale napisaliśmy typowe zadania, przedstawiamy je Twojej uwadze.

Zadanie

W grupie 20 studentów należy wybrać 2 przedstawicieli, którzy wystąpią na konferencji. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie

Znowu wszystko, co mamyn = 20 uczniów, ale trzeba wybieraćk = 2 uczniów. Znalezienie liczby kombinacji:

Należy pamiętać, że czynniki zawarte w różnych silniach są zaznaczone na czerwono. Te mnożniki można bezboleśnie zmniejszyć, a tym samym znacznie zmniejszyć łączną liczbę obliczeń.

Odpowiedź

190

Zadanie

Do magazynu sprowadzono 17 serwerów z różnymi wadami, które kosztują 2 razy taniej niż zwykłe serwery. Dyrektor kupił dla szkoły 14 takich serwerów, a zaoszczędzone pieniądze w wysokości 200 tys. rubli wydał na zakup innego sprzętu. Na ile sposobów reżyser może wybrać uszkodzone serwery?

Rozwiązanie

W zadaniu jest sporo dodatkowych danych, co może być mylące. Najważniejsze fakty: wszystko jestn = 17 serwerów, a reżyser potrzebujek = 14 serwerów. Liczymy ilość kombinacji:

Kolor czerwony ponownie wskazuje mnożniki, które są redukowane. W sumie wyszło 680 kombinacji. Generalnie reżyser ma w czym wybierać.

Odpowiedź

680

To zadanie jest kapryśne, ponieważ w tym zadaniu są dodatkowe dane. Sprowadzają wielu uczniów na manowce. Łącznie było 17 serwerów, a reżyser musiał wybrać 14. Podstawiając do formuły, otrzymujemy 680 kombinacji.

2. Prawo mnożenia

Definicja

prawo mnożenia w kombinatoryce: mnoży się liczbę kombinacji (sposobów, kombinacji) w niezależnych zestawach.

Innymi słowy, niech będzieA sposoby wykonania jednej akcji ib sposoby wykonania innej akcji. Ścieżka również te działania są niezależne, tj. nie są w żaden sposób powiązane. Następnie możesz znaleźć liczbę sposobów wykonania pierwszej i drugiej akcji według formuły:C = A · b .

Zadanie

Petya ma 4 monety po 1 rublu i 2 monety po 10 rubli. Petya, nie patrząc, wyjął z kieszeni 1 monetę o nominale 1 rubla i kolejną 1 monetę o nominale 10 rubli, aby kupić długopis za 11 rubli. Na ile sposobów może wybrać te monety?

Rozwiązanie

Więc pierwsza Petya dostajek = 1 moneta odn = 4 dostępne monety o nominale 1 rubla. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 4 1 = ... = 4.

Potem Petya znów sięga do kieszeni i wyciągak = 1 moneta odn = 2 dostępne monety o nominale 10 rubli. Tutaj liczba kombinacji wynosiC 2 1 = ... = 2.

Ponieważ te działania są niezależne, całkowita liczba opcji wynosiC = 4 2 = 8.

Odpowiedź

Zadanie

W koszu jest 8 białych i 12 czarnych bil. Na ile sposobów można wyciągnąć z tego kosza 2 białe i 2 czarne bile?

Rozwiązanie

Razem w koszykun = 8 białych kulek do wyboruk = 2 piłki. To może być zrobioneC 8 2 = ... = 28 różnych sposobów.

Ponadto koszyk zawieran = 12 czarnych kulek do ponownego wyboruk = 2 piłki. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 12 2 = ... = 66.

Ponieważ wybór bili białej i wybór bili czarnej są zdarzeniami niezależnymi, łączna liczba kombinacji jest obliczana zgodnie z prawem mnożenia:C = 28 66 = 1848. Jak widać, opcji może być sporo.

Odpowiedź

1848

Prawo mnożenia pokazuje, na ile sposobów można wykonać złożoną czynność, która składa się z dwóch lub więcej prostych - pod warunkiem, że wszystkie są niezależne.

3. Prawo dodawania

Jeśli prawo mnożenia działa na „odosobnionych” zdarzeniach, które nie są od siebie zależne, to w prawie dodawania jest odwrotnie. Zajmuje się wzajemnie wykluczającymi się wydarzeniami, które nigdy nie mają miejsca w tym samym czasie.

Na przykład „Piotr wyjął z kieszeni 1 monetę” i „Piotr nie wyjął z kieszeni ani jednej monety” to wydarzenia wzajemnie się wykluczające, ponieważ nie można wyjąć jednej monety bez wyjęcia żadnej.

Podobnie zdarzenia „Losowo wybrana piłka – biała” i „Losowo wybrana piłka – czarna” również wzajemnie się wykluczają.

Definicja

Prawo dodawania w kombinatoryce: czy można wykonać dwie wzajemnie wykluczające się czynnościA orazb sposoby, odpowiednio, te wydarzenia można łączyć. Spowoduje to wygenerowanie nowego zdarzenia, które można wykonaćx = A + b sposoby.

Innymi słowy, przy łączeniu wzajemnie wykluczających się akcji (zdarzeń, opcji) sumuje się liczbę ich kombinacji.

Można powiedzieć, że prawo dodawania jest logicznym „LUB” w kombinatoryce, gdy odpowiada nam dowolna z wzajemnie wykluczających się opcji. Odwrotnie, prawo mnożenia to logiczne „AND”, w którym interesuje nas jednoczesne wykonanie zarówno pierwszego, jak i drugiego działania.

Zadanie

W koszu jest 9 bil czarnych i 7 bil czerwonych. Chłopiec wyciąga 2 kulki tego samego koloru. Na ile sposobów może to zrobić?

Rozwiązanie

Jeśli kule są tego samego koloru, jest kilka opcji: obie są czarne lub czerwone. Oczywiście te opcje wykluczają się wzajemnie.

W pierwszym przypadku chłopiec musi wybraćk = 2 czarne kule zn = 9 dostępnych. Liczba sposobów, aby to zrobić, toC 9 2 = ... = 36.

Podobnie w drugim przypadku wybieramyk = 2 czerwone kule zn = 7 możliwych. Liczba sposobów toC 7 2 = ... = 21.

Pozostaje znaleźć całkowitą liczbę sposobów. Ponieważ warianty z czarnymi i czerwonymi kulkami wzajemnie się wykluczają, zgodnie z prawem dodawania mamy:x = 36 + 21 = 57.

Odpowiedź57

Zadanie

Na straganie można kupić 15 róż i 18 tulipanów. Uczeń klasy 9 chce kupić koledze z klasy 3 kwiaty, a wszystkie kwiaty muszą być takie same. Na ile sposobów może zrobić taki bukiet?

Rozwiązanie

Zgodnie z warunkiem wszystkie kwiaty muszą być takie same. Kupimy więc albo 3 róże, albo 3 tulipany. W każdym razie,k = 3.

W przypadku róż będziesz miał do wyborun = 15 opcji, więc liczba kombinacji wynosiC 15 3 = ... = 455. Dla tulipanówn = 18, a liczba kombinacji -C 18 3 = ... = 816.

Ponieważ róże i tulipany to wzajemnie wykluczające się opcje, pracujemy zgodnie z prawem dodawania. Uzyskaj całkowitą liczbę opcjix = 455 + 816 = 1271. To jest odpowiedź.

Odpowiedź

1271

Dodatkowe warunki i ograniczenia

Bardzo często w tekście problemu pojawiają się dodatkowe warunki, które nakładają znaczne ograniczenia na interesujące nas kombinacje. Porównaj dwa zdania:

W zestawie 5 pisaków w różnych kolorach. Na ile sposobów można wybrać uchwyty 3-suwowe?

W zestawie 5 pisaków w różnych kolorach. Na ile sposobów można wybrać uchwyty 3 skoków, jeśli jeden z nich musi być czerwony?

W pierwszym przypadku mamy prawo brać dowolne kolory, które nam się podobają – nie ma żadnych dodatkowych ograniczeń. W drugim przypadku wszystko jest bardziej skomplikowane, ponieważ musimy wybrać czerwony uchwyt (przyjmuje się, że jest w oryginalnym zestawie).

Oczywiście wszelkie ograniczenia drastycznie zmniejszają całkowitą liczbę opcji. Jak więc znaleźć liczbę kombinacji w tym przypadku? Pamiętaj tylko o następującej zasadzie:

Niech będzie zestawn elementy do wyboruk elementy. Wraz z wprowadzeniem dodatkowych ograniczeń na numern orazk zmniejszyć o tę samą kwotę.

Innymi słowy, jeśli musisz wybrać 3 z 5 pisaków, a jeden z nich musi być czerwony, to będziesz musiał wybrać spośródn = 5 − 1 = 4 elementy wgk = 3 − 1 = 2 elementy. Tak więc zamiastC 5 3 trzeba wziąć pod uwagęC 4 2 .

Zobaczmy teraz, jak ta reguła działa na konkretnych przykładach:

Zadanie

W grupie 20 studentów, w tym 2 doskonałych, należy wybrać 4 osoby do udziału w konferencji. Na ile sposobów można wybrać te cztery osoby, jeśli znakomici studenci muszą dostać się na konferencję?

Rozwiązanie

Więc jest grupan = 20 uczniów. Ale po prostu musisz wybraćk = 4 z nich. Gdyby nie było dodatkowych ograniczeń, to liczba opcji była równa liczbie kombinacjiC 20 4 .

Postawiono nam jednak dodatkowy warunek: wśród tej czwórki musi być 2 doskonałych uczniów. Zatem zgodnie z powyższą zasadą zmniejszamy liczbyn orazk o 2. Mamy:

Odpowiedź

153

Zadanie

Petya ma w kieszeni 8 monet, z czego 6 to monety rubelowe, a 2 to monety 10 rubelowe. Petya wkłada jakieś trzy monety do innej kieszeni. Na ile sposobów Petya może to zrobić, jeśli wiadomo, że obie 10-rublówki trafiły do ​​innej kieszeni?

Rozwiązanie

Więc tam jestn = 8 monet. Petya zmienia sięk = 3 monety, z czego 2 to dziesięć rubli. Okazuje się, że z 3 monet, które zostaną przelane, 2 są już ustalone, więc liczbyn orazk należy zmniejszyć o 2. Mamy:

Odpowiedź

III . Rozwiązywanie problemów łączonych z wykorzystaniem formuł kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

Zadanie

Petya miał w kieszeni 4 ruble i 2 2 ruble. Petya, nie patrząc, włożył jakieś trzy monety do innej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie dwurublowe monety znajdują się w tej samej kieszeni.

Rozwiązanie

Załóżmy, że obie dwurublowe monety naprawdę znalazły się w tej samej kieszeni, wtedy możliwe są 2 opcje: albo Petya nie przesunął ich wcale, albo przesunął obie naraz.

W pierwszym przypadku, gdy nie przeniesiono monet dwurublowych, należałoby przekazać monety 3 rublowe. Ponieważ w sumie są 4 takie monety, liczba sposobów na zrobienie tego jest równa liczbie kombinacji 4 na 3:C 4 3 .

W drugim przypadku, gdy obie monety dwurublowe zostały przeniesione, trzeba będzie przenieść jeszcze jedną monetę rubelową. Musi być wybrany spośród 4 istniejących, a liczba sposobów na to jest równa liczbie kombinacji od 4 do 1:C 4 1 .

Teraz znajdźmy całkowitą liczbę sposobów przesuwania monet. Ponieważ w sumie jest 4 + 2 = 6 monet, a należy wybrać tylko 3 z nich, łączna liczba opcji jest równa liczbie kombinacji od 6 do 3:C 6 3 .

Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwo:

Odpowiedź

0,4

Pokaż na tablicy interaktywnej. Zwróć uwagę na to, że w zależności od stanu problemu, Petya, nie patrząc, włożył trzy monety do jednej kieszeni. Odpowiadając na to pytanie, możemy założyć, że w jednej kieszeni rzeczywiście pozostały dwie dwurublowe monety. Zapoznaj się ze wzorem dodawania prawdopodobieństw. Pokaż ponownie formułę.

Zadanie

Petya miał w kieszeni 2 monety po 5 rubli i 4 monety po 10 rubli. Petya, nie patrząc, włożył jakieś 3 monety do innej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że monety pięciorublowe znajdują się teraz w różnych kieszeniach.

Rozwiązanie

Aby monety pięciorublowe leżały w różnych kieszeniach, musisz przesunąć tylko jedną z nich. Liczba sposobów, aby to zrobić, jest równa liczbie kombinacji 2 na 1:C 2 1 .

Ponieważ Petya przekazał łącznie 3 monety, będzie musiał przesłać 2 kolejne monety po 10 rubli każda. Petya ma 4 takie monety, więc ilość sposobów jest równa ilości kombinacji od 4 do 2:C 4 2 .

Pozostaje dowiedzieć się, ile jest opcji, aby przesunąć 3 monety z 6 dostępnych. Ta liczba, podobnie jak w poprzednim zadaniu, jest równa liczbie kombinacji od 6 do 3:C 6 3 .

Znalezienie prawdopodobieństwa:

W ostatnim kroku pomnożyliśmy liczbę sposobów wyboru monet dwurublowych i liczbę sposobów wyboru monet dziesięciorublowych, ponieważ zdarzenia te są niezależne.

Odpowiedź

0,6

Tak więc problemy z monetami mają swoją własną formułę prawdopodobieństwa. Jest tak prosty i ważny, że można go sformułować jako twierdzenie.

Twierdzenie

Niech moneta zostanie rzuconan pewnego razu. Wtedy prawdopodobieństwo, że głowy wylądują dokładniek czasy można znaleźć za pomocą wzoru:

GdzieC n k - liczba kombinacjin elementy wedługk , który jest obliczany według wzoru:

Tak więc, aby rozwiązać problem z monetami, potrzebne są dwie liczby: liczba rzutów i liczba głów. Najczęściej te liczby podawane są bezpośrednio w tekście zadania. Co więcej, nie ma znaczenia, co dokładnie liczyć: ogony czy orły. Odpowiedź będzie taka sama.

Na pierwszy rzut oka twierdzenie wydaje się zbyt kłopotliwe. Ale warto trochę poćwiczyć - i nie chcesz już wracać do standardowego algorytmu opisanego powyżej.

Moneta jest rzucana cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki wypadną dokładnie trzy razy.

Rozwiązanie

Zgodnie ze stanem problemu łączna liczba rzutów wynosiłan = 4. Wymagana liczba głowic:k = 3. Zastępcan orazk do formuły:

Z takim samym sukcesem możesz policzyć liczbę ogonów:k = 4 − 3 = 1. Odpowiedź będzie taka sama.

Odpowiedź

0,25

Zadanie [zeszyt ćwiczeń „UŻYCIE 2012 w matematyce. Zadania B6»]

Moneta jest rzucana trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie z ogona.

Rozwiązanie

Ponowne wypisywanie liczbn orazk . Ponieważ moneta jest rzucana 3 razy,n = 3. A ponieważ nie powinno być ogonów,k = 0. Pozostaje podstawić liczbyn orazk do formuły:

Przypomnę, że 0! = 1 z definicji. WięcC 3 0 = 1.

Odpowiedź

0,125

Zadanie [Egzamin próbny z matematyki 2012. Irkuck]

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana 4 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że orła wypadnie więcej razy niż reszka.

Rozwiązanie

Aby było więcej orzełków niż ogonów, muszą wypadać 3 razy (wtedy będzie 1 ogon) lub 4 (wtedy w ogóle nie będzie ogonów). Znajdźmy prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń.

PozwalaćP 1 - prawdopodobieństwo, że głowy wypadną 3 razy. Następnien = 4, k = 3. Mamy:

Teraz znajdźmyP 2 - prawdopodobieństwo, że głowy wypadną wszystkie 4 razy. W tym przypadkun = 4, k = 4. Mamy:

Aby uzyskać odpowiedź, pozostaje dodać prawdopodobieństwaP 1 orazP 2 . Pamiętaj: prawdopodobieństwa możesz dodawać tylko dla zdarzeń wzajemnie wykluczających się. Mamy:

P = P 1 + P 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odpowiedź

0,3125

Aby zaoszczędzić Twój czas podczas przygotowań z chłopakami do egzaminu Unified State Exam i GIA, przedstawiliśmy rozwiązania wielu innych zadań, które możesz wybrać i rozwiązać z chłopakami.

Materiały GIA, Unified State Examination z różnych lat, podręczniki i strony.

IV. Materiał referencyjny

Zaczniemy od prostych problemów i podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa.
Losowy Zdarzenie nazywa się zdarzeniem, którego nie można dokładnie przewidzieć z góry. Może się to zdarzyć lub nie.
Wygrałeś na loterii - losowe wydarzenie. Zaprosiłeś znajomych do świętowania wygranej, a w drodze do Ciebie utknęli w windzie - również losowe wydarzenie. To prawda, że ​​mistrz był w pobliżu i uwolnił całą firmę w dziesięć minut - i to również można uznać za szczęśliwy wypadek ...

Nasze życie jest pełne zdarzeń losowych. O każdym z nich można powiedzieć, że zdarza się z niektórymi prawdopodobieństwo. Najprawdopodobniej intuicyjnie znasz tę koncepcję. Teraz podamy matematyczną definicję prawdopodobieństwa.

Zacznijmy od najprostszego przykładu. Rzucasz monetą. Orzeł czy reszka?

Takie działanie, które może prowadzić do jednego z kilku wyników, nazywa się w teorii prawdopodobieństwa test.

Głowy i ogony - dwa możliwe exodus testy.

Orzeł wypadnie w jednym przypadku z dwóch możliwych. Mówią, że prawdopodobieństwoże moneta ląduje orłami jest równa .

Rzućmy kostką. Kość ma sześć ścian, więc istnieje sześć możliwych wyników.

Na przykład zgadłeś, że wypadną trzy punkty. To jeden z sześciu możliwych wyników. W teorii prawdopodobieństwa będzie się to nazywać korzystny wynik.

Prawdopodobieństwo uzyskania trójki wynosi (jeden korzystny wynik na sześć możliwych).

Prawdopodobieństwo czwórki również wynosi

Ale prawdopodobieństwo pojawienia się siódemki wynosi zero. W końcu na sześcianie nie ma twarzy z siedmioma punktami.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do łącznej liczby wyników.

Oczywiście prawdopodobieństwo nie może być większe niż jeden.

Oto kolejny przykład. W torbie jabłek, z których są czerwone, reszta jest zielona. Jabłka nie różnią się kształtem ani wielkością. Wkładasz rękę do torby i wyjmujesz na chybił trafił jabłko. Prawdopodobieństwo narysowania czerwonego jabłka wynosi , a zielonego .

Prawdopodobieństwo otrzymania czerwonego lub zielonego jabłka wynosi .

Definicja prawdopodobieństwa. Proste zadania z opcji egzaminacyjnych.

Przeanalizujmy problemy z teorii prawdopodobieństwa zawarte w zbiorach przygotowujących do egzaminu.

Firma taksówkarska jest obecnie wolna od samochodów: czerwonego, żółtego i zielonego. Na telefon odjechał jeden z samochodów, który akurat znajdował się najbliżej klienta. Znajdź prawdopodobieństwo, że przyjedzie żółta taksówka.

W sumie są auta, czyli jeden na piętnaście przyjedzie do klienta. Żółtych jest dziewięć, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo przyjazdu żółtego samochodu wynosi , czyli .

W kolekcji biletów na biologię wszystkich biletów, w dwóch z nich jest pytanie o grzyby. Na egzaminie student otrzymuje jeden losowo wybrany bilet. Znajdź prawdopodobieństwo, że ten bilet nie zawiera pytania o grzyby.

Oczywiście prawdopodobieństwo wyciągnięcia biletu bez pytania o grzyby wynosi , czyli .

Komitet Rodzicielski zakupił puzzle na prezenty dla dzieci na koniec roku szkolnego, w tym obrazy znanych artystów i wizerunki zwierząt. Prezenty są rozdawane losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Vovochka zdobędzie zagadkę ze zwierzętami.

W podobny sposób rozwiązuje się zadanie.

Odpowiedź: .

W mistrzostwach gimnastyki biorą udział sportowcy: z Rosji, z USA, reszta - z Chin. O kolejności występów zawodniczek decyduje losowanie. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni zawodnik, który weźmie udział w zawodach, pochodzi z Chin.

Wyobraźmy sobie, że wszyscy sportowcy w tym samym czasie podeszli do kapelusza i wyciągnęli z niego kartki z numerami. Część z nich dostanie dwudziesty numer. Prawdopodobieństwo, że wyciągnie go chiński sportowiec, jest równe (ponieważ sportowcy pochodzą z Chin). Odpowiedź: .

Student został poproszony o podanie numeru od do . Jakie jest prawdopodobieństwo, że poda liczbę będącą wielokrotnością pięciu?

Co piąty liczba z danego zbioru jest podzielna przez . Więc prawdopodobieństwo jest .

Rzuca się kostką. Znajdź prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej liczby punktów.

Liczby nieparzyste; - parzysty. Prawdopodobieństwo nieparzystej liczby punktów wynosi .

Odpowiedź: .

Moneta jest rzucana trzy razy. Jakie jest prawdopodobieństwo dwóch głów i jednego ogona?

Zauważ, że problem można sformułować w inny sposób: rzucane są trzy monety jednocześnie. Nie wpłynie to na decyzję.

Jak myślisz, ile jest możliwych wyników?

Rzucamy monetą. Ta akcja ma dwa możliwe skutki: orła i reszka

Dwie monety - już cztery wyniki:

Trzy monety? Zgadza się, wyniki, ponieważ .

Dwie głowy i jeden ogon wypadają trzy razy na osiem.

Odpowiedź: .

W losowym eksperymencie rzuca się dwiema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma straci punkty. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

Rzuć pierwszą kostką - sześć wyników. A dla każdego z nich możliwych jest sześć kolejnych - gdy rzucimy drugą kostką.

Otrzymujemy, że ta akcja – rzucenie dwiema kostkami – ma w sumie możliwe rezultaty, ponieważ .

A teraz dobra wiadomość:

Prawdopodobieństwo zdobycia ośmiu punktów wynosi .

Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi w cel cztery razy z rzędu.

Jeśli prawdopodobieństwo trafienia jest równe, prawdopodobieństwo pudła wynosi . Argumentujemy w taki sam sposób, jak w poprzednim problemie. Prawdopodobieństwo dwóch trafień z rzędu wynosi . A prawdopodobieństwo czterech trafień z rzędu jest równe .

Prawdopodobieństwo: logika siłowa.

Pietia miał w kieszeni monety rubelowe i monety rubelowe. Petya, nie patrząc, włożył kilka monet do innej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że monety pięciorublowe znajdują się teraz w różnych kieszeniach.

Wiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników. Ale jak obliczyć wszystkie te wyniki?

Monety pięciorublowe można oczywiście oznaczać liczbami, a monety dziesięciorublowe liczbami – a następnie obliczyć na ile sposobów można wybrać trzy elementy z zestawu.

Jest jednak prostsze rozwiązanie:

Kodujemy monety liczbami:, (są to pięć rubli), (są to dziesięć rubli). Stan problemu można teraz sformułować w następujący sposób:

Jest sześć żetonów ponumerowanych od do . Na ile sposobów można je rozłożyć równo między dwie kieszenie, aby żetony z liczbami i nie znalazły się razem?

Zapiszmy, co mamy w pierwszej kieszeni.

W tym celu skomponujemy z zestawu wszystkie możliwe kombinacje. Zestaw trzech żetonów będzie liczbą trzycyfrową. Oczywiste jest, że w naszych warunkach i są to ten sam zestaw żetonów. Aby niczego nie przegapić i nie powtarzać, układamy odpowiednie trzycyfrowe liczby w kolejności rosnącej:

Wszystko! Wypróbowaliśmy wszystkie możliwe kombinacje zaczynając od . Kontynuujemy:

łączne możliwe wyniki.

Mamy warunek - żetony z numerami i nie powinny być razem. Oznacza to na przykład, że kombinacja nam nie odpowiada - oznacza to, że żetony i oba znalazły się nie w pierwszej, ale w drugiej kieszeni. Korzystne dla nas wyniki to takie, w których jest albo tylko, albo tylko. Tutaj są:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - ogółem korzystne wyniki.

Wtedy wymagane prawdopodobieństwo to .

Suma zdarzeń, iloczyn zdarzeń i ich kombinacje

Prawdopodobieństwo, że nowy czajnik wytrzyma dłużej niż rok wynosi 0,93. Prawdopodobieństwo, że potrwa dłużej niż dwa lata, wynosi 0,87. Znajdź prawdopodobieństwo, że trwa krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.

Po roku pracy czajnik może albo zepsuć się w drugim roku, albo bezpiecznie służyć nawet po 2 latach pracy.
Niech będzie prawdopodobieństwo, że czajniczek przetrwał ponad rok.

- prawdopodobieństwo, że pęknie w drugim roku, - prawdopodobieństwo, że potrwa dłużej niż dwa lata. Oczywiście,

Odpowiedź: 0,06

Zdarzenia, które w ramach danego zadania wzajemnie się wykluczają, nazywamy niekompatybilnymi. Wystąpienie jednego z niezgodnych zdarzeń wyklucza wystąpienie innych.

Suma dwóch zdarzeń to termin oznaczający, że albo pierwsze zdarzenie, albo drugie, albo oba wystąpiły jednocześnie.

Prawdopodobieństwo sumy niezgodnych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw.
W naszym zadaniu zdarzenia „czajnik zepsuł się w drugim roku eksploatacji” i „czajnik pracuje ponad dwa lata” są nie do pogodzenia. Czajnik jest zepsuty lub nadal działa.

Na zdjęciu labirynt. Pająk czołga się do labiryntu w punkcie „Wejście”. Pająk nie może się odwrócić i czołgać z powrotem. Na każdym rozwidleniu pająk wybiera ścieżkę, która jeszcze się nie czołgała. Biorąc pod uwagę wybór dalszej drogi jako losowy, ustal z jakim prawdopodobieństwem pająk wyjdzie przez wyjście A.

Numerujemy widełki, na których pająk może losowo skręcić w jednym lub drugim kierunku.

Może albo udać się do wyjścia D, a prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe, albo pójść dalej w labirynt. Na drugim rozwidleniu może albo skręcić w ślepy zaułek, albo udać się do wyjścia B (z prawdopodobieństwem Na każdym rozwidleniu prawdopodobieństwo skrętu w jednym lub drugim kierunku jest równe, a ponieważ jest pięć rozwidleń, prawdopodobieństwo trafienia przez wyjście A to, czyli 0,03125.

Zdarzenia A i B nazywane są niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia B.

W naszym problemie jest to prawdą: nieinteligentny pająk skręca losowo w lewo lub w prawo, niezależnie od tego, co robił wcześniej.

Dla kilku niezależnych zdarzeń prawdopodobieństwo wystąpienia wszystkich z nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw.

(A) Dwie ciężarówki współpracujące wywożą śnieg z ulicy Niżnaja Podgórna, a pierwsza ciężarówka musi odbyć trzy przejazdy z ładunkiem śniegu, a druga - dwie. Prawdopodobieństwo utknięcia z ładunkiem śniegu podczas wjeżdżania pod górę wynosi 0,2 dla pierwszej ciężarówki i 0,25 dla drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciężarówki odśnieżą ulicę Niżnaja Podgórna, nigdy nie utknąwszy na wzgórzu?

Prawdopodobieństwo bezpiecznego pokonania wzgórza przez pierwszą ciężarówkę Dla drugiej Ponieważ pierwsza ciężarówka musi wykonać 3 przejazdy, a druga dwa, z prawdopodobieństwem nigdy nie utkną na wzgórzu

Firma rolnicza kupuje jaja kurze od dwóch gospodarstw domowych. 40% jaj z pierwszej fermy to jaja najwyższej kategorii, a z drugiej - 20% jaj najwyższej kategorii. W sumie 35% jaj otrzymuje najwyższą kategorię. Znajdź prawdopodobieństwo, że jajko zakupione na tej farmie będzie pochodziło z pierwszej farmy.

Narysujmy wszystkie możliwe skutki sytuacji. Nabywca przyszedł do sklepu firmy rolniczej i kupił jajko. Musimy ustalić prawdopodobieństwo, że to jajko z pierwszej fermy.

Jaja mogą pochodzić tylko z pierwszego gospodarstwa domowego lub z drugiego, a te dwa zdarzenia są niezgodne. W tym sklepie nie ma innych jaj.

Niech prawdopodobieństwo, że kupione jajko z pierwszej fermy będzie równe . Wtedy prawdopodobieństwo, że jajko pochodzi z drugiej fermy (odwrotne zdarzenie) wynosi .

Jajka mogą należeć do najwyższej kategorii, a nie do najwyższej.
W pierwszej fermie 40% jaj należy do najwyższej kategorii, a 60% nie należy do najwyższej kategorii. Oznacza to, że losowo wybrane jajko z pierwszej fermy z prawdopodobieństwem 40% będzie najwyższą kategorią.

W drugiej fermie 20% jaj należy do najwyższej kategorii, a 80% nie należy do najwyższej kategorii.

Niech losowo wybrane w sklepie jajko będzie z pierwszej farmy i najwyższej kategorii. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

Prawdopodobieństwo, że jajko z drugiej fermy i najwyższej kategorii jest równe

Jeśli dodamy te dwa prawdopodobieństwa, otrzymamy prawdopodobieństwo, że jajko ma najwyższą kategorię. Zgodnie z warunkiem 35% jaj ma najwyższą kategorię, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo to wynosi 0,35.

Otrzymaliśmy równanie:

Rozwiązujemy to równanie i stwierdzamy, że - prawdopodobieństwo, że jajko zakupione od tej firmy rolniczej okazało się pochodzić z pierwszej fermy.

Wszyscy pacjenci z podejrzeniem zapalenia wątroby wykonują badanie krwi. Jeśli test wykaże zapalenie wątroby, wynik testu nazywa się pozytywnym. U pacjentów z zapaleniem wątroby analiza daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,9. Jeśli pacjent nie ma zapalenia wątroby, test może dać fałszywie dodatni wynik z prawdopodobieństwem 0,01. Wiadomo, że 5% pacjentów przyjętych z podejrzeniem zapalenia wątroby faktycznie ma zapalenie wątroby. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik badania pacjenta przyjętego do kliniki z podejrzeniem zapalenia wątroby będzie pozytywny.

Co pacjent przywiózł do kliniki? - Podejrzewa się zapalenie wątroby. Być może naprawdę choruje na zapalenie wątroby, a może jest jeszcze inny powód jego złego stanu zdrowia. Może po prostu coś zjadł. Prawdopodobieństwo, że ma zapalenie wątroby wynosi 0,05 (tj. 5%). Prawdopodobieństwo, że jest zdrowy, wynosi 0,95 (tj. 95%).

Pacjent jest analizowany. Pokażmy na diagramie wszystkie możliwe wyniki:

Jeśli ma zapalenie wątroby, test daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,9. Oznacza to, że analiza pokaże: „jest zapalenie wątroby”.
Należy pamiętać, że analiza nie we wszystkich przypadkach ujawnia zapalenie wątroby u kogoś, kto jest na to naprawdę chory. Z prawdopodobieństwem 0,1 analiza nie rozpoznaje zapalenia wątroby u pacjenta.

Ponadto. Test może błędnie dać pozytywny wynik u kogoś, kto nie ma zapalenia wątroby. Prawdopodobieństwo takiego fałszywie pozytywnego wyniku wynosi 0,01. Następnie, z prawdopodobieństwem 0,99, analiza da wynik negatywny, jeśli osoba jest zdrowa.

Ustalmy prawdopodobieństwo, że wynik analizy u pacjenta przyjętego do poradni z podejrzeniem zapalenia wątroby będzie pozytywny.

Korzystne wyniki dla tej sytuacji: osoba jest chora i analiza jest pozytywna (prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia tych dwóch zdarzeń wynosi ) lub osoba jest zdrowa i analiza jest fałszywie dodatnia (prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia tych dwóch zdarzeń wydarzenia to ). Ponieważ zdarzenia „osoba jest chora” i „osoba nie jest chora” są niezgodne, prawdopodobieństwo, że wynik analizy będzie pozytywny, jest równe

Odpowiedź: 0,0545.

Aby dostać się do instytutu na specjalność „Lingwistyka”, kandydat Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i języka obcego. Aby zapisać się na specjalność „Handel”, należy zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych.

Prawdopodobieństwo, że kandydat Z. uzyska co najmniej 70 punktów z matematyki wynosi 0,6, z języka rosyjskiego 0,8, z języka obcego 0,7, a z nauk społecznych 0,5.
Znajdź prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wejść na co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności.

Zauważ, że problem nie dotyczy tego, czy kandydat o nazwisku Z. będzie studiował jednocześnie językoznawstwo i handel i otrzyma dwa dyplomy. Tutaj musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł wpisać przynajmniej jedną z tych dwóch specjalności - czyli zdobędzie wymaganą liczbę punktów.
Aby zapisać się na co najmniej jedną z dwóch specjalności, Z. musi zdobyć co najmniej 70 punktów z matematyki. I po rosyjsku. A jednak - nauki społeczne lub zagraniczne.
Prawdopodobieństwo zdobycia dla niego 70 punktów z matematyki wynosi 0,6.
Prawdopodobieństwo zdobycia punktów z matematyki i rosyjskiego wynosi

Zajmijmy się studiami zagranicznymi i społecznymi. Opcje są dla nas odpowiednie, gdy kandydat zdobył punkty z nauk społecznych, w języku obcym lub w obu. Opcja nie jest odpowiednia, gdy nie zdobywał punktów ani za język, ani za „społeczeństwo”. Oznacza to, że prawdopodobieństwo zaliczenia studiów społecznych lub zagranicznych o co najmniej 70 punktów jest równe

W efekcie prawdopodobieństwo zaliczenia matematyki, rusycystyki i nauk społecznych lub obcego jest równe To jest odpowiedź.

Aby w pełni opanować temat, zobacz. Jest wolne.

Więcej zadań USE na ten temat