Niech w przestrzeni zostaną podane linie proste l I M. Przez jakiś punkt A przestrzeni rysujemy linie proste l 1 || l I M 1 || M(ryc. 138).

Należy pamiętać, że punkt A może być wybrany dowolnie, w szczególności może leżeć na jednej z tych prostych. Jeśli prosto l I M przecinają się, to A można przyjąć jako punkt przecięcia tych prostych ( l 1 = l I M 1 = m).

Kąt między liniami nierównoległymi l I M jest wartością najmniejszego z sąsiednich kątów utworzonych przez przecinające się linie l 1 I M 1 (l 1 || l, M 1 || M). Kąt między równoległymi liniami uważa się za równy zeru.

Kąt pomiędzy liniami prostymi l I M oznaczone przez \(\widehat((l;m))\). Z definicji wynika, że ​​jeśli mierzy się ją w stopniach, to 0° < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < 90°, a jeśli w radianach, to 0 < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < π / 2 .

Zadanie. Biorąc pod uwagę sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 139).

Znajdź kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1.

Proste AB i DC 1 przecinają się. Ponieważ prosta DC jest równoległa do prostej AB, to kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1, zgodnie z definicją, jest równy \(\widehat(C_(1)DC)\).

Zatem \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Bezpośredni l I M są nazywane prostopadły, if \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na przykład w sześcianie

Obliczanie kąta między prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie. Oznaczmy przez φ wielkość kąta między liniami l 1 I l 2, a przez ψ - wielkość kąta między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (ryc. 206.6), wówczas φ = 180° - ψ. Oczywiście w obu przypadkach prawdziwa jest równość cos φ = |cos ψ|. Zgodnie ze wzorem (cosinus kąta pomiędzy niezerowymi wektorami a i b jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów podzielonemu przez iloczyn ich długości) mamy

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

stąd,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Następnie kąt φ między liniami wyznacza się ze wzoru

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest dana równaniami niekanonicznymi, to aby obliczyć kąt, należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie skorzystać ze wzoru (1).

Zadanie 1. Oblicz kąt między liniami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Wektory kierunkowe prostych mają współrzędne:

za = (-√2; √2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 60°.

Zadanie 2. Oblicz kąt między liniami

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) i \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(przypadki) $$

Za wektorem prowadzącym A W pierwszej linii bierzemy iloczyn wektorowy wektorów normalnych N 1 = (3; 0; -12) i N 2 = (1; 1; -3) płaszczyzny definiujące tę linię. Korzystając ze wzoru \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) otrzymujemy

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobnie znajdujemy wektor kierunkowy drugiej prostej:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ale korzystając ze wzoru (1) obliczamy cosinus żądanego kąta:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 90°.

Zadanie 3. W piramidzie trójkątnej MABC krawędzie MA, MB i MC są wzajemnie prostopadłe (ryc. 207);

ich długości wynoszą odpowiednio 4, 3, 6. Punkt D jest środkiem [MA]. Znajdź kąt φ pomiędzy liniami CA i DB.

Niech CA i DB będą wektorami kierunkowymi prostych CA i DB.

Przyjmijmy punkt M jako początek współrzędnych. Z warunku równania mamy A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Zatem \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Skorzystajmy ze wzoru (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Korzystając z tabeli cosinusów, stwierdzamy, że kąt pomiędzy prostymi CA i DB wynosi około 72°.

Materiał ten poświęcony jest takiej koncepcji, jak kąt między dwiema przecinającymi się liniami. W pierwszym akapicie wyjaśnimy, co to jest i pokażemy to na ilustracjach. Następnie przyjrzymy się sposobom znalezienia sinusa, cosinusa tego kąta i samego kąta (oddzielnie rozważymy przypadki z płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową), podamy niezbędne wzory i pokażemy dokładnie na przykładach jak się je wykorzystuje w praktyce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby zrozumieć, jaki jest kąt powstały na przecięciu dwóch prostych, należy pamiętać o samej definicji kąta, prostopadłości i punktu przecięcia.

Definicja 1

Dwie linie nazywamy przecinającymi się, jeśli mają jeden punkt wspólny. Punkt ten nazywany jest punktem przecięcia dwóch linii.

Każda linia prosta jest podzielona przez punkt przecięcia na promienie. Obie linie proste tworzą 4 kąty, z których dwa są pionowe, a dwa sąsiadują ze sobą. Jeśli znamy miarę jednego z nich, możemy wyznaczyć pozostałe.

Powiedzmy, że wiemy, że jeden z kątów jest równy α. W tym przypadku kąt pionowy względem niego będzie również równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę 180 ° - α. Jeśli α jest równe 90 stopni, wówczas wszystkie kąty będą kątami prostymi. Linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi (pojęciu prostopadłości poświęcony jest osobny artykuł).

Spójrz na zdjęcie:

Przejdźmy do sformułowania głównej definicji.

Definicja 2

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie jest miarą mniejszego z 4 kątów tworzących te dwie linie.

Z definicji należy wyciągnąć ważny wniosek: wielkość kąta w tym przypadku będzie wyrażona dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 90). Jeżeli proste są prostopadłe, to kąt między nimi i tak będzie wynosił równy 90 stopni.

Umiejętność znalezienia miary kąta pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami jest przydatna do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Metodę rozwiązania można wybrać spośród kilku opcji.

Na początek możemy zastosować metody geometryczne. Jeśli wiemy coś o kątach dopełniających, możemy je powiązać z potrzebnym nam kątem, korzystając z właściwości figur równych lub podobnych. Na przykład, jeśli znamy boki trójkąta i musimy obliczyć kąt między liniami, na których znajdują się te boki, wówczas do jego rozwiązania nadaje się twierdzenie cosinus. Jeśli w naszym warunku mamy trójkąt prostokątny, to do obliczeń będziemy musieli także znać sinus, cosinus i tangens kąta.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna przy rozwiązywaniu problemów tego typu. Wyjaśnijmy, jak prawidłowo go używać.

Mamy prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych O x y, w którym dane są dwie linie proste. Oznaczmy je literami a i b. Linie proste można opisać za pomocą równań. Oryginalne linie mają punkt przecięcia M. Jak wyznaczyć wymagany kąt (oznaczmy go α) pomiędzy tymi prostymi?

Zacznijmy od sformułowania podstawowej zasady znajdowania kąta w danych warunkach.

Wiemy, że pojęcie linii prostej jest ściśle powiązane z takimi pojęciami, jak wektor kierunkowy i wektor normalny. Jeśli mamy równanie pewnej prostej, możemy z niej pobrać współrzędne tych wektorów. Możemy to zrobić dla dwóch przecinających się linii jednocześnie.

Kąt wyznaczony przez dwie przecinające się linie można znaleźć za pomocą:

• kąt między wektorami kierunkowymi;
• kąt między wektorami normalnymi;
• kąt między wektorem normalnym jednej linii a wektorem kierunku drugiej.

Przyjrzyjmy się teraz każdej metodzie osobno.

1. Załóżmy, że mamy prostą a z wektorem kierunku a → = (a x, a y) i linię b z wektorem kierunku b → (b x, b y). Narysujmy teraz dwa wektory a → i b → z punktu przecięcia. Następnie zobaczymy, że każdy z nich będzie zlokalizowany na własnej linii prostej. Mamy wówczas cztery możliwości ich względnego ułożenia. Zobacz ilustrację:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest rozwarty, to będzie to kąt, którego potrzebujemy między przecinającymi się liniami a i b. Jeśli jest rozwarty, pożądany kąt będzie równy kątowi przylegającemu do kąta a →, b → ^. Zatem α = a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

Bazując na tym, że cosinusy równych kątów są równe, możemy przepisać powstałe równości w następujący sposób: cos α = cos a →, b → ^, jeśli a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jeśli a →, b → ^ > 90 °.

W drugim przypadku wykorzystano wzory redukcyjne. Zatem,

sałata α sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^ ≥ 0 - sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapiszmy ostatnią formułę słownie:

Definicja 3

Cosinus kąta utworzonego przez dwie przecinające się linie proste będzie równy modułowi cosinusa kąta między jego wektorami kierunkowymi.

Ogólna postać wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) wygląda następująco:

sałata za → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Można z niego wyprowadzić wzór na cosinus kąta pomiędzy dwiema danymi prostymi:

cos α = za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2 = za x b x + a y + b y za x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Następnie sam kąt można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Tutaj a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunku danych prostych.

Podajmy przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się linie a i b. Można je opisać równaniami parametrycznymi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Oblicz kąt między tymi liniami.

Rozwiązanie

W naszym warunku mamy równanie parametryczne, co oznacza, że ​​dla tej prostej możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora kierunkowego. W tym celu musimy przyjąć wartości współczynników dla parametru, tj. linia prosta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor kierunkowy a → = (4, 1).

Druga prosta jest opisana równaniem kanonicznym x 5 = y - 6 - 3. Tutaj możemy pobrać współrzędne z mianowników. Zatem ta linia ma wektor kierunkowy b → = (5 , - 3) .

Następnie przechodzimy bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, wystarczy podstawić istniejące współrzędne dwóch wektorów do powyższego wzoru α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Otrzymujemy co następuje:

α = za r do cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = za r do cos 17 17 34 = za r do cos 1 2 = 45 °

Odpowiedź: Te linie proste tworzą kąt 45 stopni.

Podobny problem możemy rozwiązać, znajdując kąt między wektorami normalnymi. Jeśli mamy prostą a z wektorem normalnym n a → = (n a x , n a y) i linię b z wektorem normalnym n b → = (n b x , n b y), to kąt między nimi będzie równy kątowi pomiędzy n a → i n b → lub kąt, który będzie przylegał do n a →, n b → ^. Metodę tę pokazano na obrazku:

Wzory do obliczania cosinusa kąta między przecinającymi się prostymi i samego tego kąta przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych wyglądają następująco:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2 α = za r do cos n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj n a → i n b → oznaczają wektory normalne dwóch danych prostych.

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych dwie proste wyznacza się za pomocą równań 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź sinus i cosinus kąta między nimi oraz wielkość tego kąta.

Rozwiązanie

Oryginalne linie są określone za pomocą równań linii normalnych w postaci A x + B y + C = 0. Oznaczamy wektor normalny jako n → = (A, B). Znajdźmy współrzędne pierwszego wektora normalnego dla jednej linii i zapiszmy je: n a → = (3, 5) . Dla drugiej linii x + 4 y - 17 = 0 wektor normalny będzie miał współrzędne n b → = (1, 4). Dodajmy teraz uzyskane wartości do wzoru i obliczmy sumę:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jeśli znamy cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej. Ponieważ kąt α utworzony przez linie proste nie jest rozwarty, wówczas sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

W tym przypadku α = a r do cos 23 2 34 = a r do sin 7 2 34.

Odpowiedź: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = za r do cos 23 2 34 = za r do grzech 7 2 34

Przeanalizujmy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostymi, jeśli znamy współrzędne wektora kierunku jednej prostej i wektora normalnego drugiej.

Załóżmy, że prosta a ma wektor kierunkowy a → = (a x , a y) , a prosta b ma wektor normalny n b → = (n b x , n b y) . Musimy odsunąć te wektory od punktu przecięcia i rozważyć wszystkie opcje ich względnych pozycji. Zobacz na zdjęciu:

Jeżeli kąt pomiędzy podanymi wektorami nie będzie większy niż 90 stopni, to okaże się, że dopełni kąt pomiędzy a i b do kąta prostego.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jeśli a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jeśli jest mniejsza niż 90 stopni, wówczas otrzymujemy:

a → , n b → ^ > 90 ° , następnie a → , n b → ^ = 90 ° + α

Korzystając z zasady równości cosinusów równych kątów piszemy:

cos za → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α dla a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos za → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α dla a → , n b → ^ > 90° .

Zatem,

sin α = sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = sałata a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 0 - sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujmy wniosek.

Definicja 4

Aby znaleźć sinus kąta między dwiema liniami przecinającymi się na płaszczyźnie, należy obliczyć moduł cosinusa kąta między wektorem kierunkowym pierwszej linii a wektorem normalnym drugiej linii.

Zapiszmy niezbędne formuły. Znajdowanie sinusa kąta:

grzech α = sałata za → , n b → ^ = za x n b x + za y n b y a x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Znalezienie samego kąta:

α = za r do grzech = za x n b x + za y n b y za x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj a → jest wektorem kierunku pierwszej linii, a n b → jest wektorem normalnym drugiej linii.

Przykład 3

Dwie przecinające się linie są dane równaniami x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź kąt przecięcia.

Rozwiązanie

Bierzemy współrzędne wektora prowadzącego i normalnego z podanych równań. Okazuje się, że a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Bierzemy wzór α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i obliczamy:

α = za r do grzech = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = za r do grzech 7 2 34

Należy pamiętać, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź:α = za r do grzech 7 2 34

Przedstawmy inny sposób znalezienia żądanego kąta za pomocą współczynników kątowych danych prostych.

Mamy linię a zdefiniowaną w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania y = k 1 x + b 1 oraz linię b zdefiniowaną jako y = k 2 x + b 2. Są to równania prostych ze współczynnikami nachylenia. Aby znaleźć kąt przecięcia, używamy wzoru:

α = a r do cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdzie k 1 i k 2 są współczynnikami nachylenia danych prostych. Aby uzyskać ten zapis, wykorzystano wzory na wyznaczenie kąta poprzez współrzędne wektorów normalnych.

Przykład 4

Na płaszczyźnie przecinają się dwie proste, określone równaniami y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Oblicz wartość kąta przecięcia.

Rozwiązanie

Współczynniki kątowe naszych linii są równe k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmy je do wzoru α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i obliczmy:

α = za r do cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = za r do cos 23 20 34 24 · 17 16 = za r do cos 23 2 34

Odpowiedź:α = za r do cos 23 2 34

We wnioskach z tego akapitu należy zauważyć, że podanych tutaj wzorów na znalezienie kąta nie trzeba uczyć się na pamięć. Aby to zrobić, wystarczy znać współrzędne prowadnic i/lub wektorów normalnych danych linii i umieć je wyznaczyć za pomocą różnego rodzaju równań. Ale lepiej zapamiętać lub zapisać wzory na obliczenie cosinusa kąta.

Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Obliczenie takiego kąta można sprowadzić do obliczenia współrzędnych wektorów kierunkowych i określenia wielkości kąta utworzonego przez te wektory. W przypadku takich przykładów stosuje się to samo rozumowanie, które podaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych umiejscowiony w przestrzeni trójwymiarowej. Zawiera dwie proste a i b z punktem przecięcia M. Aby obliczyć współrzędne wektorów kierunkowych, musimy znać równania tych prostych. Oznaczmy wektory kierunkowe a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Aby obliczyć cosinus kąta między nimi, używamy wzoru:

sałata α = sałata za → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby znaleźć sam kąt, potrzebujemy następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 5

Mamy linię zdefiniowaną w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą równania x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Wiadomo, że przecina się z osią O z. Oblicz kąt przecięcia i cosinus tego kąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy kąt, który należy obliczyć, literą α. Zapiszmy współrzędne wektora kierunku pierwszej prostej – a → = (1, - 3, - 2) . Dla osi zastosowania możemy przyjąć wektor współrzędnych k → = (0, 0, 1) jako wskazówkę. Otrzymaliśmy niezbędne dane i możemy je dodać do pożądanej formuły:

sałata α = sałata a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

W rezultacie odkryliśmy, że potrzebny nam kąt będzie równy a r c cos 1 · 2 = 45 °.

Odpowiedź: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt

Prostopadle do danej linii

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do linii Ax + Bу + C = 0 określa się jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

(1)

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: ; 4 x = 6 lat – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt w danym kierunku. Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi. Warunek równoległości i prostopadłości dwóch prostych. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych

1. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt A(X 1 , y 1) w danym kierunku określonym przez nachylenie k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Równanie to definiuje ołówek linii przechodzących przez punkt A(X 1 , y 1), który nazywany jest środkiem belki.

2. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2), napisane w ten sposób:

Współczynnik kątowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty określa wzór

3. Kąt pomiędzy liniami prostymi A I B jest kątem, o który należy obrócić pierwszą prostą A wokół punktu przecięcia tych linii w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aż zbiegnie się z drugą linią B. Jeśli dwie linie są dane przez równania o nachyleniu

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

następnie kąt między nimi jest określony przez wzór

Należy zauważyć, że w liczniku ułamka nachylenie pierwszej linii jest odejmowane od nachylenia drugiej linii.

Jeśli równania linii są podane w formie ogólnej

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kąt między nimi jest określony przez wzór

4. Warunki równoległości dwóch prostych:

a) Jeżeli proste są dane równaniami (4) ze współczynnikiem kątowym, to warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest równość ich współczynników kątowych:

k 1 = k 2 . (8)

b) W przypadku, gdy proste są dane równaniami w postaci ogólnej (6), warunkiem koniecznym i wystarczającym ich równoległości jest to, aby współczynniki dla odpowiednich współrzędnych prądu w ich równaniach były proporcjonalne, tj.

5. Warunki prostopadłości dwóch prostych:

a) W przypadku, gdy proste są dane równaniami (4) ze współczynnikiem kątowym, warunkiem koniecznym i wystarczającym ich prostopadłości jest to, aby ich współczynniki kątowe były odwrotne pod względem wielkości i przeciwne pod względem znaku, tj.

Warunek ten można także zapisać w postaci

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jeżeli równania prostych podane są w postaci ogólnej (6), to warunkiem ich prostopadłości (koniecznym i wystarczającym) jest spełnienie równości

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych wyznacza się rozwiązując układ równań (6). Linie (6) przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy

1. Zapisz równania prostych przechodzących przez punkt M, z których jedno jest równoległe, a drugie prostopadłe do danej prostej l.

A. Niech zostaną dane dwie linie proste. Te proste, jak wskazano w rozdziale 1, tworzą różne kąty dodatnie i ujemne, które mogą być ostre lub rozwarte. Znając jeden z tych kątów, możemy łatwo znaleźć każdy inny.

Nawiasem mówiąc, dla wszystkich tych kątów wartość liczbowa stycznej jest taka sama, różnica może dotyczyć tylko znaku

Równania prostych. Liczby są rzutami wektorów kierunkowych pierwszej i drugiej prostej. Kąt między tymi wektorami jest równy jednemu z kątów utworzonych przez linie proste. Dlatego problem sprowadza się do określenia kąta między wektorami

Dla uproszczenia możemy zgodzić się, że kąt między dwiema prostymi jest ostrym kątem dodatnim (jak na przykład na ryc. 53).

Wtedy tangens tego kąta będzie zawsze dodatni. Jeśli więc po prawej stronie wzoru (1) znajduje się znak minus, to musimy go odrzucić, czyli zapisać tylko wartość bezwzględną.

Przykład. Wyznacz kąt pomiędzy liniami prostymi

Zgodnie ze wzorem (1) mamy

Z. Jeśli zostanie wskazane, który z boków kąta jest jego początkiem, a który końcem, to licząc zawsze kierunek kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, możemy wydobyć ze wzoru (1) coś więcej. Jak łatwo zauważyć z rys. 53, znak uzyskany po prawej stronie wzoru (1) wskaże, pod jakim kątem – ostrym czy rozwartym – tworzy się druga prosta z pierwszą.

(Istotnie, z ryc. 53 widzimy, że kąt między pierwszym i drugim wektorem kierunkowym jest albo równy pożądanemu kątowi między liniami prostymi, albo różni się od niego o ± 180°.)

D. Jeśli linie są równoległe, to ich wektory kierunkowe są równoległe. Stosując warunek równoległości dwóch wektorów, otrzymujemy!

Jest to warunek konieczny i wystarczający równoległości dwóch prostych.

Przykład. Bezpośredni

są równoległe, ponieważ

mi. Jeśli linie są prostopadłe, to ich wektory kierunkowe są również prostopadłe. Stosując warunek prostopadłości dwóch wektorów otrzymujemy warunek prostopadłości dwóch prostych, czyli

Przykład. Bezpośredni

są prostopadłe ze względu na to, że

W związku z warunkami równoległości i prostopadłości rozwiążemy następujące dwa problemy.

F. Narysuj linię przechodzącą przez punkt równoległy do ​​danej prostej

Rozwiązanie przeprowadza się w ten sposób. Ponieważ pożądana prosta jest równoległa do tej, to za jej wektor kierunkowy możemy przyjąć ten sam wektor, co danej prostej, czyli wektor z rzutami A i B. I wówczas równanie żądanej prostej zostanie zapisane w formularz (§ 1)

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (1; 3) równoległy do ​​tej prostej

będzie następny!

G. Narysuj linię przechodzącą przez punkt prostopadły do ​​danej prostej

Tutaj nie nadaje się już wektor z występami A i jako wektor prowadzący, ale konieczne jest przyjęcie wektora prostopadłego do niego. Rzuty tego wektora należy zatem dobierać zgodnie z warunkiem prostopadłości obu wektorów, czyli zgodnie z warunkiem

Warunek ten można spełnić na wiele sposobów, ponieważ tutaj jest jedno równanie z dwiema niewiadomymi. Ale najłatwiej jest wziąć lub. Następnie równanie żądanej linii zostanie zapisane w formie

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (-7; 2) w prostej prostopadłej

będzie następująco (zgodnie z drugą formułą)!

H. W przypadku, gdy linie są dane przez równania postaci

KĄT MIĘDZY PŁASZCZYZNAMI

Rozważmy dwie płaszczyzny α 1 i α 2, określone odpowiednio równaniami:

Pod kąt między dwiema płaszczyznami zrozumiemy jeden z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny. Oczywiste jest, że kąt między wektorami normalnymi a płaszczyznami α 1 i α 2 jest równy jednemu ze wskazanych sąsiednich kątów dwuściennych lub . Dlatego . Ponieważ I , To

.

Przykład. Określ kąt między płaszczyznami X+2y-3z+4=0 i 2 X+3y+z+8=0.

Warunek równoległości dwóch płaszczyzn.

Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są równoległe, a zatem .

Zatem dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:

Lub

Warunek prostopadłości płaszczyzn.

Jest oczywiste, że dwie płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są prostopadłe, a zatem, lub .

Zatem, .

Przykłady.

PROSTO W PRZESTRZENI.

RÓWNANIE WEKTOROWE DLA LINII.

PARAMETRYCZNE RÓWNANIA BEZPOŚREDNIE

Położenie linii w przestrzeni jest całkowicie określane poprzez określenie dowolnego z jej punktów stałych M 1 i wektor równoległy do ​​tej prostej.

Nazywa się wektor równoległy do ​​prostej przewodniki wektor tej linii.

Więc niech linia prosta l przechodzi przez punkt M 1 (X 1 , y 1 , z 1), leżącego na prostej równoległej do wektora .

Rozważ dowolny punkt M(x,y,z) na linii prostej. Z rysunku wynika, że .

Wektory i są współliniowe, więc istnieje taka liczba T, co , gdzie jest mnożnik T może przyjmować dowolną wartość liczbową w zależności od położenia punktu M na linii prostej. Czynnik T zwany parametrem. Po wyznaczeniu wektorów promieni punktów M 1 i M odpowiednio poprzez i , otrzymujemy . To równanie nazywa się wektor równanie prostej. Pokazuje to dla każdej wartości parametru T odpowiada wektorowi promienia pewnego punktu M, leżąc na linii prostej.

Zapiszmy to równanie w postaci współrzędnych. Zauważ, że , i stąd

Powstałe równania nazywane są parametryczny równania prostej.

Podczas zmiany parametru T współrzędne się zmieniają X, y I z i okres M porusza się po linii prostej.

RÓWNANIA KANONICZNE BEZPOŚREDNIEJ

Pozwalać M 1 (X 1 , y 1 , z 1) – punkt leżący na prostej l, I jest jego wektorem kierunkowym. Weźmy jeszcze raz dowolny punkt na prostej M(x,y,z) i rozważ wektor .

Oczywiste jest, że wektory są również współliniowe, więc odpowiadające im współrzędne muszą być proporcjonalne, dlatego

– kanoniczny równania prostej.

Notatka 1. Należy zauważyć, że równania kanoniczne prostej można uzyskać z równań parametrycznych, eliminując parametr T. Rzeczywiście, z równań parametrycznych otrzymujemy Lub .

Przykład. Zapisz równanie prostej w formie parametrycznej.

Oznaczmy , stąd X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Uwaga 2. Niech prosta będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład osi Wół. Wtedy wektor kierunkowy linii jest prostopadły Wół, stąd, M=0. W rezultacie równania parametryczne linii przyjmą postać

Wyłączenie parametru z równań T, otrzymujemy równania prostej w postaci

Jednak i w tym przypadku zgadzamy się formalnie zapisać równania kanoniczne prostej w postaci . Zatem jeśli mianownik jednego z ułamków wynosi zero, oznacza to, że linia prosta jest prostopadła do odpowiedniej osi współrzędnych.

Podobnie jak w równaniach kanonicznych odpowiada prostej prostopadłej do osi Wół I Oj lub równolegle do osi Oz.

Przykłady.

RÓWNANIA OGÓLNE PROSTEJ JAKO LINIE PRZECIĘCIA DWÓCH PŁASZCZYZN

Przez każdą linię prostą w przestrzeni przechodzi niezliczona ilość płaszczyzn. Dowolne dwa z nich, przecinające się, definiują to w przestrzeni. W konsekwencji równania dowolnych dwóch takich płaszczyzn, rozpatrywane łącznie, reprezentują równania tej prostej.

Ogólnie rzecz biorąc, dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny określone równaniami ogólnymi

wyznacz linię prostą ich przecięcia. Równania te nazywane są równania ogólne prosty.

Przykłady.

Skonstruuj prostą określoną przez równania

Aby zbudować linię prostą, wystarczy znaleźć dowolne dwa jej punkty. Najłatwiej jest wybrać punkty przecięcia prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOj otrzymujemy z równań prostej, zakładając z= 0:

Po rozwiązaniu tego systemu znajdujemy sedno M 1 (1;2;0).

Podobnie, zakładając y= 0, otrzymujemy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną xOz:

Z ogólnych równań prostej można przejść do jej równań kanonicznych lub parametrycznych. Aby to zrobić, musisz znaleźć jakiś punkt M 1 na linii prostej i wektor kierunkowy linii prostej.

Współrzędne punktu M 1 otrzymujemy z tego układu równań, nadając jednej ze współrzędnych dowolną wartość. Aby znaleźć wektor kierunkowy, należy pamiętać, że wektor ten musi być prostopadły do ​​obu wektorów normalnych I . Dlatego poza wektorem kierunkowym linii prostej l możesz wziąć iloczyn wektorowy normalnych wektorów:

.

Przykład. Podaj ogólne równania prostej do postaci kanonicznej.

Znajdźmy punkt leżący na prostej. W tym celu wybieramy dowolnie jedną ze współrzędnych, np. y= 0 i rozwiąż układ równań:

Wektory normalne płaszczyzn wyznaczających linię mają współrzędne Dlatego wektor kierunku będzie prosty

. Stąd, l: .

KĄT MIĘDZY PROSTYMI

Kąt pomiędzy liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do ​​danych.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwie proste:

Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi i . Ponieważ , to korzystając ze wzoru na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy