GEOMETRIA

Sekcja II. STEREOMETRIA

§22. PIŁKA. KULA.

1. Definicja kuli i kuli. Elementy kulowe i kuliste.

Pocisk to geometryczny korpus utworzony przez obrót okręgu wokół osi zawierającej jego średnicę (ryc. 500).

Środek koła, które się obraca, nazywamy środkiem kuli, promień koła to promień kuli, a średnica koła to średnica kuli. Na rysunku 500 punkt O to środek kuli, OA i OB to promienie kuli, a AB to średnica kuli.

Powierzchnia kuli nazywana jest kulą.

Środek, promień i średnica kuli to także środek, promień i średnica kuli.

Wszystkie punkty kuli znajdują się w tej samej odległości, równej promieniowi, od środka kuli. Inne punkty na kuli, które nie należą do kuli, nazywane są punktami wewnętrznymi i mówi się, że takie punkty leżą wewnątrz kuli. Wewnętrzne punkty kuli znajdują się od środka kuli w odległości mniejszej niż promień.

W ten sposób dochodzimy do jeszcze innej definicji kuli i kuli.

Kula to powierzchnia, która składa się ze wszystkich punktów w przestrzeni, które są w równej odległości od tego samego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem kuli, a odległość od środka kuli do dowolnego z jej punktów nazywa się promieniem kuli.

Pocisk to ciało geometryczne składające się ze wszystkich punktów w przestrzeni znajdujących się w odległości nie większej niż podana od danego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem kuli, a odległość tę nazywa się promieniem kuli.

Przykład. Promień kuli wynosi 3,5 cm. Punkt A jest umieszczony wewnątrz lub na zewnątrz kuli, jeśli jest daleko od środka kuli: 1) cm, 2) cm.

Kiedy ludzie są pytani o to, czym kula różni się od kuli, wielu po prostu wzrusza ramionami, myśląc, że w rzeczywistości są tym samym (analogia do koła i koła). Rzeczywiście, czy wszyscy dobrze znamy geometrię ze szkolnego programu nauczania i czy potrafimy od razu odpowiedzieć na to pytanie? Kula ma pewne różnice w stosunku do piłki, które muszą znać nie tylko uczniowie, aby uzyskać dobrą ocenę za wykazaną wiedzę, ale także wiele innych osób, na przykład, których praca jest bezpośrednio związana z rysunkami.

Definicja

Piłka to suma wszystkich punktów w przestrzeni. Wszystkie te punkty znajdują się od środka ciała geometrycznego w odległości nie większej niż określona. Sama odległość nazywana jest promieniem. Kula, jako ciało geometryczne, jest uformowana w następujący sposób: wokół swojej średnicy obraca się półkole. Jeśli chodzi o kulę, jest to powierzchnia kuli (na przykład kula zamknięta zawiera ją, otwarta nie). Obliczenie powierzchni lub objętości kuli to cała formuła geometryczna, która jest bardzo złożona, pomimo pozornej prostoty samej figury geometrycznej.

Kula, jak wspomniano powyżej, jest powierzchnią kuli, jej skorupą. Wszystkie punkty w przestrzeni są w równej odległości od środka kuli. Jeśli chodzi o promień ciała geometrycznego, nazywa się go dowolnym segmentem, którego jeden punkt jest bezpośrednio środkiem kuli, a drugi może znajdować się w dowolnym punkcie na powierzchni. Można powiedzieć, że kula jest skorupą kuli bez zawartości (bardziej szczegółowe przykłady zostaną podane poniżej). Podobnie jak piłka, kula jest ciałem obrotowym. Nawiasem mówiąc, wielu zastanawia się również, jaka jest różnica między kołem a kołem z kuli i kuli. Tutaj wszystko jest proste: w pierwszym przypadku są to postacie na płaszczyźnie, w drugim – w kosmosie.

Porównanie

Powiedziano już, że kula jest powierzchnią kuli, co już pozwala mówić o jednym istotnym znaku różnicy. Różnica między tymi dwoma ciałami geometrycznymi jest również obserwowana w kilku innych aspektach:

• Wszystkie punkty kuli znajdują się w tej samej odległości od środka, a ciało ograniczone jest powierzchnią (kula, która jest pusta w środku). Innymi słowy, kula jest pusta. Zwykle, dla ułatwienia zrozumienia, podaje się prosty przykład z balonem i kulą bilardową. Oba te obiekty nazywamy kulami, ale w pierwszym przypadku mamy do czynienia z kulą, a w drugim z pełnoprawną kulą z zawartością w środku.
• Kula ma swój obszar, ale nie ma objętości. Z drugiej strony kula ma objętość, którą można obliczyć, podczas gdy nie ma pola. Ktoś może powiedzieć, że jest to główna oznaka różnicy, ale pojawia się tylko wtedy, gdy konieczne jest wykonanie pewnych obliczeń (złożone wzory geometryczne). Dlatego główna różnica polega na tym, że kula jest pusta, a kula jest ciałem z zawartością w środku.
• Kolejna różnica polega na promieniu. Na przykład promień kuli to nie tylko odległość punktów od środka. Każdy odcinek łączący punkt na kuli z jego środkiem można nazwać promieniem. Wszystkie te segmenty są sobie równe. Jeśli chodzi o kulę, punkty leżące w jej wnętrzu znajdują się w odległości mniejszej niż promień od środka (dokładnie ze względu na otaczającą ją kulę).

Strona wyników

1. Kula jest pusta, a kula to bryła wypełniona wewnątrz. Na przykład balon to kula, kula bilardowa to pełnoprawna kula.
2. Kula ma powierzchnię i nie ma objętości, podczas gdy kula ma odwrotnie.
3. Trzecia różnica to pomiar promienia dwóch ciał geometrycznych.

W rozdziale 2 będziemy kontynuować „budowanie geometrii” i rozmawiać o budowie i właściwościach najważniejszych figur przestrzennych – kuli i kuli, walców i stożków, pryzmatów i piramid.Większość obiektów tworzonych przez ludzkie ręce to budynki, samochody, meble, przybory itp., itp., składa się z części mających kształt tych figur.

§ 4. KULA I PIŁKA

Po liniach prostych i płaszczyznach kula i kula to najprostsze, ale bardzo ważne i bogate w różne właściwości figur przestrzennych. O geometrycznych właściwościach kuli i jej powierzchni - kuli napisano całe książki. Niektóre z tych właściwości były już znane starożytnym greckim geometrom, a niektóre odkryto całkiem niedawno, w ostatnich latach. Te właściwości (wraz z prawami nauk przyrodniczych) wyjaśniają, dlaczego np. ciała niebieskie i ikry mają kształt kuli, dlaczego batyskafy i piłki futbolowe mają kształt kuli, dlaczego łożyska kulkowe są tak powszechne w technologia itp. Możemy udowodnić tylko najprostsze właściwości piłki. Dowód innych właściwości, choć bardzo ważny, często wymaga zastosowania metod, które wcale nie są elementarne, chociaż sformułowania takich właściwości mogą być bardzo proste: np. wśród wszystkich ciał o określonej powierzchni kula ma największy wolumen.

4.1. Definicje sfery i sfery.

Kula i kula są definiowane w przestrzeni dokładnie tak samo, jak okrąg i okrąg na płaszczyźnie. Kula to figura składająca się ze wszystkich punktów w przestrzeni odległych od danego

wskaż tę samą (dodatnią) odległość.

Ten punkt nazywa się środkiem kuli, a odległość nazywa się jego promieniem (ryc. 4.1).

Tak więc kula o środku O i promieniu R jest figurą utworzoną przez wszystkie punkty X przestrzeni, dla której

Kula to figura utworzona przez wszystkie punkty w przestrzeni, które znajdują się w odległości nie większej niż dana (dodatnia) odległość od danego punktu. Ten punkt nazywa się środkiem kuli, a odległość ta nazywa się jej promieniem.

Tak więc kula o środku O i promieniu R jest figurą utworzoną przez wszystkie punkty X przestrzeni, dla której

Te punkty X kuli o środku O i promieniu R, dla których tworzą kulę. Mówi się, że ta sfera ogranicza daną sferę lub że jest jej powierzchnią.

O tych samych punktach X piłki, o których mówimy, że leżą wewnątrz piłki.

Promień kuli (i kuli) nazywany jest nie tylko odległością, ale także dowolnym odcinkiem łączącym środek z punktem kuli.

Kula i kula to przede wszystkim figury geometryczne, a jeśli kula jest ciałem geometrycznym, to kula jest powierzchnią kuli. Liczby te były interesujące wiele tysięcy lat temu pne.

Następnie, gdy odkryto, że Ziemia jest kulą, a niebo sferą niebieską, opracowano nowy fascynujący kierunek w geometrii - geometrię na sferze lub geometrię sferyczną. Aby mówić o wielkości i objętości kuli, musisz ją najpierw zdefiniować.

Piłka

Kula o promieniu R wyśrodkowana w punkcie O w geometrii nazywana jest ciałem utworzonym przez wszystkie punkty w przestrzeni, które mają wspólną właściwość. Punkty te znajdują się w odległości nieprzekraczającej promienia kuli, to znaczy wypełniają całą przestrzeń mniejszą niż promień kuli we wszystkich kierunkach od jej środka. Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko te punkty, które są równoodległe od środka kuli, weźmiemy pod uwagę jej powierzchnię lub powłokę kuli.

Jak zdobyć piłkę? Możemy wyciąć z papieru okrąg i zacząć obracać go wokół własnej średnicy. Oznacza to, że średnica koła będzie osią obrotu. Wykształcona postać będzie piłką. Dlatego piłka nazywana jest również ciałem rewolucji. Ponieważ można go uformować, obracając płaską figurę - okrąg.

Weźmy samolot i przetnijmy nim naszą piłkę. Tak jak kroimy pomarańczę nożem. Kawałek, który odcięliśmy od kuli, nazywamy segmentem kuli.

W starożytnej Grecji wiedzieli, jak nie tylko pracować z kulą i kulą, jak na przykład z figurami geometrycznymi, aby wykorzystać je w konstrukcji, ale także umieli obliczyć powierzchnię kuli i objętość piłka.

Kula to inna nazwa powierzchni kuli. Kula nie jest ciałem - jest powierzchnią obracającego się ciała. Ponieważ jednak zarówno Ziemia, jak i wiele ciał ma kulisty kształt, taki jak kropla wody, badanie relacji geometrycznych w obrębie kuli stało się szeroko rozpowszechnione.

Na przykład, jeśli połączymy ze sobą dwa punkty kuli linią prostą, to ta linia prosta będzie nazywana cięciwą, a jeśli cięciwa ta przechodzi przez środek kuli, który pokrywa się ze środkiem kuli, wtedy akord będzie nazywany średnicą kuli.

Jeśli narysujemy linię prostą, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie, to ta linia będzie nazywana styczną. Ponadto ta styczna do kuli w tym punkcie będzie prostopadła do promienia kuli narysowanej do punktu stycznej.

Jeśli będziemy kontynuować akord do linii prostej w jednym kierunku, a w drugim od sfery, to ten akord będzie nazywany sieczną. Albo możesz powiedzieć inaczej - sieczna do kuli zawiera jej akord.

Objętość piłki

Wzór na obliczenie objętości piłki to:

gdzie R jest promieniem kuli.

Jeśli chcesz znaleźć objętość segmentu kulistego, użyj wzoru:

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h to wysokość segmentu kulistego.

Powierzchnia kuli lub kuli

Aby obliczyć pole kuli lub pole powierzchni kuli (są takie same):

gdzie R jest promieniem kuli.

Archimedes bardzo lubił kulę i kulę, poprosił nawet o pozostawienie na swoim grobowcu rysunku, na którym kula jest wpisana w cylinder. Archimedes uważał, że objętość kuli i jej powierzchnia są równe dwóm trzecim objętości i powierzchni cylindra, w który wpisana jest kula.

Definicja.

Kula (powierzchnia kuli) to zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej, które znajdują się w tej samej odległości od pojedynczego punktu, zwany środek kuli(O).

Kulę można opisać jako trójwymiarową figurę utworzoną przez obrócenie okręgu wokół jej średnicy o 180° lub półkola wokół jej średnicy o 360°.

Definicja.

Piłka to zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej, których odległość nie przekracza określonej odległości do punktu zwanego środek kuli(O) (zbiór wszystkich punktów przestrzeni trójwymiarowej ograniczonych sferą).

Kulę można opisać jako figurę trójwymiarową, która powstaje poprzez obrócenie koła wokół swojej średnicy o 180 ° lub półkola wokół swojej średnicy o 360 °.

Definicja. Promień kuli (kulki)(R) to odległość od środka kuli (piłki) O do dowolnego punktu kuli (powierzchni kuli).

Definicja. Średnica kuli (kulki)(D) to odcinek łączący dwa punkty kuli (powierzchnia kuli) i przechodzący przez jej środek.

Formuła. Objętość piłki:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formuła. Powierzchnia kuli przez promień lub średnicę:

S = 4π R 2 = π D 2

Równanie sferyczne

1. Równanie sfery o promieniu R i środku w początku kartezjańskiego układu współrzędnych:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Równanie sfery o promieniu R i środku w punkcie o współrzędnych (x 0 , y 0 , z 0) w kartezjańskim układzie współrzędnych:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicja. diametralnie przeciwstawne punkty to dowolne dwa punkty na powierzchni kuli (kuli), które są połączone średnicą.

Podstawowe własności kuli i kuli

1. Wszystkie punkty kuli są jednakowo oddalone od środka.

2. Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem.

3. Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem.

4. Kula ma największą objętość spośród wszystkich figur przestrzennych o tej samej powierzchni.

5. Poprzez dowolne dwa diametralnie przeciwne punkty możesz narysować wiele dużych okręgów dla kuli lub okręgów dla kuli.

6. Poprzez dowolne dwa punkty, z wyjątkiem punktów diametralnie przeciwnych, można narysować tylko jedno duże koło dla kuli lub duże koło dla kuli.

7. Jakiekolwiek dwa duże okręgi jednej kuli przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez środek kuli, a okręgi przecinają się w dwóch diametralnie przeciwnych punktach.

8. Jeżeli odległość między środkami dowolnych dwóch kulek jest mniejsza niż suma ich promieni i większa niż moduł różnicy między ich promieniami, wówczas takie kulki przecinać, a w płaszczyźnie przecięcia powstaje okrąg.

Sieczna, cięciwa, sieczna płaszczyzna kuli i ich własności

Definicja. Seansa sfer to linia prosta, która przecina sferę w dwóch punktach. Punkty przecięcia nazywają się punkty przebicia powierzchni lub punkty wejścia i wyjścia na powierzchni.

Definicja. Cięciwa kuli (piłka) to odcinek łączący dwa punkty kuli (powierzchnia kuli).

Definicja. płaszczyzna cięcia jest płaszczyzną przecinającą sferę.

Definicja. Płaszczyzna średnicowa- jest to sieczna płaszczyzna przechodząca przez środek kuli lub kuli, odpowiednio kształtuje się przekrój wielkie koło oraz duże koło. Wielkie koło i wielkie koło mają środek, który pokrywa się ze środkiem kuli (kula).

Każdy akord przechodzący przez środek kuli (kulki) jest średnicą.

Akord to odcinek siecznej linii.

Odległość d od środka kuli do siecznej jest zawsze mniejsza niż promień kuli:

D< R

Odległość m między płaszczyzną cięcia a środkiem kuli jest zawsze mniejsza niż promień R:

m< R

Przekrój płaszczyzny tnącej na sferze zawsze będzie mniejsze koło, a na piłce będzie sekcja małe kółko. Małe koło i małe koło mają swoje środki, które nie pokrywają się ze środkiem kuli (kula). Promień r takiego okręgu można znaleźć wzorem:

r \u003d √ R 2 - m2,

Gdzie R jest promieniem kuli (kulki), m jest odległością od środka kuli do płaszczyzny cięcia.

Definicja. Półkula (półkula)- jest to połowa kuli (kulki), która powstaje, gdy jest przecięta płaszczyzną średnicy.

Styczna, styczna płaszczyzna do kuli i ich własności

Definicja. Styczna do sfery to linia prosta, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie.

Definicja. Płaszczyzna styczna do sfery to płaszczyzna, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie.

Linia styczna (płaszczyzna) jest zawsze prostopadła do promienia kuli narysowanej do punktu kontaktu

Odległość od środka kuli do linii stycznej (płaszczyzny) jest równa promieniowi kuli.

Definicja. segment kulkowy- jest to część piłki, która jest odcinana od piłki przez płaszczyznę tnącą. Kręgosłup segmentu zadzwoń do kręgu, który powstał w miejscu sekcji. wysokość segmentu h to długość prostopadłej poprowadzonej od środka podstawy segmentu do powierzchni segmentu.

Formuła. Powierzchnia zewnętrzna segmentu kuli o wysokości h pod względem promienia kuli R:

S = 2π Rh