1.2. Definicja trójkątów podobnych. Definicja. Dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeżeli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego trójkąta. Innymi słowy, dwa trójkąty są podobne, jeśli można je oznaczyć literami ABC i A1B1C1 tak, że A= A1, B= B1, C= C1. Nazywa się liczbę k, równą stosunkowi podobnych boków trójkątów współczynnik podobieństwa.

Slajd 9 z prezentacji „Podobne trójkąty” klasa 8. Rozmiar archiwum z prezentacją wynosi 1756 KB.

Geometria w klasie 8

podsumowanie innych prezentacji

„Kwadrat” klasa 8” – Zadania ustne. Kwadrat. Torba z kwadratową podstawą. Bogaty kupiec. Kwadrat to prostokąt mający wszystkie boki równe. Powierzchnia kwadratu. Obwód kwadratu. Znaki kwadratu. Zadania na pracę ustną na obszarze kwadratu. Właściwości kwadratu. Ile kwadratów pokazano na obrazku? Czarny kwadrat. Zadania do pracy ustnej po obwodzie kwadratu. Plac jest wśród nas.

„Iloczyn skalarny we współrzędnych” - Właściwości iloczynu skalarnego wektorów. Sprawdzian z matematyki. Konsekwencja. Wymień karty. Nowy materiał. Twierdzenie Napoleona. Wektor. Iloczyn skalarny we współrzędnych i jego właściwości. Dowód twierdzenia Pitagorasa. Rozwiązanie trójkąta. Geometria. Rozgrzewka matematyczna. Rozwiążmy problem. Nazwisko autora twierdzenia.

„Wzory okręgów wpisanych i opisanych” - Praca z podręcznikiem. Trapez. Suma długości przeciwległych boków. Kąty czworoboku wpisanego. Wierzchołki trójkąta. Środek okręgu. Wybierz prawidłowe stwierdzenie. Dokończ zdanie. Trójkąt. Okręgi wpisane i opisane. Środek okręgu opisanego. Koło. Punkt przecięcia. Suma przeciwnych kątów. Praca ustna. Wysokość.

„Geometria „Podobne trójkąty”” - Pierwsza oznaka podobieństwa trójkątów. Segmenty proporcjonalne. Rozwiązywanie problemów. Obydwa boki trójkąta są połączone odcinkiem, który nie jest równoległy do ​​trzeciego. Boki trójkąta. Wartości sinusa, cosinusa i tangensa. Środkowa linia trójkąta. Wartości sinus, cosinus i tangens dla kątów 30°, 45°, 60°. Dyktando matematyczne. Podstawowa tożsamość trygonometryczna. Kontynuacja boków. Trzeci znak podobieństwa trójkątów.

„Obszar prostokąta” 8. klasa - Znajdź obszar czworoboku. Właściwości obszarów. Na boku AB zbudowano równoległobok. ABCD i DСМK to kwadraty. Powierzchnia czworoboku ASKM. Boki każdego z prostokątów. Pole prostokąta. Jednostki miary powierzchni. Znajdź obszar trójkąta. Wielokąt składa się z kilku wielokątów. Znajdź obszar sześciokąta. Znajdź pole kwadratu. Jednostki. ABCD jest równoległobokiem.

„Pojęcie wektora” - wektor zerowy. Opóźnianie wektora z zadanego punktu. Trapez równoramienny. Co to jest wektor. Wektory współliniowe. Dwa niezerowe wektory. Dwa niezerowe wektory są współliniowe. Zaznacz na rysunku. Odniesienie historyczne. Kierunek wektorów. Koncepcja wektora geometrycznego. Zadanie. Równoległobok. Wektory. Długość wektora. Równość wektorów.

Trójkąt jest najprostszą zamkniętą figurą na płaszczyźnie. Podczas studiowania szkolnego kursu geometrii szczególną uwagę zwraca się na uwzględnienie jej właściwości. W tym artykule omówimy kwestię znaków podobieństwa i równości trójkątów.

Które trójkąty nazywamy podobnymi, a które równymi?

Logiczne jest założenie, że obie dane figury będą sobie równe, jeśli będą miały te same kąty i długości boków. Jeśli chodzi o podobieństwo, sprawa jest nieco bardziej skomplikowana. Dwa trójkąty będą podobne, gdy każdy kąt jednego jest równy odpowiedniemu kątowi drugiego, a boki leżące naprzeciw równych kątów obu figur są proporcjonalne. Poniżej znajduje się obrazek przedstawiający dwa podobne trójkąty.

Korzystając z tego rysunku zapiszemy powyższą definicję w postaci równości matematycznych: B = G, A = E, C = F, BA/GE = AC/EF = BC/GF = r, tutaj jedna litera łacińska oznacza kąt, a dwie litery - długość boku. Wartość r nazywana jest współczynnikiem podobieństwa. Oczywiste jest, że jeśli r = 1, to istnieją nie tylko podobne, ale także równe trójkąty.

Oznaki podobieństwa

Mówiąc o własnościach i równości trójkątów, należy wymienić trzy główne kryteria, według których można określić, czy dane figury są podobne, czy nie.

Zatem dwie liczby będą do siebie podobne, jeśli spełniony zostanie jeden z poniższych warunków:

1. Ich dwa kąty są równe. Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180 o, równość pierwszych dwóch z nich automatycznie oznacza, że ​​i trzeci będzie równy. Korzystając z powyższego rysunku, właściwość tę można zapisać w następujący sposób: jeśli B = G i A = E, to ABC i GEF są podobne. Jeśli w tym przypadku obie figury są równe przynajmniej z jednej strony, wówczas możemy mówić o całkowitej równoważności trójkątów.
2. Obie strony są proporcjonalne, a kąty między nimi są równe. Na przykład BA/GE = AC/EF i A = E, wówczas GEF i ABC będą podobne. Zauważ, że kąty A i E leżą pomiędzy odpowiednimi bokami proporcjonalnymi.
3. Wszystkie trzy strony są wzajemnie proporcjonalne. Wyrażone w języku matematycznym otrzymujemy: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, wtedy liczby o których mowa są również podobne.

Jeszcze raz zauważmy, że aby wykazać podobieństwo wystarczy podać jedną z przedstawionych cech. Logiczne jest, że wszystko inne zostanie wykonane w ten sam sposób.

Trójkąty prostokątne: kiedy są podobne, a kiedy równe?

Mówiąc o znakach równości i podobieństwa trójkątów prostokątnych, należy od razu zauważyć, że każdy z nich ma jeden kąt, który jest już równy (90 o).

Ten ostatni fakt prowadzi do następującego sformułowania przedstawionych powyżej kryteriów podobieństwa:

1. Jeśli w dwóch trójkątach prostokątnych tylko jeden kąt jest równy, co nie jest proste, to takie figury są do siebie podobne.
2. Jeśli nogi są do siebie proporcjonalne, liczby również będą podobne, ponieważ kąt między nogami jest odpowiedni.
3. Wreszcie proporcjonalność dowolnych dwóch boków obu trójkątów prostokątnych wystarczy, aby udowodnić ich podobieństwo. Powodem tego jest to, że boki tych figur są ze sobą powiązane twierdzeniem Pitagorasa, dlatego proporcjonalność 2 z nich prowadzi do proporcjonalności z podobnym współczynnikiem podobieństwa dla stron trzecich.

Jeśli chodzi o równość trójkątów z kątami prostymi, łatwo to zapamiętać: jeśli dowolne dwa elementy (kąt prosty się nie liczy) obu figur są równe, to same figury są równe. Na przykład tymi dwoma elementami może być kąt ostry i noga, noga i przeciwprostokątna lub przeciwprostokątna i kąt ostry.

Własności trójkątów podobnych

Z rozważanych znaków podobieństwa i równości trójkątów własności można wyróżnić:

1. Obwody tych figur odnoszą się do siebie jako współczynnik podobieństwa, to znaczy P 1 / P 2 = r, gdzie P 1 i P 2 są odpowiednio obwodami pierwszego i drugiego trójkąta.
2. Pola figur podobnych są powiązane jako kwadrat współczynnika podobieństwa, czyli: S 1 / S 2 = r 2, gdzie S 1 i S 2 to odpowiednio pola pierwszego i drugiego trójkąta.

Obie te właściwości można udowodnić niezależnie. Istota dowodu sprowadza się do zastosowania zapisu matematycznego dla podobieństwa boków figur. Tutaj podamy jedynie dowód pierwszej własności.

Niech a, b, c będą długościami boków jednego trójkąta, a a", b", c" - bokami drugiego. Ponieważ figury są podobne, możemy napisać: a = r * a", b = r * b”, do = r * do”. Teraz podstawiamy te wyrażenia w odniesieniu do ich obwodów, otrzymujemy: P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c ") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.

Przykład rozwiązania problemu

Znaki podobieństwa i równości trójkątów można wykorzystać do rozwiązywania różnych problemów geometrycznych. Poniżej znajduje się jeden przykład.

Są dwa trójkąty. Jedna z nich ma boki równe 7,6 cm, 4,18 cm i 6,65 cm, a druga ma boki 3,5 cm, 2,2 cm i 4 cm. Należy ustalić, czy te liczby są podobne.

Ponieważ podane są wartości trzech boków, możemy od razu sprawdzić trzecie kryterium podobieństwa. Trudność polega na tym, że musisz zrozumieć, które strony należy wziąć pod uwagę. Tutaj powinieneś zastosować proste logiczne rozumowanie: współczynniki podobieństwa mogą być równe, jeśli podzielisz najmniejszy bok jednego trójkąta przez podobny dla drugiego i tak dalej. Zatem mamy: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Po sprawdzeniu stosunku wszystkich boków możemy śmiało powiedzieć, że trójkąty są podobne, ponieważ spełnione jest trzecie kryterium.

Podobieństwo trójkątów Dwa trójkąty nazywane są podobnymi, jeśli kąty jednego są odpowiednio równe kątom drugiego, a odpowiadające im boki są proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności nazywany jest współczynnikiem podobieństwa. Zatem trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A 1 B 1 C 1 jeśli A = A 1, B = B 1, C = C 1 i gdzie k jest współczynnikiem podobieństwa.

Twierdzenie o pierwszym znaku podobieństwa. (Pierwszy znak podobieństwa.) Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne. Dowód. Wprowadźmy trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Wtedy C= C 1. Udowodnijmy to. Połóżmy na półprostej A 1 B 1 odcinek A 1 B ", równy AB i narysujmy linię prostą B "C" równoległą do B 1 C 1. Trójkąty A 1 B "C" i ABC są równe ( zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów). Zgodnie z twierdzeniem o odcinkach proporcjonalnych zachodzi równość. Udowodniono, że trójkąty są podobne.

Pytanie 1 Które trójkąty nazywane są podobnymi? Odpowiedź: Dwa trójkąty nazywane są podobnymi, jeśli kąty jednego są odpowiednio równe kątom drugiego, a odpowiadające im boki są proporcjonalne.

Zadanie 2 Formułuj trójkąty. pierwszy znak podobieństwa Odpowiedź: Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.

Pytanie 3 Czy dowolne dwa są podobne: a) trójkąty równoboczne; b) trójkąty równoramienne; c) trójkąty równoramienne? Odpowiedź: a) Tak; b) nie; c) tak.

Ćwiczenie 4 Narysuj trójkąt A’B’C’ podobny do podanego trójkąta ABC, którego współczynnik podobieństwa wynosi 0,5. Odpowiedź:

Ćwiczenie 5 Boki trójkąta mają długość 5 cm, 8 cm i 10 cm. Znajdź boki podobnego trójkąta, jeśli współczynnik podobieństwa wynosi: a) 0,5; b) 2. Odpowiedź: a) 2,5 cm, 4 cm i 5 cm; b) 10 cm, 16 cm i 20 cm.

Ćwiczenie 6 Czy trójkąty prostokątne są podobne, jeśli jeden z nich ma kąt 40°, a drugi 50°? Odpowiedź: Tak.

Ćwiczenie 7 Dwa trójkąty są podobne. Dwa kąty jednego trójkąta mają miary 55° i 80°. Znajdź najmniejszy kąt drugiego trójkąta. Odpowiedź: 45 o.

Ćwiczenie 8 W podobnych trójkątach ABC i A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm Znajdź AC i B 1 C 1 Odpowiedź: AC = 15 cm, B 1 C 1 = 7 cm.

Ćwiczenie 9 Trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 A = A 1, B = B 1, AB = 5 m, BC = 7 m, A 1 B 1 = 10 m, A 1 C 1 = 8 m Znajdź resztę boki trójkątów. Odpowiedź: AC = 4 m, B 1 do 1 = 14 m.

Ćwiczenie 10 Boki trójkąta mają stosunek 5:3:7. Znajdź boki podobnego trójkąta, którego: a) obwód wynosi 45 cm; b) krótszy bok ma długość 5 cm; c) większy bok ma długość 7 cm; d) różnica między większym i mniejszym bokiem wynosi 2 cm. Odpowiedź: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Ćwiczenie 11 Na rysunku wskaż wszystkie trójkąty podobne. Odpowiedź: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC i FGC; ADC i FEC; DBC i EGC.

Ćwiczenie 12 Dwa trójkąty równoramienne mają równe kąty między bokami. Bok i podstawa jednego trójkąta mają odpowiednio 17 cm i 10 cm, a podstawa drugiego wynosi 8 cm. Znajdź jego bok. Odpowiedź: 13,6 cm.

Ćwiczenie 13 W trójkąt wpisano kwadrat o boku a i wysokości h obniżonej do niego w taki sposób, że dwa jego wierzchołki leżą po tej stronie trójkąta, a dwa pozostałe po dwóch pozostałych bokach trójkąta. Znajdź bok kwadratu. Odpowiedź: .

Ćwiczenie 14 W trójkąt ABC wpisano romb ADEF w taki sposób, że kąt A jest dla nich wspólny, a wierzchołek E leży na boku BC. Znajdź bok rombu, jeśli AB = c i AC = b. Odpowiedź: .

Ćwiczenie 15 Czy można przeciąć trójkąt linią prostą, która nie jest równoległa do podstawy, aby wyciąć z niej trójkąt podobny? W jakim przypadku jest to niemożliwe? Odpowiedź: Tak, jeśli trójkąt nie jest równoboczny.

Ćwiczenie 16 Niech AC i BD będą cięciwami okręgu przecinającego się w punkcie E. Udowodnij, że trójkąty ABE i CDE są podobne. Dowód: Kąt A trójkąta ABE jest równy kątowi D trójkąta CDE, podobnie jak kąty wpisane oparte na tym samym łuku koła. Podobnie kąt B jest równy kątowi C. Zatem trójkąty ABE i CDE są podobne pod pierwszym względem.

Ćwiczenie 17 Na rysunku AE = 3, BE = 6, CE = 2. Znajdź DE. Odpowiedź: 4.

Ćwiczenie 18 Na rysunku AB = 8, BE = 6, DE = 4. Znajdź CD. Odpowiedź: .

Ćwiczenie 19 Na rysunku CE = 2, DE = 5, AE = 4. Znajdź BE. Odpowiedź: 10.

Ćwiczenie 20 Na rysunku CE = 4, CD = 10, AE = 6. Znajdź AB. Odpowiedź: 15.

Ćwiczenie 21 Na rysunku DL jest dwusieczną trójkąta DEF wpisanego w okrąg. DL przecina okrąg w punkcie K, który jest połączony odcinkami z wierzchołkami E i F trójkąta. Znajdź podobne trójkąty. Odpowiedź: DEK i DLF, DEK i ELK, DLF i ELK, DFK i DLE, DFK i FLK, DLE i FLK.

Ćwiczenie 22 Trójkąt ostry ABC jest wpisany w okrąg, AH jest jego wysokością, AD jest średnicą okręgu przecinającego bok BC w punkcie M. Punkt D jest połączony z wierzchołkami B i C trójkąta. Znajdź podobne trójkąty. Odpowiedź: ABH i ADC, ACH i ADB, ABM i CDM, BMD i AMC.

Ćwiczenie 23 Udowodnij, że iloczyn odcinków dowolnej cięciwy przeciągniętych przez punkt wewnętrzny okręgu jest równy iloczynowi odcinków o średnicy przeciągniętych przez ten sam punkt. Rozwiązanie. Dany jest okrąg o środku w punkcie O, cięciwa AB i średnica CD przecinają się w punkcie E. Udowodnijmy, że trójkąty ACE i DBE są podobne. Dlatego to znaczy

Ćwiczenie 24 Przez zewnętrzny punkt E okręgu poprowadzono dwie proste, przecinające okrąg w punktach A, C i B, D. Udowodnij, że trójkąty ADE i BCE są podobne. Dowód: Kąt D trójkąta ADE jest równy kątowi C trójkąta BCE, podobnie jak kąty wpisane oparte na tym samym łuku koła. Kąt E tych trójkątów jest wspólny. Zatem trójkąty ADE i BCE są podobne pod pierwszym względem.

Ćwiczenie 25 Przez zewnętrzny punkt E okręgu poprowadzono dwie proste, przecinające okrąg odpowiednio w punktach A, C i B, D. Udowodnij, że AE·CE = BE·DE. Dowód: Trójkąty ADE i BCE są podobne. Zatem AE: DE = BE: CE. Zatem AE·CE = BE·DE.

Ćwiczenie 26 Na rysunku AE = 9, BE = 8, CE = 24. Znajdź DE. Odpowiedź: 27.

Ćwiczenie 27 Przez zewnętrzny punkt E okręgu poprowadzono linię prostą, przecinającą okrąg w punktach A i B oraz styczną EC (C jest punktem styczności). Udowodnić, że trójkąty EAC i EBC są podobne. Dowód. Trójkąty EAC i ECB mają wspólny kąt E. Kąty ACE i CBE są równe, podobnie jak kąty oparte na tej samej cięciwie. Zatem trójkąty EAC i EBC są podobne.

Ćwiczenie 28 Przez zewnętrzny punkt E okręgu poprowadzono linię prostą, przecinającą okrąg w punktach A i B oraz styczną EC (C jest punktem styczności). Udowodnij, że iloczyn siecznych odcinków AE i BE jest równy kwadratowi stycznego odcinka CE. Dowód. Trójkąty EAC i ECB są podobne. Dlatego AE: CE = CE: BE, co oznacza AE BE = CE 2.

Ćwiczenie 30 W trójkącie ABC poprowadzono wysokości AA 1 i BB 1. Udowodnij, że trójkąty A 1 AC i B 1 BC są podobne. Dowód. Trójkąty A 1 AC i B 1 BC są trójkątami prostokątnymi i mają wspólny kąt C. Dlatego są podobne pod dwoma kątami.

Ćwiczenie 31 Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym prostopadła wyprowadzona z kąta prostego do przeciwprostokątnej jest średnią geometryczną rzutów nóg na przeciwprostokątną. (Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich a i b jest liczbą dodatnią c, której kwadrat jest równy ab, tj. c =). Rozwiązanie: Trójkąty ADC i CDB są podobne. Zatem albo CD 2 = AD BD, tj. CD jest średnią geometryczną AD i BD.

Ćwiczenie 32 W trójkącie ABC punkt H jest punktem przecięcia wysokości, punkt O jest środkiem opisanego okręgu. Udowodnić, że długość odcinka CH jest dwukrotnie większa od odległości punktu O od prostej AB. Rozwiązanie: Niech B 1, C 1 będą środkami boków AC i AB trójkąta ABC. Trójkąty HBC i OB 1 C 1 są podobne, BC = 2 B 1 C 1. Zatem CH = 2 OC 1.

Twierdzenie 1. Pierwszy znak podobieństwa trójkątów. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego, to takie trójkąty są podobne.

Dowód. Niech ABC i $A_1B_1C_1$ będą trójkątami o $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , a zatem $\angle C = \angle C_1$ . Udowodnimy, że $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (ryc. 1).

Narysujmy na BA z punktu B odcinek $BA_2$ równy odcinku $A_1B_1$ i przez punkt $A_2$ narysujmy prostą równoległą do prostej AC. Ta linia prosta przetnie BC w pewnym punkcie $C_2$. Trójkąty $A_1B_1C_1\text( i )A_2BC_2$ są równe: $A_1B_1 = A_2B$ według konstrukcji, $\angle B = \angle B_1$ według warunku i $\angle A_1 = \angle A_2$ , ponieważ $\angle A_1 = \ kąt A$ według warunku i $\angle A = \angle A_2$ jako odpowiednie kąty. Na podstawie Lematu 1 o trójkątach podobnych mamy: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , a więc $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenia 2 i 3 ustala się przy użyciu podobnego schematu.

Twierdzenie 2. Drugi znak podobieństwa trójkątów. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta i kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

Twierdzenie 3. Trzeci znak podobieństwa trójkątów. Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków innego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Z Twierdzenia 1 wynika co następuje.

Wniosek 1. W podobnych trójkątach podobne boki są proporcjonalne do podobnych wysokości, tj. tych wysokości, które są obniżone na podobne boki.

Przykład 1. Czy dwa trójkąty równoboczne są podobne?

Rozwiązanie. Ponieważ w trójkącie równobocznym każdy kąt wewnętrzny jest równy 60° (Wniosek 3), to dwa trójkąty równoboczne są podobne w pierwszy sposób.

Przykład 2. W trójkątach ABC i $A_1B_1C_1$ wiadomo, że $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m $ Znajdź nieznane boki trójkątów.

Rozwiązanie. Trójkąty określone przez warunek zadania są podobne według pierwszego znaku podobieństwa. Z podobieństwa trójkątów wynika: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Podstawianie do równości (1) dane z warunków problemowych otrzymujemy: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Z równości (2 ) zróbmy dwie proporcje $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( skąd )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Przykład 3. Kąty B i $B_1$ trójkątów ABC i $A_1B_1C_1$ są równe. Boki AB i BC trójkąta ABC są 2,5 razy większe niż boki $A_1B_1$ i $B_1C_1$ trójkąta $A_1B_1C_1$. Znajdź AC i $A_1C_1$, jeśli ich suma wynosi 4,2 m.

Rozwiązanie. Niech rysunek 2 spełnia warunki zadania.

Z opisu problemu: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ Zatem $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Z podobieństwa tych trójkątów wynika $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , lub )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ Ponieważ AC = 2,5 A 1 C 1, to AC + A 1 C 1 = 2,5 A 1 do 1 + ZA 1 do 1 = 4,2, skąd A 1 do 1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).

Przykład 4. Czy trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są podobne, jeśli AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ?

Rozwiązanie. Mamy: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7,5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Zatem trójkąty są podobne według trzeciego kryterium .

Przykład 5. Udowodnić, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co dzieli każdą środkową w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Rozwiązanie. Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Oznaczmy literą O punkt przecięcia jego środkowych $AA_1\text( i )BB_1$ i narysujmy linię środkową $A_1B_1$ tego trójkąta (rys. 3).

Odcinek $A_1B_1$ jest równoległy do ​​boku AB, więc $\angle 1 = \angle2 \text( i ) \angle 3 = \angle 4 $. W konsekwencji trójkąty AOB i $A_1OB_1$ są podobne pod dwoma kątami, a zatem ich boki są proporcjonalne: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $ $

Ale $AB = 2A_1B_1$, więc $AO = 2A_1O$ i $BO = 2B_1O$.

Podobnie udowodniono, że punkt przecięcia środkowych $BB_1\text( i )CC_1) dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, a zatem pokrywa się z punktem O.

Zatem wszystkie trzy środkowe trójkąta ABC przecinają się w punkcie O i dzielą go w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Komentarz. Zauważono wcześniej, że dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Na podstawie ostatniego stwierdzenia ustalono, że wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie. Te trzy punkty i punkt, w którym przecinają się środkowe, nazywane są niezwykłymi punktami trójkąta.

Przykład 6. Projektor w pełni oświetla ekran A o wysokości 90 cm, znajdujący się w odległości 240 cm, w jakiej minimalnej odległości w cm od projektora należy ustawić ekran B o wysokości 150 cm, aby był w pełni oświetlony, jeśli ustawienia projektora nie zostały zmienione. niezmienione.

Rozwiązanie wideo.