Cześć drodzy przyjaciele! Nadal rozważamy zadania związane z badaniem funkcji. Polecam, jest ona niezbędna do rozwiązywania problemów znalezienia maksymalnej (minimalnej) wartości funkcji i znalezienia jej maksymalnych (minimalnych) punktów.

Problemy z logarytmami ze znalezieniem największej (najmniejszej) wartości funkcji we. W tym artykule rozważymy trzy problemy, w których chodzi o znalezienie punktów maksymalnych (minimalnych) funkcji, a dana funkcja zawiera logarytm naturalny.

Punkt teoretyczny:

Z definicji logarytmu wyrażenie pod znakiem logarytmu musi być większe od zera. *Należy to wziąć pod uwagę nie tylko przy tych zadaniach, ale także przy rozwiązywaniu równań i nierówności zawierających logarytm.

Algorytm znajdowania punktów maksymalnych (minimalnych) funkcji:

1. Oblicz pochodną funkcji.

2. Przyrównujemy to do zera i rozwiązujemy równanie.

3. Wynikowe pierwiastki zaznaczamy na osi liczbowej.*Zaznaczamy także punkty, w których pochodna nie istnieje. Obliczmy przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje.

4. Określ znaki pochodnej na tych przedziałach (podstawiając z nich dowolne wartości do pochodnej).

5. Wyciągamy wniosek.

Znajdź maksimum funkcji y = ln (x–11)–5x+2

Zapiszmy od razu, że x–11>0 (z definicji logarytmu), czyli x > 11.

Rozważymy funkcję na przedziale (11;∞).

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = 11 nie należy do dziedziny definicji funkcji i pochodna w nim nie istnieje. Na osi liczb zaznaczamy dwa punkty 11 i 11,2. Określmy znaki pochodnej funkcji, podstawiając dowolne wartości z przedziałów (11;11,2) i (11,2;+∞) do znalezionej pochodnej i przedstawmy zachowanie funkcji na rysunku :

Zatem w punkcie x = 11,2 pochodna funkcji zmienia znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt maksymalny.

Odpowiedź: 11.2

Zdecyduj sam:

Znajdź maksimum funkcji y=ln (x+5)–2x+9.

Znajdź punkt minimalny funkcji y=4x– ln (x+5)+8

Zapiszmy od razu, że x+5>0 (z własności logarytmu), czyli x>–5.

Rozważymy funkcję na przedziale (– 5;+∞).

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = –5 nie należy do dziedziny definicji funkcji i pochodna w niej nie istnieje. Zaznacz dwa punkty na osi liczb–5 i –4,75. Wyznaczmy znaki pochodnej funkcji, podstawiając do znalezionej pochodnej dowolne wartości z przedziałów (–5;–4,75) i (–4,75;+∞) i przedstawiając zachowanie funkcji na rysunku:

Zatem w punkcie x = –4,75 pochodna funkcji zmienia znak z ujemnego na dodatni, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt minimalny.

Odpowiedź: – 4,75

Zdecyduj sam:

Znajdź punkt minimalny funkcji y=2x–ln (x+3)+7.

Znajdź maksymalny punkt funkcji y = x 2 –34x+140lnx–10

Zgodnie z właściwością logarytmu wyrażenie pod jego znakiem jest większe od zera, to znaczy x > 0.

Rozważymy funkcję na przedziale (0; +∞).

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymujemy: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.

Punkt x = 0 nie należy do dziedziny definicji funkcji i pochodna w niej nie istnieje. Zaznaczamy trzy punkty na osi liczb 0, 7 i 10.

Oś wołu podzielona jest na przedziały: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Określmy znaki pochodnej funkcji, podstawiając dowolne wartości z uzyskanych przedziałów do znalezionej pochodnej i zobrazujmy zachowanie funkcji na rysunku:

To wszystko. Życzę Ci sukcesu!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Co to jest ekstremum funkcji i jaki jest warunek konieczny ekstremum?

Ekstremum funkcji to jej maksimum i minimum.

Warunek konieczny na maksimum i minimum (ekstremum) funkcji jest następujący: jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x = a, to w tym punkcie pochodna jest albo zerowa, albo nieskończona, albo nie istnieje.

Warunek ten jest konieczny, ale niewystarczający. Pochodna w punkcie x = a może dążyć do zera, nieskończoności lub nie istnieć, jeśli funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum.

Jaki jest warunek wystarczający na ekstremum funkcji (maksimum lub minimum)?

Pierwszy warunek:

Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest dodatnia na lewo od a i ujemna na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma maksymalny

Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest ujemna na lewo od a i dodatnia na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma minimum pod warunkiem, że funkcja f(x) jest tutaj ciągła.

Zamiast tego możesz użyć drugiego warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji:

Niech w punkcie x = a pierwsza pochodna f?(x) zniknie; jeśli druga pochodna f??(a) jest ujemna, to funkcja f(x) ma maksimum w punkcie x = a, jeśli jest dodatnia, to ma minimum.

Jaki jest punkt krytyczny funkcji i jak go znaleźć?

Jest to wartość argumentu funkcji, przy której funkcja ma ekstremum (tj. maksimum lub minimum). Aby go znaleźć, potrzebujesz znajdź pochodną funkcję f?(x) i przyrównując ją do zera, Rozwiązać równanie f?(x) = 0. Pierwiastki tego równania, a także te punkty, w których pochodna tej funkcji nie istnieje, są punktami krytycznymi, czyli wartościami argumentu, w których może istnieć ekstremum. Można je łatwo rozpoznać po spojrzeniu wykres pochodnej: interesują nas te wartości argumentu, przy których wykres funkcji przecina oś odciętych (oś wołu) i te, przy których wykres wykazuje nieciągłości.

Na przykład znajdźmy ekstremum paraboli.

Funkcja y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Pochodna funkcji: y?(x) = 6x + 2

Rozwiąż równanie: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

W tym przypadku punktem krytycznym jest x0=-1/3. Funkcja ma właśnie tę wartość argumentu ekstremum. Do niego znajdować, zamień znalezioną liczbę w wyrażeniu na funkcję zamiast „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Jak wyznaczyć maksimum i minimum funkcji, tj. jego największa i najmniejsza wartość?

Jeżeli znak pochodnej przy przejściu przez punkt krytyczny x0 zmieni się z „plus” na „minus”, to x0 wynosi maksymalny punkt; jeśli znak pochodnej zmienia się z minus na plus, to x0 wynosi minimalny punkt; jeśli znak się nie zmienia, to w punkcie x0 nie ma ani maksimum, ani minimum.

Dla rozważanego przykładu:

Przyjmujemy dowolną wartość argumentu na lewo od punktu krytycznego: x = -1

Przy x = -1 wartość pochodnej będzie wynosić y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tzn. znak to „minus”).

Teraz bierzemy dowolną wartość argumentu na prawo od punktu krytycznego: x = 1

Przy x = 1 wartość pochodnej będzie wynosić y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tzn. znak to „plus”).

Jak widać pochodna zmieniała znak z minus na plus po przejściu przez punkt krytyczny. Oznacza to, że przy wartości krytycznej x0 mamy punkt minimalny.

Największa i najmniejsza wartość funkcji na przerwie(na segmencie) znajdują się przy użyciu tej samej procedury, biorąc jedynie pod uwagę fakt, że być może nie wszystkie punkty krytyczne będą mieścić się w określonym przedziale. Te punkty krytyczne, które znajdują się poza przedziałem, należy wykluczyć z rozważań. Jeśli w przedziale znajduje się tylko jeden punkt krytyczny, będzie on miał maksimum lub minimum. W tym przypadku, aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji, bierzemy pod uwagę także wartości funkcji na końcach przedziału.

Na przykład znajdźmy największą i najmniejszą wartość funkcji

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

w przerwach:

Zatem pochodna funkcji wynosi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rozwiązujemy równanie 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Punkty krytyczne znajdujemy na przedziale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nieuwzględnione w przedziale)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nieuwzględnione w przedziale)

Wartości funkcji znajdujemy przy wartościach krytycznych argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Można zauważyć, że na przedziale [-9; 9] funkcja ma największą wartość przy x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

i najmniejszy - przy x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na przedziale [-6; -3] mamy tylko jeden punkt krytyczny: x = -4,88. Wartość funkcji przy x = -4,88 jest równa y = 5,398.

Znajdź wartość funkcji na końcach przedziału:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na przedziale [-6; -3] mamy największą wartość funkcji

y = 5,398 przy x = -4,88

najmniejsza wartość -

y = 1,077 przy x = -3

Jak znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji i wyznaczyć boki wypukłe i wklęsłe?

Aby znaleźć wszystkie punkty przegięcia prostej y = f(x), należy znaleźć drugą pochodną, ​​przyrównać ją do zera (rozwiązać równanie) i przetestować wszystkie wartości x, dla których druga pochodna wynosi zero, nieskończony lub nie istnieje. Jeżeli przy przejściu przez jedną z tych wartości druga pochodna zmieni znak, to wykres funkcji ma w tym miejscu przegięcie. Jeżeli to się nie zmieni, to nie ma zakrętu.

Pierwiastki równania f? (x) = 0, a także możliwe punkty nieciągłości funkcji i druga pochodna dzielą dziedzinę definicji funkcji na pewną liczbę przedziałów. Wypukłość na każdym z ich przedziałów wyznacza znak drugiej pochodnej. Jeżeli druga pochodna w punkcie badanego przedziału jest dodatnia, to prosta y = f(x) jest wklęsła w górę, a jeśli jest ujemna, to w dół.

Jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych?

Aby znaleźć ekstrema funkcji f(x,y), różniczkowalne w dziedzinie jej specyfikacji, potrzebujemy:

1) znaleźć punkty krytyczne i w tym celu rozwiązać układ równań

kurwa? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) dla każdego punktu krytycznego P0(a;b) sprawdzić, czy znak różnicy pozostaje niezmieniony

dla wszystkich punktów (x;y) wystarczająco blisko P0. Jeśli różnica pozostaje dodatnia, to w punkcie P0 mamy minimum, jeśli jest ujemna, to mamy maksimum. Jeżeli różnica nie zachowuje znaku, to w punkcie P0 nie ma ekstremum.

Ekstrema funkcji wyznacza się w podobny sposób dla większej liczby argumentów.

Jaka jest oficjalna strona zespołu "Banderos"
Strony rosyjskojęzycznych artystów hip-hopowych: mad-a.ru - oficjalna strona artysty rapowego MAD-A (zdjęcia, muzyka, biografia); st1m.ru - oficjalna strona artysty rapowego St1m (muzyka, wideo, zdjęcia, informacje o koncertach, aktualności, forum); all1.ru - oficjalna strona Creative United

W jakich przypadkach inspektor policji drogowej ma prawo zatrzymać pojazd?
Na podstawie przepisów art. 13 ust. 20 ustawy „O policji” inspektor policji drogowej ma prawo zatrzymać pojazd (zwany dalej pojazdem), jeżeli jest to niezbędne do wypełnienia obowiązków powierzonych mu policji w celu zapewnienia bezpieczeństwa na drodze oraz w innych przypadkach (pełna lista poniżej). Jeśli inspektor wizualnie

Jak zabezpieczyć dokumentację pracy przed celową utratą przez pracodawcę
Aby zabezpieczyć książeczkę pracy przed celową utratą (zniszczeniem) przez pracodawcę, zaleca się, aby pracownik przedsiębiorstwa w jakikolwiek legalny sposób uzyskał odpis książeczki pracy, np. pod pretekstem ubiegania się o pożyczkę, i przechowuj go w bezpiecznym miejscu. Jeżeli pozbawiony skrupułów pracodawca umyślnie niszczy fakty dotyczące zatrudnienia pracownika w swoim przedsiębiorstwie (w celu uniknięcia wykrycia naruszeń prawa pracy w trakcie

Gdzie w Internecie można znaleźć informacje pomocy dla wszystkich telefonów?
Strony internetowe „Yellow Pages” w Internecie: Yellow-pages.ru - internetowy magazyn informacji referencyjnych „Yellow Pages”; ypag.ru - żółte strony WNP; Yellowpages.rin.ru - żółte strony

Ile stopni ma radian?
1 minuta łukowa (1′) = 60 sekund łukowych (60″) 1 stopień kątowy (1°) = 60 minut łukowych (60′) = 3600 sekund łukowych (3600″) 1 radian ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim

Muzyka jest formą sztuki. Specjalnie zorganizowane dźwięki służą do przekazywania nastroju i uczuć w muzyce. Głównymi elementami i środkami wyrazu muzyki są: melodia, rytm, metrum, tempo, dynamika, barwa, harmonia, instrumentacja i inne. Muzyka jest bardzo dobrym sposobem na rozwijanie u dziecka gustu artystycznego. Muzyka może wpływać na Twój nastrój

Które kraje były gospodarzami Grand Prix Formuły 1 w 2005 roku?
W 2005 roku na Mistrzostwa Świata składało się 19 Grand Prix, które odbyły się w następujących krajach: Australia, Malezja, Bahrajn, San Marino, Hiszpania, Monako, Kanada, USA, Francja, Wielka Brytania, Niemcy, Węgry, Turcja, Włochy, Belgia, Brazylia, Japonia, Chiny. Grand Prix Europy odbyło się w Niemczech (Nürburg). Więcej informacji na stronie http://

Co to jest alocazja
Alocasia (Alocasia) Rodzina araceae. Ojczyzna Ameryki Południowej. Rzadka roślina, która uwielbia warunki szklarniowe (wilgoć i ciepło) i dlatego nie jest powszechnie stosowana wśród ogrodników. Alocasia to piękna roślina domowa z dużymi, owalnymi (lub w kształcie serca) liśćmi w kształcie strzałki, których jest nie więcej niż 6-7. Najczęściej w

Co oznacza stwierdzenie: „Już powąchaliśmy ten kwiat”?
Wyrażenie „Już powąchaliśmy ten kwiat” jest używane w tym samym znaczeniu, co dobrze znana jednostka frazeologiczna „Wejdź dwa razy na tę samą grabię”, tj. zmierzyć się ze znaną już nieprzyjemną sytuacją. Wyrażenie to znajdujemy w felietonie Ilji Ilfa „Młode damy” (1929) w następującym tekście:

Gdzie znaleźć przepis na panna cotta
Panna cotta to delikatny, uwodzicielski deser na bazie śmietanki i żelatyny, przygotowywany we Włoszech, w regionie Emilia-Romania. Dosłownie nazwę deseru tłumaczy się jako „gotowana śmietana” lub „gotowana śmietana”, ale w istocie jest to kremowy budyń bez lub z różnymi dodatkami.

Jaki jest cosinus 90 stopni?
Cosinus jest jedną z funkcji trygonometrycznych, oznaczoną jako cos. W trójkącie prostokątnym cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi nogi wychodzącej z tego kąta (sąsiedniej nogi) do przeciwprostokątnej. Wartości cosinusów dla często występujących kątów (π - pi, √ - pierwiastek kwadratowy

Zwiększanie, zmniejszanie i ekstrema funkcji

Znalezienie przedziałów wzrostu, spadku i ekstremów funkcji jest zarówno zadaniem niezależnym, jak i istotną częścią innych zadań, w szczególności: pełne badanie funkcji. Początkowe informacje o wzroście, spadku i ekstremach funkcji podano w rozdział teoretyczny o pochodnej, które gorąco polecam do wstępnego przestudiowania (lub powtórzenie)– także z tego powodu, że poniższy materiał opiera się na tym samym zasadniczo pochodna, stanowiącą harmonijną kontynuację tego artykułu. Chociaż, jeśli czasu jest mało, możliwe jest również czysto formalne przećwiczenie przykładów z dzisiejszej lekcji.

A dzisiaj w powietrzu unosi się duch rzadkiej jednomyślności i bezpośrednio czuję, że wszyscy obecni płoną pożądaniem naucz się badać funkcję za pomocą jej pochodnej. Dlatego na ekranach monitorów natychmiast pojawia się rozsądna, dobra, wieczna terminologia.

Po co? Jeden z powodów jest najbardziej praktyczny: aby było jasne, czego ogólnie oczekuje się od Ciebie przy konkretnym zadaniu!

Monotoniczność funkcji. Ekstrema i ekstrema funkcji

Rozważmy pewną funkcję. Najprościej mówiąc, zakładamy, że ona ciągły na całej osi liczbowej:

Na wszelki wypadek pozbądźmy się od razu ewentualnych złudzeń, zwłaszcza dla tych czytelników, którzy niedawno zapoznali się z przedziały stałego znaku funkcji. Teraz my NIE ZAINTERESOWANY, położenie wykresu funkcji względem osi (powyżej, poniżej, w miejscu przecięcia osi). Aby być przekonującym, wymaż w myślach osie i zostaw jeden wykres. Bo tam właśnie leży zainteresowanie.

Funkcjonować wzrasta na przedziale, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału, połączonych zależnością, nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od dołu do góry”. Funkcja demonstracyjna rośnie w przedziale.

Podobnie funkcja maleje na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów danego przedziału tak, że , nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od góry do dołu”. Nasza funkcja maleje na przedziałach .

Jeśli funkcja rośnie lub maleje w pewnym przedziale, wówczas nazywa się ją ściśle monotonne w tym przedziale. Co to jest monotonia? Weź to dosłownie – monotonia.

Możesz także zdefiniować nie malejący funkcja (stan rozluźniony w pierwszej definicji) i nierosnący funkcja (stan zmiękczony w drugiej definicji). Niemalejącą lub nierosnącą funkcję na danym przedziale nazywamy funkcją monotoniczną na danym przedziale (ścisła monotoniczność jest szczególnym przypadkiem „po prostu” monotoniczności).

Teoria uwzględnia także inne podejścia do wyznaczania wzrostu/spadku funkcji, m.in. na półprzedziałach, odcinkach, jednak żeby nie zalewać głowy olej-olej-olej zgodzimy się operować przedziałami otwartymi z definicjami kategorycznymi - jest to jaśniejsze i wystarczające do rozwiązania wielu praktycznych problemów.

Zatem, w moich artykułach sformułowanie „monotoniczność funkcji” będzie prawie zawsze ukryte interwałyścisła monotonia(funkcja ściśle rosnąca lub ściśle malejąca).

Sąsiedztwo punktu. Słowa, po których uczniowie uciekają, gdzie się da i z przerażeniem chowają po kątach. ...Chociaż po poście Granice Cauchy’ego Pewnie już się nie ukrywają, tylko lekko drżą =) Nie martw się, teraz nie będzie dowodów na twierdzenia analizy matematycznej - potrzebowałem otoczenia, żeby ściślej sformułować definicje punkty ekstremalne. Zapamiętajmy:

Sąsiedztwo punktu nazywa się przedział zawierający dany punkt i dla wygody często przyjmuje się, że przedział ten jest symetryczny. Na przykład punkt i jego standardowe otoczenie:

Właściwie definicje:

Punkt nazywa się ścisły punkt maksymalny, Jeśli istnieje jej okolica, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność . W naszym konkretnym przykładzie jest to kropka.

Punkt nazywa się ścisły punkt minimalny, Jeśli istnieje jej okolica, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność . Na rysunku jest punkt „a”.

Notatka : wymóg symetrii sąsiedztwa wcale nie jest konieczny. Poza tym jest to ważne sam fakt istnienia sąsiedztwo (niezależnie od tego, czy jest maleńkie, czy mikroskopijne), które spełnia określone warunki

Punkty to tzw punkty ściśle ekstremalne lub po prostu punkty ekstremalne Funkcje. Oznacza to, że jest to uogólnione określenie maksymalnej i minimalnej liczby punktów.

Jak rozumiemy słowo „ekstremalny”? Tak, tak samo bezpośrednio jak monotonia. Skrajne punkty kolejek górskich.

Podobnie jak w przypadku monotoniczności, istnieją luźne postulaty, które w teorii są jeszcze częstsze (do których oczywiście zaliczają się rozważane ścisłe przypadki!):

Punkt nazywa się maksymalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie jest takie, że dla wszystkich
Punkt nazywa się minimalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie jest takie, że dla wszystkich wartości tego sąsiedztwa, nierówność jest zachowana.

Należy pamiętać, że zgodnie z dwiema ostatnimi definicjami każdy punkt funkcji stałej (lub „płaski odcinek” funkcji) jest uważany zarówno za punkt maksymalny, jak i minimalny! Nawiasem mówiąc, funkcja jest zarówno nierosnąca, jak i niemalejąca, to znaczy monotoniczna. Rozważania te pozostawimy jednak teoretykom, gdyż w praktyce prawie zawsze kontemplujemy tradycyjne „wzgórza” i „doliny” (patrz rysunek) z unikalnym „królem wzgórza” lub „księżniczką bagien”. Jako odmiana występuje wskazówka, skierowany w górę lub w dół, na przykład minimum funkcji w punkcie.

Aha, a jeśli mowa o rodzinie królewskiej:
– nazywa się znaczenie maksymalny Funkcje;
– nazywa się znaczenie minimum Funkcje.

Nazwa zwyczajowa - skrajności Funkcje.

Proszę uważać na słowa!

Punkty ekstremalne– są to wartości „X”.
Skrajności– znaczenia „gry”.

! Notatka : czasami wymienione terminy odnoszą się do punktów „X-Y”, które leżą bezpośrednio na WYKRESIE SAMEJ funkcji.

Ile ekstremów może mieć funkcja?

Brak, 1, 2, 3, ... itd. do nieskończoności. Na przykład sinus ma nieskończenie wiele minimów i maksimów.

WAŻNY! Termin „maksimum funkcji” nieidentyczny termin „maksymalna wartość funkcji”. Łatwo zauważyć, że wartość jest maksymalna tylko w lokalnym sąsiedztwie, a w lewym górnym rogu znajdują się „fajniejsi towarzysze”. Podobnie „minimum funkcji” nie jest tożsame z „minimalną wartością funkcji”, a na rysunku widzimy, że wartość jest minimalna tylko w pewnym obszarze. W związku z tym nazywane są również punkty ekstremalne lokalne punkty ekstremalne i ekstremum – lokalne ekstrema. Chodzą i wędrują w pobliżu i światowy bracia. Zatem każda parabola ma swój wierzchołek minimum globalne Lub globalne maksimum. Co więcej, nie będę rozróżniał rodzajów skrajności, a wyjaśnienie ma charakter bardziej ogólnoedukacyjny - dodatkowe przymiotniki „lokalny”/„globalny” nie powinny Cię zaskoczyć.

Podsumujmy naszą krótką wycieczkę do teorii zdjęciem testowym: co oznacza zadanie „znajdź przedziały monotoniczności i punkty ekstremalne funkcji”?

Sformułowanie zachęca do odnalezienia:

– przedziały funkcji rosnącej/malejącej (znacznie rzadziej pojawiają się przedziały niemalejące, nierosnące);

– maksymalna i/lub minimalna liczba punktów (jeśli istnieją). No cóż, żeby uniknąć porażki, lepiej samemu znaleźć minima/maksyma ;-)

Jak to wszystko ustalić? Korzystanie z funkcji pochodnej!

Jak znaleźć przedziały rosnące, malejące,
ekstrema i ekstrema funkcji?

Tak naprawdę wiele zasad jest już znanych i rozumianych lekcja na temat znaczenia pochodnej.

Pochodna styczna przynosi radosną wiadomość, że funkcjonalność stale się zwiększa dziedzina definicji.

Z cotangensem i jego pochodną sytuacja jest dokładnie odwrotna.

Arcsinus rośnie w tym przedziale - pochodna tutaj jest dodatnia: .
Gdy funkcja jest zdefiniowana, ale nie jest różniczkowalna. Jednakże w punkcie krytycznym znajduje się prawoskrętna pochodna i prawoskrętna tangens, a na drugiej krawędzi ich lewoskrętne odpowiedniki.

Myślę, że nie będzie ci zbyt trudno przeprowadzić podobne rozumowanie dla cosinusa łuku i jego pochodnej.

Wszystkie powyższe przypadki, a jest ich wiele pochodne tabelaryczne, Przypominam, podążaj bezpośrednio z definicje instrumentów pochodnych.

Po co badać funkcję za pomocą jej pochodnej?

Aby lepiej zrozumieć jak wygląda wykres tej funkcji: gdzie idzie „od dołu do góry”, gdzie „z góry na dół”, gdzie osiąga minimum i maksimum (jeśli w ogóle osiąga). Nie wszystkie funkcje są takie proste – w większości przypadków nie mamy pojęcia o wykresie danej funkcji.

Czas przejść do bardziej znaczących przykładów i rozważyć algorytm wyznaczania przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji:

Przykład 1

Znajdź przedziały wzrostu/spadku i ekstrema funkcji

Rozwiązanie:

1) Pierwszym krokiem jest znalezienie dziedzina funkcji, a także zwróć uwagę na punkty przerwania (jeśli istnieją). W tym przypadku funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej i działanie to jest w pewnym stopniu formalne. Ale w wielu przypadkach wybuchają tu poważne namiętności, więc traktujmy ten akapit bez pogardy.

2) Drugi punkt algorytmu wynika z

warunek konieczny ekstremum:

Jeśli w punkcie istnieje ekstremum, to albo wartość nie istnieje.

Zdziwiony zakończeniem? Ekstremum funkcji „moduł x”. .

Warunek jest konieczny, ale niewystarczająco, a sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdą. Zatem z równości nie wynika jeszcze, że funkcja osiąga maksimum lub minimum w punkcie . Klasyczny przykład został już podkreślony powyżej - jest to parabola sześcienna i jej punkt krytyczny.

Tak czy inaczej, warunek konieczny ekstremum narzuca potrzebę znalezienia podejrzanych punktów. Aby to zrobić, znajdź pochodną i rozwiąż równanie:

Na początku pierwszego artykułu o wykresach funkcji Mówiłem ci, jak szybko zbudować parabolę na przykładzie : „...bierzemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera: ...A więc rozwiązanie naszego równania: - w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli...”. Teraz myślę, że każdy rozumie, dlaczego wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie w tym miejscu =) W sumie powinniśmy zacząć tutaj od podobnego przykładu, ale jest to zbyt proste (nawet dla imbryka). Ponadto na samym końcu lekcji znajduje się analogia pochodna funkcji. Dlatego zwiększmy stopień:

Przykład 2

Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Kompletne rozwiązanie i przybliżona ostateczna próbka problemu na końcu lekcji.

Nadszedł długo oczekiwany moment spotkania z funkcjami ułamkowo-wymiernymi:

Przykład 3

Zbadaj funkcję, korzystając z pierwszej pochodnej

Zwróć uwagę na to, jak różnorodnie można przeformułować jedno i to samo zadanie.

Rozwiązanie:

1) Funkcja ma nieskończone nieciągłości w punktach.

2) Wykrywamy punkty krytyczne. Znajdźmy pierwszą pochodną i przyrównajmy ją do zera:

Rozwiążmy równanie. Ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik wynosi zero:

W ten sposób otrzymujemy trzy punkty krytyczne:

3) Nanosimy WSZYSTKIE wykryte punkty na oś liczbową i metoda interwałowa definiujemy znaki POCHODNEJ:

Przypominam, że trzeba wziąć jakiś punkt w przedziale i obliczyć w nim wartość pochodnej i określ jego znak. Bardziej opłaca się nawet nie liczyć, ale „szacować” werbalnie. Weźmy na przykład punkt należący do przedziału i wykonaj podstawienie: .

Dwa „plusy” i jeden „minus” dają zatem „minus”, co oznacza, że ​​pochodna jest ujemna w całym przedziale.

Akcję, jak rozumiesz, należy wykonać dla każdego z sześciu przedziałów. Nawiasem mówiąc, zauważ, że licznik i mianownik są ściśle dodatnie dla dowolnego punktu w dowolnym przedziale, co znacznie upraszcza zadanie.

Zatem pochodna powiedziała nam, że SAMA FUNKCJA wzrasta o i maleje o . Wygodne jest łączenie przedziałów tego samego typu za pomocą ikony łączenia.

W punkcie, w którym funkcja osiąga maksimum:
W tym momencie funkcja osiąga minimum:

Zastanów się, dlaczego nie musisz przeliczać drugiej wartości ;-)

Po przejściu przez punkt pochodna nie zmienia znaku, więc funkcja NIE MA tam EKSTREMUM - zarówno malała, jak i pozostała malejąca.

! Powtórzmy ważną kwestię: punkty nie są uważane za krytyczne - zawierają funkcję niezdeterminowany. Odpowiednio tutaj W zasadzie nie może być skrajności(nawet jeśli pochodna zmienia znak).

Odpowiedź: funkcja zwiększa się o i maleje o W momencie osiągnięcia maksimum funkcji: , a w tym miejscu – minimum: .

Znajomość przedziałów i ekstremów monotoniczności w połączeniu z ustalonymi asymptoty daje już bardzo dobre pojęcie o wyglądzie wykresu funkcji. Osoba średnio wyszkolona potrafi werbalnie określić, że wykres funkcji ma dwie asymptoty pionowe i jedną asymptotę ukośną. Oto nasz bohater:

Spróbuj jeszcze raz skorelować wyniki badania z wykresem tej funkcji.
W punkcie krytycznym nie ma ekstremum, ale jest punkt przegięcia(co z reguły dzieje się w podobnych przypadkach).

Przykład 4

Znajdź ekstremum funkcji

Przykład 5

Znajdź przedziały monotoniczności, maksima i minima funkcji

…to dziś prawie jak święto „X w kostce”....
Soooo, kto w galerii zaproponował, że za to wypije? =)

Każde zadanie ma swoje niuanse merytoryczne i techniczne, które są komentowane na końcu lekcji.

Cześć! Zdajmy się na nadchodzący Egzamin Państwowy Jednolity wysokiej jakości, systematycznym przygotowaniem i wytrwałością w szlifowaniu granitu nauki!!! WNa końcu postu znajduje się zadanie konkursowe, bądź pierwszy! W jednym z artykułów w tym dziale ty i ja, w którym podano wykres funkcji i poruszono różne pytania dotyczące ekstremów, przedziałów wzrostu (spadku) i innych.

W tym artykule rozważymy problemy zawarte w Unified State Examination z matematyki, w którym podany jest wykres pochodnej funkcji i stawione są następujące pytania:

1. W którym punkcie danego odcinka funkcja przyjmuje największą (lub najmniejszą) wartość.

2. Znajdź liczbę punktów maksymalnych (lub minimalnych) funkcji należących do danego odcinka.

3. Znajdź liczbę ekstremów funkcji należących do danego odcinka.

4. Znajdź ekstremum funkcji należącej do danego odcinka.

5. Znajdź przedziały funkcji rosnącej (lub malejącej) i w odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

6. Znajdź przedziały wzrostu (lub spadku) funkcji. W swojej odpowiedzi wskaż długość największego z tych przedziałów.

7. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą postaci y = kx + b.

8. Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętych lub z nią pokrywa się.

Mogą pojawić się inne pytania, ale nie sprawią one żadnych trudności, jeśli zrozumiesz i (podano linki do artykułów zawierających informacje niezbędne do rozwiązania, polecam je powtórzyć).

Podstawowe informacje (w skrócie):

1. Pochodna w rosnących odstępach ma znak dodatni.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.

2. W malejących odstępach pochodna ma znak ujemny.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.

3. Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.

4. W punktach ekstremum (maksimum-minimum) funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi x.

Należy to jasno zrozumieć i zapamiętać!!!

Wykres pochodnej „dezorientuje” wiele osób. Niektórzy nieumyślnie mylą go z wykresem samej funkcji. Dlatego w takich budynkach, gdzie widzisz, że dany jest wykres, od razu skup swoją uwagę w warunku na tym, co jest dane: wykresie funkcji czy wykresie pochodnej funkcji?

Jeśli jest to wykres pochodnej funkcji, to potraktuj go jako „odbicie” samej funkcji, co po prostu daje informację o tej funkcji.

Rozważ zadanie:

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–2;21).

Odpowiemy na następujące pytania:

1. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X) przyjmuje największą wartość.

Na danym przedziale pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale maleje (maleje od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem największą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie 7.

Odpowiedź: 7

2. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X)

Z tego wykresu pochodnego możemy powiedzieć, co następuje. Na danym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale rośnie (rośnie od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie x = 3.

Odpowiedź: 3

3. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X)

Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Zastanówmy się, gdzie znak zmienia się w ten sposób.

W segmencie (3;6) pochodna jest dodatnia, w segmencie (6;16) ujemna.

W segmencie (16;18) pochodna jest dodatnia, w segmencie (18;20) ujemna.

Zatem na danym odcinku funkcja ma dwa maksymalne punkty x = 6 i x = 18.

Odpowiedź: 2

4. Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu.

Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. Nasza pochodna jest ujemna w przedziale (0;3) i dodatnia w przedziale (3;4).

Zatem na odcinku funkcja ma tylko jeden punkt minimalny x = 3.

*Bądź ostrożny podczas zapisywania odpowiedzi - zapisywana jest liczba punktów, a nie wartość x; taki błąd może zostać popełniony przez nieuwagę.

Odpowiedź 1

5. Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu.

Zanotuj, co musisz znaleźć ilość punkty ekstremalne (są to zarówno punkty maksymalne, jak i minimalne).

Punkty ekstremalne odpowiadają punktom, w których zmienia się znak pochodnej (z dodatniej na ujemną i odwrotnie). Na wykresie podanym w warunku są to zera funkcji. Pochodna znika w punktach 3, 6, 16, 18.

Zatem funkcja ma 4 ekstrema na odcinku.

Odpowiedź: 4

6. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały wzrostu tej funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których jego pochodna jest dodatnia, to znaczy przedziałom (3;6) i (16;18). Należy pamiętać, że nie uwzględnia się w nim granic przedziału (nawiasy okrągłe – granice nie są wliczane do przedziału, nawiasy kwadratowe – uwzględniają). Przedziały te zawierają punkty całkowite 4, 5, 17. Ich suma wynosi: 4 + 5 + 17 = 26

Odpowiedź: 26

7. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X) w danym odstępie czasu. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Funkcja zmniejszająca przedziały F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. W tym zadaniu są to przedziały (–2;3), (6;16), (18:21).

Przedziały te zawierają następujące punkty całkowite: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich suma wynosi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpowiedź: 140

*Zwróć uwagę na warunek: czy granice mieszczą się w przedziale, czy nie. Jeżeli uwzględnione są granice, to w przedziałach uwzględnianych w procesie rozwiązywania należy je również uwzględnić.

8. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały funkcji rosnącej F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest dodatnia. Już je wskazaliśmy: (3;6) i (16:18). Największym z nich jest przedział (3;6), jego długość wynosi 3.

Odpowiedź: 3

9. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Funkcja zmniejszająca przedziały F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. Już je wskazaliśmy; są to przedziały (–2;3), (6;16), (18;21), ich długości wynoszą odpowiednio 5, 10, 3.

Długość największego wynosi 10.

Odpowiedź: 10

10. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F(X) równolegle lub pokrywa się z linią prostą y = 2x + 3.

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do prostej y = 2x + 3 lub pokrywa się z nią, ich współczynniki kątowe wynoszą 2. Oznacza to, że należy znaleźć liczbę punktów, w których y′(x 0) = 2. Geometrycznie odpowiada to liczbie punktów przecięcia wykresu pochodnej z prostą y = 2. Na tym przedziale znajdują się 4 takie punkty.

Odpowiedź: 4

11. Znajdź ekstremum funkcji F(X), należący do segmentu.

Ekstremum funkcji to punkt, w którym jej pochodna jest równa zeru i w pobliżu tego punktu pochodna zmienia znak (z dodatniego na ujemny i odwrotnie). Na odcinku wykres pochodnej przecina oś x, pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Dlatego punkt x = 3 jest punktem ekstremalnym.

Odpowiedź: 3

12. Znajdź odciętą punktów, w których styczne do wykresu y = f (x) są równoległe do osi odciętych lub z nią pokrywają się. W swojej odpowiedzi wskaż największy z nich.

Styczna do wykresu y = f (x) może być równoległa do osi odciętej lub pokrywać się z nią tylko w punktach, w których pochodna jest równa zeru (mogą to być punkty ekstremalne lub punkty stacjonarne, w pobliżu których pochodna nie nie zmieniać znaku). Ten wykres pokazuje, że pochodna wynosi zero w punktach 3, 6, 16,18. Największy ma 18.

Możesz skonstruować swoje rozumowanie w ten sposób:

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do osi x lub pokrywa się z nią, jej nachylenie wynosi 0 (w rzeczywistości tangens kąta zerowego stopni wynosi zero). Dlatego szukamy punktu, w którym nachylenie jest równe zero, a zatem pochodna jest równa zero. Pochodna jest równa zeru w punkcie przecięcia jej wykresu z osią x i są to punkty 3, 6, 16,18.

Odpowiedź: 18

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–8;4). W którym punkcie odcinka [–7;–3] znajduje się funkcja F(X) przyjmuje najmniejszą wartość.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X), należący do segmentu [–6;9].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–18;6). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu [–13;1].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11; –11). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu [–10; -10].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;4). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–5;7). Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11;3). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

F Rysunek przedstawia wykres

Warunki problemu są takie same (co rozważaliśmy). Znajdź sumę trzech liczb:

1. Suma kwadratów ekstremów funkcji f (x).

2. Różnica między kwadratami sumy punktów maksymalnych i sumą punktów minimalnych funkcji f (x).

3. Liczba stycznych do f (x) równoległych do prostej y = –3x + 5.

Osoba, która jako pierwsza udzieli prawidłowej odpowiedzi, otrzyma nagrodę motywacyjną w wysokości 150 rubli. Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach. Jeśli jest to Twój pierwszy komentarz na blogu, nie pojawi się on od razu, ale nieco później (nie martw się, odnotowywana jest godzina dodania komentarza).

Powodzenia!

Pozdrawiam, Alexander Krutitsikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Funkcja i badanie jej cech zajmuje jeden z kluczowych rozdziałów współczesnej matematyki. Głównym składnikiem każdej funkcji są wykresy przedstawiające nie tylko jej właściwości, ale także parametry pochodnej tej funkcji. Rozumiemy ten trudny temat. Jaki jest zatem najlepszy sposób znalezienia punktów maksymalnych i minimalnych funkcji?

Funkcja: definicja

Funkcję można nazwać dowolną zmienną, która w jakiś sposób zależy od wartości innej wielkości. Na przykład funkcja f(x 2) jest kwadratowa i określa wartości dla całego zbioru x. Powiedzmy, że x = 9, to wartość naszej funkcji będzie równa 9 2 = 81.

Funkcje występują w wielu różnych typach: logiczne, wektorowe, logarytmiczne, trygonometryczne, numeryczne i inne. Badali je tak wybitni umysły, jak Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Ich prace stanowią ostoję nowoczesnych sposobów badania funkcji. Przed znalezieniem punktów minimalnych bardzo ważne jest zrozumienie samego znaczenia funkcji i jej pochodnej.

Pochodna i jej rola

Wszystkie funkcje zależą od swoich zmiennych, co oznacza, że ​​w każdej chwili mogą zmienić swoją wartość. Na wykresie zostanie to przedstawione jako krzywa opadająca lub rosnąca wzdłuż osi rzędnych (jest to cały zestaw liczb „y” wzdłuż wykresu pionowego). Zatem określenie punktów maksymalnych i minimalnych funkcji jest ściśle powiązane z tymi „drganiami”. Wyjaśnijmy, na czym polega ta zależność.

Pochodną dowolnej funkcji wykreśla się w celu zbadania jej podstawowych charakterystyk i obliczenia, jak szybko funkcja się zmienia (tzn. zmienia swoją wartość w zależności od zmiennej „x”). W momencie, gdy funkcja rośnie, wykres jej pochodnej również będzie się zwiększał, ale w każdej chwili funkcja może zacząć się zmniejszać, a wtedy wykres pochodnej będzie się zmniejszał. Punkty, w których pochodna zmienia się ze znaku minus na znak plus, nazywane są punktami minimalnymi. Aby wiedzieć, jak znaleźć minimalną liczbę punktów, powinieneś lepiej zrozumieć

Jak obliczyć pochodną?

Z definicji i funkcji wynika kilka pojęć z Ogólnie rzecz biorąc, samą definicję pochodnej można wyrazić w następujący sposób: jest to wielkość, która pokazuje szybkość zmian funkcji.

Matematyczny sposób określenia tego wydaje się wielu uczniom skomplikowany, ale w rzeczywistości wszystko jest znacznie prostsze. Wystarczy postępować zgodnie ze standardowym planem znajdowania pochodnej dowolnej funkcji. Poniżej opisujemy, jak znaleźć punkt minimalny funkcji bez stosowania zasad różniczkowania i bez zapamiętywania tabeli pochodnych.

1. Możesz obliczyć pochodną funkcji za pomocą wykresu. Aby to zrobić, należy zobrazować samą funkcję, następnie zająć na niej jeden punkt (punkt A na rysunku). Narysować linię pionowo w dół do osi odciętej (punkt x 0), a w punkcie A narysować styczną do wykres funkcji. Oś x i tangens tworzą pewien kąt a. Aby obliczyć wartość szybkości wzrostu funkcji, należy obliczyć tangens tego kąta a.
2. Okazuje się, że tangens kąta między styczną a kierunkiem osi x jest pochodną funkcji na małym obszarze z punktem A. Metodę tę uważa się za geometryczną metodę wyznaczania pochodnej.

Metody badania funkcji

W szkolnym programie nauczania matematyki punkt minimalny funkcji można znaleźć na dwa sposoby. Pierwszą metodę z wykorzystaniem wykresu już omówiliśmy, ale jak wyznaczyć wartość liczbową pochodnej? Aby to zrobić, musisz nauczyć się kilku wzorów opisujących właściwości pochodnej i pomagających zamienić zmienne takie jak „x” na liczby. Poniższa metoda jest uniwersalna, dlatego można ją zastosować do niemal wszystkich typów funkcji (zarówno geometrycznych, jak i logarytmicznych).

1. Należy przyrównać funkcję do funkcji pochodnej, a następnie uprościć wyrażenie za pomocą zasad różniczkowania.
2. W niektórych przypadkach, gdy podana jest funkcja, w której zmienna „x” znajduje się w dzielniku, konieczne jest określenie zakresu dopuszczalnych wartości, wykluczając z niej punkt „0” (z prostego powodu, że w matematyce nigdy nie należy dzielony przez zero).
3. Następnie należy przekształcić pierwotną postać funkcji w proste równanie, przyrównując całe wyrażenie do zera. Przykładowo, jeśli funkcja wyglądałaby tak: f(x) = 2x 3 +38x, to zgodnie z zasadami różniczkowania jej pochodna jest równa f"(x) = 3x 2 +1. Następnie przekształcamy to wyrażenie na równanie w postaci: 3x 2 +1 = 0 .
4. Po rozwiązaniu równania i znalezieniu punktów „x” należy nanieść je na oś x i określić, czy pochodna w tych odcinkach pomiędzy zaznaczonymi punktami jest dodatnia czy ujemna. Po oznaczeniu stanie się jasne, w którym momencie funkcja zaczyna się zmniejszać, to znaczy zmienia znak z minus na przeciwny. W ten sposób można znaleźć zarówno punkty minimalne, jak i maksymalne.

Zasady różnicowania

Najbardziej podstawowym elementem badania funkcji i jej pochodnej jest znajomość zasad różniczkowania. Tylko za ich pomocą możesz przekształcić kłopotliwe wyrażenia i duże, złożone funkcje. Zapoznajmy się z nimi, jest ich całkiem sporo, ale wszystkie są bardzo proste ze względu na naturalne właściwości zarówno funkcji potęgowej, jak i logarytmicznej.

1. Pochodna dowolnej stałej jest równa zeru (f(x) = 0). Oznacza to, że pochodna f(x) = x 5 + x - 160 przyjmie postać: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Pochodna sumy dwóch wyrazów: (f+w)" = f"w + fw".
3. Pochodna funkcji logarytmicznej: (log a d)" = d/ln a*d. Wzór ten ma zastosowanie do wszystkich typów logarytmów.
4. Pochodna potęgi: (x n)"= n*x n-1. Na przykład (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Pochodna funkcji sinusoidalnej: (sin a)" = cos a. Jeżeli grzech kąta a wynosi 0,5, to jego pochodna wynosi √3/2.

Punkty ekstremalne

Omówiliśmy już, jak znaleźć minimalne punkty, ale istnieje koncepcja i funkcje. Jeżeli minimum oznacza te punkty, w których funkcja zmienia się ze znaku minus na plus, to maksymalnymi punktami są te punkty na osi x, w których pochodna funkcji zmienia się z plusa na przeciwny - minus.

Maksymalne punkty można znaleźć metodą opisaną powyżej, należy jednak wziąć pod uwagę, że wskazują one obszary, w których funkcja zaczyna się zmniejszać, czyli pochodna będzie mniejsza od zera.

W matematyce zwyczajowo uogólnia się oba pojęcia, zastępując je sformułowaniem „punkty ekstremów”. Kiedy w zadaniu zostaniesz poproszony o wyznaczenie tych punktów, oznacza to, że musisz obliczyć pochodną danej funkcji i znaleźć minimum i maksimum punktów.