Ten artykuł jest o ułamki zwykłe. Tutaj wprowadzimy pojęcie ułamka całości, co doprowadzi nas do definicji ułamka zwykłego. Następnie zatrzymamy się na przyjętym zapisie ułamków zwykłych i podamy przykłady ułamków, powiedzmy o liczniku i mianowniku ułamka. Następnie podamy definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, dodatnich i ujemnych, a także rozważymy położenie liczb ułamkowych na promieniu współrzędnych. Podsumowując, podajemy główne operacje na ułamkach.

Nawigacja strony.

Udziały całości

Najpierw przedstawiamy koncepcja udziału.

Załóżmy, że mamy jakiś obiekt złożony z kilku absolutnie identycznych (tj. równych) części. Dla jasności możesz sobie wyobrazić na przykład jabłko pokrojone na kilka równych części lub pomarańczę składającą się z kilku równych plasterków. Każda z tych równych części tworzących cały obiekt nazywa się części całości lub po prostu akcje.

Należy pamiętać, że udziały są różne. Wyjaśnijmy to. Zjedzmy dwa jabłka. Pierwsze jabłko pokroić na dwie równe części, drugie na 6 równych części. Oczywiste jest, że udział pierwszego jabłka będzie inny niż udział drugiego jabłka.

W zależności od liczby udziałów tworzących cały obiekt, udziały te mają swoje własne nazwy. Uporządkujmy to nazwy uderzeń. Jeśli przedmiot składa się z dwóch części, każdą z nich nazywa się jedną drugą częścią całego przedmiotu; jeśli przedmiot składa się z trzech części, wówczas każdą z nich nazywa się jedną trzecią części i tak dalej.

Jedna druga akcja ma specjalną nazwę - połowa. Jedna trzecia jest nazywana trzeci i jedna czwarta część - ćwiartka.

Dla zachowania zwięzłości wprowadzono: pokonać symbole. Jedna druga część jest oznaczona jako lub 1/2, jedna trzecia część jest oznaczona jako lub 1/3; jedna czwarta udziału - jak lub 1/4 i tak dalej. Należy zauważyć, że częściej używa się zapisu z poziomą kreską. Dla ugruntowania materiału podamy jeszcze jeden przykład: hasło oznacza sto sześćdziesiątą siódmą część całości.

Pojęcie udziału w naturalny sposób rozciąga się od przedmiotów do ilości. Na przykład jedną z miar długości jest metr. Aby zmierzyć długości krótsze niż metr, można użyć ułamków metra. Możesz więc użyć na przykład pół metra lub dziesiątej lub tysięcznej części metra. Udziały pozostałych ilości stosuje się analogicznie.

Ułamki zwykłe, definicja i przykłady ułamków zwykłych

Aby opisać liczbę udziałów, których używamy ułamki zwykłe. Podajmy przykład, który pozwoli nam zbliżyć się do definicji ułamków zwyczajnych.

Niech pomarańcza będzie składać się z 12 części. Każda część w tym przypadku reprezentuje jedną dwunastą całej pomarańczy, czyli . Oznaczamy dwa uderzenia jako , trzy uderzenia jako , i tak dalej, 12 uderzeń oznaczamy jako . Każdy z podanych zapisów nazywany jest ułamkiem zwykłym.

Teraz dajmy generała definicja ułamków zwykłych.

Wyraźna definicja ułamków zwykłych pozwala nam dawać przykłady ułamków zwykłych: 5/10, , 21/1, 9/4, . A oto zapisy nie pasują do podanej definicji ułamków zwykłych, to znaczy nie są ułamkami zwykłymi.

Licznik i mianownik

Dla wygody rozróżnia się ułamki zwykłe licznik i mianownik.

Definicja.

Licznik ułamka ułamek zwyczajny (m/n) to liczba naturalna m.

Definicja.

Mianownik ułamek zwykły (m/n) to liczba naturalna n.

Zatem licznik znajduje się powyżej linii ułamkowej (na lewo od ukośnika), a mianownik znajduje się poniżej linii ułamkowej (na prawo od ukośnika). Weźmy na przykład ułamek zwykły 17/29, licznikiem tego ułamka jest liczba 17, a mianownikiem jest liczba 29.

Pozostaje omówić znaczenie zawarte w liczniku i mianowniku ułamka zwykłego. Mianownik ułamka pokazuje, z ilu części składa się dany przedmiot, a licznik z kolei wskazuje liczbę takich części. Przykładowo mianownik 5 ułamka 12/5 oznacza, że ​​na jeden przedmiot składa się pięć udziałów, a licznik 12 oznacza, że ​​pobieranych jest 12 takich udziałów.

Liczba naturalna jako ułamek o mianowniku 1

Mianownik ułamka zwykłego może być równy jeden. W tym przypadku możemy uznać, że przedmiot jest niepodzielny, innymi słowy reprezentuje coś całości. Licznik takiego ułamka wskazuje, ile całych obiektów zostało wziętych. Zatem ułamek zwykły postaci m/1 ma znaczenie liczby naturalnej m. W ten sposób uzasadniliśmy słuszność równości m/1=m.

Przepiszmy ostatnią równość następująco: m=m/1. Ta równość pozwala nam przedstawić dowolną liczbę naturalną m jako ułamek zwykły. Na przykład liczba 4 to ułamek 4/1, a liczba 103 498 jest równa ułamkowi 103 498/1.

Więc, dowolną liczbę naturalną m można przedstawić jako ułamek zwyczajny o mianowniku 1 jako m/1, a każdy ułamek zwyczajny w postaci m/1 można zastąpić liczbą naturalną m.

Kreska ułamkowa jako znak dzielenia

Przedstawienie pierwotnego przedmiotu w postaci n udziałów to nic innego jak podział na n równych części. Po podzieleniu przedmiotu na n udziałów możemy podzielić go równo między n osób - każda otrzyma po jednym udziale.

Jeśli początkowo mamy m identycznych obiektów, z których każdy jest podzielony na n udziałów, to możemy równo podzielić te m obiektów pomiędzy n osób, dając każdej osobie po jednym udziale z każdego z m obiektów. W tym przypadku każda osoba będzie miała m udziałów 1/n, a m udziałów 1/n daje ułamek wspólny m/n. Zatem ułamek wspólny m/n można wykorzystać do oznaczenia podziału m elementów pomiędzy n osobami.

W ten sposób uzyskaliśmy wyraźne powiązanie między ułamkami zwykłymi a dzieleniem (patrz ogólna idea dzielenia liczb naturalnych). Związek ten wyraża się następująco: linię ułamkową można rozumieć jako znak dzielenia, czyli m/n=m:n.

Za pomocą ułamka zwykłego możesz zapisać wynik dzielenia dwóch liczb naturalnych, dla których nie można wykonać całego podziału. Na przykład wynik podzielenia 5 jabłek przez 8 osób można zapisać jako 5/8, czyli każdy otrzyma pięć ósmych jabłka: 5:8 = 5/8.

Ułamki równe i nierówne, porównanie ułamków

Jest to dość naturalne działanie porównywanie ułamków, bo jasne jest, że 1/12 pomarańczy różni się od 5/12, a 1/6 jabłka to tyle samo, co kolejna 1/6 tego jabłka.

W wyniku porównania dwóch ułamków zwykłych otrzymuje się jeden z wyników: ułamki są równe lub nierówne. W pierwszym przypadku mamy równe ułamki zwykłe, a w drugim – nierówne ułamki zwykłe. Podajmy definicję równych i nierównych ułamków zwyczajnych.

Definicja.

równy, jeśli równość a·d=b·c jest prawdziwa.

Definicja.

Dwa wspólne ułamki a/b i c/d nie równe, jeżeli równość a·d=b·c nie jest spełniona.

Oto kilka przykładów ułamków równych. Na przykład ułamek zwykły 1/2 jest równy ułamkowi 2/4, ponieważ 1,4 = 2,2 (w razie potrzeby zobacz zasady i przykłady mnożenia liczb naturalnych). Dla jasności możesz wyobrazić sobie dwa identyczne jabłka, pierwsze przekrój na pół, a drugie na 4 części. Wiadomo, że dwie ćwiartki jabłka to 1/2 udziału. Innymi przykładami równych ułamków zwykłych są ułamki 4/7 i 36/63 oraz para ułamków 81/50 i 1620/1000.

Ale ułamki zwykłe 4/13 i 5/14 nie są równe, ponieważ 4,14=56, a 13,5=65, czyli 4,14≠13,5. Innymi przykładami nierównych ułamków zwykłych są ułamki 17/7 i 6/4.

Jeśli porównując dwa zwykłe ułamki okaże się, że nie są one równe, być może będziesz musiał dowiedzieć się, który z tych ułamków zwykłych mniej inny i który - więcej. Aby się tego dowiedzieć, stosuje się zasadę porównywania ułamków zwyczajnych, której istotą jest sprowadzenie porównywanych ułamków do wspólnego mianownika, a następnie porównanie liczników. Szczegółowe informacje na ten temat znajdują się w artykule Porównanie ułamków: zasady, przykłady, rozwiązania.

Liczby ułamkowe

Każdy ułamek jest zapisem liczba ułamkowa. Oznacza to, że ułamek to tylko „powłoka” liczby ułamkowej, jej wygląd i cały ładunek semantyczny zawarty w liczbie ułamkowej. Jednak dla zwięzłości i wygody pojęcia ułamka i liczby ułamkowej są łączone i nazywane po prostu ułamkiem. W tym miejscu wypada sparafrazować znane powiedzenie: mówimy ułamek – mamy na myśli liczbę ułamkową, mówimy liczbę ułamkową – mamy na myśli ułamek.

Ułamki na promieniu współrzędnych

Wszystkie liczby ułamkowe odpowiadające ułamkom zwykłym mają swoje unikalne miejsce, to znaczy istnieje zgodność jeden do jednego między ułamkami a punktami promienia współrzędnych.

Aby dostać się do punktu na promieniu współrzędnych odpowiadającego ułamkowi m/n, należy od początku współrzędnych w kierunku dodatnim odłożyć m odcinków, których długość wynosi 1/n ułamka odcinka jednostkowego. Takie segmenty można uzyskać dzieląc segment jednostkowy na n równych części, co zawsze można zrobić za pomocą kompasu i linijki.

Na przykład pokażmy punkt M na promieniu współrzędnych, odpowiadający ułamkowi 14/10. Długość odcinka, którego końce znajdują się w punkcie O i punkcie najbliżej niego, oznaczonym małą kreską, wynosi 1/10 odcinka jednostkowego. Punkt o współrzędnych 14/10 jest odsuwany od początku w odległości 14 takich odcinków.

Równe ułamki odpowiadają tej samej liczbie ułamkowej, to znaczy równe ułamki są współrzędnymi tego samego punktu na promieniu współrzędnych. Na przykład współrzędne 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odpowiadają jednemu punktowi na promieniu współrzędnych, ponieważ wszystkie zapisane ułamki są równe (znajduje się w odległości połowy odcinka jednostkowego ułożonego od początku w kierunku dodatnim).

Na poziomym promieniu współrzędnych skierowanym w prawo punkt, którego współrzędna jest większym ułamkiem, znajduje się na prawo od punktu, którego współrzędna jest mniejszym ułamkiem. Podobnie punkt o mniejszej współrzędnej leży na lewo od punktu o większej współrzędnej.

Ułamki właściwe i niewłaściwe, definicje, przykłady

Wśród ułamków zwykłych są Ułamki właściwe i niewłaściwe. Podział ten opiera się na porównaniu licznika i mianownika.

Zdefiniujmy ułamki zwyczajne właściwe i niewłaściwe.

Definicja.

Ułamek właściwy jest ułamkiem zwykłym, którego licznik jest mniejszy od mianownika, to znaczy, jeśli m

Definicja.

Niewłaściwy ułamek jest ułamkiem zwykłym, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, czyli jeśli m≥n, to ułamek zwyczajny jest niewłaściwy.

Oto kilka przykładów ułamków właściwych: 1/4, , 32 765/909 003. Rzeczywiście, w każdym z zapisanych ułamków zwyczajnych licznik jest mniejszy od mianownika (w razie potrzeby zobacz artykuł porównujący liczby naturalne), więc z definicji są one poprawne.

Oto przykłady ułamków niewłaściwych: 9/9, 23/4, . Rzeczywiście licznik pierwszego z zapisanych ułamków zwykłych jest równy mianownikowi, a w pozostałych ułamkach licznik jest większy niż mianownik.

Istnieją również definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, oparte na porównaniu ułamków z jednym.

Definicja.

prawidłowy, jeśli jest mniejsza niż jeden.

Definicja.

Nazywa się ułamek zwykły zło, jeśli jest równa jeden lub większa niż 1.

Zatem ułamek zwykły 7/11 jest poprawny, ponieważ 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Zastanówmy się, jak zwykłe ułamki zwykłe o liczniku większym lub równym mianownikowi zasługują na taką nazwę - „niewłaściwą”.

Weźmy na przykład ułamek niewłaściwy 9/9. Ułamek ten oznacza, że ​​z obiektu składającego się z dziewięciu części pobiera się dziewięć części. Oznacza to, że z dostępnych dziewięciu części możemy złożyć cały obiekt. Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 9/9 zasadniczo daje cały obiekt, czyli 9/9 = 1. Ogólnie rzecz biorąc, ułamki niewłaściwe o liczniku równym mianownikowi oznaczają jeden cały obiekt i taki ułamek można zastąpić liczbą naturalną 1.

Rozważmy teraz ułamki niewłaściwe 7/3 i 12/4. Jest całkiem oczywiste, że z tych siedmiu trzecich części możemy skomponować dwa całe obiekty (jeden cały obiekt składa się z 3 części, wtedy do skomponowania dwóch całych obiektów będziemy potrzebować 3 + 3 = 6 części) i pozostanie jeszcze jedna trzecia część . Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 7/3 oznacza zasadniczo 2 obiekty, a także 1/3 takiego obiektu. A z dwunastu ćwiartek możemy wykonać trzy całe obiekty (trzy obiekty po cztery części każdy). Oznacza to, że ułamek 12/4 zasadniczo oznacza 3 całe obiekty.

Rozważane przykłady prowadzą do następującego wniosku: ułamki niewłaściwe można zastąpić albo liczbami naturalnymi, gdy licznik jest równomiernie podzielony przez mianownik (np. 9/9=1 i 12/4=3), albo sumą liczby naturalnej i ułamka właściwego, gdy licznik nie jest podzielny równomiernie przez mianownik (np. 7/3=2+1/3). Być może właśnie dlatego ułamki niewłaściwe zyskały miano „nieregularnych”.

Szczególnie interesujące jest przedstawienie ułamka niewłaściwego jako sumy liczby naturalnej i ułamka właściwego (7/3=2+1/3). Proces ten nazywa się oddzielaniem całej części od ułamka niewłaściwego i zasługuje na osobne i dokładniejsze rozważenie.

Warto również zauważyć, że istnieje bardzo ścisły związek pomiędzy ułamkami niewłaściwymi a liczbami mieszanymi.

Ułamki dodatnie i ujemne

Każdemu ułamkowi wspólnemu odpowiada dodatnia liczba ułamkowa (zobacz artykuł o liczbach dodatnich i ujemnych). Oznacza to, że są to zwykłe ułamki ułamki dodatnie. Na przykład zwykłe ułamki 1/5, 56/18, 35/144 są ułamkami dodatnimi. Kiedy chcesz podkreślić dodatniość ułamka, przed nim umieszcza się znak plus, na przykład +3/4, +72/34.

Jeśli umieścisz znak minus przed ułamkiem zwykłym, wówczas wpis ten będzie odpowiadał ujemnej liczbie ułamkowej. W tym przypadku możemy porozmawiać ułamki ujemne. Oto kilka przykładów ułamków ujemnych: −6/10, −65/13, −1/18.

Ułamki dodatnie i ujemne m/n i −m/n są liczbami przeciwnymi. Na przykład ułamki 5/7 i -5/7 są ułamkami przeciwnymi.

Ułamki dodatnie, podobnie jak ogólnie liczby dodatnie, oznaczają dodatek, dochód, zmianę w górę dowolnej wartości itp. Ułamki ujemne odpowiadają wydatkom, zadłużeniu lub zmniejszeniu dowolnej ilości. Na przykład ułamek ujemny -3/4 można zinterpretować jako dług, którego wartość jest równa 3/4.

W kierunku poziomym i prawym ułamki ujemne znajdują się na lewo od początku układu współrzędnych. Punkty linii współrzędnych, których współrzędnymi są ułamek dodatni m/n i ułamek ujemny −m/n, znajdują się w tej samej odległości od początku układu współrzędnych, ale po przeciwnych stronach punktu O.

Warto tu wspomnieć o ułamkach postaci 0/n. Ułamki te są równe liczbie zero, czyli 0/n=0.

Ułamki dodatnie, ułamki ujemne i ułamki 0/n łączą się, tworząc liczby wymierne.

Operacje na ułamkach

Omówiliśmy już jedną czynność związaną z ułamkami zwykłymi – porównywanie ułamków – powyżej. Zdefiniowano cztery kolejne funkcje arytmetyczne operacje na ułamkach– dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych. Przyjrzyjmy się każdemu z nich.

Ogólna istota operacji na ułamkach jest podobna do istoty odpowiednich operacji na liczbach naturalnych. Zróbmy analogię.

Mnożenie ułamków można traktować jako czynność polegającą na znajdowaniu ułamka z ułamka. Aby to wyjaśnić, podamy przykład. Mamy 1/6 jabłka i musimy wziąć 2/3 z tego. Część, której potrzebujemy, jest wynikiem pomnożenia ułamków 1/6 i 2/3. Wynikiem pomnożenia dwóch ułamków zwykłych jest ułamek zwykły (który w szczególnym przypadku jest równy liczbie naturalnej). Następnie zalecamy zapoznanie się z informacjami zawartymi w artykule Mnożenie ułamków zwykłych - zasady, przykłady i rozwiązania.

Referencje.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik dla klasy V. instytucje edukacyjne.
• Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

W matematyce ułamek to liczba składająca się z jednej lub więcej części (ułamków) jednostki. Ze względu na formę zapisu ułamki zwykłe dzielą się na zwykłe (np. \frac(5)(8)) i dziesiętne (np. 123,45).

Definicja. Ułamek zwykły (lub ułamek prosty)

Ułamek zwyczajny (prosty). nazywa się liczbą w postaci \pm\frac(m)(n), gdzie m i n są liczbami naturalnymi. Nazywa się liczbę m licznik ułamka ten ułamek, a liczba n jest jego mianownik.

Pozioma lub ukośnik oznacza znak podziału, czyli \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Ułamki zwykłe dzielą się na dwa typy: właściwe i niewłaściwe.

Definicja. Ułamki właściwe i niewłaściwe

Prawidłowy Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywa się ułamkiem. Na przykład \frac(9)(11) , ponieważ 9

Zło Nazywa się ułamek, w którym moduł licznika jest większy lub równy modułowi mianownika. Taki ułamek jest liczbą wymierną o module większym lub równym jeden. Przykładem mogą być ułamki \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Oprócz ułamka niewłaściwego istnieje inna reprezentacja liczby, która nazywa się ułamkiem mieszanym (liczba mieszana). To nie jest zwykły ułamek.

Definicja. Ułamek mieszany (liczba mieszana)

Frakcja mieszana jest ułamkiem zapisywanym jako liczba całkowita i ułamek właściwy i rozumiany jest jako suma tej liczby i ułamka. Na przykład 2\frac(5)(7)

(zapisane jako liczba mieszana) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (zapisane jako ułamek niewłaściwy)

Ułamek jest po prostu reprezentacją liczby. Ta sama liczba może odpowiadać różnym ułamkom zwykłym i dziesiętnym. Stwórzmy znak równości dwóch ułamków zwykłych.

Definicja. Znak równości ułamków

Dwa ułamki \frac(a)(b) i \frac(c)(d) to równy, jeśli a\cdot d=b\cdot c . Na przykład \frac(2)(3)=\frac(8)(12) ponieważ 2\cdot12=3\cdot8

Z tego atrybutu wynika główna właściwość ułamka.

Nieruchomość. Główna właściwość ułamka

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, różną od zera, otrzymamy ułamek równy podanemu.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Korzystając z podstawowej właściwości ułamka, możesz zamienić dany ułamek na inny ułamek równy podanemu, ale o mniejszym liczniku i mianowniku. To zastąpienie nazywa się redukcją ułamków. Na przykład \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tutaj licznik i mianownik podzielono najpierw przez 2, a potem jeszcze przez 2). Ułamek można skrócić wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik i mianownik nie są wzajemnie liczbami pierwszymi. Jeśli licznik i mianownik danego ułamka są wzajemnie pierwsze, to ułamka nie da się skrócić, np. \frac(3)(4) jest ułamkiem nieredukowalnym.

Zasady dotyczące ułamków dodatnich:

Z dwóch frakcji z tymi samymi mianownikami Ułamek, którego licznik jest większy, jest większy. Na przykład \frac(3)(15)

Z dwóch frakcji z tymi samymi licznikami Większy jest ułamek, którego mianownik jest mniejszy. Na przykład \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Aby porównać dwa ułamki zwykłe o różnych licznikach i mianownikach, należy przeliczyć oba ułamki tak, aby ich mianowniki były takie same. Ta transformacja nazywa się redukcją ułamków do wspólnego mianownika.

Działania z ułamkami. W tym artykule przyjrzymy się przykładom, wszystko szczegółowo z objaśnieniami. Rozważymy ułamki zwykłe. Ułamkami dziesiętnymi zajmiemy się później. Polecam obejrzeć całość i przestudiować po kolei.

1. Suma ułamków, różnica ułamków.

Zasada: podczas dodawania ułamków o równych mianownikach wynikiem jest ułamek - którego mianownik pozostaje taki sam, a jego licznik będzie równy sumie liczników ułamków.

Zasada: obliczając różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, otrzymujemy ułamek - mianownik pozostaje taki sam, a licznik drugiego odejmuje się od licznika pierwszego ułamka.

Formalny zapis sumy i różnicy ułamków o równych mianownikach:

Przykłady (1):

Oczywiste jest, że gdy podane są zwykłe ułamki, wszystko jest proste, ale co, jeśli zostaną zmieszane? Nic skomplikowanego...

Opcja 1– możesz je zamienić na zwykłe, a następnie przeliczyć.

Opcja 2– można „pracować” osobno z częściami całkowitymi i ułamkowymi.

Przykłady (2):

Więcej:

Co się stanie, jeżeli podana zostanie różnica dwóch ułamków mieszanych i licznik pierwszego ułamka będzie mniejszy od licznika drugiego? Można też działać na dwa sposoby.

Przykłady (3):

*Przeliczenie na ułamki zwykłe, obliczenie różnicy, przeliczenie powstałego ułamka niewłaściwego na ułamek mieszany.

*Rozbiliśmy to na części całkowite i ułamkowe, otrzymaliśmy trójkę, następnie przedstawiliśmy 3 jako sumę 2 i 1, gdzie jedna jest reprezentowana jako 11/11, następnie znaleźliśmy różnicę między 11/11 a 7/11 i obliczyliśmy wynik . Znaczenie powyższych przekształceń polega na tym, aby wziąć (wybrać) jednostkę i przedstawić ją w postaci ułamka o potrzebnym mianowniku, a następnie od tego ułamka możemy odjąć inną.

Inny przykład:

Wniosek: istnieje podejście uniwersalne - aby obliczyć sumę (różnicę) ułamków mieszanych o równych mianownikach, zawsze można je zamienić na niewłaściwe, a następnie wykonać niezbędne czynności. Następnie, jeśli wynikiem jest ułamek niewłaściwy, zamieniamy go na ułamek mieszany.

Powyżej przyjrzeliśmy się przykładom ułamków o równych mianownikach. A co jeśli mianowniki są różne? W takim przypadku ułamki są redukowane do tego samego mianownika i wykonywana jest określona akcja. Aby zmienić (przekształcić) ułamek, wykorzystuje się podstawową właściwość ułamka.

Spójrzmy na proste przykłady:

W tych przykładach od razu widzimy, jak jeden z ułamków można przekształcić, aby uzyskać równe mianowniki.

Jeśli wyznaczymy sposoby redukcji ułamków do tego samego mianownika, wówczas nazwiemy ten METODA JEDNA.

Oznacza to, że natychmiast „oceniając” ułamek musisz dowiedzieć się, czy to podejście zadziała - sprawdzamy, czy większy mianownik jest podzielny przez mniejszy. A jeśli jest podzielny, to dokonujemy przekształcenia - mnożymy licznik i mianownik tak, aby mianowniki obu ułamków stały się równe.

Teraz spójrz na te przykłady:

To podejście nie ma dla nich zastosowania. Istnieją również sposoby na sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Rozważmy je.

Metoda DRUGA.

Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego:

*W rzeczywistości ułamki redukujemy, gdy mianowniki stają się równe. Następnie korzystamy z reguły dodawania ułamków o równych mianownikach.

Przykład:

*Tę metodę można nazwać uniwersalną i zawsze działa. Jedynym minusem jest to, że po obliczeniach może pojawić się ułamek, który trzeba będzie jeszcze zmniejszyć.

Spójrzmy na przykład:

Można zauważyć, że licznik i mianownik są podzielne przez 5:

Metoda trzecia.

Musisz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników. To będzie wspólny mianownik. Co to za numer? Jest to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez każdą z tych liczb.

Spójrz, tutaj są dwie liczby: 3 i 4, jest wiele liczb, które są przez nie podzielne - to 12, 24, 36, ... Najmniejsza z nich to 12. Albo 6 i 15, są podzielne przez 30, 60, 90.... Najmniej wynosi 30. Pytanie brzmi - jak wyznaczyć tę najmniejszą wspólną wielokrotność?

Istnieje jasny algorytm, ale często można to zrobić natychmiast, bez obliczeń. Na przykład zgodnie z powyższymi przykładami (3 i 4, 6 i 15) nie jest potrzebny żaden algorytm, wzięliśmy duże liczby (4 i 15), podwoiliśmy je i zobaczyliśmy, że są podzielne przez drugą liczbę, ale pary liczb mogą być inne, na przykład 51 i 119.

Algorytm. Aby określić najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, musisz:

- rozłóż każdą liczbę na PROSTE czynniki

— zapisz rozkład WIĘKSZEGO z nich

- pomnóż go przez BRAKUJĄCE współczynniki innych liczb

Spójrzmy na przykłady:

50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

w rozwinięciu większej liczby jeden brakuje 5

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

w rozwinięciu większej liczby brakuje dwóch i trzech

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb pierwszych jest ich iloczyn

Pytanie! Dlaczego znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności jest przydatne, skoro możesz skorzystać z drugiej metody i po prostu zmniejszyć powstały ułamek? Tak, jest to możliwe, ale nie zawsze jest to wygodne. Spójrz na mianownik liczb 48 i 72, jeśli po prostu je pomnożysz 48∙72 = 3456. Zgodzisz się, że przyjemniej jest pracować z mniejszymi liczbami.

Spójrzmy na przykłady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

w rozwinięciu większej liczby brakuje trójki

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Teraz zastosujmy pierwszą metodę:

*Spójrz na różnicę w obliczeniach, w pierwszym przypadku jest ich minimum, ale w drugim musisz pracować osobno na kartce papieru, a nawet otrzymaną ułamek należy zmniejszyć. Znalezienie LOC znacznie upraszcza pracę.

Więcej przykładów:

*W drugim przykładzie widać, że najmniejszą liczbą podzielną przez 40 i 60 jest 120.

WYNIK! OGÓLNY ALGORYTM OBLICZENIOWY!

— sprowadzamy ułamki zwykłe do zwykłych, jeśli istnieje część całkowita.

- sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (najpierw sprawdzamy, czy jeden mianownik jest podzielny przez drugi; jeśli jest podzielny, to mnożymy licznik i mianownik tego drugiego ułamka; jeśli nie jest podzielny, postępujemy innymi metodami wskazane powyżej).

- Po otrzymaniu ułamków o równych mianownikach wykonujemy operacje (dodawanie, odejmowanie).

- w razie potrzeby zmniejszamy wynik.

- jeśli to konieczne, wybierz całą część.

2. Iloczyn ułamków.

Zasada jest prosta. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki:

Przykłady:

Zadanie. Do bazy przywieziono 13 ton warzyw. Ziemniaki stanowią ¾ wszystkich importowanych warzyw. Ile kilogramów ziemniaków przywieziono do bazy?

Skończmy z kawałkiem.

*Wcześniej obiecałem dać ci formalne wyjaśnienie głównej właściwości ułamka poprzez iloczyn, proszę:

3. Podział ułamków.

Dzielenie ułamków sprowadza się do ich pomnożenia. Należy tutaj pamiętać, że ułamek będący dzielnikiem (przez który jest dzielony) zostaje odwrócony i akcja zmienia się na mnożenie:

Czynność tę można zapisać w postaci tzw. ułamka czteropiętrowego, gdyż sam dzielenie „:” można również zapisać jako ułamek zwykły:

Przykłady:

To wszystko! Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.

Ułamki zwykłe nadal uważane są za jedną z najtrudniejszych dziedzin matematyki. Historia ułamków sięga ponad tysiąca lat. Możliwość podzielenia całości na części pojawiła się na terytorium starożytnego Egiptu i Babilonu. Z biegiem lat operacje wykonywane na ułamkach stały się bardziej złożone, a forma ich zapisu uległa zmianie. Każdy z nich miał swoją własną charakterystykę w swoim „związku” z tą gałęzią matematyki.

Co to jest ułamek?

Kiedy pojawiła się potrzeba podzielenia całości na części bez dodatkowego wysiłku, pojawiły się ułamki. Historia ułamków jest nierozerwalnie związana z rozwiązywaniem problemów utylitarnych. Sam termin „ułamek” ma arabskie korzenie i pochodzi od słowa oznaczającego „łamać, dzielić”. Niewiele zmieniło się w tym sensie od czasów starożytnych. Współczesna definicja jest następująca: ułamek to część lub suma części jednostki. Odpowiednio przykłady z ułamkami reprezentują sekwencyjne wykonywanie operacji matematycznych na ułamkach liczb.

Dziś można je rejestrować na dwa sposoby. powstały w różnym czasie: pierwsze są starsze.

Pochodzi od niepamiętnych czasów

Po raz pierwszy zaczęli działać z frakcjami w Egipcie i Babilonie. Podejście matematyków obu krajów różniło się znacząco. Początek jednak w obu przypadkach był taki sam. Pierwsza frakcja wynosiła połowę lub 1/2. Potem pojawiła się czwarta, trzecia i tak dalej. Według wykopalisk archeologicznych historia powstania frakcji sięga około 5 tysięcy lat. Po raz pierwszy w egipskich papirusach i na babilońskich tabliczkach glinianych odnaleziono ułamki liczby.

Starożytny Egipt

Do rodzajów ułamków zwykłych zalicza się dziś tzw. egipskie. Stanowią one sumę kilku wyrazów postaci 1/n. Licznik jest zawsze jeden, a mianownik jest liczbą naturalną. Trudno zgadnąć, że takie frakcje pojawiły się w starożytnym Egipcie. Przy obliczaniu staraliśmy się zapisać wszystkie udziały w postaci takich kwot (na przykład 1/2 + 1/4 + 1/8). Tylko ułamki 2/3 i 3/4 miały osobne oznaczenia, pozostałe podzielono na wyrazy. Istniały specjalne tabele, w których ułamki liczby były przedstawiane jako suma.

Najstarsza znana wzmianka o takim systemie znajduje się w papirusie matematycznym Rhinda, datowanym na początek drugiego tysiąclecia p.n.e. Zawiera arkusz ułamków zwykłych oraz zadania matematyczne z rozwiązaniami i odpowiedziami przedstawionymi jako suma ułamków zwykłych. Egipcjanie umieli dodawać, dzielić i mnożyć ułamki liczb. Ułamki w Dolinie Nilu zapisano za pomocą hieroglifów.

Charakterystyczne dla starożytnego Egiptu przedstawienie ułamka liczby jako sumy wyrazów w postaci 1/n było stosowane przez matematyków nie tylko w tym kraju. Do średniowiecza frakcje egipskie były używane w Grecji i innych krajach.

Rozwój matematyki w Babilonie

Matematyka wyglądała inaczej w królestwie babilońskim. Historia pojawienia się tutaj ułamków jest bezpośrednio związana ze specyfiką systemu liczbowego odziedziczonego przez starożytne państwo od swojego poprzednika, cywilizacji sumeryjsko-akadyjskiej. Technologia obliczeniowa w Babilonie była wygodniejsza i bardziej zaawansowana niż w Egipcie. Matematyka w tym kraju rozwiązywała znacznie szerszy zakres problemów.

O osiągnięciach Babilończyków można dziś świadczyć na podstawie zachowanych glinianych tabliczek wypełnionych pismem klinowym. Ze względu na specyfikę materiału dotarły do ​​nas w dużych ilościach. Według niektórych w Babilonie przed Pitagorasem odkryto dobrze znane twierdzenie, które niewątpliwie świadczy o rozwoju nauki w tym starożytnym państwie.

Ułamki: historia ułamków w Babilonie

System liczbowy w Babilonie był sześćdziesiętny. Każda nowa cyfra różniła się od poprzedniej o 60. System ten zachował się we współczesnym świecie do wskazywania czasu i kątów. Ułamki były również sześćdziesiętne. Do nagrywania wykorzystano specjalne ikony. Podobnie jak w Egipcie, przykłady ułamków zawierały oddzielne symbole dla 1/2, 1/3 i 2/3.

System babiloński nie zniknął wraz z państwem. Ułamków zwykłych zapisanych w systemie 60-cyfrowym używali starożytni i arabscy ​​astronomowie i matematycy.

Starożytna Grecja

Historia ułamków zwykłych była mało wzbogacona w starożytnej Grecji. Mieszkańcy Hellady wierzyli, że matematyka powinna operować wyłącznie liczbami całkowitymi. Dlatego na stronach starożytnych greckich traktatów praktycznie nigdy nie znaleziono wyrażeń z ułamkami. Jednak pitagorejczycy wnieśli pewien wkład w tę gałąź matematyki. Rozumieli ułamki jako stosunki lub proporcje, a jednostkę uważano również za niepodzielną. Pitagoras i jego uczniowie zbudowali ogólną teorię ułamków zwykłych, nauczyli się przeprowadzać wszystkie cztery operacje arytmetyczne, a także porównywać ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika.

Święte Cesarstwo Rzymskie

Rzymski system ułamków był kojarzony z miarą masy zwaną „tyłem”. Został on podzielony na 12 udziałów. 1/12 asa nazywano uncją. Było 18 nazw ułamków. Oto niektóre z nich:

półfinały - pół assy;

sextante – szósta część tyłka;

siedem uncji - pół uncji lub 1/24 tyłka.

Wadą takiego systemu była niemożność przedstawienia liczby w postaci ułamka zwykłego o mianowniku 10 lub 100. Matematycy rzymscy pokonali tę trudność, stosując procenty.

Zapisywanie ułamków zwykłych

W starożytności ułamki pisano już w znany sposób: jedna liczba nad drugą. Jednak była jedna istotna różnica. Licznik znajdował się pod mianownikiem. Po raz pierwszy zaczęto zapisywać ułamki w ten sposób w starożytnych Indiach. Nowoczesną metodę stosowali Arabowie. Ale żaden z wymienionych ludów nie użył poziomej linii do oddzielenia licznika i mianownika. Po raz pierwszy pojawia się w pismach Leonarda z Pizy, lepiej znanego jako Fibonacci, w 1202 roku.

Chiny

Jeśli historia pojawienia się ułamków zwykłych rozpoczęła się w Egipcie, to dziesiętne pojawiły się po raz pierwszy w Chinach. W Cesarstwie Niebieskim zaczęto ich używać około III wieku p.n.e. Historia ułamków dziesiętnych rozpoczęła się od chińskiego matematyka Liu Hui, który zaproponował ich wykorzystanie do wyciągania pierwiastków kwadratowych.

W III wieku naszej ery w Chinach zaczęto używać ułamków dziesiętnych do obliczania masy i objętości. Stopniowo zaczęli wnikać coraz głębiej w matematykę. Jednak w Europie ułamki dziesiętne zaczęto stosować znacznie później.

Al-Kashi z Samarkandy

Niezależnie od chińskich poprzedników ułamki dziesiętne odkrył astronom al-Kashi ze starożytnego miasta Samarkanda. Żył i tworzył w XV wieku. Naukowiec przedstawił swoją teorię w traktacie „Klucz do arytmetyki”, opublikowanym w 1427 r. Al-Kashi zaproponował użycie nowej formy zapisywania ułamków zwykłych. Zarówno część całkowita, jak i ułamkowa zostały teraz zapisane w tym samym wierszu. Astronom z Samarkandy nie użył przecinka, aby je oddzielić. Liczbę całkowitą i część ułamkową zapisał w różnych kolorach, używając czarnego i czerwonego atramentu. Czasami al-Kashi również używał pionowej linii do oddzielania.

Dziesiętne w Europie

W XIII wieku w pracach matematyków europejskich zaczął pojawiać się nowy rodzaj ułamków zwykłych. Należy zauważyć, że nie znali oni dzieł al-Kashiego, a także wynalazku Chińczyków. Ułamki dziesiętne pojawiły się w pismach Jordana Nemorariusa. Następnie stosował je już w XVI wieku francuski naukowiec, który napisał „Kanon Matematyczny”, zawierający tablice trygonometryczne. Viet używał w nich ułamków dziesiętnych. Aby oddzielić część całkowitą od ułamkowej, naukowiec zastosował pionową kreskę oraz różne rozmiary czcionek.

Były to jednak tylko szczególne przypadki zastosowania naukowego. Ułamki dziesiętne zaczęto używać w Europie nieco później do rozwiązywania codziennych problemów. Stało się to za sprawą holenderskiego naukowca Simona Stevina pod koniec XVI wieku. W 1585 roku opublikował dzieło matematyczne „Dziesiątka”. Naukowiec nakreślił w nim teorię stosowania ułamków dziesiętnych w arytmetyce, w systemie monetarnym oraz do wyznaczania wag i miar.

Kropka, kropka, przecinek

Stevin również nie użył przecinka. Oddzielił dwie części ułamka za pomocą zera otoczonego okręgiem.

Po raz pierwszy przecinek oddzielił dwie części ułamka dziesiętnego w 1592 roku. Jednak w Anglii zaczęto używać zamiast tego kropki. W Stanach Zjednoczonych ułamki dziesiętne nadal zapisuje się w ten sposób.

Jednym z inicjatorów stosowania obu znaków interpunkcyjnych do oddzielania części całkowitej od ułamkowej był szkocki matematyk John Napier. Swoją propozycję wyraził w latach 1616-1617. Niemiecki naukowiec również użył przecinka

Ułamki w języku ruskim

Na ziemi rosyjskiej pierwszym matematykiem, który wyjaśnił podział całości na części, był nowogrodzki mnich Kirik. W 1136 roku napisał dzieło, w którym nakreślił metodę „liczenia lat”. Kirik zajmował się zagadnieniami chronologii i kalendarza. W swoim dziele przytaczał także podział godziny na części: piąte, dwudzieste piąte i tak dalej.

Dzielenie całości na części stosowano przy obliczaniu wysokości podatku już w XV-XVII w. Wykorzystano operacje dodawania, odejmowania, dzielenia i mnożenia przez części ułamkowe.

Samo słowo „frakcja” pojawiło się na Rusi w VIII wieku. Pochodzi od czasownika „dzielić, dzielić na części”. Nasi przodkowie nazywali ułamki specjalnymi słowami. Na przykład 1/2 została oznaczona jako połowa lub połowa, 1/4 jako ćwiartka, 1/8 jako połowa, 1/16 jako połowa i tak dalej.

Kompletną teorię ułamków, niewiele różniącą się od współczesnej, przedstawił pierwszy podręcznik arytmetyki, napisany w 1701 roku przez Leonty'ego Filippowicza Magnickiego. „Arytmetyka” składała się z kilku części. Autor szczegółowo omawia ułamki w rozdziale „O liczbach łamanych lub z ułamkami”. Magnitski podaje operacje na „łamanych” liczbach i ich różne oznaczenia.

Dzisiaj ułamki zwykłe nadal należą do najtrudniejszych działów matematyki. Historia ułamków również nie była prosta. Różne narody, czasem niezależnie od siebie, a czasem czerpiąc z doświadczeń swoich poprzedników, doszły do ​​konieczności wprowadzania, opanowywania i używania ułamków liczbowych. Badanie ułamków zawsze wyrastało z praktycznych obserwacji i palących problemów. Trzeba było dzielić chleb, wyznaczyć równe działki, obliczać podatki, mierzyć czas i tak dalej. Specyfika stosowania ułamków zwykłych i operacji matematycznych na nich zależała od systemu liczbowego panującego w państwie i od ogólnego poziomu rozwoju matematyki. Tak czy inaczej, po ponad tysiącu lat, utworzono, rozwinięto sekcję algebry poświęconą ułamkom liczb i z powodzeniem wykorzystuje się ją dziś do różnych potrzeb, zarówno praktycznych, jak i teoretycznych.

W artykule pokażemy jak rozwiązywać ułamki zwykłe używając prostych, zrozumiałych przykładów. Zastanówmy się, czym jest ułamek i rozważmy rozwiązywanie ułamków!

Pojęcie ułamki wprowadzany jest na zajęcia z matematyki począwszy od szóstej klasy szkoły średniej.

Ułamki zwykłe mają postać: ±X/Y, gdzie Y jest mianownikiem, informuje, na ile części podzielono całość, a X jest licznikiem, informuje, na ile takich części zostało wziętych. Dla jasności weźmy przykład z ciastem:

W pierwszym przypadku ciasto pokrojono równo i wyjęto połowę, tj. 1/2. W drugim przypadku ciasto pokrojono na 7 części, z czego pobrano 4 części, tj. 4/7.

Jeżeli część dzielenia jednej liczby przez drugą nie jest liczbą całkowitą, zapisuje się ją jako ułamek zwykły.

Na przykład wyrażenie 4:2 = 2 daje liczbę całkowitą, ale 4:7 nie jest podzielne przez całość, więc to wyrażenie jest zapisywane jako ułamek 4/7.

Innymi słowy frakcja to wyrażenie oznaczające dzielenie dwóch liczb lub wyrażeń, zapisywane przy użyciu ukośnika ułamkowego.

Jeśli licznik jest mniejszy od mianownika, ułamek jest właściwy; i odwrotnie, jest to ułamek niewłaściwy. Ułamek zwykły może zawierać liczbę całkowitą.

Na przykład 5 całych 3/4.

Wpis ten oznacza, że ​​aby otrzymać całą 6, brakuje jednej części czterech.

Jeśli chcesz pamiętać, jak rozwiązywać ułamki zwykłe dla klasy 6, musisz to zrozumieć rozwiązywanie ułamków w zasadzie sprowadza się do zrozumienia kilku prostych rzeczy.

• Ułamek jest zasadniczo wyrazem ułamka. Oznacza to, że jest to liczbowe wyrażenie tego, jaką częścią całości jest dana wartość. Na przykład ułamek 3/5 wyraża to, że jeśli podzielimy coś całości na 5 części i liczba udziałów lub części tej całości wynosi trzy.
• Ułamek może być mniejszy niż 1, na przykład 1/2 (lub zasadniczo połowa), wtedy jest poprawny. Jeśli ułamek jest większy od 1, np. 3/2 (trzy połówki lub półtora), to jest on niepoprawny i dla uproszczenia rozwiązania lepiej będzie wybrać całą część 3/2 = 1 całość 1 /2.
• Ułamki to te same liczby, co 1, 3, 10, a nawet 100, tyle że liczby nie są liczbami całkowitymi, ale ułamkami. Można na nich wykonywać te same operacje, co na liczbach. Liczenie ułamków nie jest już trudniejsze i pokażemy to dalej na konkretnych przykładach.

Jak rozwiązywać ułamki zwykłe. Przykłady.

Na ułamkach można zastosować szeroką gamę operacji arytmetycznych.

Sprowadzanie ułamka do wspólnego mianownika

Na przykład musisz porównać ułamki 3/4 i 4/5.

Aby rozwiązać problem, najpierw znajdujemy najniższy wspólny mianownik, tj. najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdy z mianowników ułamków bez pozostawiania reszty

Najmniejszy wspólny mianownik (4,5) = 20

Następnie mianownik obu ułamków zostaje zredukowany do najniższego wspólnego mianownika

Odpowiedź: 15/20

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Jeśli konieczne jest obliczenie sumy dwóch ułamków, najpierw sprowadza się je do wspólnego mianownika, następnie dodaje się liczniki, a mianownik pozostaje niezmieniony. Różnicę między ułamkami oblicza się w ten sam sposób, jedyną różnicą jest to, że odejmuje się liczniki.

Na przykład musisz znaleźć sumę ułamków 1/2 i 1/3

Teraz znajdźmy różnicę między ułamkami 1/2 i 1/4

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Tutaj rozwiązywanie ułamków nie jest trudne, tutaj wszystko jest dość proste:

• Mnożenie - liczniki i mianowniki ułamków są mnożone przez siebie;
• Dzielenie – najpierw otrzymujemy ułamek odwrotny do drugiego ułamka, tj. Zamieniamy jego licznik i mianownik, po czym mnożymy powstałe ułamki.

Na przykład:

To tyle jak rozwiązywać ułamki zwykłe, Wszystko. Jeśli nadal masz jakieś pytania dot rozwiązywanie ułamków Jeśli coś nie jest jasne, napisz w komentarzach, a na pewno odpowiemy.

Jeśli jesteś nauczycielem, być może pobranie prezentacji dla szkoły podstawowej (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) będzie dla Ciebie przydatne.