Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

Общие сведения

Часто точное число представляют ограниченным количеством цифр, отбрасывая «лишние» цифры, либо округляя его до определенного разряда. Такое число называют приближенным.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненному по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

Приближенное число характеризуют числом значащих цифр, к которым относят все цифры, кроме нулей слева.

Цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения А д измеряемой величины. Так как истинная погрешность полученного результата неизвестна, то ее заменяют понятием предельной абсолютной погрешности Δ пр = | A - A д | или предельной относительной погрешности δ пр = Δ пр / А (чаще указывается в процентах δ пр = 100 Δ пр / А)

Предельная относительная погрешность приближенного числа может быть оценена по формуле:

где δ – число верных значащих цифр;

n 1 – первая слева значащая цифра.

Для определения необходимого числа верных знаков обеспечивающих заданную предельную относительную погрешность следует руководствоваться правилами:

если первая значащая цифра не превышает трех, то число верных цифр должно быть на единицу больше, чем модуль показателя |-q| при 10 в заданной относительной погрешности δ пр = 10 -q

если первая значащая цифра 4 и больше, то модуль показателя q равен числу верных цифр.

(Если δ пр = 10 - q , то S можно определить по формуле
)

Правила вычислений с приближенными числами

Результат суммирования (вычитания) приближенных чисел будет иметь столько верных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом верных знаков.

При умножении (делении) в полученном результате будет столько значащих верных цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством верных знаков.

При возведении в степень (извлечении корня) любой степени результат имеет столько же верных знаков, сколько их в основании.

Число и мантисса его логарифма содержит одинаковое количество верных знаков.

Правило запасной цифры. Чтобы по возможности уменьшить ошибки округления, рекомендуется в тех исходных данных, которые это позволяют, а также и в результате, если он будет участвовать в дальнейших вычислениях, сохранить по одной лишней цифре сверх того, что определено правилами 1-4.

3. Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Класс точности – обобщенная характеристика, используемая для оценки предельных значений основной и дополнительной погрешностей.

Основной называют погрешность прибора, присущую ему в нормальных условиях эксплуатации.

Условия эксплуатации определяются значениями влияющих на показания приборов величин, не являющихся для данного прибора информативными. К влияющим величинам относят температуру среды, в которой выполняются измерения, положение шкалы прибора, частоту измеряемой величины (не для частотомеров), напряженность внешнего магнитного (или электрического) поля, напряжение питания электронных и цифровых приборов и др.

В технической документации прибора указывают нормальный и рабочий диапазоны значений влияющих величин. Использование прибора при значении влияющей величины вне пределов рабочего диапазона не допускается.

Класс точности прибора устанавливают по форме:

предела абсолютной погрешности Δ пр = ± а или Δ пр = ± (а + b A);

предела относительной погрешности δ пр = ± p или δ пр = ± ;

предела приведенной погрешности γ пр = ± k

Числа a, b, p, c, d, k выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 10 n , где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

А – показания прибора;

А max – верхний предел используемого диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность

,

где А н – нормирующее значение, условно принятое для данного прибора, зависящее от формы шкалы.

Определение А н для наиболее часто встречающихся шкал приведены ниже:

а) односторонняя шкала б) шкала с нулем внутри

А н = А max A н = |A 1 | + A 2

в) шкала без нуля г) существенно неравномерная шкала (для омметров, фазометров)

А н = А 2 – А 1 А н = L

Правила и примеры обозначения классов точности приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Формула для предельной основной погрешности		Обозначение класса точности на приборе
		общий вид
Δ = ± (а + b A)	± а, ед. величины А ± (а + b A), ед. величины А	Римскими или латинскими буквами

Сейчас, когда человек владеет мощным арсеналом компьютерной техники (различные калькуляторы, компьютеры и т.п.), соблюдение правил приближенных вычислений особенно важно, чтобы не исказить достоверность результата.

Выполняя любые вычисления, следует помнить о точности результата, которую можно или нужно (если устанавливают) получить. Так, недопустимо производить вычисления с большей точностью, чем это задано данным физической задачи или требуется условиями експерименту1. Например, выполняя математические действия с числовыми значениями физических величин, которые имеют две достоверные (значимые) цифры, нельзя записывать результат расчетов с точностью, что выходит за пределы двух достоверных цифр, даже если в итоге имеем их больше.

Значение физических величин надо записывать, отмечая лишь знаки достоверного результата. Например, если числовое значение величины 39 600 имеет три достоверных знаки (абсолютная погрешность результата равен 100), то результат надо записать в виде 3,96 104 или 0,396 105. В подсчете достоверных цифр не учитываются нули слева от числа.

Чтобы результат вычислений был корректным, его надо округлить, оставляя лишь истинное значение величины. Если числовое значение величины содержит лишние (недостоверные) цифры, которые преобладают заданную точность, то последняя цифра, хранящейся увеличивается на 1 при условии, что избыток (лишние цифры) равна или больше половины значения следующего разряда числа.

В разных числовых значениях нуль может быть как достоверной, так и недостоверной цифрой. Так, в примере б) он является недостоверной цифрой, а в г) - достоверной, значимой. В физике, если хотят подчеркнуть достоверность разряда числового значения физической величины, в стандартном ее выражении указывают «0». Например, запись значения массы 2,10 10-3 кг указывает на три достоверные цифры результата и соответствующую точность измерения, а значение 2,1 10-3 кг только две достоверные цифры.

Следует помнить, что результат действий с числовыми значениями физических величин является приближенным результатом, который учитывает точность расчета или погрешность измерений. Поэтому при приближенных вычислений следует руководствоваться следующими правилами подсчета достоверных цифр:

1. При выполнении арифметических действий с числовыми значениями физических величин в их результате следует брать столько достоверных знаков, сколько их имеет числовое значение с наименьшим количеством достоверных знаков.

2. Во всех промежуточных подсчетах следует сохранять на одну цифру больше, чем их имеет числовое значение с наименьшим количеством достоверных знаков. В конечном итоге эта «дополнительная» цифра отбрасывается путем округления.

3. Если отдельные данные имеют более достоверных знаков, чем другие, их значения предварительно следует округлить (можно сохранить одну «избыточную» цифру) и после этого выполнять действия.

Cтраница 2

Математические действия над приближенными значениями величин называются приближенными, вычислениями. К настоящему времени создана целая наука о приближенных вычислениях, с рядом положений которой мы познакомимся в дальнейшем.  

Результат измерения всегда дает приближенное значение величины. Это связано с неточностью самих измерений, неидеальной точностью измерительных приборов.  

Что называется относительной погрешностью приближенного значения величины.  

В табл. 25 приведены приближенное значения величин / Си / - д при различных амплитудах Um0 для [ диода 6X6, нагруженного сопротивлением R 0 5 мгом. Эта таблица составлена проф.  

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда.  

При этом возникает необходимость находить приближенные значения величин при условии, что граница относительной погрешности не должна превышать наперед заданного значения. На данном занятии будут рассмотрены задачи такого типа.  

Если в данном точном или приближенном значении величины число цифр больше, чем это необходимо по практическим соображениям, то это число округляют. Операция округления чисел состоит в отбрасывании нескольких цифр младших разрядов и замене их нулями; при этом последнюю удерживаемую цифру оставляют без изменения, если первая отбрасываемая цифра меньше 5; если она равна или больше 5, то цифру последнего удерживаемого разряда увеличивают на единицу.  

Условимся считать, что в приближенном значении величины все цифры верные, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.  

При таком округлении число, характеризующее приближенное значение величины, состоит из верных цифр, а цифра низшего разряда этого числа (последняя в записи) имеет точность 1 того же разряда. Например, запись т 3 68 кг означает т 3 68 0 01 кг, а запись т3 680 кг означает т3 680 0 001 кг.  

Из уравнения видно, что сумма приближенных значений величин А и сумма их погрешностей являются приближенным значением сумм величин X и их абсолютной ошибкой.  

N) в (1) обозначено приближенное значение величины y (xi, x0, г / о), получаемое рассматриваемым методом.  

Расчеты, как правило, производятся с приближенными значениями величин - приближенными числами. Разумная оценка погрешности при вычислениях позволяет указать оптимальное количество знаков, которые следует сохранять при расчетах, а также в окончательном результате.  

В результате счета можно получить или точное или приближенное значение величины. При этом достаточным признаком приг ближенности результата счета является наличие разных ответов при повторных подсчетах.  

В действительности, средняя арифметическая X даст ему лишь приближенное значение величины а xf, и если сама схема его опыта была неудовлетворительна или приборы плохо проверены (например, измерительная линейка вместо 1 м равна 0 999 мм), то, как бы точно наш наблюдатель ни нашел значение а, у него нет оснований считать, что X или а соответствуют истинному значению скорости звука, которая может быть наблюдаема в других самых разнообразных опытах. Основное допущение, которое должно было бы оправдать применение способа средней арифметической к физическим измерениям такого рода, состоит в предположении, что неизвестная величина а xf или, другими словами, что измерение (или вычисление) производится без систематической ошибки.  

На практике, измеряя площади, мы чаще всего пользуемся приближенными значениями величин.  

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Результаты действий с числами дают: с приближенными числами приближенные числа. Например. Во время эпидемии 60% жителей Санкт-Петербурга болеют гриппом. Это приблизительно 3млн человек. с точными числами точное числа Например. В аудитории на лекции по математике 65 человек. приближенные числа Например. Средняя температура тела пациента в течение дня 37,3: утро: 37,2 ; день:36,8 ; вечер38.

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Округление: а) до десятых 12,34 12,3; б) до сотых 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тысячных 3,4335 3,434. г) до тысяч; При этом учитывают следующее:

Величины, наиболее часто измеряемые в медицине: масса m, длина l, скорость процесса v, время t, температура t, объём V и т.д. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу. 9 Единицы измерения физических величин: О с н о в н ы е Длина - 1 м - (метр) Время - 1 с - (секунда) Масса - 1 кг - (килограмм) П р о и з в о д н ы е Объем - 1 м³ - (метр кубический) Скорость - 1 м/с - (метр в секунду)

Приставки к названиям единиц: Кратные приставки - увеличивают в 10, 100, 1000 и т.д. раз г - гекто (×100) к – кило (× 1000) М – мега (×) 1 км (километр) 1 кг (килограмм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольные приставки – уменьшают в 10, 100, 1000 и т.д. раз д – деци (×0, 1) с – санти (× 0, 01) м – милли (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (миллиметр) 1мм = 0,001 м Кратные приставки используют при измерении больших расстояний, масс, объемов, скоростей и т. п. Дольные приставки используют при измерении малых расстояний, скоростей, масс, объёмов и т.п.

Для диагностики, лечения, профилактики заболеваний в медицине используется различная измерительная медицинская аппаратура.

Термометр. Во-первых, нужно учесть верхний и нижний пределы измерений. Нижний предел – это минимальное, а верхний – максимальное измеряемое значение. Если неизвестно предполагаемое значение измеряемой величины, лучше взять прибор с «запасом». Например, измерение температуры горячей воды не стоит проводить уличным или комнатным термометром. Лучше найти прибор с верхним пределом 100 °С. Во-вторых, нужно понять, насколько точно должна быть измерена величина. Так как погрешность измерений зависит от цены деления, для более точных измерений выбирается прибор с меньшей ценой деления.

Погрешности измерений. Для измерения разных диагностических параметров величин нужен свой прибор. Например, длину измеряют линейкой, а температуру – термометром. Но линейки, термометры, тонометры и другие приборы бывают разными, поэтому чтобы измерить какую- либо физическую величину, нужно выбрать подходящий именно для этого измерения прибор.

Цена деления прибора. Температуру тела человека нужно определять точно, лекарства вводить строго определенное количество,поэтому Цена делений шкалы измерительного прибора – важная характеристика каждого прибора. Правило для вычисления цены деления прибора.. Чтобы подсчитать цену делений шкалы, нужно: а) выбрать на шкале два ближайших оцифрованных штриха; б) сосчитать количество делений между ними; в) разность значений около выбранных штрихов разделить на количество делений.

Цена деления прибора. Цена деления (50-30)/4=5 (мл) Цена деления: (40-20)/10=2 км/ч, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR, (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп, (4-2)/10=0,2 с

Определите цену деления приборов: 16

Абсолютная погрешность измерения. При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три части: ошибки, вызванные несовершенством приборов; ошибки, вызванные несовершенством методов проведения измерений; ошибки обусловленные влиянием случайных факторов, от которых невозможно избавиться. Измеряя какую-либо величину, хочется знать не только её значение, но и то, насколько этому значению можно доверять, насколько оно точно. Для этого необходимо знать, насколько истинное значение величины может отличаться от измеренного. Для этих целей вводится понятие абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность показывает, на сколько реальное значение физической величины отличается от измеренного. Она зависит от самого прибора (инструментальная погрешность) и от процесса измерений (погрешность отсчёта по шкале). Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется разность Δ x = |x – x 0 |, где х 0 - приближенное значение, а х – точное значение измеряемой величины или иногда вместо х употребляют А ΔА = |А – А 0 |.

Абсолютная и относительная погрешности. Пример. Известно, что -0,333 приближенное значение для -1/3. Тогда по определению абсолютной погрешности Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность не может быть. Это любое число h,удовлетворяющее неравенству | Δ x | h Оно называется границей абсолютной погрешности.

В этом случае говорят, что величина х приближенно с точностью до h равна x 0. х=х 0 ± h или х 0 - h х х 0 + h

Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений

Оценка приборных погрешностей измеряемых величин. Для большинства измерительных приборов, погрешность прибора равна цене его деления. Исключение составляют цифровые приборы и стрелочные измерительные приборы. Для цифровых приборов погрешность указывается в их паспорте и обычно в раз превышает цену деления прибора. Для стрелочных измерительных приборов погрешность определяется их классом точности, который указывается на шкале прибора, и пределом измерений. Класс точности указывается на шкале прибора как число, которое не обведено никакими рамками. Например, на приведенном рисунке класс точности манометра равен 1,5. Класс точности показывает, сколько процентов составляет погрешность прибора от предела его измерений. Для стрелочного манометра предел измерений составляет 3 атм, соответственно погрешность измерения давления равна 1,5% от 3 атм, то есть 0,045 атм. Следует отметить, что для большинства стрелочных приборов их погрешность оказывается равной цене деления прибора. Как и в нашем примере, где цена деления барометра равна 0,05 атм.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность нужна для определения диапазона, в который может попасть истинное значение, но для оценки точности результата в целом она не очень показательна. Ведь измерение длины в 10 м с погрешностью в 1 мм безусловно является весьма точным, в то же время измерение длины в 2 мм с погрешностью в 1 мм очевидно является крайне неточным. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры ΔА 0,17 0,2. Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности А=10,332 10,3

Абсолютная и относительная погрешности. Наряду с абсолютной погрешностью принято рассматривать и относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению самой величины. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: Е = Δx. 100% х 0 Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла произойти ошибка и является показательной при оценки качества результатов эксперимента.

Пример. При измерении длины и диаметра капилляра получили l =(10,0 ±0,1)см, d=(2,5 ±0,1)мм. Какое из этих измерений точнее? При измерении длины капилляра допускается абсолютная погрешность 10мм на 100мм следовательно абсолютная погрешность10/100=0,1=10%. При измерении диаметра капилляра допустимая абсолютная погрешность 0,1/2,5=0,04=4% Следовательно измерение диаметра капилляра выполнено точнее.

Во многих случаях нельзя найти абсолютную погрешность. Следовательно и относительную погрешность. Но можно найти границу относительной погрешности. Любое число δ,удовлетворяющее неравенству | Δ x | / | x о | δ,является границей относительной погрешности. В частности, если h–граница абсолютной погрешности, то число δ= h/| x о |, является границей относительной погрешности приближения x о. Отсюда. Зная границу отн.п-и. δ можно найти границу абсолютной погрешности h. h= δ | x о |

Пример. Известно, что 2=1,41… Найти относительную точность приближенного равенства или границу отн.погрешности приближенного равенства 2 1,41. Здесь х = 2, x о = 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x о 0,01/1,41=1/141, Граница абс.погрешности равна 0,01, аграница относительной погрешности равна 1/141

Пример. При считывании показаний со шкалы важно, чтобы ваш взгляд падал перпендикулярно шкале прибора, при этом ошибка будет меньше. Для определения показания термометра: 1.определяем количество делений, 2. умножаем их на цену деления 3. учитываем погрешность 4.записываем окончательный результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Это означает, что температура лежит в пределах от 18,5° до 21,5°. То есть она может быть, например, и 19, и 20 и 21 градусов Цельсия. Чтобы увеличить точность измерений, принято повторить их не менее трёх раз и вычислить среднее значение измеряемой величины

Н А Х О Ж Д Е Н И Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н И Я Результаты измерений С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33,5 С 5 = 54,2 а)Найдем среднее значение четырех величин с ср = (с 1 + с 2 + с 3 + с 4):4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 б)Найдем отклонение величины от среднего значения Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

В)Найдем абсолютную погрешность Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Найдем относительную погрешность δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9 % д) Запишем окончательный ответ с = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Подготовиться к к практическому занятию по материалам лекции. Выполнить задание. Найти среднее значение и погрешность: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Создать презентации по темам: «Округление величин в медицине», «Погрешности измерений», «Медицинская измерительная аппаратура»