Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а 1 ; а 2 ; а 3 ; … а n ; … (или (а n)).
Способы задания последовательностей:
1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.
Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.
2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.
3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.
При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:
1. Т.к. последовательность (а n) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; а n).
2. Члены последовательности (а n) можно изобразить точками х=а n .
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность (а n) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤a n ≤M. В противном случае она называется неограниченной.
Существует 3 вида неограниченных последовательностей:
1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.
2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.
3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.
Монотонные последовательности.
К монотонным последовательностям относятся убывающие, строго убывающие, возрастающие, строго возрастающие последовательности.
Последовательность (а n) называется убывающей, если каждый предыдущий член не меньше последующего: а n +1 ≤a n .
Последовательность (а n) называется строго убывающей, если каждый предыдущий член строго больше последующего: а n >a 2 >a 3 >…>a n +1 >…
Последовательность (а n) называется возрастающей, если каждый последующий член не меньше предыдущего: а n ≤a n +1 .
Урок № 32 АЛГЕБРА | Учитель математики, первой категории Гаун Ольга Викторовна. Восточно-Казахстанская область Глубоковский район КГУ «Черемшанская средняя школа» |
Тема: Числовая последовательность и способы ее задания |
|
Основные цели и задачи урока | Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности. Развивающа я: развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие культуры устной речи, развитие коммуникативности и сотрудничества. Воспитательная : воспитание наблюдательности, привитие любви и интереса к предмету. |
Ожидаемые результаты освоения темы | В ходе урока приобретут новые знания о числовых последовательностях и способах ее задания. Научатся находить верное решение, составлять алгоритм решения и пользоваться им при решении заданий. Путем исследования обнаружат их некоторые свойства. Вся работа сопровождается слайдами. Применение ИКТ даст возможность провести урок оживленно, выполнить большой объем работы, со стороны ребят будет искренний интерес и эмоциональное восприятие. Одарённые ученики выступят с сообщением о числах Фибоначчи и о золотом сечении. Универсальные учебные действия, на формирование которых направлен образовательный процесс: умение работать в паре, развивать логическое мышление, умение анализировать, исследовать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Обучить навыкам общения и сотрудничества. Использование данных технологий способствует развитию у обучающихся универсальных способов деятельности, опыта творческой деятельности, компетентности, коммуникабельности. |
Ключевые идеи урока | Новые подходы в преподавании и обучении Диалоговое обучение Обучение тому, как обучаться Обучение критическому мышлению Обучение талантливых и одарённых детей |
Тип урока | Изучение новой темы |
Методы обучения | Наглядный (презентация), словесный (беседа, объяснение, диалог), практический. |
Формы организации учебной деятельности уч-ся | фронтальная; парная; индивидуальная. |
ХОД УРОКА
Организационный момент
(Приветствие учащихся, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания).
Мотивация урока.
«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые. «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.
Введение в тему, изучение нового материала.
Давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:
–понедельник, вторник,…..
– январь, февраль, март…;
– Алиев, Гордеева, Грибачева… (список класса);
–10,11,12,…99;
Вывод: Это последовательности, то есть некоторый упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте. Итак, тема урока – последовательность.
Сегодня мы будем говорить о видах и составляющих числовых последовательностей, а также о способах их задания. Последовательности будем обозначать так: (аn), (bn), (сn) и т.д.
А сейчас я предлагаю вам первое задание: перед вами некоторые числовые последовательности и словестное описание этих последовательностей. Вам необходимо найти закономерность каждого ряда и соотнести с описанием. (показать с помощью стрелки) (Взаимопроверка)
Рассмотренные нами ряды и есть примеры числовых последовательностей .
Элементы, образующие последовательность, называются
членами последовательности
и
называются соответственно первым, вторым, третьим,…
n
- ным членами последовательности.
Обозначают члены последовательности так
а
1
; а
2
; а
3
; а
4
; … а
n
; где
n
– номер
, под которым данное число находится в последовательности.
На экране записаны последовательности:
(
На перечисленных последовательностях отрабатываются форма записи члена последовательности a
n
, и понятия предыдущего и последующего членов
)
.
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16
,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .
Назовите а 1 для каждой последовательности, а 3 и т.д. А смогли бы вы продолжить каждый из этих рядов? Что для этого необходимо знать?
Давайте разберем с вами еще такие понятия как последующий и предыдущий .
(например, для а 5…, а для а n ?) - запись на слайде a n +1, a n -1
Виды последовательностей
(
на перечисленных выше последовательностях отрабатывается навык определять виды последовательностей
)
1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е.
a
n
<
a
n
+1.
2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е.
a
n
>
a
n
+1
.
3) Бесконечная
4) Конечная
5) Знакочередующаяся
6) Постоянная (стационарная)
Попробуйте дать определение каждому виду и охарактеризуйте каждую из предложенных последовательностей.
Задания для устной работы
Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а 1 ; а 4 ; а 10 ; а n ;
Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)
Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)
Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)
Физпауза (тоже связана с темой сегодняшнего урока: звездное небо, планеты солнечной системы…в чем связь?)
Способы задания последовательностей
1) словесный – задание последовательности описанием;
2) аналитический – формулой
n
-го члена;
3) графический – с помощью графика;
4) рекуррентный – любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие
Сегодня на уроке мы разберем первых два способа. Итак,
словестный
способ. Может быть кто-нибудь из вас попробует задать какую-либо последовательность?
(Например:
Составьте последовательность нечетных натуральных чисел
. Охарактеризуйте эту последовательность: возрастающая, бесконечная)
Аналитический
способ: с помощью формулы n-ого члена последовательности.
Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х n =3n+2, то
х 1 =3*1+2=5;
х 2 =3*2+2=8
х 5 =3 . 5+2=17;
х 45 =3 . 45+2=137 и т.д. Так каково преимущество аналитического способа перед словестным ?
А я вам предлагаю следующее задание: даны формулы задания некоторых последовательностей и сами последовательности, образованных по этим формулам. В этих последовательностях пропущены некоторые члены. Ваша задача, работая в парах , заполнить пропуски.
Самопроверка (на слайде появляется правильный ответ)
Представление творческого проекта «Числа Фибоначчи» (опережающее задание )
Сегодня мы познакомимся со знаменитой последовательностью:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Слайд) Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота. Леонардо Фибоначчи (1180-1240). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).
Просмотр видеофильма.
Наверное, вы не совсем поняли какова связь между спиралью и рядом Фибоначчи. Поэтому я покажу, как она получается .
Если мы построим рядом два квадрата со стороной 1,затем набольшей стороне равной 2 другой, затем на большей стороне, равной 3 еще квадрат так до бесконечности…Потом в каждом квадрате, начиная с меньшего, построим четверть дуги, то получим спираль, о которой идет речь в фильме.
На самом деле практическое применение знаний, полученных на этом уроке в реальной жизни достаточно велико. Перед вами несколько задач из разных научных областей.
(Индивидуальная работа)
Задача 1.
16, 15, 18, … (17, 20, 19)
1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)
33, 31, 32, … (30, 31, 29)
Задача 2.
(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 3.
Задача 4. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).
Задача 5
. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6
. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
(
10)
Задача 7 . При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.
Задача 8 . Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни? (45000)
Быстро и без ошибок решать такие задачи нам позволит изучение следующих тем этой главы «Прогрессии».
Домашнее задание: стр.66 №151, 156, 157
Творческое задание: сообщение о треугольнике Паскаля
Подведение итого. Рефлексия. (оценка «приращения» знаний и достижения целей)
Какова была цель сегодняшнего урока?
Цель достигнута?
Продолжи высказывание
Я не знал….
Теперь я знаю…
Задачи на практическое применение свойств последовательностей (прогрессий)
Задача 1. Продолжи последовательности чисел:
16, 15, 18, …
1, 2, 2, 4, 8, …
33, 31, 32, …
Задача 2. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
Задача 3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 1 м/с за каждую последующую секунду изменял свою скорость на 0,6 м/с. Какую скорость он будет иметь спустя 10 секунд?
Задача 4 . Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)?
Задача 5. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
Задача 7. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.
Задача 8. Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни?