Trigonometrinės tapatybės yra lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, kuris leidžia rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .
Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Lietinės ir kotangento radimas per sinusą ir kosinusą
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite, tada pagal apibrėžimą y ordinatė yra sinusas, o x abscisė yra kosinusas. Tada liestinė bus lygi santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas.
Pridedame, kad tik tokie kampai \alpha, kuriems į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, bus tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja \alpha kampams, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z , z yra sveikas skaičius.
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.
Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, mes tai gauname tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi vieno kampo, kuriame jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra abipusiai abipusiai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 kvadratinio liestinės suma lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma lygi duoto kampo sinuso atvirkštiniam kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, išskyrus \pi z .
Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes
1 pavyzdys
Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, mes gauname:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ši lygtis turi 2 sprendinius:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, todėl \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Norėdami rasti tg \alpha , naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2 pavyzdys
Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 sąlyginis skaičius \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), mes gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, todėl \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Norėdami rasti ctg \alpha , naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
2 pavyzdysĮrodyti tapatybę
Šią tapatybę įrodysime pakeitę išraišką dešinėje pusėje.
1 būdas.
Taigi 
2 būdas.
Visų pirma atkreipkite dėmesį, kad ctg α =/= 0; kitu atveju posakis tg neturėtų prasmės α = 1/ctg α . Bet jei ctg α =/= 0, tada radikalios išraiškos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti iš ctg α nekeičiant trupmenos reikšmės. Vadinasi,
Naudojant tapatybes tg α ctg α = 1 ir 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , mes gauname
Taigi 
Q.E.D.
komentuoti. Atkreiptinas dėmesys į tai, kad įrodytos tapatybės kairioji pusė (nuod α ) yra apibrėžtas visoms reikšmėms α , o teisingas – tik tada, kai α =/= π / 2 n.
Todėl tik tada, kai visi priimtini vertybes α Apskritai šios išraiškos nėra lygiavertės viena kitai.
3 pavyzdysĮrodyti tapatybę
nuodėmė (3/2 π + α ) + cos( π - α ) = cos(2 π + α )-3sin( π / 2 - α )
Keičiame kairiąją ir dešiniąją šios tapatybės dalis naudodami redukcijos formules:
nuodėmė (3/2 π + α ) + cos( π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;
cos (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .
Taigi, išraiškos abiejose šios tapatybės dalyse redukuojamos į tą pačią formą. Taigi tapatybė įrodyta.
4 pavyzdysĮrodyti tapatybę
nuodėmė 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 nuodėmė 2 α cos 2 α .
Parodykime, kad skirtumas tarp kairės ir dešinės dalių. šios tapatybės yra nulis.
(4 nuodėmė α + cos 4 α - 1) - (- 2 nuodėmė 2 α cos 2 α ) = (4 nuodėmė α +2sin2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =
= (2 nuodėmė α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.
Taigi tapatybė įrodyta.
5 pavyzdysĮrodyti tapatybę
Šią tapatybę galima vertinti kaip proporciją. Tačiau norint įrodyti proporcijos a / b = c / d pagrįstumą, pakanka parodyti, kad jos kraštutinių sąlygų sandauga Reklama yra lygus jo vidurinių dalių sandaugai pr. Kr. Taip ir padarysime šiuo atveju. Parodykime, kad (1 – nuodėmė α ) (1+ nuod α ) = cos α cos α .
Iš tiesų, (1 - nuodėmė α ) (1 + nuodėmė α ) = 1-nuodėmė 2 α = cos2 α .
„Trigonometrinės tapatybės“. 10 klasė“Matematinė tiesa, nesvarbu
ar Paryžiuje, ar Tulūzoje – tas pats
B. Paskalis
Pamokos tipas: Įgūdžių ir gebėjimų formavimo pamoka.
Bendrojo metodinio orientavimo pamoka.
veiklos tikslas : mokinių gebėjimo formuoti naują veikimo būdą, susijusį su tiriamų sąvokų ir algoritmų struktūros konstravimu.
Pamokos tikslai:
didaktinė : išmokyti pritaikyti anksčiau įgytas žinias, įgūdžius ir gebėjimus supaprastinti posakius ir įrodyti trigonometrines tapatybes.
kuriant: ugdyti loginį mąstymą, atmintį, pažintinį susidomėjimą, tęsti matematinės kalbos formavimą, ugdyti gebėjimą analizuoti ir lyginti.
edukacinis: parodyti, kad matematinės sąvokos nėra izoliuotos viena nuo kitos, o reprezentuoja tam tikrą žinių sistemą, kurios visos grandys yra tarpusavyje susijusios, toliau formuoti estetinius įgūdžius darant užrašus, valdymo ir savikontrolės įgūdžius.
Norėdami sėkmingai išspręsti trigonometrijos problemas, turite būti tikri daugybe formulių. Reikia atsiminti trigonometrines formules. Bet tai nereiškia, kad juos reikia įsiminti mintinai, svarbiausia yra įsiminti ne pačias formules, o jų išvedimo algoritmus. Bet kurią trigonometrinę formulę galima gauti gana greitai, jei tiksliai žinote funkcijų sinα, cosα, tgα, ctgα apibrėžimus ir pagrindines savybes, santykį sin 2 α+ cos 2 α = 1 ir tt
Trigonometrinių formulių mokymasis mokykloje skirtas ne sinusus ir kosinusus skaičiuoti visam gyvenimui, o tam, kad smegenys įgytų darbingumą. ( . skaidrė 2 )
“ Keliai nėra žinios, kurios nusėda smegenyse kaip riebalai; keliai yra tie, kurie virsta protiniais raumenimis“, – rašė anglų filosofas ir sociologas G. Speser.
Mes išpumpuosime ir treniruosime protinius raumenis. Todėl pakartojame pagrindines trigonometrines formules.TESTAS (4 skaidrė) (5 skaidrė)
Pakartojome formules, dabar galime padėti dviem draugams, pavadinkime juos Islamu ir Mohammedu.
Pakeitus labai sudėtingą trigonometrinę išraiškąA jie gavo tokias išraiškas:(6 skaidrė)
(7 skaidrė) Kiekvienas gynė savo atsakymą. Kaip sužinoti, kuris iš jų yra teisingas? Kreipėmės į Artiomą, kuris draugauja su Petru„Platonas yra mano draugas, bet tiesa brangesnė“: Artiomas pasakė ir pasiūlė keletą būdų, kaip išspręsti jų ginčą. O kokius būdus galite pasiūlyti nustatyti tiesą?Pasiūlykite būdus, kaip nustatyti tiesą (8 skaidrė):
1) Transformuokite, supaprastinkite A P ir A Su , t.y. paskatino vieną išraišką
2) A P – A Su = 0
3) …..
Tai yra, abu buvo teisūs. Ir jų atsakymai yra vienodi visoms įmanomoms vertybėmsα ir β .
Kaip vadinami tokie posakiai?Tapatybės. Kokias tapatybes tu žinai?
Tapatybė , pagrindinė logikos, filosofijos ir matematikos samprata; Mokslinių teorijų kalbose vartojami nustatant santykius, dėsnius ir teoremas.
Tapatybė – tai filosofinė kategorija, išreiškianti lygybę, objekto, reiškinio su pačiu savimi arba kelių objektų lygybę.
Matematikoje tapatybę yra lygybė, kuri galioja bet kokioms leistinoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms.(9 skaidrė)
Pamokos tema : "Trigonometrinės tapatybės".
Tikslai: rasti būdų.
Prie lentos dirba du žmonės.
№ 2. Įrodykite tapatybę.
P.h. \u003d L.h.
Tapatybė įrodyta.
№ 3. Įrodykite tapatybę:
1 būdas:
2 būdai:
Tapatybės patvirtinimo būdai.
dešinėje tapatybės pusėje. Jei galiausiai gauname kairę pusę, tada tapatybė laikoma įrodyta.
Atlikite lygiavertes transformacijaskairėje ir dešinėje tapatybės pusėse. Jei dėl to gauname tą patį rezultatą, tada tapatybė laikoma įrodyta.
Atimkite kairę pusę iš dešinės tapatybės pusės.
Atimkite dešinę pusę iš kairės tapatybės pusės. Atliekame lygiavertes skirtumo transformacijas. Ir jei galiausiai gauname nulį, tada tapatybė laikoma įrodyta.
Taip pat reikia atsiminti, kad tapatybė galioja tik leistinoms kintamųjų reikšmėms.
Kodėl reikia mokėti įrodyti trigonometrines tapatybes? Egzamine C1 užduotis yra trigonometrinės lygtys!
465-467 nutarė Nr
Taigi, apibendrinkime pamoką. (10 skaidrė)
Kokia buvo pamokos tema?
Kokius žinote tapatybės įrodinėjimo būdus?
1. Konvertuokite iš kairės į dešinę arba iš dešinės į kairę.
2. Kairiosios ir dešiniosios dalių konvertavimas į tą pačią išraišką.
3. Kairiosios ir dešiniosios dalių skirtumo nubrėžimas ir įrodymas, kad šis skirtumas lygus nuliui.
Kokios formulės tam naudojamos?
1. Sutrumpinto daugybos formulės.
2. 6 trigonometrinės tapatybės.
Pamokos refleksija. (11 skaidrė)
Tęskite frazes:
– Šiandien klasėje išmokau...
Šiandien klasėje išmokau...
- Šiandien pamokoje kartojau...
Šiandien klasėje sutikau...
Man patiko šios dienos pamoka...
Namų darbai. №№465-467 (12 skaidrė)
Kūrybinė užduotis: Paruoškite pristatymą apie įžymiąsias matematikos tapatybes. (Pavyzdžiui, Eulerio tapatybė.)(Skaidr
Trigonometrinės tapatybės yra lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, kuris leidžia rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.
\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]
\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]
Ryšys tarp sinuso ir kosinuso
\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]
Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .
Konvertuojant trigonometrines išraiškas, labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Lietinės ir kotangento radimas per sinusą ir kosinusą
\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]
Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Juk jei pažiūrėsi, tai pagal apibrėžimą ordinatės \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), ir santykis \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- bus kotangentas.
Pridedame, kad tik tokiems kampams \(\alpha \) , kuriems į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, bus tapatybės , .
Pavyzdžiui: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) galioja kampams \(\alpha \), kurie skiriasi nuo \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) ir \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- kampui \(\alpha \), kuris nėra \(\pi z \) , \(z \) yra sveikas skaičius.
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]
Ši tapatybė galioja tik kampams \(\alpha \), kurie skiriasi nuo \(\dfrac(\pi)(2) z \) . Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.
Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais gauname, kad \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) ir \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . Iš to išplaukia \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Taigi vieno kampo, kuriame jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra abipusiai abipusiai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- kampų \(\alpha \) ir \(\alpha \) kvadratinio liestinės suma, išskyrus \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .
\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- suma \(\alpha \) , lygi atvirkštiniam nurodyto kampo sinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja bet kuriai \(\alpha \), išskyrus \(\pi z \) .
„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.„ActiveX“ valdikliai turi būti įjungti, kad būtų galima atlikti skaičiavimus!
Tapatybės pavyzdžiai:
\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2x=\cos^2x\).
Tačiau išraiška \(\frac(x^2)(x)=x\) yra tapatybė tik esant sąlygai \(x≠0\) (kitaip kairioji pusė neegzistuoja).
Kaip įrodyti tapatybę?
Receptas beprotiškai paprastas:
Norint įrodyti tapatybę, reikia įrodyti, kad jo dešinė ir kairioji dalys yra lygios, t.y. sumažinkite jį iki formos „išraiška“ = „ta pati išraiška“.
Pavyzdžiui,
\(5=5\);
\(\sin^2x=\sin^2x\);
\(\cosx-4=\cosx-4\).
Norėdami tai padaryti, galite:
- Konvertuokite tik dešinę arba tik kairę pusę.
- Konvertuokite abi dalis vienu metu.
- Naudokite bet kokias galiojančias matematines transformacijas (pavyzdžiui, nurodykite panašias; atverkite skliaustus; perkelkite terminus iš vienos dalies į kitą pakeisdami ženklą; kairę ir dešinę dalis padauginkite arba padalinkite iš to paties skaičiaus ar išraiškos, kuri nėra lygi nuliui ir pan. ).
- Naudokite bet kokias matematines formules.
Būtent ketvirtas taškas dažniausiai naudojamas įrodant tapatybes, todėl viskas, ką reikia žinoti, atsiminti ir mokėti panaudoti.
Pavyzdys
. Įrodykite trigonometrinę tapatybę \(\sin2x=2\sinx\cdot \cos(x)\)
Sprendimas
:
Pavyzdys
. Įrodykite, kad išraiška \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin(t))\)\(-\sin(t)=1\) yra tapatybė.
Sprendimas
:
Pavyzdys
. Įrodykite trigonometrinę tapatybę \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos2t)(\cos^2t)\)
Sprendimas
:
|
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos2t)(\cos^2t)\) |
Čia mes pakeisime tik dešinę pusę, bandydami sumažinti ją į kairę. Kairiąją paliekame nepakeistą. Mes prisimenam. |
|
|
\(1-tg^2 t=\) |
Dabar padalykime po terminą trupmena (ty taikykite priešinga kryptimi): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\) |
|
|
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2t)(\cos^2t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2t)(\cos^2t)\) |
Atšaukiame pirmąją trupmeną dešinėje ir taikome antrajai: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\) . |
|
|
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sint)(\cost))^2\) |
Na, sinusas, padalytas iš kosinuso, yra lygus tam pačiam kampui: \(\frac(\sinx)(\cosx)\) \(=tg x\) |
|
|
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\) |
Pavyzdys
. Įrodykite trigonometrinę tapatybę \(=ctg(π+t)-1\)
Sprendimas
:
|
\(\frac(\cos2t)(\sint\cdot\cost+\sin^2t)\)\(=ctg(π+t)-1\) |
Čia mes pakeisime abi dalis: |
|
|
\(\frac(\cos^2t-\sin^2t)(\sint\cdot\cost+\sin^2t)\)\(=ctg\:t-1\) |
Dabar dirbame tik su kairiąja puse. |
|
|
\(\frac((\cost-\sin(t))(\cost+\sin(t)))(\sint(\cost+\sin(t)))\)\(=ctg\:t-1\) |
Sumažinkite trupmeną \(\cos(t)+\sin(t)\). |
|
|
\(\frac(\cost-\sin(t))(\sint)\)\(=ctg\:t-1\) |
Daliname trupmenos terminą iš termino, paverčiame jį į dvi atskiras trupmenas. |
|
|
\(\frac(\cost)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\) |
Pirmoji trupmena yra , o antroji lygi vienetui. |
|
|
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\) |
Kairė pusė lygi dešiniajai, tapatybė įrodyta. |
Kaip matote, viskas gana paprasta, tačiau reikia žinoti visas formules ir savybes.
Kaip įrodyti pagrindinę trigonometrinę tapatybę
Du paprasti būdai gauti formulę \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Jums tereikia žinoti Pitagoro teoremą ir sinuso bei kosinuso apibrėžimą.
Atsakymai į dažniausiai užduodamus klausimus:
Klausimas:
Kaip nustatyti, ką reikia transformuoti tapatybėje – kairę, dešinę ar abu kartu?
Atsakymas:
Nėra skirtumo – bet kokiu atveju gausite tą patį rezultatą. Pavyzdžiui, trečiame pavyzdyje galime lengvai gauti iš kairės pusės \(1-tg^2 t\) dešinę \(\frac(cos2t)(cos^2t)\)(pabandykite tai padaryti patys). Arba transformuokite abu, kad jie „susitiktų viduryje“, kur nors srityje \(\frac(\cos^2t-\sin^2t)(\cos^2t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2t-\sin^2t)(\cos^2t)\). Todėl galite įrodyti bet kokiu jums patogiu būdu. Kad ir kurį kelią matytumėte, eikite tuo. Vienintelis pagrindinis dalykas yra transformuotis „teisiškai“, tai yra suprasti, kokia savybe, taisykle ar formule remdamiesi atliekate kitą transformaciją.