Mes ir toliau dirbame su tiesinių lygčių sistemomis. Iki šiol svarstėme sistemas, kurios turi unikalų sprendimą. Tokias sistemas galima išspręsti bet kokiu būdu: pakeitimo būdu(„mokykla“), pagal Cramerio formules, matricos metodą, Gauso metodas. Tačiau praktikoje plačiai paplitę dar du atvejai:
1) sistema nenuosekli (nėra sprendimų);
2) sistema turi be galo daug sprendinių.
Šioms sistemoms naudojamas universaliausias iš visų sprendimo būdų - Gauso metodas. Tiesą sakant, „mokyklos“ metodas taip pat lems atsakymą, tačiau aukštojoje matematikoje įprasta naudoti Gauso metodą nuosekliam nežinomųjų pašalinimui. Tie, kurie nėra susipažinę su Gauso metodo algoritmu, pirmiausia išstudijuokite pamoką Gauso metodas
Pačios elementariosios matricos transformacijos yra lygiai tokios pačios, skirtumas bus sprendimo pabaigoje. Pirmiausia pažvelkime į keletą pavyzdžių, kai sistemoje nėra sprendimų (nenuoseklu).
1 pavyzdys
Kas iš karto patraukia jūsų dėmesį šioje sistemoje? Lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Yra tokia teorema, kuri teigia: „Jei lygčių skaičius sistemoje yra mažesnis už kintamųjų skaičių, tada sistema arba nenuosekli, arba turi be galo daug sprendimų“. Ir belieka išsiaiškinti.
Sprendimo pradžia yra visiškai įprasta - mes užrašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į laipsnišką formą:
(1). Viršutiniame kairiajame žingsnyje turime gauti (+1) arba (–1). Pirmajame stulpelyje tokių skaičių nėra, todėl eilučių pertvarkymas nieko neduos. Padalinys turės susitvarkyti pats, o tai galima padaryti keliais būdais. Mes tai padarėme. Prie pirmosios eilutės pridedame trečią eilutę, padaugintą iš (–1).
(2). Dabar pirmajame stulpelyje gauname du nulius. Prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją, padaugintą iš 5.
(3). Atlikus transformaciją, visada patartina pasidomėti, ar įmanoma supaprastinti gautas eilutes? Gali. Antrą eilutę padalijame iš 2, tuo pačiu antrame žingsnyje gauname norimą (–1). Trečią eilutę padalinkite iš (–3).
(4). Pridėkite antrą eilutę prie trečios eilutės. Tikriausiai visi pastebėjo blogą liniją, atsiradusią dėl elementarių transformacijų:
. Aišku, kad taip negali būti.
Iš tiesų, perrašykime gautą matricą
Grįžkime prie tiesinių lygčių sistemos:
Jei elementariųjų transformacijų rezultate gaunama formos eilutė , Kurλ yra skaičius, kuris nėra nulis, tada sistema yra nenuosekli (neturi sprendimų).
Kaip užrašyti užduoties pabaigą? Turite užsirašyti frazę:
„Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta formos eilutė, kur λ ≠ 0 “ Atsakymas: „Sistema neturi sprendimų (nesuderinama).“
Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju nėra jokio Gauso algoritmo atšaukimo, nėra sprendimų ir tiesiog nėra ko rasti.
2 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą 
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Dar kartą primename, kad jūsų sprendimas gali skirtis nuo mūsų sprendinio.
Dar viena techninė sprendimo savybė: elementarias transformacijas galima sustabdyti nedelsiant, kai tik tokia eilutė kaip , kur λ ≠ 0 . Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį: tarkime, kad po pirmosios transformacijos gaunama matrica
.
Ši matrica dar nėra redukuota iki ešeloninės formos, tačiau nereikia tolesnių elementarių transformacijų, nes atsirado formos eilutė, kurioje λ ≠ 0 . Reikėtų nedelsiant atsakyti, kad sistema nesuderinama.
Kai tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių, tai studentui yra beveik dovana, nes gaunamas trumpas sprendimas, kartais tiesiogine prasme 2-3 žingsniais. Tačiau viskas šiame pasaulyje yra subalansuota, o problema, kurioje sistema turi be galo daug sprendimų, yra tik ilgesnė.
3 pavyzdys:
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą
Yra 4 lygtys ir 4 nežinomieji, todėl sistema gali turėti vieną sprendinį arba neturėti sprendinių, arba turėti be galo daug sprendinių. Kad ir kaip ten būtų, Gauso metodas bet kokiu atveju mus atves prie atsakymo. Tai yra jo universalumas.
Pradžia vėl standartinė. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Tai viskas, ir tu bijojai.
(1). Atkreipkite dėmesį, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2, todėl 2 tinka viršutiniame kairiajame žingsnyje. Prie antrosios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (–4). Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (–2). Prie ketvirtos eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (–1).
Dėmesio! Daugelį gali suvilioti ketvirtoji eilutė atimti pirma eilutė. Tai galima padaryti, bet tai nėra būtina, patirtis rodo, kad klaidų tikimybė skaičiavimuose padidėja kelis kartus. Tiesiog pridedame: prie ketvirtos eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (–1) – būtent taip!
(2). Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų gali būti ištrintos. Čia vėl turime parodyti padidėjęs dėmesys, bet ar linijos tikrai proporcingos? Saugumo sumetimais būtų naudinga antrąją eilutę padauginti iš (–1), o ketvirtąją padalyti iš 2, kad gautumėte tris identiškas eilutes. Ir tik po to pašalinkite du iš jų. Dėl elementariųjų transformacijų išplėstinė sistemos matrica redukuojama į laipsnišką formą:
Rašant užduotį į sąsiuvinį, aiškumo dėlei patartina tuos pačius užrašus pasidaryti pieštuku.
Perrašykime atitinkamą lygčių sistemą: 
Čia nėra nė kvapo iš „įprasto“ vieno sistemos sprendimo. Bloga linija kur λ ≠ 0, taip pat ne. Tai reiškia, kad tai jau trečias likęs atvejis – sistema turi be galo daug sprendimų.
Begalinis sistemos sprendinių rinkinys trumpai užrašomas taip vadinama forma bendras sistemos sprendimas.
Bendrąjį sistemos sprendimą randame naudodami Gauso metodo atvirkštinį variantą. Lygčių sistemoms su begaliniu sprendinių rinkiniu atsiranda naujų sąvokų: "pagrindiniai kintamieji" Ir "laisvi kintamieji". Pirmiausia apibrėžkime, kokius kintamuosius turime pagrindinis ir kurie kintamieji - nemokamai. Nebūtina detaliai aiškinti tiesinės algebros terminų, pakanka prisiminti, kad tokių yra pagrindiniai kintamieji Ir laisvi kintamieji.
Pagrindiniai kintamieji visada „sėdi“ griežtai ant matricos žingsnių. Šiame pavyzdyje pagrindiniai kintamieji yra x 1 ir x 3 .
Nemokami kintamieji yra viskas likę kintamieji, kurie negavo žingsnio. Mūsų atveju yra du iš jų: x 2 ir x 4 – laisvieji kintamieji.
Dabar tau reikia Visipagrindiniai kintamieji išreikšti tik perlaisvi kintamieji. Gauso algoritmo atvirkštinė pusė tradiciškai veikia iš apačios į viršų. Iš antrosios sistemos lygties išreiškiame pagrindinį kintamąjį x 3:
Dabar pažvelkite į pirmąją lygtį: 
. Pirmiausia į jį pakeičiame rastą išraišką:
Belieka išreikšti pagrindinį kintamąjį x 1 per nemokamus kintamuosius x 2 ir x 4:
Galų gale gavome tai, ko mums reikėjo - Visi pagrindiniai kintamieji ( x 1 ir x 3) išreikštas tik per laisvi kintamieji ( x 2 ir x 4):
Tiesą sakant, bendras sprendimas yra paruoštas:
.
Kaip teisingai parašyti bendrą sprendimą? Visų pirma, laisvieji kintamieji į bendrą sprendimą įrašomi „savaime“ ir griežtai į savo vietas. Šiuo atveju laisvieji kintamieji x 2 ir x 4 turėtų būti parašytas antroje ir ketvirtoje pozicijose:
.
Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos ir, aišku, reikia parašyti pirmoje ir trečioje pozicijose:
Iš bendro sistemos sprendimo galima rasti be galo daug privatūs sprendimai. Tai labai paprasta. Nemokami kintamieji x 2 ir x 4 vadinami taip, nes juos galima duoti bet kokios galutinės vertės. Populiariausios reikšmės yra nulinės vertės, nes tai yra lengviausias dalinis sprendimas.
Pakeičiant ( x 2 = 0; x 4 = 0) į bendrą sprendimą, gauname vieną iš konkrečių sprendimų:
, arba yra tam tikras sprendimas, atitinkantis laisvus kintamuosius su reikšmėmis ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Kita miela pora yra tie, pakeiskime ( x 2 = 1 ir x 4 = 1) į bendrą sprendimą:
, ty (-1; 1; 1; 1) – kitas konkretus sprendimas.
Nesunku pastebėti, kad lygčių sistema turi be galo daug sprendimų kadangi galime duoti laisvųjų kintamųjų bet koks reikšmės.
Kiekvienas konkretus sprendimas turi tenkinti visiems sistemos lygtis. Tai yra „greito“ sprendimo teisingumo patikrinimo pagrindas. Paimkite, pavyzdžiui, konkretų sprendimą (-1; 1; 1; 1) ir pakeiskite jį į kairę kiekvienos pradinės sistemos lygties pusę:
Viskas turi susidėti. Ir su bet kokiu konkrečiu sprendimu, kurį gausite, viskas taip pat turėtų sutapti.
Griežtai kalbant, konkretaus sprendimo patikrinimas kartais apgauna, t.y. koks nors konkretus sprendimas gali patenkinti kiekvieną sistemos lygtį, bet pats bendras sprendimas iš tikrųjų randamas neteisingai. Todėl, visų pirma, bendro sprendimo patikrinimas yra kruopštesnis ir patikimesnis.
Kaip patikrinti gautą bendrą sprendimą 
?
Tai nėra sunku, tačiau tam reikia ilgų pakeitimų. Turime priimti išraiškas pagrindinis kintamieji, šiuo atveju 
ir , ir pakeiskite juos į kairę kiekvienos sistemos lygties pusę.
Pirmosios sistemos lygties kairėje:
Gaunama pradinės pirmosios sistemos lygties dešinioji pusė.
Į kairę antrosios sistemos lygties pusę:
Gaunama sistemos pradinės antrosios lygties dešinioji pusė.
Ir tada - į kairę trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių puses. Šis patikrinimas užtrunka ilgiau, tačiau garantuoja 100% viso sprendimo teisingumą. Be to, kai kurioms užduotims reikia patikrinti bendrą sprendimą.
4 pavyzdys:
Išspręskite sistemą Gauso metodu. Raskite bendrą sprendimą ir du konkrečius. Patikrinkite bendrą sprendimą.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Čia, beje, vėlgi lygčių skaičius yra mažesnis nei nežinomųjų, o tai reiškia, kad iš karto aišku, kad sistema bus arba nenuosekli, arba turės begalinį sprendinių skaičių.
5 pavyzdys:
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Jei sistemoje yra be galo daug sprendimų, suraskite du konkrečius sprendimus ir patikrinkite bendrą sprendimą
Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
(1). Pridėkite pirmąją eilutę prie antrosios eilutės. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 2. Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3.
(2). Prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš (–5). Prie ketvirtos eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš (–7).
(3). Trečia ir ketvirta eilutės yra vienodos, vieną iš jų ištriname. Tai toks grožis:
Pagrindiniai kintamieji sėdi ant laiptelių, todėl - pagrindiniai kintamieji.
Yra tik vienas nemokamas kintamasis, kuriam čia nebuvo atliktas žingsnis: .
(4). Atvirkštinis judėjimas. Išreikškime pagrindinius kintamuosius per laisvąjį kintamąjį:
Iš trečiosios lygties:
Panagrinėkime antrąją lygtį ir pakeiskime ja rastą išraišką:
, 
, ,
Panagrinėkime pirmąją lygtį ir pakeiskime rastas išraiškas į ją:
Taigi, bendras sprendimas su vienu laisvu kintamuoju x 4:
Dar kartą, kaip tai pasirodė? Laisvas kintamasis x 4 sėdi viena teisėtoje ketvirtoje vietoje. Gautos pagrindinių kintamųjų , , išraiškos taip pat yra vietoje.
Iš karto patikrinkime bendrą sprendimą.
Kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje pakeičiame pagrindinius kintamuosius , :
Gaunamos atitinkamos dešinės lygčių pusės, taip randamas teisingas bendrasis sprendinys.
Dabar iš rasto bendro sprendimo 
gauname du konkrečius sprendimus. Visi kintamieji čia išreiškiami vienu laisvas kintamasis x 4. Nereikia sukti galvos.
Leiskite x 4 = 0 tada 
– pirmasis konkretus sprendimas.
Leiskite x 4 = 1 tada 
– dar vienas privatus sprendimas.
Atsakymas: Bendras sprendimas: . Privatūs sprendimai:
Ir .
6 pavyzdys:
Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą.
Bendrą sprendimą jau patikrinome, atsakymu galima pasitikėti. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mūsų sprendimo. Svarbiausia, kad bendri sprendimai sutaptų. Tikriausiai daugelis žmonių pastebėjo nemalonų momentą sprendiniuose: labai dažnai, naudojant atvirkštinį Gauso metodą, tekdavo susitvarkyti su paprastosiomis trupmenomis. Praktiškai taip yra daug rečiau. Būkite pasiruošę protiškai ir, svarbiausia, techniškai.
Apsigyvenkime ties sprendimo ypatybėmis, kurių nebuvo išspręstuose pavyzdžiuose. Bendrasis sistemos sprendimas kartais gali apimti konstantą (arba konstantas).
Pavyzdžiui, bendras sprendimas: . Čia vienas iš pagrindinių kintamųjų yra lygus pastoviam skaičiui: . Čia nėra nieko egzotiško, taip atsitinka. Akivaizdu, kad šiuo atveju bet kurio konkretaus sprendimo pirmoje pozicijoje bus penki.
Retai, bet yra sistemų, kuriose lygčių skaičius yra didesnis už kintamųjų skaičių. Tačiau Gauso metodas veikia atšiauriausiomis sąlygomis. Turėtumėte ramiai sumažinti išplėstinę sistemos matricą į laipsnišką formą, naudodami standartinį algoritmą. Tokia sistema gali būti nenuosekli, gali turėti be galo daug sprendimų ir, kaip bebūtų keista, gali turėti vieną sprendimą.
Pakartokime patarimą – kad jaustumėtės patogiai sprendžiant sistemą Gauso metodu, turėtumėte gerai išspręsti bent keliolika sistemų.
Sprendimai ir atsakymai:
2 pavyzdys:
Sprendimas:Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą.
Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji ir trečioji eilutės buvo pakeistos.
(2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš (–6). Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš (–7).
(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš (–1).
Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama formos eilutė, Kur λ ≠ 0 .Tai reiškia, kad sistema yra nenuosekli.Atsakymas: sprendimų nėra.
4 pavyzdys:
Sprendimas:Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Atliktos konversijos:
(1). Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo įtraukta į antrąją eilutę.
Antram žingsniui vieneto nėra , o transformacija (2) siekiama ją gauti.
(2). Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3.
(3). Antroji ir trečioji eilutės buvo sukeistos (gautą –1 perkėlėme į antrą žingsnį)
(4). Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš 3.
(5). Pirmųjų dviejų eilučių ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš –1), trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.
Atvirkščiai:
(1). Čia yra pagrindiniai kintamieji (kurie yra žingsniuose) ir – laisvieji kintamieji (kas negavo žingsnio).
(2). Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais:
Iš trečiosios lygties: .
(3). Apsvarstykite antrąją lygtį:, privatūs sprendimai:
Atsakymas: Bendras sprendimas: 
Sudėtingi skaičiai
Šiame skyriuje supažindinsime su koncepcija kompleksinis skaičius, apsvarstykite algebrinė, trigonometrinis Ir eksponentinė forma kompleksinis skaičius. Taip pat išmoksime atlikti operacijas su kompleksiniais skaičiais: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, eksponenciją ir šaknų ištraukimą.
Norint įvaldyti sudėtingus skaičius, nereikia specialių žinių iš aukštojo matematikos kurso, o medžiaga prieinama net moksleiviams. Pakanka mokėti atlikti algebrinius veiksmus su „paprastaisiais“ skaičiais ir prisiminti trigonometriją.
Pirmiausia prisiminkime „įprastus“ skaičius. Matematikoje jie vadinami realiųjų skaičių rinkinys ir yra pažymėti raide R, arba R (sutirštintas). Visi tikrieji skaičiai yra žinomoje skaičių eilutėje:
Realiųjų skaičių kompanija labai įvairi – čia yra ir sveikųjų, ir trupmenų, ir neracionalių skaičių. Šiuo atveju kiekvienas skaičių ašies taškas būtinai atitinka tam tikrą realųjį skaičių.
Paslaugos paskirtis. Internetinis skaičiuotuvas skirtas tiesinių lygčių sistemai tirti. Paprastai problemos teiginyje reikia rasti bendras ir specialus sistemos sprendimas. Tiriant tiesinių lygčių sistemas, sprendžiamos šios problemos:- ar sistema yra bendradarbiaujanti;
- jei sistema yra suderinama, tai ji yra apibrėžta arba neapibrėžta (sistemos suderinamumo kriterijų nustato teorema);
- jei sistema apibrėžta, kaip rasti jos unikalų sprendimą (naudojamas Cramerio metodas, atvirkštinės matricos metodas arba Jordano-Gausso metodas);
- jei sistema neapibrėžta, kaip apibūdinti jos sprendimų aibę.
Tiesinių lygčių sistemų klasifikacija
Savavališka tiesinių lygčių sistema turi tokią formą:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos (kintamųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, m = n).
- Savavališkos tiesinių nevienalyčių lygčių sistemos (m > n arba m< n).
Apibrėžimas. Dvi sistemos laikomos lygiavertėmis, jei pirmosios sprendimas yra antrosios ir atvirkščiai.
Apibrėžimas. Sistema, turinti bent vieną sprendimą, vadinama jungtis. Sistema, kuri neturi vieno sprendimo, vadinama nenuoseklia.
Apibrėžimas. Sistema, turinti unikalų sprendimą, vadinama tam tikras, o turėti daugiau nei vieną sprendimą neaišku.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimo algoritmas
- Raskite pagrindinių ir išplėstinių matricų gretas. Jei jie nėra lygūs, tai pagal Kronecker-Capelli teoremą sistema yra nenuosekli ir čia tyrimas baigiasi.
- Tegul skamb (A) = skamb (B) . Mes pasirenkame pagrindinį minorą. Šiuo atveju visos nežinomos tiesinių lygčių sistemos skirstomos į dvi klases. Nežinomieji, kurių koeficientai įtraukti į pagrindinį šalutinį, vadinami priklausomaisiais, o nežinomieji, kurių koeficientai neįtraukti į pagrindinį mažąjį – laisvaisiais. Atkreipkite dėmesį, kad priklausomų ir laisvų nežinomųjų pasirinkimas ne visada yra paprastas.
- Išbraukiame tas sistemos lygtis, kurių koeficientai neįtraukti į bazinį mažąjį, nes yra kitų pasekmės (pagal teoremą ant pagrindo minor).
- Lygčių, kuriose yra laisvųjų nežinomųjų, narius perkeliame į dešinę pusę. Dėl to gauname lygčių sistemą su r nežinomaisiais, lygiavertę duotajam, kurios determinantas yra nulis.
- Gauta sistema sprendžiama vienu iš šių būdų: Cramerio metodu, atvirkštinės matricos metodu arba Jordano-Gausso metodu. Surandami ryšiai, kurie priklausomus kintamuosius išreiškia per laisvuosius.
Aukštoji matematika » Tiesinių algebrinių lygčių sistemos » Pagrindiniai terminai. Matricos įrašymo forma.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema. Pagrindiniai terminai. Matricos įrašymo forma.
- Tiesinių algebrinių lygčių sistemos apibrėžimas. Sisteminis sprendimas. Sistemų klasifikacija.
- Tiesinių algebrinių lygčių rašymo sistemų matricinė forma.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos apibrėžimas. Sisteminis sprendimas. Sistemų klasifikacija.
Pagal tiesinių algebrinių lygčių sistema(SLAE) reiškia sistemą
\begin (lygtis) \left \( \begin (lygiuotas) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ltaškai+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ltaškai \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ltaškai+a_(mn)x_n=b_m \pabaiga (sulygiuota) \pabaiga (lygtis)
Parametrai $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) vadinami koeficientai ir $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) – nemokami nariai SLAU. Kartais, norėdami pabrėžti lygčių ir nežinomųjų skaičių, jie sako „$m\times n$ tiesinių lygčių sistema“, taip nurodydami, kad SLAE yra $m$ lygtys ir $n$ nežinomųjų.
Jei visi laisvi terminai $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), tada SLAE vadinamas vienalytis. Jei tarp laisvųjų narių yra bent vienas narys, kuris skiriasi nuo nulio, iškviečiamas SLAE nevienalytis.
SLAU sprendimu(1) iškviesti bet kurią užsakytą skaičių rinkinį ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), jei šio rinkinio elementai tam tikra tvarka yra pakeisti nežinomaisiais $x_1,x_2,\ldots,x_n$, apverskite kiekvieną SLAE lygtį į tapatybę.
Bet kuris vienalytis SLAE turi bent vieną sprendimą: nulis(kita terminologija – trivialus), t.y. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Jei SLAE (1) turi bent vieną sprendimą, jis vadinamas jungtis, jei nėra sprendimų - ne sąnarių. Jei jungtinis SLAE turi tiksliai vieną sprendimą, jis vadinamas tam tikras, jei yra begalinis sprendinių rinkinys - neapibrėžtas.
1 pavyzdys
Panagrinėkime SLAE
\begin(lygtis) \left \( \begin(lygied) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4=6 0. \\ \pabaiga (sulygiuota) \pabaiga (lygtis)
Turime linijinių algebrinių lygčių sistemą, kurioje yra $3$ lygtys ir $5$ nežinomieji: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Galima sakyti, kad pateikta tiesinių lygčių sistema $3\x5$.
Sistemos (2) koeficientai yra skaičiai prieš nežinomuosius. Pavyzdžiui, pirmoje lygtyje šie skaičiai yra: $3,-4,1,7,-1$. Laisvieji sistemos nariai pavaizduoti skaičiais $11,-65.0$. Kadangi tarp laisvųjų terminų yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, tai SLAE (2) yra nevienalytis.
Užsakyta kolekcija $(4;-11;5;-7;1)$ yra šios SLAE sprendimas. Tai lengva patikrinti, jei pakeisite $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ į pateiktos sistemos lygtis:
\begin (sulygiuotas) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\ctaškas 4+10\ctaškas (-7)-3\ctaškas 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\ctaškas (-11)+19\ctaškas 5+8\ctaškas ( -7)-6\cdot 1 = 0. \\ \end (sulygiuotas)
Natūralu, kad kyla klausimas, ar patikrintas sprendimas yra vienintelis. SLAE sprendimų skaičiaus klausimas bus nagrinėjamas atitinkamoje temoje.
2 pavyzdys
Panagrinėkime SLAE
\begin (lygtis) \left \( \begin (lygiuotas) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0 \pabaiga (sulygiuota) \dešinė.
Sistema (3) yra SLAE, kurioje yra $5$ lygtys ir $3$ nežinomieji: $x_1,x_2,x_3$. Kadangi visos šios sistemos laisvosios sąlygos yra lygios nuliui, SLAE (3) yra vienalytė. Nesunku patikrinti, ar rinkinys $(0;0;0)$ yra duoto SLAE sprendimas. Pavyzdžiui, pirmoje sistemos (3) lygtyje pakeitę $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, gauname teisingą lygybę: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Pakeitimas kitomis lygtimis atliekamas panašiai.
Tiesinių algebrinių lygčių rašymo sistemų matricinė forma.
Su kiekvienu SLAE galima susieti keletą matricų; Be to, pats SLAE gali būti parašytas matricos lygties forma. SLAE (1) atveju apsvarstykite šias matricas:
Matrica $A$ vadinama sistemos matrica. Šios matricos elementai atspindi tam tikros SLAE koeficientus.
Iškviečiama matrica $\widetilde(A)$ išplėstinė matricinė sistema. Jis gaunamas pridedant prie sistemos matricos stulpelį, kuriame yra laisvieji terminai $b_1,b_2,…,b_m$. Paprastai šis stulpelis aiškumo dėlei atskiriamas vertikalia linija.
Stulpelio matrica $B$ vadinama laisvųjų narių matrica, o stulpelio matrica $X$ yra nežinomųjų matrica.
Naudojant aukščiau pateiktą žymėjimą, SLAE (1) galima parašyti matricos lygties forma: $A\cdot X=B$.
Pastaba
Su sistema susietas matricas galima rašyti įvairiai: viskas priklauso nuo nagrinėjamos SLAE kintamųjų ir lygčių eilės. Bet bet kuriuo atveju nežinomųjų tvarka kiekvienoje duotosios SLAE lygtyje turi būti vienoda (žr. pavyzdį Nr. 4).
3 pavyzdys
Įrašykite SLAE $ \left \( \begin (lygiuotas) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end (sulygiuotas) \right.$ matricos forma ir nurodykite išplėstinę sistemos matricą.
Turime keturis nežinomuosius, kurie kiekvienoje lygtyje rodomi tokia tvarka: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Nežinomųjų matrica bus tokia: $\left(\begin(masyvas) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(masyvas) \right)$.
Šios sistemos laisvieji terminai išreiškiami skaičiais $-5,0,-11$, todėl laisvųjų terminų matrica turi tokią formą: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(masyvas )\right)$.
Pereikime prie sistemos matricos sudarymo. Pirmoje šios matricos eilutėje bus pateikti pirmosios lygties koeficientai: $2.3,-5.1$.
Antroje eilutėje rašome antrosios lygties koeficientus: $4.0,-1.0$. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad antrosios lygties kintamųjų $x_2$ ir $x_4$ sistemos koeficientai yra lygūs nuliui (nes šių kintamųjų antrojoje lygtyje nėra).
Trečioje sistemos matricos eilutėje įrašome trečiosios lygties koeficientus: $0,14,8,1$. Šiuo atveju atsižvelgiame į tai, kad kintamojo $x_1$ koeficientas yra lygus nuliui (šio kintamojo nėra trečioje lygtyje). Sistemos matrica atrodys taip:
$$ A=\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(masyvas) \right) $$
Kad būtų aiškesnis ryšys tarp sistemos matricos ir pačios sistemos, prie pateiktos SLAE ir jos sistemos matricos parašysiu:
Matricos formoje pateiktas SLAE turės formą $A\cdot X=B$. Išskleistame įraše:
$$ \left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(masyvas) \right) \cdot \left(\begin(masyvas) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(masyvas) \right) = \left(\begin(masyvas) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(masyvas) \right) $$
Užrašykime išplėstinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, į sistemos matricą $ A=\left(\begin(masyvas) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(masyvas ) \right) $ pridėkite nemokamų terminų stulpelį (t. y. $ -5,0, -11 $). Gauname: $\widetilde(A)=\left(\begin(masyvas) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(masyvas) \right) $.
4 pavyzdys
Parašykite SLAE $ \left \(\begin(lygied) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=- 4 .\end(aligned)\right.$ matricos formoje ir nurodykite išplėstinę sistemos matricą.
Kaip matote, nežinomųjų tvarka šio SLAE lygtyse yra skirtinga. Pavyzdžiui, antroje lygtyje tvarka yra: $a,y,c$, bet trečioje lygtyje: $c,y,a$. Prieš rašant SLAE matricos forma, kintamųjų tvarka visose lygtyse turi būti vienoda.
Kintamieji tam tikros SLAE lygtyse gali būti išdėstyti įvairiais būdais (būdų, kaip išdėstyti tris kintamuosius, skaičius bus 3 USD! = 6 USD). Išnagrinėsiu du būdus, kaip užsisakyti nežinomuosius.
1 būdas
Įveskime tokią tvarką: $c,y,a$. Perrašome sistemą, išdėliodami nežinomuosius reikiama tvarka: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25 \\ & -c+5a=-4.\end(sulygiuotas)\right.$
Aiškumo dėlei aš parašysiu SLAE tokia forma: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\ cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25 \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4; pabaiga (sulygiuota)\dešinė.$
Sistemos matrica yra tokia: $ A=\left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \ end(masyvas)\right)$. Laisvųjų terminų matrica: $B=\left(\begin(masyvas) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masyvas) \right)$. Rašydami nežinomųjų matricą, atsiminkite nežinomųjų tvarką: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(masyvas) \right)$. Taigi, nurodytos SLAE rašymo matricos forma yra tokia: $A\cdot X=B$. Išskleista:
$$ \left(\begin(masyvas) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(masyvas) \right) \ cdot \left(\begin(masyvas) (c) c \\ y \\ a \end(masyvas) \right) = \left(\begin(masyvas) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masyvas) \right) $$
Išplėstinė sistemos matrica yra: $\left(\begin(masyvas) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(masyvas) \right) $.
2 metodas
Įveskime tokią tvarką: $a,c,y$. Perrašome sistemą, išdėliodami nežinomuosius reikiama tvarka: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25 \ \&5a-c=-4.\end(sulygiuotas)\right.$
Aiškumo dėlei aš parašysiu SLAE tokia forma: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\ cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25 \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4; pabaiga (sulygiuota)\dešinė.$
Sistemos matrica yra tokia: $ A=\left(\begin(masyvas) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \ end(masyvas) \right)$. Laisvųjų terminų matrica: $B=\left(\begin(masyvas) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masyvas) \right)$. Rašydami nežinomųjų matricą, atsiminkite nežinomųjų tvarką: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(masyvas) \right)$. Taigi, nurodytos SLAE rašymo matricos forma yra tokia: $A\cdot X=B$. Išskleista:
$$ \left(\begin(masyvas) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(masyvas) \right) \ cdot \left(\begin(masyvas) (c) a \\ c \\ y \end(masyvas) \right) = \left(\begin(masyvas) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(masyvas) \right) $$
Išplėstinė sistemos matrica yra: $\left(\begin(masyvas) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(masyvas) \right) $.
Kaip matote, nežinomųjų tvarkos pakeitimas prilygsta sistemos matricos stulpelių pertvarkymui. Bet kokia bebūtų ši nežinomųjų išdėstymo tvarka, ji turi sutapti visose tam tikros SLAE lygtyse.
Tiesinės lygtys
Tiesinės lygtys- gana paprasta matematinė tema, gana dažnai sutinkama algebros užduotyse.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos: pagrindinės sąvokos, tipai
Išsiaiškinkime, kas tai yra ir kaip sprendžiamos tiesinės lygtys.
kaip taisyklė, tiesinė lygtis yra ax + c = 0 formos lygtis, kur a ir c yra atsitiktiniai skaičiai arba koeficientai, o x yra nežinomas skaičius.
Pavyzdžiui, tiesinė lygtis būtų tokia:
Tiesinių lygčių sprendimas.
Kaip išspręsti tiesines lygtis?
Išspręsti tiesines lygtis visai nesunku. Norėdami tai padaryti, naudokite matematinę techniką, pvz tapatybės transformacija. Išsiaiškinkime, kas tai yra.
Tiesinės lygties ir jos sprendimo pavyzdys.
Tegu ax + c = 10, kur a = 4, c = 2.
Taigi gauname lygtį 4x + 2 = 10.
Kad būtų lengviau ir greičiau išspręsti, naudosime pirmąjį tapatybės transformavimo būdą – tai yra visus skaičius perkelsime į dešinę lygties pusę, o nežinomąjį paliksime 4x kairėje.
Tai paaiškės:
Taigi, lygtis yra labai paprasta pradedantiesiems skirta problema. Belieka naudoti antrąjį identiškos transformacijos metodą – x paliekant kairėje lygties pusėje, o skaičius perkeliant į dešinę. Mes gauname:
Egzaminas:
4x + 2 = 10, kur x = 2.
Atsakymas teisingas.
Tiesinės lygties grafikas.
Sprendžiant tiesines lygtis dviem kintamaisiais, dažnai naudojamas ir grafinis metodas. Faktas yra tas, kad ax + y + c = 0 formos lygtis, kaip taisyklė, turi daug galimų sprendinių, nes vietoje kintamųjų telpa daug skaičių ir visais atvejais lygtis išlieka teisinga.
Todėl, kad būtų lengviau atlikti užduotį, brėžiama tiesinė lygtis.
Norėdami jį sukurti, pakanka paimti vieną kintamųjų reikšmių porą ir, pažymėdami jas taškais koordinačių plokštumoje, nubrėžkite tiesią liniją. Visi šioje tiesėje esantys taškai bus mūsų lygties kintamųjų variantai.
Išraiškos, išraiškų konvertavimas
Veiksmų atlikimo tvarka, taisyklės, pavyzdžiai.
Skaitmeninės, pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais jų žymėjime gali turėti įvairių aritmetinių operacijų ženklų. Transformuojant išraiškas ir skaičiuojant išraiškų reikšmes, veiksmai atliekami tam tikra tvarka, kitaip tariant, reikia stebėti veiksmų tvarka.
Šiame straipsnyje išsiaiškinsime, kuriuos veiksmus reikia atlikti pirmiausia, o kuriuos – po jų. Pradėkime nuo paprasčiausių atvejų, kai reiškinyje yra tik skaičiai arba kintamieji, sujungti pliuso, minuso, daugybos ir dalybos ženklais. Toliau paaiškinsime, kokios veiksmų eilės reikia laikytis posakiuose su skliaustais. Galiausiai pažiūrėkime, kokia tvarka atliekami veiksmai išraiškose, kuriose yra galių, šaknų ir kitų funkcijų.
Pirmiausia daugyba ir padalijimas, tada sudėjimas ir atėmimas
Mokykla pateikia štai ką taisyklė, kuri nustato veiksmų atlikimo tvarką posakiuose be skliaustų:
- veiksmai atliekami eilės tvarka iš kairės į dešinę,
- Be to, pirmiausia atliekama daugyba ir padalijimas, o tada sudėjimas ir atėmimas.
Nurodyta taisyklė suvokiama gana natūraliai. Veiksmų atlikimas eilės tvarka iš kairės į dešinę paaiškinamas tuo, kad mums įprasta vesti įrašus iš kairės į dešinę. O tai, kad daugyba ir dalyba atliekami prieš sudėjimą ir atimtį, paaiškinama šių veiksmų reikšme.
Pažvelkime į kelis šios taisyklės taikymo pavyzdžius. Pavyzdžiams paimsime paprasčiausias skaitines išraiškas, kad nesiblaškytume nuo skaičiavimų, o sutelktume dėmesį būtent į veiksmų tvarką.
Atlikite 7–3+6 veiksmus.
Pradinėje išraiškoje nėra skliaustų ir nėra daugybos ar padalijimo. Todėl turėtume atlikti visus veiksmus eilės tvarka iš kairės į dešinę, tai yra, pirmiausia iš 7 atimame 3, gauname 4, po to prie gauto skirtumo 4 pridedame 6 ir gauname 10.
Trumpai sprendinį galima parašyti taip: 7−3+6=4+6=10.
Veiksmų eiliškumą nurodykite išraiška 6:2·8:3.
Norėdami atsakyti į problemos klausimą, pereikime prie taisyklės, nurodančios veiksmų atlikimo tvarką posakiuose be skliaustų. Pradinėje išraiškoje yra tik daugybos ir dalybos operacijos, kurios pagal taisyklę turi būti atliekamos eilės tvarka iš kairės į dešinę.
Pirmiausia 6 padalijame iš 2, šį koeficientą padauginame iš 8 ir galiausiai rezultatą padalijame iš 3.
Pagrindinės sąvokos. Tiesinių lygčių sistemos
Apskaičiuokite reiškinio 17−5·6:3−2+4:2 reikšmę.
Pirmiausia nustatykime, kokia tvarka turėtų būti atliekami veiksmai pradinėje išraiškoje. Jame yra ir daugybos, ir dalybos, ir sudėjimo, ir atimties.
Pirma, iš kairės į dešinę, turite atlikti daugybą ir padalijimą. Taigi 5 padauginame iš 6, gauname 30, šį skaičių padalijame iš 3, gauname 10. Dabar 4 padaliname iš 2, gauname 2. Rastą reikšmę 10 pakeičiame pradine išraiška, o ne 5 6:3, o vietoj 4:2 - reikšmė 2, turime 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Gautoje išraiškoje nebėra daugybos ir dalybos, todėl belieka atlikti likusius veiksmus eilės tvarka iš kairės į dešinę: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17−5·6:3−2+4:2=7.
Iš pradžių, kad skaičiuojant išraiškos reikšmę nebūtų painiojama veiksmų eilės tvarka, virš veiksmo ženklų patogu dėti skaičius, atitinkančius jų atlikimo tvarką. Ankstesniame pavyzdyje tai atrodytų taip: 
.
Dirbant su raidinėmis išraiškomis, reikia laikytis tos pačios operacijų tvarkos – pirmiausia daugybos ir padalijimo, tada sudėjimo ir atimties.
Puslapio viršuje
Pirmojo ir antrojo etapų veiksmai
Kai kuriuose matematikos vadovėliuose aritmetiniai veiksmai skirstomi į pirmojo ir antrojo etapo operacijas. Išsiaiškinkime tai.
Šiais terminais taisyklė iš ankstesnės pastraipos, kuri nustato veiksmų atlikimo tvarką, bus parašyta taip: jei išraiškoje nėra skliaustų, tada eilės tvarka iš kairės į dešinę – antrojo etapo veiksmai (daugyba ir padalijimas) pirmiausia atliekami, o tada – pirmojo etapo veiksmai (sudėtis ir atimtis).
Puslapio viršuje
Aritmetinių operacijų tvarka išraiškose su skliaustais
Išraiškose dažnai yra skliaustų, nurodančių veiksmų atlikimo tvarką. Šiuo atveju taisyklė, kuri nurodo veiksmų atlikimo tvarką posakiuose su skliaustais, yra suformuluotas taip: pirmiausia atliekami skliaustuose esantys veiksmai, o taip pat daugyba ir padalijimas eilės tvarka iš kairės į dešinę, tada sudėjimas ir atėmimas.
Taigi, posakiai skliausteliuose laikomi pradinio posakio komponentais ir išlaiko mums jau žinomą veiksmų tvarką. Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus, kad būtų daugiau aiškumo.
Atlikite šiuos veiksmus 5+(7–2·3)·(6–4):2.
Išraiškoje yra skliaustų, todėl pirmiausia atlikime veiksmus šiuose skliausteliuose esančiuose posakiuose. Pradėkime nuo išraiškos 7−2·3. Jame pirmiausia turite atlikti daugybą, o tik tada atimti, turime 7−2·3=7−6=1. Pereikime prie antrosios išraiškos skliausteliuose 6–4. Čia yra tik vienas veiksmas - atimtis, mes jį atliekame 6−4 = 2.
Gautas reikšmes pakeičiame pradine išraiška: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Gautoje išraiškoje pirmiausia atliekame daugybą ir padalijimą iš kairės į dešinę, tada atimti, gauname 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Šiuo metu visi veiksmai baigti, laikėmės tokios jų vykdymo tvarkos: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Užrašykime trumpą sprendimą: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Taip atsitinka, kad išraiškoje yra skliausteliuose skliausteliuose. Nereikia to bijoti, tereikia nuosekliai taikyti nurodytą veiksmų atlikimo posakiuose su skliausteliuose taisyklę. Parodykime pavyzdžio sprendimą.
Atlikite operacijas reiškinyje 4+(3+1+4·(2+3)).
Tai išraiška su skliaustais, o tai reiškia, kad veiksmų vykdymas turi prasidėti skliausteliuose esančia išraiška, tai yra 3+1+4·(2+3).
Šioje išraiškoje taip pat yra skliaustų, todėl pirmiausia turite atlikti juose nurodytus veiksmus. Darykime taip: 2+3=5. Pakeitę rastą reikšmę, gauname 3+1+4·5. Šioje išraiškoje pirmiausia atliekame daugybą, tada sudėjimą, gauname 3+1+4·5=3+1+20=24. Pradinė reikšmė, pakeitus šią reikšmę, įgauna formą 4+24, o belieka atlikti veiksmus: 4+24=28.
4+(3+1+4·(2+3))=28.
Apskritai, kai reiškinyje yra skliaustai skliausteliuose, dažnai patogu atlikti veiksmus, pradedant nuo vidinių skliaustų ir pereinant prie išorinių.
Pavyzdžiui, tarkime, kad reikia atlikti veiksmus reiškinyje (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Pirmiausia atliekame veiksmus vidiniuose skliaustuose, nes 4−6:2=4−3=1, tada pradinė išraiška įgaus formą (4+(4+1)−1)−1. Veiksmą vėl atliekame vidiniuose skliaustuose, kadangi 4+1=5, gauname tokią išraišką (4+5−1)−1. Dar kartą atliekame veiksmus skliausteliuose: 4+5−1=8 ir gauname skirtumą 8−1, kuris lygus 7.
Puslapio viršuje
Veiksmų tvarka išraiškose su šaknimis, laipsniais, logaritmais ir kitomis funkcijomis
Jei išraiška apima laipsnius, šaknis, logaritmus, sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą, taip pat kitas funkcijas, tada jų reikšmės apskaičiuojamos prieš atliekant kitus veiksmus, o ankstesnių pastraipų taisyklės, nurodančios veiksmų tvarką, yra taip pat atsižvelgta. Kitaip tariant, išvardinti dalykai, grubiai tariant, gali būti laikomi skliausteliuose ir žinome, kad skliausteliuose esantys veiksmai atliekami pirmiausia.
Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.
Atlikite operacijas reiškinyje (3+1)·2+6 2:3−7.
Šioje išraiškoje yra 6 2 laipsnis, jo reikšmę reikia apskaičiuoti prieš atliekant kitus veiksmus. Taigi, atliekame eksponenciją: 6 2 =36. Šią reikšmę pakeisime pradine išraiška, ji bus (3+1)·2+36:3−7.
Tada viskas aišku: atliekame veiksmus skliausteliuose, po kurių liekame su išraiška be skliaustų, kurioje eilės tvarka iš kairės į dešinę pirmiausia atliekame daugybą ir dalijimą, o po to sudėjimą ir atimtį. Turime (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1)·2+6 2:3−7=13.
Straipsnyje Posakių verčių skaičiavimas galite pamatyti kitus, įskaitant sudėtingesnius veiksmų atlikimo išraiškose su šaknimis, galiomis ir kt. pavyzdžius.
Puslapio viršuje
Pirmojo etapo veiksmai vadinama sudėjimas ir atimtis, o daugyba ir dalyba antrojo etapo veiksmai.
- Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. — 21 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
Užrašykite tiesinių algebrinių lygčių sistemą bendra forma
Kas vadinama SLAE sprendimu?
Lygčių sistemos sprendimas yra n skaičių rinkinys,
Pakeitus tai sistemoje, kiekviena lygtis virsta tapatybe.
Kokia sistema vadinama jungtimi (nesuderinama)?
Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendinį.
Sistema vadinama nenuoseklia, jei ji neturi sprendimų.
Kokia sistema vadinama apibrėžtąja (neapibrėžta)?
Sakoma, kad nuosekli sistema yra apibrėžta, jei ji turi unikalų sprendimą.
Sakoma, kad nuosekli sistema yra neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą.
Matricinė lygčių sistemos rašymo forma
Vektorinės sistemos rangas
Vektorių sistemos rangu vadinamas maksimalus tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius.
Matricos rangas ir jo radimo metodai
Matricos rangas- didžiausias iš šios matricos nepilnamečių eilučių, kurių determinantas skiriasi nuo nulio.
Pirmasis metodas, apvado metodas, yra toks:
Jeigu visi nepilnamečiai yra I eilės, t.y. matricos elementai lygūs nuliui, tada r=0.
Jei bent vienas iš pirmos eilės nepilnamečių nėra lygus nuliui, o visi 2 eilės nepilnamečiai lygūs nuliui, tai r=1.
Jei 2 eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio, tada tiriame 3 eilės nepilnamečius. Tokiu būdu randame k-osios eilės minorą ir patikriname, ar k+1-osios eilės minorai yra lygūs nuliui.
Jei visi k+1 eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tai matricos rangas yra lygus skaičiui k. Tokie k+1 eilės nepilnamečiai dažniausiai surandami „apvadinant“ k-os eilės nepilnametį.
Antrasis matricos rango nustatymo metodas yra elementarių matricos transformacijų taikymas, kai ji pakeliama į įstrižainę. Tokios matricos rangas yra lygus nulinių įstrižainių elementų skaičiui.
Bendrasis nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendimas, jos savybės.
1 nuosavybė. Bet kurio tiesinių lygčių sistemos sprendinių ir bet kurio atitinkamos vienalytės sistemos sprendinių suma yra tiesinių lygčių sistemos sprendinys.
2 nuosavybė.
Tiesinių lygčių sistemos: pagrindinės sąvokos
Bet kurių dviejų sprendinių skirtumas nuo nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos yra atitinkamos vienalytės sistemos sprendimas.
Gauso metodas SLAE sprendimui
Pasekmė:
1) sudaroma išplėstinė lygčių sistemos matrica
2) naudojant elementarias transformacijas, matrica sumažinama į laipsnišką formą
3) nustatomas sistemos išplėstinės matricos rangas ir sistemos matricos rangas ir nustatomas sistemos suderinamumo arba nesuderinamumo paktas
4) esant suderinamumui, parašyta lygiavertė lygčių sistema
5) rastas sistemos sprendimas. Pagrindiniai kintamieji išreiškiami nemokamai
Kronecker-Capelli teorema
Kronecker – Capelli teorema- tiesinių algebrinių lygčių sistemos suderinamumo kriterijus:
Tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai jos pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, o sistema turi unikalų sprendimą, jei rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui ir begalinis sprendinių skaičius, jei rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
Tam, kad tiesinė sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad šios sistemos išplėstinės matricos rangas būtų lygus jos pagrindinės matricos rangui.
Kada sistema neturi sprendimo, kada ji turi vieną sprendimą, ar ji turi daug sprendimų?
Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, tai tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji lygūs nuliui.
Tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį, vadinama vienalaike. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama nenuoseklia.
tiesinės lygtys vadinamos suderinamomis, jei jos turi bent vieną sprendimą, ir nenuosekliomis, jei sprendinių nėra. 14 pavyzdyje sistema yra nuosekli, stulpelis yra jos sprendimas:
Šį sprendimą galima parašyti be matricų: x = 2, y = 1.
Lygčių sistemą vadinsime neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendinį, o apibrėžtąja, jei yra tik vienas sprendinys.
15 pavyzdys. Sistema neapibrėžta. Pavyzdžiui, ... yra jos sprendimai. Skaitytojas gali rasti daug kitų šios sistemos sprendimų.
Formulės, jungiančios vektorių koordinates senoje ir naujoje bazėje
Išmokime pirmiausia išspręsti tiesinių lygčių sistemas konkrečiu atveju. Lygčių sistemą AX = B vadinsime Krameriu, jei jos pagrindinė matrica A yra kvadratinė ir neišsigimusi. Kitaip tariant, Cramerio sistemoje nežinomųjų skaičius sutampa su lygčių skaičiumi ir |A| = 0.
6 teorema (Cramerio taisyklė). Kramerio tiesinių lygčių sistema turi unikalų sprendimą, pateiktą pagal formules:
kur Δ = |A| yra pagrindinės matricos determinantas, Δi yra determinantas, gautas iš A, pakeitus i-tą stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu.
Įrodysime n = 3, nes bendruoju atveju samprotavimai yra panašūs.
Taigi, mes turime „Cramer“ sistemą:
Pirmiausia darykime prielaidą, kad sistemos sprendimas egzistuoja, ty yra
Padauginkime pirmąjį. elemento aii algebrinio papildinio lygybę, antrąją lygybę A2i, trečiąją A3i ir pridėkite gautas lygybes:
Tiesinių lygčių sistema ~ Sistemos sprendimas ~ Nuoseklios ir nesuderinamos sistemos ~ Vienalytė sistema ~ Vienalytės sistemos suderinamumas ~ Sistemos matricos rangas ~ Netrivialaus suderinamumo sąlyga ~ Fundamentali sprendinių sistema. Bendras sprendimas ~ Vienalytės sistemos tyrimas
Apsvarstykite sistemą m tiesinės algebrinės lygtys atžvilgiu n nežinomas
x 1 , x 2 , …, x n :
Sprendimu sistema vadinama rinkiniu n nežinomos vertės
x 1 =x' 1, x 2 =x' 2, …, x n =x' n,
pakeitus, visos sistemos lygtys virsta tapatybėmis.
Tiesinių lygčių sistemą galima parašyti matricos forma:
Kur A- sistemos matrica, b- dešinėje pusėje, x- norimą sprendimą, A p - išplėstinė matrica sistemos:
.
Sistema, turinti bent vieną sprendimą, vadinama jungtis; sistema, kuri neturi vieno sprendimo - nesuderinamas.
Vienalytė tiesinių lygčių sistema yra sistema, kurios dešinioji pusė lygi nuliui:
Vienalytės sistemos matricinis vaizdas: Ax=0.
Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes bet kuri vienalytė tiesinė sistema turi bent vieną sprendimą:
x 1 =0, x 2 =0, …, x n =0.
Jei vienalytė sistema turi unikalų sprendimą, tai šis unikalus sprendimas yra lygus nuliui, ir sistema vadinama trivialiai bendras. Jei vienalytė sistema turi daugiau nei vieną sprendinį, tai tarp jų yra ir nenulinių vienetų, ir šiuo atveju sistema vadinama ne trivialus sąnarys.
Įrodyta, kad kai m=n nebanaliam sistemos suderinamumui būtinas ir pakankamas kad sistemos matricos determinantas būtų lygus nuliui.
1 PAVYZDYS. Netrivialus homogeninės tiesinių lygčių sistemos suderinamumas su kvadratine matrica.
Taikydami Gauso pašalinimo algoritmą sistemos matricai, sumažiname sistemos matricą į laipsnišką formą
.
Skaičius r vadinamos matricos ešeloninės formos eilutės, kurios nėra nulis matricos rangas,žymėti
r=rg(A) arba r = Rg(A).
Šis teiginys yra teisingas.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema
Tam, kad vienalytė sistema būtų netrivialiai nuosekli, būtina ir pakanka, kad rangas r sistemos matrica buvo mažesnė už nežinomųjų skaičių n.
2 PAVYZDYS. Trijų tiesinių lygčių homogeninės sistemos netrivialus suderinamumas su keturiomis nežinomomis.
Jei vienalytė sistema yra netrivialiai nuosekli, tada ji turi begalinį sprendinių skaičių, o bet kokių sistemos sprendinių tiesinis derinys taip pat yra jos sprendimas.
Įrodyta, kad iš begalinės vienalytės sistemos sprendinių aibės galima išskirti tiksliai n-r tiesiškai nepriklausomi sprendimai.
Visumą n-r vadinami tiesiškai nepriklausomi vienarūšės sistemos sprendiniai pamatinė sprendimų sistema. Bet koks sistemos sprendimas yra tiesiškai išreiškiamas per pagrindinę sistemą. Taigi, jei rangas r matricos A vienalytė tiesinė sistema Ax=0 mažiau nežinomųjų n ir vektoriai
e 1 , e 2 , …, e n-r sudaryti savo pagrindinę sprendimų sistemą ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), tada bet koks sprendimas x sistemos Ax=0 galima parašyti formoje
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
Kur c 1 , c 2 , …, c n-r- savavališkos konstantos. Rašytinė išraiška vadinama bendras sprendimas vienalytė sistema .
Tyrimas
Vienalytė sistema reiškia nustatyti, ar ji netrivialiai nuosekli, o jei taip, tada rasti pagrindinę sprendinių sistemą ir užrašyti bendro sistemos sprendimo išraišką.
Ištirkime vienalytę sistemą Gauso metodu.
tiriamos vienalytės sistemos matrica, kurios rangas yra r< n .
Gauso eliminacija tokia matrica sumažinama iki laipsniškos formos
.
Atitinkama ekvivalentinė sistema turi formą
Iš čia lengva gauti kintamųjų išraiškas x 1 , x 2 , …, x r per x r+1 , x r+2 , …, x n. Kintamieji
x 1 , x 2 , …, x r paskambino pagrindiniai kintamieji ir kintamieji x r+1 , x r+2 , …, x n - laisvi kintamieji.
Perkeldami laisvuosius kintamuosius į dešinę, gauname formules
kurios lemia bendrą sistemos sprendimą.
Paeiliui nustatykime laisvųjų kintamųjų reikšmes lygias
ir apskaičiuokite atitinkamas pagrindinių kintamųjų reikšmes. Gauta n-r sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi ir todėl sudaro pagrindinę tiriamos vienalytės sistemos sprendinių sistemą:
Homogeninės sistemos tyrimas nuoseklumui gauti Gauso metodu.
Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos sektoriuje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.
Sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius, lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikoje, bet ir fizikoje, chemijoje, biologijoje.
Tiesinių lygčių sistema – tai dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.
Tiesinė lygtis
Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y yra nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Išsprendus lygtį ją nubraižant, ji atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendiniai.
Tiesinių lygčių sistemų tipai
Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.
F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.
Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti vertes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad tinkamų x ir y reikšmių nėra.
Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.
Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po lygybės ženklo turi reikšmę arba yra išreikšta funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.
Kintamųjų gali būti daug daugiau nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.
Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norima.
Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai
Nėra bendro analitinio metodo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafiniai ir matriciniai metodai, sprendimas Gauso metodu.
Pagrindinė užduotis mokant sprendimo metodų yra išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo naudojimo principus.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas 7 klasės bendrojo lavinimo programoje yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštojo mokslo metais.
Sistemų sprendimas pakeitimo metodu
Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę antruoju. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje
Pateikiame 7 klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį, naudojant pakeitimo metodą:
Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Išspręsti šį pavyzdį paprasta ir galima gauti Y reikšmę. Paskutinis veiksmas – patikrinti gautas reikšmes.
Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos ir kintamąjį išreikšti antrojo nežinomojo terminu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat yra netinkamas.
Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:
Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą
Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, lygtys sudedamos po termino ir dauginamos iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.
Šio metodo taikymas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudavimo metodu, kai yra 3 ar daugiau kintamųjų, nėra lengva. Algebrinį sudėjimą patogu naudoti, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių dalių.
Sprendimo algoritmas:
- Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turėtų tapti lygus 1.
- Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
- Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.
Sprendimo būdas įvedant naują kintamąjį
Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemoje reikia rasti ne daugiau kaip dviejų lygčių sprendimą, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip dvi.
Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Nauja lygtis išsprendžiama įvestam nežinomajam, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.
Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.
Reikia rasti diskriminanto reikšmę naudojant gerai žinomą formulę: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, todėl D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra vienas sprendinys: x = -b / 2*a.
Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.
Vizualus sistemų sprendimo metodas
Tinka 3 lygčių sistemoms. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų sudarymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.
Grafinis metodas turi keletą niuansų. Pažvelkime į kelis tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžius.
Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.
Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.
Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.
Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.
2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.
Matrica ir jos atmainos
Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.
Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.
Atvirkštinė matrica yra matrica, padauginta iš kurios pradinė virsta vienetine matrica, tokia yra tik pradinei kvadratinei.
Lygčių sistemos pavertimo matrica taisyklės
Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai užrašomi kaip matricos skaičiai.
Teigiama, kad matricos eilutė yra nulis, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.
Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.
Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.
Atvirkštinės matricos paieškos parinktys
Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| yra matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.
Determinantas lengvai apskaičiuojamas matricai du kartus, tereikia padauginti įstrižainės elementus vieną iš kito. Pasirinkimui „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad darbe nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių numeriai.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu
Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.
Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.
Sistemų sprendimas Gauso metodu
Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimų paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemų su daugybe tiesinių lygčių kintamiesiems.
Gauso metodas yra labai panašus į sprendimus su pakeitimu ir algebriniu sudėjimu, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse 3 ir 4 lygčių sistemoms naudojamas sprendimas Gauso metodu. Metodo tikslas – sumažinti sistemą iki apverstos trapecijos formos. Algebrinių transformacijų ir keitimų pagalba vienoje iš sistemos lygčių randama vieno kintamojo reikšmė. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 yra atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.
Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.
7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:
Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Išsprendę bet kurią lygtį, galėsite sužinoti vieną iš kintamųjų x n.
Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.
Gauso metodą vidurinės mokyklos mokiniams sunku suprasti, tačiau tai vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų, įtrauktų į išplėstinio mokymosi programas matematikos ir fizikos pamokose, išradingumą.
Kad būtų lengviau įrašyti, skaičiavimai paprastai atliekami taip:
Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.
Pirmiausia užsirašykite matricą, su kuria dirbsite, tada visus veiksmus, atliktus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir tęsiamos būtinos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.
Rezultatas turėtų būti matrica, kurioje viena iš įstrižainių yra lygi 1, o visi kiti koeficientai yra lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vieneto formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.
Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.
Norint nemokamai naudoti bet kokį sprendimo būdą, reikės kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos metodai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.
- Sistemos m tiesines lygtis su n nežinomas.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimas- tai toks skaičių rinkinys ( x 1 , x 2 , …, x n), pakeitus kiekvieną iš sistemos lygčių, gaunama teisinga lygybė.
Kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistemos koeficientai;
b i , i = 1, …, m- nemokami nariai;
x j , j = 1, …, n- nežinomas.
Aukščiau pateiktą sistemą galima parašyti matricos forma: A X = B,
kur ( A|B) yra pagrindinė sistemos matrica;
A— išplėstinė sistemos matrica;
X— nežinomųjų stulpelis;
B— laisvųjų narių kolona.
Jei matrica B nėra nulinė matrica ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama nehomogeniška.
Jei matrica B= ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama vienarūše. Vienalytė sistema visada turi nulinį (trivialų) sprendimą: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Jungtinė tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti sprendimą.
Nenuosekli tiesinių lygčių sistema yra neišsprendžiama tiesinių lygčių sistema.
Tam tikra tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti unikalų sprendimą.
Neapibrėžta tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema su begaliniu sprendinių skaičiumi. - Sistemos n tiesinių lygčių su n nežinomųjų
Jei nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, tada matrica yra kvadratinė. Matricos determinantas vadinamas pagrindiniu tiesinių lygčių sistemos determinantu ir žymimas simboliu Δ.
Cramerio metodas sistemoms spręsti n tiesines lygtis su n nežinomas.
Cramerio taisyklė.
Jei tiesinių lygčių sistemos pagrindinis determinantas nėra lygus nuliui, tada sistema yra nuosekli ir apibrėžta, o vienintelis sprendimas apskaičiuojamas naudojant Cramerio formules:
kur Δ i yra determinantai, gauti iš pagrindinio sistemos determinanto Δ pakeičiant i stulpelį į laisvųjų narių stulpelį. . - M tiesinių lygčių sistemos su n nežinomųjų
Kronecker-Capelli teorema.
Kad tam tikra tiesinių lygčių sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos matricos rangas būtų lygus sistemos išplėstinės matricos rangui, skambėjo(Α) = skambėjo(Α|B).
Jeigu skambėjo (Α) ≠ skambėjo (Α|B), tada sistema akivaizdžiai neturi sprendimų.
Jeigu skambėjo(Α) = skambėjo(Α|B), tada galimi du atvejai:
1) rangas(Α) = n(nežinomų skaičius) - sprendimas yra unikalus ir jį galima gauti naudojant Cramerio formules;
2) rangas (Α)< n – sprendimų yra be galo daug. - Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti
Sukurkime išplėstinę matricą ( A|B) duotosios sistemos iš nežinomųjų ir dešiniųjų pusių koeficientų.
Gauso metodas arba nežinomųjų pašalinimo metodas susideda iš išplėstos matricos sumažinimo ( A|B) naudojant elementariąsias transformacijas per jo eilutes į įstrižainę formą (į viršutinę trikampę formą). Grįžtant prie lygčių sistemos, nustatomi visi nežinomieji.
Elementariosios transformacijos per eilutes apima:
1) sukeisti dvi eilutes;
2) eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei 0;
3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus;
4) nulinės linijos išmetimas.
Išplėstinė matrica, redukuota į įstrižainę, atitinka duotajai lygiavertę tiesinę sistemą, kurios sprendimas nesukelia sunkumų. . - Vienalyčių tiesinių lygčių sistema.
Vienalytė sistema turi tokią formą:
ji atitinka matricos lygtį A X = 0.
1) Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes r(A) = r(A|B), visada yra nulinis sprendimas (0, 0, …, 0).
2) Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad r = r(A)< n , kuris yra lygus Δ = 0.
3) Jei r< n , tada akivaizdu, kad Δ = 0, tada atsiranda laisvieji nežinomieji c 1 , c 2 , …, c n-r, sistema turi netrivialius sprendimus, ir jų yra be galo daug.
4) Bendras sprendimas X adresu r< n gali būti parašytas matricos forma taip:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
kur sprendimai X 1, X 2, …, X n-r sudaryti esminę sprendimų sistemą.
5) Pagrindinę sprendinių sistemą galima gauti iš bendro homogeninės sistemos sprendinio:
,
jei nuosekliai nustatysime parametrų reikšmes, lygias (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Bendrojo sprendimo išplėtimas pagrindinės sprendinių sistemos požiūriu yra bendrojo sprendimo įrašas linijinio sprendinių derinio, priklausančio pagrindinei sistemai, forma.
Teorema. Tam, kad tiesinių vienarūšių lygčių sistema turėtų nulinį sprendinį, būtina ir pakanka, kad Δ ≠ 0.
Taigi, jei determinantas Δ ≠ 0, tada sistema turi unikalų sprendimą.
Jei Δ ≠ 0, tai tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių.
Teorema. Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka to r(A)< n .
Įrodymas:
1) r daugiau negali būti n(matricos rangas neviršija stulpelių ar eilučių skaičiaus);
2) r< n , nes Jeigu r = n, tada pagrindinis sistemos determinantas Δ ≠ 0, ir pagal Cramerio formules yra unikalus trivialus sprendimas x 1 = x 2 = … = x n = 0, o tai prieštarauja sąlygai. Reiškia, r(A)< n .
Pasekmė. Kad būtų vienalytė sistema n tiesines lygtis su n nežinomieji turėjo nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad Δ = 0.