Apsvarstykite kvadratinę lygtį.

Nustatykime jo šaknis.

Nėra tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų -1. Bet jei operatorių apibrėžtume formule i kaip įsivaizduojamą vienetą, tada šios lygties sprendimas gali būti parašytas kaip . Tuo pačiu metu Ir - kompleksiniai skaičiai, kuriuose -1 yra tikroji dalis, 2 arba antruoju atveju -2 yra menamoji dalis. Įsivaizduojama dalis taip pat yra tikrasis skaičius. Menama dalis, padauginta iš menamo vieneto, reiškia jau įsivaizduojamas skaičius.

Apskritai kompleksinis skaičius turi formą

z = x + oi ,

Kur x, y– realieji skaičiai, – menamasis vienetas. Daugelyje taikomųjų mokslų, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, elektronikoje, signalų teorijoje, įsivaizduojamas vienetas žymimas j. Realūs skaičiai x = Re(z) Ir y=aš (z) yra vadinami tikrosios ir menamos dalys numeriai z. Išraiška vadinama algebrinė forma parašyti kompleksinį skaičių.

Bet koks realusis skaičius yra specialus formos kompleksinio skaičiaus atvejis . Įsivaizduojamasis skaičius taip pat yra ypatingas kompleksinio skaičiaus atvejis .

Kompleksinių skaičių C aibės apibrėžimas

Ši išraiška skamba taip: set SU, susidedantis iš tokių elementų, kad x Ir y priklauso realiųjų skaičių aibei R ir yra įsivaizduojamas vienetas. Atkreipkite dėmesį, kad ir kt.

Du kompleksiniai skaičiai Ir yra lygios tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. Ir .

Sudėtingi skaičiai ir funkcijos plačiai naudojami moksle ir technikoje, ypač mechanikoje, kintamosios srovės grandinių analizėje ir skaičiavime, analoginėje elektronikoje, signalų teorijoje ir apdorojime, automatinio valdymo teorijoje ir kituose taikomuosiuose moksluose.

1. Kompleksinių skaičių aritmetika

Dviejų kompleksinių skaičių sudėjimas susideda iš jų tikrosios ir menamos dalių sudėjimo, t.y.

Atitinkamai, dviejų kompleksinių skaičių skirtumas

Sudėtingas skaičius paskambino visapusiškai konjugatas numerį z =x+oi.

Sudėtiniai konjuguoti skaičiai z ir z * skiriasi menamos dalies ženklais. Tai akivaizdu

.

Bet kokia lygybė tarp sudėtingų išraiškų išlieka galiojanti, jei ji yra visur šioje lygybėje i pakeisti į - i, t.y. eikite į konjuguotų skaičių lygybę. Skaičiai i Ir – i yra algebriškai neatskiriami, nes .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga (daugyba) gali būti apskaičiuojama taip:

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:

Pavyzdys:

1. Sudėtinga plokštuma

Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti grafiškai stačiakampėje koordinačių sistemoje. Apibrėžkime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje (x, y).

Ant ašies Jautis padėsime tikras dalis x, tai vadinama tikroji (tikra) ašis, ant ašies Oy– menamos dalys y kompleksiniai skaičiai. Tai vadinama įsivaizduojama ašis. Šiuo atveju kiekvienas kompleksinis skaičius atitinka tam tikrą plokštumos tašką ir tokia plokštuma vadinama sudėtinga plokštuma. Taškas A kompleksinė plokštuma atitiks vektorių OA.

Skaičius x paskambino abscisė kompleksinis skaičius, skaičius y – ordinatės.

Sudėtingų konjuguotų skaičių pora pavaizduota taškais, esančiais simetriškai apie tikrąją ašį.

Jei į lėktuvą mes keliamės poliarinė koordinačių sistema, tada kiekvienas kompleksinis skaičius z nustatomi polinėmis koordinatėmis. Tuo pačiu metu modulis numeriai yra taško poliarinis spindulys ir kampas - jo poliarinio kampo arba kompleksinio skaičiaus argumentas z.

Kompleksinio skaičiaus modulis visada neneigiamas. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmiškai nustatytas. Pagrindinė argumento reikšmė turi atitikti sąlygą . Kiekvienas kompleksinės plokštumos taškas taip pat atitinka bendrą argumento reikšmę. Argumentai, kurie skiriasi 2π kartotiniu, laikomi lygiais. Skaičiaus nulis argumentas neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma pagal posakius:

Tai akivaizdu

Tuo pačiu metu
, .

Sudėtingų skaičių vaizdavimas z formoje

paskambino trigonometrinė forma kompleksinis skaičius.

Pavyzdys.

1. Eksponentinė kompleksinių skaičių forma

Skilimas į Maclaurin serija tikrosioms argumentų funkcijoms turi formą:

Eksponentinei funkcijai su sudėtingu argumentu z skilimas panašus

.

Įsivaizduojamo argumento eksponentinės funkcijos Maclaurin serijos išplėtimas gali būti pavaizduotas kaip

Gauta tapatybė vadinama Eulerio formulė.

Neigiamam argumentui jis turi formą

Sujungdami šias išraiškas galite apibrėžti šias sinuso ir kosinuso išraiškas

.

Naudojant Eulerio formulę, iš kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrinės formos

galima gauti orientacinis(eksponentinė, polinė) kompleksinio skaičiaus forma, t.y. jo vaizdavimas formoje

,

Kur - poliarinės taško koordinatės su stačiakampėmis koordinatėmis ( x,y).

Kompleksinio skaičiaus konjugatas eksponentine forma užrašomas taip.

Eksponentinei formai nesunku nustatyti šias kompleksinių skaičių dauginimo ir dalijimo formules

Tai yra, eksponentine forma kompleksinių skaičių sandauga ir padalijimas yra paprastesnis nei algebrine forma. Dauginant dauginami faktorių moduliai, pridedami argumentai. Ši taisyklė taikoma daugeliui veiksnių. Ypač dauginant kompleksinį skaičių zįjungta i vektorius z sukasi prieš laikrodžio rodyklę 90

Dalijimo metu skaitiklio modulis dalijamas iš vardiklio modulio, o vardiklio argumentas atimamas iš skaitiklio argumento.

Naudodami kompleksinių skaičių eksponentinę formą, galime gauti gerai žinomų trigonometrinių tapatybių išraiškas. Pavyzdžiui, iš tapatybės

naudodamiesi Eulerio formule galime parašyti

Šioje išraiškoje prilyginus tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname kampų sumos kosinuso ir sinuso išraiškas

1. Kompleksinių skaičių laipsniai, šaknys ir logaritmai

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki natūralios laipsnio n gaminamas pagal formulę

Pavyzdys. Paskaičiuokime .

Įsivaizduokime skaičių trigonometrine forma

’

Taikydami eksponencijos formulę gauname

Įvesdami reikšmę į išraišką r= 1, gauname vadinamąjį Moivre'o formulė, su kuria galite nustatyti kelių kampų sinusų ir kosinusų išraiškas.

Šaknis n- kompleksinio skaičiaus laipsnis z turi n skirtingos reikšmės, kurias nustato išraiška

Pavyzdys. Suraskime.

Norėdami tai padaryti, išreiškiame kompleksinį skaičių () trigonometrine forma

.

Naudodami kompleksinio skaičiaus šaknies apskaičiavimo formulę, gauname

Kompleksinio skaičiaus logaritmas z- tai skaičius w, kuriam . Natūralus kompleksinio skaičiaus logaritmas turi begalinį reikšmių skaičių ir apskaičiuojamas pagal formulę

Susideda iš tikrosios (kosinuso) ir menamos (sinuso) dalių. Ši įtampa gali būti pavaizduota kaip ilgio vektorius U m, pradinė fazė (kampas), besisukanti kampiniu greičiu ω .

Be to, jei pridedamos sudėtingos funkcijos, pridedamos tikrosios ir įsivaizduojamos jų dalys. Jei sudėtinga funkcija padauginama iš pastovios arba tikrosios funkcijos, tai jos tikroji ir menamoji dalys dauginamos iš to paties koeficiento. Tokios sudėtingos funkcijos diferencijavimas / integravimas yra susijęs su realių ir įsivaizduojamų dalių diferencijavimu / integravimu.

Pavyzdžiui, atskiriant sudėtingą streso išraišką

yra padauginti iš iω yra tikroji funkcijos f(z) dalis ir – įsivaizduojama funkcijos dalis. Pavyzdžiai: .

Reikšmė z yra pavaizduotas tašku kompleksinėje z plokštumoje ir atitinkama reikšme w- taškas kompleksinėje plokštumoje w. Kai rodoma w = f(z) plokštumos linijos z transformuoti į plokštumos linijas w, vienos plokštumos figūras paverčia kitos figūromis, tačiau linijų ar figūrų formos gali labai pasikeisti.