Paprastosios trupmenos.

Algebrinių trupmenų pridėjimas

Prisimink!

Galite pridėti tik trupmenas su tais pačiais vardikliais!

Negalite pridėti trupmenų be konversijų

Galite pridėti trupmenas

Pridedant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:

1. pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio;
2. vardiklis išlieka tas pats.

Pažvelkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį.

Kadangi abiejų trupmenų vardiklis yra „2a“, tai reiškia, kad trupmenas galima pridėti.

Sudėkime pirmosios trupmenos skaitiklį su antrosios trupmenos skaitikliu, o vardiklį palikime tą patį. Pridėdami trupmenas gautame skaitiklyje, pateikiame panašias.

Algebrinių trupmenų atėmimas

Atimant algebrines trupmenas su panašiais vardikliais:

1. Antrosios trupmenos skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.
2. vardiklis išlieka tas pats.

Svarbu!

Skliausteliuose būtinai įtraukite visą atimamos trupmenos skaitiklį.

Priešingu atveju, atidarydami atimamos trupmenos skliaustus, suklysite ženkluose.

Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų atėmimo pavyzdį.

Kadangi abiejų algebrinių trupmenų vardiklis yra „2c“, tai reiškia, kad šias trupmenas galima atimti.

Atimkite antrosios trupmenos skaitiklį „(a − b)“ iš pirmosios trupmenos skaitiklio „(a + d)“. Nepamirškite skliausteliuose pateikti atimamos trupmenos skaitiklio. Atidarydami skliaustus naudojame skliaustų atidarymo taisyklę.

Algebrinių trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Reikia pridėti algebrines trupmenas.

Šioje formoje trupmenų pridėti negalima, nes jos turi skirtingus vardiklius.

Prieš pridedant algebrines trupmenas, jos turi būti suvesti prie bendro vardiklio.

Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio taisyklės labai panašios į paprastųjų trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio taisykles.

.

Dėl to turėtume gauti daugianarį, kuris bus padalintas be liekanos į kiekvieną ankstesnį trupmenų vardiklį. Į sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio

1. turite atlikti šiuos veiksmus.
2. Dirbame su skaitiniais koeficientais. Mes nustatome visų skaitinių koeficientų LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).
3. Dirbame su polinomais. Visus skirtingus daugianorius apibrėžiame didžiausiomis galiomis.
4. Nustatykite, ko jums reikia, norint padauginti kiekvieną algebrinę trupmeną, kad gautumėte bendrą vardiklį.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžio.

Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „15a“ ir „3“ ir suraskite jiems bendrą vardiklį.

1. Dirbame su skaitiniais koeficientais. Raskite LCM (mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaitinio koeficiento be liekanos).
2. „15“ ir „3“ yra „15“.
   Dirbame su daugianariais. Būtina visus daugianarius išvardyti didžiausiomis galiomis.
3. Vardikliuose „15a“ ir „5“ yra tik
4. vienas monomis - „a“.

Padauginkime LCM iš 1 veiksmo „15“ ir monominį „a“ iš 2 veiksmo. Gauname „15a“. Tai bus bendras vardiklis.

Kiekvienai trupmenai užduodame sau klausimą: „Iš ko padauginti šios trupmenos vardiklį, kad gautume „15a“?

Pažiūrėkime į pirmąją trupmeną. Šios trupmenos vardiklis jau yra „15a“, o tai reiškia, kad jos nereikia dauginti iš nieko. Pažvelkime į antrąją trupmeną. Užduokime klausimą: „Iš ko reikia padauginti „3“, kad gautumėte „15a“?.

Atsakymas yra „5a“.

Mažindami trupmeną iki bendro vardiklio, padauginkite iš „5a“

tiek skaitiklis, tiek vardiklis

Sutrumpintą algebrinės trupmenos sumažinimo iki bendro vardiklio formą galima parašyti naudojant „namus“.

Norėdami tai padaryti, nepamirškite bendro vardiklio. Virš kiekvienos trupmenos viršuje „namuose“ rašome, iš ko padauginame kiekvieną trupmeną.

Dabar, kai trupmenos turi tuos pačius vardiklius, trupmenas galima pridėti.

Pažvelkime į trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo pavyzdį.

Apsvarstykite abiejų trupmenų vardiklius „(x − y)“ ir „(x + y)“ ir raskite jiems bendrą vardiklį.

Vardikliuose „(x − y)“ ir „(x + y)“ yra du skirtingi daugianariai.

Jų produktas bus bendras vardiklis, t.y. „(x − y)(x + y)“ yra bendras vardiklis.

Algebrinių trupmenų sudėjimas ir atėmimas naudojant sutrumpintas daugybos formules
Kai kuriuose pavyzdžiuose, norint sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio, turi būti naudojamos sutrumpintos daugybos formulės.

Pažiūrėkime į algebrinių trupmenų pridėjimo pavyzdį, kur turėsime panaudoti kvadratų skirtumo formulę.

1. Sumažinkite visas trupmenas iki bendro vardiklio; jei jie nuo pat pradžių turėjo tuos pačius vardiklius, tada šis algoritmo žingsnis yra praleistas.
2. Sudėkite (atimkite) gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais.

1 pavyzdys. Atlikite šiuos veiksmus:

A) ; b) ; .

V) Sprendimas.

Kiekvienai čia pateiktai algebrinių trupmenų porai bendras vardiklis buvo rastas aukščiau, pamokoje „Pagrindinės algebrinių trupmenų savybės“. Remdamiesi aukščiau pateiktu pavyzdžiu, gauname:
Sunkiausias dalykas aukščiau pateiktame algoritme, žinoma, yra pirmasis žingsnis: rasti bendrą vardiklį ir sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. 1 pavyzdyje galbūt nepajutote šio sunkumo, nes naudojome paruoštus rezultatus iš § 2.

Norėdami sukurti bendro vardiklio radimo taisyklę, panagrinėkime 1 pavyzdį.

Trupmenoms ir bendras vardiklis yra skaičius 15 – jis dalijasi ir iš 3, ir iš 5, ir yra jų bendras kartotinis (net mažiausias bendras kartotinis).
Trupmenoms bendras vardiklis yra monomialas. Jis dalijamas iš abiejų ir iš, t. y. iš abiejų vienatūrių, kurios tarnauja kaip trupmenų vardikliai. Atkreipkite dėmesį: skaičius 12 yra mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis. Kintamasis rodomas pirmosios trupmenos vardiklyje, kurio rodiklis yra 2, o antrosios trupmenos vardiklyje, kurio rodiklis yra 3. Ši didžiausia reikšmė 3 laipsnio rodiklis atsiranda bendrame vardiklyje. Trupmenoms ir bendras vardiklis yra sandauga
- jis dalijasi ir iš vardiklio, ir iš vardiklio.
Ieškant bendrą vardiklį, natūralu, būtina visus pateiktus vardiklius suskaidyti faktoriais (jeigu tai nebuvo paruošta sąlygoje). Ir tada turėtumėte dirbti etapais: rasti mažiausią bendrąjį skaitinių koeficientų kartotinį (kalbame apie sveikųjų skaičių koeficientus), nustatyti kiekvienam kelis kartus pasitaikančiam raidės koeficientui didžiausią eksponentą, visa tai surinkti į vieną sandaugą.

Dabar galite sukurti atitinkamą algoritmą.

Algoritmas ieškant bendro vardiklio kelioms algebrinėms trupmenoms

Suskaičiuokite visus vardiklius (skaitinius koeficientus, kintamųjų laipsnius, dvinarias, trinarias).

Raskite mažiausią bendrą skaitmeninių koeficientų kartotinį, pateiktą pirmame žingsnyje sudarytuose faktorizavimuose.

Prie trečiame žingsnyje gauto sandaugos pridedamas antrajame žingsnyje rastas skaitinis koeficientas; galutinis rezultatas yra bendras vardiklis.

komentuoti. Tiesą sakant, galite rasti tiek bendrų dviejų algebrinių trupmenų vardklių, kiek norite. Pavyzdžiui, trupmenoms Ir bendras vardiklis gali būti skaičius 30, skaičius 60 ir net monomialas . Faktas yra tas, kad 30, 60 ir galima dalyti iš 3 arba 5. Trupmenoms Ir bendras vardiklis, išskyrus aukščiau pateiktą monomiją , gal Ir . Kas yra monomialas geriau nei , kaip ? Tai paprasčiau (išvaizda). Jis kartais vadinamas net ne bendruoju, o mažiausiu bendruoju vardikliu. Taigi pateiktas algoritmas yra kelių algebrinių trupmenų paprasčiausio bendro vardiklio radimo algoritmas, mažiausiojo bendro vardiklio radimo algoritmas.

Grįžkime prie 1 pavyzdžio, a. Norint pridėti algebrines trupmenas ir , reikėjo ne tik rasti bendrą vardiklį (skaičius 15), bet ir kiekvienai trupmenai rasti papildomų faktorių, kurie leistų trupmenas suvesti į bendrą vardiklį. Trupmenai toks papildomas koeficientas yra skaičius 5 (šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis papildomai dauginami iš 5), trupmenai - skaičius 3 (šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis papildomai dauginami iš 3). Papildomas veiksnys yra bendro vardiklio dalijimo iš duotosios trupmenos vardiklio koeficientas.

Paprastai naudojamas toks žymėjimas:

Grįžkime prie 1.6 pavyzdžio. Bendras trupmenų vardiklis yra monomialas. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas lygus (nuo ), antrosios trupmenos lygus 2 (nuo ). Tai reiškia, kad 1.6 pavyzdžio sprendimas gali būti parašytas taip:

.

Aukščiau buvo suformuluotas kelių algebrinių trupmenų bendro vardiklio radimo algoritmas. Tačiau patirtis rodo, kad šis algoritmas ne visada aiškus studentams, todėl pateiksime šiek tiek pakeistą formuluotę.

Algebrinių trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio taisyklė

Suskaičiuokite visus vardiklius.

Iš pirmojo vardiklio išrašykite visų jo veiksnių sandaugą, iš likusių vardklių pridėkite trūkstamus veiksnius prie šios sandaugos.

Gautas produktas bus bendras (naujas) vardiklis.

Kiekvienai trupmenai raskite papildomų faktorių: tai bus tų veiksnių, kurie yra naujajame vardiklyje, bet kurių nėra senajame, sandaugai.

Kiekvieną trupmeną parašykite nauju skaitikliu ir nauju (bendruoju) vardikliu.

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką .

V)
Pirmas etapas. Raskime bendrą vardiklį ir papildomus veiksnius.
Turime

Pirmąjį vardiklį imame visą, o iš antrojo pridedame veiksnį, kurio pirmame vardiklyje nėra. Raskime bendrą vardiklį.

Patogu įrašus tvarkyti lentelės pavidalu:

Vardikliai	Bendras vardiklis	Papildomi daugikliai

Antrasis etapas.
Atlikime transformacijas:

Jei turite patirties, galite praleisti pirmąjį etapą ir atlikti jį kartu su antruoju.
Pabaigoje pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį (dominantiems).

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

V) Pirmas etapas.
Išskaidykime visus vardiklius:

Pirmąjį vardiklį paimame visą, iš antrojo – trūkstamus veiksnius ir (arba), iš trečiojo – trūkstamą koeficientą (kadangi trečiajame vardiklyje yra koeficientas ).

Vardikliai	Bendras vardiklis	Papildomi daugikliai

ugdyti gebėjimą atlikti operacijas (sudėti ir atimti) su algebrinėmis trupmenomis su skirtingais vardikliais, remiantis paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimo ir atėmimo taisykle;

peržiūrėti ir praktikuoti sudėti ir atimti trupmenas su panašiais vardikliais.

Įranga: demonstracinė medžiaga.

Žinių atnaujinimo užduotys:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas.

Norėdami pridėti arba atimti įprastas trupmenas su skirtingais vardikliais, turite:

1. Sumažinkite šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio.
2. Sudėkite arba atimkite gautas trupmenas.

2) Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio algoritmas.

1. Kiekvienai trupmenai raskime papildomų faktorių: tai bus sandaugai tų faktorių, kurie yra bendrame (naujame) vardiklyje, bet kurių nėra senajame vardiklyje.

3) Savarankiško darbo su savitestu standartai:

3) Kortelė apmąstymams.

1. Ši tema man aiški.
2. Žinau, kaip kiekvienai trupmenai rasti papildomų faktorių.
3. Kiekvienai trupmenai galiu rasti naujus skaitiklius.
4. Man viskas pavyko dirbant savarankiškai.
5. Savarankiško darbo padarytos klaidos priežastį galėjau suprasti.
6. Esu patenkinta savo darbu klasėje.

PAMOKOS EIGA

1. Apsisprendimas veiklai.

Etapo tikslai:

1. Mokinių įtraukimas į edukacinę veiklą: kelionės po šalį tęsimas „Algebrinės išraiškos“.
2. Pamokos turinio nustatymas: tęsiamas darbas su algebrinėmis trupmenomis.

Ugdymo proceso organizavimas 1 etape:

Labas rytas vaikinai! Tęsiame įdomią kelionę po „Algebrinių išraiškų“ šalį.

Kokius šalies „gyventojus“ sutikome ankstesnėse pamokose? (Su algebrinėmis išraiškomis.)

Ką galime padaryti su pažįstamomis algebrinėmis išraiškomis? (sudėti ir atimti.)

Kokia yra būdinga algebrinių trupmenų savybė, kurią mes jau žinome, kaip sudėti ir atimti? (Sudedame ir atimame trupmenas, turinčias tą patį vardiklį.)

Teisingai. Tačiau visi puikiai suprantame, kad įgūdžių atlikti operacijas su vienodus vardiklius turinčiomis algebrinėmis trupmenomis neužtenka. Kaip manote, ką dar turime išmokti daryti? (Atlikite operacijas su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius.)

Gerai padaryta! Ar tada tęsime kelionę? (Taip!)

2. Žinių atnaujinimas ir veiklos sunkumų fiksavimas.

Etapo tikslai:

1. Atnaujinti žinias apie operacijų su trupmenomis su tais pačiais vardikliais atlikimą, protinio skaičiavimo metodus.
2. Įrašykite sunkumus.

Ugdymo proceso organizavimas 2 etape:

Lentoje yra keli pavyzdžiai, kaip atlikti operacijas su trupmenomis:

5) -=-==.

Mokinių prašoma garsiai išsakyti savo sprendimus.

Pirmajame pavyzdyje vaikinai lengvai pateikia teisingą atsakymą, prisimindami veiksmų su algebrinėmis trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius, algoritmą.

Kai jau buvo pakomentuotas 2 pavyzdys, mokytojas sutelkia dėmesį į pavyzdį Nr. 2:

Vaikinai, pažiūrėkite, kas įdomaus pavyzdyje Nr. 2? (Mes ne tik atlikome veiksmus su algebrinėmis trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi, bet ir sumažinome gautą algebrinę trupmeną: iš skliaustų išėmėme minuso ženklą, skaitiklyje ir vardiklyje gavome identiškus koeficientus, kuriais vėliau sumažinome rezultatą. )

Labai gerai, kad nepamiršote, kad pagrindinė trupmenos savybė galioja ne tik paprastosioms trupmenoms, bet ir algebrinėms trupmenoms!

Kas pakomentuos šių trijų pavyzdžių sprendimą visiems?

Greičiausiai atsiras mokinys, kuris nesunkiai išspręs 3 pavyzdį.

Ką naudojote spręsdamas pavyzdį Nr. 3? (Man padėjo paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas.)

Kaip tiksliai pasielgei? (Sumažinau algebrines trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio 15 ir pridėjau.)

Nuostabu! Kaip mums sekasi su paskutiniais dviem pavyzdžiais?

Kalbant apie kitus du pavyzdžius, vaikinai (kiekvienas sau) išsprendžia iškilusius sunkumus.

Mokinių žodžiai yra maždaug tokie:

Man sunku užbaigti 4–5 pavyzdžius, nes prieš mane yra algebrinės trupmenos, o ne su „identiškais“ vardikliais, o šie skirtingi vardikliai apima kintamuosius (Nr. 4), o Nr. 5 yra pažodinės išraiškos vardikliai!..

Atsakymas į 4–5 užduotis negautas.

3. Sunkumų vietos ir priežasčių nustatymas bei veiklos tikslų nustatymas.

Etapo tikslai:

1. Užrašykite skiriamąją užduoties savybę, dėl kurios buvo sunku mokytis.
2. Suformuluokite pamokos tikslą ir temą.

Ugdymo proceso organizavimas 3 etape:

Vaikinai? Kur iškilo sunkumas? (4–5 pavyzdžiuose.)

Kodėl jas spręsdamas nesate pasiruošęs aptarti sprendimo ir duoti atsakymo? (Kadangi šiose užduotyse siūlomos algebrinės trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl esame susipažinę su operacijų su algebrinėmis trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius, atlikimo algoritmas.

Ką dar turime, kad galėtume padaryti? (Turite išmokti pridėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais.)

Sutinku su tavimi. Kaip šiandien galime suformuluoti savo pamokos temą? (Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas ir atėmimas.)

Pamokos tema surašoma į sąsiuvinius.

4. Išbristi iš sunkumo projekto kūrimas.

Scenos paskirtis:

1. Vaikų naujos veikimo būdo konstravimas.
2. Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio algoritmo fiksavimas.

Ugdymo proceso organizavimas 4 etape:

Kokį tikslą išsikelsime sau šiandien klasėje? (Išmokite pridėti ir atimti algebrines trupmenas su skirtingais vardikliais.)

Kaip tai gali būti? (Norėdami tai padaryti, turime sukurti algoritmą tolesniam darbui su algebrinėmis trupmenomis.)

Ką turime sugalvoti, kad pasiektume pamokos tikslą? (Algebrinių trupmenų mažinimo iki bendro vardiklio algoritmas, kad galėtume dirbti pagal įprastą trupmenų su tais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklę.)

Darbas gali būti organizuojamas grupėmis, kiekvienai grupei suteikiamas popieriaus lapas ir žymeklis. Studentai gali pasiūlyti savo algoritmo versijas veiksmų sąrašo forma. Darbui skiriamos 5 minutės. Grupės paskelbia savo algoritmo ar taisyklės parinktis, tada kiekviena parinktis analizuojama.

Greičiausiai vienas iš studentų neabejotinai parengs savo algoritmo analogiją su paprastųjų trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmu: pirmiausia jie sujungia trupmenas į bendrą vardiklį, naudodami atitinkamus papildomus veiksnius, o tada sudeda ir atima gaunamos trupmenos su tais pačiais vardikliais.

Vėliau rodoma viena parinktis. Tai gali būti taip:

1. Mes įvertiname visus vardiklius.
2. Iš pirmojo vardiklio išrašome visų jo veiksnių sandaugą, iš likusių vardklių šiam sandaugai priskiriame trūkstamus veiksnius. Gautas produktas bus bendras (naujas) vardiklis.
3. Kiekvienai trupmenai raskime papildomų faktorių: tai bus sandaugai tų veiksnių, kurie yra naujajame vardiklyje, bet kurių nėra senajame.
4. Kiekvienai trupmenai raskime naują skaitiklį: tai bus senojo skaitiklio ir papildomo koeficiento sandauga.
5. Parašykime kiekvieną trupmeną nauju skaitikliu ir bendruoju (nauju) vardikliu.

Na, pritaikykime savo taisyklę neišspręstoms pasiūlytoms užduotims atlikti. Kiekvieną užduotį (4, 5) po vieną pasako kai kurie klasės mokiniai, o mokytojas užrašo sprendimą lentoje.

Jūs ir aš esame tiesiog genijai! Sukūrėme algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmą. Bendromis pastangomis mes pašalinome sunkumus, nes dabar prieš mus yra tikras „gidas“ (algoritmas) į nežinomą „algebrinių trupmenų“ šalį!

5. Pirminė konsolidacija išorinėje kalboje.

Scenos paskirtis:

1. Lavinkite gebėjimą sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio.
2. Organizuokite tiriamo taisyklės-algoritmo turinio tarimą išorinėje kalboje.

Ugdymo proceso organizavimas 5 etape:

Vaikinai, visi puikiai žinome, kad vien pažvelgti ir žinoti „vietovės žemėlapį“ nėra kelionė. Ką turėtume daryti, kad pasinertume į algebrinių trupmenų pasaulį? (Turime išspręsti pavyzdžius ir apskritai praktikuoti pavyzdžius, kad sustiprintume naująjį algoritmą.)

Visiškai teisingai. Todėl siūlau pradėti mūsų tyrimą.

Mokinys žodžiu išdėsto savo sprendimo planą, mokytojas pataiso, jei yra netikslumų.

Tai skamba maždaug taip:

Turime pasirinkti skaičių, kuris dalijasi ir iš 2, ir iš 5. Tai skaičius 10. Tada pasirenkame kintamuosius tokiu laipsniu, kokio mums reikia. Taigi mūsų naujasis vardiklis bus 10xy. Mes pasirenkame papildomus daugiklius. Į pirmą trupmeną: 5m, į antrąją: 2x. Pasirinktus papildomus veiksnius padauginame iš kiekvieno senojo skaitiklio. Gauname algebrines trupmenas su vienodais vardikliais ir atliekame atimtį pagal mums jau žinomą taisyklę.

aš laimingas. O dabar mūsų didelė komanda išsiskirstys į poras, ir mes tęsime savo įdomų kelią.

Nr.133 (a, d). Mokiniai dirba poromis, tarpusavyje kalbasi apie sprendimą:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Savarankiškas darbas su savikontrole.

Etapo tikslai:

1. Atlikti savarankišką darbą.
2. Atlikite savitikrą naudodami paruoštą savitikros standartą.
3. Mokiniai fiksuos sunkumus, nustatys klaidų priežastis ir ištaisys klaidas.

Ugdymo proceso organizavimas 6 etape:

Atidžiai stebėjau jūsų darbą ir padariau išvadą, kad kiekvienas iš jūsų yra pasirengęs savarankiškai mąstyti apie būdus ir rasti sprendimus mūsų šiandienos pavyzdžiams. Todėl siūlau jums šiek tiek savarankiško darbo, kurį atlikus jums bus pasiūlytas standartas su teisingu sprendimu ir atsakymu.

Nr.134 (a, b): atlikti darbus pagal pasirinkimus.

Baigus darbą, atliekama standartinė patikra. Tikrindami sprendimus, mokiniai pažymi „+“ teisingą sprendimą, „? nėra teisingas sprendimas. Mokiniams, padariusiems klaidų, patartina paaiškinti, kodėl jie neteisingai atliko užduotį.

Klaidos analizuojamos ir taisomos.

Taigi, su kokiais sunkumais susidūrėte kelyje? (Padariau klaidą išplėsdamas skliaustus, prieš kuriuos yra minuso ženklas.)

Kokia to priežastis? (Tiesiog dėl neatsargumo, bet ateityje būsiu atsargesnis!)

Kas dar atrodė sunku? (Ar man buvo sunku rasti papildomų trupmenų faktorių?)

Būtinai turite išsamiau išstudijuoti algoritmo 3 punktą, kad ateityje tokia problema nekiltų!

Ar buvo kitų sunkumų? (Ir aš tokių terminų tiesiog neatsinešiau).

Ir tai gali būti pataisyta. Kai padarėte viską, kas įmanoma, naudodami naująjį algoritmą, turite prisiminti medžiagą, kurią studijavote seniai. Visų pirma, panašių terminų įtraukimas arba trupmenų mažinimas ir pan.

7. Naujų žinių įtraukimas į žinių sistemą.

Etapo tikslas: pakartoti ir įtvirtinti pamokoje išmoktą algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimo ir atėmimo algoritmą.

8. Pamokos refleksija.

Scenos tikslas: įrašyti naują turinį, įvertinti savo veiklą.

Ugdymo proceso organizavimas 8 etape:

Kokį tikslą išsikėlėme pamokos pradžioje? (Išmokite pridėti ir atimti trupmenas su skirtingais vardikliais.)

Ką sugalvojome, kad pasiektume tikslą? (Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas.)

Ką dar panaudojome šiam tikslui? (Mes įvertinome vardiklius, pasirinkome LCM koeficientams ir papildomus veiksnius skaitikliams.)

Dabar paimkite spalvotą rašiklį arba flomasterį ir pažymėkite „+“ ženklu tuos teiginius, su kuriais sutinkate:

Kiekvienas mokinys turi kortelę su frazėmis. Vaikai pažymi ir parodo mokytojui.

Gerai padaryta!

Namų darbas: 4 pastraipa (vadovėlis); Nr.126, 127 (problemų knyga).

ALGEBRINIŲ DAŽNŲ SU SKIRTINGAIS VADIKLIAIS SUDĖTIS IR ATĖMĖJIMAS

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas atliekamas naudojant tą patį algoritmą, kuris naudojamas sudėjus ir atimant paprastąsias trupmenas su skirtingais vardikliais: pirma, trupmenos sujungiamos į bendrą vardiklį, naudojant atitinkamus papildomus veiksnius.
tel, o po to sudėkite arba atimkite gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais pagal taisyklę iš § 3. Galima suformuluoti algoritmą, kuris apima bet kokius algebrinių trupmenų sudėjimo (atėmimo) atvejus.

Algebrinių trupmenų pridėjimo (atėmimo) algoritmas

1 pavyzdys. Atlikite šiuos veiksmus:

Sprendimas. Kiekvienai čia pateiktai algebrinių trupmenų porai bendras vardiklis buvo rastas aukščiau, pavyzdyje iš § 2. Remdamiesi aukščiau pateiktu pavyzdžiu, gauname:

Sunkiausias dalykas aukščiau pateiktame algoritme, žinoma, yra pirmasis žingsnis: rasti bendrą vardiklį ir sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. 1 pavyzdyje galbūt nepajutote šio sunkumo, nes naudojome paruoštus rezultatus iš § 2.

Norėdami sukurti bendro vardiklio radimo taisyklę, panagrinėkime 1 pavyzdį.
Trupmenų bendras vardiklis yra skaičius 15, jis dalijasi iš 3 ir iš 5 ir yra jų bendras kartotinis (net mažiausias bendras kartotinis).
Trupmenoms bendras vardiklis yra 12b 3. Jis dalijasi ir iš 4b 2, ir iš 6b 3, t. y. iš abiejų vienatūrių, kurios yra trupmenų vardikliai.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius 12 yra mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis. Kintamasis b yra įtrauktas į pirmosios trupmenos vardiklį su eksponentu 2, į vardiklį
antroji trupmena – su rodikliu 3. Ši didžiausia eksponento 3 reikšmė atsiranda bendrame vardiklyje.
Dėl trupmenų

bendras vardiklis yra sandauga (x + y)(x - y) – ji dalinama ir iš vardiklio x + y, ir iš vardiklio x-y.

Ieškant bendrą vardiklį, natūralu, būtina visus pateiktus vardiklius suskaidyti faktoriais (jeigu tai nebuvo paruošta sąlygoje). Ir tada turėtumėte dirbti etapais: rasti mažiausią bendrąjį skaitinių koeficientų kartotinį (kalbame apie sveikųjų skaičių koeficientus), nustatyti kiekvienam kelis kartus pasitaikančiam raidės koeficientui didžiausią eksponentą, visa tai surinkti į vieną sandaugą.

Dabar galite sukurti atitinkamą algoritmą.

Algoritmas ieškant bendro vardiklio kelioms algebrinėms trupmenoms

Prieš tęsdami, pabandykite pritaikyti šį algoritmą bendram algebrinių trupmenų vardiklio pagrindui 1 pavyzdyje.
komentuoti. Tiesą sakant, galite rasti tiek bendrų dviejų algebrinių trupmenų vardklių, kiek norite. Pavyzdžiui, trupmenoms bendra
vardiklis gali būti skaičius 30 arba skaičius 60, ar net monomialas 15a2b. Faktas yra tas, kad 30, 60 ir 15a 2 b gali būti padalyti iš 3 arba 5.
trupmenos -
bendras vardiklis, be anksčiau rasto monomilo 12b, gali būti 24b 3 ir 48a 2 b 4. Kodėl monomialas 12b 3 yra geresnis nei 24b 3, nei 48a 2 b 4? Tai paprasčiau (išvaizda). Jis kartais vadinamas net ne bendruoju, o mažiausiu bendruoju vardikliu. Taigi, pateiktas algoritmas yra algoritmas
kelių algebrinių trupmenų paprasčiausio bendro vardiklio radimas, mažiausio bendro vardiklio radimo algoritmas.

Grįžkime prie 1 pavyzdžio, a. Norint pridėti algebrines trupmenas, reikėjo ne tik rasti bendrą vardiklį (skaičius 15), bet ir kiekvienai trupmenai rasti papildomų faktorių, kurie leistų trupmenas suvesti į bendrą vardiklį. Daliai toks papildomas multi-
gyventojas yra skaičius 5 (šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis papildomai dauginami iš 5), trupmenai skaičius yra 3 (šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis papildomai dauginami iš 3).

Papildomas veiksnys yra bendro vardiklio dalijimo iš duotosios trupmenos vardiklio koeficientas.
Paprastai naudojamas toks žymėjimas:

Grįžkime prie 1.6 pavyzdžio. Bendras trupmenų vardiklis yra monomialas 12b 3. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas lygus 3b (kadangi 12b 3: 4b 2 = 3 b), antrosios trupmenos lygus 2 (nes 12b 3: 6b 3 = 2). Tai reiškia, kad 1.6 pavyzdžio sprendimas gali būti parašytas taip:

Aukščiau buvo suformuluotas kelių algebrinių trupmenų bendro vardiklio radimo algoritmas. Tačiau patirtis rodo, kad šis algoritmas ne visada aiškus studentams, todėl pateiksime šiek tiek pakeistą formuluotę.

Algebrinių trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio taisyklė

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Sprendimas.
Pirmas etapas. Raskime bendrą vardiklį ir papildomus veiksnius.

Turime
4a 2 - 1 = (2a - 1) (2a + 1),
2a 2 + a = a(2a + 1).
Pirmąjį vardiklį imame visą, o iš antrojo pridedame koeficientą a, kurio pirmame vardiklyje nėra. Raskime bendrą vardiklį

a(2a - 1) (2a +1).

Patogu įrašus tvarkyti lentelės pavidalu:

Antrasis etapas.
Atlikime transformacijas:

Jei turite patirties, galite praleisti pirmąjį etapą ir atlikti jį kartu su antruoju.

Pabaigoje pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį (dominantiems).

3 pavyzdys . Supaprastinkite išraišką

Sprendimas.
Pirmas etapas.
Išskaidykime visus vardiklius:

1) 2a 4 + 4a 3 b + 2a 2 b 2 = 2a 2 (a 2 + 2ab + b 2) = 2a 2 (a + b) 2;

2) 3ab 2 – 3 = (b 2 – a 2) = (b – a) (b + a);

3) 6a 4 -6a 3 b = 6a 3 (a-b).

Pirmąjį vardiklį imame visą, iš antrojo – trūkstamus koeficientus 3 ir b – a (arba a – b), iš trečiojo – trūkstamą koeficientą a (kadangi trečiajame vardiklyje yra koeficientas a 3).

Algebrinės trupmenos

Atkreipkite dėmesį, kad jei papildomas veiksnys turi „-“ ženklą, jis paprastai dedamas prieš visą trupmeną, t. y. ženklą reikės pakeisti prieš antrąją trupmeną.

Antrasis etapas.
Atlikime transformacijas:

Atkreipkite dėmesį, kad 3 pavyzdyje pateiktos išraiškos pakeitimas gauta algebrine trupmena yra identiška priimtinų kintamųjų verčių transformacija. Šiuo atveju priimtinos bet kokios kintamųjų a ir b reikšmės, išskyrus a = 0, a = b, a = - b (šiose
atvejais vardikliai tampa nuliui).

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Ugdymo ir ugdymo priemonės internetinėje parduotuvėje "Integral"
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K.   

Makarychevo vadovėlio vadovas Yu.N.

Kas yra algebrinė trupmena?.

Algebrinė trupmena yra formos išraiška: $\frac(P)(Q)$
Kur:
P yra algebrinės trupmenos skaitiklis.

Q yra algebrinės trupmenos vardiklis.

Štai algebrinių trupmenų pavyzdžiai:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Pagrindinės algebrinių trupmenų savybės
1 nuosavybė.

Tiek trupmenos skaitiklis, tiek vardiklis gali būti padauginti iš to paties skaičiaus (monomalio arba daugianario). Dėl to gausime tą pačią trupmeną, bet pateiktą kitokia forma. Ši transformacija kitaip vadinama identiški

. Jis naudojamas algebrinei (ir ne tik) išraiškai redukuoti į paprastesnę formą, ir dirbti su šia išraiška bus patogiau.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

Tiek skaitiklį, tiek vardiklį padauginome iš monomialo $3b$. Dėl to mes gavome dalį, identišką pradinei.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Jei reikia, algebrinę trupmeną galima padauginti iš pirminio skaičiaus. Šiame pavyzdyje ir skaitiklį, ir vardiklį padauginome iš skaičiaus 2. Ir vėl gavome trupmeną, identišką pradinei.
Tiek trupmenos skaitiklis, tiek vardiklis gali būti padalyti iš to paties skaičiaus (monomalio arba daugianario). Dėl to gausime tą pačią trupmeną, bet pateiktą kitokia forma.

Kaip ir daugybos atveju, tokia tapatumo transformacija imamasi siekiant pateikti trupmeną paprastesne forma ir palengvinti darbą.

Algebrinių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Jei algebrinės trupmenos turi tuos pačius vardiklius, jos pridedamos kaip paprastosios trupmenos (sudėti tik skaitikliai, o vardiklis lieka bendras).

Bendra taisyklė:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Sprendimas.

Naudojame aukščiau aprašytą trupmenų pridėjimo taisyklę, tai yra, pridedame skaitiklius ir užrašome bendrą vardiklį.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

Dirbkime su skaitikliu.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

Dėl to gauname trupmeną:

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

Vaikinai, prieš baigdami sprendimą, patikrinkite, ar įmanoma dar labiau supaprastinti rezultatą. Juk čia ir yra visa transformacijos esmė – supaprastinti išraišką.
Jei atidžiai pažvelgsite, galite suprasti, kad gautą frakciją galima dar labiau supaprastinti.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Pridėdami algebrines trupmenas su skirtingais vardikliais, turite elgtis taip pat, kaip dirbant su paprastosiomis trupmenomis. Pirmiausia turite sumažinti trupmeną iki bendro vardiklio, o tada pridėti arba atimti trupmenų skaitiklius pagal bendrą taisyklę, kurią mes svarstėme.

Pavyzdys.
Apskaičiuokite:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

Sprendimas.
Suveskime šias trupmenas į bendrą vardiklį. Šiame pavyzdyje bendras vardiklis yra vienareikšmė $12b^3$.
Tada.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Sunkiausia yra rasti bendrą trupmenų vardiklį. Kai kuriais atvejais tai nėra lengva užduotis.
Surasdami bendrą vardiklį, galite vadovautis taisyklėmis:
1. Jei abu vardikliai yra vienanariai be skliaustų, tai geriau iš pradžių pasirinkti bendrą vardiklį skaičiui, o tada kintamajam. Mūsų pavyzdyje skaičius yra 12, o kintamasis yra $b^3$.
2. Jei vardiklis yra sudėtingesnė išraiška, pvz., $x + 1$, $x +y$ ir panašiai, tada vardiklį geriau pasirinkti vardklių sandaugos pavidalu, pvz., $ (x + y)(x - y) $. Toks vardiklis dalijasi ir iš $x + y$, ir iš $x - y$.

Prisimink!
Dviem algebrinėms trupmenoms galite pasirinkti tiek bendrų vardklių, kiek norite. Tačiau norint supaprastinti skaičiavimus, reikia pasirinkti patį paprasčiausią.