Daugelis užduočių, kurias esame įpratę skaičiuoti grynai algebriškai, gali būti išspręstos daug lengviau ir greičiau naudojant funkcijų grafikus. Jūs sakote "kaip taip?" ką nors nupiešti, o ką piešti? Patikėkite, kartais taip patogiau ir lengviau. Ar pradėsime? Pradėkime nuo lygčių!

Grafinis lygčių sprendimas

Grafinis tiesinių lygčių sprendimas

Kaip jau žinote, tiesinės lygties grafikas yra tiesi linija, taigi ir šio tipo pavadinimas. Tiesines lygtis gana lengva išspręsti algebriškai – visus nežinomuosius perkeliame į vieną lygties pusę, viską, ką žinome, į kitą, ir voila! Radome šaknį. Dabar aš jums parodysiu, kaip tai padaryti grafiškai.

Taigi jūs turite lygtį:

Kaip tai išspręsti?
1 variantas, o dažniausiai yra perkeliant nežinomus į vieną pusę, o žinomus į kitą, gauname:

Dabar statykime. ką gavai?

Kaip manote, kokia yra mūsų lygties šaknis? Tiesa, grafikų susikirtimo taško koordinatė yra:

Mūsų atsakymas yra

Tai yra visa grafinio sprendimo išmintis. Kaip galite lengvai patikrinti, mūsų lygties šaknis yra skaičius!

Kaip sakiau aukščiau, tai yra labiausiai paplitęs variantas, artimas algebriniam sprendimui, tačiau galite jį išspręsti kitu būdu. Norėdami apsvarstyti alternatyvų sprendimą, grįžkime prie mūsų lygties:

Šį kartą nieko nejudinsime iš vienos pusės į kitą, o tiesiogiai sudarysime grafikus, nes jie dabar egzistuoja:

Pastatytas? pažiūrėsim!

Koks sprendimas šį kartą? tai tiesa. Tas pats - grafikų susikirtimo taško koordinatė:

Ir vėl mūsų atsakymas yra.

Kaip matote, tiesinėmis lygtimis viskas yra labai paprasta. Atėjo laikas pažvelgti į kažką sudėtingesnio... Pavyzdžiui, grafinis kvadratinių lygčių sprendimas.

Grafinis kvadratinių lygčių sprendimas

Taigi, dabar pradėkime spręsti kvadratinę lygtį. Tarkime, kad reikia rasti šios lygties šaknis:

Žinoma, dabar galima pradėti skaičiuoti per diskriminantą, arba pagal Vietos teoremą, bet daugelis žmonių iš nervų daro klaidų daugindami ar kvadratuodami, ypač jei pavyzdys yra su dideliais skaičiais, ir, kaip žinia, laimėjote. 'neturėti skaičiuoklės egzaminui... Todėl spręsdami šią lygtį pabandykime šiek tiek atsipalaiduoti ir piešti.

Šios lygties sprendimus galima rasti grafiškai įvairiais būdais. Pažvelkime į skirtingas parinktis ir galėsite pasirinkti, kuri iš jų jums labiausiai patinka.

1 būdas. Tiesiogiai

Mes tiesiog sukuriame parabolę naudodami šią lygtį:

Norėdami tai padaryti greitai, duosiu jums nedidelę užuominą: Konstrukciją patogu pradėti nustatant parabolės viršūnę.Šios formulės padės nustatyti parabolės viršūnės koordinates:

Jūs pasakysite: „Stop! Formulė labai panaši į diskriminanto radimo formulę“, taip, taip, ir tai yra didžiulis trūkumas „tiesiogiai“ sukonstruojant parabolę, kad būtų galima rasti jos šaknis. Tačiau suskaičiuokime iki galo, o tada parodysiu, kaip tai padaryti daug (daug!) lengviau!

Ar skaičiavai? Kokias koordinates gavai parabolės viršūnei? Išsiaiškinkime tai kartu:

Lygiai toks pat atsakymas? Gerai padaryta! Ir dabar jau žinome viršūnės koordinates, bet norint sukonstruoti parabolę reikia daugiau... taškų. Kaip manote, kiek minimalių taškų mums reikia? Teisingai,.

Jūs žinote, kad parabolė yra simetriška savo viršūnei, pavyzdžiui:

Atitinkamai, mums reikia dar dviejų taškų kairėje arba dešinėje parabolės šakoje, o ateityje šiuos taškus simetriškai atspindėsime priešingoje pusėje:

Grįžkime prie savo parabolės. Mūsų atveju, taškas. Mums reikia dar dviejų taškų, kad galėtume paimti teigiamus, ar galime paimti neigiamus? Kurie taškai jums patogesni? Man patogiau dirbti su teigiamais, todėl skaičiuosiu ir.

Dabar turime tris taškus, galime lengvai sukurti savo parabolę, atspindėdami paskutinius du taškus, palyginti su jos viršūne:

Kaip manote, koks yra lygties sprendimas? Teisingai, taškai, kuriuose, tai yra, ir. Nes.

Ir jei taip sakome, tai reiškia, kad jis taip pat turi būti lygus, arba.

Tiesiog? Su jumis baigėme spręsti lygtį sudėtingu grafiniu būdu, kitaip bus daugiau!

Žinoma, galite patikrinti mūsų atsakymą algebriškai – šaknis galite apskaičiuoti naudodami Vietos teoremą arba Diskriminantą. ką gavai? Tas pats? Matai! Dabar pažvelkime į labai paprastą grafinį sprendimą, aš tikiu, kad jis jums tikrai patiks!

2 būdas. Padalinta į kelias funkcijas

Paimkime tą pačią lygtį: , bet parašysime šiek tiek kitaip, būtent:

Ar galime parašyti taip? Galime, nes transformacija lygiavertė. Pažiūrėkime toliau.

Sukurkime dvi funkcijas atskirai:

1. - Grafas yra paprasta parabolė, kurią galite lengvai sudaryti net neapibrėždami viršūnės naudodami formules ir nesudarydami lentelės, kad nustatytumėte kitus taškus.
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lygiai taip pat lengvai sudaryti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Pastatytas? Palyginkime su tuo, ką turiu:

Kaip manote, kokios yra lygties šaknys šiuo atveju? Teisingai! Koordinatės, gautos susikirtus dviem grafikams, ty:

Atitinkamai, šios lygties sprendimas yra toks:

ka tu sakai? Sutikite, šis sprendimo būdas yra daug lengvesnis nei ankstesnis ir netgi lengviau nei ieškoti šaknų per diskriminantą! Jei taip, pabandykite išspręsti šią lygtį naudodami šį metodą:

ką gavai? Palyginkime savo grafikus:

Grafikai rodo, kad atsakymai yra šie:

Ar susitvarkei? Gerai padaryta! Dabar pažvelkime į lygtis šiek tiek sudėtingiau, būtent, sprendžiame mišrias lygtis, tai yra lygtis, kuriose yra įvairių tipų funkcijų.

Mišrių lygčių grafinis sprendimas

Dabar pabandykime išspręsti šiuos klausimus:

Žinoma, galima viską suvesti į bendrą vardiklį, rasti gautos lygties šaknis, nepamirštant atsižvelgti į ODZ, bet vėlgi, kaip ir visais ankstesniais atvejais, bandysime tai išspręsti grafiškai.

Šį kartą sukurkime šiuos 2 grafikus:

1. - grafikas yra hiperbolė
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lengvai nubrėžti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Suprato? Dabar pradėkite statyti.

Štai ką aš gavau:

Žiūrėdami į šią nuotrauką, pasakykite man, kokios yra mūsų lygties šaknys?

Teisingai, ir. Štai patvirtinimas:

Pabandykite įjungti mūsų šaknis į lygtį. Ar pavyko?

Teisingai! Sutikite, tokias lygtis spręsti grafiškai – vienas malonumas!

Pabandykite grafiškai išspręsti lygtį patys:

Duosiu užuominą: dalį lygties perkelkite į dešinę, kad paprasčiausios funkcijos būtų iš abiejų pusių. Ar supratai užuominą? Imkitės veiksmų!

Dabar pažiūrėkime, ką gavote:

Atitinkamai:

1. - kubinė parabolė.
2. - įprasta tiesi linija.

Na, statykime:

Kaip jau seniai užsirašėte, šios lygties šaknis yra - .

Išnagrinėję tiek daug pavyzdžių, esu tikras, kad supratote, kaip lengva ir greita lygtis išspręsti grafiškai. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip tokiu būdu išspręsti sistemas.

Grafinis sistemų sprendimas

Grafinis sistemų sprendimas iš esmės nesiskiria nuo grafinio lygčių sprendimo. Taip pat sudarysime du grafikus, o jų susikirtimo taškai bus šios sistemos šaknys. Vienas grafikas yra viena lygtis, antrasis grafikas yra kita lygtis. Viskas nepaprastai paprasta!

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – tiesinių lygčių sistemų sprendimo.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas

Tarkime, kad turime tokią sistemą:

Pirma, transformuokime jį taip, kad kairėje būtų viskas, kas yra susiję, o dešinėje - viskas, su kuo susiję. Kitaip tariant, parašykime šias lygtis kaip funkciją mūsų įprasta forma:

Dabar mes tiesiog statome dvi tiesias linijas. Koks sprendimas mūsų atveju? Teisingai! Jų susikirtimo taškas! Ir čia reikia būti labai labai atsargiems! Pagalvok, kodėl? Duok užuominą: turime reikalą su sistema: sistemoje yra ir viena, ir kita, ir... Supratote?

Teisingai! Spręsdami sistemą turime žiūrėti į abi koordinates, o ne tik kaip spręsdami lygtis! Kitas svarbus dalykas – teisingai juos užrašyti ir nesupainioti, kur mes turime prasmę, o kur prasmė! Ar užsirašėte? Dabar palyginkime viską iš eilės:

Ir atsakymai: ir. Atlikite patikrinimą – pakeiskite rastas šaknis į sistemą ir įsitikinkite, ar teisingai išsprendėme grafiškai?

Netiesinių lygčių sistemų sprendimas

Ką daryti, jei vietoj vienos tiesės turime kvadratinę lygtį? Viskas gerai! Jūs tiesiog pastatykite parabolę, o ne tiesią liniją! Netikite manimi? Pabandykite išspręsti šią sistemą:

Koks mūsų kitas žingsnis? Teisingai, užsirašykite, kad mums būtų patogu kurti grafikus:

O dabar viskas priklauso nuo smulkmenų – greitai sukurkite ir štai jūsų sprendimas! Mes statome:

Ar grafikai pasirodė vienodi? Dabar paveikslėlyje pažymėkite sistemos sprendinius ir teisingai surašykite nustatytus atsakymus!

Viską padarei? Palyginkite su mano užrašais:

Ar viskas gerai? Gerai padaryta! Tokio tipo užduotis jau atliekate kaip riešutus! Jei taip, pateiksime jums sudėtingesnę sistemą:

Ką mes darome? Teisingai! Rašome sistemą taip, kad ją būtų patogu kurti:

Duosiu jums nedidelę užuominą, nes sistema atrodo labai sudėtinga! Kurdami grafikus statykite jų „daugiau“, o svarbiausia – nesistebėkite susikirtimo taškų skaičiumi.

Taigi, eime! Iškvėptas? Dabar pradėkite statyti!

Taigi kaip? Gražus? Kiek susikirtimo taškų gavote? Aš turiu tris! Palyginkime savo grafikus:

Taip pat? Dabar atidžiai užrašykite visus mūsų sistemos sprendimus:

Dabar dar kartą pažvelkite į sistemą:

Ar įsivaizduojate, kad tai išsprendėte vos per 15 minučių? Sutikite, matematika vis tiek paprasta, ypač žiūrėdamas į išraišką nebijai suklysti, o tiesiog imk ir išspręsk! Tu šaunuolis!

Grafinis nelygybių sprendimas

Grafinis tiesinių nelygybių sprendimas

Po paskutinio pavyzdžio galite padaryti bet ką! Dabar iškvėpkite – palyginti su ankstesniais skyriais, šis bus labai labai lengvas!

Pradėsime, kaip įprasta, nuo grafinio tiesinės nelygybės sprendimo. Pavyzdžiui, šis:

Pirmiausia atlikime paprasčiausias transformacijas – atidarykite tobulų kvadratų skliaustus ir pateikite panašius terminus:

Nelygybė nėra griežta, todėl ji neįtraukiama į intervalą, o sprendimas bus visi taškai, esantys dešinėje, nes daugiau, daugiau ir tt:

Atsakymas:

tai viskas! Lengvai? Išspręskime paprastą nelygybę su dviem kintamaisiais:

Nubraižykime funkciją koordinačių sistemoje.

Ar gavote tokį tvarkaraštį? Dabar atidžiai pažiūrėkime, kokią nelygybę turime? Mažiau? Tai reiškia, kad dažome viską, kas yra mūsų tiesios linijos kairėje. O jei būtų daugiau? Tai tiesa, tada nudažytume viską, kas yra į dešinę nuo mūsų tiesės. Tai paprasta.

Visi šios nelygybės sprendimai yra nuspalvinti oranžine spalva. Štai ir išspręsta nelygybė su dviem kintamaisiais. Tai reiškia, kad bet kurio taško koordinatės iš užtamsintos srities yra sprendiniai.

Kvadratinių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar mes suprasime, kaip grafiškai išspręsti kvadratines nelygybes.

Tačiau prieš pradėdami dirbti, peržvelkime medžiagą apie kvadratinę funkciją.

Už ką atsakingas diskriminantas? Tai tiesa, dėl grafiko padėties ašies atžvilgiu (jei to neprisimenate, būtinai perskaitykite teoriją apie kvadratines funkcijas).

Bet kokiu atveju, čia yra nedidelis priminimas:

Dabar, kai atnaujinome visą atmintyje esančią medžiagą, imkimės darbo – išspręskite nelygybę grafiškai.

Iš karto pasakysiu, kad yra dvi problemos sprendimo galimybės.

1 variantas

Savo parabolę rašome kaip funkciją:

Naudodami formules nustatome parabolės viršūnės koordinates (lygiai tokias pačias, kaip ir sprendžiant kvadratines lygtis):

Ar skaičiavai? ką gavai?

Dabar paimkime dar du skirtingus taškus ir apskaičiuokime jiems:

Pradėkime statyti vieną parabolės atšaką:

Mes simetriškai atspindime savo taškus kitoje parabolės šakoje:

Dabar grįžkime prie savo nelygybės.

Mums reikia, kad jis būtų atitinkamai mažesnis už nulį:

Kadangi mūsų nelygybėje ženklas yra griežtai mažesnis nei, mes neįtraukiame galutinių taškų - „pramušti“.

Atsakymas:

Ilgas kelias, tiesa? Dabar parodysiu jums paprastesnę grafinio sprendimo versiją, naudodamas tos pačios nelygybės pavyzdį:

2 variantas

Grįžtame prie savo nelygybės ir pažymime mums reikalingus intervalus:

Sutikite, tai daug greičiau.

Dabar parašykime atsakymą:

Apsvarstykime kitą sprendimą, kuris supaprastina algebrinę dalį, tačiau svarbiausia – nesusipainioti.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Pabandykite patys išspręsti šią kvadratinę nelygybę bet kokiu jums patinkančiu būdu: .

Ar susitvarkei?

Pažiūrėkite, kaip pasirodė mano grafikas:

Atsakymas: .

Mišrių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar pereikime prie sudėtingesnių nelygybių!

Kaip jums tai:

Tai baisu, ar ne? Sąžiningai, aš neįsivaizduoju, kaip tai išspręsti algebriškai... Bet tai nėra būtina. Grafiškai čia nėra nieko sudėtingo! Akys bijo, bet rankos daro!

Pirmas dalykas, nuo kurio pradėsime, yra sudaryti du grafikus:

Nerašysiu kiekvienos lentelės - esu tikras, kad galite tai puikiai padaryti patys (oho, yra tiek daug pavyzdžių, kuriuos reikia išspręsti!).

Ar nudažėte? Dabar sukurkite du grafikus.

Palyginkime savo piešinius?

Ar pas jus tas pats? Puiku! Dabar sutvarkykime susikirtimo taškus ir naudodami spalvą nustatykime, kuris grafikas teoriškai turėtų būti didesnis, tai yra. Pažiūrėkite, kas atsitiko pabaigoje:

Dabar pažiūrėkime, kur mūsų pasirinktas grafikas yra aukštesnis už grafiką? Nedvejodami imkite pieštuką ir pieškite šią sritį! Ji bus mūsų sudėtingos nelygybės sprendimas!

Kokiais intervalais išilgai ašies esame aukščiau? Teisingai,. Tai atsakymas!

Na, dabar galite tvarkyti bet kokią lygtį, bet kokią sistemą ir juo labiau bet kokią nelygybę!

TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Lygčių sprendimo naudojant funkcijų grafikus algoritmas:

1. Išreikškime tai per
2. Apibrėžkime funkcijos tipą
3. Sukurkime gautų funkcijų grafikus
4. Raskime grafikų susikirtimo taškus
5. Parašykime atsakymą teisingai (atsižvelgdami į ODZ ir nelygybės ženklus)
6. Patikrinkime atsakymą (pakeiskite šaknis į lygtį arba sistemą)

Daugiau informacijos apie funkcijų grafikų sudarymą rasite temoje "".

LIKUSIAI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite vieningam valstybiniam matematikos egzaminui arba vieningam valstybiniam egzaminui už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ paruošimo programos (sprendėjų knygos), neriboto bandomojo Vieningo valstybinio egzamino ir Vieningo valstybinio egzamino, 6000 problemų su sprendimų analizės ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

Grafinis funkcijų atvaizdavimas leidžia apytiksliai išspręskite nelygybes su vienu nežinomuoju ir nelygybių sistemas su vienu ir dviem nežinomaisiais. Grafiškai išspręsti nelygybę su vienu nežinomuoju, reikia visus jos narius perkelti į vieną dalį, t.y. veda prie:

f(x) > 0 ,

ir nubraižykite funkciją y = f(x). Po to, naudodamiesi sudarytu grafiku, galite rasti funkcijos nuliai, kuris padalins ašį X keliems intervalams. Dabar pagal tai nustatome intervalus x, kurio viduje funkcijos ženklas atitinka nelygybės ženklą. Pavyzdžiui, mūsų funkcijos nuliai: a Ir b(30 pav.). Tada iš grafiko akivaizdu, kad intervalai, kurių ribose f(x) > 0: x < a Ir x> b(jos paryškintos paryškintomis rodyklėmis). Aišku, kad > ženklas čia yra sąlyginis; vietoj jo gali būti bet koks kitas:< , .

Norint grafiškai išspręsti nelygybių su vienu nežinomuoju sistemą, reikia visus kiekvienoje iš jų esančius terminus perkelti į vieną dalį, t.y. atneškite nelygybes į formą:

ir nubraižykite funkcijas y = f(x), y = g(x) , ... , y = h(x). Kiekviena iš šių nelygybių išsprendžiama aukščiau aprašytu grafiniu metodu. Po to reikia rasti sprendinių sankirta visos nelygybės, t.y. jų bendra dalis.

PAVYZDYS Grafiškai išspręskite nelygybių sistemą:

Sprendimas Pirmiausia pavaizduokime funkcijas y = - 2 / 3 x+ 2 ir

y = x 2 -1 (31 pav.):

Pirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas x> 3, pažymėtas 31 pav. juoda rodykle; antrosios nelygybės sprendimas susideda iš dviejų intervalų: x < -1 и x> 1, pažymėtas 31 pav. pilkomis rodyklėmis.

Grafikas rodo, kad šių dviejų sprendinių sankirta yra intervalas x> 3. Tai duotosios nelygybių sistemos sprendimas.

Norėdami grafiškai išspręsti dviejų nelygybių su dviem nežinomaisiais sistemą, turite:

1) kiekviename iš jų visus terminus perkelti į vieną dalį, t.y. atnešti

formos nelygybės:

2) sudaryti netiesiogiai nurodytų funkcijų grafikus: f(x, y) = 0 ir g(x, y) = 0;

3) kiekvienas iš šių grafikų padalina koordinačių plokštumą į dvi dalis:

vienoje iš jų nelygybė teisinga, kitur - ne;nuspręsti

grafiškai kiekvieną iš šių nelygybių pakanka patikrinti

nelygybės galiojimas viename savavališkame taške bet kurios viduje

lėktuvo dalys; jei nelygybė atsiranda šioje vietoje, tada

ši koordinačių plokštumos dalis yra jos sprendimas, jei ne, tai

sprendimas yra priešinga plokštumos dalis;

4) duotosios nelygybių sistemos sprendimas yra sankirta

(bendrojo ploto) koordinačių plokštumos dalys.

PAVYZDYS Išspręskite nelygybių sistemą:

Sprendimas Pirmiausia sudarome tiesinių funkcijų grafikus: 5 x - 7y= -11 ir

2x + 3y= 10 (32 pav.). Kiekvienam iš jų randame pusę plokštumos,

Kurioje atitinkama duotoji nelygybė

Sąžininga. Žinome, kad pakanka patikrinti teisingumą

Nelygybės viename savavališkame regiono taške; šiame

Lengviausias būdas tai padaryti yra naudoti koordinačių kilmę O (0, 0).

Vietoj to, pakeisdami jo koordinates į mūsų nelygybes x Ir y,

Gauname: 5 0 - 7 0 = 0 > -11, taigi, tuo žemesnė

Pusplokštuma (geltona) yra pirmosios sprendimas

Nelygybės; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

Jo sprendimas taip pat turi apatinę pusiau plokštumą (mėlyna

Spalvos). Šių pusiau plokštumų sankirta (turkio spalvos sritis)

Ar mūsų nelygybių sistemos sprendimas.

FEDERALINĖ ŠVIETIMO AGENTŪRA

UGDYMO PLĖTROS INSTITUTAS

„Grafiniai lygčių ir nelygybių su parametrais sprendimo metodai“

Baigta

matematikos mokytojas

savivaldybės švietimo įstaiga 62 vidurinė mokykla

Lipeckas 2008 m

ĮVADAS................................................ ...................................................... .............. .3

X;adresu) 4

1.1. Lygiagretus perdavimas................................................ ........................... 5

1.2. Pasukite.................................................. .................................................. ...... 9

1.3. Homotetiškumas. Suspaudimas iki tiesios linijos................................................ ...................... 13

1.4. Dvi tiesės plokštumoje................................................ ...................................... 15

2. GRAFINĖS TECHNIKOS. KOORDINAČIŲ PLOKŠTUMA ( X;A) 17

IŠVADA.................................................. ............................................ 20

BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS................................................ ...................... 22

ĮVADAS

Problemas, su kuriomis susiduria moksleiviai spręsdami nestandartines lygtis ir nelygybes, lemia tiek santykinis šių problemų sudėtingumas, tiek tai, kad mokykloje daugiausia dėmesio skiriama standartinių uždavinių sprendimui.

Daugelis moksleivių šį parametrą suvokia kaip „įprastą“ skaičių. Iš tiesų, kai kuriose problemose parametras gali būti laikomas pastovia reikšme, tačiau ši pastovi reikšmė įgauna nežinomas reikšmes! Todėl būtina apsvarstyti visų galimų šios konstantos verčių problemą. Kitose problemose gali būti patogu dirbtinai deklaruoti vieną iš nežinomųjų kaip parametrą.

Kiti moksleiviai parametrą traktuoja kaip nežinomą dydį ir, nesigėdydami, savo atsakyme gali išreikšti parametrą kintamuoju. X.

Per baigiamuosius ir stojamuosius egzaminus dažniausiai kyla dviejų tipų problemų, susijusių su parametrais. Iš karto galite juos atskirti pagal jų formuluotę. Pirma: „Kiekvienai parametro vertei raskite visus tam tikros lygties ar nelygybės sprendimus“. Antra: „Raskite visas parametro reikšmes, kurių kiekviena atitinka tam tikras sąlygas tam tikrai lygčiai arba nelygybei“. Atitinkamai, šių dviejų tipų problemų atsakymai skiriasi iš esmės. Atsakyme į pirmojo tipo problemą pateikiamos visos galimos parametro reikšmės ir kiekvienai iš šių verčių parašyti lygties sprendiniai. Atsakymas į antrojo tipo problemą nurodo visas parametrų reikšmes, kurioms esant tenkinamos užduotyje nurodytos sąlygos.

Lygties su parametru sprendinys duotai fiksuotai parametro reikšmei yra tokia nežinomojo reikšmė, kurią pakeičiant į lygtį, pastaroji virsta teisinga skaitine lygybe. Panašiai nustatomas ir nelygybės su parametru sprendimas. Lygties (nelygybės) sprendimas su parametru reiškia, kiekvienai leistinai parametro reikšmei rasti visų duotosios lygties (nelygybės) sprendinių aibę.

1. GRAFINIAI TECHNIKA. KOORDINAČIŲ PLOKŠTUMA ( X;adresu)

Be pagrindinių analizės metodų ir problemų, susijusių su parametrais, sprendimo metodai, yra būdų, kaip naudoti vaizdines ir grafines interpretacijas.

Priklausomai nuo to, kokiam vaidmeniui parametras priskiriamas uždavinyje (nelygus ar lygus kintamajam), atitinkamai galima išskirti dvi pagrindines grafines technikas: pirmoji yra grafinio vaizdo konstravimas koordinačių plokštumoje. (X;y), antrasis – įjungtas (X; A).

Plokštumoje (x; y) funkcija y =f (X; A) apibrėžia kreivių šeimą, priklausomai nuo parametro A. Aišku, kad kiekviena šeima f turi tam tikrų savybių. Pirmiausia domėsimės, kokia plokštumos transformacija (lygiagretusis vertimas, sukimas ir kt.) gali būti pereita iš vienos šeimos kreivės į kitą. Kiekvienai iš šių transformacijų bus skirta atskira pastraipa. Mums atrodo, kad tokia klasifikacija leidžia sprendėjui lengviau rasti reikiamą grafinį vaizdą. Atkreipkite dėmesį, kad taikant šį požiūrį ideologinė sprendimo dalis nepriklauso nuo to, kuri figūra (tiesi linija, apskritimas, parabolė ir kt.) bus kreivių šeimos narys.

Žinoma, grafinis šeimos vaizdas ne visada y =f (X;A) aprašyta paprasta transformacija. Todėl tokiose situacijose pravartu orientuotis ne į tai, kaip yra susiję tos pačios šeimos kreivės, o į pačias kreives. Kitaip tariant, galime išskirti kitą problemos tipą, kai sprendimo idėja pirmiausia grindžiama konkrečių geometrinių formų savybėmis, o ne visa šeima. Kokios figūros (tiksliau šių figūrų šeimos) mus sudomins pirmiausia? Tai tiesios linijos ir parabolės. Tokį pasirinkimą lemia ypatinga (pagrindinė) tiesinių ir kvadratinių funkcijų padėtis mokyklinėje matematikoje.

Kalbant apie grafinius metodus, neįmanoma išvengti vienos problemos, „gimusios“ iš konkursinių egzaminų praktikos. Turime omenyje grafiškais sumetimais pagrįsto sprendimo griežtumo, taigi ir teisėtumo, klausimą. Be jokios abejonės, formaliai žiūrint, iš „paveikslo“ paimtas rezultatas, neparemtas analitiškai, nebuvo gautas griežtai. Tačiau kas, kada ir kur nustato griežtumo lygį, kurio turėtų laikytis gimnazistas? Mūsų nuomone, reikalavimus matematinio griežtumo lygiui mokiniui turėtų nustatyti sveikas protas. Suprantame tokio požiūrio subjektyvumo laipsnį. Be to, grafinis metodas yra tik viena iš aiškumo priemonių. Ir matomumas gali būti apgaulingas..gif" width="232" height="28"> turi tik vieną sprendimą.

Sprendimas. Patogumui žymime lg b = a. Parašykime lygtį, lygiavertę pradinei: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Funkcijos grafiko sudarymas su apibrėžimo sritimi ir (1 pav.). Gautas grafikas yra tiesių linijų šeima y = a turi susikirsti tik viename taške. Paveikslėlyje parodyta, kad šis reikalavimas įvykdomas tik tada, kai a > 2, t.y. lg b> 2, b> 100.

Atsakymas. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> nustatykite lygties sprendinių skaičių .

Sprendimas. Nubraižykime funkciją 102" height="37" style="vertical-align:top">

Pasvarstykime. Tai tiesi linija, lygiagreti OX ašiai.

Atsakymas..gif" width="41" height="20">, tada 3 sprendimai;

jei , tai 2 sprendimai;

jei , 4 sprendimai.

Pereikime prie naujos užduočių serijos..gif" width="107" height="27 src=">.

Sprendimas. Sukurkime tiesią liniją adresu= X+1 (3 pav.)..gif" width="92" height="57">

turi vieną sprendinį, atitinkantį lygtį ( X+1)2 = x + A turi vieną šaknį..gif" width="44 height=47" height="47"> pradinė nelygybė neturi sprendinių. Atkreipkite dėmesį, kad kas nors, kas yra susipažinęs su išvestine, gali gauti šį rezultatą kitaip.

Toliau, perkeldami „pusiau parabolę“ į kairę, fiksuosime paskutinį momentą, kai grafikai adresu = X+ 1 ir turi du bendrus taškus (III pozicija). Toks išdėstymas užtikrinamas reikalavimu A= 1.

Akivaizdu, kad segmentui [ X 1; X 2], kur X 1 ir X 2 – grafikų susikirtimo taškų abscisės, bus pradinės nelygybės sprendimas..gif" width="68 height=47" height="47">, tada

Kai "pusiau parabolė" ir tiesė susikerta tik viename taške (tai atitinka atvejį a > 1), tada sprendimas bus segmentas [- A; X 2"], kur X 2" – didžiausia iš šaknų X 1 ir X 2 (IV pozicija).

4 pavyzdys..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Iš čia gauname .

Pažvelkime į funkcijas ir . Tarp jų tik vienas apibrėžia kreivių šeimą. Dabar matome, kad pakeitimas atnešė neabejotinos naudos. Lygiagrečiai pažymime, kad ankstesnėje užduotyje, naudodami panašų pakeitimą, galite atlikti ne „pusiau parabolės“ judesį, o tiesią liniją. Pereikime prie pav. 4. Akivaizdu, kad jei „pusiau parabolės“ viršūnės abscisė yra didesnė už vieną, t.y. –3 A > 1, , tada lygtis neturi šaknų..gif" width="89" height="29"> ir turi skirtingą monotoniškumo pobūdį.

Atsakymas. Jei tada lygtis turi vieną šaknį; jei https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

turi sprendimus.

Sprendimas. Akivaizdu, kad tiesioginės šeimos https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 “ >

Reikšmė k1 rasime pakeitę porą (0;0) į pirmąją sistemos lygtį. Iš čia k1 =-1/4. Reikšmė k 2 gauname reikalaudami iš sistemos

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> kada k> 0 turi vieną šaknį. Iš čia k2= 1/4.

Atsakymas. .

Padarykime vieną pastabą. Kai kuriuose šio taško pavyzdžiuose turėsime išspręsti standartinę problemą: tiesių šeimai rasti jos nuolydį, atitinkantį kreivės liesties momentą. Mes parodysime, kaip tai padaryti bendra forma, naudojant išvestinę.

Jeigu (x0; y 0) = sukimosi centras, tada koordinatės (X 1; adresu 1) kreivės liesties taškai y =f(x) galima rasti išsprendus sistemą

Reikalingas nuolydis k lygus .

6 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms lygtis turi unikalų sprendimą?

Sprendimas..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, AB lankas.

Visi spinduliai, einantys tarp OA ir OB, viename taške kerta lanką AB, taip pat lanką AB OB ir OM (liestinė) viename taške..gif" width="16" height="48 src=">. Kampinis tangento koeficientas yra lygus

Taigi, nukreipkite šeimas https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Atsakymas. .

7 pavyzdys..gif" width="160" height="25 src="> turi sprendimą?

Sprendimas..gif" width="61" height="24 src="> ir mažėja . Taškas yra didžiausias taškas.

Funkcija yra tiesių linijų, einančių per tašką, šeima https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> yra lankas AB. Tiesi linijos, kurios bus tarp tiesių OA ir OB, tenkina problemos sąlygas..gif" width="17" height="47 src=">.

Atsakymas..gif" width="15" height="20">nėra sprendimų.

1.3. Homotetiškumas. Suspaudimas iki tiesios linijos.

8 pavyzdys. Kiek sprendimų turi sistema?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> sistema neturi sprendimų. Fiksuotai a > 0 pirmosios lygties grafikas yra kvadratas su viršūnėmis ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Taigi šeimos nariai yra homotetiniai kvadratai (homotiškumo centras yra taškas O(0; 0)).

Pažiūrėkime į pav. 8..gif" width="80" height="25"> kiekviena kvadrato pusė turi du bendrus taškus su apskritimu, o tai reiškia, kad sistema turės aštuonis sprendinius. Kai paaiškėja, kad apskritimas yra įrašytas į kvadratą, y., vėl bus keturi sprendimai. Akivaizdu, kad sistema neturi sprendimų.

Atsakymas. Jeigu A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, tada yra keturi sprendimai; jei , tada yra aštuoni sprendimai.

9 pavyzdys. Raskite visas parametro reikšmes, kurių kiekvienos lygtis yra https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Apsvarstykite funkciją ..jpg" width="195" height="162">

Šaknų skaičius atitiks skaičių 8, kai puslankio spindulys yra didesnis ir mažesnis nei , tai yra. Atkreipkite dėmesį, kad yra.

Atsakymas. arba .

1.4. Dvi tiesios linijos plokštumoje

Iš esmės šios pastraipos problemų sprendimo idėja grindžiama dviejų tiesių linijų santykinės padėties tyrimo klausimu: Ir . Šios problemos sprendimą lengva parodyti bendra forma. Kreipsimės tiesiai į konkrečius tipinius pavyzdžius, kurie, mūsų nuomone, nepakenks bendrajai klausimo pusei.

10 pavyzdys. Kam a ir b veikia sistema

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Sistemos nelygybė apibrėžia pusplokštumą su riba adresu= 2x– 1 (10 pav.). Nesunku suprasti, kad gauta sistema turi sprendimą, jei tiesi linija aha +pagal = 5 kerta pusplokštumos ribą arba, būdama jai lygiagreti, guli pusplokštumoje adresu– 2x + 1 < 0.

Pradėkime nuo bylos b = 0. Tada atrodytų, kad lygtis Oi+ pagal = 5 apibrėžia vertikalią liniją, kuri akivaizdžiai kerta liniją y = 2X - 1. Tačiau šis teiginys yra teisingas tik tada, kai ..gif" width="43" height="20 src="> sistema turi sprendimus ..gif" width="99" height="48">. Šiuo atveju linijų susikirtimo sąlyga pasiekiama ties , t. y. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> ir , arba ir , arba ir https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− Koordinačių plokštumoje xOa pastatome funkcijos grafiką.

− Atsižvelkite į tiesias linijas ir pasirinkite tuos Oa ašies intervalus, kuriuose šios tiesės tenkina šias sąlygas: a) nesikerta su funkcijos grafiko https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> viename taške, c) dviejuose taškuose, d) trijuose taškuose ir pan.

− Jei užduotis yra rasti x reikšmes, tai x išreiškiame a reikšme kiekvienam iš rastų a reikšmės intervalų atskirai.

Parametras, kaip lygus kintamasis, rodomas grafiniuose metoduose..jpg" width="242" height="182">

Atsakymas. a = 0 arba a = 1.

IŠVADA

Tikimės, kad išnagrinėtos problemos įtikinamai parodys siūlomų metodų efektyvumą. Tačiau, deja, šių metodų taikymo sritį riboja sunkumai, su kuriais galima susidurti kuriant grafinį vaizdą. Ar tikrai taip blogai? Matyt, ne. Iš tiesų, taikant šį metodą, pagrindinė didaktinė problemų, susijusių su parametrais, kaip miniatiūrinio tyrimo modelio, reikšmė prarandama. Tačiau minėti samprotavimai skirti mokytojams, o pretendentams formulė visai priimtina: tikslas pateisina priemones. Be to, pasiimkime laisvę pasakyti, kad daugelyje universitetų konkurencinių problemų su parametrais sudarytojai eina keliu nuo paveikslo iki sąlygos.

Šiuose uždaviniuose aptarėme uždavinių sprendimo galimybes su parametru, kuris mums atsiveria, kai ant popieriaus lapo braižome funkcijų, įtrauktų į kairę ir dešinę lygčių ar nelygybių puses, grafikus. Dėl to, kad parametras gali turėti savavališkas reikšmes, vienas arba abu rodomi grafikai tam tikru būdu juda plokštumoje. Galima sakyti, kad gaunama visa grafikų šeima, atitinkanti skirtingas parametro reikšmes.

Pabrėžkime dvi detales.

Pirma, mes nekalbame apie „grafinį“ sprendimą. Visos reikšmės, koordinatės, šaknys apskaičiuojamos griežtai, analitiškai, kaip atitinkamų lygčių ir sistemų sprendiniai. Tas pats pasakytina apie grafikų palietimo ar kirtimo atvejus. Jie nustatomi ne akimis, o diskriminantų, išvestinių ir kitų jums prieinamų įrankių pagalba. Nuotrauka tik pateikia sprendimą.

Antra, net ir neradus būdo, kaip išspręsti su pavaizduotais grafikais susijusią problemą, jūsų problemos supratimas gerokai išsiplės, gausite informacijos savęs patikrinimui ir sėkmės tikimybė gerokai padidės. Tiksliai suprasdami, kas atsitinka skirtingoms parametrų reikšmėms, galite rasti tinkamą sprendimo algoritmą.

Todėl šiuos žodžius užbaigsime skubiu pasiūlymu: jei net ir pačioje tolimiausioje sudėtingiausioje užduotyje yra funkcijų, kurioms mokate braižyti grafikus, būtinai tai padarykite, nepasigailėsite.

BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS

1. Čerkasovas,: Vadovas aukštųjų mokyklų studentams ir stojantiesiems į universitetus [Tekstas] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. Gorshtein, su parametrais [Tekstas]: 3 leidimas, išplėstas ir pataisytas / , . – M.: Ilexa, Charkovas: Gimnazija, 1999. – 336 p.

Vienas iš patogiausių kvadratinių nelygybių sprendimo būdų yra grafinis metodas. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip grafiškai išsprendžiamos kvadratinės nelygybės. Pirmiausia aptarkime, kokia yra šio metodo esmė. Toliau pateiksime algoritmą ir panagrinėsime kvadratinių nelygybių sprendimo pavyzdžius grafiškai.

Puslapio naršymas.

Grafinio metodo esmė

Iš viso grafinis nelygybių sprendimo būdas su vienu kintamuoju naudojamas ne tik kvadratinėms nelygybėms spręsti, bet ir kitoms nelygybėms. Grafinio nelygybių sprendimo metodo esmė toliau: apsvarstykite funkcijas y=f(x) ir y=g(x), kurios atitinka kairę ir dešinę nelygybės puses, sudarykite jų grafikus vienoje stačiakampėje koordinačių sistemoje ir sužinokite, kokiais intervalais grafikas jie yra žemesni arba aukštesni už kitus. Tie intervalai, kur

• funkcijos f grafikas virš funkcijos g grafiko yra nelygybės f(x)>g(x) sprendiniai;
• funkcijos f grafikas ne žemesnis už funkcijos g grafiką yra nelygybės f(x)≥g(x) sprendiniai;
• f grafikas žemiau g grafiko yra nelygybės f(x) sprendiniai
• funkcijos f grafikas ne aukštesnis už funkcijos g grafiką yra nelygybės f(x)≤g(x) sprendiniai.

Taip pat sakysime, kad funkcijų f ir g grafikų susikirtimo taškų abscisės yra lygties f(x)=g(x) sprendiniai.

Perkelkime šiuos rezultatus į mūsų atvejį – kad išspręstume kvadratinę nelygybę a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Pristatome dvi funkcijas: pirmoji y=a x 2 +b x+c (su f(x)=a x 2 +b x+c), atitinkanti kairę kvadratinės nelygybės pusę, antroji y=0 (su g ( x)=0 ) atitinka dešinę nelygybės pusę. Tvarkaraštis kvadratinė funkcija f yra parabolė ir grafikas pastovi funkcija g – tiesė, sutampanti su abscisių ašimi Ox.

Toliau, pagal grafinį nelygybių sprendimo būdą, reikia išanalizuoti, kokiais intervalais vienos funkcijos grafikas yra aukščiau ar žemiau kitos, kas leis užrašyti norimą kvadratinės nelygybės sprendinį. Mūsų atveju turime išanalizuoti parabolės padėtį Ox ašies atžvilgiu.

Priklausomai nuo koeficientų a, b ir c reikšmių, galimi šie šeši variantai (mūsų poreikiams pakanka scheminio pavaizdavimo ir mums nereikia vaizduoti Oy ašies, nes jos padėtis neturi įtakos nelygybės sprendimai):

Šiame brėžinyje matome parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ir kuri kerta Ox ašį dviejuose taškuose, kurių abscisės yra x 1 ir x 2. Šis brėžinys atitinka variantą, kai koeficientas a yra teigiamas (jis yra atsakingas už parabolės šakų kryptį aukštyn), o kai reikšmė yra teigiama kvadratinio trinalio diskriminantas a x 2 +b x+c (šiuo atveju trinaris turi dvi šaknis, kurias pažymėjome kaip x 1 ir x 2, ir padarėme prielaidą, kad x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Aiškumo dėlei raudonai pavaizduokime parabolės dalis, esančias virš x ašies, o mėlynai – tas, kurios yra žemiau x ašies.


Dabar išsiaiškinkime, kurie intervalai atitinka šias dalis. Šis piešinys padės jums juos atpažinti (ateityje mes mintyse darysime panašius pasirinkimus stačiakampių pavidalu):


Taigi abscisių ašyje du intervalai (−∞, x 1) ir (x 2 , +∞) buvo paryškinti raudonai, ant jų parabolė yra virš Ox ašies, jie sudaro kvadratinės nelygybės a x 2 +b x sprendimą. +c>0 , o intervalas (x 1 , x 2) paryškintas mėlyna spalva, po Ox ašimi yra parabolė, kuri reiškia nelygybės a x 2 + b x + c sprendimą<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

O dabar trumpai: a>0 ir D=b 2 −4 a c>0 (arba D"=D/4>0 lyginiam koeficientui b)

• kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c>0 sprendinys yra (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) arba kitu žymėjimu x x2;
• kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c≥0 sprendinys yra (−∞, x 1 ]∪ arba kitu žymėjimu x 1 ≤x≤x 2 ,

kur x 1 ir x 2 yra kvadratinio trinalio a x 2 +b x+c ir x 1 šaknys


Čia matome parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ir kuri liečia abscisių ašį, tai yra, ji turi vieną bendrą tašką, šio taško abscisę pažymime kaip x 0. Pateiktas atvejis atitinka a>0 (šakos nukreiptos į viršų) ir D=0 (kvadratinis trinaris turi vieną šaknį x 0). Pavyzdžiui, galite paimti kvadratinę funkciją y=x 2 −4·x+4, čia a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ir x 0 =2.

Brėžinyje aiškiai matyti, kad parabolė yra virš Ox ašies visur, išskyrus sąlyčio tašką, tai yra intervaluose (−∞, x 0), (x 0, ∞). Aiškumo dėlei paryškinkime sritis brėžinyje pagal analogiją su ankstesne pastraipa.


Darome išvadas: kai a>0 ir D=0

• kvadratinės nelygybės a·x 2 +b·x+c>0 sprendinys yra (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) arba kitu žymėjimu x≠x 0;
• kvadratinės nelygybės a·x 2 +b·x+c≥0 sprendinys yra (−∞, +∞) arba kitu žymėjimu x∈R ;
• kvadratinė nelygybė a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratinė nelygybė a x 2 +b x+c≤0 turi unikalų sprendinį x=x 0 (jis pateikiamas pagal liesties tašką),

čia x 0 yra kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c šaknis.


Šiuo atveju parabolės šakos yra nukreiptos į viršų ir ji neturi bendrų taškų su abscisių ašimi. Čia turime sąlygas a> 0 (šakos nukreiptos aukštyn) ir D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Akivaizdu, kad parabolė yra virš Ox ašies per visą savo ilgį (nėra intervalų, kuriais ji būtų žemiau Ox ašies, nėra liesties taško).


Taigi, jei a> 0 ir D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ir a x 2 +b x+c≥0 yra visų realiųjų skaičių ir nelygybių a x 2 +b x+c aibė<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Ir lieka trys parabolės vietos variantai, kai šakos nukreiptos žemyn, o ne aukštyn, atsižvelgiant į Jaučio ašį. Iš esmės į juos nereikia atsižvelgti, nes padauginus abi nelygybės puses iš −1, galime pereiti prie lygiavertės nelygybės su teigiamu koeficientu x 2. Bet vis tiek nepakenks susidaryti supratimą apie šiuos atvejus. Argumentai čia panašūs, todėl surašysime tik pagrindinius rezultatus.

Sprendimo algoritmas

Visų ankstesnių skaičiavimų rezultatas yra kvadratinių nelygybių grafinio sprendimo algoritmas:

Koordinačių plokštumoje daromas schematinis brėžinys, kuriame pavaizduota Ox ašis (Oy ašies vaizduoti nebūtina) ir kvadratinę funkciją y=a·x 2 +b·x+c atitinkančios parabolės eskizas. Norint nupiešti parabolės eskizą, pakanka paaiškinti du dalykus:

• Pirma, pagal koeficiento a reikšmę nustatoma, kur nukreiptos jo šakos (a>0 - aukštyn, a<0 – вниз).
• Antra, remiantis kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c diskriminanto verte, nustatoma, ar parabolė kerta abscisių ašį dviejuose taškuose (jei D>0), ar liečia ją viename taške (jei D= 0) arba neturi bendrų taškų su Jaučio ašimi (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Kai piešinys bus paruoštas, naudokite jį antrame algoritmo žingsnyje

  • sprendžiant kvadratinę nelygybę a·x 2 +b·x+c>0, nustatomi intervalai, kuriuose parabolė yra virš abscisės;
  • sprendžiant nelygybę a·x 2 +b·x+c≥0, nustatomi intervalai, kuriais parabolė yra virš abscisių ašies, ir susikirtimo taškų abscisės (arba liestinės taško abscisės) pridedamos prie juos;
  • sprendžiant nelygybę a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • galiausiai, sprendžiant kvadratinę nelygybę formos a·x 2 +b·x+c≤0, randami intervalai, kuriuose parabolė yra žemiau Ox ašies ir susikirtimo taškų abscisės (arba liestinės taško abscisės). ) pridedamas prie jų;

  jie sudaro norimą kvadratinės nelygybės sprendimą, o jei tokių intervalų ir liesties taškų nėra, tada pradinė kvadratinė nelygybė sprendinių neturi.

Belieka išspręsti kelias kvadratines nelygybes naudojant šį algoritmą.

Pavyzdžiai su sprendimais

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

Turime išspręsti kvadratinę nelygybę, panaudokime ankstesnės pastraipos algoritmą. Pirmame žingsnyje turime nubraižyti kvadratinės funkcijos grafiką . Koeficientas x 2 lygus 2, jis yra teigiamas, todėl parabolės šakos nukreiptos aukštyn. Taip pat išsiaiškinkime, ar parabolė turi bendrų taškų su x ašimi, kad tai padarytume, apskaičiuosime kvadratinio trinalio diskriminantą . Turime . Diskriminantas pasirodė didesnis už nulį, todėl trinaris turi dvi realias šaknis: Ir , tai yra, x 1 =−3 ir x 2 =1/3.

Iš to aišku, kad parabolė kerta Ox ašį dviejuose taškuose su abscisėmis −3 ir 1/3. Šiuos taškus brėžinyje pavaizduosime kaip paprastus taškus, nes sprendžiame negriežtą nelygybę. Remdamiesi patikslintais duomenimis, gauname tokį brėžinį (jis atitinka pirmąjį šabloną iš pirmos straipsnio pastraipos):

Pereikime prie antrojo algoritmo žingsnio. Kadangi sprendžiame negriežtą kvadratinę nelygybę su ženklu ≤, turime nustatyti intervalus, kuriais parabolė yra žemiau abscisės ir prie jų pridėti susikirtimo taškų abscises.

Iš brėžinio aišku, kad parabolė yra žemiau abscisių ašies intervale (-3, 1/3) ir prie jo pridedame susikirtimo taškų abscises, tai yra skaičius -3 ir 1/3. Dėl to gauname skaitinį intervalą [−3, 1/3] . Tai yra sprendimas, kurio mes ieškome. Ją galima parašyti kaip dvigubą nelygybę −3≤x≤1/3.

Atsakymas:

[−3, 1/3] arba −3≤x≤1/3 .

Pavyzdys.

Raskite kvadratinės nelygybės −x 2 +16 x −63 sprendinį<0 .

Sprendimas.

Kaip įprasta, mes pradedame nuo piešinio. Skaitinis kintamojo kvadrato koeficientas yra neigiamas –1, todėl parabolės šakos nukreiptos žemyn. Apskaičiuokime diskriminantą, o dar geriau – ketvirtąją jo dalį: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Jo reikšmė teigiama, apskaičiuokime kvadratinio trinalio šaknis: Ir , x 1 =7 ir x 2 =9. Taigi parabolė kerta Jaučio ašį dviejuose taškuose su abscisėmis 7 ir 9 (pradinė nelygybė yra griežta, todėl šiuos taškus pavaizduosime tuščiu centru. Dabar galime padaryti scheminį brėžinį:

Kadangi mes sprendžiame griežtą kvadratinę nelygybę su ženklu<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Brėžinyje parodyta, kad pradinės kvadratinės nelygybės sprendiniai yra du intervalai (−∞, 7) , (9, +∞) .

Atsakymas:

(−∞, 7)∪(9, +∞) arba kitu žymėjimu x<7 , x>9 .

Sprendžiant kvadratines nelygybes, kai kvadratinio trinalio diskriminantas kairėje pusėje yra lygus nuliui, turite būti atsargūs, įtraukdami arba neįtraukdami į atsakymą liestinės taško abscises. Tai priklauso nuo nelygybės ženklo: jei nelygybė yra griežta, tai nėra nelygybės sprendimas, o jei ji nėra griežta, tai yra.

Pavyzdys.

Ar kvadratinė nelygybė 10 x 2 −14 x+4,9≤0 turi bent vieną sprendinį?

Sprendimas.

Nubraižykime funkciją y=10 x 2 −14 x+4,9. Jo šakos nukreiptos į viršų, nes koeficientas x 2 yra teigiamas, o abscisių ašį jis liečia taške, kurio abscisė yra 0,7, nes D"=(−7) 2 −10 4,9=0, iš kur arba 0,7 formoje iš dešimtainės trupmenos schematiškai atrodo taip:

Kadangi sprendžiame kvadratinę nelygybę su ženklu ≤, jos sprendimas bus intervalai, kuriuose parabolė yra žemiau Ox ašies, taip pat liestinės taško abscisė. Iš brėžinio aišku, kad nėra nė vieno tarpelio, kur parabolė būtų žemiau Ox ašies, todėl jos sprendimas bus tik liestinės taško abscisė, tai yra 0,7.

Atsakymas:

ši nelygybė turi unikalų sprendimą 0.7.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę nelygybę –x 2 +8 x−16<0 .

Sprendimas.

Vadovaujamės kvadratinių nelygybių sprendimo algoritmu ir pradedame nuo grafiko sudarymo. Parabolės šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, −1. Raskime kvadratinio trinalio –x 2 +8 x−16 diskriminantą, turime D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 ir toliau x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Taigi, parabolė paliečia Jaučio ašį 4 abscisių taške. Padarykime piešinį:

Žiūrime į pradinės nelygybės ženklą, jis yra<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Mūsų atveju tai atviri spinduliai (−∞, 4) , (4, +∞) . Atskirai pažymime, kad 4 - sąlyčio taško abscisė - nėra sprendimas, nes sąlyčio taške parabolė nėra žemesnė už Ox ašį.

Atsakymas:

(−∞, 4)∪(4, +∞) arba kitu žymėjimu x≠4 .

Ypatingą dėmesį atkreipkite į atvejus, kai kvadratinio trinalio diskriminantas kairėje kvadratinės nelygybės pusėje yra mažesnis už nulį. Nereikia čia skubėti ir sakyti, kad nelygybė neturi sprendinių (tokią išvadą esame įpratę daryti kvadratinėms lygtims su neigiamu diskriminantu). Esmė ta, kad kvadratinė nelygybė D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Pavyzdys.

Raskite kvadratinės nelygybės 3 x 2 +1>0 sprendinį.

Sprendimas.

Kaip įprasta, mes pradedame nuo piešinio. Koeficientas a yra 3, jis yra teigiamas, todėl parabolės šakos nukreiptos aukštyn. Apskaičiuojame diskriminantą: D=0 2 −4·3·1=−12 . Kadangi diskriminantas yra neigiamas, parabolė neturi bendrų taškų su Ox ašimi. Gautos informacijos pakanka scheminiam grafikui:

Griežtą kvadratinę nelygybę išsprendžiame su > ženklu. Jo sprendimas bus visi intervalai, kuriuose parabolė yra virš Ox ašies. Mūsų atveju parabolė yra virš x ašies per visą ilgį, todėl norimas sprendimas bus visų realiųjų skaičių aibė.

Jautis , taip pat prie jų reikia pridėti susikirtimo taškų abscises arba liestinės abscises. Bet iš brėžinio aiškiai matyti, kad tokių intervalų nėra (kadangi parabolė yra visur žemiau abscisių ašies), lygiai taip pat nėra susikirtimo taškų, kaip nėra ir lietimo taškų. Todėl pradinė kvadratinė nelygybė sprendinių neturi.

Atsakymas:

sprendinių nėra arba kitame įraše ∅.

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

L.A. Kustova

matematikos mokytojas

Voronežas, MBOU licėjus Nr. 5

Projektas

„Grafinio metodo pranašumai sprendžiant lygtis ir nelygybes“.

Klasė:

7-11

Prekė:

Matematika

Tyrimo tikslas:

Sužinokgrafinio lygčių ir nelygybių sprendimo metodo privalumai.

Hipotezė:

Kai kurias lygtis ir nelygybes lengviau ir estetiškiau išspręsti grafiškai.

Tyrimo etapai:

Palyginkite analitinius ir grafinius sprendimo būduslygtys ir nelygybės.

Sužinokite, kokiais atvejais grafinis metodas turi pranašumų.

Apsvarstykite galimybę išspręsti lygtis su moduliu ir parametru.

Tyrimo rezultatai:

1.Matematikos grožis yra filosofinė problema.

2.Sprendant kai kurias lygtis ir nelygybes, grafinis sprendimaspraktiškiausias ir patraukliausias.

3. Matematikos patrauklumą galite pritaikyti mokykloje naudodami grafinį sprendimąlygtys ir nelygybės.

„Matematiniai mokslai nuo seniausių laikų traukė ypatingą dėmesį,

Šiuo metu jie dar labiau domisi savo įtaka menui ir pramonei.

Pafnutijus Lvovičius Čebyševas.

Nuo 7 klasės nagrinėjami įvairūs lygčių ir nelygybių sprendimo būdai, įskaitant grafinius. Tie, kurie mano, kad matematika yra sausas mokslas, manau, keičia savo nuomonę, kai mato, kaip gražiai galima išspręsti kai kuriuos tipuslygtys ir nelygybės. Pateiksiu keletą pavyzdžių:

1).Išspręskite lygtį: = .

Galite ją išspręsti analitiškai, tai yra, pakelti abi lygties puses į trečią laipsnį ir pan.

Grafinis metodas yra patogus šiai lygčiai, jei tiesiog reikia nurodyti sprendimų skaičių.

Su panašiomis užduotimis dažnai susiduriama sprendžiant 9 klasės OGE bloką „geometrija“.

2) Išspręskite lygtį su parametru:

││ x│- 4│= a

Ne pats sudėtingiausias pavyzdys, bet jei išspręsite jį analitiškai, turėsite du kartus atidaryti modulio skliaustus ir kiekvienu atveju atsižvelgti į galimas parametro reikšmes. Grafiškai viskas labai paprasta. Nubraižome funkcijų grafikus ir matome, kad:

Šaltiniai:

Kompiuterinė programaIšplėstinis grafikas .