Apibrėžimas 1. Prizminis paviršius
Teorema 1. Prizminio paviršiaus lygiagrečiose pjūviuose
Apibrėžimas 2. Prizminio paviršiaus statmenas pjūvis
Apibrėžimas 3. Prizmė
Apibrėžimas 4. Prizmės aukštis
5 apibrėžimas. Dešinioji prizmė
2 teorema. Prizmės šoninio paviršiaus plotas
Lygiagretaus vamzdis:
Apibrėžimas 6. Lygiagretainis
3 teorema. Apie gretasienio įstrižainių sankirtą
Apibrėžimas 7. Dešinysis gretasienis
Apibrėžimas 8. Stačiakampis gretasienis
Apibrėžimas 9. Gretasienio matmenys
Apibrėžimas 10. Kubas
Apibrėžimas 11. Romboedras
4 teorema. Stačiakampio gretasienio įstrižainėse
5 teorema. Prizmės tūris
6 teorema. Tiesiosios prizmės tūris
7 teorema. Stačiakampio gretasienio tūris
Prizmė yra daugiakampis, kurio du paviršiai (pagrindai) yra lygiagrečiose plokštumose, o briaunos, kurios nėra šiose paviršiuose, yra lygiagrečios viena kitai.
Vadinami veidai, išskyrus pagrindus šoninis.
Šoninių paviršių ir pagrindų šonai vadinami prizmės šonkauliai, kraštinių galai vadinami prizmės viršūnių. Šoniniai šonkauliai vadinamos pagrindams nepriklausančios briaunos. Šoninių veidų sąjunga vadinama šoninis prizmės paviršius, o visų veidų sąjunga vadinama viso prizmės paviršiaus. Prizmės aukštis vadinamas statmenu, nuleistu nuo viršutinio pagrindo taško iki apatinio pagrindo plokštumos arba šio statmens ilgio. 
Tiesi prizmė vadinama prizme, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms. 
Teisingai vadinama tiesia prizme (3 pav.), kurios pagrindu yra taisyklingas daugiakampis.
Pavadinimai:
l - šoninis šonkaulis;
P - bazinis perimetras;
S o - bazinis plotas;
H - aukštis;
P^ - statmenos pjūvio perimetras;
S b - šoninio paviršiaus plotas;
V - tūris;
S p yra viso prizmės paviršiaus plotas.
|
V=SH |
*Daroma prielaida, kad kas dvi nuoseklios plokštumos susikerta, o paskutinė plokštuma kerta pirmąją
1 teorema . Prizminio paviršiaus atkarpos plokštumose, lygiagrečiomis viena kitai (bet ne lygiagrečiomis jo kraštinėms), yra lygūs daugiakampiai.
Tegu ABCDE ir A"B"C"D"E yra prizminio paviršiaus atkarpos dviem lygiagrečiomis plokštumomis. Kad įsitikintumėte, jog šie du daugiakampiai yra lygūs, pakanka parodyti, kad trikampiai ABC ir A"B"C" yra vienodi ir turi tą pačią sukimosi kryptį ir tas pats galioja trikampiams ABD ir A"B"D", ABE ir A"B"E. Bet atitinkamos šių trikampių kraštinės yra lygiagrečios (pavyzdžiui, AC lygiagreti AC) kaip tam tikros plokštumos susikirtimo su dviem lygiagrečiomis plokštumomis linija; iš to išplaukia, kad šios kraštinės yra lygios (pavyzdžiui, AC lygi A"C"), kaip ir priešingos lygiagretainio kraštinės, ir kad šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs ir vienodos krypties.
2 apibrėžimas . Prizminio paviršiaus statmena pjūvis – tai šio paviršiaus pjūvis plokštuma, statmena jo kraštams. Remiantis ankstesne teorema, visos statmenos to paties prizminio paviršiaus atkarpos bus lygūs daugiakampiai.
3 apibrėžimas
. Prizmė yra daugiakampis, kurį riboja prizminis paviršius ir dvi lygiagrečios viena kitai plokštumos (bet ne lygiagrečios prizminio paviršiaus kraštams).
Šiose paskutinėse plokštumose gulintys veidai vadinami prizmių pagrindai; prizminiam paviršiui priklausantys veidai - šoniniai veidai; prizminio paviršiaus kraštai - šoniniai prizmės šonkauliai. Remiantis ankstesne teorema, prizmės pagrindas yra lygūs daugiakampiai. Visi šoniniai prizmės paviršiai - lygiagretainiai; visi šoniniai šonkauliai yra lygūs vienas kitam.
Akivaizdu, kad jei yra nurodytas prizmės ABCDE pagrindas ir viena iš kraštinių AA" pagal dydį ir kryptį, tai galima sukonstruoti prizmę nubrėžiant briaunas BB", CC", ... lygias ir lygiagrečias kraštinei AA" .
4 apibrėžimas . Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų plokštumų (HH").
5 apibrėžimas
. Prizmė vadinama tiesia, jei jos pagrindai yra statmenos prizminio paviršiaus atkarpos. Šiuo atveju prizmės aukštis, žinoma, yra jos šoninis šonkaulis; šoniniai kraštai bus stačiakampiai.
Prizmės gali būti klasifikuojamos pagal šoninių paviršių skaičių, lygų daugiakampio, kuris yra jo pagrindas, kraštinių skaičiui. Taigi prizmės gali būti trikampės, keturkampės, penkiakampės ir kt.
2 teorema
. Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus šoninio krašto ir statmenos pjūvio perimetro sandaugai.
Tegul ABCDEA"B"C"D"E" yra duotoji prizmė ir abcde jos statmena pjūvis, kad atkarpos ab, bc, .. būtų statmenos jos šoninėms briaunoms. Paviršius ABA"B" yra lygiagretainis; jo plotas yra lygus bazės AA sandaugai iki aukščio, kuris sutampa su ab; veido plotas ВСВ "С" yra lygus pagrindo ВВ sandaugai iš aukščio bc ir tt. Vadinasi, šoninis paviršius (t. y. šoninių paviršių plotų suma) yra lygus sandaugai šoninės briaunos, kitaip tariant, bendras atkarpų ilgis AA", ВВ", .., sumai ab+bc+cd+de+ea.
Mokyklinėje stereometrijos kurso programoje trimačių figūrų studijos paprastai pradedamos nuo paprasto geometrinio kūno – prizmės daugiakampio. Jo pagrindų vaidmenį atlieka 2 lygūs daugiakampiai, esantys lygiagrečiose plokštumose. Ypatingas atvejis yra taisyklinga keturkampė prizmė. Jo pagrindai yra 2 vienodi taisyklingi keturkampiai, kurių kraštinės yra statmenos, turintys lygiagretainių (arba stačiakampių, jei prizmė nėra pasvirusi) formą.
Kaip atrodo prizmė?
Taisyklinga keturkampė prizmė yra šešiakampis, kurio pagrindai yra 2 kvadratai, o šoniniai paviršiai pavaizduoti stačiakampiais. Kitas šios geometrinės figūros pavadinimas yra tiesus gretasienis.
Žemiau pateiktas brėžinys, kuriame pavaizduota keturkampė prizmė.
Taip pat galite pamatyti nuotraukoje svarbiausi elementai, sudarantys geometrinį kūną. Tai apima:
Kartais geometrijos uždaviniuose galite susidurti su sekcijos sąvoka. Apibrėžimas skambės taip: pjūvis yra visi tūrinio kūno taškai, priklausantys pjovimo plokštumai. Pjūvis gali būti statmenas (kerta figūros kraštus 90 laipsnių kampu). Stačiakampei prizmei taip pat atsižvelgiama į įstrižainę pjūvį (maksimalus galimų sukonstruoti atkarpų skaičius yra 2), einanti per 2 briaunas ir pagrindo įstrižaines.
Jei pjūvis nubrėžtas taip, kad pjovimo plokštuma nebūtų lygiagreti nei pagrindams, nei šoniniams paviršiams, gaunama nupjauta prizmė.
Norint rasti pateiktus prizminius elementus, naudojami įvairūs ryšiai ir formulės. Kai kurie iš jų žinomi iš planimetrijos kurso (pavyzdžiui, norint rasti prizmės pagrindo plotą, pakanka prisiminti kvadrato ploto formulę).
Paviršiaus plotas ir tūris
Norėdami nustatyti prizmės tūrį pagal formulę, turite žinoti jos pagrindo ir aukščio plotą:
V = Sbas h
Kadangi taisyklingos tetraedrinės prizmės pagrindas yra kvadratas su kraštine a, Galite parašyti formulę detalesne forma:
V = a²·h
Jei mes kalbame apie kubą - taisyklingą prizmę, kurios ilgis, plotis ir aukštis yra vienodi, tūris apskaičiuojamas taip:
Norėdami suprasti, kaip rasti prizmės šoninį paviršiaus plotą, turite įsivaizduoti jo raidą.
Iš brėžinio matyti, kad šoninis paviršius sudarytas iš 4 vienodų stačiakampių. Jo plotas apskaičiuojamas kaip pagrindo perimetro ir figūros aukščio sandauga:
Sside = Posn h
Atsižvelgiant į tai, kad aikštės perimetras yra lygus P = 4a, formulė įgauna tokią formą:
Pusė = 4a h
Dėl kubo:
Šonas = 4a²
Norėdami apskaičiuoti bendrą prizmės paviršiaus plotą, prie šoninio ploto turite pridėti 2 bazinius plotus:
Pilnas = Sside + 2Smain
Keturkampės taisyklingosios prizmės atžvilgiu formulė atrodo taip:
Iš viso = 4a h + 2a²
Kubo paviršiaus plotui:
Visas = 6a²
Žinodami tūrį arba paviršiaus plotą, galite apskaičiuoti atskirus geometrinio kūno elementus.
Prizmės elementų paieška
Neretai iškyla problemų, kai nurodomas tūris arba žinoma šoninio paviršiaus ploto reikšmė, kai reikia nustatyti pagrindo kraštinės ilgį arba aukštį. Tokiais atvejais formulės gali būti išvestos:
- pagrindo kraštinės ilgis: a = Sside / 4h = √(V / h);
- aukštis arba šoninės briaunos ilgis: h = Sside / 4a = V / a²;
- bazinis plotas: Sbas = V / h;
- šoninė veido sritis: Šoninė gr = Sside / 4.
Norėdami nustatyti, kiek ploto turi įstrižainė, turite žinoti įstrižainės ilgį ir figūros aukštį. Už kvadratą d = a√2. Iš to išplaukia:
Sdiag = ah√2
Norėdami apskaičiuoti prizmės įstrižainę, naudokite formulę:
dprize = √(2a² + h²)
Norėdami suprasti, kaip pritaikyti pateiktus ryšius, galite praktikuotis ir išspręsti keletą paprastų užduočių.
Problemų su sprendimais pavyzdžiai
Štai keletas užduočių, rastų per matematikos valstybinius baigiamuosius egzaminus.
1 užduotis.
Smėlis pilamas į įprastos keturkampės prizmės formos dėžutę. Jo lygio aukštis – 10 cm. Koks bus smėlio lygis, jei jį perkelsite į tokios pat formos, bet dvigubai ilgesnio pagrindo indą?
Tai turėtų būti motyvuota taip. Smėlio kiekis pirmame ir antrame konteineriuose nepakito, t.y. jo tūris juose yra vienodas. Pagrindo ilgį galite pažymėti a. Tokiu atveju pirmame langelyje medžiagos tūris bus:
V₁ = ha² = 10a²
Antrosios dėžutės pagrindo ilgis yra 2a, bet smėlio lygio aukštis nežinomas:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Nes V₁ = V₂, galime sulyginti posakius:
10a² = 4ha²
Sumažinus abi lygties puses a², gauname:
Dėl to naujas smėlio lygis bus h = 10/4 = 2,5 cm.
2 užduotis.
ABCDA₁B₁C₁D₁ yra teisinga prizmė. Yra žinoma, kad BD = AB₁ = 6√2. Raskite bendrą kūno paviršiaus plotą.
Kad būtų lengviau suprasti, kurie elementai yra žinomi, galite nupiešti figūrą.
Kadangi kalbame apie taisyklingąją prizmę, galime daryti išvadą, kad prie pagrindo yra kvadratas, kurio įstrižainė yra 6√2. Šoninio paviršiaus įstrižainė yra tokio pat dydžio, todėl šoninis paviršius taip pat turi kvadrato formą, lygią pagrindui. Pasirodo, visi trys matmenys – ilgis, plotis ir aukštis – yra lygūs. Galime daryti išvadą, kad ABCDA₁B₁C₁D₁ yra kubas.
Bet kurio krašto ilgis nustatomas per žinomą įstrižainę:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Bendras paviršiaus plotas randamas naudojant kubo formulę:
Visas = 6a² = 6 6² = 216
3 užduotis.
Kambarys remontuojamas. Yra žinoma, kad jo grindys yra kvadrato formos, kurios plotas yra 9 m². Kambario aukštis 2,5 m Kokia yra mažiausia kambario tapetavimo kaina, jei 1 m² kainuoja 50 rublių?
Kadangi grindys ir lubos yra kvadratai, tai yra taisyklingi keturkampiai, o jų sienos statmenos horizontaliems paviršiams, galime daryti išvadą, kad tai taisyklinga prizmė. Būtina nustatyti jo šoninio paviršiaus plotą.
Kambario ilgis yra a = √9 = 3 m.
Teritorija bus išklijuota tapetais Šonas = 4 3 2,5 = 30 m².
Mažiausia šio kambario tapetų kaina bus 50 · 30 = 1500 rublių
Taigi, norint išspręsti uždavinius, susijusius su stačiakampe prizme, pakanka mokėti apskaičiuoti kvadrato ir stačiakampio plotą ir perimetrą, taip pat žinoti tūrio ir paviršiaus ploto nustatymo formules.
Kaip rasti kubo plotą
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Matematikos šaka, nagrinėjanti įvairių figūrų (taškų, linijų, kampų, dvimačių ir trimačių objektų) savybes, jų dydžius ir santykinę padėtį. Kad būtų lengviau mokytis, geometrija skirstoma į planimetriją ir stereometriją. Į…… Collier enciklopedija
erdvių, kurių matmenys didesni kaip trys, geometrija; terminas taikomas toms erdvėms, kurių geometrija iš pradžių buvo sukurta trijų matmenų atveju ir tik po to apibendrinta iki matmenų skaičiaus n>3, pirmiausia euklidinė erdvė, ... ... Matematinė enciklopedija
N matmenų euklido geometrija yra euklido geometrijos apibendrinimas į daugiau matmenų erdvę. Nors fizinė erdvė yra trimatė, o žmogaus pojūčiai sukurti taip, kad suvoktų tris dimensijas, N yra matmenų... ... Vikipedija
Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Pyramidatsu (reikšmės). Suabejota šios straipsnio dalies patikimumu. Turite patikrinti šiame skyriuje nurodytų faktų tikslumą. Pokalbių puslapyje gali būti paaiškinimų... Vikipedija
- (Constructive Solid Geometry, CSG) technologija, naudojama modeliuojant kietuosius kūnus. Konstruktyvi blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D grafikos ir CAD modeliavimo būdas. Tai leidžia sukurti sudėtingą sceną arba... Vikipedija
Konstruktyvioji kietųjų kūnų geometrija (CSG) yra kietųjų kūnų modeliavimo technologija. Konstruktyvi blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D grafikos ir CAD modeliavimo būdas. Ji... ... Vikipedija
Šis terminas turi ir kitų reikšmių, žr. Tomas (reikšmės). Tūris yra papildoma rinkinio (mato) funkcija, apibūdinanti jos užimamos erdvės plotą. Iš pradžių atsirado ir buvo taikomas be griežtų... ... Vikipedijos
Kubo tipas Įprastas daugiakampis Veidas kvadratas Viršūnės Kraštai Veidai ... Vikipedija
Tūris yra papildoma aibės (mato) funkcija, apibūdinanti jos užimamos erdvės plotą. Iš pradžių ji atsirado ir buvo taikoma be griežto apibrėžimo trimačių trimačių euklido erdvės kūnų atžvilgiu.... ... Wikipedia
Erdvės dalis, apribota baigtinio skaičiaus plokštuminių daugiakampių rinkinio (žr. GEOMETRIJą), sujungtų taip, kad kiekviena bet kurio daugiakampio kraštinė yra lygiai vieno kito daugiakampio (vadinamo... ... Collier enciklopedija
Knygos
- Stalų komplektas. Geometrija. 10 klasė. 14 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm.